METODA POVPREČNE NAPAKE

Družina analiz variance
Analiza podatkov pri
eno- in večfaktorskih
raziskovalnih načrtih
Anja Podlesek
Doktorski študij Humanistika in družboslovje, psihološke smeri,
Raziskovalna metodologija v psihologiji
• Analiza variance
Enosmerna
• Testiramo hipoteze o enakosti M OV
pri različnih variacijah faktorja
vpliv NV na OV
Večsmerna
M 3
M 11 M 12
interakcija
• glavni učinki faktorjev
• interakcija faktorjev
• Analiza kovariance
M 21 M 22
glavni učinki in interakcija kategorialnih NV ob sočasni kontroli učinkov
zveznih NV
• Multivariatna analiza variance
glavni in interakcijski učinek NV na več OV hkrati
• Linearni mešani modeli
glavni in interakcijski učinek NV na OV, pri čemer so podatki gnezdeni
M 1
M 2
Analiza variance
• Neponovljene vs. ponovljene meritve –
Načrti z neponovljenimi meritvami (npr. načrt z več
randomiziranimi skupinami, vsaka skupina sodeluje le
v enem eksperimentalnem pogoju)
Načrti z eno skupino oseb
Vmesne različice mešani načrti
Analiza variance
Značilnosti ANOVE:
• Intervalna OV
• Nominalne NV (in intervalni kovariati pri ANCOVI)
• Meritve v več pogojih = vzorčenje iz več populacij
• H 0 : ni razlik med njihovimi m
Ocena variance
X
N 1
2
X
2
vsota kvadratov (SS)
df
Enosmerna analiza
variance za
neponovljene meritve
1

Razstavljanje odklona posameznega rezultata:
X i - M tot = (X i - M i ) + (M i - M tot )
M 1 = 4 M 2 = 10
M T = 7
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
X i - M tot
M i - M tot
X i - M i
Strukturni model
Razstavljanje odklona posameznega rezultata:
X i - M tot = (X i - M i ) + (M i - M tot )
Y μ α ε
ij
totalna sredina
učinek NV
j
ij
napaka
Vzroki:
• učinek NV,
• napake merjenja,
• napake v kontroli (vplivi zunanjih spremenljivk),
• individualne razlike.
Razstavljanje vsote kvadratov odklonov (SS):
SS total = SS znotraj skupin + SS med skupinami
SS / df = MS
MS … ocena variance
F razmerje = razmerje dveh varianc:
variance med skupinami in variance znotraj skupin
Varianco lahko razstavimo
na dva dela:
• MS zn odraža le slučajno
variabilnost
(= varianca napake)
E( MS )
S / A
2
e
E( MS )
n
2 2
A e A
• MS med temelji na razpršitvi
M j in odraža slučajno
variabilnost in, če je H 0
napačna, tudi učinek NV.
Če je MS med pomembno
večja od MS zn , zaključimo,
da je variabilnost med
skupinami prevelika, da bi jo
povzročala le slučajna
variabilnost, torej zavrnemo
H 0 .
F
MS
MS
med
znotraj
F blizu 1,0 kaže, da so
razlike med skupinami le
posledica naključne
variacije. Večji kot je F,
manj je verjetno, da je H 0
pravilna.
M T = 7
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
SS znotraj-1 = 1(2-4) 2 + 2(3-4) 2 + 3(4-4) 2 + 2(5-4) 2 + 1(6-4) 2 =12
SS znotraj-2 = 1(8-10) 2 + 2(9-10) 2 + 3(10-10) 2 + 2(11-10) 2 + 1(12-10) 2 =12
SS med = 9(4-7) 2 + 9(10-7) 2 = 81 + 81 = 162
df znotraj = N - a = 18 - 2 = 16
df med = a - 1 = 2 - 1 = 1
MS znotraj = SS znotraj / df znotraj = 24 / 16 = 1.5
MS med = SS med / df med = 162 / 1 = 162
F = 162 / 1.5 = 108
F .05 (1, 16) = 4.49
2

Ocena pomembnosti NV
Sumarna tabela analize variance
Izvor
variabilnosti SS df MS F p
NV 162 1 162,0 108,0 < 0.001
napaka 24 16 1,5
skupaj 186 17
Tako ali večje F-razmerje bi, če bi vzorčili iz populacije,
v kateri drži H 0, našli v manj kot 0,1 % vzorcev. Sredine
skupin se statistično pomembno razlikujejo, kar
pomeni, da NV (najverjetneje) vpliva na OV.
F(1, 16) = 108,0, p < .001
Ocena komponent variance
E(
MS
2 2
E(
MS ) n
2
e
2
A
S
A
a
/
)
m
j
mtot
2 j1
A
a 1
ˆ2
MS
A
MSS
A
n
A
e
2
e
... varianca sredin a skupin
/
2
A
A
... varianca populacije Y, iz katere je bilo vzorcenih n podatkov
Mera velikosti učinka
Če je ničelna hipoteza pravilna, je lahko
MS S/A po slučaju večja od MS A in bo
ocena variance sredin negativna ( 0).
Ocena pomembnosti NV
Ocena deležev variance
M T = 7
M 1 = 4
M 2 = 10
n = 9
a = 2
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
df znotraj = N - a = 18 - 2 = 16
df med = a - 1 = 2 - 1 = 1
MS znotraj = 1.5
MS med = 162
F = 162 / 1.5 = 108
F .05 (1, 16) = 4.49
E(
MS
S
/
2
) 1,5
2 2
E(
MS ) n
162
A
a
m
j
mtot
2 j1
A
a 1
ˆ2
MS
A
MSS
A
n
A
e
e
/
2
A
A
2
4 7 10 7
1
162 1,5
17,83
9
2
ˆA … absolutna velikost variance
2
18
Relativna velikost (oz. delež) variance učinka
= velikost glede na druge vire variabilnosti
= Haysova w 2 ali koeficient determinacije
2
ω A
2
ωˆ
A
2
ωˆ
A
2
A 2
Y
a
j1
m
j
a
2
Y
m
tot
2
a 1
MS A MSS
/ A
a n
a 1
MS A MSS
/ A
MSS
/ A
a
n
a
1 FA
1
MS A
, pričemer FA
a
1 FA
1 na
MSS
/ A
MS
Mera velikosti učinka = pove, kolikšen delež variance Y pojasnjuje NV
2
2
j
A
... ni čista varianca α
j
(M
j)
a 1
2
ˆ2
j
A
... je
a
ˆ2
a 1
ˆ2
a 1
MS
A
MSS
/ A
A
A
a a n
2
e
S
/
A
Moč F testa
M T = 7
M 1 = 4
M 2 = 10
n = 9
a = 2
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
df znotraj = N - a = 18 - 2 = 16
df med = a - 1 = 2 - 1 = 1
MS znotraj = 1.5
MS med = 162
F = 162 / 1.5 = 108
F .05 (1, 16) = 4.49
E(
MS
S
/
2
) 1,5
2 2
E(
MS ) n
162
A
A
e
e
2
A
18
ˆ2
A
17,83
ˆ2
a 1
ˆ2
2 1
A
A 17,83
8,92
a 2
2
2
A
9
ω A 0,87
2 2
3,21
Y
A
a 1
MS
A
MSS
/ A 1 162
1,5
2
2 9
ωˆ a n
A
0,86
a 1
MS
A
MSS
/ A 1 162
1,5
MSS
/ A 1,5
a n 2 9
2 a
1 FA
1
1107
ωˆ
A
0,86
a
1 F 1
na 1107
92
A
• Navadno želimo zavrniti ničelno hipotezo. Če učinki obstajajo, mora
imeti test zadovoljivo moč, da jih odkrije.
• Moč testa je odvisna od:
ravni alfa napake
df v števcu in imenovalcu F-razmerja (od a in n)
velikosti variance napake … MS S/A
velikosti učinkov NV …
n
2
A
2
e
2
ˆA
… indeks moči s pomočjo tabel oz. rač. programov
odčitamo moč testa (1-b) pri tem indeksu, določeni ravni
in določenih df 1 in df 2
3

Predpostavke ANOVE
M T = 7
M 1 = 4
M 2 = 10
n = 9
a = 2
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
df znotraj = N - a = 18 - 2 = 16
df med = a - 1 = 2 - 1 = 1
MS znotraj = 1.5
MS med = 162
F = 162 / 1.5 = 108
F .05 (1, 16) = 4.49
E(
MS
2 2
E(
MS ) n
162
2
A
18
ˆ2
17,83
A
S
A
/
2
) 1,5
A
e
e
ˆ2
a 1
ˆ2
2 1
A
A 17,83
8,92
a 2
2
2
A
9
ω A 0,87
2 2
3,21
Y
A
a 1
MS
A
MSS
/ A 1 162
1,5
2
2 9
ωˆ a n
A
0,86
a 1
MS
A
MSS
/ A 1 162
1,5
MSS
/ A 1,5
a n 2 9
2 a
1 FA
1
1107
ωˆ
A
0,86
a
1 F 1
na 1107
92
A
n
98,92
7,32
1,5
2
A
2
e
1-b > 0,99
• Napake (ε ij v strukturnem modelu) so neodvisne,
nekorelirane
• Porazdelitev napak ε ij je normalna (v vsakem
pogoju)
pomembno pri majhnih vzorcih
pogosto kršeno pri diskretnih spremenljivkah
F-test je precej robusten, neobčutljiv na kršitve te
predpostavke, razen v primerih ekstremne As ali Spl
• Homogenost varianc
Predpostavke ANOVE
Homogenost varianc = Porazdelitev napak ima
enako varianco pri vseh ravneh NV
V imenovalcu F razmerja je skupna varianca
napake, ki je tehtana znotrajskupinska
varianca. Če se variance skupin zelo
razlikujejo, je taka skupna mera slaba ocena
variance napake.
Verjetnost napake je navadno večja, kot jo
kaže F test.
Problem predvsem pri neenakih skupinah (že
razmerje 2:1 je lahko kritično; priporočeno je,
naj bo razmerje manjše od 4:1), predvsem če
je večja varianca značilna za manjšo skupino.
Preverjamo jo z Levenovim testom
• Računa ANOVO na absolutnih odklonih od M.
• Statistično pomemben rezultat pove, da
variance niso homogene.
• Ni občutljiv na odstopanja od N. D.
Pregled grafov
• Spread vs. Level Plot
• Box-Plot
Predpostavke ANOVE
• Verjetnost nenormalne porazdelitve in
heterogenosti varianc raste:
z nižanjem N
z večanjem raznolikosti velikosti različnih
skupin
z večanjem števila faktorjev
• Ne sme biti osamelcev, saj ti povečajo
varianco napake in povečajo verjetnost b
napake.
Rešitve v primeru kršenja
predpostavk
• v popravkih stopenj svobode
Welchov t test
• korekcija df (df se zmanjšajo)
• boljši pri visokem razmerju varianc različnih skupin, pri n j vsaj 10 in
N.D., kadar sta vzorca različno velika in varianci nehomogeni
• običajno večja moč
• napihnjena alfa pri asimetričnih porazdelitvah
Brown-Forsythov F test
• robusten test, večja moč v primeru, ko so vse sredine razen ene
enake in ima vzorec z izstopajočo sredino tudi veliko varianco
• primeren ob neenakih skupinah, heterogenih variancah in
asimetrični porazdelitvi odklonov rezultatov od M j (kadar ni N. D.)
• primerljiva pri vzorcih z n j < 6
• Z WLS (weighted least squares) utežmi – osebe različno obtežimo,
da bi zmanjšali heteroscedastičnost
Rešitve v primeru kršenja
predpostavk
• v transformaciji podatkov
Asimetrične porazdelitve približamo normalnim
Zmanjšamo heterogenost varianc
Transformacije: arc sin (sqrt(Y ij )), log, potence
• Slika log j / log M j ; Y transf = Y 1-nagib ; če je nagib funkcije enak
1 log
• Transformacije v primeru asimetričnosti porazdelitev
podatkov povečajo moč, vendar testirajo ničelno hipotezo na
drugačni lestvici – težave pri interpretaciji rezultatov
4

Primerjave (kontrasti) sredin
A priori in post hoc
analize
• ANOVA je omnibus test – testira pomembnost
razlik med več sredinami, a nam ne pove nič o
tem, kje natančno razlike obstajajo.
• Posamezne razlike opazujemo s posebnimi testi.
• Več testov kot naredimo, večja je verjetnost
napake. Verjetnost, da bomo odkrili (vsaj (eno))
pomembno razliko, s številom analiz narašča.
Zaradi multiplih primerjav moramo imeti pri
testiranju strožji kriterij.
Kontrola napake
• Raven napake pri posameznem kontrastu (EC)
• Skupna raven napake pri družini kontrastov
(FWER – familywise error rate)
Npr., če je EC za vsakega od 6 neodvisnih testov 0,05, je
FWER 0,265. Če so testi odvisni, je FWER manjša.
Več kot je testov, večja je FWER.
FWER navadno vežemo na posamezni vir variabilnosti v
enem poskusu.
Pri posameznemtestu: pni
α napake
1
EC
Pri skupini testov: FWER pα napaka vsajprienem kontrastu
1
pni
α napake prinobenem v druzini kontrastov
1
1
EC K
Kontrasti v enofaktorskem načrtu
za neponovljene meritve
• Kontrasti: (parne)
primerjave in druge
linearne kombinacije
povprečij
• Ortogonalni in
neortogonalni kontrasti
Kontrasta sta ortogonalna
(= aditivna), če njune
uteži niso korelirane
Npr. in
j
wjpwjq
n j
1 (1)
2
0
1 ( 1)
2
(0)
1
2
(0)
1
2
0
H : 1 μ
1μ
0μ
0μ
01 SK1
SK2 SK3
H : μ
μSK2
μSK3
μ
3
SK4
0
02 SK1
H
μSK1
μSK2
μSK3
μ
:
2 2
0
SK4
03
ψ
j
a
j1
w μ
j
w 0
j
j
H 1 : Linearna kombinacija ni enaka 0.
SK4
0
Statistika t: primerjava linearne kombinacije
z 0
• števec: obtežena povprečja
• imenovalec: obtežena standardna napaka
Testiranje kontrastov
S t statistiko
ψˆ
t
σˆ
ψˆ
MS
w μ
S/A
S F statistiko preko
SS kontrasta
SS
ψˆ
j
w μ
j
j j
2
j
w
n
j
w
n
2
j
j
2
SK1 SK2 SK3 SK4
Mj 8,80 4,20 3,40 2,50
Vir variabilnosti SS df MS F
A 377,4 3,0 125,8 8,39
S/A 900,0 60,0 15,0
H 01
H 02
: t
: t
M SK1 M SK2 8,80 4,20
2 2
2 2
1
1 1
1
MS
/
15,0
S A
16 16
16 16
MSS
/ A
M SK1
2
1
16
M SK2
2
1
3
16
M SK3
3
2
1
3
16
M SK4
2
1
3
16
3,36
8,80
2
1
15,0
16
4,20
2
1
3
16
3,40
3
2
1
3
16
2
(1) 8,80 ( 1/ 3) 4,20 ( 1/ 3) 3,40 ( 1/ 3) 2,50
: SS ˆ
354,25
1 1 1
2
1
3 3 3
16 16 16 16
H02 ψ 2 2 2
F
SS 354,25
ˆψ 2 2
t
23,62 4,86 ( )
MS 15
S/
A
2,50
2
1
3
16
4,86
Načrtovani (a priori) kontrasti
• Načrtujemo jih, preden imamo vpogled v podatke.
Število testiranih kontrastov temelji na teoriji.
• Če računamo le en kontrast, je verjetnost
napake (EC) ustrezna in lahko uporabimo t-test.
• Pri več kontrastih moramo poskrbeti, da FWER ni
prevelika.
FWER ≤ 1-(1-EC) K ≤ 1-(1-K(EC))
Bonferronijeva neenakost
FWER ≤ vsota vseh EC
5

Načrtovani (a priori) kontrasti
• Bonferronijev popravek t statistike (oz. Dunnov postopek)
EC = FWER / K. Statistiko t za vsak kontrast preverjamo pri EC.
Temelji na Bonferronijevi neenakosti Če bomo vsak kontrast testirali pri
EC = FWER / K, verjetnost napake za celotno družino kontrastov ne bo
presegla FWER. Ta enačba je ustrezna pri ortogonalnih kontrastih.
FWER lahko razdelimo tudi na neenake dele (posameznemu kontrastu
lahko dovolimo višjo kot drugim), vendar moramo dele načrtovati
vnaprej.
Nizka moč pri velikem številu primerjav: dopuščena EC je zelo majhna.
• Sidakov test (Dunn-Sidak)
prav tako uporablja t-test, a H 0 zavrne, če je
Ima nekoliko večjo moč kot Bonferronijev popravek
• Dunnetov test za primerjavo eksperimentalnih in kontrolne
skupine
Predvidevamo neortogonalnost kontrastov (npr. KS(-1), ES1(+1); KS(-1),
ES2(+1)). Kriterij je torej lahko nekoliko blažji kot pri Bonferronijevem
popravku.
p 1
1
FWER
1/
K
Načrtovani (a priori) kontrasti
V SPSS/PASW:
• Deviation: M za vsako raven NV primerjamo z M tot . Referenčna
kategorija: prva ali zadnja skupina.
• Simple: Vsako raven NV primerjamo z referenčno ravnjo.
• Difference: Vsako raven NV (razen prve v vrsti) primerjamo s
povprečjem vseh prejšnjih ravni (= ortogonalni kontrasti).
• Helmert: Vsako raven NV (razen zadnje v vrsti) primerjamo s
povprečjem vseh nadaljnjih ravni (= ortogonalni kontrasti).
• Repeated: Vsako raven (razen zadnje v vrsti) primerjamo z naslednjo
ravnjo.
• Polynomial: Testiramo, katera raven polinoma (linearen, kvadratni,
kubični odnos) zadovoljivo pojasni odnos med M različnih ravni NV.
Post hoc kontrasti
• Izvedemo jih šele, ko že izvemo za rezultate ANOVE. Če
je F določene NV pomemben, izvedemo različne post hoc
teste. eksploratoren pristop
• Dejanska verjetnost napake je zato večja od
predvidene. Kriterij testiranja mora biti zato strog.
• Za vsako primerjavo izračunamo t, a potem dobljeno
vrednost primerjamo s strožjim kriterijem kot pri običajnem
t-testu ali a priori kontrastih.
Post hoc kontrasti
• Fisherjev LSD (least significant difference) test
Izvajamo ga samo, če je ANOVA dala statistično
pomemben F.
Naredimo vse možne parne primerjave sredin.
FWER ne kontroliramo.
Post hoc kontrasti
• Tukeyev (HSD) postopek (Tukey’s
honestly significant difference test)
Za preverjanje parnih kontrastov med a sredinami
Naredimo vse možne parne primerjave. Za vsako
primerjavo izračunamo t (q) in ga primerjamo s kritično t
vrednostjo.
Razlike med sredinama ne delimo s SE M1-M2 kot pri t-testu,
pač pa s SE M . H 0 : M 2 izhaja iz iste populacije kot M 1 .
Če najbolj ekstremni razliki ne dasta statistično
pomembnega q, zaključimo, da so vse sredine homogene.
Več skupin kot imamo, večja mora biti parna razlika med
sredinami, da bo pomembna.
Postopek je manj konzervativen od Scheffejevega in tudi od
Bonferronijevega popravka (pri več kot treh primerjavah);
kljub temu dobro kontrolira napako.
Pri različno velikih vzorcih je konzervativen. Alternativa:
Tukey-Kramerjev test, Tukeyev b test (Tukey’s wholly
significant difference test)
Pri nehomogenih variancah popravimo stopnje svobode.
M1
M
2
q
MSS
/ A
n
q ( a,
df )
t
FWER
krit
q
FWER
e
/
2
Post hoc kontrasti
• Schefféjev test
Izvajamo ga, če je F v ANOVI statistično
pomemben.
Za vse možne parne primerjave izračunamo t in
ga primerjamo s S. Oz., za vsako primerjavo
izračunamo F in ga primerjamo s F’, ki je še
večji od F iz ANOVE; F’ = (a-1)F.
Tudi za preverjanje kateregakoli post hoc
kontrasta
zelo konzervativen test, odsvetovan za
posamezne primerjave; le kadar delamo
ogromno število primerjav, predvsem linearnih
kombinacij sredin različnih skupin
S f F f ,
df 60
S 2,88
FWER
df e
f a 1
3
e
F (3, 60) 2,76
,05
6

Post hoc kontrasti
• Sekvenčni testi:
razlike uredimo po velikosti; če je največja razlika
statistično pomembna, mora naslednja v vrsti preseči
nižji kriterij; potem ko pridemo do nepomembne
razlike, manjših ne testiramo več
Newman-Keulsov postopek, Duncanov test (manj
uporabljana)
Ryanovi testi, npr. R-E-G-W Q: ima dobro moč, a tudi
dobro kontrolo napake; ga priporoča več avtorjev
• Če sta vzorca različno velika: Gabrielov
postopek (a postane pri ekstremnih razlikah v n
preveč liberalen)
Post hoc kontrasti
Testi, primerni za heterogene variance pri enosmerni ANOVI:
• Hochbergov GT2 postopek
razen če se n zelo razlikujejo
• Tamhanov T2 test
Konzervativen
Uporaben pri neenakih n
• Games-Howellov postopek
Uporaben pri neenakih n, a le, če je n > 5
Malo bolj konzervativen od Tamhanovega T2 testa
Najbolj priporočan
Uporabimo ga ob drugih postopkih, da preverimo, koliko se rezultati
različnih postopkov razlikujejo
• Dunnetov T3 test in Dunnettov C test
Imata striktno kontrolo nad FWER
Faktorski raziskovalni načrt
Večfaktorski
raziskovalni načrt
Faktorski načrti:
• načrti, kjer so na vseh faktorjih meritve neponovljene,
• načrti, kjer so na vseh faktorjih meritve ponovljene,
• mešani načrti.
Primer:
2 (smer gibanja tarče - ponovljene meritve)
x 2 (hitrost gibanja tarče - ponovljene meritve)
x 2 (položaj namiga - ponovljene meritve)
= 8 eksperimentalnih pogojev, vse osebe sodelujejo v vseh
pogojih
Deskriptivna analiza
Deskriptivna analiza
TABELA z:
• aritmetičnimi sredinami
• standardnimi deviacijami
• za vsak pogoj
• robne statistike –
za ravni posameznega
faktorja (združeno preko
vseh variacij drugih
faktorjev)
A1
A2
Tot
B1
B2
M 11
SD 11
M 12
SD 12
M 21
SD 21
M 22
SD 22
M B1
SD B1
M B2
SD B2
Tot
M A1
SD A1
M A2
SD A2
M tot
SD tot
GRAFIČNI PRIKAZ
Pokaže glavni učinek in
interakcijo (ordinalno,
disordinalno).
interakcija
učinek NV1 je na različnih
ravneh NV2 različen
(Interakcija ≠ korelacija med NV1
in NV2. NV naj bi bile med seboj
nekorelirane, sicer se njihovi
učinki prekrivajo.)
OV
100
80
60
40
20
0
NV2-d
NV2-e
NV2-f
A B C D
NV1
7

Kaj je interakcija
Kaj je interakcija
14
14
13
13
zmanjšanje bolečine
12
11
10
9
8
7
mlajši
starejši
zmanjšanje bolečine
12
11
10
9
8
7
mlajši
starejši
6
A B C placebo
zdravilo
6
A B C placebo
zdravilo
Kaj je interakcija
Kaj je interakcija
14
14
13
13
zmanjšanje bolečine
12
11
10
9
8
7
mlajši
starejši
zmanjšanje bolečine
12
11
10
9
8
7
mlajši
starejši
6
A B C placebo
zdravilo
6
A B C placebo
zdravilo
Kaj je interakcija
Kaj je interakcija
14
14
13
13
zmanjšanje bolečine
12
11
10
9
8
mlajši
starejši
zmanjšanje bolečine
12
11
10
9
8
7
7
mlajši
starejši
6
A B C placebo
zdravilo
6
A B C placebo
zdravilo
8

Zaključevanje
• Kako pomembni so učinki NV
• Odklon posameznega rezultata
povzročajo:
glavni učinki vseh faktorjev,
interakcija med faktorji,
napake merjenja (pri neponovljenih meritvah
tudi razlike med posamezniki)
Zaključevanje
• Primer razstavljanja variance pri
dvofaktorskem načrtu z neponovljenimi
merjenji:
SS total = SS A + SS B + SS AB + SS napaka
• Na podlagi SS izračunamo MS, te delimo z df
in tako pridemo do F razmerja, ki kaže
pomembnost preučevanega vpliva.
skupno vsem analizam variance
• Razlike med tipi analiz so v vrsti napake.
Dvosmerna ANOVA
za neponovljene
meritve
Oznake v enačbah
i – variacija spremenljivke A
j – variacija spremenljivke B
k – podatek v skupini
n – število podatkov v skupini
a – število variacij spremenljivke A
b – število variacij spremenljivke B
Razstavljanje odklona vsakega podatka od skupnega povprečja vseh podatkov
Y
Y
ijk
ij.
Y
Y
...
...
( Y
ijk
( Y
i..
Y
ij.
) ( Y
ij.
Y ...)
( Y
. j.
Y
...
)
Y ...)
( Y
ij.
Y
i..
Y
. j.
Y
...
)
zdravilo A1
zdravilo A2
zdravilo A3
zmanjšanje bolečine
10
8
6
4
2
0
B1
B2
bolezen
B1
2
5
6
2
2
5
7
8
10
A1 A2 A3
bolezen
B2
2
4
5
3
5
6
2
3
8
bolezen
B1
bolezen
B2
skupaj
zdravilo A1 M 4,3 3,7 4,0
SD 1,7 1,2 1,5
zdravilo A2 M 3,0 4,7 3,8
SD 1,4 1,2 1,6
zdravilo A3 M 8,3 4,3 6,3
SD 1,2 2,6 2,9
skupaj M 5,2 4,2 4,7
SD 2,7 1,9 2,4
Vsote kvadratov odklonov
SS
SS
SS
SS
SS
SS
total
total
A
B
AB
SS
nb
na
n
napaka
i
i
j
A
SS
i j k
( Y
( Y
j
i..
. j.
( Y
i j k
B
( Y
ij.
SS
ijk
Y )
2
...
Y )
2
...
Y
( Y
ijk
i..
AB
Y )
Y
Y
SS
2
...
. j.
)
2
ij.
napaka
Y )
2
...
Stopnje prostosti
df
df
df
df
df
total
A
B
AB
abn 1
a 1
b 1
( a 1)(
b 1)
napaka
ab(
n 1)
zdravilo
9

Srednji kvadrati odklonov
MS
MS
MS
MS
A
B
AB
SS
df
napaka
A
A
SS
df
B
B
SS
df
AB
AB
SS
df
napaka
napaka
F
F
F
F razmerja
A
B
AB
MS
MS
MS
MS
A
napaka
B
napaka
MS
MS
AB
napaka
Povzetek analize variance
Izvor variabilnosti SS df MS F p
zdravilo 23,44 2 11,72 2,85 ,10
bolezen 4,50 1 4,50 1,09 ,32
zdravilo bolezen 24,33 2 12,17 2,96 ,09
napaka 49,33 12 4,11
skupaj 101,61 17
Interpretacija rezultatov
• Najprej interpretiramo interakcijo.
Če je učinek A pri različnih ravneh B ravno obraten,
se lahko (navidezno) izniči. Glavni učinek A ni
pomemben, je pa pomembna interakcija.
• Analiza rezidualov
Razlaga ekstremnih primerov s tretjimi
spremenljivkami
• Diskutabilno: Katero raven napake izbrati za
odločanje o statistični pomembnosti učinkov
Toothaker (po Garson, 2009) pravi, da bi morala
napaka ,05 veljati za celoten eksperiment
(experimentwise error rate). V dvosmerni ANOVI
bi torej morali kot mejo postaviti = ,05 / 3.
Trismerna ANOVA za
neponovljene meritve
Oznake v enačbah
i – variacija spremenljivke A;
j – variacija spremenljivke B;
k – variacija spremenljivke C;
m – podatek v skupini
n – število podatkov v skupini
a – število variacij spremenljivke A
b – število variacij spremenljivke B
c – število variacij spremenljivke C
Razstavljanje odklona vsakega podatka od skupnega
povprečja vseh podatkov
Y
ijkm
Y ijk.
Y .... ( Y i...
Y ....)
( Y .
( Y i
Y .... ( Y
. k.
ijkm
Y ijk.
) ( Y
ijk.
Y i...
Y .. k.
Y ....)
( Y ijk.
j..
Y ....)
Y ....)
( Y
.. k.
Y i...
Y .
Y ....)
( Y
j..
ij..
Y .. k.
Y ij..
Y . jk.
Y i...
Y . j..
Y ....)
( Y . jk.
Y
i.
k.
Y ....)
Y .
j..
Y .. k.
Y ....)
Vsote kvadratov odklonov
SStotal
SS A SS B SSC
SS AB SS BC SS AC SS ABC SS napaka
SS AB nc
i
2
SStotal
( Yijkm
Y ....)
i j k m
SS A nbc
i
SS B nac
j
SS AC nb
i
SSC
nab
k
SS BC na
j
SS ABC n
i j k
2
( Y i...
Y ....)
2
( Y . j..
Y ....)
2
( Y .. k.
Y ....)
j
k
k
2
( Y ij..
Y i...
Y . j..
Y ....)
2
( Y . jk.
Y . j..
Y .. k.
Y ....)
2
( Y i.
k.
Y i...
Y .. k.
Y ....)
2
SS napaka
( Yijkm
Y ijk.
)
i j k m
2
( Y ijk.
Y i...
Y . j..
Y .. k.
Y ij..
Y . jk.
Y i.
k.
Y ....)
Stopnje prostosti
df total abcn 1
df A a 1
df B b 1
df C c 1
df AB ( a 1)(
b 1)
df BC ( b 1)(
c 1)
df AC ( a 1)(
c 1)
df ABC ( a 1)(
b 1)(
c 1)
df napaka abc(
n 1)
10

Srednji kvadrati odklonov
SS A
MS A
df A
SS B
MS B
df B
SSC
MSC
df C
SS AB
MS AB
df AB
SS BC
MS BC
df BC
SS AC
MS AC
df AC
SS ABC
MS ABC
df ABC
SS napaka
MSnapaka
df napaka
F razmerja
MS
X
FX
MS
napaka
X...
A,
B,
C,
AB,
AC,
BC,
ABC
Primer
Tabela 1
Ocene zmanjšanja bolečine po prejemu določenega zdravila
pri različno starih bolnikih z različnimi boleznimi
bolezen B1 bolezen B2
starost starost starost starost
C1 C2 C1 C2
8 10
4 8
6 12
2 11
zdravilo A1
10 14
3 11
6 15
1 13
5 14
4 10
zdravilo A2
7 10
4 7
2 9
2 14
3 8
6 10
zdravilo A3
4 13
4 12
Tabela 2
Povprečna ocena in razpršenost ocen zmanjšanja bolečine
v posamezni skupini bolnikov
bolezen B1 bolezen B2
starost starost starost starost
C1 C2 C1 C2 skupaj
zdravilo A1 M 8,0 12,0 3,0 10,0 8,3
SD 2,0 2,0 1,0 1,7 3,6
zdravilo A2 M 6,0 13,0 3,0 10,0 8,0
SD 1,0 2,6 1,7 3,0 4,2
zdravilo A3 M 3,0 10,0 4,0 12,0 7,3
SD 1,0 2,6 2,0 2,0 4,2
skupaj M 5,7 11,7 3,3 10,7 7,8
SD 2,4 2,4 1,4 2,1 4,0
14
zmanjšanje bolecine
10,5
10,0
9,5
9,0
8,5
8,0
7,5
7,0
A1
A2
A3
zmanjšanje bolecine
12
10
8
6
4
2
A1
A2
A3
A1
A2
A3
6,5
6,0
B1
v rsta bolezni
Slika 1. Dvosmerna interakcija med vrsto zdravila in vrsto bolezni. Vpliv spremenljivke C
»zanemarimo«.
B2
0
B1
starost C1
B2
B1
starost C2
Slika 2. Učinkovanje zdravila na zmanjšanje bolečine pri različnih skupinah bolnikov. Sliki
prikazujeta trosmerno interakcijo med vrsto zdravila (spremenljivko A), vrsto bolezni
(spremenljivko B) in starostjo (spremenljivka C).
B2
Na sliki 2 opazimo dokajšnjo podobnost vzorcev, torej trismerna interakcija najverjetneje
ni statistično pomembna. Ugotovitvi potrjujejo rezultati analize variance (glej tabelo 4).
Tabela 4
Povzetek analize variance ocen zmanjšanja bolečine
Izvor variabilnosti SS df MS F p
zdravilo 6,5 2 3,25 0,81 ,46
bolezen 25,0 1 25,0 6,25 ,02
starost 400,0 1 400,0 100,00 ,00
zdravilo bolezen 45,5 2 22,8 5,69 ,01
bolezen starost 4,0 1 3,3 0,81 ,46
zdravilo starost 6,5 2 4,0 1,00 ,33
zdravilo bolezen starost 3,5 2 1,8 0,44 ,65
napaka 96,0 24 4,0
skupaj 587,0 35
Faktorski načrti za
ponovljene meritve
11

Faktorski eksperimentalni načrti:
ponovljene meritve
• Pogosti v eksperimentalni psihologiji
• Vse osebe sodelujejo v vseh eksperimentalnih
pogojih manj oseb
• Večja moč varianca napake je manjša
• Meritve so korelirane upoštevati pri določanju
napake
• Pomanjkljivost: problem vpliva zaporedja
eksperimentalnih pogojev in prenosov učinkov;
Rešitev: uravnotežanje učinkov z randomizacijo
zaporedja, zadosten premor med pogoji …
Faktorski eksperimentalni načrti:
ponovljene meritve
• Razstavljanje variance
razlike med osebami
razlike znotraj oseb, ki so posledica
učinkov NV in napak merjenja
• V vsakem polju tabele se nahaja le en
rezultat, zato ne moremo izračunati
variabilnosti znotraj polj. Kaj dati v
imenovalec F-razmerja
• Kot napako vzamemo interakcijo značilnosti
oseb s preučevanim vplivom.
A1 A2 A3 A4 M(S)
9
S1 2 4 4 3 3,3
8
S2 2 4 5 4 3,8
7
S1
Enosmerna ANOVA za
ponovljene meritve
S3 2 4 4 3 3,3
S4 2 4 5 4 3,8
S5 6 5 8 6 6,3
S6 3 5 6 4 4,5
S7 1 6 7 7 5,3
S8 5 7 8 8 7,0
M(A) 2,9 4,9 5,9 4,9 4,6
6
5
Y
4
3
2
1
0
A1 A2 A3 A4
Eksperimentalni pogoj
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
H 0 : μ 1 = μ 2 = μ 3 = …
H 1 : Vsaj ena sredina odstopa od drugih.
varianca razlike med pogoji (brez ind. razlik)
F =
varianca razlike , kot bi jo jih pričakovali po slučaju (z izključenimi ind. razlikami)
učinek NV + slučajne razlike
F =
slučajne razlike
A1 A2 A3 A4 M(S)
S1 1 3 4 3 2,8
S2 2 4 5 4 3,8
S3 1 3 4 3 2,8
S4 2 4 5 4 3,8
S5 5 7 8 7 6,8
S6 3 5 6 5 4,8
S7 4 6 7 6 5,8
S8 5 7 8 7 6,8
M(A) 2,9 4,9 5,9 4,9 4,6
9
8
7
6
5
Y
4
3
2
1
0
A1 A2 A3 A4
Eksperimentalni pogoj
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
A1 A2 A3 A4 M(S)
2 4 4 3 3,3
S1
S2 2 4 5 4 3,8
S3 2 4 4 3 3,3
S4 2 4 5 4 3,8
S5 6 5 8 6 6,3
S6 3 5 6 4 4,5
S7 1 6 7 7 5,3
S8 5 7 8 8 7,0
M(A) 2,9 4,9 5,9 4,9 4,6
9
8
7
6
5
Y
4
3
2
1
0
A1 A2 A3 A4
Eksperimentalni pogoj
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
Primer brez slučajnih razlik:
Primer s slučajnimi razlikami:
Razlike med pogoji so pri različnih osebah enake ni interakcije med
osebami in pogoji
Razlike med pogoji so pri različnih osebah različne interakcija med
osebami in pogoji
12

A1 A2 A3 A4 M(S)
S1 2 4 4 3 3,3
S2 2 4 5 4 3,8
S3 2 4 4 3 3,3
S4 2 4 5 4 3,8
S5 6 5 8 6 6,3
S6 3 5 6 4 4,5
S7 1 6 7 7 5,3
S8 5 7 8 8 7,0
M(A) 2,9 4,9 5,9 4,9 4,6
Odklon posameznega rezultata:
X i - M tot = (M s - M tot ) + (X i - M s )
Y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
A1 A2 A3 A4
Eksperimentalni pogoj
SS total = SS med osebami + SS znotraj oseb = SS med osebami + SS pogoji + SS napaka
Učinki NV
števec
F-razmerja
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
Napake merjenja
imenovalec
F-razmerja
S x A
Aditivni model
Razstavljanje odklona posameznega rezultata:
X i - M tot = (M s - M tot ) + (X i - M s )
Strukturni model: Y μ η α ε
Razstavljanje SS odklonov rezultatov:
SS tot = SS med osebami + SS znotraj oseb =
= SS med osebami + SS pogoji + SS napaka
Predpostavke:
Neodvisnost porazdelitev j , h i in e ij
Normalnost porazdelitev j , h i in e ij
α
j
2
δA
2
θA
μ j
a
μ j μ
j1
a
a
μ j μ
j1
a 1
μ
2
2
0
ij
Meri variabilnosti učinkov tretmaja
i
j
ij
A1 A2 A3 A4 M(S)
S1 1 3 4 3 2,8
S2 2 4 5 4 3,8
S3 1 3 4 3 2,9
S4 2 4 5 4 3,8
S5 5 7 8 7 6,7
S6 3 5 6 5 4,9
S7 4 6 7 6 5,8
S8 5 7 8 7 6,7
M(A) 3,0 4,9 5,9 4,8 4,6
SS med osebami = 75,5
SS znotraj oseb = 38,0
SS pogoji = 38,0
SS napaka = 0,0
Pričakovani MS:
ZaS: a
2
e
2
e
ZaS
A :
2
e
2
S
ZaA : n
2
A
Napaka
(=napaka merjenja)
Aditivni model
Razstavljanje odklona posameznega rezultata:
X i - M tot = (M s - M tot ) + (X i - M s )
Strukturni model:
Y μ η α ε
Razstavljanje SS odklonov rezultatov:
SS tot = SS med osebami + SS znotraj oseb =
= SS med osebami + SS pogoji + SS napaka
Predpostavke:
Neodvisnost porazdelitev j , h i in e ij
Normalnost porazdelitev j , h i in e ij
α
j
2
δA
2
θA
μ j
a
μ j μ
j1
a
a
μ j μ
j1
a 1
μ
2
2
0
ij
Meri variabilnosti učinkov tretmaja
i
j
ij
A1 A2 A3 A4 M(S)
S1 2 4 4 3 3,3
S2 2 4 5 4 3,8
S3 2 4 4 3 3,3
S4 2 4 5 4 3,8
S5 6 5 8 6 6,3
S6 3 5 6 4 4,5
S7 1 6 7 7 5,3
S8 5 7 8 8 7,0
M(A) 2,9 4,9 5,9 4,9 4,6
SS med osebami = 56,0
SS znotraj oseb = 55,5
SS pogoji = 38,0
SS napaka = 17,5
Pričakovani MS:
ZaS: a
2
e
2
e
ZaS
A :
2
e
2
S
ZaA : n
2
A
Napaka
(=napaka merjenja)
Neaditivni model
Sestava posameznega rezultata (strukturni model):
Y μ η α
ij
i
j
ηα εij
ij
m … M tot
h j ... značilnosti osebe j
i … učinek NV i
(h) ij = m ij – h j – i + m … učinek
tretmaja se od posameznika do
posameznika razlikuje
e ij … napaka
Razstavljanje SS odklonov rezultatov:
SS total = SS med osebami + SS znotraj oseb
SS znotraj oseb = SS pogoji + SS interakcija oseb z učinkom NV + SS napaka merjenja
imenovalec v F razmerju
Ugotavljanje neaditivnosti:
Sistematičen vzorec (npr. krivuljčni odnos)
na grafu rezidualov vs. napovedanih dosežkov
Pričakovani MS:
ZaS: a
2
e
ZaA :
2
e
2
e
2
S
2
SA
ZaS
A :
n
2
SA
2
A
napaka
A1 A2 A3 A4 M(S)
2 4 4 3 3,3
S1
S2 2 4 5 4 3,8
S3 2 4 4 3 3,3
S4 2 4 5 4 3,8
S5 6 5 8 6 6,3
S6 3 5 6 4 4,5
S7 1 6 7 7 5,3
S8 5 7 8 8 7,0
M(A) 2,9 4,9 5,9 4,9 4,6
Vir
variabilno
sti
SS df MS F
S
A
S x A
Skupaj
a
n
i1
2
Y i. Y
.. 56,
0
0
a
2
Y
j Y
..
n
n – 1=7
a – 1 = 3
n a
2
Y
ij Y
i. Y
. j Y .. 17, 5
(n – 1)(a – 1) = 21
i1 j1
n a
2
Y ij Y
.. 111, 5
i1 j1
an – 1 = 31
j1
. 38, 0
MSS
MSSA
SS S
n 1 8,
6
9,
SS A
a 1 12,67 MS A 15, 2
MSSA
SS SA 0,83
a 1n 1
p
< ,001
< ,001
Velikost učinka NV
• Hayesova omega^2 = ocena pojasnjene
variance:
ω
ωˆ
2
A
δ
σˆ
2
A
2
Y
δ
2
A, spodnja meja
2
A
σˆ
2
S
anMS
2
δA
σˆ
SA
2
SA
σˆ
2
e
( a 1)(
MS
A
MSSA)
( a 1)(
MS MS ) nMS
A
SA
S
78
13

Predpostavke
• Normalna porazdelitev parnih razlik med ravnmi OV
• Sferičnost: Vse parne razlike med ravnmi NV
morajo imeti enako varianco.
Če pride do nesferičnosti, naraste verjetnost visokih F
vrednosti, torej raven napake.
Mauchlyjev test sferičnosti
• Problemi: če porazdelitve znotraj pogojev niso normalne, lahko
da test pomembne vrednosti, četudi sferičnost ni kršena; pri
majhnih vzorcih ima premajhno moč, pri velikih vzorcih pa
preveliko
Rešitve, če je sferičnost kršena:
• MANOVA
• Korekcija df
• Testi načrtovanih kontrastov
Predpostavke
• Korekcija stopenj svobode z epsilonom
Porazdelitev MS A / MS SA je F, ki ima naslednje stopnje svobode:
• df A = (a-1)e
• df SA = (a-1)(n-1)e
• Prilagoditev e je funkcija stopnje nesferičnosti; pri sferičnih podatkih
je e enak 1, sicer je manjši od 1 in se z večanjem stopnje
nesferičnosti približuje spodnji meji 1/(a-1).
• Zato večja kot je nesferičnost, večji mora biti F, da je statistično
pomemben.
Greenhouse-Geisserjeva korekcija (oz. ocena e
• Konzervativna, posebej pri majhnem n
• Priporočljiva, kadar je e < 0,75
Huynhova in Feldtova korekcija
• Običajno bolj priporočljiva, ima večjo moč
Lower bound method
• Najbolj konzervativna prilagoditev e
Dvosmerna ANOVA s
ponovljenimi meritvami na
obeh faktorjih
Primer: Poggendorfova iluzija
Eksperimentalni načrt:
2 (razmik med navpičnima črtama; ponovljene
meritve)
x 2 (kot poševnih črt; ponovljene meritve)
Obe spremenljivki fiksni.
OV = napaka v višini črte
(+ črta je nastavljena prenizko,
- črta je nastavljena previsoko)
r100k30 r100k45 r150k30 r150k45
4,4 9,3 8,2 18,3
48 27,13 42,83 76,65
39,57 22,85 44,75 39,9
15,8 13,65 8,65 18,9
16,5 17,7 22,9 29,62
39,3 27,02 47,97 41,2
42,85 22,7 68,45 37,98
21,45 23,78 8,67 12,08
26,3 16,33 37,23 24,98
15 6,65 27,65 13,82
30,7 20,9 45,6 26,1
10,3 4,15 7,1 1,55
16,45 11,65 17,6 12,6
13,78 18,45 16,43 24,36
35,45 22,9 48,58 32,73
31,5 18,98 47,9 25,38
11,5 9,65 17,23 15,53
26,55 11,83 37,83 18,4
47,12 30,9 68,35 42,78
22,5 15,1 34,8 26,6
34,05 17,5 47,57 25,23
21,8 15,3 40,4 26,5
-6,35 0,7 -7,03 8,35
28,05 17,23 38,23 24,4
38,85 21,13 56,1 30,68
53,1 28,3 81,95 49
7,22 14,32 18,42 19,95
16,08 7,6 13,55 11,98
48,35 31,48 65,38 47,55
33,68 18,98 44,25 29,4
39,3 20,5 60,45 28,63
22,95 15,3 33,6 25,52
19,5 16,2 32,7 20,9
9,7 7,1 9,9 9,7
8,95 8,15 15,3 12,56
12,6 8,9 17,5 12
31,95 15,88 43,03 12,75
21,68 8,63 27,63 14,8
16,73 8,33 30,53 16,33
32,18 24,05 43,43 38,98
12,2 8,45 32,03 15,55
31,83 20,6 54,4 31,55
31,75 23,9 38,93 33,15
19,93 15,03 34,8 23,55
Primer: Poggendorfova iluzija
Učinek S S 1 : S 2 : S 3 …
Učinek A A 1 : A 2
Učinek B B 1 : B 2
Interakcija AB A 1B 1 : A 1B 2 : A 1B 1 : A 1B 2
SA S 1A 1 S 1A 2
S 2A 1 S 2A 2
S 3A 1 S 3A 2
…
SB S 1B 1 S 1B 2
S 2B 1 S 2B 2
S 3B 1 S 3B 2
…
SAB S 1A 1 S 1A 2 S 1B 1 S 1B 2
S 2A 1 S 2A 2 S 2B 1 S 2B 2
S 3A 1 S 3A 2 S 3B 1 S 3B 2
…
r100k30 r100k45 r150k30 r150k45
4,4 9,3 8,2 18,3
48 27,13 42,83 76,65
39,57 22,85 44,75 39,9
15,8 13,65 8,65 18,9
16,5 17,7 22,9 29,62
39,3 27,02 47,97 41,2
42,85 22,7 68,45 37,98
21,45 23,78 8,67 12,08
26,3 16,33 37,23 24,98
15 6,65 27,65 13,82
30,7 20,9 45,6 26,1
10,3 4,15 7,1 1,55
16,45 11,65 17,6 12,6
13,78 18,45 16,43 24,36
35,45 22,9 48,58 32,73
31,5 18,98 47,9 25,38
11,5 9,65 17,23 15,53
26,55 11,83 37,83 18,4
47,12 30,9 68,35 42,78
22,5 15,1 34,8 26,6
34,05 17,5 47,57 25,23
21,8 15,3 40,4 26,5
-6,35 0,7 -7,03 8,35
28,05 17,23 38,23 24,4
38,85 21,13 56,1 30,68
53,1 28,3 81,95 49
7,22 14,32 18,42 19,95
16,08 7,6 13,55 11,98
48,35 31,48 65,38 47,55
33,68 18,98 44,25 29,4
39,3 20,5 60,45 28,63
22,95 15,3 33,6 25,52
19,5 16,2 32,7 20,9
9,7 7,1 9,9 9,7
8,95 8,15 15,3 12,56
12,6 8,9 17,5 12
31,95 15,88 43,03 12,75
21,68 8,63 27,63 14,8
16,73 8,33 30,53 16,33
32,18 24,05 43,43 38,98
12,2 8,45 32,03 15,55
31,83 20,6 54,4 31,55
31,75 23,9 38,93 33,15
19,93 15,03 34,8 23,55
Tabela 1
Opisne statistike skupinskih podatkov za poskus s
Poggendorfovo iluzijo
kot 30º kot 45º skupaj
razmik 100 pik
M 25,03 16,48 20,75
SD 13,35 7,35 /
razmik 150 pik
M 34,81 25,19 30,03
SD 19,31 13,52 /
skupaj
M 29,92 20,84 25,38
odklon nastavitev od ustrezne vrednosti (zaslonske
pike)
40
35
30
25
20
15
10
5
0
razmik 100 pik
razmik 150 pik
kot 30° kot 45°
Slika 1. Interakcija med spremenljivko Razmik med navpičnima
črtama in spremenljivko Kót med poševno in navpično črto.
Tabela 2
Povzetek dvosmerne analize variance velikosti iluzije
Izvor variabilnosti SS df MS F p
Med osebami
presečišče 113351,14 1 113351,14 182,55 ,00
S-napaka 26699,99 43 620,93
Znotraj oseb
A-razmik 3764,38 1 3764,38 84,34 ,00
SA-napaka (razmik) 1919,22 43 44,63
B-kot 3629,28 1 3629,28 39,01 ,00
SB-napaka (kot) 4000,43 43 93,03
AB-razmik x kot 12,76 1 12,76 0,44 ,51
SAB-napaka (razmik x kot) 1252,35 43 29,12
Opomba: ANOVA je bila izvedena na skupinskih podatkih. Obe neodvisni spremenljivki smo merili ponovljeno.
14

Trije faktorji: A (variacija A1 in A2), B (variacija B1 in B2), C (variacija C1 in C2)
Načrt: 2 (znotraj oseb) 2 (znotraj oseb) 2 (znotraj oseb)
Podatki: X scba
Trismerna ANOVA s
ponovljenimi meritvami na
vseh faktorjih
C1
C2
B1 B2 B1 B2
osebe A1 A2 A1 A2 A1 A2 A1 A2 Ms…
S1 S2 S3 X1111 X1121 X1112 X1122 X1113 X1123 X1211 X1221 X1212 X1222 X1213 X1223 X2111 X2121 X2112 X2122 X2113 X2123 X2211 X2221
X2212 X2222
X2213 X2223
S4 …
… … … … … … … …
M.cba
M….
C1
C2
B1 B2 B1 B2
osebe A1 A2 A1 A2 A1 A2 A1 A2 Ms…
S1 5,3 7,8 10,5 13,4 10,6 15,6 21 26,8 13,9
S2 4,2 6,8 8,5 12,5 8,4 13,6 17 25 12,0
S3 3,7 6,5 7,6 11,4 7,4 13 15,2 22,8 11,0
S4 4,7 6,9 8,7 11,7 9,4 13,8 17,4 23,4 12,0
S5 3,3 6,2 6,7 10,4 6,6 12,4 13,4 20,8 10,0
M.cba 4,2 6,8 8,4 11,9 8,5 13,7 16,8 23,8 11,8
Razstavljanje vsot kvadratov odklonov
SS tot = SS med osebami + SS znotraj oseb
SS znotraj oseb = SS pogoji + SS napaka
SS pogoji = SS A + SS B + SS C + SS AB +
+ SS AC + SS BC + SS ABC
SS napaka = SS napakaA + SS napakaB + SS napakaC +
+ SS napakaAB + SS napakaAC + SS napakaBC +
+ SS napakaABC
SS napaka = SS S×A + SS S×B + SS S×C +
+SS S×A×B + SS S×A×C + SS S×B×C + SS S×A×B×C
Stopnje prostosti
df total = nabc-1
df povprečje = 1
df A = a-1
df B = b-1
df C = c-1
df AB = (a-1)(b-1)
df AC = (a-1)(c-1)
df BC = (b-1)(c-1)
df ABC = (a-1)(b-1)(c-1)
df S = n-1
df SA = (n-1)(a-1)
df SB = (n-1)(b-1)
df SC = (n-1)(c-1)
df SAB = (n-1)(a-1)(b-1)
df SAC = (n-1)(a-1)(c-1)
df SBC = (n-1)(b-1)(c-1)
df SABC = (n-1)(a-1)(b-1)(c-1)
Tabela 3
Povzetek analize variance za ponovljena merjenja
Izvor variabilnosti SS df MS F
Total 1465,296 39
S 67,446 4 16,862
Znotraj subjektov
A 207,936 1 207,936 361,0***
SA 2,304 4 0,576
B 476,100 1 476,100 278,4***
SB 6,840 4 1,710
C 614,656 1 614,656 328,0***
SC 7,494 4 1,873
AB 4,356 1 4,356 29,3**
SAB 0,594 4 0,148
AC 23,104 1 23,104 361,0***
SAC 0,256 4 0,064
BC 52,900 1 52,900 278,4***
SBC 0,760 4 0,190
ABC 0,484 1 0,484 29,3**
SABC 0,066 4 0,017
**p < ,01. ***p < ,001.
Mešani načrti
Npr.: Trismerna ANOVA z
neponovljenimi meritvami na
enem faktorju in ponovljenimi
meritvami na dveh faktorjih
15

B1
B2
C1 C2 C1 C2
A1 1 2 3 4
A2 5 6 7 8
A A1 : A2 (1 + 2 + 3 + 4) : (5 + 6 + 7 + 8)
B B1 : B2 (1 + 2 + 5 + 6) : (3 + 4 + 7 + 8)
C C1 : C2 (1 + 5 + 3 + 7) : (2 + 6 + 4 + 8)
AB 2 2 = 4 primerjave A1B1 : A1B2 : A2B1 : A2B2
(1 + 2) : (3 + 4) : (5 + 6) : (7 + 8)
AC 2 2 = 4 primerjave A1C1 : A1C2 : A2C1 : A2C2
(1 + 3) : (2 + 4) : (5 + 7) : (6 + 8)
BC 2 2 = 4 primerjave A1C1 : A1C2 : A2C1 : A2C2
(1 + 5) : (2 + 6) : (3 + 7) : (4 + 8)
Subjekti so gnezdeni znotraj variacij faktorja A (skupin): S/A
SSS = SSA + SSS/A
Odkloni rezultatov vseh oseb so sestavljeni iz razlik med
dvema skupinama in razlik znotraj skupin.
SSSB … interakcija subjektov s faktorjem B
ABC 2 2 2 = 8 primerjav
A1B1C1 : A1B1C2 : A1B2C1 : A1B2C2 : A2B1C1 : A2B1C2 : A2B2C1 : A2B2C2
1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6 : 7 : 8
SSSB = SSAB + SSSB/A
SSS/A B
Odklone, ki jih povzroča interakcija vseh oseb z B (skupne razlike v odnosih
SB), lahko razstavimo na:
• odklone, ki jih povzroča interakcija faktorja A s faktorjem B (razlike v odnosih
SB med skupinama),
• odklone, ki jih povzroča interakcija subjektov znotraj variacij faktorja A
(skupin) s faktorjem B (razlike v odnosih SB znotraj skupin).
Enako razstavljamo SS SC (odklone, ki so nastali zaradi interakcije vseh oseb s
faktorjem C) in SS SBC (odklone, ki so nastali zaradi interakcije vseh oseb z
interakcijo B C) .
SSA / dfA = SSA / (a-1) = MSA
SSB / dfB = SSB / (b-1) = MSB
SSC / dfC = SSC / (c-1) = MSC
SSAB / dfAB = SSAB / (a-1)(b-1) = MSAB
SSAC / dfAC = SSAC / (a-1)(c-1) = MSAC
SSBC / dfBC = SSBC / (b-1)(c-1) = MSBC
SSABC / dfABC = SSABC / (a-1)(b-1)(c-1) = MSABC
FA = MSA / MSS/A
FB = MSB / MSSB/A
FC = MSC / MSSC/A
SSS/A / dfS/A = SSS/A / a(n-1) = MSS/A
FBC = MSBC / MSSBC/A
SSSB/A / dfSB/A = SSSB/A / a(n-1)(b-1) = MSSB/A
FAB = MSAB / MSSB/A
SSSC/A / dfSC/A = SSSC/A / a(n-1)(c-1) = MSSC/A
FAC = MSAC / MSSC/A
SSSBC/A / dfSBC/A = SSSBC/A / a(n-1)(b-1)(c-1) = MSSBC/A
FABC = MSABC / MSSBC/A
TRISMERNA ANALIZA VARIANCE ZA MEŠANI NAČRT
(1 faktor z neponovljenimi, 2 faktorja s ponovljenimi meritvami)
Osnovni podatki
b1 b2 b3 skupaj
osebe c1 c2 c3 c1 c2 c3 c1 c2 c3
a1 1 2 3 45 53 60 35 41 50 60 65 75 40 52 57 30 37 47 58 54 70 28 37 46 25 32 41 40 47 50 418
338
519
a2 4
5
6
50
42
56
48
45
60
61
55
77
25
30
40
34
37
39
51
43
57
16
22
31
23
27
29
35
37
46
343
338
435
Delovna tabela ABC
b1 b2 b3
c1 c2 c3 c1 c2 c3 c1 c2 c3
a1 140 159 185 128 143 174 93 116 137
a2 148 153 193 95 110 151 69 79 118
288 312 378 223 253 325 162 195 255
Delovna tabela AB
b1 b2 b3
a1 484 445 346 1275
a2 494 356 266 1116
978 801 612 2391
glavni učinki faktorjev
Delovna tabela AC
in njihove interakcije
c1 c2 c3
a1 361 418 496 1275
a2 312 342 462 1116
673 760 958 2391
Delovna tabela BC
c1 c2 c3
b1 288 312 378 978
b2 223 253 325 801
napake
b3 162 195 255 612
673 760 958 2391
Delovna tabela B osebe v A1
os. b1 b2 b3
1 158 149 111 418
2 126 114 98 338
3 200 182 137 519
484 445 346 1275
Delovna tabela B osebe v A2
os. b1 b2 b3
1 159 110 74 343
2 142 110 86 338
3 193 136 106 435
494 356 266 1116
Delovna tabela C osebe v A1
os. c1 c2 c3
1 113 142 163 418
2 90 110 138 338
3 158 166 195 519
361 418 496 1275
Delovna tabela C osebe v A2
os. c1 c2 c3
4 91 105 147 343
5 94 109 135 338
6 127 128 180 435
312 342 462 1116
16

Enačbe
(1) = G 2 / nabc = 2391 2 / (3233) =105.868,17
(2) = X 2 = 45 2 + 53 2 + 60 2 + ... + 31 2 + 29 2 + 46 2 = 115.793,00
(3) = (Ai 2 ) / nbc = (1275 2 + 1116 2 ) / (333) = 106.336,33
(4) = ( Bj 2 ) / nab = (978 2 + 801 2 + 612 2 ) / (323) = 109.590,50
(5) = ( Ck 2 ) / nab = (673 2 + 760 2 + 958 2 ) / (323) = 108.238,50
(6) = ( ABij 2 ) / nc = (484 2 + 445 2 + ... + 266 2 ) / (33) = 110.391,67
(7) = ( ACik) 2 ) / nb = (361 2 + 418 2 + ... + 462 2 ) / (33) = 108.757,00
(8) = ( BCjk) 2 / na = (288 2 + 312 2 + ... + 255 2 ) / (36) = 111.971,50
(9) = (ABCijk) 2 / n = (140 2 + 159 2 + ... + 118 2 ) / 3 = 112.834,33
(10) = ( Pm 2 ) / bc = (418 2 + 338 2 + ... + 435 2 ) / (33) = 108.827,44
(11) = ( BPjm) 2 / c = (158 2 + 149 2 + ... + 106 2 ) / 3 = 113.117,67
(12) = ( CPkm) 2 / b = (113 2 + 142 2 + ... + 180 2 ) / 3 = 111.353,67
Izvor
Računska enačba
df
variabilnosti
Med osebami (10) – (1) na – 1
A (3) – (1) a – 1
osebe znotraj (10) – (3) a(n – 1)
skupin
Znotraj oseb (2) – (10) na(bc – 1)
B (4) – (1) b – 1
AB (6) – (3) – (4) + (1) (a – 1)(b – 1)
B osebe znotraj (11) – (6) – (10) + (3) a(n – 1)(b – 1))
skupin
C (5) – (1) c – 1
AC (7) – (3) – (5) + (1) (a – 1)(c – 1)
C osebe znotraj (12) – (7) – (10) + (3) a(n – 1)(c – 1)
skupin
BC (8) – (4) – (5) + (1) (b – 1)(c – 1)
ABC (9) – (6) – (7) – (8) + (3) + (4) + (5) – (1) (a – 1)(b – 1)(c – 1)
BC osebe (2) – (9) – (11) – (12) + (6) + (7) + (10) – (3) a(n – 1)(b – 1)(c – 1)
znotraj skupin
Povzetek analize variance podatkov iz primera
Izvor variabilnosti SS df MS F
Med osebami 2959,27 5
A 468,16 1 486,16
osebe znotraj skupin 2491,11 4 622,78
Znotraj oseb 6965,56 48
B 3722,33 2 1861,16 63,39 *
AB 333,00 2 166,50 5,67 *
B osebe znotraj skupin 234,89 8 29,36
C 2370,33 2 1185,16 89,78 *
AC 50,34 2 25,17 1,91
C osebe znotraj skupin 105,56 8 13,20
BC 10,67 4 2,67
ABC 11,32 4 2,83
BC osebe znotraj skupin 127,11 16 7,94
* p < ,05
Načrti “predmeritev in naknadnih
meritev” (pretest-posttest designs)
• Posebna različica mešanih načrtov; izmerimo osnovno
raven pri ES in KS, nato uvedemo NV in ponovno
izmerimo OV v obeh skupinah
• Možne vrste analiz:
Enosmerna ANOVA na ponovnih meritvah
ANOVA za mešani načrt; skupina = neponovljene meritve,
predmeritve in naknadne meritve = ponovljene meritve;
ugotovimo, kakšna sta glavni učinek tretmaja in interakcija oseb
z učinkom zaporedja
Enosmerna ANOVA na razlikah med naknadnimi meritvami in
predmeritvami; če je odnos med obema vrstama meritev
linearen in je skupni regresijski koeficient 1, ima ta metoda večjo
moč od ANCOVE
ANCOVA na naknadnih meritvah, pri čemer predmeritve
uporabimo kot kovariat. Če je skupni regresijski koeficient manjši
od 1, ima ANCOVA večjo moč od ANOVE razlik med obema
meritvama.
Splošno o
večfaktorskih načrtih
Imenovalci v F razmerju pri
različnih vrstah načrtov
• Pri različnih faktorskih načrtih so v imenovalcu
F-razmerja različne vrste napak.
• Pri faktorskih načrtih z neponovljenimi merjenji je napaka
ena sama, in sicer variabilnost subjektov znotraj skupin
(varianca vrednosti v posameznih skupinah, obtežena z
velikostjo skupin).
• Pri faktorskih načrtih s ponovljenimi merjenji se v
imenovalcu F-razmerij nahaja napaka, ki nastane zaradi
interakcije oseb z različnimi faktorji ali njihovimi
interakcijami. Vsako F-razmerje ima lastno napako.
• Pri mešanih načrtih je podobno, le da si več
F-razmerij deli isto napako.
Kontrasti v večfaktorskem načrtu
• Testiranje kontrastov v glavnih učinkih pri načrtih z
neponovljenimi meritvami
V imenovalec t statistike vstavimo ustrezno napako in uteži delimo
s številom oseb na posamezni ravni testirane NV (oseb, zajetih v
izračun M j ; v enačbah N M ).
w
jμ
j
w
jμ
j
t
ψˆ
σˆ
ψˆ
MS
S/A
w
n
2
j
j
tA
MS
Ali pa izračunamo F = SS / MS ustrezne napake
SS
ψˆ
w μ
j
w
n
2
j
j
2
j
SSψˆ
SSψˆ
F npr.
MSe
MS S /
e
ψˆ
vsota kvadriranih utezi
2
ˆ
SSψˆ
vsota kvadriranih utezi / N
AB
M
npr.
npr.
/
NM
MS
w μ
j
2
w
j
bn
2
j
S/AB
2
w
j
j
bn
17

Kontrasti v večfaktorskem načrtu
• Testi multiplih primerjav ne upoštevajo drugih faktorjev ali
kovariatov v modelu. Vsak post hoc test upošteva le glavni
učinek preučevane NV, ne pa tudi drugih glavnih učinkov
in interakcije upoštevati pri interpretaciji kontrastov.
• Rezultati multiplih primerjav so lahko neskladni z rezultati
ANOVE oz. so odvisni od drugih faktorjev v modelu.
Mere velikosti učinka
• Parcialna η 2
Parcialna η 2 za celoten model nam pove, kolikšen del totalne variance OV
pojasnjuje varianca med skupinami NV. Kaže, kolikšen je učinek ob kontroli
drugih spremenljivk v modelu (= delež variance, ki je druge spremenljivke ne
pojasnjujejo).
Parcialna η 2 = SS učinek / (SS učinek + SS napaka ) parcialne η 2 za različne
učinke v večfaktorskem načrtu se ne seštejejo v 1,0
• Haysova w 2
je ocena deleža pojasnjene variance v populaciji (medtem ko je h 2 delež
pojasnjene variance v vzorcu; h 2 = SS učinek / SS tot )
ni odvisna od števila učinkov (prediktorjev)
w 2 = [SS med – (k-1) MS zn ] / [SS tot + MS zn ]
Velik učinek w 2 > 0,15; srednji 0,06 ≤ w 2 ≤ 0,15; majhen: w 2 < 0,06
w 2 ne uporabljamo pri načrtih z naključnimi učinki, pri različno velikih
skupinah in pri večsmernih ANOVAH s ponovljenimi merjenji. Pri enosmerni
ANOVI s ponovljenimi merjenji je pri obstoju interakcije SxA podcenjena.
• Herzbergov R 2
alternativna nepristranska ocena deleža pojasnjene variance
Mere velikosti učinka
• Koeficient intraklasne korelacije r
Meri relativno homogenost znotraj skupin glede na totalno
varianco
Intraklasna r = (MS med – MS zn ) / (MS med + (n-1)MS zn ) , pri čemer
je n povprečno število oseb v skupini
Lahko sega od -1/(n-1) (kadar je variabilnost znotraj skupin
velika in ni razlik med skupinami) do 1,0 (kadar ni variabilnosti
znotraj skupin in se povprečja skupin razlikujejo)
• Cohenov d
Višji kot je, večji je učinek.
d = 0,2 majhen učinek, d = 0,5 srednje velik učinek, d = 0,8 velik
učinek
• Glassov D, Hedgesov g
Modeli z naključnimi učinki
• Vrednosti NV ne določimo načrtno, ampak jih vzorčimo. Vrednosti so
nadomestljive, z izbranih vrednosti posplošujemo na ostale.
• Pri enofaktorskih načrtih je izračun F enak kot pri “fiksnih” učinkih, pri
večfaktorskih pa ne.
• Gnezdeni načrti (kot npr. latinski kvadrat, latinsko-grški kvadrat,
večstopenjsko vzorčenje; znotraj vrednosti faktorja A, tj. glavnega učinka,
vzorčimo vrednosti faktorja B, npr. znotraj šol učence; vrednost A i se
pojavlja le pri eni od ravni B; ne moremo dobiti M A1 preko vseh B oz.
“povprečja ene ravni učenca na več šolah”.) Če je gnezdeni učinek
statistično pomemben, to pomeni, da OV variira glede na gnezdeni faktor
znotraj posamezne ravni glavnega učinka (tj., ob kontroli glavnega učinka).
• Glavni učinek za fiksni faktor je povprečni učinek preko enot naključnega
faktorja. Interakcija fiksnega in naključnega faktorja je varianca učinka
fiksnega faktorja preko vseh enot naključnega faktorja. Glavni učinek
naključnega faktorja nas ne zanima (saj so bile vrednosti tako ali tako
naključno izbrane).
• Testiranje naključnega učinka kot fiksnega poveča napako.
LMM
18