Predavanje 9 - Odjel za matematiku

20 Bojenje bridova grafa
Dokaz:Neka to nije slučaj i neka je e = v 0v 1 neobojan brid.
Označimo boje s 0, 1,2, 3, . . . , ∆(G) i pretpostavimo da kod v 0 nemamo boju 0,
ali imamo 1, a kod v 1 nemamo boju 1, ali imamo boju 0.
Konstruirati ćemo niz bridova v 0v i, i = 1, 2,3, . . . i niz boja 1, 2,3, . . . tako da
boje i nema kod vrha v i, ali tako da je v 0v i+1 obojan bojom i + 1.
Neka smo došli do vrha v i. Jasno je da postoji najviše jedan brid v 0v boje i.
Ako postoji točno jedan takav brid i ako je v ≠ v 1, v 2, . . . , v i, tada stavimo
v i+1 := v i neka boje i + 1 nema kod v i+1. Svaki takav niz završava u najviše
∆(G) koraka.
Uzmimo da je konstruiran niz v 0, v 1, . . . , v j i boje 1, 2, . . . , j. Objasnimo da je
takav niz konačan, tj. da završava.
(1) Neka ne postoji brid v 0v j obojen bojom j. Tada pravilno bojamo bridove
od G na način da svaki brid v 0v i, i < j obojamo bojom i. (To možemo jer smo
pretpostavili da kod v i nemamo boju i). Sada su svi bridovi obojani osim v 0v j.
No, boje j nema kod v j pa se v 0v j može obojati bojom j. Sada smo bridove
incidentne s v 0 obojali s najviše ∆(G) različitih boja, pa zajedno sa bojom 0
koja je zastupljena kod vrha v 1 dobivamo χ ′ (G) ≤ ∆(G) + 1.
12 of 28