stáhnout zde...

M - Příprava na pololetnípísemkuUrčeno pro třídy 2SA, 2SBVARIACE1Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu doSystem - EduBase. Více informací o programunaleznete na www.dosli.cz.

M - Příprava na pololetní písemku 1± Opakování 1. ročníku - ProcentaProcentaU příkladů, kde se vyskytují procenta, rozlišujeme tři základní veličiny:- základ (100%) ... z- procentovou část ... č- počet procent ... pPrvní dvě z uvedených veličin mají vždy stejnou jednotku (tzn. obě jsou například v kilogramech), zbývající třetíje vždy uvedena v procentech.Zpravidla vždy dvě z uvedených veličin známe, třetí počítáme.Úlohy na procenta můžeme řešit několika postupy:1. Řešení přes jedno procento (někdy též říkáme přes procentový trojřádek)Příklad 1:Vypočtěte, kolik je 64 % z 12,6 kilogramů mouky.Řešení: 100 % ... 12,6 kg mouky1 % ... 12,6 : 100 kg = 0,126 kg mouky64 % ... 64 . 0,126 kg = 8,064 kgZávěr: 64 % z 12,6 kg mouky představuje asi 8 kg mouky.2. Řešení trojčlenkouPříklad 2:Vypočtěte, kolik procent představuje 6 minut ze 2,5 hodinyŘešení:100 % ... 2,5 hx % ... 6 min = 0,1 h------------------------------------------U procent se vždy jedná o přímou úměrnost, proto "šipky by vždy vedly obě nahoru".Sestavíme výpočet:x = 100 . 0,1/2,5x = 4 %Závěr: Šest minut ze 2,5 hodiny představuje 4 %.3. Řešení podle vzorcePříklad 3:Vypočtěte, z kolika kilometrů představuje 8 metrů 20 %.Řešení:č = 8 mp = 20 %z = ?--------------------------------z = 100č/pz = 100 . 8/20z = 40 m = 0,04 kmZávěr:Osm metrů představuje 20 % z 0,04 kilometru.Pozn.:Přehled všech tří vzorců:z = 100č/p č = zp/100 p = 100č/z4. Řešení na kalkulačce (myšleno na takové, která má klávesu s označením procent)12.12.2005 22:02:22 Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)1 z 35

M - Příprava na pololetní písemku 1Klávesa s označením procent má takovou vlastnost, že po jejím stisku se předchozí výpočet automatickyvynásobí stem, předcházelo-li dělení a naopak vydělí stem, předcházelo-li násobení. Jedná se tedy o zrychlenípráce, nic víc.Procvičovací příklady:Na konci zimní sezóny byla slevněna bunda z 2 100 Kč na 1 800 Kč. O kolik % byla bunda slevněna?Za vykonanou práci si vydělali 3 pracovníci celkem 80 400 Kč. Rozdělili setak, že první dostal o 20% více než druhý a třetí o 15% více než druhý.Kolik Kč dostal každý z nich?Turisté ušli první den výletu 35% cesty, druhý den 41% . Na poslední,třetí den, jim zbývá ujít 15,6 km. Jak dlouhá byla celá cesta?Zvětšíme-li neznámé číslo o 4% , dostaneme 780. Určete neznámé číslo.Kolik procent je 1 minuta a 48 sekund ze 3 hodin?Vypočítejte jednu sedminu z 15% z čísla 63.Pětina žáků třídy je nemocná, 40% žáků šlo na soutěž a ve třídě zůstalo10 žáků. Kolik žáků má tato třída?Zboží, jehož původní cena byla 2 400 Kč, bylo dvakrát zlevněno. Nejprveo 15% , později o 10% z nové ceny. Určete konečnou cenu zboží a početprocent, o kolik bylo zboží celkem zlevněno.Cena ledničky byla dvakrát snížena. Nejprve o 15%, později ještě o 5%z nové ceny. Po tomto dvojím snížení cen se lednička prodávalaza 2 584 korun. Jaká byla původní cena?Zmenšením neznámého čísla o 427 dostaneme 35% jeho původní hodnoty. Které je to číslo? (Udejte spřesností na jedno desetinné místo.)Jaká musí být prodejní cena výrobku, jestliže náklady na jeho výrobu jsou300 Kč a chci ho prodat se ziskem 20% z prodejní ceny?Obchodník prodal čtvrtinu zboží se ziskem 20% a utržil za ni 1 680 Kč.Druhou čtvrtinu prodal se ziskem 10% , další čtvrtinu za nákupní cenua poslední čtvrtinu se ztrátou 5%. Určete nákupní cenu zboží a obchodníkůvzisk.V závodě je zaměstnáno 344 žen. Zbývajících 57% zaměstnanců jsou muži.Kolik zaměstnanců má závod?Kolik procent je 21 ze 105 ?a) Ze 700 výrobků bylo 20% vadných. Kolik výrobků bylo bez vady?b) Z 800 výrobků bylo 16 vadných. Kolik procent výrobků bylo bez vady?c) Z vyrobených výrobků bylo 21 vadných, to je 1,4% . Kolik výrobků je bezvady?Ze 700 výrobků bylo 20% vadných. Kolik výrobků bylo bez vady?Z 800 výrobků bylo 16 vadných. Kolik procent výrobků bylo bez vady?12.12.2005 22:02:22 Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)2 z 35

M - Příprava na pololetní písemku 1Z vyrobených výrobků bylo 21 vadných, to je 1,4% . Kolik výrobků je bezvady?Kolik stála původně halenka, jestliže po slevě o 15% stála 459 Kč?Z 1 600 součástek bylo 44 vadných. Kolik procent součástek bylo bez vady?Na výměře 5 ha bylo sklizeno v určitém roce 19 tun obilí. V následujícímroce byla výměra pro osev obilí snížena o 12% , ale hektarový výnos seproti předchozímu roku zvýšil o 12% . Kolik tun obilí se v tomto rocesklidilo?Sedlák vzal do města tři pětiny svých úspor a z této částky utratil 18% .Kolik procent všech uspořených peněz mu zbylo?Jirka spořil na prázdninový výlet. V lednu uspořil dvě pětiny celé částky,v únoru polovinu toho co v lednu a v březnu 15% celkové sumy. Do celéčástky mu chybí ještě 150 Kč. Kolik bude stát celý výlet a kolik Kčnaspořil v jednotlivých měsících?Cena ledničky byla dvakrát snížena. Nejprve o 10% , později ještě o 10%z nové ceny. Po tomto dvojitém snížení cen se lednička prodala za 4455 Kč.Vypočítejte její původní cenu.Obchodník koupil dodávku materiálu a při prodeji vydělal 2 500 Kčnásledujícím způsobem. Třetinu dodávky prodal o 18% dráž, čvrtinu o 11%dráž a zbytek o 5% levněji než nakoupil. Kolik zaplatil dadavateli?Proveďte zkoušku.Kolik procent činí 40,8 ze 120 ?Množství krve v lidském těle je přibližně 7,6% hmotnosti těla. Kolik kgkrve je v těle dospělého člověka o hmotnosti 75 kg?V roce 1990 byla cena za 1 litr benzínu special 16 Kč. Nyní stojí19,20 Kč. O kolik procent se cena zvýšila?V nově založeném sadu se ujalo 1 470 stromků, což je 98% všech sazenic.Kolik stromků vysadili?Rozhlasový přijímač, jehož původní cena byla 2 200 Kč, byl po technickémzdokonalení zdražen o 20%. Později byl o 15% z nové ceny zlevněn. Jakábyla jeho konečná cena?Co je méně? 8% z 500g nebo 6% z 1 kg. Odpověď zdůvodněte výpočtem.Zboží v hodnotě 400 Kč bylo nejprve zdraženo o 10% a pak zlevněno o 10%z nové ceny. Určete jeho konečnou hodnotu.Dva společníci si rozdělili zisk 66 000 Kč tak, že druhý dostal o 20% vícenež první. Kolik dostal každý?Zmenšíme-li neznámé číslo o 427 dostaneme 65% jeho hodnoty. Určete neznáméčíslo.Kolika procentům původní ceny se rovná cena zboží, které bylo nejprve12.12.2005 22:02:22 Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)3 z 35

M - Příprava na pololetní písemku 1o 20% zdraženo a potom byla jeho nová cena o 20% snížena?Pro nově budovanou cestu musel být delší rozměr obdélníkového pozemkuzkrácen o 7% a kratší o 8% . Jaké jsou nové rozměry pozemku a o kolikprocent se zmenšila jeho plošná výměra? Původní rozměry pozemku byly60 m a 30 m.Cena ledničky byla dvakrát snížena. Nejprve o 15% , později o 5% z novéceny. Po tomto dvojím snížení ceny se lednička prodávala za 9 690 Kč.Vypočtěte její původní cenu.Číslo 72 zvětšete o 25% . O kolik procent budete muset číslo, kterévám vyšlo, zmenšit, abyste opět dostal číslo 72 ?Podnik přispívá zaměstnancům na stravenky 3,30 Kč na jeden oběd azaměstnanci platí 78% hodnoty oběda. Jaká je cena oběda? Kolik korun platíza oběd zaměstnanci?a) Vypočtěte, kolik % je 18,5 ze 400.b) Z jakého čísla je číslo 8 20% ?Vypočtěte, kolik % je 18,5 ze 400.Z jakého čísla je číslo 8 20% ?19% z neznámého čísla je o 12 méně než 23% z téhož čísla. Určete neznáméčíslo.± Opakování učiva 1. ročníku - Racionální a reálná číslaČíselné oboryPřirozená čísla - označujeme N Potřebujeme-li přidat nulu, pak označujeme N 0.- jedná se o čísla 1, 2, 3, 4, ... Nejmenší přirozené číslo je 1.Celá čísla - označujeme Z (Opět můžeme vytvářet např. Z + , Z - , či Z 0 +.- tento číselný obor dostaneme, když k přirozeným číslům přidáme čísla opačná a nuluRacionální čísla - označujeme Q- jsou to všechna čísla, která můžeme vyjádřit zlomkem s celočíselným čitatelem ijmenovatelem.Iracionální čísla - nemají své označení, protože ho vlastně nepotřebujeme- patří sem např. čísla p, Ö2, Ö3, apod.Reálná čísla - označujeme je R- jsou to všechna čísla, která můžeme zobrazit na číselné ose----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Operace s racionálními čísly• sčítání, odčítání, násobení a dělení desetinných čísel• sčítání a odčítání, násobení a dělení zlomků• řešení složených zlomků• pravidlo komutativnosti, asociativnosti a distributivnosti• druhá a třetí mocnina - práce s MFCHT tabulkami, určení na kalkulačce• druhá a třetí odmocnina - práce s MFCHT tabulkami, určení na kalkulačce12.12.2005 22:02:22 Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)4 z 35

M - Příprava na pololetní písemku 1± Opakování učiva 1. ročníku - Poměr, trojčlenkaPoměrPoměr je matematický zápis ve tvaru zlomku, případně ve tvaru dělení.Např.: 7 : 5 (čteme sedm ku pěti)Jednotlivá čísla nazýváme členy poměru.Poměr může mít dva, ale i více členů.Má-li poměr více než dva členy, nazýváme ho poměr postupný.Poměr můžeme rozšiřovat a krátit, podobně jako zlomky. Platí zde i stejná pravidla, protoževlastně každý poměr můžeme napsat i ve tvaru zlomku.Poměr je v základním tvaru, jso-li jeho členy čísla navzájem nesoudělná.Příklad 1:Poměr 2,4 : 7,2 uveďte do základního tvaru.Řešení: 2,4 : 7,2 /* 1024 : 72 /: 83 : 9 / : 31 : 3Příklad 2:Následující poměr uveďte do základního tvaru:2 1:3 8Řešení:231:8/* 24 (společný násobek jmenovatelů)16 : 3---------------------------------------------------------Změna čísla v poměru:Změnit dané číslo v poměru, znamená vynásobit toto číslo poměrem ve tvaru zlomku.Příklad 3:Číslo 25 změňte v poměru 7 : 212.12.2005 22:02:22 Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)5 z 35

M - Příprava na pololetní písemku 1Řešení:7 17525 . = = 87,52 2Výsledné číslo je 87,5.Je-li první člen poměru větší než druhý, jedná se o zvětšení.Je-li první člen poměru menší než druhý, jedná se o zmenšení.----------------------------------------------------------Rozdělení čísla v poměru:Pokud máme dané číslo rozdělit v poměru, musíme nejprve jednotlivé členy poměru sečíst. Následněurčíme hodnotu jednoho dílu, a to tak že původní číslo dělíme získaným součtem. Na závěr spočtemehodnoty jednotlivých dílů, které vyjadřuje poměr.Příklad 4:Číslo 81 rozdělte v poměru 2 : 7Řešení:2 + 7 = 9 ... počet dílů81 : 9 = 9 ... hodnota jednoho dílu2 . 9 = 18 ... hodnota odpovídající prvnímu členu poměru7 . 9 = 63 ... hodnota odpovídající druhému členu poměruDané číslo jsme tedy rozdělili na dvě čísla, a to 18 a 63. Jsou v poměru 2 : 7.------------------------------------------------------------Změna postupného poměru na jednoduché poměry:Z každého postupného poměru můžeme vytvořit jeden nebo více poměrů jednoduchých.Příklad 5:Je dán postupný poměr 2 : 5 : 7. Vytvořte z něj alespoň dva poměry jednoduché.Řešení:Vybereme kterékoliv dva členy poměru - tedy např. 2 : 5 a 2 : 7Změna jednoduchých poměrů na postupný:Máme-li dva nebo více poměrů jednoduchých, můžeme z nich vždy vytvořit poměr postupný.Příklad 6:Jsou dány jednoduché poměry 2 : 7 a 3 : 8. Vytvořte z nich jeden poměr postupný.12.12.2005 22:02:22 Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)6 z 35

M - Příprava na pololetní písemku 1Řešení:Jednoduché poměry musíme nejprve upravit rozšířením nebo krácením tak, aby jeden z členů mělyspolečný. Tedy např. 2 : 7 /*48 : 28Nyní máme v obou poměrech člen 8 a toho využijeme:8 : 283 : 8Závěr: Hledaný postupný poměr může být 3 : 8 : 28------------------------------------------------------------TrojčlenkaJak už sám název napovídá, jedná se o výpočet, kde figurují tři členy; přesněji řečeno tři členy známea čtvrtý budeme počítat. Jedná se o postup, který má obrovské praktické využití, proto ho musí každýbezpečně ovládat. Pokud řešíme příklad pomocí trojčlenky, vždy• nejprve sestavíme zápis, a to tak, že stejné veličiny musí být pod sebou a neznámou doporučujivždy ponechat ve druhém řádku. V dalším kroku• rozhodneme, zda jsou veličiny ve vztahu přímé nebo nepřímé úměrnosti. Zobrazíme si pomocnéšipky. Bez jakéhokoliv dlouhého uvažování tam, kde máme neznámou (ve druhém řádku),uděláme šipku směrem nahoru.• Jedná-li se o úměrnost přímou, pak na druhé straně bude šipka stejným směrem (tedy téžnahoru) a jedná-li se o úměrnost nepřímou, bude na druhé straně šipka opačným směrem (tedydolů).• Na základě šipek se stavíme výpočet, po jehož vyřešení obdržíme výsledek.Příklad 7:Tři kilogramy pomerančů stojí 66,- Kč. Kolik korun bude stát pět kilogramů pomerančů?Řešení:3 kg pomerančů ..... 66,- Kč5 kg pomerančů ..... x Kč (šipky by v tomto případě vedly obě vzhůru)--------------------------------------------------5x = 66 . = 1103x = 110,- KčPět kilogramů pomerančů bude stát 110,- Kč.Příklad 8:Pět zaměstnanců postaví přístřešek za 7 dní. Kolik zaměstnanců musíme na práci přibrat, má-listavba být hotova už za 4 dny?Řešení:5 zaměstnanců ... 7 dníx zaměstnanců ... 4 dny (šipky by v tomto případě vedly vlevo vzhůru a vpravo dolů)-------------------------------------------------7x = 5 .4= 8,7512.12.2005 22:02:22 Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)7 z 35

M - Příprava na pololetní písemku 1x = 8,75 zaměstnance 8,75 - 5 = 3,75Přibrat bychom tedy měli 3,75 zaměstnance, což znamená z praktických důvodů, že musíme přibratještě 4 zaměstnance.------------------------------------------------------------Složená trojčlenkaJedná se vlastně o dva nebo více výpočtů spojených do jednoho. Místo použití složené trojčlenkymůžeme většinou bez problémů použít dvakrát nebo vícekrát za sebou trojčlenku obyčejnou.Příklad 9:Šest dělníků opracuje za 5 směn 1020 součástek. Za jak dlouho opracuje 10 dělníků 2000 součástekpři stejném výkonu?Řešení:6 dělníků ... 5 směn ... 1020 součástek10 dělníků ... x směn ... 2000 součástek------------------------------------------------------------------------------Střední šipka - bez uvažování směrem vzhůru. Pak musíme rozhodnout, zda okrajové veličiny jsou sveličinou střední postupně ve vztahu přímé nebo nepřímé úměrnosti. Zde vychází u levé veličinyšipka dolů a u pravé šipka vzhůru.6 2000x = 5 . . = 5,910 1020x = 5,9 směny (přibližně)Deset dělníků opracuje 2000 součástek zhruba za 5,9 směny.----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Procvičovací příklady:Otázka č.: 16 dělníků by vykonalo práci za 30 dnů. Práce má být hotová za 20 dnů. Kolik dělníků se musí na práci přibrat?Otázka č.: 2K upečení bábovky ze 4 vajec je potřeba 16 dkg tuku, 24 dkg mouky, 20 dkg cukru. Kolik dkg tuku, mouky acukru je potřeba na upečení bábovky ze 3 vajec?Otázka č.: 3Tři stejně výkonní sklenáři opravili okna školní budovy za 32 hodin. Za kolik hodin by tuto opravu provedli čtyřistejně výkonní sklenáři?Otázka č.: 4120 kg pomerančů se má rozdělit na dvě části tak, aby byly v poměru 12,6:9 . Určete hmotnosti obou částí.Otázka č.: 5Dva stroje vyrobí za 50 hodin 2 000 výrobků. Kolik strojů potřebujeme přikoupit, abychom za 30 hodin vyrobili15 000 výrobků?Otázka č.: 6Tři stejně výkonná čerpadla naplní nádrž za 72 minut. Za kolik minut se naplní nádrž osmi stejně výkonnýmičerpadly?Otázka č.: 712.12.2005 22:02:22 Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)8 z 35

M - Příprava na pololetní písemku 1Počet žáků, kteří do školy dojíždějí, k počtu žáků, kteří docházejí pěšky, je dán poměrem 2:7 .a) kolik žáků má škola, když dojíždějících je 96b) kolik procent žáků školy dojíždí (zaokrouhlete na jedno desetinné místo).Otázka č.: 8Na záhonu kvetou bílé a žluté narcisy. Bílých je o 12 více než žlutých. Poměr počtu bílých a počtu žlutých je7:4. Kolik kvete na záhonu narcisů celkem?Otázka č.: 94,5 kg jablek stojí 81 Kč. Kolik stojí 2,5 kg?Otázka č.: 10Jestliže píce vystačí 300 kusům dobytka na dva týdny, kolika kusům vystačí na tři týdny?Otázka č.: 11Šest strojů zpracuje zásobu materiálu za 15 směn. Za kolik směn zpracuje tuto zásobu materiálu osm stejnýchstrojů?Otázka č.: 12Za 0,75 hodiny se vyfrézuje 36 zubů. Kolik minut trvá vyfrézování 50 zubů?Otázka č.: 13Číslo 40 rozdělte v poměru 3:5.Otázka č.: 14Na plánu v měřítku 1 : 2 500 je zanesen pozemek tvaru obdélníka o rozměrech 2 cm, 4 cm. Vypočtěte, kolikhektarů je výměra pole.Otázka č.: 15Na plánu města zhotoveném v měřítku 1 : 1 500 má parcela tvaru lichoběžníku délku základen 40 mm a 56mm a výšku 30 mm. Vypočtěte skutečnou výměru této parcely.Otázka č.: 16Jaká je výměra obdélníkové zahrady, když plot kolem celé zahrady měří 160 m a sousední strany jsou vpoměru 3 : 2 ?Otázka č.: 17Rodina Novákova měla roční spotřebu cukru 60 kg. Rozhodla se ji v následujícím roce snížit v poměru 5:8.Skutečná spotřeba však činila 45 kg. O kolik procent byla plánovaná spotřeba překročena?Otázka č.: 18Barva se míchá s ředidlem v poměru 5:2 . Kolik bude potřeba barvy a kolik ředidla, má-li být výsledné směsi1,4 litru?Otázka č.: 19Počet odpracovaných hodin dvou dělníků při stejné hodinové mzdě byl v poměru 5:7. Vypočtěte, kolik každý znich dostal po 15% srážce daně, jestliže hrubá mzda pro oba dělníky činí 6 960 Kč.Otázka č.: 20Na těleso působí dvě navzájem kolmé síly F 1, F 2 , které jsou v poměru 3:4. Menší síla (F 1) má velikost 12 N.Najděte výslednici F početně i graficky.Otázka č.: 21Směs s bodem tuhnutí -32 °C můžeme připravit smísením vody, lihu a glycerínu v poměru objemů 4,3 : 4,2 :1,5. Kolik vody a lihu je třeba přidat ke 4,5 litrům glycerínu, aby vznikla směs s daným bodem tuhnutí?Otázka č.: 2212.12.2005 22:02:22 Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)9 z 35

M - Příprava na pololetní písemku 1Šest lidí splní určitý úkol za 12 hodin. Kolik času by potřebovalo na tuto práci 9 lidí?Otázka č.: 23Jestliže lA'B'l :l ABl = 2:3 a délka úsečky AB je 24 cm, pak velikost úsečky A'B' budea) 12 cmb) 36 cmc) 16 cmd) 18 cmOtázka č.: 24Číslo 6 zvětšete tak, aby bylo s hledaným číslem v poměru 3 : 7.Otázka č.: 25Čtyři dělníci vyhloubí příkop za 18 dní. Kolik dělníků musíme přidat do pracovní skupiny, aby byl příkop hotovuž za 12 dní?Otázka č.: 26Zemědělské družstvo zaselo na 192 ha oves, ječmen, žito a pšenici v poměru 1 : 1,4 : 1,8 : 2,2 . Kolik hektarůkaždého druhu obilí zaseli?Otázka č.: 27Plán má měřítko 1 : 2 500 . Jakými rozměry bude na plánu zakreslena ovocná zahrada, má-li ve skutečnostidélku 425 m a šířku 240 m?± Opakování učiva 1. ročníku - Úpravy celistvých výrazůMezi zápisy s číselnými proměnnými patří:• výrazy• výrokové formy• výroky s kvantifikátoryPo dosazení přípustných proměnných hodnot do:• výrazu ... dostaneme číslo• výrokové formy ... dostaneme výrok• do výroků s kvantifikátory ... nemá smysl dosazovat číselné hodnotyRovnost a úpravy výrazůVýrazem budeme rozumět každý zápis, který je správně formulován podle úmluv o zápise čísel,proměnných, výsledků operací.Ke každému výrazu obsahujícím proměnné přísluší zápis, jaký je obor jednotlivých proměnných - tzv.definiční obor výrazů.O dvou výrazech s týmiž proměnnými říkáme, že jsou si rovny v dané množině, platí-li:a) do obou výrazů lze na místo proměnných dosadit symboly všech prvků množiny Mb) oba výrazy dávají pro stejné hodnoty proměnných stejné výsledkyPřehled důležitých vzorců:(A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2(A - B) 2 = A 2 - 2AB + B 2(A - B).(A + B) = A 2 - B 212.12.2005 22:02:22 Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)10 z 35

M - Příprava na pololetní písemku 1(A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3(A - B) 3 = A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3A 3 - B 3 = (A - B).(A 2 + AB + B 2 )A 3 + B 3 = (A + B).(A 2 - AB + B 2 )± Celistvé výrazy - procvičovací příklady1. Umocněte: (10 - 2a) 2Výsledek:3882. Vypočtěte: (4a 2 b + 5a 3 b 2 ) 2 =Výsledek:3813. Výraz (3k - 2) 2 - 4k(2k - 1) + 8k - 6 zjednodušte a správnost výpočtuověřte dosazením k = 3Výsledek:3974. Rozložte v součin výraz: 9s 2 v 2 - 4r 2 v 2 - 9u 2 s 2 + 4u 2 r 2Správnost ověřte dosazením u=-1, v=2, s=1, r=0Výsledek:3985. Upravte: (2x - 0,2y) . (2x + 0,2y)Výsledek:3956. Rozložte na součin: x 2 - 2xy + y 2 - x + yVýsledek:3997. Vypočtěte:40615,1 -(-2)3+6,3 : (-0,7)- [(2,5 -3,7) :4625+ 15,1]Výsledek:8. Doplňte: (? - 3) 2 = 16x 2 - ? + ?Výsledek:4009. Zjednodušte výraz 2x - [5x - 2(x - 4) + 1] - 3(x + 1) a správnost výpočtuověřte dosazením za x = -3Výsledek:38010. Vypočtěte a) rozdíl b) součin výrazů x+2 a x-1Výsledek:38612.12.2005 22:02:22 Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)11 z 35

M - Příprava na pololetní písemku 111. Doplňte chybějící údaje tak, aby platila rovnost(... + 3y) 2 = 4x 2 + ... + ...Výsledek:38412. Rozložte na součin: a 2 + 2ab + b 2 – c 2Výsledek:40913. Výraz -(-2x + 1) 2 se po úpravě rovná čemu?Výsledek:40514. Upravte: (2x-5) 2 - (2x-3).(5x+2)Výsledek:40115. Upravte daný výraz 3x 2 y-{xyz-(2yz-x 2 z)-4x 2 z+[3x 2 y-(4xyz-5x 2 z)]}.Výsledek ověřte dosazením pro x=1, y=-1, z=0Výsledek:40216. Rozložte na součin výraz: 18xy 2 - 21x 2 yVýsledek:38317. Výraz K = 16a 2 – a 4 x 2 rozložte na součin aspoň tří činitelůVýsledek:40818. Rozložte na součin: (2m - 1).5x – 8.(2m - 1)Výsledek:39019. Rozložte na součin: 4x 2 (y 2 – z 2 ) + 25v 2 (z 2 – y 2 )Výsledek:38220. Výraz 4k 2 - (2k + 1) 2 - 4k + 8 zjednodušte a správnost výpočtu ověřtedosazením za k = 3Výsledek:38521. Upravte: (1,2x 2 - 0,3y) 2Výsledek:39422. Vypočtěte součin výrazů x+2 a x-1Výsledek:39223. Upravte: a 2. 3b 2ȧb.2b2 a 3. 4b 4Výsledek:39624. Vypočtěte rozdíl výrazů x+2 a x-1Výsledek:39112.12.2005 22:02:22 Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)12 z 35

M - Příprava na pololetní písemku 125. Vypočtěte bez použití kalkulátoru:é æ öù- - -21 114 22 ( 3) + 6,4 : ( - 0,8) - ê : ç - ÷ - (1,8 - 2,9)úë 4 è 2 øûVýsledek:41026. Zjednodušte výraz: (2h - 5s)(2h + 5s) - (2h + 5s) 2Výsledek:38727. Zjednodušte a ověřte dosazením za x = -28x - [2x – 6.(x - 1) 2 + 2] - (3x 2 - 5x).2Výsledek:40728. Rozložte na součin: 4 – x 2Výsledek:38929. Upravte: [(a 2 b 3 ) 3 ] 2Výsledek:39330. Rozložte na součin výrazy: a) 2x 2 -4xy+2y 2 b) 5t-2tm-10m+25Výsledek:40431. Vypočítejte: (3 - x) 2 - 3(x 2 - 3) + (-2x) 2Výsledek:403± Opakování učiva 1. ročníku - Úpravy lomených výrazůLomený algebraický výraz je takový výraz, který má ve jmenovateli proměnnou.U každého lomeného výrazu musíme stanovit jeho definiční obor, neboli určit tzv. podmínkuřešitelnosti (tj. podmínku, při jejímž splnění má výraz smysl).Př.:ax + bcx + dJedná se o lomený výraz, který je definován pro všechna reálná čísla, s výjimkoux = -d/c (v tom případě by totiž byl jmenovatel roven nule a nulou nemůžeme dělit).Zapisujeme tedy: x ≠ -d/cLomené výrazy můžeme rozšiřovat nebo krátit.Rozšířit lomený výraz znamená vynásobit jeho čitatele i jmenovatele stejným výrazem různým odnuly.Krátit lomený výraz znamená dělit jeho čitatele i jmenovatele stejným výrazem různým od nuly.Lomené výrazy též můžeme pomocí rozšíření nebo krácení upravit tak, aby měly zadanéhojmenovatele, příp. výjimečně používáme i takovou úpravu, aby měly zadaného čitatele.12.12.2005 22:02:22 Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)13 z 35

M - Příprava na pololetní písemku 1Lomený výraz je v základním tvaru, jestliže už ho dále nelze krátit.Lomený výraz je roven nule, jestliže je roven nule jeho čitatel.Lomené výrazy sčítáme tak, že je převedeme na společného jmenovatele a součet čitatelů taktovzniklých lomených výrazů lomíme společným jmenovatelem.Pozn.: Analogické je odčítání lomených výrazůLomené výrazy násobíme tak, že součin čitatelů lomíme součinem jmenovatelů. Výsledekuvedeme do základního tvaru.Pozn.: Krátit můžeme i před vynásobením zadaných výrazů, a to tak, že krátíme kteréhokoliv čitateleproti kterémukoliv jmenovateli.Lomený výraz násobíme celistvým výrazem tak, že násobíme tímto celistvým výrazem čitatelevýrazu lomeného.Lomený výraz dělíme lomeným výrazem tak, že první lomený výraz násobíme převrácenouhodnotou lomeného výrazu druhého.Pozn.: Převrácenou hodnotu lomeného výrazu vytvoříme tak, že zaměníme jeho čitatele sejmenovatelem.Pozn.: Opačný výraz k lomenému výrazu vytvoříme tak, že před zlomkem změníme znaménko.Složený lomený výraz je takový výraz, kde základní lomený výraz má v čitateli nebo ve jmenovatelinebo i v čitateli i ve jmenovateli další lomený výraz.Složený lomený výraz řešíme tak, že součin vnějších členů lomíme součinem členů vnitřních.Pozn.: Vnitřní členy jsou ty, které jsou blíže k hlavní zlomkové čáře; vnější členy jsou od ní naopakdále.Pozn.: Složený lomený výraz můžeme řešit i tak, že hlavní zlomkovou čáru nahradíme dělením a celýpříklad poté řešíme jako podíl dvou lomených výrazů.± Lomené výrazy - procvičovací příklady1.418Výsledek:-1,712.12.2005 22:02:22 Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)14 z 35

M - Příprava na pololetní písemku 12.422Výsledek:3.421Výsledek:4.425Výsledek:5.424Výsledek:12.12.2005 22:02:22 Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15 z 35

M - Příprava na pololetní písemku 16.419Výsledek:7.423Výsledek:8.420Výsledek:9.416Výsledek:10.417Výsledek:12.12.2005 22:02:22 Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)16 z 35

M - Příprava na pololetní písemku 1± Opakování učiva 1. ročníku - Rovinné útvaryRovinné útvary - procvičovací příkladyOtázka č.: 1Úhlopříčky kosočtverce měří 8 cm a 6 cm. Vypočítejte stranu kosočtverce.Otázka č.: 2Pozemek kolem domu má tvar obdélníka. Jeho délka je čtyřikrát větší než jehošířka, šířka měří 8,5 m. Kolik Kč stála barva na plot kolem celého pozemku,vystačí-li 1 kg barvy po 56 Kč na natření 17 m plotu?Otázka č.: 3V trojúhelníku je â:ß = 1:2 , ß:ę = 10:3 . Vypočtěte velikosti vnitřních úhlůtrojúhelníka. Výpočet ověřte zkouškou.Otázka č.: 4Kosočtverec má výšku v = 48 cm a kratší úhlopříčku u = 60 cm. Určete jeho obsah.Otázka č.: 5Drát délky 1,2 m ohneme do tvaru obdélníka tak, aby jeho strany byly v poměru 1:2. Vypočtěte délky stran obdélníka a určete obsah obdélníkaa) v m~b) v cm~.Otázka č.: 6Drát délky 1,2 m ohneme do tvaru obdélníka tak, aby jeho strany byly v poměru 1:2. Vypočtěte délku delší strany obdélníka v metrech.Otázka č.: 7Uprostřed čtvercového pozemku se stranou délky 30 m je kruhový květinový záhon oprůměru 200 dm, na zbytku pozemku je trávník. Vypočítejte, kolik procent z celkovéplochy zabírá květinový záhon.Otázka č.: 8Záhonek tvaru obdélníka má rozměry 6 m a 10 m. Kolik kusů dlaždic o straně 50 cmje třeba na chodník šířky 1 m, který vede těsně kolem okraje celého záhonu?Otázka č.: 9Obvod obdélníka je 56 m. Určete délky jeho stran, jsou-li v poměru 3:7 Proveďtezkoušku.Otázka č.: 10Určete obsah kosočtverce, je-li jeho obvod 21,6 cm a jeho výška je 4,5 cm.Otázka č.: 11Určete velikost úhlu ASD v kosočtverci ABCD, jehož obvod je 21,6 cm a výška je 4,5cm. S je průsečík úhlopříček kosočtverce.Otázka č.: 12Pravoúhlý trojúhelník má odvěsny 6 cm a 8 cm. Vypočítejte velikost nejmenší výškyv trojúhelníku.12.12.2005 22:02:22 Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)17 z 35

M - Příprava na pololetní písemku 1Otázka č.: 13Vypočítejte velikost vnitřních úhlů v trojúhelníku ABC, jestliže platí:ß : â : ę = 6 : 11 : 3Otázka č.: 14Určete obsah kruhu vepsaného čtverci o straně 2 cm.Otázka č.: 15Kolo automobilu má průměr 62 cm. Kolikrát se kolo otočí na dráze 8 km?Otázka č.: 16Vypočtěte obsah rovnoramenného trojúhelníka, jehož základna má délku 10 cm arameno je o 3 cm delší než základna.Otázka č.: 17Rovnostranný trojúhelník KLM má výšku 10 cm. Vypočítejte jeho obsah.Otázka č.: 18Kosočtverec má úhlopříčky e = 96 cm , f = 40 cm. Určete velikost stranykosočtverce.Otázka č.: 19Který útvar má větší obvod - čtverec o straně 2 m nebo obdélník o stranách 3 m a 1m ? Zdůvodněte. Mají oba útvary stejný obsah?Otázka č.: 20Čtvercové hřiště má obvod 125 m. Jaký má obsah?Otázka č.: 21Jeden z vnitřních úhlů rovnoramenného trojúhelníka je dvakrát větší než druhý.Určete velikost vnitřních úhlů trojúhelníka.Otázka č.: 22Určete výpočtem zda trojúhelník ABC je ostroúhlý nebo tupoúhlý, je-li úhel â =42°37', ß = 35°28'.Otázka č.: 23Je dán pravoúhlý lichoběžník ABCD, żBAD = żADC = R, ®AB®=13 cm, ®CD®=5 cm, ®AD®=6cm. Vypočítejte délku strany BC a obsah lichoběžníka ABCD.Otázka č.: 24Je dán pravoúhlý lichoběžník ABCD, żBAD = żADC = R, ®AB®=13 cm, ®CD®=5 cm, ®AD®=6cm. Vypočítejte obsah lichoběžníka ABCD.Otázka č.: 25Je dán obdélník ABCD, v němž je ®BC® = 12 cm a úhlopříčka měří 15 cm. Na straně ABvyznačte bod R tak, že ®RC® = 13 cm. Určete, o kolik procent je obsah trojúhelníkaARC menší, než obsah obdélníka ABCD.Otázka č.: 26Narýsujte čtverec, který má obvod 30 cm. Vypočtěte jeho obsah.Otázka č.: 27Obvod obdélníka je 28 cm, délka je o 2 cm větší než jeho šířka. Určete délku12.12.2005 22:02:22 Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)18 z 35

M - Příprava na pololetní písemku 1úhlopříčky tohoto obdélníku.Otázka č.: 28Určete obvod zahrady obdélníkového tvaru, jejíž úhlopříčka má délku 50 m a jednastrana délku 30 m.Otázka č.: 29Jestliže délku strany zvětšíme o jednu třetinu, zvětší se obvod čtverce o 18 cm.Vypočtěte délku strany čtverce.Otázka č.: 30Obvod trojúhelníka je 90 cm. Strana b je o 3 cm delší než strana a a strana c je o24 cm kratší než strana b. Určete délky stran trojúhelníka. Jako výsledek napištedélku strany c.Otázka č.: 31Obvod obdélníka je 12,4 cm , délka obdélníka je 37 mm . Vypočítejte jeho šířku.Otázka č.: 32Obvod čtvercové parcely v zahrádkářské kolonii je 112,8 m. Vypočítejte její obsah.Otázka č.: 33Vypočítejte obsah rovnostranného trojúhelníka, jehož obvod je 72 cm.± Opakování učiva 1. ročníku - Goniometrické funkceGoniometrické funkce- procvičovací příklady, slovní úlohyPříklad 1:V pravoúhlém trojúhelníku s pravým úhlem při vrcholu C je strana c = 8 cm, a = 5 cm. Vypočtivelikosti ostrých úhlů trojúhelníka.Příklad 2:V pravoúhlém trojúhelníku OPQ s pravým úhlem při vrcholu Q je strana p = 5 cm, velikost úhlu QOProvna 35° 10´. Vypočti délku odvěsny o.Příklad 3:V pravoúhlém trojúhelníku ABC s přeponou AB je dáno: b = 30 cm, vnitřní úhel při vrcholu B je 67°.Vypočti délku odvěsny a.Příklad 4:Nejvyšší přípustné stoupání silnic je dáno poměrem 1:18. Pod jakým největším úhlem může silnicestoupat?Příklad 5:Přímá železniční trať stoupla na vzdálenost 100 m (měřeno ve vodorovné poloze) o 1,4 m. Vypočítejvelikost úhlu stoupání.Příklad 6:12.12.2005 22:02:22 Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)19 z 35

M - Příprava na pololetní písemku 1Stavební materiál byl na stavbu dopravován transportérem dlouhým 10 m pod úhlem 20°. Do jakévýšky byl stavební materiál dopravován?Příklad 7:Tělesová úhlopříčka kvádru je dlouhá 9,7 m a s podstavnou úhlopříčkou svírá úhel 42°. Vypočtivýšku kvádru.Příklad 8:Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC s přeponou AB, platí-li: a = 24 cm, c = 30 cm.Příklad 9:Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC s přeponou AB, platí-li: Vnitřní úhel při vrcholu A je 48° 30´,starana c = 3,2 m.Příklad 10:Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC s přeponou AB, platí-li: Vnitřní úhel při vrcholu A je 63° 10´,starana a = 6,7 m.Příklad 11:V pravoúhlém trojúhelníku ABC je dána délka přepony c = 6,9 m a velikost vnitřního úhlu při vrcholuA je 34°. Vypočti délky obou odvěsen.Příklad 12:V pravoúhlém trojúhelníku EFG jsou dány délky odvěsen e = 10,4 cm a f = 6,8 cm. Vypočtivelikosti vnitřních ostrých úhlů tohoto trojúhelníku.Příklad 13:Délka a šířka obdélníku jsou v poměru 8:5. Jak velké úhly svírá úhlopříčka tohoto obdélníku s jehostranami?Příklad 14:Úhlopříčka obdélníkového půdorysu chyta je dlouhá 10 m a skratší stranou půdorysu svírá úhel 60°.Vypočti obsah půdorysu chaty.Příklad 15:Vypočti obsah kosočtverce ABCD, je-li tangens úhlu ABD roven Ö15 a délka úhlopříčky e = 4 cm.Příklad 16:Profil příkopu je rovnoramenný lichoběžník se základnami o délce 80 cm a 60 cm. Sklon boční stěnypříkopu je 80°. Vypočti hloubku příkopu.Příklad 17:Průměr podstavy válce je 36 cm. Velikost úhlu, který svírá úhlopříčka osového řezu s výškou válce, je30°. Vypočti povrch válce.Příklad 18:V rovnoramenném trojúhelníku XYZ je dána délka jeho základny z = 9 cm a velikost úhlu XYZ je50°10´. Vypočti obsah tohoto trojúhelníka.Příklad 19:V kosočtverci ABCD je úhlopříčka e = 24 cm a velikost úhlu SAB je 28°, kde S je průsečík úhlopříček.Vypočtěte obvod kosočtverce.12.12.2005 22:02:22 Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)20 z 35

M - Příprava na pololetní písemku 1± Stereometrie - vzájemné polohy prostorových útvarůStereometrieStereometrie je prostorová geometrie; zabývá se prostorovými útvary - tělesy.Vzájemná poloha přímek v prostoruPřímky v prostoru mohou být:• rovnoběžné• rovnoběžné různé (nemají žádný společný bod)• rovnoběžné splývající (mají nekonečně mnoho společných bodů)• různoběžné (mají právě jeden společný bod); zvláštním případem různoběžných přímek jsoupřímky, které jsou na sebe kolmé.• mimoběžné (nemají žádný společný bod, ale nejsou rovnoběžné)Vzájemná poloha rovin v prostoruRoviny v prostoru mohou být:• rovnoběžné• rovnoběžné různé (nemají žádný společný bod a vzdálenost obou rovin v kterémkolivmístě je vždy stejná)• rovnoběžné splývající (mají nekonečně mnoho společných bodů a kterákoliv z obou rovinje vždy podmnožinou roviny druhé)• různoběžné (mají nekonečně mnoho společných bodů, které vytvářejí přímku, zvanou průsečnicerovin); zvláštním případem různoběžných rovin jsou dvě roviny, které jsou na sebe kolmé.± Stereometrie - kvádr, krychle, hranolKrychleKrychle je prostorové těleso, které je tvořeno osmi vrcholy, šesti stěnami a dvanácti hranami.Důležité vzorce:S = 6.a 2 ... S je povrch krychle, a je hrana krychleV = a 3 ... V je objem krychle, a je hrana krychleu s = a.√2 ... u s je stěnová úhlopříčka, a je hrana krychleu t = a.√3 ... u t je tělesová úhlopříčka, a je hrana krychleKvádrKvádr je těleso, které je tvořeno osmi vrcholy, šesti stěnami, z nichž každé dvě protější jsou shodnéa dvanácti hranami, z nichž zpravidla čtyři jsou vždy shodné.Důležité vzorce:12.12.2005 22:02:22 Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)21 z 35

M - Příprava na pololetní písemku 1Použité veličiny:a, b, c ... délky hran kvádruS ... povrch tělesaV ... objem tělesau s ... stěnová úhlopříčkau t ... tělesová úhlopříčkaZkratka CZ značí tzv. cyklickou záměnu, což představuje záměnu hran v odpovídajícím pořadí.S = 2.(ab + ac + bc)V = a.b.cu s = √(a 2 +b 2 )...CZu t = √(a 2 +b 2 +c 2 )Pozn.: Zvláštním případem je kvádr se čtvercovou podstavouPokud budeme uvažovat a = b, pak vzorce budou v následující podobě:S = 2a 2 + 4acV = a 2 .cu s = a.√2 (pro podstavu) nebo u s = √(a 2 +c 2 ) (pro boční stěnu)u t = √(2a 2 +c 2 )HranolHranol je prostorové těleso, které je tvořeno dvěma shodnými podstavami, které mohou mít tvarlibovolného n-úhelníku, a pláštěm, který tvoří n obecně různých obdélníků.Pozn.: Pokud n-úhelník tvořící podstavu má všechny strany stejně dlouhé, pak nazýváme hranolpravidelný. V tomto případě plášť tvoří shodné obdélníky.Pozn.: Pokud má hranol kteroukoliv boční hranu kolmou k rovině podstavy, nazýváme ho hranolkolmý. Budeme se zabývat v dalších výpočtech pouze komými hranoly.Důležité vzorce:S = 2.S p + S QV = S P . v... S P je obsah podstavy, S Q je obsah pláště... S P je obsah podstavy, v je výška tělesaUvedené vzorce musíme vždy konkretizovat pro konkrétní zadané těleso.± Kvádr, krychle, hranol - ukázkové příklady12.12.2005 22:02:22 Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)22 z 35

M - Příprava na pololetní písemku 11.Je dána krychle o hraně 5,4 cm. Vypočtěte její tělesovou úhlopříčku.Návod:Řešení:Výsledek:a = 5,4 cmu t = ?--------------------------------u t = a.Ö3u t = 5,4.Ö3u t = 9,4 cm (přibližně)Tělesová úhlopříčka krychle má délku asi 9,4 cm.2.V akváriu tvaru kvádru o rozměrech dna 25 cm a 30 cm je 13,5 litru vody. Vypočtěte, dojaké výšky voda sahá.Návod:Řešení:a = 25 cm = 2,5 dmb = 30 cm = 3,0 dmV = 13,5 l = 13,5 dm 3c = ?---------------------------------V = a.b.c452453Výsledek:c =Va.bc =13,52,5.3,0c = 1,8 dm = 18 cmVoda v akváriu sahá do výšky 18 cm.3.Trojboký hranol má podstavu tvaru pravoúhlého trojúhelníku, jehož odvěsny mají délky 3cm a 4 cm. Výška hranolu je 0,25 m. Vypočtěte jeho objem.Návod:Řešení:a = 3 cmb = 4 cmv = 0,25 m = 25 cmV = ?----------------------------------454Výsledek:V = S p.va.bV = . v2V = 150 cm 3Objem hranolu je 150 cm 3 .± Kvádr, krychle, hranol - procvičovací příklady12.12.2005 22:02:22 Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)23 z 35

M - Příprava na pololetní písemku 11.Podstava kolmého trojbokého hranolu je pravoúhlý trojúhelník s odvěsnou6 cm. Obsahnejvětší stěny pláště je 120 cm 2 a výška hranolu je 12 cm. Vypočítejte objem tělesa.Výsledek:288 cm 34642.Povrch kvádru je 1 008 cm 2 . Šířka kvádru je o 20% menší než jeho délka, výška kvádruje o 50% větší než jeho délka. Vypočtěte rozměry kvádru a objem kvádru.Výsledek:2 074 cm 33.Hranol má podstavu tvaru pravoúhlého trojúhelníka. Přepona tohoto trojúhelníkaměří 15 cm, jedna odvěsna 12 cm. Objem hranolu je 1,512 dm 3 . Vypočítejte výškuhranolu a jeho povrch.Výsledek:Výška 28 cm, povrch 1 116 cm 24674574.Z dřevěné válcové klády poloměru 15 cm a délky 5 m o hustotě 750 kg/m 3 byl otesántrám o tloušťce 18 cm s největším možným obdélníkovým průřezem. Vypočítejtehmotnost trámu a počet % odpadlého materiálu.Výsledek:162 kg, 39 %5.Kolik tun slámy lze v prostoru pod střechou domu 150 dm dlouhého a 8 m širokého,kde výška trojúhelníkového štítu je 350 cm, uskladnit, je-li hmotnost 1 m 3 lisované slámy100 kg a prostor je možno zaplnit pouze na 75%?Výsledek:15,75 t6.Kvádr má rozměry a = 3 cm, b = 6 cm, c = 8 cm . Vypočtěte velikost největšístěnové úhlopříčky.Výsledek:10 cm7.Objem trojbokého kolmého hranolu je 1 248 cm 3 . Jeho podstavou jerovnoramenný trojúhelník, který má rameno délky 13 cm a výšku na základnu5 cm. Vypočtěte tělesovou výšku hranolu.Výsledek:20,8 cm8.Nádrž má obdélníkové dno. Délka strany a = 30 dm a úhlopříčky u = 5 m. Za jakdlouho se naplní do výšky 200 cm, je-li přítok 2 l za sekundu? Čas vyjádřete v hodinácha minutách.Výsledek:3 h 20 min9.Hranol s kosočtverečnou podstavou má jednu úhlopříčku podstavy 20 cm a hranupodstavy 26 cm. Hrana podstavy je k výšce hranolu v poměru 2:3. Vypočítejte objemhranolu.Výsledek:18 720 cm 310.Nádoba tvaru kvádru se čtvercovou podstavou a výškou 56 cm byla naplněna po okrajvodou. Do nádoby bylo ponořeno těleso a přitom z nádoby vyteklo 7,5 litru vody. Povyjmutí tělesa z nádoby poklesla hladina vody v nádobě o 12 cm. Vypočtěte, kolik litrůvody zbylo v nádobě.Výsledek:27,5 l46347446147145946545612.12.2005 22:02:22 Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)24 z 35

M - Příprava na pololetní písemku 111.Hranol s kosočtvercovou podstavou má jednu úhlopříčku podstavy 20 cm a hranupodstavy 26 cm. Hrana podstavy je k výšce hranolu v poměru 2:3. Vypočítejte objem apovrch hranolu.Výsledek:Objem 18 720 cm 3 ; povrch 5 016 cm 247212.Trojboký hranol má podstavu tvaru pravoúhlého trojúhelníku, jehož odvěsny mají délky3 cm a 4 cm. Výška hranolu je 0,25 m. Vypočítejte jeho povrch.Výsledek:312 cm 213.Jaký objem má prostor pod střechou domu 150 dm dlouhého a 8 m širokého, je-li výškatrojúhelníkového štítu v = 350 cm?Výsledek:210 m 314.Bazén má tvar kvádru, jeho dno je čtvercové. Délka strany čtverce je 25 m. V bazénu je937 500 litrů vody. Do jaké výšky sahá voda?Výsledek:1,5 m15.Kolikrát se zvětší objem krychle s hranou 2 dm, jestliže bude hrana 3-krát větší?Výsledek:27 krát16.Určete objem a povrch sloupu, který má podstavu tvaru kosočtverce s úhlopříčkami60 cm a 144 cm. Výška sloupu je 2,5 m.Výsledek:Objem 1,08 m 3 ; povrch 8,7 m 217.Rozměry kvádru jsou v poměru 2:3:6 . Jeho tělesová úhlopříčka má délku 14 cm.Určete jeho povrch a objem.Výsledek:288 cm 318.Těleso tvaru kvádru s podstavou obdélníka (24 cm, 12 cm) bylo naplněno vodou dovýšky 20 cm. Vypočítejte objem tělesa ponořeného do vody, jestliže voda stoupne o 3cm.Výsledek:864 cm 345847346946847046045519.Na obdélníkové zahradě o rozměrech 30 m a 16 m napršely 4 mm vody. Kolikadesetilitrovým konvím toto množství odpovídá?Výsledek:19220.Silniční násep má průřez tvaru rovnoramenného lichoběžníka o základně 16 m a 10 m,ramena délky 5 m. Kolik tun zeminy o hustotě 2 000 kg/m 3 je v náspu o délce 1 km?Výsledek:104 000 t466462± Stereometrie - válecVálec12.12.2005 22:02:22 Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)25 z 35

M - Příprava na pololetní písemku 1Válec je prostorové těleso, které je tvořeno dvěma shodnými kruhovými podstavami a pláštěm.Důležité vzorce:S = 2π.r 2 + 2π.r.vS = π d 2 /2+ π.d.vV = π.r 2 .vV = π.d 2 /4.vS ... povrch tělesa; r ... poloměr podstavy, v ... výška tělesad ... průměr podstavyV ... objem tělesaPozn.: Budeme se zabývat pouze tzv. rotačním válcem, což je takový válec, který může rotovat kolemsvé osy, která prochází středy obou podstav.Síť válce tvoří obdélník (rozvinutý plášť) a dva kruhy.± Válec - ukázkové příklady1.Na nátěr otevřeného sudu o průměru 60 cm a výšce 85 cm bylo spotřebováno 0,72 lbarvy. Kolik barvy je potřeba na 1 m 2 , jestliže se sud natíral zvenku i zevnitř?Návod:Řešení:d = 60 cm = 6 dmv = 85 cm = 8,5 dmV 0 = 0,72 l = 0,72 dm 3V = ?----------------------------------475Počítáme povrch válce bez jedné podstavy a výsledek musíme vzít dvakrát (dvanátěry):S = pd 2 /2 + 2p.d.vS = 3,14.6 2 /2 + 2.3,14.6.8,5 = 376,8S = 376,8 dm 2 = 3,77 m 2 (přibližně)Výsledek:V = V 0/SV = 0,72 / 3,77V = 0,191 l (přibližně)Na nátěr jednoho metru čtverečného sudu se spotřebuje přibližně 0,191 l barvy.2.Vypočtěte obsah podstavy válce o objemu 62,8 l a výšce 0,5 m.Návod:Řešení:V = 62,8 l = 62,8 dm 3v = 0,5 m = 5 dmS p = ?----------------------------------------476Výsledek:V = S p . vS p = V / vS p = 62,8 / 5S p = 12,56 dm 2Obsah podstavy válce je 12,56 dm 2 .12.12.2005 22:02:22 Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)26 z 35

M - Příprava na pololetní písemku 1± Válec - procvičovací příklady1.Kolik litrů vody za sekundu může maximálně odvádět koryto, které má průřez půlkruh opoloměru 0,5 m , je-li rychlost proudu 80 cm za sekundu?Výsledek:Koryto může odvádět maximálně 314 litrů vody za sekundu.2.Kolik kilogramových plechovek ekologické barvy je třeba koupit k nátěru padesátidvousetlitrových otevřených sudů na vodu, jejichž průměr je 60 cm? Výrobce udává, že 1kg barvy vystačí na plochu o obsahu 5 m 2 .Výsledek:Je zapotřebí 33 plechovek.3.V nádrži tvaru válce o průměru 6 m je 942 hl vody. Voda sahá do dvou třetin hloubkynádrže. Jaká je hloubka nádrže?Výsledek:Hloubka nádrže je 5 m.4.Kanystr tvaru válce s průměrem 28,22 cm a výškou 40 cm je plný vody. Vodu jsme přelilido jiného kanystru tvaru kvádru se čtvercovou podstavou a výškou jako má válec. Jaký jeobsah podstavy kvádru, je-li po přelití vody také plný?Výsledek:Obsah podstavy kvádru je 625 cm 2 .5.Při nátěru otevřeného sudu zvenku i zevnitř se spotřebuje 0,191 litru barvy na 1 m 2 . Sudmá poloměr 30 cm a výšku 85 cm. Kolik barvy se na nátěr sudu spotřebuje?Výsledek:Na nátěr sudu se spotřebuje 0,72 litru barvy.6.Vypočtěte výšku válce o objemu 62,8 litru, je-li obsah podstavy 12,56 dm 2 .Výsledek:Výška válce je 5 dm.7.V nádrži tvaru válce o poloměru 3 m je 942 hl vody. Voda sahá do dvou třetin hloubkynádrže. Jaký je objem celé nádrže?Výsledek:1 413 hl8.Nádoba tvaru válce má průměr podstavy 0,8 m a obsah podstavy je roven obsahupláště. Do jaké výše naplníme nádobu vodou, chceme-li ji zaplnit ze 30% ?Výsledek:Nádobu naplníme do výše asi 0,6 dm.9.Kanystr tvaru pravidelného čtyřbokého hranolu o délce podstavné hrany 25 cm avýšce 40 cm je plný vody. Vodu jsme přelili do válce o stejné výšce. Jaký průměr máválec, jestliže je také plný?Výsledek:Válec má průměr 28,2 cm.10.Nádoba tvaru válce má průměr podstavy 0,8 m a obsah podstavy je roven obsahupláště. Kolik celých litrů vody můžeme nejvýše nalít do nádoby?Výsledek:Do nádoby můžeme nalít maximálně 100 litrů vody.47847748249749549649848048147912.12.2005 22:02:22 Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)27 z 35

M - Příprava na pololetní písemku 1± Stereometrie - jehlanJehlanJehlan je prostorové těleso, které je tvořeno podstavou tvaru libovolného n-úhelníka a dále navícjedním vrcholem, který nazýváme hlavní.U jehlanu, podobně jako u dalších prostorových těles, počítáme povrch a objem.V = S p.v/3S = S p + S QPodstava je tvořena n-úhelníkem, plášť několika trojúhelníky, které mohou být i shodné. Shodnéjsou tehdy, jestliže podstava je tvořena pravidelným n-úhelníkem. V tomto případě pak jehlannazýváme pravidelný.Pozn.: Budeme se zabývat pouze tzv. kolmými jehlany, což jsou takové, které mají výšku kolmou kpodstavě.Jehlan, který má za podstavu trojúhelník, nazýváme čtyřstěn. Význam má hlavně pravidelnýčtyřstěn, který má podstavu i všechny stěny pláště shodné.± Jehlan - ukázkové příklady12.12.2005 22:02:22 Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)28 z 35

M - Příprava na pololetní písemku 11. Kolik korun bude stát natření střechy věžičky tvaru pravidelného čtyřbokého jehlanu o hraněpodstavy 8,4 m a výšce tělesa 6,5 m, stojí-li 1 kg barvy 63 Kč a z jednoho kilogramu natřeme 12m 2 . Zaokrouhlete na stovky.Návod:484Řešení:a = 8,4 mv = 6,5 mm 0 = 1 kgc 0 = 63 KčS 0 = 12 m 2c = ?--------------------------------------------Je zapotřebí spočítat obsah pláště, proto musíme nejprve spočítat stěnovou výškupo dosazení dostáváme v a = 7,74 m (přibližně)Výsledek:S = 4 . a.va/2 = 2a.vaS = 2 . 8,4.7,74S = 130 m 2 (přibližně)c = S/S0.c0c = 130/12.63c = 682,5 Kč, což je přibližně 700 KčNatření stříšky bude stát přibližně 700 Kč.12.12.2005 22:02:22 Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29 z 35

M - Příprava na pololetní písemku 12. Objem pravidelného čtyřbokého jehlanu je 72,0 cm 3 . Výška jehlanu se rovná délce podstavnéhrany. Vypočítejte délku podstavné hrany a povrch jehlanu.Návod:Řešení:V = 72,0 cm 3v = a = ?S = ?---------------------------------------------V = S p.v/3V = a 3 /3483Po dosazení:a = 6 cmStěnová výška v a:Po dosazení: v a = 6,71 cm (přibližně)Obsah jedné stěny: S 1 = a.v a/2Obsah pláště: S Q = 4.S 1 = 2.a.v aVýsledek:Povrch jehlanu: S = S P + S Q = a 2 + 2.a.v aPo dosazení: S = 6 2 + 2.6.6,71S = 116,5 cm 2 (přibližně)Hrana jehlanu má délku 6 cm a povrch tělesa je 116,5 cm 2 .± Jehlan - procvičovací příklady1. Pobočné hrany o délce 1 dm čtyřbokého jehlanu mají od obdélníkové podstavy odchylku 58°34´.Obsah podstavy je 20 cm 2 . Jak velká je tělesová výška jehlanu?Výsledek: Tělesová výška jehlanu je asi 8,53 cm.4882. Plášť pravidelného čtyřbokého jehlanu je čtyřikrát větší než podstava. Podstavná hrana má délku1 dm. Určete tělesovou výšku jehlanu.Výsledek:Tělesová výška jehlanu je asi 1,94 dm.4873. Vypočtěte povrch a objem pravidelného čtyřbokého jehlanu, který má všechny hrany stejnědlouhé, je-li poloměr kružnice opsané podstavě 4 cm.Výsledek:Objem jehlanu je asi 42,7 cm 3 , povrch asi 87,5 cm 2 .4854. Ve čtyřbokém kolmém jehlanu jsou dány podstavné hrany a1 = 20 cm, a2 = 8 cm a tělesová výškav = 17 cm. Vypočtěte velikost pobočné hrany.Výsledek:Délka pobočné hrany je asi 20,1 cm.48612.12.2005 22:02:22 Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)30 z 35

M - Příprava na pololetní písemku 15. Vypočtěte objem čtyřbokého jehlanu s lichoběžníkovou podstavou, je-li a = 7 cm, c = 4 cm, va = 3cm, v = 12 cm.Výsledek: Objem jehlanu s lichoběžníkovou podstavou je 66 cm 3 .4906.Vypočtěte objem pravidelného šestibokého jehlanu, který má hranu podstavy dlouhou 6cm a výšku tělesa dlouhou 8 cm.Výsledek:Objem jehlanu je asi 374,4 cm 3.7.Vypočtěte objem pravidelného čtyřbokého jehlanu, který má boční hranu dvakrát delšínež je hrana podstavy, je-li poloměr kružnice opsané podstavě 6 cm.Výsledek:Objem čtyřbokého jehlanu je asi 381,5 cm 3 .8.Kolik korun bude stát natření střechy věžičky tvaru pravidelného čtyřstěnu s podstavou oobsahu 20 m 2 , stojí-li natření jednoho metru čtverečního 5,25 Kč?Výsledek:Natření střechy bude stát 315 Kč.5355325339. Vypočtěte objem pravidelného trojbokého jehlanu, je-li a = 17 cm, v = 35 cm.Výsledek:Objem pravidelného trojbokého jehlanu je asi 1 460 cm 3 .49110. Vypočti povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu, má-li hranu podstavy 4 cm a pobočnou hranudlouhou 15 cm.Výsledek: Povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu je asi 135 cm 2 .49311. Žulový obelisk o výšce 18 m a stranou čtvercové podstavy 0,8 m se má ustavit na místo jeřábem.Jakou minimální nosnost musí jeřáb mít? Hustota žuly se počítá 2 800 kg/m 3 .Výsledek:Jeřáb musí mít minimální nosnost 11 tun.49212.Vypočti povrch jehlanu s obdélníkovou podstavou, je-li a = 10 cm, b = 8 cm a tělesovávýška je 15 cm.Výsledek:Povrch jehlanu je 362 cm 2.53413. Vypočtěte objem pravidelného osmibokého jehlanu, jestliže hrana podstavy má délku 3 cm avýška tělesa je 9 cm.Výsledek: Objem pravidelného osmibokého jehlanu je asi 130,3 cm 3 .48914. Vypočti povrch jehlanu s obdélníkovou podstavou, je-li a = 16 cm, b = 12 cm, h = 20 cm, kde a, bjsou hrany podstavy a h je pobočná hrana.Výsledek: Povrch jehlanu je asi 714 cm 2 .494± Stereometrie - kuželKužel je prostorové těleso, které je tvořeno jednou podstavou a pláštěm. Podstava má tvar kruhu,plášť, kdybychom ho rozvinuli do roviny, bude mít tvar kruhové výseče.12.12.2005 22:02:22 Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)31 z 35

M - Příprava na pololetní písemku 1r ... poloměr podstavyv ... výška kuželeV ... hlavní vrchols ... strana kuželeVzhledem k tomu, že výše zobrazený kužel může rotovat kolem své výšky, nazýváme tento typ kuželerotační kužel. Budeme se zabývat právě takovými kuželi. U kužele počítáme, podobně jako udalších těles, povrch a objem.Pozn.: Někdy se také kužel definuje jako těleso, které vznikne rotací pravoúhlého trojúhelníka kolemjedné z jeho odvěsen.Důležité vzorce:1 21 2V = π.r . v V = π.d . v312S = π . r2 + π. r.s1S =1 π . d2 + π.d.s4 2S ... povrch tělesaV ... objem tělesad ... průměr podstavy± Kužel ukázkové příklady12.12.2005 22:02:22 Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)32 z 35

M - Příprava na pololetní písemku 11.Jak velký objem by měl kužel, který by vznikl rotací rovnoramenného trojúhelníku súhlem při základně 25° a ramenem délky 0,75 m?Návod:Řešení:500Obrázek je jen ilustračníVýška tělesa je tedy zároveň výškou trojúhelníka.a = 25°s = 0,75 mV = ? [m 3 ]----------------------------------------------sin a = v/sv = s . sin av = 0,75 . sin 25°v = 0,75 . 0,4226v = 0,316 95 m = 0,32 m (po zaokrouhlení)cos a = r/sr = s . cos ar = 0,75 . cos 25°r = 0,75 . 0,9063r = 0,679 725 m = 0,68 (po zaokrouhlení)Výsledek:V = p r 2 v/3V = 3,14.0,68 2 .0,32/3V = 0,155 m 3 (po zaokrouhlení)V = 155 dm 3Objem kužele je 155 dm 3 .2.Objem kužele je 12 cm 3 , jeho výška je 4 cm. Jaký je obsah podstavy kužele?Návod:Řešení:Výsledek:V = 12 cm 3v = 4 cmS p = ? [cm 2 ]----------------------------------------1V = Sp.v3S p=3V/vS p = 3.12/4S p= 9 cm 2Obsah podstavy kužele je 9 cm 2 .49912.12.2005 22:02:22 Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)33 z 35

M - Příprava na pololetní písemku 13.Plechová stříška tvaru kužele má průměr podstavy 80 cm a výšku 60 cm. Vypočtětespotřebu barvy na natření této stříšky, spotřebuje-li se 1 kg barvy na 6 m 2 plechu.Návod:Řešení:d = 80 cmv = 60 cmm 0 = 1 kgS 0 = 6 m 2m = ? [kg]---------------------------------------------------------Natíráme pouze plášť kužele, protoS = p d.s/2 (1)Neznáme s, proto ho spočítáme pomocí Pythagorovy věty:ss==v2+æçèd2 ÷ öø22 æ ö60 + ÷øçè802s = 72,11 (po zaokrouhlení)Dosadíme do (1):S = 3,14 . 80 . 72,11/2S = 9057 cm 2 = 0,91 m 2 (po zaokrouhlení)2501Výsledek:1 kg ... 6 m 2m [kg] ... 0,91 m 2---------------------------------------Jedná se o přímou úměrnost, protom = 1 . 0,91/6m = 0,152 kg (o zaokrouhlení)Na natření stříšky je zapotřebí asi 0,152 kg barvy.± Kužel - procvičovací příklady1.Nádobka tvaru kužele o poloměru podstavy 20 cm a výšce 36 cm byla zcela naplněnavodou. Voda byla přelita do nádoby tvaru válce o poloměru podstavy 12 cm. Jak vysokobyla voda v nádobě tvaru válce?Výsledek:Voda v nádobě tvaru válce sahala do výšky asi 33,3 cm.2.Rotační kužel má obsah podstavy 28,26 cm 2 a objem celého tělesa je 131,88 cm 3 . Určetejeho výšku.Výsledek:Výška kužele je 14 cm.51550812.12.2005 22:02:22 Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)34 z 35

M - Příprava na pololetní písemku 13.Vypočti objem kužele s průměrem podstavy 32 cm a výškou tělesa 0,5 m.Výsledek:Objem kužele je 13 397 cm 3 .4.Vypočti objem kužele, který má průměr podstavy roven výšce tělesa. Poloměr podstavykužele je 7 cm.Výsledek:Objem kužele je 718 cm 3 .5.Vypočti povrch kužele, je-li jeho výška 15 cm a strana 17 cm.Výsledek:Povrch kužele je 628 cm 2 .6.Vypočti povrch kužele, jehož strana je 10 cm a průměr podstavy je 10 cm.Výsledek:Povrch kužele je 235,5 cm 2 .7.Kužel má objem 83,7 cm 3 a průměr podstavy 8 cm. Vypočti výšku tělesa.Výsledek:Výška kužele je 5 cm.8.Nálevka na 1 litr má tvar kužele s poloměrem podstavy 10 cm. Jaká je výška nálevky?Výsledek:Výška nálevky je asi 9,6 cm.9.V závodě na výrobu nápojového skla vyrábějí dva typy skleniček ve tvaru kužele. Prvnítyp o průměru 9 cm s výškou 6,5 cm a druhý typ o průměru 6 cm s výškou 14,5 cm.Která sklenička má větší objem? Vejdou se do některé z nich 2 dl nápoje?Výsledek:Větší objem má sklenička 1. typu; 2 dl nápoje se ale nevejdou do žádné skleničky.10.Kolik metrů krychlových je uloženo na hromadě tvaru kužele, je-li výška hromady 2,6 m anejvětší šířka hromady 7 m?Výsledek:Na hromadě je uloženo asi 33,3 m 3 písku.11.Vypočti povrch kužele, který má výšku 16 cm a poloměr podstavy 0,3 m.Výsledek:Povrch kužele je 6 029 cm 2 .12.Nádoba tvaru kužele s průměrem dna 60 cm a stranou délky 50 cm je zcela naplněnavodou. Vodu přelijeme do nádoby, která má tvar válce o poloměru dna 30 cm a výšce 20cm. Kolik litrů vody je třeba do nádoby tvaru válce dolít, aby byla zcela naplněna?Výsledek:Do nádoby musíme dolít asi 18,8 litru vody.13.Kužel má objem 1 441 cm 3 a výšku 17 cm. Vypočti poloměr podstavy tohoto kužele.Výsledek:Poloměr podstavy kužele je 9 cm.14.Vypočti objem kužele o poloměru podstavy 35 cm, je-li výška tělesa rovna 19 cm.Výsledek:Objem kužele je 24 361 cm 3 .50550351351150750251050951251450650412.12.2005 22:02:22 Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)35 z 35

M - Příprava na pololetní písemku 1ObsahOpakování 1. ročníku - Procenta 1Opakování učiva 1. ročníku - Racionální a reálná čísla 4Opakování učiva 1. ročníku - Poměr, trojčlenka 5Opakování učiva 1. ročníku - Úpravy celistvých výrazů 10Celistvé výrazy - procvičovací příklady 11Opakování učiva 1. ročníku - Úpravy lomených výrazů 13Lomené výrazy - procvičovací příklady 14Opakování učiva 1. ročníku - Rovinné útvary 17Opakování učiva 1. ročníku - Goniometrické funkce 19Stereometrie - vzájemné polohy prostorových útvarů 21Stereometrie - kvádr, krychle, hranol 21Kvádr, krychle, hranol - ukázkové příklady 22Kvádr, krychle, hranol - procvičovací příklady 23Stereometrie - válec 25Válec - ukázkové příklady 26Válec - procvičovací příklady 27Stereometrie - jehlan 28Jehlan - ukázkové příklady 28Jehlan - procvičovací příklady 30Stereometrie - kužel 31Kužel ukázkové příklady 32Kužel - procvičovací příklady 3412.12.2005 22:02:22Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)