Predavanje 9 - Odjel za matematiku

Grafovi 

Dr.sc.Snježana Majstorović 

Odjel za matematiku, Sveučilište u Osijeku, Hrvatska 

Zimski semestar ak.god. 2012/2013. 

1 of 28

19 Bojenje vrhova grafa 

Definicija 19.1 

K-bojenje vrhova grafa G je pridruživanje koje svakom vrhu iz G pridružuje 

jednu boju iz zadanog k-članog skupa boja tako da je svaki par susjednih 

vrhova obojan različitim bojama. 

(Za takvo bojanje kažemo da je pravilno k-bojenje.) 


Kažemo da je graf k-obojiv ako dopušta pravilno k-bojenje vrhova. 


Kromatski broj grafa G je χ(G) = min{k : G je k-obojiv}. Ako je χ(G) = k, 

kažemo da je G k-kromatski. 

2 of 28


2-kromatski graf 

3-kromatski graf 

✄ 

✂NAPOMENE: 

✁ 

• Pseudograf ne možemo pravilno obojati. 

• Multigraf je k-obojiv ako i samo ako je pripadni jednostavan graf k-obojiv. 

Stoga je dovoljno ograničiti se na jednostavne grafove. 

• Graf G je 1-obojiv ako i samo ako je G točkast graf, a 2-obojiv ako i samo 

ako je bipartitan. 

• Graf s n-vrhova je n-obojiv. 

• k-partitan graf je k-obojiv. 

⋄ Kromatski broj grafa G se može još definirati kao minimalan broj nezavisnih 

podskupova na koje možemo particionirati skup vrhova V (G). Svaki takav 

podskup odgovara jednoj boji. 

3 of 28


Posebno su zanimljivi k-obojivi grafovi takvi da im se svaki pravi podgraf 

može obojati sa manje od k boja. 


Kažemo da je graf G kritičan ako je χ(H) < χ(G) za svaki pravi podgraf H od 

G. 

K-kritičan graf je graf koji je k-kromatski i kritični. 

✄ 

✂NAPOMENE: 

✁ 

• Svaki k-kromatski graf sadrži k-kritičan podgraf. 

• Svaki je kritičan graf povezan jer bi inače komponenta povezanosti imala 

isti kromatski broj kao i čitav graf. 

.. 

GROTZSCHOV GRAF: 4-kritičan 

4 of 28


Slijede neka osnovna svojstva kritičnih grafova: 

Teorem 19.5 

Ako je G k-kritičan, tada je δ(G) ≥ k − 1. 

Dokaz: Pretpostavimo da je G k-kritičan i δ(G) < k − 1. Uzmimo vrh 

v ∈ V (G) tako da d(v) = δ(G). Slijedi da je G − v (k − 1)-obojiv. Uzmimo da 

je (V 1, V 2, . . . , V k−1 ) (k − 1)-bojenje od G − v. Tada je v susjed sa δ(G) < k − 1 

vrhova u G pa prema Dirichletovom principu vrh v u G nije susjed sa 

vrhovima iz nekog V j. 

No, tada je (V 1, V 2, . . . , V j ∪ {v}, . . . , V k−1 ) jedno (k − 1)-bojanje u G što je 

kontradikcija s pretpostavkom da je G k-kritičan pa time i k-kromatski. Slijedi 

δ(G) ≥ k − 1. 

5 of 28


Korolar 19.6 

Neka je G k-kromatski graf. Tada je barem k vrhova od G stupnja najmanje 

k − 1. 

Dokaz: Neka je G k-kromatski, a H neki njegov k-kritični podgraf. Prema 

Teoremu 19.5, svaki je vrh u H stupnja najmanje k − 1 u H, pa onda i u G. 

Obzirom da je H k-kromatski, |V (H)| ≥ k pa slijedi tvrdnja. 

Korolar 19.7 

Za svaki graf G vrijedi χ(G) ≤ ∆(G) + 1. 

Dokaz: Izravna posljedica Korolara 19.6. 

6 of 28



Neka je S vršni rez povezanog grafa G i neka su V 1, V 2, . . . , V n skupovi vrhova 

komponenti od G − S. Podgrafovi G i = G[V i ∪ S], i = 1, . . . , n, zovu se 

S-komponente od G. 

Kažemo da se bojenja grafova G 1, G 2, . . . , G n slažu na S ako je svakom vrhu 

v ∈ S pridružena ista boja u svakom od bojenja. 

u 

u 

u 

v 

G 

G 1 

v 

v 

G 2 

7 of 28


Propozicija 19.9 

U kritičnom grafu nikoji vršni rez ne može biti klika. 

Dokaz: Neka je G k-kritičan graf i neka G ima neki vršni rez koji je klika. 

Neka su S-komponente od G podgrafovi G 1, . . . , G n. Obzirom na k-kritičnost 

grafa G, slijedi da je G i (k − 1)-obojiv. 

No, jer je S klika, vrhovi od S moraju biti različito obojeni u svakom 

(k − 1)-bojenju u G i. Zaključujemo da postoje (k − 1)-bojenja od G 1, . . . , G n 

koja se slažu na S. Takva bojenja zajedno daju jedno (k − 1)-bojenje od G pa 

smo dobili kontradikciju s pretpostavkom da je k-kritičan (a time i 

k-kromatski). 

⋄ Izravna posljedica ove propozicije je da ukoliko k-kritičan graf G ima 2-vršni 

rez {u, v}, tada vrhovi u i v nisu susjedni. 

8 of 28

20 Bojenje bridova grafa 

Kao i za vrhove, analogno definiramo bojenje bridova grafa G: 


K-bridno bojenje grafa G je pridruživanje koje svakom bridu iz G pridružuje 

jednu boju iz zadanog k-članog skupa boja tako da je svaki par susjednih 

bridova obojan različitim bojama. 

(Za takvo bojanje kažemo da je pravilno k-bridno bojenje.) 


Kažemo da je graf k-bridno obojiv ako dopušta pravilno k-bridno bojenje 

vrhova. 


Bridno kromatski broj grafa G je χ ′ (G) = min{k : G je k-obojiv}. Ako je 

χ ′ (G) = k, kažemo da je G bridno k-kromatski. 

9 of 28


✄ 

✂NAPOMENE: 

✁ 

• Pseudograf ne možemo pravilno bridno obojati. 

• Svakako vrijedi ∆(G) ≤ χ ′ (G) ≤ |E(G)|. 

⋄ Bridno kromatski broj grafa G se može još definirati kao minimalan broj 

nezavisnih podskupova E i, i = 1, . . . , k, na koje možemo particionirati skup 

bridova E(G). Svaki takav podskup odgovara jednoj boji. 

Primijetite da je svaki skup E i pravilnog k-bridnog bojenja jedno sparivanje. 

10 of 28


Slijedi važan teorem o bojanju bridova nekog grafa: 

Teorem 20.4 (Vizing, 1964.) (Opća forma) 

Ako je G multigraf, tada je ∆(G) ≤ χ ′ (G) ≤ ∆(G) + µ, gdje je µ maksimalan 

broj bridova koji spaja dva vrha u G. 

Mi ćemo dokazati ’slabiju’ formu Vizingovog teorema: 

Teorem 20.5 (Vizing, 1964.) 

Ako je G jednostavan graf, tada χ ′ (G) = ∆(G) ili χ ′ (G) = ∆(G) + 1. 

Dokaz: Znamo da χ ′ (G) ≥ ∆(G) pa treba dokazati χ ′ (G) ≤ ∆(G) + 1. 

Koristimo indukciju po broju bridova m grafa G. 

Za m = 1 tvrdnja vrijedi. Pretpostavimo da smo G ′ := G − e, e = v 0v 1, obojali 

sa najviše ∆(G) + 1 boja. Tada barem jedna boja neće biti zastupljena kod 

vrha v 0 i barem jedna kod v 1. Ako se radi o istoj boji, onda tom bojom 

možemo obojati e. 

11 of 28


Dokaz:Neka to nije slučaj i neka je e = v 0v 1 neobojan brid. 

Označimo boje s 0, 1,2, 3, . . . , ∆(G) i pretpostavimo da kod v 0 nemamo boju 0, 

ali imamo 1, a kod v 1 nemamo boju 1, ali imamo boju 0. 

Konstruirati ćemo niz bridova v 0v i, i = 1, 2,3, . . . i niz boja 1, 2,3, . . . tako da 

boje i nema kod vrha v i, ali tako da je v 0v i+1 obojan bojom i + 1. 

Neka smo došli do vrha v i. Jasno je da postoji najviše jedan brid v 0v boje i. 

Ako postoji točno jedan takav brid i ako je v ≠ v 1, v 2, . . . , v i, tada stavimo 

v i+1 := v i neka boje i + 1 nema kod v i+1. Svaki takav niz završava u najviše 

∆(G) koraka. 

Uzmimo da je konstruiran niz v 0, v 1, . . . , v j i boje 1, 2, . . . , j. Objasnimo da je 

takav niz konačan, tj. da završava. 

(1) Neka ne postoji brid v 0v j obojen bojom j. Tada pravilno bojamo bridove 

od G na način da svaki brid v 0v i, i < j obojamo bojom i. (To možemo jer smo 

pretpostavili da kod v i nemamo boju i). Sada su svi bridovi obojani osim v 0v j. 

No, boje j nema kod v j pa se v 0v j može obojati bojom j. Sada smo bridove 

incidentne s v 0 obojali s najviše ∆(G) različitih boja, pa zajedno sa bojom 0 

koja je zastupljena kod vrha v 1 dobivamo χ ′ (G) ≤ ∆(G) + 1. 

12 of 28


Dokaz: (2) Neka postoji neki k < j tako da je v 0v k obojen bojom j. Slijedi 

pravilno bojanje bridova u G: 

najprije obojimo svaki brid v 0v i, i < k, sa bojom i, a brid v 0v k za sada 

ostavimo neobojanim (to znači da boje j i k nisu zastupljene kod v k ). 

Neka je G(p,q) ⊆ G ′ podgraf induciran bridovima obojenim bojama p, q, 

(p ≠ q). Tvrdimo da je G(0, j) ili put ili ciklus. 

Kod svakog vrha je najviše jedan brid boje 0 i najviše jedan brid boje j. 

Kod svakog od vrhova v 0, v k , v j nema bar jedne od boja 0 ili j pa stoga ne 

mogu sva tri vrha pripadati istoj komponenti povezanosti od G(0, j). 

Tu se javljaju dvije mogućnosti: 

(2a) Vrh v 0 nije u komponenti G vk (0, j) od G(0, j) koja sadrži v k . Pravilno 

bojanje je: Zamijenimo boje 0 i j u G vk (0, j) tako da boje 0 neće biti kod vrha 

v k . No, boje 0 nema ni kod v 0 pa brid v 0v k možemo obojati sa bojom 0. 

(2b) Vrh v 0 nije u komponenti G vj (0, j) od G(0, j) koja sadrži v j. Pravilno 

bojanje je: Prebojimo svaki brid v 0v i bojom i, k ≤ i < j, a v 0, v j ostavimo 

neobojenim. Primijetimo da boje 0 i j uopće nisu korištene pa G(0, j) ostaje 

neizmjenjen. Zamijenimo li boje 0 i j u G vj (0, j), tada boje 0 neće biti kod 

vrha v j. A kako boje 0 nema ni kod v 0, brid v 0v j obojamo bojom 0. 

13 of 28


Evo primjera grafa G za koji vrijedi χ ′ (G) = ∆(G) + 1: 

1 

3 

2 

4 

1 

3 

2 

14 of 28


Vizingov teorem ne daje nikakvu karakterizaciju grafova G za koje vrijedi 

χ ′ (G) = ∆(G) + 1. 

Do sada su pronadene samo neke specijalne klase grafova koje zadovoljavaju to 

svojstvo, ali ovaj problem i dalje ostaje neriješen. 

Slijedi rezultat o bojanju bridova bipartitnog grafa: 

Teorem 20.6 (König, 1916.) 

Ako je G bipartitan, tada χ ′ (G) = ∆(G). 

Dokaz: Indukcijom po broju bridova bipartitnog grafa G (slično kao dokaz 

Vizingovog teorema). 

15 of 28


Za bojanje vrhova grafa ne postoji dovoljno jaka tvrdnja kao što je Vizingov 

teorem za slučaj bojanja bridova, no, uz neke dodatne uvjete možemo dobiti 

granice kromatskog broja: 

Teorem 20.7 (Brooks, 1941.) 

Neka je G jednostavan povezan graf. Tada χ(G) = ∆(G) + 1 ako i samo ako je 

G ili neparan ciklus ili potpun graf. 

16 of 28

21 Ramseyeva teorija 

Sjetimo se poznatog problema iz Ramseyeve teorije: 

Problem 

Zadan je k ∈ N. Koliko brojna skupina ljudi je potrebna da bi se sigurno 

moglo reći da u toj skupini ljudi postoji ili k-torka ljudi koji se svi medusobno 

poznaju ili k-torka ljudi od kojih se nikoja dva čovjeka medusobno ne poznaju 

Naveli smo i neke specijalne slučajeve koje smo dokazivali Dirichletovim 

principom: 

• U svakoj skupini od 6 ljudi postoje ili 3 medusobna poznanika ili 3 

medusobna neznanca. 


medusobna neznanca (ili obrnuto). 


medusobna neznanca. 

Svaki od ovih slučajeva ilustrirali smo crtajući graf u kojem smo ljude 

pridruživali vrhovima, a odnose medu njima bridovima. 

17 of 28


Ilustracija za slučaj od 6 ljudi i dvije moguće relacije medu njima: biti 

poznanik, biti neznanac 

1 

1 1 

2 2 

1 

1 

2 

2 

1 2 

1 

1 

2 1 

2 

Sa N(p, q;2)(= N(p, q)) označavamo najmanji broj ljudi tako da medu njima 

postoji ili p medusobnih znanaca ili q medusobnih neznanaca. 

18 of 28


Jezikom teorije grafova, mi želimo naći najmanji broj vrhova N(p, q; 2) nekog 

potpunog grafa tako da, prilikom bojanja bridova sa dvije različite boje, postoji 

potpun podgraf s p vrhova čiji su svi bridovi obojani istom bojom (dakle, takav 

graf je monokromatski) ili postoji potpun podgraf s q vrhova čiji su svi bridovi 

obojani istom, ali onom drugom, bojom. Takav broj zovemo Ramseyev broj. 

Navedimo najprije opći uvjet za egzistenciju nekog K p u zadanom grafu. U tu 

svrhu definirajmo Turánov graf: 


Turánov graf 

⌊ 

T(n,p) 

⌋ 

je 

⌈ 

potpun 

⌉ 

p-partitni graf sa n vrhova u kojem svaki 

n n 

podskup ima ili vrhova. 

p p 

19 of 28


Slijedi nužan uvjet egzistencije nekog potpunog podgrafa K p u zadanom grafu 

G: 

Teorem 21.2 (Turán, 1941.) 

Ako za graf G s n vrhova vrijedi |E(G)| > |E(T(n,p − 1))|, tada G sadrži 

potpun podgraf K p. 

Ukoliko Turánov teorem primijenimo na K 3, dobivamo Mantelov teorem! 

20 of 28


Iskažimo sada Ramseyev teorem kojeg mnogi zovu draguljem kombinatorike: 

Teorem 21.3 (Ramsey, 1930.) 

Neka su p, q ∈ N, p, q ≥ 2. Postoji najmanji prirodan broj N(p, q) tako da za 

sve n ≥ N(p, q) bilo koje 2-bojenje potpunog grafa K n sadrži 1-monokromatski 

K p ili 2-monokromatski K q (1 i 2 su oznake boja). 

Evo nekih specijalnih slučajeva: 

N(p,2) = p, N(2, q) = q. 

Slijedi općenitija forma Ramseyevog teorema: 

Teorem 21.4 

Neka su q i ∈ N, q i ≥ 2, i ∈ [1, k], k ≥ 2. Postoji najmanji prirodan broj 

R = N(q 1, q 2, . . . , q k ) tako da za sve n ≥ R bilo koje k-bojenje potpunog grafa 

K n sadrži i-monokromatski K qi za neki i. 

21 of 28

22 Kromatski polinom 

Osim ispitivanja k-obojivosti grafova, zanimljiv problem je i prebrojavanje 

nekih bojanja. Mi ćemo u nastavku promatrati problem prebrojavanja 

različitih bojanja vrhova grafa G. 

⋄ Sa P(G, t) ćemo označiti broj različitih t-bojanja grafa G. 

⋄ Vrijediti će: P(G, t) > 0 ⇔ G k-obojiv, tj. ako su (V 1, V 2, . . . , V k ) i 

(V 1, ′ V 2, ′ . . . , V k) ′ dva bojanja od G, tada (V 1, V 2, . . . , V k ) = (V 1, ′ V 2, ′ . . . , V k) ′ ⇔ 

V i = V i ′ , 1 ≤ i ≤ k. 

(Naravno, uvijek mislimo na pravilna bojanja grafa!) 

⋄ Ukoliko je t < χ(G), vrijedi P(G, t) = 0, a za t ≥ χ(G) vrijedi P(G, t) > 0. 

22 of 28


Primjer 22.1 

Odredimo ukupan broj različitih t bojanja točkastog grafa i 

potpunog grafa. 

Rješenje: Ako je graf G točkast, tada svakom vrhu možemo pridružiti bilo koju 

od t boja, neovisno o izboru boje za preostale vrhove. Slijedi P(G, t) = t |V (G)| . 

Ako je G = K n, tada za prvi vrh boju možemo odabrati na t načina, za drugi 

vrh na t − 1 načina jer ne smijemo koristiti boju koju smo izabrali za prvi vrh. 

Za treći vrh biramo boju na t − 2 načina, itd. Za n-ti, tj. posljednji vrh boju 

biramo na t − (n − 1) načina. 

Slijedi 

P(K n, t) = t(t − 1)(t − 2) · · · (t − n + 1) = 

t! 

(t − n)! . 

23 of 28


Postoji rekurzija, vrlo slična rekurziji kojom računamo broj razapinjujućih 

stabala grafa, kojom možemo računati ukupan broj različitih t-bojanja grafa G: 

Teorem 22.2 

Ako je G jednostavan graf, tada za svaki brid e ∈ E(G) vrijedi: 

P(G,t) = P(G − e, t) − P(G · e, t). 

Dokaz: Neka je e = uv, u, v ∈ V (G). Tada svakom t-bojanju od G − e kod 

kojeg su istom bojom obojani vrhovi u i v, pridružimo t bojanje od G · e u 

kojem je zajednički vrh u G · e, dobiven identificiranjem vrhova u i v, obojan 

istom bojom kao u i v. Navedeno pridruživanje je bijekcija. 

Zaključujemo da je P(G · e, t) jednak broju t-bojanja od G − e, kod kojih su 

vrhovi u i v jednako obojani. 

Svako t-bojanje od G − e kod kojeg su u i v različito obojani zapravo je i 

t-bojanje od G i obrnuto. 

Stoga je P(G, t) broj t-bojanja od G − e, kod kojeg su u i v različito obojani. 

Slijedi P(G − e,t) = P(G, t) + P(G · e, t). 

24 of 28


Iz navedne rekurzije proizlazi slijedeća tvrdnja: 

Korolar 22.3 

Za svaki graf G, funkcija P(G, t) je polinom u varijabli t stupnja n, n = |V (G)|, 

sa cjelobrojnim koeficijentima. Vodeći član je t n , a slobodni član je 0. 

Koeficijenti od P(G, t) alterniraju po predznaku. 

Dokaz: Dokaz ćemo provesti indukcijom po broju bridova m grafa G. Neka je 

|V (G)| = n. 

Već smo ranije objasnili da je dovoljno promatrati bojenje jednostavnog grafa. 

Stoga, neka je G jednostavan. Ako je m = 0, znamo da P(G,t) = t n pa tvrdnja 

vrijedi. 

Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za sve grafove s manje od m bridova. Neka je 

G graf s m ≥ 1 bridova i neka e ∈ E(G). 

25 of 28


Korolar 22.3 

Za svaki graf G, funkcija P(G, t) je polinom u varijabli t stupnja n, n = |V (G)|, 

sa cjelobrojnim koeficijentima. Vodeći član je t n , a slobodni član je 0. 

Koeficijenti od P(G, t) alterniraju po predznaku. 

Dokaz: Tada |E(G − e)| = |E(G · e)| = m − 1 pa prema pretpostavci indukcije 

postoje a 1, a 2, . . . , a n−1, b 1, b 2, . . . , b n−1 ∈ N 0 tako da vrijedi 

n−1 

∑ 

P(G − e, t) = (−1) n−i a it i + t n , 

i=1 

n−2 

∑ 

P(G · e, t) = (−1) n−i−1 b it i + t n−1 . 

i=1 

Prema Teoremu 22.2 imamo 

n−2 

∑ 

P(G, t) = P(G − e,t) −P(G · e, t) = (−1) n−i (a i +b i)t i −(a n−1 +1)t n−1 +t n 

pa i G zadovoljava uvjete tvrdnje. 

26 of 28 

i=1


• Funkcija koja varijabli t pridružuje P(G, t) zove se kromatski polinom od G. 

✄ 

✂NAPOMENE: 

✁ 

• Višestrukom primjenom rekurzije iz Teorema 22.2 P(G, t) se izražava kao 

linearna kombinacija kromatskih polinoma praznih grafova i to će biti 

pogodno za manje grafove. 

• Za veće grafove višestruko koristimo rekurziju 

P(G − e, t) = P(G,t) + P(G · e) kojom P(G, t) izražavamo kao linearnu 

kombinaciju kromatskih polinoma potpunih grafova. 

27 of 28


Primjer 22.4 

Odredite kromatski polinom puta P 5, a zatim izračunajte 

ukupan broj različitih t-bojanja od P 5 za t = 2. 

Rješenje: Krenuti ćemo od P(P 5, t) = P(P 5 − e,t) − P(P 5 · e, t): 

= - = - - - 

= - 

- - - - - 

- = 

-3 +3 - 

= 

- 

-3 - +3 - - + 

P(G,t)=t^5-4t^4+6t^3-4t^2+t 

P(G,2)=2 

28 of 28

Predavanje 9 - Odjel za matematiku

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?