Technická mechanika v letectví - prof. Ing. Jan Ondrouch, CSc.

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────11.1 Pohybové rovnice......................................................................................... 5611.2 Kinetická energie.......................................................................................... 5611.3 Doplňkové účinky ........................................................................................ 5712 Kinematika mechanismů...................................................................................... 5912.1 Mechanismy s konstantními převody........................................................... 5912.1.1 Jednoduchý převod................................................................................. 5912.1.2 Složený převod ....................................................................................... 6012.1.3 Planetový převod.................................................................................... 6012.2 Mechanismy s proměnlivými převody......................................................... 6113 Dynamika mechanismů........................................................................................ 6314 Základy technického kmitání ............................................................................... 6814.1 Kmitání soustav s jedním stupněm volnosti................................................. 6814.1.1 Volné netlumené kmitání ....................................................................... 6814.1.2 Volné tlumené kmitání ........................................................................... 6914.1.3 Kmitání vynucené budící silou harmonického průběhu......................... 7014.2 Kmitání lineárních soustav s více stupni volnosti........................................ 7314.2.1 Pohybové rovnice ................................................................................... 7314.2.2 Volné kmitání netlumené soustavy ........................................................ 7414.2.3 Kmitání vynucené budícími silami harmonického průběhu................... 7414.2.3.1 Netlumená soustava......................................................................... 7414.2.3.2 Tlumená soustava ............................................................................ 7514.2.4 Kroutivé kmitání..................................................................................... 7614.3 Krouživé kmitání hřídelů – kritické otáčky.................................................. 77Literatura ...................................................................................................................... 783

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────PředmluvaTento text je určen studentům bakalářského studijního programu TECHNOLOGIELETECKÉ DOPRAVY Fakulty strojní Vysoké školy báňské – Technické univerzity Ostrava.Má sloužit jako základní učební pomůcka ke studiu vybraných kapitol ze statiky, kinematikya dynamiky, které jsou důležité a prospěšné pro ucelené vzdělání bakalářů strojnickéhozaměření a potřebné v technické praxi. Při výkladu se předpokládají základní vědomostiz mechaniky získané v přednáškách z fyziky. Učební text obsahuje látku, kterou by jinakmuseli studenti pracně vyhledávat z několika učebnic, kterých je navíc nedostatek.Autor věří, že učební text usnadní studium předmětu Technická mechanika studentůmbakalářského studijního programu Technologie letecké dopravy a hlavně přispěje ke zvýšeníúrovně znalostí studentů.4

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────1 Uložení a rovnováha tělesa v roviněMnožství praktických technických problémů lze s úspěchem modelovat a formulovatjako rovnováhu tělesa v rovině. Základním předpokladem je skutečnost, že síly na tělesopůsobící (akční a reakční), tvoří rovinnou soustavu sil.1.1 Těleso volnéVolné těleso může konat tři nezávislé pohyby: posuv ve směru osy x, posuv ve směruosy y, a pohyb rotační. yFi(x i, y i )α i0 xObr. 1.1Volné těleso (obr. 1.1) má tedy tři stupně volnosti, i = 3. Působící akční síly F i tvoříobecnou rovinnou soustavu, takže musí splňovat tři podmínky rovnováhy:n∑F ixi=1n∑F iyi=1= 0= 0 (1.1)n∑M i = 0i=1kdeF= ⋅cosα, Fiy F i ⋅ αiixF ii= sin a Mi= xi⋅Fiy− yi⋅Fix1.2 Těleso vázanéVázané těleso je takové těleso, které se stýká s rámem, čímž je jeho pohyb omezen.Omezení pohybu se realizuje tzv. vazbami. V této kapitole se budeme zabývat ideálnímivazbami, u kterých se zanedbávají pasivní odpory.5

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────1.2.1 Těleso vázané v jednom bodě1.2.1.1 Bod tělesa vázán ke křivce – vazba obecnáZákladní typy provedení vazby jsou na obr. 1.2.nF inFinFi• t• t•tNNkObecná vazba neumožňuje tělesu pohyb ve směru normály n, odebírá mu jeden stupeňvolnosti (m = 1). V tomto směru na těleso působí rám reakcí, normálovou silou kterápředstavuje jednu statickou neznámou (jeden neznámý statický parametr). Těleso má dvastupně volnosti (i = 2), posuv ve směru tečny t a rotaci kolem dotykového bodu.Takto uložené těleso musí splňovat následující podmínky rovnováhy:n∑F it = 0i=1n∑F in + N =i=1n∑M i = 0i=10 (1.2)Kde F it a F in jsou průměty akčních sil F i do směrů tečny t a normály n, M i je momentF i k momentovému bodu na normále n.První a třetí rovnice vyjadřuje podmínku rovnováhy akčních sil F i· (neobsahujereakce). Takovéto rovnice se nazývají vlastní rovnovážné rovnice. Druhá rovnice umožňujevýpočet normálové reakce N.1.2.1.2 Bod tělesa nepohyblivý – vazba rotačníVazba rotační neumožňuje posuv ve dvou směrech, odebírá dva stupně volnosti (m =2), obr. 1.3.yObr. 1.2.FiNR y0R x(x i ; y i )x0 … nepohyblivý bodObr. 1.3.6

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────Ve směrech zamezených posuvů (např. x, y) působí na těleso reakce R x a R y , kterépředstavují dva neznámé statické parametry. Těleso má jeden stupeň volnosti (i = 1), rotacikolem nepohyblivého bodu.Podmínky rovnováhy:n∑F ix + R x = 0i=1n∑F iy + R yi=1= 0 (1.3)n∑M i 0 = 0i=1Momentovou rovnici rovnováhy sestavíme s výhodou k momentovému bodu 0.Rovnice pak neobsahuje reakce a je vlastní rovnovážnou rovnicí. Složkové rovnice rovnováhy2umožňují výpočet složek R x , R y výsledné reakce R, jejíž velikost R 2 += R x R y .1.2.2 Těleso vázané ve více bodech1.2.2.1 Pohyblivá uloženíDvě obecné vazby (m = 2), obr. 1.4n 2n 1 ≡ y• P ≡ 0α(x i ; y i )FixObr. 1.4.Těleso může konat elementární rotační pohyb kolem okamžitého středu otáčení, póluP (i = 1). Pro zvolenou souřadnou soustavu budou platit rovnovážné rovnice:n∑F ix −N2 ⋅cosα = 0i=1n∑Fiy+ N1 + N2⋅ α = 0i=1n∑M iP = 0i=1N12sin (1.4)Momentová rovnice rovnováhy k pólu P neobsahuje reakce, je vlastní rovnovážnourovnicí. Složkové rovnice rovnováhy umožňují výpočet normálových reakcí N 1 a N 2 .N7

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────Posuvná vazbaUmožňuje pouze posuv (i = 1), tělesu odebírá druhý posuv a rotaci (m = 2).Základní typy provedení, vznikající reakční účinky a rovnovážné rovnice jsouuvedeny níže.a) vazba jednostranná, první způsob zavedení reakčních účinků (N, x N ), obr. 1.4.Podmínky rovnováhy:n∑F ix =i=1n∑F iy + N =i=10 (vlastní rovnovážná rovnice)n∑Mi + N⋅x N = 0i=1y0N Fi(x i ; y i )x NObr. 1.4.0 k výpočtu neznámých parametrů reakcí (N; x N )Platí pouze pro: N ≥ 0Jednostranná vazba vyžaduje silový styk.b) vazba oboustranná, druhý způsob zavedení reakčních účinků (N; M N ), obr. 1.5.xy( N)FiM N(x i ; y i )0xNObr. 1.5.8

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────Složkové podmínky rovnováhy s výhodou nahradíme momentovými podmínkamirovnováhy. Momentové podmínky rovnováhy k bodům O 23 , O 31 a O 23 pak budou:n∑i=1n∑i=1n∑i=1Mi23 + N1⋅p1= 0Mi13 −N2⋅p2= 0 k výpočtu neznámých parametrů reakcí (N 1 , N 2 , N 3 ) (1.8)Mi 12 + N3⋅p3=0c) posuvná + obecná vazba, obr. 1.8.yαN10N2(x i ; y i )F ixPodmínky rovnováhy:n∑i=1F ix + N1 ⋅cosα = 0Obr. 1.8.x Nn∑F −N⋅ sin α + N 0 k výpočtu neznámých parametrů reakcí (N 1 , N 2 , x N ) (1.9)iyi=11 2 =n∑i=1Mi + N2 ⋅ x N = 0d) vetknutí tělesa do rámu, obr. 1.9yR yF i0R x(x i ; y i )xObr. 1.9.Při vetknutí tělesa do rámu je tělesu zamezen posuv ve dvou směrech i rotace. Tomuodpovídají reakce R x , R y a moment vetknutí M V .Podmínky rovnováhy:n∑i=1F ix + R x = 0n∑ iyi=1F + R = 0 k výpočtu neznámých parametrů reakcí (R x , R y , M V ) (1.10)yM Vn∑i=1M i + M V= 010

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────1.3 Vazbová závislostPro uložení tělesa platí vazbová závislost:i = 3 − mkdei … počet stupňů volnosti, počet vlastních rovnovážných rovnic.Pokud akční síly F i nesplňují vlastní rovnovážné rovnice, je i rovno počtu tzv.přídavných rovnovážných účinků (síly na daných nositelkách nebo silové dvojice).m … počet odebraných stupňů volnosti, počet neznámých parametrů reakcíPodle počtu stupňů volnosti dělíme uložení tělesa na :i > 0 … případy staticky určité, pohyblivéi = 0 … případy staticky určité, nepohyblivéi < 0 … případy staticky neurčité, nepohyblivéPřípady staticky neurčité nemůžeme prostředky statiky řešit.1.4 Uvolnění tělesaNahrazením vazeb příslušnými reakčními účinky provedeme uvolnění tělesa. Tímpřevádíme úlohu o rovnováze tělesa na úlohu o rovnováze silové soustavy akčních areakčních sil, která uvolněním vznikla.11

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────2 Statika rovinných soustav těles2.1 Základní poznatky, vazbySoustava těles je seskupení nejméně tří těles (členů) včetně rámu spojených vzájemněvazbami. Síly, působící mezi tělesy, jsou vždy stejně velké a opačně orientované a budeme jeoznačovat jako síly vnitřní (S).Ideální (dokonale hladké) vazby mezi tělesy „a“ a „b“, jejich schéma, stupně volnosti(i), počty odebraných stupňů volnosti (m) a uvolnění jsou uvedeny v tabulce 2.1.Tabulka 2.1Název Označ. Schéma i m Uvolnění těles TřídanSs a aattobecná o 2 1 1s b bbSnbrotační ra ψ 1 2aS y bS x S xS ybnnbaposuvná p 1 2saSM sSM s2S ybs aPvalivá v 1 2sbPaS yS xS xP12

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────Obecná vazba je realizována bodovým dotykem dvou křivek. Ve zvláštním případěmůže jedna z křivek degenerovat v bod. Umožňuje relativní posuv ve směru tečny a rotacikolem dotykového bodu. K určení vzájemné polohy těles je třeba dvou nezávislých souřadnics a , s b . Tomu odpovídají dva stupně volnosti (i = 2). Vazba nedovolí vzájemný pohyb ve směrunormály, odebírá jeden stupeň volnosti (m = 1) a v tomto směru působí vnitřní síly S, kterépředstavují statický parametr.Rotační vazba umožňuje rotaci kolem otočného bodu. K určení vzájemné polohypostačuje jedna nezávislá souřadnice ψ (i = 1). Vazba nedovolí vzájemný pohyb ve dvou2směrech, vznikají složky S x a S y výsledné vnitřní síly S = 2 + , které představují dvaneznámé statické parametry.S x S yPosuvná vazba umožňuje vzájemný přímočarý pohyb těles. K určení vzájemné polohytěles postačuje jedna nezávislá souřadnice s (i = 1). Vazba nedovolí posuv ve směru normályk možnému pohybu a vzájemnou rotaci těles (m = 2). Výsledkem vzájemného působení jepak vnitřní síla S působící ve směru normály a vnitřní silová dvojice M S , které představují dvaneznámé statické parametry.Valivá vazba neumožňuje na rozdíl od obecné vazby vzájemný prokluz ve směrutečny t, s a = s b = s. V dané okamžiku je možná pouze rotace kolem okamžitého středuotáčení, pólu pohybu P. Z hlediska statiky má tedy stejné vlastnosti jako vazba rotační.2.2 Pohyblivost a statická určitost rovinných soustav tělesS výjimkou zvláštních případů určíme pohyblivost rovinné soustavy těles z následujícíúvahy. Má-li soustava n členů včetně rámu, je počet stupňů volnosti volných těles 3·(n - 1).Spojením dvou těles vazbou druhé třídy se sníží počet stupňů volnosti o dva, vazbou prvnítřídy o jeden stupeň volnosti. Počet stupňů volnosti je tedy dán vzorcemi = 3 · (n - 1) - 2·(r + p + v) - 1·o (2.1)kde n … je počet členů soustavy včetně rámur … je počet rotačních vazebp … je počet posuvných vazebv … je počet valivých vazebo … je počet obecných vazebJe-li počet stupňů volnostii > 0 jde o soustavu staticky určitou pohyblivoui = 0 jde o soustavu staticky určitou nepohyblivoui < 0 jde o soustavu staticky neurčitou nepohyblivouPříklad staticky určité pohyblivé soustavy je uveden na obr. 2.1.a, staticky určiténepohyblivé soustavy na obr 2.1.b a staticky neurčité soustavy na obr 2.1.c.13

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────Určení statické určitosti a nepohyblivosti bylo provedeno v kapitole 2.2., i = 0.Uvolnění tělesčlen 2 člen 3S yh2S xF 2F 33 B yS xS yA y bA xB xO 1d Oa2cObr. 2.3.Rovnice rovnováhyA x + F 2 + S x = 0 B x – S x = 0A y + S y = 0 B y – S y – F 3 = 0 (2.2)O 1 : S y · a – S x · h – F 2 · b = 0 O 2 : S x · h + S y · c + F 3 · d = 0Rozbor řešitelnosti a řešení rovnovážných rovnicSoustava rovnic 2.2 představuje 6 lineárních algebraických rovnic pro 6 neznámýchstatických parametrů A x , A y , B x , B y , S x , S y.Řešení můžeme provést v maticovém tvaruA · x = b (2.3)A x A y S x S y B x B y⎡ 1⎢⎢0⎢ 0⎢⎢ 0⎢ 0⎢⎢⎣001000010− h−10h01a0−1c0001000 ⎤ ⎡A⎢0⎥⎢A⎥0 ⎥ ⎢S⎥ ⋅ ⎢0 ⎥ ⎢S1 ⎥ ⎢B⎥ ⎢0 ⎥⎦⎢⎣Bxyxyxy⎤ ⎡ −F2⎤⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢0⎥⎥ ⎢ F2⋅b⎥⎥ = ⎢ ⎥⎥ ⎢ 0 ⎥⎥ ⎢ F ⎥⎥3⎢ ⎥⎥⎦⎢⎣−F3⋅d⎥⎦Pak sloupcová matice neznámých (det A ≠ 0)(2.4)x = A -1 · b (2.5)Z matice x odečteme neznámé parametry.15

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────Diskuse získaných výsledkůPokud je řešení správné, musí platit pro celou soustavu podmínky rovnováhy vnějšíchsil (akcí a reakcí).F 2 + A x + B x = 0A y + B y -F 3 = 0 (2.6)O 1 : -F 2 . b – F 3 · (a + c –d) + B y · (a + c) = 02.4 Početní řešení sil ve vazbách a přídavných rovnovážnýchúčinků pohyblivých soustav staticky určitýchPostup řešení metodou uvolňování je stejný jako u soustav nepohyblivých, pouze prodosažení rovnováhy zavádíme tolik přídavných rovnovážných účinků, kolik má soustavastupňů volnosti. Přídavnými rovnovážnými účinky jsou buď hledaná rovnovážná síla na danénositelce nebo rovnovážný moment.Př. 2.2. Určete rovnovážný moment, reakce a vnitřní síly u klikového mechanismuzatíženého silou F s uvážením tíhových sil, obr. 2.4.Mechanický modelAT 3T 24O21G 2 G 33T 4 ≡ B1G 4FαObr. 2.4.Určení statické určitosti a pohyblivostii = 3 · (4 – 1) – 2 · (3 + 1) = 1Pro rovnováhu zaveden jeden přídavný rovnovážný účinek, rovnovážný moment na klice 2.Uvolnění tělesčlen 2 člen 3 člen 4S AyS Ax SAxS AyM rO 2 R xT 22G 2c3S ByS Bx4M NNαfFR yabedG 3T 3O 3O 4S BxS ByG 4g16

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────Rovnice rovnováhyR x + S Ax = 0 S Bx – S Ax =0 -S Bx – F · cosα = 0R y – G 2 + S Ay = 0 S By – G 3 – S Ay = 0 N – S By – G 4 – F · sinα = 0 (2.7)O 2 : S Ay · b – G · a – S Ax · c + M r = 0 O 3 : S Ax · c + S Ay · e + G 3 · d = 0 O 4 : M N – F · f = 0Rozbor řešitelnosti a řešení rovnovážných rovnicSoustava rovnic (2.7) představuje 9 lineárních algebraických rovnic pro 9 neznámýchstatických parametrů R x, R y , S Ax , S Ay , S Bx , S By , N, M N , M r .Řešení můžeme provést opět v maticovém tvaru.Diskuse získaných výsledkůSprávnost řešení překontrolujeme z podmínky rovnováhy vnějších silových účinků.R x – F · cosα = 0R y – G 2 – G 3 – G 4 + N – F · sinα = 0 (2.8)O 2 : M r – G 2 · a – G 3 ·(b + e – d) + (N – G 4 ) ·(b + e) – F · sinα· (b + e + g) + M N = 017

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────3 Prutové soustavy rovinné3.1 Základní poznatkyPrutové soustavy jsou speciální soustavy těles,které umožňují lehkou a ekonomickoukonstrukci rozměrných útvarů, jako jsou např. draky letadel, mosty, jeřáby, sloupyelektrického vedení a pod. Příklad mechanického modelu prutové konstrukce je na obr. 3.1.prutC4vícenásobný styčníkE8Gtrojný styčník2357911dvojný styčníkA1D6F10BObr. 3.1.Tělesa prutové soustavy jsou štíhlá (mají mnohem větší délku než příčný rozměr) anazýváme je pruty. Pruty jsou spojeny svými konci ve styčnících. Podle počtu prutůspojených ve styčnících označujeme styčníky jako dvojné, trojné a vícenásobné. Má-li býtnamáhání prutů jen osové (tahové, nebo tlakové), musí vnější síly působit pouze vestyčnících. Takovému zatížení říkáme styčníkové.Mechanický model má následující podstatné vlastnosti.a) Jednotlivá tělesa jsou pruty, tj. štíhlá tělesa navzájem spojená jen koncovými body.b) Konce prutů jsou spojeny rotačními vazbami, ideálními klouby.c) Vnější síly působí pouze ve styčnících, tj. zatížení soustavy je styčníkové (vlastnítíhu prutů zanedbáváme).Pruty označujeme čísly, styčníky velkými písmeny. Síly, působící na uvolněné pruty az uvolněných prutů na styčníky při tahovém a tlakovém namáhání, jsou zakresleny na obr.3.2.tahtlakObr. 3.2.18

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────3.2 Statická a tvarová určitostSoustava je staticky určitá, je-li počet neznámých veličin roven počtu rovnovážnýchrovnic. Neznámými veličinami jsou síly v prutech a složky reakcí. Počet rovnovážných rovnicve styčnících se rovná dvojnásobku počtu styčníků, protože síly působící na uvolněný styčníktvoří rovinnou soustavu sil o společném působišti, která má dvě rovnovážné rovnice. Nutnápodmínka statické určitosti je tedy2s = p + m (3.1)kde s je počet styčníků, p je počet prutů, m je počet neznámých složek reakcí.Při rozboru statické určitosti je vhodné zavést pojem tvarové určitosti. Tvarově určitáje taková prutová konstrukce, která po odpojení od rámu tvoří tuhý celek, tzv. prutové těleso.Reakce ve vazbách nepohyblivě uloženého tělesa představují tři neznámé statické parametrym = 3 (kap. 1.). Pro staticky a tvarově určitou soustavu platí:2s = p + 3 resp. 2s – p = 3 (3.2)V případě, že 2s – p > 3, je soustava tvarově neurčitá. Je-li 2s – p < 3, jedná se otvarově určitou, ale (vnitřně) staticky neurčitou soustavu.3.3 Početní řešení3.3.1 Metoda styčníkováPostata této metody spočívá v uvolnění jednotlivých styčníků a řešení rovnováhy sil,které působí na každý uvolněný styčník pomocí dvou rovnovážných rovnic.Postup řešení je ukázán na následujícím příkladu.Př. 3.1. Určete reakce a síly v prutech konzoly pro uchycení kabelů elektrickéhovedení. Tíhy vodičů, připadající na konzolu, jsou G 1 a G 2 , obr. 3.3.Mechanický modelD6βC7543EB12αAlG 2lG 1Obr. 3.3.Statická a tvarová určitostp + 3 = 2S7 + 3 = 2 ·510 = 10 … staticky a tvarově určitá soustava19

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────Uvolnění jednotlivých styčníkůStyčníky uvolníme zavedením reakcí od rámu R C , R Dx, R Dy a vnitřních sil S i (i = 1 až 7)přímo v mechanickém modelu, obr. 3.4. Vnitřní síly předpokládáme jako tahové.R DxDR DyS 7S 6S 6ESS 25S 7 S 3S 5C α S 3αS 2R CS 4 S 4B S 1 S 1βG 2AG 1Rovnovážné rovniceObr. 3.4.Výhodné je vyjít od dvojného styčníku a dále řešit styčníky pouze se dvěmaneznámými statickými parametry. Takto lze postupně jednoduše vypočítat hledané neznámé.Styčník A: -S 1 – S 2·cosα = 0 ⇒ S 1S 2·sinα – G 1 = 0 ⇒ S 2Styčník B: S 1 – S 4 = 0 ⇒ S 4S 3 – G 2 = 0 ⇒ S 3Styčník E: S 2·cosα – S 6·cosα –S 5·cosα = 0S 6·sinα – S 2·sinα – S 5·sinα –S 3 = 0⇒ S 5 , S 6Styčník C: S 4 + S 5·cosα + R C·sinβ = 0 ⇒ R CS 7 + S 5·sinα + R C·cosβ = 0 ⇒ S 7Styčník D: S 6·cosα + R Dx = 0 ⇒ R DxR Dy – S 7 – S 6·sinα = 0⇒ R Dy20

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────Diskuse získaných výsledkůPokud vyjdou síly v prutech záporné, znamená to, že jsou namáhány tlakem.Pro kontrolu správnosti řešení je možno opět využít podmínky rovnováhy vnějších sil:R Dx + R C·sinβ = 0R Dy + R C·cosβ –G 1 – G 2 = 0C: -G 1·2l – G 2·l - R Dx·2l·sinα = 03.3.2 Metoda průsečnáJe výhodná, chceme-li určit osové síly jen v některých prutech. Její princip spočíváv následující úvaze: Je-li v rovnováze celá soustava, musí být v rovnováze i její části, vzniklérozdělením soustavy myšleným řezem.Postup řešení:Myšleným řezem přerušíme tři pruty soustavy neprocházející jedním bodem.Přerušené pruty nahradíme osovými silami a řešíme rovnováhu vnějších sil a vnitřníchosových sil působících na oddělenou část.Př. 3.2. Určete osové síly v prutech 4, 5, 6 konzoly z příkladu 3.1. průsečnoumetodou.Myšleným řezem přerušíme pruty 4, 5, 6 a zakreslíme síly působící na pravouoddělenou část, obr. 3.5. Síly v prutech předpokládáme tahové.S 6ES 5CBαAlS 4G 2lG 1Obr. 3.5.Pro výpočet osových sil využijeme s výhodou tři momentové podmínky rovnováhy kevhodně zvoleným momentovým bodům.E: -S 4·l·sinα – G 1·l = 0 ⇒ S 4A: G 2·l + S 5·2l·sinα = 0 ⇒ S 5C: S 6·2l·sinα – G 2·l – G 1·2l = 0 ⇒ S 621

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────4 Nosníky4.1 Rovnováha části tělesa, vnitřní statické účinkyBudeme předpokládat rovinné zatížení tělesa. K určení vnitřních sil ve vyšetřovanémmístě C použijeme metodu myšleného řezu, obr. 4.1.F 1 F i F nCIIIxR 1 R jR mmyšlený řezR 1F 1 F iI„odstraněná“ částTCM oNTObr. 4.1.NM oyTCTF nR jII„uvolněná“ částxR mMyšleným řezem, vedeným ve vyšetřovaném místě C kolmo k ose x, rozdělíme tělesona dvě části I a II. Jednu část, např. I myšleně odstraníme a její účinek v místě těžiště plochyřezu na zbývající část II nahradíme vnitřními silami. Tento účinek je dán působením obecnérovinné soustavy sil na odstraněné části a lze jej nahradit dvěma složkami N a T výslednice sila momentovou výslednicí M o .Síla N působí ve směru osy x kolmo k průřezu a nazývá se normálová síla. Namáhámateriál tělesa tahem nebo tlakem.Síla T působí ve směru osy y v ploše průřezu a nazývá se posouvající síla. Tato sílanamáhá těleso smykem.Moment M o působí v rovině xy a nazývá se ohybový moment. Materiál tělesa namáháohybem.Velikost těchto vnitřních statických účinků stanovíme jako při obecném nahrazovánísilové soustavy na odstraněné části.Normálová síla N je ve vyšetřovaném průřezu dána algebraickým součtem průmětůvnějších sil do směru kolmého k rovině řezu na odstraněné části tělesa.Tečná síla T je ve vyšetřovaném průřezu dána algebraickým součtem průmětů vnějšíchsil do roviny řezu na odstraněné části tělesa.Ohybový moment je ve vyšetřovaném průřezu dán algebraickým součtem momentůvnějších sil na odstraněné části tělesa.22

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────4.3 Řešení nosníkůPři řešení nosníků budeme určovat průběh vnitřních statických účinků po celé jejichdélce.4.3.1 Základní poznatkyNosník je nejčastější prvek strojů a konstrukcí. Je to těleso podélného tvaru sloužícík přenosu akčních sil do podpor.Druhy podpor, tab. 4.1NázevSchémamUvolněnípBpB•obecná 1R Brotační 2AR AxR AyACR x C M vvetknutí 3R yNázvy a vlastnosti podpor odpovídají příslušným vazbám. Druhy nosníkůpodle provedení jsou uvedeny na obr. 4.3.Prostý nosník na dvou podporáchS převislými konciNosník jednostranně vetknutýObr. 4.324

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────Druhy zatížení jsou na obr. 4.4.F 1F 2osamělé sílyM 1 M 2silové dvojicespojité zatíženíq(x)kombinované zatíženíF 1 MF 2q(x)Obr. 4.44.3.2 Jednoduché případy zatíženíNosník zatížený osamělou silou, obr. 4.5.xNejprve vypočteme reakce. Nosník uvolníme,AFCαBzavedeme reakce R Ax , R Ay , R B .NR Ax R Ay R BalnulováčárabZ rovnovážných rovnic:R Ax −F⋅cosα = 0= F⋅cosαR AxR Ax-N xF·cosαA: R B ⋅l−F⋅sin α ⋅a= 0R BF⋅sin α ⋅a=l(4.3)TT xR Ay+F·sinα - R BB: −R Ay ⋅l+ F⋅sin α ⋅b= 0Kontrola:R AyF⋅sin α ⋅b=lM oM Ox+M OC = M OmaxObr. 4.5R Ay + RB−F⋅sin α = 0Prokreslení průběhu vnitřních statických účinkůprovedeme podle kapitoly 4.1.25

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────K prokreslení průběhu nejdříve vypočteme vnitřní statické účinky v řezu vevzdálenosti x od levé podpory.Nosník zatížený silovou dvojicí, obr. 4.6xR AxR MAyA CBablR BNT xMT R Ay R BM o--+N x = -R Ax platí pro 0 ≤ x < a (4.4)Zakreslíme tzv. nulovou čáru a vyneseme v řezu x = 0 velikost R Ax ve zvolenémměřítku od nulové čáry dolů(N x = -R Ax) . Až do působiště síly F bude N konstantní. V řezech x > a budeN x = -R Ax + F·cosα = 0 (4.5)Část nosníku a bude namáhána tlakemT x = R Ay platí pro 0 ≤ x < aM oa-, v části b je normálová síla nulová.Zakreslíme nulovou čáru a pro x = 0 vyneseme velikost R Ay ve zvoleném měřítku odnulové čáry nahoru (T x = R Ay ). Až do působiště síly F bude T konstantní. V řezech x > a budeT = R Ay - F·sinα (4.6)Pro x = l bude T = R Ay - F·sinα + R B = 0 (4.7)M Ox = R Ay·x … rovnice přímkyK určení průběhu stačí určit velikosti M o v místech působení vnějších sil.M oA = M oB = 0 M oC = R Ay·a = M o max (4.8)Stejné výsledky bychom obdrželi při volbě x od pravé podpory. Této skutečnosti jemožno využít pro kontrolu.ReakceR Ax = 0A: ⋅l−M= 0R BB: − −M= 0R AyVnitřní statické účinkyMR B =lMR Ay = − (4.9)lN x = -R Ax = 0 (4.10)Nosník není namáhán normálovou silou.T x = R Aypro 0 ≤ x < lObr. 4.6 T x = R Ay + R B = 0 pro x = l (4.11)26

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────Nosník je po celé délce namáhán konstantní posouvající silou.MMOx= R Ay ⋅ x = − ⋅ x … rovnice přímky (4.12)lK prokreslení průběhu stačí určit dva body této přímky.Řez A: M oA = 0 Řez B: M oB = 0Řez C:MOaM= R Ay ⋅a= − ⋅a(nekonečně blízko vlevo od M)lPro a > b budeMMob = R Ay ⋅a+ M = − ⋅a+ M (nekonečně blízko vpravo od M)lM oa = M o maxR AxTAR AyNR AyNosník zatížený spojitým zatížením, obr. 4.7+xQ xlQ-qBR BR BReakcePro výpočet reakcí můžeme spojitézatížení nahradit myšlenou osamělou silou Q,působící v těžišti spojitého zatížení.Q = q·lPak: R Ax = 0A: ⋅ − ⋅ lR B l Q 02 =QR B=2M oM o max+lB: Q⋅−RAy ⋅l= 02Kontrola:QR Ay = (4.14)2Obr. 4.7R Ay + R B – Q = 0Vnitřní statické účinkyN x = R Ax = 0Nosník není namáhán normálovou silou.Pro výpočet posouvající síly nahradíme spojité zatížení osamělou silouQ x = q·xPakT x = R Ay – Q x = R Ay - q·x … rovnice přímky27

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────Pro prokreslení průběhu stačí dva body této přímky.T A = R Ay pro x = 0T B = -R B pro x = l (4.15)Mox2xx= R Ay ⋅ x − Q x ⋅ = R Ay ⋅ x − q⋅… rovnice paraboly22⎛ ⎞Podle Schwedlerovy věty bude maximum v místě, kde T = 0 ⎜dM o = 0⎟ , tj. pro lx =⎝ dx ⎠ 2M o222q⋅lq⋅lq⋅lmax = − =(4.16)4 8 84.3.3 Kombinované zatíženíNosník zatížený kombinovaně, obr. 4.8R AxAR AyNR Axl/2 l/2-MC DabF 1xF 1α 1 F 2qBR BcEReakceR Ax – F 1·cosα 1 = 0 ⇒ R AxA:2lR B ⋅l− q⋅−M−F1⋅ sin α ⋅a−F2⋅2⇒ R B( l + c) = 0B:2q⋅l−RAy ⋅l−M+ F1⋅ sin α1⋅b−F2⋅c= 02TR Ay+x m+F 2T DF 1y-R BKontrolaR Ay + R B – F 1 · sinα 1 – F 2 = 0⇒ R Ay (4.17)M+M oObr. 4.8+M o ext M oD MoB-M 0C28

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────Vnitřní statické účinkyPro zakreslení průběhu je určíme v místech působení vnějších sil z odstraněné levénebo pravé části nosníku.N A = -R Ax N D = -R Ax + F 1·cosα 1 = 0T A = R AyT D = R Ay - q·aT E = F 2 T B = F 2 - R BM oA = 0 M oE = 0M⎛ 2 ⎞⎜ l ⎟⎜ 2 ⎟l ⎝ ⎠= R Ay ⋅ − q⋅2 2oC (nekonečně blízko od M) MoD= RB⋅b−F2⋅( b + c)M oB = -F 2·c2b− q⋅2Extrém může být i v místě, kde T = 0R2AyR Ay - q·x m = 0xm = xmMoext= R Ay ⋅ xm− q⋅q2V řešeném případě by byl maximální ohybový moment v řezu C:M o max = M oC + M29

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────5 Pasivní odpory v reálných vazbáchNa rozdíl od ideálních (dokonale hladkých) vazeb vznikají u reálných (drsných) vazebi tečné složky reakcí. Při vzájemném pohybu těles působí tyto složky proti smyslu relativnírychlosti.Při vyšetřování rovnováhy těles s reálnými vazbami budeme řešit dva typy úloh.1. Vyšetřování rovnováhy za pohybu2. Vyšetřování podmínek, za kterých mohou být pohyblivě uložená tělesa v rovnovázeza klidu.5.1 Obecná vazbaUvolnění obecné vazby za klidu a za pohybu je uvedeno na obr. 5.1.φ aφ aφφαR aRNRNv A = 0T a T 0 ANeznámé T 0 , N ( ) T ≤ T aparametry: nebo R, α ( ≤ ϕ a )φ a = arctg f a0 NTAα nebo R (φ = arctgf)v APasívní odpory: − T = N·fa) b)Obr. 5.1V případě, že nedochází k pohybu (obr. 5.1a), může působit tečná složka v obousmyslech a její velikost musí splňovat podmínku T0 ≤ Ta, kde Ta= N ⋅ fa(f a je součiniteladheze). Výsledná reakce za klidu R představuje dva neznámé parametry N, T 0, nebo R, α,kde α ≤ ϕ (φ a = arctgf a ).aPři relativním pohybu bude třecí reakce rovna třecí síle a bude působit proti smyslurelativní rychlosti. Třecí síla T představuje pasivní odpor a její velikost vypočteme podleCoulombova zákona T = = N·f, kde f je součinitel smykového tření. Výsledná reakce Rpředstavuje pouze jeden neznámý parametr, velikost normálové složky N, nebo velikostreakce R, která leží na nositelce dané třecím úhlem φ = arctgf. Počet neznámých parametrůpři pohybu je stejný jako u vazby ideální.5.2 Posuvná vazbaUvolnění vazby za klidu a za pohybu je uvedeno na obr. 5.2.30

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────T 0Nv = 0TNvM NM NNeznámé T 0 , N, M N N, M Nparametry: T ≤ T0aPasívní odpory: −T = N·fa) b)Obr. 5.2Reakce v klidu představují tři neznámé, za pohybu dva neznámé parametry. Zapohybu je počet neznámých parametrů opět stejný, jako u vazby ideální.Důležitým případem technické praxe je tření v klínové drážce. Při řešení pasívníchodporů budeme předpokládat symetrickou drážku, obr. 5.3.yvαyα2TTxTF N NzGGObr. 5.3Rovnovážné rovnice:F – 2T = 02N·sinα – G = 0 T = N·f (5.1)N·cosα - N·cosα = 0fŘešením dostaneme: F = G⋅= G ⋅sin αfkkdeff k = je součinitel tření v klínové drážce.sin αSkutečnost, že f k > f se využívá např. u klínových drážek řemenic převodů s klínovými řemeny.31

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────Za pohybu je počet neznámých parametrů stejný jako u ideální vazby.2Poznámka: Vztah pro výpočet výsledné reakce R = 2 + je nelineární vzhledemR x R yke složkám R x , R y . Tím je porušena linearita rovnovážných rovnic a tím se komplikuje jejichřešení. Z tohoto důvodu často provádíme linearizaci pomocí Ponceletova vztahu2 2R x + R y = 0 96⋅R y + 0,4⋅R x, pro R y > R xnebo2 2R x + R y = 0 96⋅R x + 0,4⋅R y, pro R x > R y(5.3)5.3.2 Ložisko axiální (patní)Nejběžnější provedení ložiska je na obr. 5.6. Čep ložiska je zatížen silou Q a hnacísilovou dvojicí M, jejíž velikost je třeba určit. Pro zaběhaný čep působí elementárnínormálová reakce v dotykové ploše S na kružnici o středním poloměruV důsledku drsnosti stykových ploch budou mít elementární reakce i tečné složky dT.M č .r 1 + rr 2S = .2Elementární reakce dN a dT nahradíme výslednou silou N a výslednou silovou dvojicíQ∫N = dN(5.4)SMMč= ∫ rsdT= rs⋅ f ⋅ ∫ dN = N⋅rs⋅ fSSNdNkde M č je moment čepového tření, působícíproti smyslu ω.Z podmínek rovnováhy plyneMr 1r 2dTω = konst.M čN = Q, M = M č (5.5)Rovnováha za klidu je možná jen tehdy,splňuje-li moment akční silové dvojice podmínkur sMo ≤ M a(5.6)Obr. 5.6dvojice.kde M a = r s· f a · N je moment adhezní silové33

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────Uvolnění čepu axiálního ložiska za klidu a za pohybu je uvedeno na obr. 5.7.ω = 0ωM oM čNNeznáméparametry: N, M o NM ≤o M aPasívníodpory: − M č = N · r s · fObr. 5.75.4 Valivá vazbaOdpor při valení vzniká v důsledku nerovnoměrné deformace tělesa (válce) apodložky. Působiště výslednice R elementárních reakcí se posouvá z pólu P o ramenovalivého odporu ξ ve smyslu pohybu do bodu A, obr. 5.8a. Výslednou reakci rozkládáme nanormálovou N a tečnou složku T v . Nemá-li dojít k prokluzu, musí být splněna podmínkavalení Tv≤ N⋅fa, kde f a je součinitel adheze. Pro dosažení rovnováhy za pohybu při zatíženísilou G, musíme na těleso působit silou F = T v .NGrFSR NT vv SFGSNv SPξAT vPM va) b)Obr. 5.6Přesuneme-li složku reakce N do bodu P, obr. 5.8b, musíme připojit moment valivéhoodporu.M v = ξ · N (5.7)34

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────Způsoby uvolnění valivé vazby za klidu a za pohybu jsou na obr 5.9.T oPSNM ov S = 0Neznáméparametry: N, T o , M o N, T v N, T vTo≤ fa⋅NTv≤ fa⋅NTv≤ fa⋅NM o ≤ ξ⋅NT vSξNAv ST vSNPMvv SPasívníodpory : − M v = ξ · N M v = ξ · NObr. 5.95.5 Pohyb vlákna po drsné plošeS úlohami, které souvisí s pohybem vlákna po drsné ploše, se setkáváme např. uřemenových převodů a pásových brzd.Při pohybu vlákna po drsné ploše budeme hledat vztah mezi silami S 1 a S 2 . Vlákno sestýká s válcovou plochou v oblouku daném úhlem opásání α, (obr. 5.10), součinitel třenímezi vláknem a plochou je f.nfdψdψdTψ2α vSSSS 21dNSdψdψ2S+dStObr. 5.10Na uvolněný element vlákna působí normálová reakce dN, třecí síla dT a síly S a S+dSna koncích elementu.Rovnovážné rovnice:dψdψcos dT = dN· f (5.8)2 2t: ( S + dS) ⋅ − S⋅cos− dT = 0dψdψn: 2 S⋅sin + dS ⋅ sin − dN = 02 235

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────dψÚhel dψ je nekonečně malý, proto cos 12 = a⎛ dψ⎞nekonečně malé veličiny 2. řádu ⎜dS ⋅ ⎟ dostaneme:⎝ 2 ⎠dS = f·dNS· dψ = dNdψ dψsin =2 2. Po dosazení a zanedbáníPo úpravědS= f ⋅dψSPo integraci ∫ = f ⋅ ∫SS2dSS1 0αdψdostanemeS2ln = f ⋅αaS1fαS2= S1⋅e(5.9)Má-li být vlákno v rovnováze za klidu, musí být splněny podmínkyS 2S1a≤ ef αaS1S 2a≤ ef αresp.−f aα S2faαe ≤ ≤ eS1(5.10)5.6 Vliv tuhosti lan a řemenůLana a řemeny nejsou dokonale ohebné. Náhlá změna křivosti při jejich navíjení neboodvíjení z kladky je provázena pasívními odpory. V důsledku těchto odporů nebudou lana ařemeny přesně sledovat tvar kladky, což lze charakterizovat rameny neohebnosti ξ 1 a ξ 2 , obr.5.11.ωOrS 2S 1ξ 1ξ 2Vztah mezi silami S 1 a S 2dostaneme z momentové podmínkyrovnováhy k otočnému bodu O.( r + ξ ) − S ⋅( r − ξ ) 0S 1 ⋅ 1 2 2 =r + ξ12 = S1⋅r − ξ2S (5.11)Obr. 5.1136

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────6 Kinematika posuvného pohybu tělesa (rovinný případ)6.1 Základní poznatkyTěleso koná posuvný pohyb,jestliže libovolná přímka nemění při pohybu svůj směr.Příklady přímočarého a křivočarého posuvného pohybu tělesa jsou uvedeny na obr. 6.1.Obr. 6.1V základním prostoru zvolíme souřadnicovou soustavu 0, x, y, v pohybujícím se těleseΩ, ξ, η a libovolný bod L, obr. 6.2.yηΩr LΩLξr Ωr L0xObr. 6.2Trajektorie bodu L:r (6.1)L = r Ω + rLΩTěleso považujeme za dokonale tuhé, nemění se velikost vektoru r LΩa podle definiceúsečka Ω L nemění svůj směr. Vektor r LΩje stálý co do velikosti i směru. Trajektorie všechbodů tělesa jsou shodné, navzájem posunuté křivky.vDerivací rovnice (6.1) obdržíme rychlostdrdrdtΩ =LL = = v Ω(6.2)dta další derivací zrychlenídvLdv ΩaL = = = a Ω(6.3)dt dtV dané poloze jsou rychlosti a zrychlení všech bodů stejné. Pohyb je určen pohybemjednoho bodu.37

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────6.2 Řešení pohybu bodu v rovině6.2.1 Přirozená souřadnicová soustavaBod L se pohybuje po křivce k L , obr. 6.3. Na křivce zvolíme počátek 0 L . Polohu bodupak určuje křivočará (oblouková) souřadnice s, jeho pohyb rovnice s = s(t).0sL0 LjdsnρrdφnS Ln'i tL'k Ltt'dφni ti t ′di ta) b)Obr. 6.3.Za čas dt přejde bod z polohy L do polohy L', urazí dráhustředu křivosti S L pootočí o úhel dφ.ds = dra normála se kolemV bodě L sestrojíme tečnu t a normálu n a zavedeme jednotkové vektory i t a j n.Rychlostvdr ds dr= ⋅ = v⋅idt dt ds= (6.4)Rychlost má velikostZrychleníadv dv= ⋅idt dttdsv = a leží na tečně ke křivce.dttdit+ v⋅dt= (6.5)Podle obr. 6.3bditdtit⋅dϕ1ds v= ⋅ jn= ⋅ jn= ⋅ jn(6.6)dt ρdtρPo dosazení do (6.5) kde ρ je poloměr křivosti křivky k La = a t ⋅it+ an⋅ jn(6.7)dvkde tečné zrychlení a t = a normálové zrychlenídtvzájemně kolmé (obr. 6.4), takže výsledné zrychlení2 2a a t + a na n=2vρ. Složky zrychlení jsou= (6.8)•a taa nObr. 6.438

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────6.2.2 Pravoúhlá souřadnicová soustavaV základním prostoru zvolíme pravoúhlou soustavu s jednotkovými vektory i, j , obr.6.5.yLk LPohyb bodu je pak určennásledujícími rovnicemi.Trajektorie r = x ⋅i+ y ⋅ j (6.9)yrkde x = x(t) a y = y(t)jsou parametrické rovnice dráhy0 xxt2 & 2t 0s = ∫ x& + y dτkde τ je čas.RychlostObr. 6.5dr dx dyv = = ⋅i+ ⋅ j = v x ⋅i+ v y ⋅ j , kdedt dt dtVelikost rychlosti podle obr. 6.622dxv x = ;dtdyv y = (6.10)dtv = v x + v y(6.11)v y•vObr. 6.6Zrychlenídv dv dvx ya = = ⋅i+ ⋅ j = a x ⋅i+ a y ⋅ j , kdedt dt dtVelikost zrychlení podle obr. 6.7vxdv xa x = ;dtdv ya y = (6.12)dt22a = a x + a y(6.13)Obr. 6.7aya•a x39

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────6.2.3 Polární souřadnicová soustavaPro vyjádření trajektorie a zrychlení využijeme s výhodou komplexní proměnnou,podle obr. 6.8.Imrk Lj ϕLiρσ ρiϕTrajektorie r = ρ⋅ei = −1(6.14)kde ρ = ρ(t) a φ = φ(t) jsou parametrickérovnice dráhy.rρObr. 6.8Rychlost⋅dr ⎛ ⋅ ⋅ ⎞⎜ ⎟ iϕv = = r =ρ+ i⋅ρ⋅ϕ⋅e= v ρ ⋅iρ+ v ϕ ⋅ jϕdt ⎝ ⎠(6.15)kdeρ⋅v = ρ,θ φ• ρ•φ0Rerϕ⋅v = ρ⋅ϕa velikost rychlosti (obr. 6.9)vv =ρ⋅2⎛ ⋅ ⎞+ ⎜ ⎟ρ⋅ϕ⎝ ⎠2vϕvObr. 6.9Zrychlení⋅ ⎡⎛⋅⋅ ⋅ ⎞ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⎤⎢⎜2 ⎟ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎥iϕa = v = ρ− ρ⋅ϕ + i⋅⋅ = ρ ⋅ ρ + ϕ ⋅ ϕ⎢ρ⋅ϕ+ 2⋅ρ⋅ϕ⎜ ⎟e a i a j⎥⎣⎝⎠ ⎝ ⎠⎦(6.17)kdeρ⋅⋅⋅2a = ρ− ρ⋅ϕ,⋅⋅ ⋅ ⋅ϕ = ρ⋅ϕ+ 2 ρ⋅ ϕa a velikost zrychlení (obr. 6.10)22⎛ ⋅⋅ ⋅ ⎞2 ⎛ ⋅ ⋅ ⎞a =⎜ρ− ρ⋅ϕ⎟+ ⎜2⎟ρ⋅ϕ⎜ ⎟(6.18)⎝ ⎠ ⎝ ⎠aObr. 6.10a ϕ•a ρ40

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────6.2.4 Vyšetřování pohybu boduPři vyšetřování pohybu bodu je základním krokem získání rovnic pohybu. Využívámediferenciálních závislostí mezi kinematickými veličinami.22dv d s dv d( v )v =dsdta t = = = v =dt 2dt ds 2(6.19)dsMezi dvojicemi kinematických veličin existuje šest závislostí:s = f 1 (t) v = f 4 (s) (6.20 a, d)v = f 2 (t) a t =f 5 (s) (6.20 b, e)a t = f 3 (t) a t = f 6 (v) (6.20 c, f)Je-li známa některá z funkcí (6.20a, b, c), získáme zbývající dvě derivacemi, případněintegrací pro zadané počáteční podmínky. Ostatní závislosti získáme vyloučením časuz vhodných dvou rovnic(a) až (c).Je-li známa některá z funkcí (6.20d, e, f), využíváme vhodnou substituci z rovnic(6.19) a provedeme příslušné derivace nebo integrace pro zadané počáteční podmínky.6.2.5 Zvláštní případy pohybu6.2.5.1 Přímočarý pohybvaLpPřímočarý pohyb (obr. 6.11) můžemepovažovat za zvláštní případ křivočarého pohybubodu s poloměrem křivosti ρ = ∞.Pak = 0a ; a t = a .nRychlost i zrychlení leží na společnénositelce, přímce p.Obr. 6.116.2.5.2 Podle vlastností tečného zrychlenía t = 0, v = konst. ……………………………. pohyb rovnoměrnýa t = ± konst. …………………………………. pohyb rovnoměrně zrychlený/zpožděnýa t ≠ konst. ……………………………………. pohyby nerovnoměrné41

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────7 Dynamika posuvného pohybu tělesa (rovinný případ)7.1 Základní poznatkyNa těleso působí vnější síly F i a těleso si představíme složené z elementárníchhmotných bodů dm, obr. 7.1. Při odvození základních závislostí využijeme poznatkuz kinematiky, že v každém okamžiku jsou rychlosti a zrychlení všech bodů stejné.yrKinetická energie je dána součtem kinetických energií elementárních hmotných bodů.dmr Tr iDVzhledem k těžišti T: L T = 0(7.4)a0 xObr. 7.1E1v222= dm v dm m vk ∫ ⋅ = ⋅ = ⋅m 2 2∫ (7.1)m 2Obdobně budeme postupovat přidalších výpočtech.Hybnost:∫dm⋅v = v ⋅ ∫dm= m⋅H =v(7.2)mmMoment hybnosti:L = ∫ r × dm ⋅ v = r T × m ⋅ v = r T × H (7.3)Na základě vět o změně hybnosti a momentu hybnosti soustavy hmotných bodůodvodíme pohybové rovnice.Pohybové rovnicevTr iTHFim1dHdt= ∑FiidLdtT= ∑ r × FiiTim⋅dv= ∑dtiFi0 = ∑ r iT × F i(7.6)im ⋅a= ∑F i(7.5)iRovnice (7.6) vyjadřuje tzv. podmínku posuvného pohybu tělesa: Algebraický součetmomentů vnějších sil k těžišti je roven nule.Při řešení pohybové rovnice (7.5) a (7.6) rozepíšeme do tří skalárních rovnic, dvousložkových a jedné momentové rovnice. Zvolíme-li jednu osu souřadnicové soustavy vesměru pohybu, pak příslušná složková rovnice bude při ideálních vazbách vlastní pohybovourovnicí, u reálných vazeb tzv. hlavní pohybovou rovnicí. Tuto převedeme na vlastnípohybovou rovnici vyloučením tečných složek reakcí. Vlastní pohybová rovnice neobsahujereakce a slouží pro určení hnací síly při předepsaném pohybu. (úloha 1. druhu, algebraickárovnice), nebo pro určení pohybu při zadaných silách (úloha 2. druhu, diferenciální rovnice 2.řádu).Obecně platí, že počet stupňů volnosti je roven počtu vlastních pohybových rovnic.42

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────7.2 Sestavování pohybové rovnice d´Alembertovým způsobemFormálním přepisem rovnice (7.5) obdržíme:kdev rovnováze∑iF i +( − m⋅a) = 0∑ Fi+ D = 0 (7.7)iD = −m⋅aje myšlená doplňková (setrvačná) síla, která je s vnějšími silamiVzhledem k platnosti rovnice (7.6) musí působit v těžišti tělesa T.Aplikací dÁlembertova principu vyřešíme následující příklad (viz obr. 7.1).Př.: 7.1.Vypočtěte maximálně dosažitelné zrychlení a vozidla (obr. 7.2) se zadní hnacínápravou. Při řešení zanedbejte pasivní odpory. Součinitel adheze mezi kolem a vozovkou jef 0 .hTal 2 l 1lObr. 7.2Řešení:yhDT 0TGaxN2l 2 l 1lN 143

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────Podle dÁlembertova principu musí být tíha vozidla G , reakce N 1 , N 2 hnací sílaadheze T 0 a doplňková síla D v rovnováze.T 0 – D = 0D = m · aN 1 + N 2 – G = 0G = m · gG· l 1 + D· h – N 2·l = 0Maximální dosažitelné zrychlení vypočteme z adhezní síly na mezi prokluzu.T 0 = N 2 · f 0Výpočtem obdržímef0⋅l1a = g⋅l − f0⋅hPoznámka: Řešení platí pokud N 1 ≥ 0.7.3 Věta o změně hybnosti, věta o změně kinetické energiePři řešení posuvného pohybu můžeme ve vybraných případech s výhodou využít větuo změně hybnosti, případně větu o změně kinetické energie.7.3.1 Věta o změně hybnostiPři odvození vyjdeme z pohybové rovnice (7.5).dvm ⋅ = F kde F = ∑F idtiSeparací proměnných obdržímem⋅dv = F⋅dta po integraci za počáteční podmínky t = 0, v = v 0Zkrácenětm⋅v − m⋅v 0 = ∫ F i dt(7.8)0H H = I F− 0 (7.9)kdeimpuls síly.H = m⋅v je hybnost v čase t, H0 m⋅v 0Aplikací věty získáme závislost v = f 2 (t).= je hybnost v čase t = 0 a IF= ∫tFdt0je7.3.2 Věta o změně kinetické energieOpět vyjdeme z pohybové rovnice (7.5).dvm ⋅ = Fdt44

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────Po skalárním vynásobení hodnotou d r , představující diferenciál rádiusvektoru,určujícího polohu bodu, dostáváme:Uvážíme-li, žedrm⋅⋅dv= F⋅drdt( d 2)= a d vrdtvv ⋅ dv =⎛ 1 2 ⎞d⎜m⋅v ⎟ = F⋅dr⎝ 2 ⎠2, pak bude122Definujeme-li skalární veličinu = m⋅v a nazveme ji kinetickou energií, pointegraci obdržímeE Kr1 2 1 2m⋅v − m⋅v 0 = ∫ F⋅dr2 2r0(7.10)ZkráceněEK −EK0 = A(7.11)kderA = ∫ F⋅drr 0představuje práci, kterou vykonají působící síly mezi polohami r 0 a r .Aplikací věty získáme závislost v = f 4 (s).Poznámka: Všechny poznatky z kapitoly 7. je možno aplikovat v dynamice tělesazanedbatelných rozměrů – hmotného bodu.45

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────8 Kinematika rotačního pohybu tělesa8.1 Základní poznatkyTěleso koná rotační pohyb, jestliže jedna jeho přímka zůstává trvale v klidu. Tatopřímka je osou rotace o, obr. 7.3.Trajektorií libovolného bodu L je kružnicese středem na ose rotace, ležící v rovině χ ┴ o.ok0•χ ┴ oLDále budeme sledovat pohyb bodu L v tétorovině, obr. 7.4. K řešení použijeme polárnísouřadnice ρ = r = konst. a φ = φ(t). Druhouzávislost nazýváme rovnicí rotačního pohybu.Kinematické veličiny odvodíme podle poznatkůz kapitoly 6.2.Obr. 7.3trvdφds· LL 0φφ 0xElementární dráhads = r · dφ (8.1)Rychlostds dϕ= = r ⋅ = r ⋅ωdt dtv (8.2)kdedϕ=dtω [rad.s -1 ] je úhlová rychlost (8.3)kObr.7.4Zrychleníaa t•Obr. 7.5andv dω= = r ⋅ = r ⋅dt dta t ε (8.4)dωdtkde ε = [rad.s -2 ] je úhlové zrychlení (8.5)2v 2a n = = r ⋅ω(8.6)rVýsledné zrychlení podle obr. 7.5:2 2a = a + an= r ⋅2 4ε + ωt(8.7)46

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────8.2 Vektorové vyjádření kinematických veličinoεωρ•LrObr. 7.6Úhlová rychlost je vektor ležící na ose rotace o.Pak rychlost bodu L určeného průvodičem r je dána vzorcemv = ω×r(8.8)a zrychlení vzorcemdv dωdra = × r + ω× = ε× r + ω× v = a t + a ndt dt dt= (8.9)kde ε je vektor ležící rovněž na ose o.47

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────9 Dynamika rotačního pohybu tělesa9.1 Základní poznatkyS rotačním pohybem se nejčastěji v praxi setkáváme při staticky určitém uložení tělesave dvou ložiskách, z nichž ložisko A je radiální a ložisko B radiálně - axiální. Na těleso působívnější síly Fia toto je složeno z nekonečného počtu elementárních hmotných bodů, obr. 9.1.oωvAεd HdmF i•r••r i•BKinetická energie1Ek=2mkdesetrvačnosti22ω2∫ dm ⋅ v = ⋅ ∫rdm = J0⋅ωJm2122(9.1)20 = ∫ r dm je osový momentmMoment hybnosti∫∫L = r ⋅dH= r ⋅dm⋅v = ω⋅ r dm = J0⋅ωm mm∫2(9.2)Obr.9.1Pohybová rovniceAplikací věty o změně momentu hybnosti k ose rotace o:dLdt= ∑M ioi, kde M io je moment síly F iPo dosazení za L obdržíme pro konstantní J 0dωJ ⋅ =dt0 M 0, kde M 0 je výsledný moment všech sil Fia J 0 · ε = M 0 (9.3)Zanedbáme-li pasívní odpory je rovnice (9.3) vlastní pohybovou rovnicí a umožňujeurčit potřebný silový účinek pro předepsaný pohyb nebo řešit pohyb při zadaných silovýchúčincích.9.2 Věta o změně momentu hybnosti, věta o změně kinetickéenergie9.2.1 Věta o změně momentu hybnostiZ rovnice (9.3)dωJ 0 ⋅ = M 0dtpo separaci proměnnýchJ0⋅dω = M0⋅dt48

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────Po integraci pro počáteční podmínky t = 0, ω = ω 0 obdržímeJt⋅ω − J0⋅ω0= ∫ M0⋅dt00 (9.4)ZkráceněL - L 0 = I M (9.5)Kde L = J 0 · ω je moment hybnosti v čase t, L 0 = J 0 · ω 0 je moment hybnosti v časet = 0 aIMt= ∫0M0 dt je tzv. impulsmoment.Aplikací věty získáme závislost ω = f 2 (t).9.2.2 Věta o změně kinetické energieZ rovnice (9.3) po skalárním vynásobení dφ, kde φ je úhlová dráha, obdržímedϕ⋅ ⋅dω = MdtJ00Jelikož dt⋅dϕ2dϕ dje ω a( ω )⎛ 1 2 ⎞d⎜J0⋅ω⎟ = M0⎝ 2 ⎠Označíme-li12ωdω =⋅dϕ1 2J 0 ⋅ω = Ek2ϕ∫ϕ0, bude2dϕa nazveme kinetickou energií, po integraci dostáváme2 1 2J 0 ⋅ω − J0⋅ω0= M0dϕ(9.6)2ZkráceněEk −Ek0 = A(9.7)ϕkde A = ∫ M 0dϕpředstavuje práci momentu M 0 mezi polohami φ a φ 0 .ϕ049

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────Výsledné doplňkové síly, výpočet reakcí (rovinný případ)9.2.3 Výsledné doplňkové sílyRovinný případ nastane, má-li těleso rovinu symetrie σ kolmou na osu rotace o, obr.9.2. Výsledné doplňkové účinky pak leží v rovině symetrie a můžeme je určit podle obr. 9.3.Tr T •0σ ┴ ovratr Tdmd Dn•a nTd DtodM D0d Dtε ωObr. 9.2 Obr. 9.3Na elementární hmotný bod dm budou působit doplňkové sílydD n = dm·a n adD t = dm·a tSíly dD n tvoří rovinnou soustavu sil o společném působišti v otočném bodě O.Nahradíme ji v tomto bodě výslednicí.Dn=m2 2aTn(9.8)m∫dm⋅an= ω ∫rdm= m⋅rT⋅ω = m⋅a nazveme ji odstředivou silou.Síly dD t tvoří rovinnou soustavu sil o různých působištích. Síly přeložíme do otočnéhobodu 0 a připojíme silové dvojice dM D = dD t·r.Síly působící v bodě 0 nahradíme výslednicí∫dm⋅at= ε∫rdm= m⋅rT⋅ε = m⋅t =aTtmma nazveme ji tečnou doplňkovou silou.D (9.9)Elementární silové dvojice nahradíme výsledným momentem2MD = ∫dDt⋅r= ε∫rdm = J0⋅ε(9.10)mmkde J 0 je osový moment setrvačnosti k ose rotace o a nazveme jej (moment M D )doplňkový moment.Výsledné doplňkové účinky jsou zakresleny na obr. 9.4.50

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────DnTr TM Dε0ω•DtObr. 9.4.M Dε0y9.2.4 Výpočet reakcíK výpočtu reakcí využijeme dÁlembertův princip. K vnějším silám připojímedoplňkové síly a sestavíme podmínky fiktivní rovnováhy. Na uvolněné těleso pak působíakční síly F i , složky reakce v rotační vazbě R x , R y , a doplňkové účinky D n , D t , M D , obr. 9.5.ωR y•r TD tD nT(x T ,y T )R xF ixPodmínky rovnováhyR x + Dnx−Dtx+ ∑ Fix= 0 ⇒ R xiR + D −D+ ∑ F = 0 ⇒ yyny∑ Mi −M D =ikdetyiiyR (9.11)0 … vlastní pohybová rovnice2D nx = m⋅x T ⋅ω D tx = m⋅y T ⋅ε2D ny = m⋅y T ⋅ω D ty = m⋅x T ⋅εM D = J 0 ⋅ε2Výsledná reakce R = 2 +(9.12)R x R yObr. 9.551

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────10 Kinematika obecného rovinného pohybu tělesa10.1 Definice, pohyblivostObecný rovinný pohyb je pohyb, při kterém trajektorie jednotlivých bodů tělesa jsourovinné křivky, ležící v navzájem rovnoběžných rovinách (roviny σ 1 , σ 2 na obr. 10.1). Body,ležící v daném okamžiku na kolmicích k těmto rovinám, (např. A 1 , A 2 ) se pohybují postejných, navzájem posunutých trajektoriích (k A1 , k A2 ). Mají tedy totožný průmět do libovolnéz rovin trajektorií a můžeme proto vyšetřovat pohyb tělesa jako pohyb rovinného obrazce –průmětu tělesa (obr. 10.2).ypA 1n A1 ? n A2σ 1k A1ΩφLA 2k A2σ 2y Ω0 x ΩxObr. 10.1 Obr. 10.2Poloha volného tělesa je určena třemi nezávislými souřadnicemi (např. x Ω , y Ω , φ, kdeΩ je referenční bod a φ úhel, který svírá přímka tělesa p s kladnou poloosou x. Má tedy třistupně volnosti. Těleso s jednou obecnou vazbou má dva stupně volnosti, těleso se dvěmaobecnými vazbami, nebo jednou valivou vazbou má jeden stupeň volnosti.10.2 Základní rozkladPřemístění tělesa do libovolné polohy za čas ∆t je dáno přemístěním úsečkypolohy Ω 1L1, obr. 10.3.Ω L doLL 1ΩΩ 1L ' 1Obr. 10.3Do libovolné polohy Ω 1 L 1 se těleso přemístilo pohybem posuvným do polohy Ω 1 L′ 1 apohybem rotačním kolem referenčního bodu Ω 1 . Snížíme- li časový interval na nekonečněmalou hodnotu dt, budou oba pohyby probíhat současně.52

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────Z výše uvedené úvahy můžeme definovat základní rozklad obecného rovinnéhopohybu.Základní rozklad obecného rovinného pohybu tělesa je rozklad na unášivý pohybposuvný, určený pohybem referenčního bodu a na druhotný pohyb rotační kolem tohotobodu.10.3 Vyšetření rychlosti a zrychleníVyšetření rychlostí a zrychlení libovolného bodu L provedeme pomocí základníhorozkladu podle obr. 10.4.y0r ΩωΩr Lr LΩLxTrajektorier L = r Ω + r LΩRychlost⋅ ⋅ ⋅L = r L = r Ω + r LΩ= v Ω + vLΩv (10.1)⋅kde v Ω = r Ω je rychlost unášivéhopohybu posuvného, v LΩ = ω×r LΩje rychlostdruhotného pohybu rotačního a ω je jehoúhlová rychlost.ZrychleníObr. 10.4⋅ ⋅ ⋅⋅L = vL= v Ω + ω× r LΩ+ ω× r LΩ= aΩ+ aLΩa (10.2)a Ω je zrychlení unášivého pohybu posuvného= je zrychlení druhotného pohybu rotačníhoaLΩ aLΩt+ aLΩnkde a LΩ = ε×r LΩje tečné zrychlení druhotného pohybu rotačního a ε je jeho úhlovézrychleníLΩ n = ω×vLΩa je normálové zrychlení druhotného pohybu rotačníhoRychlost, resp. zrychlení libovolného bodu je dána vektorovým součtem rychlosti,resp. zrychlení unášivého pohybu posuvného a rychlosti, resp. zrychlení druhotného pohyburotačního.Vyšetření rychlosti a zrychlení pomocí základního rozkladu bude využitov následujícím příkladě.Př:. 7.1.Pohyb tělesa je určen vazbou dvou jeho bodů A a B ke dvěma na sebe kolmýmpřímkám p A a p B základního prostoru, obr. 10.5. Určete rychlost a zrychlení bodu B propolohu určenou úhlem α a známou rychlost a zrychlení bodu A.53

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────v Ap AAa AlαBp BObr. 10.5Řešení:p AAv Aa AlvB•αα•v ABp Ba•BAt aBAnαα•Obr. 10ba Ba AObr. 10.5avBAZvolíme bod A jako referenční bod a bod B jako libovolný bod. Pro názornostprovedeme graficko-početní řešení.Pro rychlost budu B platí:v = v +B AvBARozbor řešitelnosti: v A známe co do velikosti i směru, označíme podtrženímv B známe směr (p B ), označíme dvojitým podtrženímv BA známe směr ( v BA ┴ AB ), označíme dvojitým podtrženímVektorová rovnice je řešitelná, viz obr. 10.5a. Z obrázku vypočteme:vBtg α = vB= v A ⋅ tgαv Acos α =v AvBAv Av BA = cos α54

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────Pro zrychlení bodu B platí:a = a + a + aBABAtBAnRozbor řešitelnosti provedeme analogicky jako u rychlosti.aBAn2vBAl= a směřuje z bodu B do bodu A. Grafické řešení je na obr. 10.5b.Z obrázku vypočteme:0 = a A + aBAn⋅ sin α − a ⋅cosα ⇒ aBAtBAta B = aBAn⋅cosα + aBAt⋅ sin α ⇒ a B55

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────11 Dynamika obecného rovinného pohybu tělesa11.1 Pohybové rovnicePři sestavení pohybových rovnic vyjdeme ze základního rozkladu obecného rovinnéhopohybu pro referenční bod v těžišti tělesa, obr. 11.1.yωFipΩ ≡ TεvTφy T•aTm; J TObr. 11.10 x TxNa těleso působí vnější síly F i , jeho poloha je určena souřadnicemi x T , y T a úhlem φ,z kinematického hlediska je pohyb určen rychlostí a zrychlením těžiště v T , a T a úhlovourychlostí a zrychlením druhotného pohybu rotačního ω, ε.Pak pohybové rovnice budou dány pohybovými rovnicemi pro unášivý pohybposuvný, daný pohybem těžiště1) m ⋅ & x T = ∑ F ix(11.1a)i2) m ⋅ & y T = ∑ F iy(11.1b)ia pohybovou rovnicí druhotného pohybu rotačního kolem těžiště3) J T ⋅ϕ & = ∑M Ti(11.1c)iV rovnicích značí m hmotnost tělesa, J T moment setrvačnosti k ose procházejícítěžištěm a M Ti momenty vnějších sil k těžišti.Počet vlastních pohybových rovnic je dán počtem stupňů volnosti. U vázaného tělesase získají vyloučením reakcí. Při řešení úloh 1. druhu se z nich určují silové účinky propředepsaný pohyb (algebraické rovnice), při řešení úloh 2. druhu pro dané silové účinkyřešíme pohyb (diferenciální rovnice 2. řádu).11.2 Kinetická energieKinetickou energii opět získáme ze základního rozkladu součtem kinetické energieunášivého pohybu posuvného a druhotného pohybu rotačního.1 2 1 2k = m⋅v + JT⋅ω2 T 2E (11.2)56

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────11.3 Doplňkové účinkyPro řešení dynamiky vázaných těles s výhodou aplikujeme dÁlembertův princip. Proreferenční bod v těžišti (obr. 11.2) přísluší unášivému pohybu posuvnému doplňková sílaD= (11.3)m⋅a Ta druhotné rotaci pouze doplňkový momentM D = J T ⋅ε ( n = D T = 0D ) (11.4)DωεvTM DΩ ≡ Ta TObr. 11.2Pohybové rovnice pak po uvolnění tělesa dostaneme z podmínek fiktivní rovnováhyvnějších sil (akčních a reakčních) a výše uvedených doplňkových účinků. (11.3 a 11.4).Na závěr kapitoly vypočteme příklad na kinetickou energii obecného rovinnéhopohybu tělesa.Př.: 10.1Sochory kruhového průřezu se valí po nakloněné rovině bez prokluzu, obr. 11.3. Napočátku dráhy je rychlost těžiště nulová. Zanedbejte pasívní odpory a určete rychlost těžištěpo uražení dráhy s.TsTαv T = ?Řešení:Valivou vazbou vzniká obecný rovinný pohyb. Rychlost těžiště na konci dráhys vypočteme podle věty o změně kinetické energie.EK −EK0= A1 2m⋅v +2 T122JT⋅ω = G⋅hh … rozdíl výšky těžiště v počáteční a konečné polozem … hmota tělesaG … tíha tělesa57

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────2m⋅rMoment setrvačnosti k ose rotační souměrnosti J T =2Výpočtem obdržíme4v T = ⋅s⋅sin α3 g58

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────12 Kinematika mechanismůJako mechanismy označujeme pohyblivé soustavy těles s jedním a více stupnivolnosti. Zde budeme řešit pouze mechanismy s jedním stupněm volnosti.12.1 Mechanismy s konstantními převodyZákladními představiteli mechanismů s konstantními převody jsou řemenové převodya převody ozubenými koly. Jako převod definujeme poměr mezi rychlostmi hnaného ahnacího členu mechanismu.12.1.1 Jednoduchý převodω 21ε 21v2 r 2 3 r 3ω 311 1vε 31ω 211z 2z 3vε 212 r 2A3 r 3ω 311ε 31Obr.12.1 Obr. 12.2Kinematické schéma jednoduchého řemenového převodu je na obr. 12.1,jednoduchého převodu s ozubenými koly na obr. 12.2.Převod řemenového převodu vypočteme za předpokladu, že řemen po řemenicíchneprokluzuje. Pak obvodová rychlost obou řemenic je stejná.= r2 ⋅ω21= r3⋅ω31v (12.1)pak převodω31r2D2ε312 3 = = = =ω21r3D3ε 21p , (12.2)kde D 2 , D 3 jsou průměry řemenic.Převod mechanismu s ozubenými koly vypočteme z rovnosti obvodových rychlostív dotykovém bodě A valivých kružnic, z tzv. podmínky valení. Předpokládáme stejný smyslúhlových rychlostí ω 21 a ω 31 .smyslu.= r2 ⋅ω21= −r3⋅ω31v (12.3)pak převodω31r2D2z 2 ε312 3 = == − = − = − =ω21r3D3z3ε 21p , (12.4)kde z 2 , z 3 je počet zubů hnacího a hnaného kola.Záporné znaménko převodu vyjadřuje skutečnost, že hnané kolo 3 se otáčí v opačném59

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────12.1.2 Složený převodSložený převod vznikne spojením jednoduchých převodů. Příklad dvojnásobnéhopřevodu s ozubenými koly je na obr. 12.3.z 2Z 3z 4ε 21ω 21 21z 3134ω 41A1ε 41ε 31ω 31Obr. 12.3.Celkový převodω41ω31ω41⎛ z 2 ⎞ ⎛ z3⎞ z 2 ⋅ z3p 2 4 = = ⋅ = p 2,3 ⋅ p3,4 = ⎜ ⎟ ⋅ =21 21 31Z⎜ −3 z⎟−ω ω ω⎝ ⎠ ⎝ 4 ⎠ Z3⋅ z 4, (12.5)kde p 2,3 je jednoduchý převod mezi koly 2 a 3 a p 3,4 je jednoduchý převod mezi koly 3a 4. Výsledek lze zobecnit i na vícenásobné převody: Složený převod je dán součinemjednoduchých převodů.12.1.3 Planetový převodPlanetový převod se skládá z ozubeného kola s vnitřním ozubením, tzv. korunovéhokola 1, centrálního kola 2, satelitu 3 a unášeče 4, obr. 12.4.ω33 43r 34Bω 21 4ω 41 2A2r 1 ω 2 1 r 2ω 4 111Obr. 12.4V tomto provedení je korunové kolo 1 spojeno s rámem, centrální kolo 2 jenaklínováno na vstupním hřídeli a satelit 3 je volně otočný na unášeči 4, který je součástívýstupního hřídele.Převod vypočteme z podmínek valení v bodech A a B. Výsledná rychlost kola 3v bodech valení je dána součtem rychlosti relativního pohybu 34 a unášivého pohybu 41.A: 0 = ω34⋅r3+ ω41⋅r1(12.6)B: ω 21 ⋅r2= −ω34⋅r3+ ω41⋅r2(12.7)60

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────Po sečtení obdržíme:ω ⋅r = ω ⋅( r + )21 2 41 1 r2z toho převodω41r2p 2 4 = =ω21r1+ r2, (12.8)Úhlovou rychlost relativního pohybu satelitu vypočteme z rovnic (12.6) a (12.8).r1ω34= − ⋅ω41= −r3⋅ω32r1⋅r2= − ⋅ωr1− r22121( r + r ) ⋅r2 21r1⋅r22(12.9)12.2 Mechanismy s proměnlivými převodyV následující kapitole se omezíme na jednoduché rovinné mechanismy, jejichžhlavními představiteli jsou vačkový mechanismus (obr. 12.5a), čtyřkloubový mechanismus(obr. 12.5b), kulisový mechanismus (obr. 12.5c) a klikový mechanismus (obr. 12.5d).11 14333O224φ 21φ 41122φ 2134111s 411a) b) c) d)obr. 12.5Vzhledem k tomu, že mechanismy mají 1º volnosti odpovídá poloze vstupního členupoloha výstupního členu. Např. u čtyřkloubového mechanismu je úhlem φ 21 jednoznačněurčen úhel φ 41 . Tuto závislost můžeme vyjádřit funkcí φ 41 = z(φ 21 ), kterou nazývámezdvihová závislost. U členů mechanismů, konajících posuvný pohyb, je poloha určenadélkovou souřadnicí, např. s 41 . Pro zobecnění vztahů k vyjádření kinematických závislostízavedeme zobecněné souřadnice q ij .Pak pro výstupní člen platí:zdvihová závislost q n = z( )(12.10)1 q 21rychlostdz( q21)= ⋅q&21 = p( q21) ⋅ &21(12.11)q&n 1 qdq21dz( q21)kde p ( q ) = je převod (12.12)21dq21zrychlenídp( q21) 22= ⋅q&21 + p( q21) ⋅&&q21= b( q21) ⋅q&21 + p( q21) ⋅&21 (12.13)& q n 1 qdq21kde ( q )21( q )dp 21dq21b = je derivace převodu. (12.14)61

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────Zdvihovou závislost, převod a derivaci převodu označujeme jako převodové funkce.Univerzální metodou pro určení zdvihových závislostí je vektorová metoda. Kinematickéschéma mechanismu nahradíme uzavřenými vektorovými obrazci a sestavíme podmínkyuzavřenosti. Vyloučením pomocných souřadnic získáme zdvihovou závislost.Př. 12.1.Určete zdvihovou závislost klikového mechanismu.Zdvihovou závislost určíme nahrazením kinematického schématu uzavřenýmvektorovým obrazcem (trojúhelníkem) podle obr. 12.6.Podmínky uzavřenostir ⋅ sin ϕ21 − l⋅sin ψ = 0r2l 43φ 21 ψ11s 41r ⋅cosϕ21 + l⋅cosψ − s41= 0rsin ψ = ⋅ sin ϕ 21lPř. 12.22⎛ r ⎞⎝ l ⎠Obr. 12.6 cos ψ = 1−⎜ ⎟ ⋅ sin2 ϕ212⎛ r ⎞ 2s41 = r ⋅cosϕ21+ l⋅1−⎜ ⎟ ⋅ sin ϕ21= z ϕ21⎝ l ⎠Vypočtěte rychlost a zrychlení kulisy kulisového mechanismu, jehož kinematickéschéma je na obr 12.7. Je dána úhlová rychlost hnací kliky ω 21 a úhlové zrychlení ε 21 .4a v41 413rε 221φ r21ω 21OhbObr.12.7( ϕ )s 41( ϕ )dp 2121 = = −r⋅cosϕ21dϕ21rychlostv 41 = p( ϕ21) ⋅ϕ&21 = −r⋅ sin ϕ21⋅ω21zrychlenís 41φ 21•Zdvihová závislostr ⋅cosϕ21 − s41= 0( )s41 = r ⋅cosϕ21= z ϕ21převodp( ϕ )( ϕ )dz 2121 = = −r⋅ sin ϕ21dϕ21derivace převodu22( ϕ21) ⋅ϕ&21 + p⋅( ϕ21) ⋅ϕ&21 = −r⋅cosϕ21⋅ω21− r ⋅ 21⋅21a 41 = bsin ε( )62

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────13 Dynamika mechanismůPohybovou rovnici mechanismu odvodíme metodou redukce. Podstata metody spočíváv tom, že reálný mechanismus redukujeme na výpočtový model sestávající z rotujícího neboposouvajícího se tělesa , obr. 13.1. Jako člen redukce volíme hnací nebo hnaný členmechanismu.Výpočtový model (člen redukce)M r•J rq r =s r a r v rF ra) člen redukce koná rotační pohyb b) člen redukce koná posuvný pohybVe výpočtovém modelu je:Obr. 13.1φ r, ω r , ε r … úhlová dráha rychlost a zrychlení členu redukceM r … redukovaný moment (vyjadřuje silové účinky)J r … redukovaný moment setrvačnosti (vyjadřuje hmotnostní veličiny)s r , v r , a r … dráha, rychlost a zrychlení členu redukceF r … redukovaná síla (vyjadřuje silové účinky)m r … redukovaná hmotnost (vyjadřuje hmotnostní veličiny)Redukci silových účinků provádíme na základě rovnosti výkonů na mechanismu a navýpočtovém modelu.∑F i ⋅ v i + ∑Mj ⋅ω j = Mr⋅ωr∑ i ⋅ v i + ∑Mj ⋅ω j = Fr⋅iz tohojv i ω jv iM r = ∑Fi⋅ + ∑Mj ⋅=ω∑ ⋅ + ∑ ⋅ωr FiM ji ωrj riF (13.1a, b)jji v r j v rv rF (13.2a, b)V rovnicích značí F i , M j síly a momenty působící na mechanismus, v i rychlostipůsobišť sil a ω j úhlové rychlosti momentů.Redukci hmotnostních veličin provádíme na základě rovnosti kinetické energiemechanismu a výpočtového modelu.22∑ mi⋅ v + ∑ J j ⋅ω = Jr⋅ωi1 1 1 2 1 2 1 2 1 2ijr mi⋅ v + J j ⋅ω = mr⋅ v r2j 2 2i 2 ij 2 j 2z tohoq r =φ rm rω rε r22⎞⎜ ⎛ ω⎟ ⎞⎜ ⎛ v ijmi⋅ + J ji ⎝ ωr⎠ j ⎝ ωr∑ ∑ (13.2a, b)2⎛ v j ⎞2⎛ ω j ⎞J r = ∑ ∑ ⎟ m ∑ ⎜ ⎟ ∑ ⎜r = mi⋅ + J ⋅j⎠⎟ i ⎝ v r ⎠ j ⎝ v r ⎠(13.3a, b)63

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────V rovnicích značí m i , J j hmotnosti a momenty setrvačnosti členů, kterým příslušírychlosti v i a úhlové rychlosti ω j . Členům mechanismu, konajícím obecný rovinný pohyb,přísluší kinetická energie od posuvného i rotačního pohybu.Pohybové rovniceU mechanismů s proměnlivými převody jsou převodyv iω , ω i v ,i ω ,ir ωrv r v rfunkcíobecné souřadnice, takže i redukovaný moment setrvačnosti J r a redukovaná hmotnost m r jsoufunkcí ϕ r , resp. s r .= ( ϕ )m = m ( s )(14.a, b)Jr J rrrrrPohybovou rovnici odvodíme z diferenciálního tvaru věty o změně kinetické energie.dA = dE k (A … mechanická energie) (14.5)Při redukci na rotující člen obdržíme⎛ 1 2 ⎞M r ⋅dϕr= d⎜Jr⋅ωr⎟⎝ 2 ⎠d ⎛ 1 2 ⎞Mr= ⎜ Jr⋅ωr⎟ =dϕr⎝ 2 ⎠jelikoždωrω r ⋅ = εrdϕr12dJr2⋅ωr+dϕr12dωrJr⋅ 2ωr⋅ =dϕrPři redukci na posouvající člen analogicky odvodímeFr=12dmr2⋅ v r + mr⋅ardsrV obecném tvaru můžeme pohybovou rovnici zapsatQ r1 dμr2 2⋅ ⋅q& r + μr⋅& q&r2 dqr12dJr2⋅ωr+ Jrdϕr⋅εr(14.6)(14.7)= (14.8)kde Q r je obecná redukovaná síla, μ r je obecná redukovaná hmotnost a q r je obecnásouřadnice.U mechanismů s proměnlivými převody se při řešení pohybu jedná o nelineárnídiferenciální rovnici druhého řádu, která je řešitelná pouze numericky.U mechanismů s konstantními převody μ r (J r , m r ) je konstantní a pohybová rovnice sezjednoduší na tvarQ rμr⋅& q&r= (15.9)Postup odvození pohybové rovnice mechanismu s konstantními převody amechanismu s proměnnými převody ukážeme na následujících příkladech.64

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────Př. 13.1.Odvoďte pohybovou rovnici zdvihacího ústrojí, jehož schéma je uvedeno na obr. 13.2.Odpor prostředí a pasivní odpory zanedbejte!M hφ 21ε 21ω 312 •r 21r 33ω 21•J 3 , m 3G 3 ε 314J 2G 4vaV obrázku značí:M h … hnací momentφ 21 … obecná souřadnice (úhel natočení bubnu)r 2 , r 3 …poloměr bubnu, kladky volnéJ 2 , J 3 … momenty setrvačnosti bubnu, kladky volnéG 3 , G 4 … tíhy kladky volné, břemeneω 21 , ε 21 … úhlová rychlost, zrychlení bubnuω 31 , ε 31 … úhlová rychlost, zrychlení druhotného pohyburotačního kladky volnév, a … rychlost a zrychlení břemeneKladka volná koná obecný rovinný pohyb, rotaci kolempólu P.Obr. 13.2Obvodová rychlost a tečné zrychlení bodu na obvodububnuv 21 = 2v31 = 2va 21 = 2a31 = 2a2vPak ω 21 = ; εrvω 31 = ;r32aε 31 =r32a31 =r2Redukci provedeme na hřídel bubnuRedukovaný moment (rovnost výkonů)M h ⋅ω21 − ( G3 + G4) ⋅ v = Mr⋅ω212Po dosazení zaω 21= r ⋅2G3+ G4Mr= Mh− ⋅r22v obdržímeRedukovaný moment setrvačnosti (rovnost kinetických energií)12J 2⋅ω2 1 221 + m3⋅ v 31 +2122 1 2J3⋅ω31+ m4⋅ v =2Po dosazení za v 31 , ω 31 a v obdržímev 21r 312v 312Jr⋅ω21P65

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────2⎛ r2⎞J r = J2+ J3⋅⎜⎟+2⎝ r3⎠( m + m )32⎛ r2⎞4 ⋅⎜⎟⎝ 2 ⎠Pohybovou rovnici získáme po dosazení do rovnice (15.9)2G3+ G⎡4⎛⎢r2⎞M h − ⋅r2= J2+ J3⋅⎜⎟ +2 ⎢23⎣⎝ r ⎠2 ⎤⎛ r ⎞⎝ 2 ⎠ ⎥⎦2( m3+ m4) ⋅⎜⎟ ⎥ ⋅ϕ&21Z pohybové rovnice při řešení úlohy 1. druhu vypočteme M h při řešení úlohy 2. druhuřešením diferenciální rovnice 2. řádu ϕ ( t).21 = f 1Př. 13.2Odvoďte pohybovou rovnici kulisového mechanismu, jehož schéma je na obr. 13.3.Odpor prostředí a tíhové síly zanedbejte!m 4 am 3414Ε 2 1ω 21Obr. 13.3Kámen 3 koná posuvný pohyb, jeho rychlostv 31 = r ⋅ω 21M h … hnací momentF … zátěžná sílar 2 … poloměr hnací klikyφ 21 … obecná souřadnice (úhelnatočeníRychlost kulisy určíme pomocí převodových funkcíZdvihová závislost s41 = r ⋅ sin ϕ21= z( ϕ21)Převoddz( ϕ21)p ( ϕ ) = = r ⋅cos21 ϕ21dϕ21Pak v 41 = p( ϕ21) ⋅ϕ&21 = r ⋅cosϕ21⋅ω21Redukce na hřídel klikyRedukovaný moment (rovnost výkonů)M h ⋅ω21 −F⋅v 41 = Mr⋅ω21FPo dosazení za v 41 = r ⋅cosϕ21⋅ω21obdržímeMr= Mh−F⋅r⋅cosϕ 211r 23v 41•2s 41φ J 221M hRedukovaný moment setrvačnosti (rovnost kinetických energií)kliky)m 3 , m 4 … hmotnosti ramene, kulisyJ 2 … moment setrvačnosti klikyω 21 , ε 21 … úhlová rychlost, zrychleníklikyv 41 , a 41 … rychlost, zrychlení kulisy66

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────12J 2⋅ω2 1 2 1 221 + m3⋅ v 31 + ⋅m4⋅ v 41 =2 2Po dosazení za v 31 a v 41 obdržímeJ r2 2 2J2 + m3⋅r+ m4⋅r⋅ ϕ21= cosPohybová rovnice1 dJr⋅ϕ& 2 21 + Jr⋅ϕ && = Mr2 dϕ21Po dosazení za J r a M r122Jr⋅ω212 2 2( J2+ m3⋅r+ m4⋅r⋅cosϕ21) ⋅ϕ&&21 = Mh−F⋅r⋅cos2122− m4 ⋅r⋅ sin ϕ21⋅cosϕ21⋅ϕ&21 +ϕZ pohybové rovnice pro dané ω 21 = ϕ& 21 a ε 21 = ϕ& 21 můžeme určit M h pro libovolnoupolohu danou úhlem φ 21 (úloha 1. druhu), nebo pro zadané F a M h určit pohyb mechanismuϕ () t (úloha 2. druhu) řešením nelineární diferenciální rovnice 2. řádu.21 = f 167

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────14 Základy technického kmitáníProblémy kmitání se vyskytují ve všech oborech technické praxe. Náplní této kapitolybude mechanické kmitání. Přitom se omezíme pouze na lineární kmitání výpočtových modelůse soustředěnými parametry.14.1 Kmitání soustav s jedním stupněm volnostiPohyb celé řady technických aplikací lze znázornit modelem s jedním stupněmvolnosti.14.1.1 Volné netlumené kmitáníMechanický model, popisující volný, netlumený pohyb s jedním stupněm volnosti, jepro přímočarý posuvný pohyb znázorněn na obr. 14.1.l 0 x x & , & xkF kmJe složen z tuhého tělesa hmotnosti m, které sepohybuje po dokonale hladké podložce a je uchycenok nehmotné pružině, v níž vzniká síla lineárně závislána její deformaci. Počátek souřadnic je v koncovémbodě nedeformované pružiny. Pak síla v pružiněObr. 14.1F k = k ⋅ x kde k je tuhost pružiny [N·m -1 ] (14.1)Zanedbáme-li odpor prostředí, bude pohybová rovnicem&x= −kxnebo po úpravě& 2x& + Ω 0 x = 0 kdeŘešením obdržímex = A ⋅ Ω0t+ B⋅sin Ω0tkΩ 0 = je vlastní kruhová frekvence [rad·s -1 ] (14.2)mcos nebo x = C⋅sin ( Ω t + )(14.3)0 ϕ 0Rovnice popisují harmonický pohyb.Konstanty A, B resp. C, φ 0 jsou integrační konstanty, které se určí z počátečníchpodmínek. V čase t = 0 je výchylka x 0 a rychlost v 0 . Pro výpočet integračních konstantpotřebujeme rychlost pohybu.= x& = −A⋅Ω ⋅ sin Ω t + B ⋅Ω ⋅cost(14.4)v 0 0 0 Ω0Po dosazení počátečních podmínek do (14.3) a (14.4) obdržíme0A = x 0 ; B = vΩ022 ⎛ v 0resp. 0 ⎟ ⎞C = x + ⎜, což je amplituda kmitání a (14.5)⎝ Ω0⎠0 =Ω0⋅ x 0v 0ϕ arctan , což je počáteční fáze (14.6)Grafické znázornění pohybu v čase je na obr. 14.2.68

CCφ 03T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────Obr. 14.2T 0y p30 p40Doba kmitu (perioda) je dána vztahem2π0 =Ω0T , (14.7)Ω 0 tjejí převrácená hodnota je kmitočetΩ0f 0 = (14.8)2 π14.1.2 Volné tlumené kmitáníZ řešení netlumeného kmitání vyplynulo,že tento pohyb se periodicky opakujenekonečně dlouho s konstantní amplitudou. Ve skutečnosti se amplituda kmitavého pohybuzmenšuje, až zanikne. K zohlednění této skutečnosti zavádíme do soustavy tlumení. Přimatematickém modelování se proces tlumení vyjadřuje ekvivalentní tlumící silou lineárnězávislou na rychlosti.bF b = b⋅x&, kde b je součinitel tlumení [N·s·m -1 ] (14.9)Mechanický model soustavy s tlumením je na obr. 14.3.Obr. 14.3kdeb=2mnetlumených kmitů.l 0 x , xkFbF kTlumení je modelováno paralelně připojenýmtlumičem.δ je konstanta doznívání aPohybová rovnice2m&x= −bx&− kxa po úpravě & x+ 2δx&+ Ω 0 x = 0(14.10)kΩ 0 = je vlastní kruhová frekvencemRovnice (14.10) je lineární homogenní diferenciální rovnice druhého řáduλts konstantními koeficienty, jejíž řešení lze předpokládat ve tvaru x = C⋅e.Dosazením do (14.10) a po úpravě dostaneme charakteristickou rovnici22λ + 2δ ⋅λ + Ω0= 0jejíž kořeny jsou2 21 2 = −δ ± δ − Ω0x & &λ , (14.12)Podle velikosti δ a Ω 0 bude tlumení:δ ≥ Ω 0 … nadkritické, kritické – aperiodický pohybδ < Ω 0 … podkritické – kmitavý pohybmDále se budeme zabývat pouze podkritickým tlumením.69

x tx5T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────Kořeny charakteristické rovnice budou komplexně sdružené.2 21, , kde Ω = Ω − je vlastní kruhová frekvence tlumené soustavy (14.13)λ 2 = −δ ± iΩDosazením do řešeníλ1tλ2tx = C1⋅e+ C2⋅eobdržíme−δx = eTtC·e -δt⋅0 δ−δt( A ⋅ Ωt+ B⋅sin Ωt) = e ⋅C⋅sin( Ωt)cos + ϕ 0(14.14)x t+TGraf této funkce je zakreslen na obr. 14.4.Doba kmituT = 2π > T 0 (14.15)Ω0y p5-C·e -δt0 p40Ω tProti netlumené soustavě se prodlužuje dobakmitu. Amplituda tlumeného kmitavéhopohybu se s časem exponenciálně zmenšuje.Obr. 14.4Vyjádřeme poměr výchylky v čase t a v čase t + T−δtx t e ⋅C⋅sin( Ωt+ ϕ0) δT== e = konst.x −δ( t+T) t+T e ⋅C⋅sin Ω( t + T)+ ϕ[ ]0Této skutečnosti využíváme pro vyjádření velikosti tlumení na základě experimentu.Z odečtených hodnot časového průběhu x t a x t+T vypočteme tzv. logaritmický dekrement ϑ .x tϑ = ln = δ⋅T(14.16)x t+TZ rovnice (14.4) plyne, že pohyb zanikne teoreticky v čase t = ∞. I když tentovýsledek neodpovídá skutečnosti, řešení po kvalitativní stránce vystihuje skutečný pohyb.14.1.3 Kmitání vynucené budící silou harmonického průběhuU volného kmitání byl pohyb závislý pouze na parametrech soustavy a na počátečníchpodmínkách.V technické praxi se setkáváme s případy, kdy na hmotu působí ještě tzv. budící síla,která je známou funkcí času. Základním případem je budící síla harmonického průběhuF() t = F0 ⋅ sin( ωt+ ϕF), kde F 0 je amplituda síly (14.17)ω je kruhová frekvence budící sílyφ F je počáteční fáze budící sílyMechanický model takové soustavy je na obr. 14.5.70

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────Obr. 14.5Pohybová rovnicem&x= −bx&− kx + F0⋅ sin( ωt+ ϕ )Po úpravě & x2+ 2 δx&+ Ω x = a ⋅ sin( ωt+ ϕ ) (14.18)kdeF0a0 = mJedná se o lineární diferenciální rovnici druhého řádu s konstantními koeficientys pravou stranou.Řešení můžeme napsat ve tvarux = x h + x p(14.19)kde x h je řešení homogenní rovnice a x p tzv. partikulární integrál, který podle pravéstrany rovnice (14.8) budeme hledat ve tvaruxp= s0 ⋅ sin( ωt+ ϕx)(14.20)Po výpočtu první a druhé derivace podle času, dosazením do (14.18) a srovnánímčlenů u sin ( ωt + ϕ x ) a cos ( ωt + ϕ x ) obdržíme dvě rovnice pro výpočet neznámých s 0 a φ x vetvarechb)l 0 x , xks0=2 2 2( Ω − ω ) + ( 2δ ⋅ω) 20a0Podle rovnice (14.19) bude řešeníx = e−δtF bF px & &m0δ⋅ωϕF − ϕx= arctan(14.21a,2Ω − ω( Ωt+ ϕ0 ) + s ⋅ sin( ωt+ ϕx)(14.22)⋅C⋅sin 0F () tZ rovnice je patrno, že po dostatečně dlouhé době se vlastní kmitání, které odpovídáhomogennímu řešení utlumí a zůstává pouze partikulární řešení s amplitudou s 0 a kruhovoufrekvencí budící síly ω. Této fázi říkáme ustálené vynucené kmitání.Cenné informace o ustáleném vynuceném kmitání lze získat ve frekvenční oblastiz amplitudové a fázové frekvenční charakteristiky.220F0FAmplitudová frekvenční charakteristikaRovnici pro výpočet amplitudy s 0 ustáleného vynuceného kmitání (14.21a) upravímena bezrozměrový tvar pomocí vztahů pro statickou výchylkuωδη = , a poměrný útlum b = .Ω 0rΩ 0F0s stk= , činitele naladěnís0sst=12 2( 1− η ) + ( 2b⋅η) 2r(14.23)71

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────Grafické znázornění závislosti poměrné amplitudys 0s stna činiteli naladění η proněkolik hodnot poměrného útlumu b r je na obr. 14.6 a nazývá se amplitudová frekvenčnícharakteristika.s 0 6s st5432101 2 3Obr. 14.6b r = 0b r = 0,2b r = 0,4ηU netlumeného pohybu (b r = 0) přejderovnice (14.23) na tvars0s st1=21− η(14.24)Bude-li v tomto případě ω = Ω0a tedyη = 1, bude poměrná amplituda nekonečná.Tomuto jevu se říká rezonance a pro práci většinystrojních a dopravních zařízení je nežádoucí.Zvýšením tlumení (b r ) je možno tento nežádoucíjev částečně potlačit.Fázová frekvenční charakteristikaPodobně můžeme upravit do bezrozměrového tvaru rovnici (14.21b) pro výpočetfázového úhlu výchylky.2br⋅ηϕF− ϕx= arctan (14.25)21− ηPrůběh opožďování fázového úhlu výchylky v závislosti na činiteli naladění η prorůzné hodnoty poměrného útlumu b r je na obr. 14.7 a nazývá se fázová frekvenčnícharakteristika.(φ F – φ x)180º90ºb r = 0b r = 0,2b r = 0,401 2 3 ηObr. 14.7Z fázové frekvenční charakteristiky je patrno, že do rezonance je výchylka netlumenésoustavy ve fázi s budící silou, nad rezonancí je v protifázi. Při rezonanci se výchylkaopožďuje vůči budící síle o 90°.72

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────14.2 Kmitání lineárních soustav s více stupni volnostiPřesnější modelování mechanických soustav se vyjadřuje modely s více stupnivolnosti. U těchto modelů se předpokládají nehmotné pružiny a tlumiče, hmotnostisoustředěné do jednotlivých těles. Takovéto modely se nazývají modely se soustředěnýmiparametry. Postup odvození pohybové rovnice v maticovém tvaru si ukážeme na posuvněkmitající soustavě se 2º volnosti, zakreslené na obr. 14.8.k 1F 12k 2Fm 1b 1 b 2m 2x 1 x 2Obr. 14.814.2.1 Pohybové rovniceObecné souřadnice x 1, x 2 jsou výchylky hmot z rovnovážné polohy, F 1 a F 2 jsou budícísíly.Pak pro hmotnosti m 1 a m 2 platí pohybové rovnicem 1& x1 = −k1x1+ k 2 ⋅( x 2 − x1) − b1x&1 + b2⋅( x&2 − x&1 ) + F1(14.26)( x 2 − x1) − b2⋅( x&2 − x1) 2m 2&x2 = −k2 ⋅& + FPo úpravě( b1+ b 2 ) ⋅ x&1 − b2x2 + ( k1+ k 2 ) ⋅ x1− k 2x2 1m 1&x1 + &= Fm 2& x2 − bx&1 + b2x&2 − k1x1+ k 2x2 = F2(14.27)a v maticovém tvaru⎡m1⎢⎣ 0Kondenzovaně0 ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎥ ⋅&& x1⎢ ⎥ +m⎢2 ⎦ ⎣&& x 2 ⎦ ⎣( b + b ) − b ⎤ ⎡x&⎤ ⎡( k + k )1 2− b 22b2⎥ ⋅⎦1⎢ ⎥ + ⎢⎣x& 2 ⎦ ⎣1 2− k 2− k 2 ⎤ ⎡x1⎤ ⎡F1⎤⎥ ⋅ ⎢ ⎥ =k⎢ ⎥2 ⎦ ⎣x2 ⎦ ⎣F2⎦(14.28)[ M ] {} x&+ [ B] {} x&+ [ K] {} x = {} F& (14.29)kde [ M ] je matice hmotnosti { x } je matice výchylek[ B ] je matice tlumení { F } je matice budících sil[ K ] je matice tuhostiPomocí maticového vyjádření je možno popsat jakoukoli soustavu se soustředěnýmiparametry s nº volnosti.73

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────14.2.2 Volné kmitání netlumené soustavyPohybové rovnice[ M ] {} x&+ [ K] {} x = {} 0& (14.30)Řešení předpokládáme ve tvaru{} { C} Ω tx = sin 0(14.31)frekvence.kde { C}TC1 , C2 , ... C n a C i jsou amplitudy kmitání a Ω 0 vlastní kruhová⎡= ⎢,⎣⎥ ⎦⎤Po výpočtu druhé derivace, dosazením do rovnic (14.30) a po vykráceníobdržíme soustavu homogenních algebraických rovnic.2[ ] − Ω 0 [ M] { C} = { 0}sin Ω 0 tK (14.32)Pro netriviální řešení musí být determinant soustavy roven nule.[ K] − Ω [ ] 20 M = 0det (14.33)Rozvedením determinantu získáme frekvenční rovnici2n2( n−1)2an Ω + an−Ω + ... + a Ω + a 0(14.34)0 1 01 0 0 =Pro pozitivně definitní matice [ M ] a [ K ] jsou kořeny reálné, různé a nezápornéhodnoty, které určují vlastní kruhové frekvence0 ≤ Ω01≤ Ω02≤ ... ≤ Ω0n.jevů.Znalost vlastních kruhových frekvencí je důležitá z hlediska zabránění rezonančních14.2.3 Kmitání vynucené budícími silami harmonického průběhu14.2.3.1 Netlumená soustavaPohybová rovnice[ M] {} & x+ [ K] {} x = { F } sin ωt(14.35)⎡⎢⎣0Tkde { F0 } = F1 , F2 , ... , F n je matice amplitud budících sil.⎥ ⎦⎤Pro ustálené kmitání odhadneme řešení ve tvaru{} x = {} S sin ωtT⎡⎤kde {} S = ⎢S1 , S2.... , S n ⎥ je matice amplitud ustáleného vynuceného kmitání (14.36)⎣⎦74

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────Po výpočtu druhé derivace, dosazení do (14.35) a vykrácení2[ ω [ M ] + [ K]]{ S} = { F }0sin ωtobdržíme− (14.37)[ D ] {} S = { }F 0kde [ D ] je matice dynamické tuhosti. (14.38)Za předpokladu, že det [ D] ≠ 0 , můžeme vypočítat inverzní matici [ D ] −1, tzv. maticidynamické poddajnosti. S její pomocí vypočteme amplitudy ustáleného vynuceného kmitání{} S [ D−1 = ] { F0 }14.2.3.2 Tlumená soustavaVyjdeme z pohybové rovnice (14.29)[ M ] {} & x+ [ B] {} x&+ [ K] {} x = {} FV odhadu partikulárního řešení pro ustálené vynucené kmitání tlumené soustavymusíme respektovat fázové posunutí výchylek za budícími silami φ x .{} x = {} S sin( ωt+ φx ) = { S1 } sin ωt+ { S2} cos ωt(14.39)cos ωtkde { S }⎡⎢⎣1 = S11S12..., S1n, , a { S }⎥ ⎦⎤T⎡⎢⎣2 = S21S22, ..., S2nT⎤, ⎥ (14.40)⎦Po výpočtu první a druhé derivace, dosazení do (14.29) a srovnání členů uobdržíme dvě maticové rovnice− ω− ω22[ M ] { S } − ω[ B] { S } + [ K] { S } = { F }1210sin ωta[ M ] { S } + ω[ B] { S } + [ K] { S } = { 0}(14.41)2Vyjádřeno jedinou maticí[ K] − ω [ M] − ω[ B]ω[ B] 2[ K] − ω [ M]⎡⎢⎢⎣1{ S1}{ S }2{ }2 ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ F0⎥ ⋅ ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ ⎫⎥⎦⎩ 2 ⎭ ⎩ {} 0 ⎭[ ] { S } { }D = (14.42)1 , 2 1,2 F1 , 2a pro det[ D ] 0−11,2 ≠{ S } [ D ] { }= (14.43)1, 2 1,2 F1 , 2Pak amplitudy ustálených vynucených kmitů budou rovnyi2 21iS2i= , kde i = 1 až n (14.44)S S +75

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────14.2.4 Kroutivé kmitáníS kroutivým kmitáním se setkáváme u pohonů. Nejjednodušší pohon představujemotor, spojka a rotor strojního zařízení., obr. 14.9a.J 1J 2Jφ 31φ 2 φ 3k t1k t2M 1 M 3a) b)Obr. 14.9Mechanický model (obr. 14.9b) je tzv. torzní soustava o 3º volnosti, kde J 1 je momentsetrvačnosti rotoru motoru, J 2 moment setrvačnosti spojky, J 3 moment setrvačnosti rotorustrojního zařízení, k t1 torzní tuhost hřídele motor – spojka, k t2 torzní tuhost hřídele spojka –rotor strojního zařízení, M 1 a M 2 jsou budící momenty.Pohybové rovnice netlumené soustavyJ1ϕ&& 1 + k t 1 ⋅( ϕ1− ϕ2) = M1( ϕ − ϕ ) + ⋅( ϕ − ϕ ) 0J 2 ϕ& 2 − k t 1 ⋅ 1 2 k t22 3 =(14.45)( ϕ2− ϕ3) 3J3ϕ&& 3 − k t 2 ⋅ = MMaticově.⎡J10 0 ⎤ ⎡ϕ&&1 ⎤ ⎡ k t1⎢⎥⋅⎢ ⎥+⎢⎢0 J20⎥ ⎢ϕ&&2 ⎥ ⎢− k t1⎢⎣0 0 J3⎥⎦⎢⎣ϕ&&3 ⎥⎦⎢⎣0Kondenzovaně− k t1( k + k )t1t2− k t20 ⎤ ⎡ϕ1⎤ ⎡M1⎤− k⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥t2⎥⋅⎢ϕ2⎥ ⎢0⎥k t2⎥⎦⎢⎣ϕ3⎥⎦⎢⎣M3⎥⎦[] J {} ϕ& + [ k t ] {} ϕ = { M}& (14.46)kde [] J je matice momentů setrvačnosti { ϕ } je matice natočení[ k t ] je matice torzních tuhostí { M}je matice budících momentůZe srovnání s pohybovou rovnicí posuvně kmitající soustavy (14.29) plyne, že rovnicejsou analogické. Všechny postupy řešení, uvedené pro posuvně kmitající soustavy, lze rozšířitna kmitání kroutivé.76

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────14.3 Krouživé kmitání hřídelů – kritické otáčkyHřídele i rotory tvoří důležitou součást rotačních strojů. V této kapitole se budemevěnovat pružným rotorům, u kterých je průhyb hřídele od odstředivých sil nezanedbatelnývzhledem k vyosení těžiště rotoru. Nejjednodušší mechanický model je pružný nehmotnýhřídel s kotoučem v polovině jeho délky obr. 14.10. Po roztočení rotoru v důsledku vyosenítěžiště e se působením odstředivé síly hřídel prohne o průhyb y.m•yT•eF oPak velikost odstředivé síly bude:2F o = m⋅( y + e) ⋅ω(14.47)kde m je hmotnost kotouče a ω úhlová rychlostrotoru.Označíme-li ohybovou tuhost hřídele jako k o ,pak pro rovnováhu bude platitF = k ⋅ y(14.48)ooPo dosazení za F o a úpravě obdržíme202ωy = e⋅Ω − ω2Obr. 14.10ωk 0kde Ω 0 = je vlastní kruhová frekvencemohybového kmitání.V bezrozměrném tvaru2y η=e 21−η, kdeη =ωΩ 0Graficky je tato závislost zakreslena v obr. 14.11.ye10 1ηObr. 14.11V podkritické oblasti ω < ω k je těžiště kotouče ve větší vzdálenosti od spojniceložisek, než osa hřídele. V nadkritické oblasti ω > ω k se situace obrací a těžiště je blíže k oserotoru, než osa hřídele. Při vysokých úhlových rychlostech se bude těžiště kotouče blížit oserotace, teoreticky pro ω = ∞ bude na této ose ležet.77

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A V L E T E C T V Í───────────────────────────────────────────────Literatura1. Juliš, K.- Tepřík, O.- Slavík-, A.: Statika, Praha, SNTL/ALFA 1987, 265 s.2. Brát, V.-Rosenberg, J.-Jáč, V.: Kinematika, Praha, SNTL/ALFA 1987, 251 s.3. Brousil, J.-Slavík, J.-Zeman, V.: Dynamika, Praha SNTL 1989, 328 s.4. Slavík, J.-Stejskal, V.-Zeman, V.: Základy dynamiky strojů, Praha, VydavatelstvíVUT 1997, ISBN 80-01-01622-6, 319 s.78