Ondrouch Jan: Technická mechanika - Vysoká škola báňská ...

Vysoká škola báňská –Technická univerzita Ostrava
───────────────────────────────────
TECHNICKÁ MECHANIKA
pro bakaláře Fakulty elektrotechniky a informatiky
Jan Ondrouch
Jiří Kaňák
───────────────────────────────────
Ostrava 2007

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
Obsah
Předmluva ..……………………………………………………………………………………… 3
1. Uložení a rovnováha tělesa v rovině …………………………………………… 4
1.1. Těleso volné ….………………………………………………………………………. 4
1.2. Těleso vázané .………………………………………………………………………. 4
1.2.1. Těleso vázané v jednom bodě …………………………………………………. 5
1.2.1.1. Bod tělesa vázán ke křivce – vazba obecná …………………………………….. 5
1.2.1.2 Bod tělesa nepohyblivý – vazba rotační …………………………………………….. 6
1.2.2. Těleso vázané ve více bodech ……………………………………………………….. 6
1.2.2.1. Pohyblivá uložení ……………………………………………………………………. 6
1.2.2.2. Nepohyblivá uložení, základní staticky určité případy i = 0; m = 3 ……………. 9
1.2.3. Vazbová závislost ………………………………………………………………………. 12
1.4. Uvolnění tělesa ……………………………………………………………………….. 12
2. Statika rovinných soustav těles ……………………………………………………. 12
2.1. Základní poznatky, vazby ………………………………………………………………. 12
2.2. Pohyblivost a statická určitost rovinných soustav těles … ………………………….. 14
2.3. Početní řešení sil ve vazbách nepohyblivých soustav staticky určitých ………….. 15
2.4. Početní řešení sil ve vazbách a přídavných rovnovážných účinků
pohyblivých soustav staticky určitých ………………………………………………… 17
3. Prutové soustavy rovinné …………………………………………………………… 18
3.1. Základní poznatky ………………………………………………………………………. 18
3.2. Statická a tvarová určitost …………………………………… ……………………… 19
3.3. Početní řešení …………………………………………………………………………… 20
3.3.1. Metoda styčníková ……………………………………………………………………… 20
3.3.2. Metoda průsečná ……………………………………………………………………… 22
4. Nosníky …………………………………………………………………………………. 23
4.1. Rovnováha části tělesa, vnitřní statické účinky ……………………………………… 23
4.2. Závislost mezi spojitým zatížením, posouvající silou a ohybovým momentem,
Schwedlerova věta ……………………………………………………………………… 24
4.3. Řešení nosníků ………………………………………………………………………… 25
4.3.1. Základní poznatky ……………………………………………………………………… 25
4.3.2 Jednoduché případy zatížení ………………………………………………………… 26
4.3.3. Kombinované zatížení …………………………………………………………………… 29
5. Pasívní odpory v reálných vazbách ………………………………………………… 30
5.1. Obecná vazba ………………………………………………………………………… 30
5.2. Posuvná vazba …………………………………………………………………………… 31
5.3. Rotační vazba …………………………………………………………………………… 32
5.3.1. Ložisko radiální ………………………………………………………………………… 33
5.3.2. Ložisko axiální (patní) ………………………………………………………………… 33
5.4. Valivá vazba ……………………………………………………………………………. 35
5.5. Pohyb vlákna po drsné ploše ………………………………………………………… 36
5.6. Vliv tuhosti lan a řemenů ……………………………………………………………… 37
6. Kinematika posuvného pohybu tělesa (rovinný případ) ………………………… 37
6.1. Základní poznatky ………………………………………………………………………… 37
6.2. Řešení pohybu bodu v rovině ………………………………………………………… 38
6.2.1. Přirozená souřadnicová soustava …………………………………………………… 38
6.2.2. Pravoúhlá souřadnicová soustava …………………………………………………… 40
6.2.3. Polární souřadnicová soustava ………………………………………………………… 40
6.2.4 Vyšetřování pohybu bodu ……………………………………………………………… 42
6.2.5. Zvláštní případy pohybu ………………………………………………………………… 42
6.2.5.1 Přímočarý pohyb ………………………………………………………………………… 42
6.2.5.2. Podle vlastností tečného zrychlení …………………………………………………… 42
1

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
7. Dynamika posuvného pohybu tělesa (rovinný případ) ………………………… 43
7.1. Základní poznatky ……………………………………………………………………… 43
7.2. Sestavování pohybové rovnice d´Alembertovým způsobem ……………………… 44
7.3. Věta o změně hybnosti, věta o změně kinetické energie …………………………… 45
7.3.1. Věta o změně hybnosti ………………………………………………………………… 45
7.3.2. Věta o změně kinetické energie ………………………………………………………… 46
8. Kinematika rotačního pohybu tělesa ……………………………………………… 47
8.1 Základní poznatky ………………………………………………………………………… 47
8.2. Vektorové vyjádření kinematických veličin …………………………………………… 48
9. Dynamika rotačního pohybu tělesa ………………………………………………… 48
9.1. Základní poznatky ……………………………………………………………………… 48
9.2. Věta o změně momentu hybnosti, věta o změně kinetické energie ………………… 49
9.2.1. Věta o změně momentu hybnosti ……………………………………………………… 49
9.2.2. Věta o změně kinetické energie ………………………………………………………… 50
9.3. Výsledné doplňkové síly, výpočet reakcí (rovinný případ) ………………………… 50
9.3.1. Výsledné doplňkové síly ……………………………………………………………… 50
9.3.2. Výpočet reakcí ………………………………………………………………………… 52
10. Kinematika obecného rovinného pohybu tělesa ………………………………… 52
10.1. Definice, pohyblivost …………………………………………………………………… 52
10.2. Základní rozklad ………………………………………………………………………… 53
10.3. Vyšetření rychlosti a zrychlení ………………………………………………………… 54
11. Dynamika obecného rovinného pohybu tělesa ………………………………… 56
11.1. Pohybové rovnice ……………………………………………………………………… 56
11.2. Kinetická energie ………………………………………………………………………… 57
11.3. Doplňkové účinky ……………………………………………………………………… 57
12. Kinematika mechanismů ……………………………………………………………… 59
12.1. Mechanismy s konstantními převody ………………………………………………… 59
12.1.1. Jednoduchý převod ……………………………………………………………………… 59
12.1.2. Složený převod ………………………………………………………………………… 60
12.1.3. Planetový převod ………………………………………………………………………… 60
12.2. Mechanismy s proměnlivými převody …………………………………………….…… 61
13. Dynamika mechanismů ………………………………………………………………. 63
14. Základy technického kmitání ………………………………………………………… 68
14.1. Kmitání soustav s jedním stupněm volnosti ………………………………………… 68
14.1.1. Volné netlumené kmitání ……………………………………………………………… 68
14.1.2. Volné tlumené kmitání …………………………………………………………………… 69
14.1.3. Kmitání vynucené budící silou harmonického průběhu ……………………………… 70
14.2. Kmitání lineárních soustav s více stupni volnosti …………………………………… 73
14.2.1 Pohybové rovnice ………………………………………………………………………. 73
14.2.2. Volné kmitání netlumené soustavy …………………………………………………… 74
14.2.3. Kmitání vynucené budícími silami harmonického průběhu ………………………… 74
14.2.3.1. Netlumená soustava ………………………………………………………………..……. 74
14.2.3.2 Tlumená soustava ………………………………………………………………………… 75
14.2.4. Kroutivé kmitání …………………………………………………………………………… 76
14.3. Krouživé kmitání hřídelů – kritické otáčky ……………………………………………… 77
Literatura ………………………………………………………………………………………………. 79
2

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
Předmluva
Tento text je určen studentům vybraných oborů bakalářského studia Fakulty elektrotechniky a
informatiky Vysoké školy báňské – Technické univerzity Ostrava. Má sloužit jako základní učební
pomůcka ke studiu vybraných kapitol ze statiky, kinematiky a dynamiky, které jsou důležité a
prospěšné pro ucelené vzdělání bakalářů elektrotechnického zaměření a potřebné v technické praxi.
Při výkladu se předpokládají základní vědomosti z mechaniky získané v přednáškách z fyziky. Učební
text obsahuje látku, kterou by jinak museli studenti pracně vyhledávat z několika učebnic, kterých je
navíc nedostatek.
Autoři věří, že učební text usnadní studium předmětu Technická mechanika a hlavně přispěje
ke zvýšení úrovně znalostí studentů.
3

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
1. Uložení a rovnováha tělesa v rovině
Množství praktických technických problémů lze s úspěchem modelovat a formulovat jako
rovnováhu tělesa v rovině. Základním předpokladem je skutečnost, že síly na těleso působící (akční a
reakční), tvoří rovinnou soustavu sil.
1.1. Těleso volné
Volné těleso může konat tři nezávislé pohyby: posuv ve směru osy x, posuv ve směru osy y, a
pohyb rotační.
y
Fi
(x i, y i )
α i
0 x
Obr. 1.1.
Volné těleso (obr. 1.1 má tedy tři stupně volnosti, i = 3. Působící akční síly F i tvoří obecnou rovinnou
soustavu, takže musí splňovat tři podmínky rovnováhy:
n
∑F ix
i=
1
n
∑F iy
i=
1
= 0
= 0 (1.1)
n
∑M i = 0
i=
1
kde F
ix = F i ⋅cos αi
, Fiy = F i ⋅ sin αi
a Mi
= xi
⋅Fiy
− yi
⋅Fix
1.2 Těleso vázané
Vázané těleso je takové těleso, které se stýká s rámem, čímž je jeho pohyb omezen. Omezení
pohybu se realizuje tzv. vazbami. V této kapitole se budeme zabývat ideálními vazbami, u kterých se
zanedbávají pasívní odpory.
4

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
1.2.1. Těleso vázané v jednom bodě
1.2.1.1. Bod tělesa vázán ke křivce – vazba obecná
Základní typy provedení vazby jsou na obr. 1.2.
n
Fi
n
F i
n
Fi
• t
• t
•
t
N
N
k
N
Obr. 1.2.
Obecná vazba neumožňuje tělesu pohyb ve směru normály n, odebírá mu jeden stupeň volnosti (m =
1). V tomto směru na těleso působí rám reakcí, normálovou silou která představuje jednu statickou
neznámou (jeden neznámý statický parametr). Těleso má dva stupně volnosti (i = 2), posuv ve směru
tečny t a rotaci kolem dotykového bodu.
Takto uložené těleso musí splňovat následující podmínky rovnováhy:
n
∑F it
i=
1
= 0
n
∑F in + N =
i=
1
n
∑M i = 0
i=
1
0 (1.2)
Kde F it a F in jsou průměty akčních sil F i do směrů tečny t a normály n, M i je moment F i
k momentovému bodu na normále n.
První a třetí rovnice vyjadřuje podmínku rovnováhy akčních sil F i· (neobsahuje reakce).
Takovéto rovnice se nazývají vlastní rovnovážné rovnice. Druhá rovnice umožňuje výpočet normálové
reakce N.
5

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
1.2.1.2 Bod tělesa nepohyblivý – vazba rotační
1.3.
Vazba rotační neumožňuje posuv ve dvou směrech, odebírá dva stupně volnosti (m = 2), obr.
y
R y
Fi
0
R x
(x i ; y i )
x
0 … nepohyblivý bod
Obr. 1.3.
Ve směrech zamezených posuvů (např. x, y) působí na těleso reakce R x a R y , které představují dva
neznámé statické parametry. Těleso má jeden stupeň volnosti (i = 1), rotaci kolem nepohyblivého
bodu.
Podmínky rovnováhy:
n
∑F ix + R x
i=
1
n
∑F iy + R y
i=
1
= 0
= 0 (1.3)
n
∑M i 0 = 0
i=
1
Momentovou rovnici rovnováhy sestavíme s výhodou k momentovému bodu 0. Rovnice pak
neobsahuje reakce a je vlastní rovnovážnou rovnicí. Složkové rovnice rovnováhy umožňují výpočet
složek R x , R y výsledné reakce R, jejíž velikost R = R x + R y .
2
2
1.2.2. Těleso vázané ve více bodech
1.2.2.1. Pohyblivá uložení
Dvě obecné vazby (m = 2), obr. 1.4
6

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
n 2
n 1 ≡ y
• P ≡ 0
α
(x i ; y i )
Fi
x
N 1
N2
Obr. 1.4.
Těleso může konat elementární rotační pohyb kolem okamžitého středu otáčení, pólu P (i = 1).
Pro zvolenou souřadnou soustavu budou platit rovnovážné rovnice:
n
∑F ix −N2 ⋅cos
α = 0
i=
1
n
∑Fiy
+ N1 + N2
⋅ α = 0
i=
1
n
∑M iP = 0
i=
1
sin (1.4)
Momentová rovnice rovnováhy k pólu P neobsahuje reakce, je vlastní rovnovážnou rovnicí.
Složkové rovnice rovnováhy umožňují výpočet normálových reakcí N 1 a N 2 .
Posuvná vazba
Umožňuje pouze posuv (i = 1), tělesu odebírá druhý posuv a rotaci (m = 2).
Základní typy provedení, vznikající reakční účinky a rovnovážné rovnice jsou uvedeny níže.
a) vazba jednostranná, první způsob zavedení reakčních účinků (N, x N ), obr. 1.4.
7

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
y
0
N F i
(x i ; y i )
x N
x
Obr. 1.4.
Podmínky rovnováhy:
n
∑F ix
i=
1
= 0 (vlastní rovnovážná rovnice)
n
∑F iy + N =
i=
1
n
∑Mi + N⋅
x N = 0
i=
1
0 k výpočtu neznámých parametrů reakcí (N; x N )
Platí pouze pro: N ≥ 0
Jednostranná vazba vyžaduje silový styk.
b) vazba oboustranná, druhý způsob zavedení reakčních účinků (N; M N ), obr. 1.5.
y
( N )
Fi
M N
(x i ; y i )
0
x
N
Obr. 1.5.
8

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
Podmínky rovnováhy:
n
∑F ix
i=
1
= 0 (vlastní rovnovážná rovnice)
n
∑
i=
1
n
∑
n=
1
F iy + N = 0 k výpočtu neznámých parametrů reakcí (N; M N ) (1.6)
M i + M N = 0
U oboustranných vazeb platí pro: N ≥ 0 a také N < 0
1.2.2.2. Nepohyblivá uložení, základní staticky určité případy
i = 0; m = 3
a) rotační a obecná vazba, obr. 1.6.
0
y
A y
A x
(x i ; y i )
α B
x
l
n
F i
B
t
Obr. 1.6.
Podmínky rovnováhy:
n
∑
F
ix
i=
1
n
∑
F
iy
i=
1
n
∑
i=
1
+ A
+ A
x
y
M + B⋅
sin α
i
−B⋅cos
α
B
= 0
+ B⋅
sin α = 0 k výpočtu neznámých parametrů reakcí (A x ; A y ; A Z ) (1.7)
B
B
⋅l
= 0
M i je moment síly F i k bodu 0.
9

O 12
O 13
T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
b) tři obecné vazby, obr. 1.7.
p 1
p 2
p 3
•
N
1
O 23
Fi
N
2
N3
•
•
Obr. 1.7.
Složkové podmínky rovnováhy s výhodou nahradíme momentovými podmínkami rovnováhy.
Momentové podmínky rovnováhy k bodům O 23 , O 31 a O 23 pak budou:
n
∑
i=
1
n
∑
i=
1
n
∑
i=
1
Mi23 + N1
⋅p1
= 0
Mi13 −N2
⋅p2
= 0 k výpočtu neznámých parametrů reakcí (N 1 , N 2 , N 3 ) (1.8)
M
i 12 + N3
⋅p3
=
0
c) posuvná + obecná vazba, obr. 1.8.
y
α
N 1
0
N 2
(x i ; y i )
Fi
x
x N
Obr. 1.8.
10

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
Podmínky rovnováhy:
n
∑
i=
1
n
∑
F ix + N1 ⋅cos
α = 0
F −N
⋅ sin α + N 0 k výpočtu neznámých parametrů reakcí (N 1 , N 2 , x N ) (1.9)
iy
i=
1
n
∑
i=
1
1 2 =
Mi + N2 ⋅ x N = 0
d) vetknutí tělesa do rámu, obr. 1.9
y
R y
Fi
0
M
V
R x
(x i ; y i )
x
Obr. 1.9.
Při vetknutí tělesa do rámu je tělesu zamezen posuv ve dvou směrech i rotace. Tomu odpovídají
reakce R x , R y a moment vetknutí M V .
Podmínky rovnováhy:
n
∑
i=
1
F ix + R x
= 0
n
∑
F + R = 0 k výpočtu neznámých parametrů reakcí (R x , R y , M V ) (1.10)
iy
i=
1
y
n
∑
i=
1
M i + M V
= 0
11

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
1.3. Vazbová závislost
Pro uložení tělesa platí vazbová závislost:
i = 3 − m
kde
i … počet stupňů volnosti, počet vlastních rovnovážných rovnic.
Pokud akční síly F i nesplňují vlastní rovnovážné rovnice, je i rovno počtu tzv. přídavných
rovnovážných účinků (síly na daných nositelkách nebo silové dvojice).
m … počet odebraných stupňů volnosti, počet neznámých parametrů reakcí
Podle počtu stupňů volnosti dělíme uložení tělesa na :
i > 0 … případy staticky určité, pohyblivé
i = 0 … případy staticky určité, nepohyblivé
i < 0 … případy staticky neurčité, nepohyblivé
Případy staticky neurčité nemůžeme prostředky statiky řešit.
1.4. Uvolnění tělesa
Nahrazením vazeb příslušnými reakčními účinky provedeme uvolnění tělesa. Tím převádíme
úlohu o rovnováze tělesa na úlohu o rovnováze silové soustavy akčních a reakčních sil, která
uvolněním vznikla.
2. Statika rovinných soustav těles
2.1. Základní poznatky, vazby
Soustava těles je seskupení nejméně tří těles (členů) včetně rámu spojených vzájemně
vazbami. Síly, působící mezi tělesy, jsou vždy stejně velké a opačně orientované a budeme je
označovat jako síly vnitřní (S).
Ideální (dokonale hladké) vazby mezi tělesy „a“ a „b“, jejich schéma, stupně volnosti (i), počty
odebraných stupňů volnosti (m) a uvolnění jsou uvedeny v tabulce 2.1.
12

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
Tabulka 2.1
Název Označ. Schéma i m Uvolnění těles Třída
n
s a a
S
a
t
t
obecná o 2 1 1
s b b
b
S
n
b
rotační r
a ψ 1 2
a
S y b
S x S x
S y
b
n
n
b
a
posuvná p 1 2
s
a
S
M s
S
M s
2
S y
b
s a
P
valivá v 1 2
s
b
P
a
S y
S x
S x
P
Obecná vazba je realizována bodovým dotykem dvou křivek. Ve zvláštním případě může jedna
z křivek degenerovat v bod. Umožňuje relativní posuv ve směru tečny a rotaci kolem dotykového
bodu. K určení vzájemné polohy těles je třeba dvou nezávislých souřadnic s a , s b . Tomu odpovídají dva
stupně volnosti (i = 2). Vazba nedovolí vzájemný pohyb ve směru normály, odebírá jeden stupeň
volnosti (m = 1) a v tomto směru působí vnitřní síly S, které představují statický parametr.
Rotační vazba umožňuje rotaci kolem otočného bodu. K určení vzájemné polohy postačuje
jedna nezávislá souřadnice ψ (i = 1). Vazba nedovolí vzájemný pohyb ve dvou směrech, vznikají
složky S x a S y výsledné vnitřní síly
2 2
S S x + S y
= , které představují dva neznámé statické parametry.
13

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
Posuvná vazba umožňuje vzájemný přímočarý pohyb těles. K určení vzájemné polohy těles
postačuje jedna nezávislá souřadnice s (i = 1). Vazba nedovolí posuv ve směru normály k možnému
pohybu a vzájemnou rotaci těles (m = 2). Výsledkem vzájemného působení je pak vnitřní síla
S působící ve směru normály a vnitřní silová dvojice M S , které představují dva neznámé statické
parametry.
Valivá vazba neumožňuje na rozdíl od obecné vazby vzájemný prokluz ve směru tečny t, s a =
s b = s. V dané okamžiku je možná pouze rotace kolem okamžitého středu otáčení, pólu pohybu P.
Z hlediska statiky má tedy stejné vlastnosti jako vazba rotační.
2.2. Pohyblivost a statická určitost rovinných soustav těles
S výjímkou zvláštních případů určíme pohyblivost rovinné soustavy těles z následující úvahy.
Má-li soustava n členů včetně rámu, je počet stupňů volnosti volných těles 3·(n - 1). Spojením dvou
těles vazbou druhé třídy se sníží počet stupňů volnosti o dva, vazbou první třídy o jeden stupeň
volnosti. Počet stupňů volnosti je tedy dán vzorcem
i = 3 · (n - 1) - 2·(r + p + v) - 1·o (2.1)
kde n … je počet členů soustavy včetně rámu
r … je počet rotačních vazeb
p … je počet posuvných vazeb
v … je počet valivých vazeb
o … je počet obecných vazeb
Je-li počet stupňů volnost
i > 0 jde o soustavu staticky určitou pohyblivou
i = 0 jde o soustavu staticky určitou nepohyblivou
i < 0 jde o soustavu staticky neurčitou nepohyblivou
Příklad staticky určité pohyblivé soustavy je uveden na obr. 2.1.a, staticky určité nepohyblivé soustavy
na obr 2.1.b a staticky neurčité soustavy na obr 2.1.c.
14

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
1
2
4
3
2
3
2
3
4
1
1
1
1
1
1
a) kulisový b) trojkloubový c) stavební konstrukce
mechanismus
nosník
i = 3 · 3 – 2 (3 + 1) = 1 i = 3 · 2 – 2 · 3 = 0 i = 3 · 3 – 2 · 5 = -1
Obr. 2.1.
Prostředky statiky umožňují pouze řešení staticky určitých soustav.
2.3. Početní řešení sil ve vazbách nepohyblivých soustav staticky určitých
Obecnou metodou řešení je metoda uvolňování . Metoda uvolňování vychází z úvahy, že má-li
být v rovnováze soustava těles, musí být v rovnováze každý její člen.
Postup řešení
1. Formulace řešení a návrh mechanického modelu
2. Určení statické určitosti a nepohyblivosti soustavy
3. Uvolnění jednotlivých těles
4. Sestavení rovnovážných rovnic, tj. vytvoření matematického modelu
5. Rozbor řešitelnosti a řešení soustavy rovnovážných rovnic
6. Diskuse získaných výsledků
Postup řešení aplikujeme na konkrétní úlohu.
Př. 2.1. Určete reakce a vnitřní sílu trojkloubového nosníku zatíženého silami F 1 a F 2 zakresleného na
obr. 2.2.
15

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
F 2 F 3
F 2 F 3
1
2 3
2
3
1
1
1
a) trojkloubový nosník b) mechanický model
Obr. 2.2.
Určení statické určitosti a nepohyblivosti bylo provedeno v kapitole 2.2., i = 0.
Uvolnění těles
člen 2 člen 3
S y
h
2
S x
F 2
F 3
3 B y
S x
S y
A y b
A x
B x
O 1
d O
a
2
c
Obr. 2.3.
Rovnice rovnováhy
A x + F 2 + S x = 0 B x – S x = 0
A y + S y = 0 B y – S y – F 3 = 0 (2.2)
O 1 : S y · a – S x · h – F 2 · b = 0 O 2 : S x · h + S y · c + F 3 · d = 0
Rozbor řešitelnosti a řešení rovnovážných rovnic
Soustava rovnic 2.2 představuje 6 lineárních algebraických rovnic pro 6 neznámých statických
parametrů A x , A y , B x , B y , S x , S y.
Řešení můžeme provést v maticovém tvaru
A · x = b (2.3)
A x A y S x S y B x B y
⎡ 1 0 1 0 0 0 ⎤ ⎡A
⎢
⎥ ⎢
⎢
0 1 0 1 0 0
⎥ ⎢
A
⎢ 0 0 − h a 0 0 ⎥ ⎢S
⎢
⎥ ⋅ ⎢
⎢ 0 0 −1
0 1 0 ⎥ ⎢S
⎢ 0 0 0 −1
0 1 ⎥ ⎢B
⎢
⎥ ⎢
⎢⎣
0 0 h c 0 0 ⎥⎦
⎢⎣
B
x
y
x
y
x
y
⎤ ⎡ −F2
⎤
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢
0
⎥
⎥ ⎢ F2
⋅b
⎥
⎥ = ⎢ ⎥
⎥ ⎢ 0 ⎥
⎥ ⎢ F ⎥
⎥
3
⎢ ⎥
⎥⎦
⎢⎣
−F3
⋅d⎥⎦
(2.4)
16

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
Pak sloupcová matice neznámých (det A ≠ 0)
x = A -1 · b (2.5)
Z matice x odečteme neznámé parametry.
Diskuse získaných výsledků
Pokud je řešení správné, musí platit pro celou soustavu podmínky rovnováhy vnějších sil (akcí
a reakcí).
F 2 + A x + B x = 0
A y + B y -F 3 = 0 (2.6)
O 1 : -F 2 . b – F 3 · (a + c –d) + B y · (a + c) = 0
2.4. Početní řešení sil ve vazbách a přídavných rovnovážných účinků
pohyblivých soustav staticky určitých
Postup řešení metodou uvolňování je stejný jako u soustav nepohyblivých, pouze pro dosažení
rovnováhy zavádíme tolik přídavných rovnovážných účinků, kolik má soustava stupňů volnosti.
Přídavnými rovnovážnými účinky jsou buď hledaná rovnovážná síla na dané nositelce nebo
rovnovážný moment.
Př. 2.2. Určete rovnovážný moment, reakce a vnitřní síly u klikového mechanismu ztíženého silou F
s uvážením tíhových sil, obr. 2.4.
Mechanický model
A
T 3
T 2
4
O
2
1
G 2 G 3
3
T 4 ≡ B
1
G 4
F
α
Obr. 2.4.
Určení statické určitosti a pohyblivosti
i = 3 · (4 – 1) – 2 · (3 + 1) = 1
17

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
Pro rovnováhu zaveden jeden přídavný rovnovážný účinek, rovnovážný moment na klice 2.
Uvolnění těles
člen 2 člen 3 člen 4
S Ay
S Ax SAx
S Ay
M r
O 2 R x
T 2
2
G 2
c
3
S By
S Bx
4
M N
N
α
f
F
R y
a
b
e
d
G 3
T 3
O 3
O 4
S Bx
S By
G 4
g
Rovnice rovnováhy
R x + S Ax = 0 S Bx – S Ax =0 -S Bx – F · cosα = 0
R y – G 2 + S Ay = 0 S By – G 3 – S Ay = 0 N – S By – G 4 – F · sinα = 0 (2.7)
O 2 : S Ay · b – G · a – S Ax · c + M r = 0 O 3 : S Ax · c + S Ay · e + G 3 · d = 0 O 4 : M N – F · f = 0
Rozbor řešitelnosti a řešení rovnovážných rovnic
Soustava rovnic (2.7) představuje 9 lineárních algebraických rovnic pro 9 neznámých statických
parametrů R x, R y , S Ax , S Ay , S Bx , S By , N, M N , M r .
Řešení můžeme provést opět v maticovém tvaru.
Diskuse získaných výsledků
Správnost řešení překontrolujeme z podmínky rovnováhy vnějších silových účinků.
R x – F · cosα = 0
R y – G 2 – G 3 – G 4 + N – F · sinα = 0 (2.8)
O 2 : M r – G 2 · a – G 3 ·(b + e – d) + (N – G 4 ) ·(b + e) – F · sinα· (b + e + g) + M N = 0
3. Prutové soustavy rovinné
3.1. Základní poznatky
Prutové soustavy jsou speciální soustavy těles,které umožňují ekonomickou konstrukci rozměrných
útvarů, jako jsou např. mosty, jeřáby, sloupy elektrického vedení a pod. Příklad mechanického modelu
prutové konstrukce je na obr. 3.1.
18

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
prut
C
4
vícenásobný styčník
E
8
G
trojný styčník
2
3
5
7
9
11
dvojný styčník
A
1
D
6
F
10
B
Obr. 3.1.
Tělesa prutové soustavy jsou štíhlá (mají mnohem větší délku než příčný rozměr) a nazýváme
je pruty. Pruty jsou spojeny svými konci ve styčnících. Podle počtu prutů spojených ve styčnících
označujeme styčníky jako dvojné, trojné a vícenásobné. Má-li být namáhání prutů jen osové (tahové,
nebo tlakové), musí vnější síly působit pouze ve styčnících. Takovému zatížení říkáme styčníkové.
Mechanický model má následující podstatné vlastnosti.
a) Jednotlivá tělesa jsou pruty, tj. štíhlá tělesa navzájem spojená jen koncovými body.
b) Konce prutů jsou spojeny rotačními vazbami, ideálními klouby.
c) Vnější síly působí pouze ve styčnících, tj. zatížení soustavy je styčníkové (vlastní tíhu prutů
zanedbáváme).
Pruty označujeme čísly, styčníky velkými písmeny. Síly, působící na uvolněné pruty a
z uvolněných prutů na styčníky při tahovém a tlakovém namáhání, jsou zakresleny na obr. 3.2.
tah
tlak
Obr. 3.2.
3.2. Statická a tvarová určitost
Soustava je staticky určitá, je-li počet neznámých veličin roven počtu rovnovážných rovnic.
Neznámými veličinami jsou síly v prutech a složky reakcí. Počet rovnovážných rovnic ve styčnících se
19

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
rovná dvojnásobku počtu styčníků, protože síly působící na uvolněný styčník tvoří rovinnou soustavu
sil o společném působišti, která má dvě rovnovážné rovnice. Nutná podmínka statické určitosti je tedy
2s = p + m (3.1)
kde s je počet styčníků, p je počet prutů, m je počet neznámých složek reakcí.
Při rozboru statické určitosti je vhodné zavést pojem tvarové určitosti. Tvarově určitá je taková
prutová konstrukce, která po odpojení od rámu tvoří tuhý celek, tzv. prutové těleso. Reakce ve
vazbách nepohyblivě uloženého tělesa představují tři neznámé statické parametry m = 3 (kap. 1.). Pro
staticky a tvarově určitou soustavu platí:
2s = p + 3 resp. 2s – p = 3 (3.2)
V případě, že 2s – p > 3, je soustava tvarově neurčitá. Je-li 2S – p < 3, jedná se o tvarově
určitou, ale (vnitřně) staticky neurčitou soustavu.
3.3. Početní řešení
3.3.1. Metoda styčníková
Postata této metody spočívá v uvolnění jednotlivých styčníků a řešení rovnováhy sil, které
působí na každý uvolněný styčník pomocí dvou rovnovážných rovnic.
Postup řešení je ukázán na následujícím příkladu.
Př. 3.1. Určete reakce a síly v prutech konzoly pro uchycení izolátorů elektrického vedení. Tíhy vodičů,
připadající na konzolu, jsou G 1 a G 2 , obr. 3.3.
Mechanický model
D
6
β
C
7
5
4
3
E
B
1
2
α
A
l
G 2
l
G 1
Obr. 3.3.
20

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
Statická a tvarová určitost
p + 3 = 2S
7 + 3 = 2 ·5
10 = 10 … staticky a tvarově určitá soustava
Uvolnění jednotlivých styčníků
Styčníky uvolníme zavedením reakcí od rámu R C , R Dx, R Dy a vnitřních sil S i (i = 1 až 7) přímo
v mechanickém modelu, obr. 3.4. Vnitřní síly předpokládáme jako tahové.
R Dx
D
R Dy
S 7
S 6
S 6
E
S
S 2
5
S 7 S 3
S 5
C α S 3
α
S 2
R C
S 4 S 4
B S 1 S 1
β
G 2
A
G 1
Obr. 3.4.
Rovnovážné rovnice
Výhodné je vyjít od dvojného styčníku a dále řešit styčníky pouze se dvěma neznámými statickými
parametry. Takto lze postupně jednoduše vypočítat hledané neznámé.
Styčník A: -S 1 – S 2·cosα = 0 ⇒ S 1
S 2·sinα – G 1 = 0 ⇒ S 2
Styčník B: S 1 – S 4 = 0 ⇒ S 4
S 3 – G 2 = 0 ⇒ S 3
Styčník E: S 2·cosα – S 6·cosα –S 5·cosα = 0
S 6·sinα – S 2·sinα – S 5·sinα –S 3 = 0
⇒ S 5 , S 6
Styčník C: S 4 + S 5·cosα + R C·sinβ = 0 ⇒ R C
S 7 + S 5·sinα + R C·cosβ = 0 ⇒ S 7
Styčník D: S 6·cosα + R Dx = 0 ⇒ R Dx
R Dy – S 7 – S 6·sinα = 0
⇒ R Dy
21

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
Diskuse získaných výsledků
Pokud vyjdou síly v prutech záporné, znamená to, že jsou namáhány tlakem.
Pro kontrolu správnosti řešení je možno opět využít podmínky rovnováhy vnějších sil:
R Dx + R C·sinβ = 0
R Dy + R C·cosβ –G 1 – G 2 = 0
C: -G 1·2l – G 2·l - R Dx·2l·sinα = 0
3.3.2. Metoda průsečná
Je výhodná, chceme-li určit osové síly jen v některých prutech. Její princip spočívá v následující
úvaze: Je-li v rovnováze celá soustava, musí být v rovnováze i její části, vzniklé rozdělením soustavy
myšleným řezem.
Postup řešení:
Myšleným řezem přerušíme tři pruty soustavy neprocházející jedním bodem. Přerušené pruty
nahradíme osovými silami a řešíme rovnováhu vnějších sil a vnitřních osových sil působících na
oddělenou část.
Př. 3.2. Určete osové síly v prutech 4, 5, 6 konzoly z příkladu 3.1. průsečnou metodou.
Myšleným řezem přerušíme pruty 4, 5, 6 a zakreslíme síly působící na pravou oddělenou část,
obr. 3.5. Síly v prutech předpokládáme tahové.
S 6
E
S 5
C
B
α
A
l
S 4
G 2
l
G 1
Obr. 3.5.
Pro výpočet osových sil využijeme s výhodou tři momentové podmínky rovnováhy ke vhodně
zvoleným momentovým bodům.
E: -S 4·l·sinα – G 1·l = 0 ⇒ S 4
A: G 2·l + S 5·2l·sinα = 0 ⇒ S 5
C: S 6·2l·sinα – G 2·l – G 1·2l = 0 ⇒ S 6
22

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
4. Nosníky
4.1. Rovnováha části tělesa, vnitřní statické účinky
Budeme předpokládat rovinné zatížení tělesa. K určení vnitřních sil ve vyšetřovaném místě C
použijeme metodu myšleného řezu, obr. 4.1.
F 1 F i F n
C
I
II
x
R 1 R j
R m
myšlený řez
R 1
F 1 F i
I
„odstraněná“ část
T
C
M o
N
T
N
M o
y
T
C
T
F n
R j
II
„uvolněná“ část
x
R m
Obr. 4.1.
Myšleným řezem, vedeným ve vyšetřovaném místě C kolmo k ose x, rozdělíme těleso na dvě
části I a II. jednu část, např. I myšleně odstraníme a její účinek v místě těžiště plochy řezu na zbývající
část II nahradíme vnitřními silami. Tento účinek je dán působením obecné rovinné soustavy sil na
odstraněné části a lze jej nahradit dvěma složkami N a T výslednice sil a momentovou výslednicí M o .
Síla N působí ve směru osy x kolmo k průřezu a nazývá se normálová síla. Namáhá materiál
tělesa tahem nebo tlakem.
Síla T působí ve směru osy y v ploše průřezu a nazývá se posouvající síla. Tato síla namáhá
těleso smykem.
Moment M o působí v rovině xy a nazývá se ohybový moment. Materiál tělesa namáhá ohybem.
Velikost těchto vnitřních statických účinků stanovíme jako při obecném nahrazování silové
soustavy na odstraněné části.
Normálová síla N je ve vyšetřovaném průřezu dána algebraickým součtem průmětů vnějších sil
do směru kolmého k rovině řezu na odstraněné části tělesa.
23

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
Tečná síla T je ve vyšetřovaném průřezu dána algebraickým součtem průmětů vnějších sil do
roviny řezu na odstraněné části tělesa.
Ohybový moment je ve vyšetřovaném průřezu dán algebraickým součtem momentů vnějších sil
na odstraněné části tělesa.
Kladné smysly vnitřních sil N, T a momentu M o jsou dána znaménkovým pravidlem a jsou
zavedeny podle obr. 4.1.
Podle principu akce a reakce působí v daném průřezu obě části I a II na sebe stejně velkými,
avšak opačně orientovanými účinky N, T, M O .
4.2. Závislost mezi spojitým zatížením, posouvající silou a ohybovým
momentem, Schwedlerova věta
4.2.
Elementární část tělesa délky dx je vytknuta z tělesa zatíženého spojitým zatížením q(x), obr.
N
M o
T
Obr. 4.2.
q(x)dx
dx
q(x)
M o +dM o
N+dN
T+dT
Síly působící na uvolněnou část musí splňovat podmínky rovnováhy:
−
N + ( N + dN) = 0
T − ( T + dT) − q( x) ⋅dx
= 0
dT
dN = 0 (a) = − q( x)
(b) (4.1)
dx
M
o
( T + dT) ⋅ dx − q( x) ⋅ dx ⋅ 0
+ − −
dx
dMo
Mo
2 =
Po zanedbání nekonečně malých veličin 2. řádu obdržíme:
dM o T
dx
= (c)
Z rovnic 4.1b a 4.1c obdržíme závislost
2
Mo
2
dT d
− q( x)
= =
(4.2)
dx dx
která je matematickou formulací Schwedlerovy věty.
24

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
4.3. Řešení nosníků
Při řešení nosníků budeme určovat průběh vnitřních statických účinků po celé jejich délce.
4.3.1. Základní poznatky
Nosník je nejčastější prvek strojů a konstrukcí. Je to těleso podélného tvaru sloužící k přenosu
akčních sil do podpor.
Druhy podpor, tab. 4.1
Název Schéma m Uvolnění
B
p
obecná 1
p
B
•
R B
rotační A
2
R Ax
A
R Ay
vetknutí C C M v
3
R x
R y
Názvy a vlastnosti podpor odpovídají příslušným vazbám. Druhy nosníků podle provedení jsou uvedeny
na
obr. 4.3.
prostý
nosník na dvou
podporách
s převislými
konci
nosník jednostranně
vetknutý
Obr. 4.3
25

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
Druhy zatížení jsou na obr. 4.4.
F 1
F 2
osamělé síly
silové dvojice
M 1 M 2
spojité zatížení
q(x)
kombinované zatížení
F 1 M
F 2
q(x)
Obr. 4.4
4.3.2 Jednoduché případy zatížení
Nosník zatížený osamělou silou, obr. 4.5.
Nejprve vypočteme reakce. Nosník uvolníme,
x
zavedeme reakce R Ax , R Ay , R B .
R R F
Ay
Ax A C α B Z rovnovážných rovnic:
R Ax −F⋅cos
α = 0 R Ax = F⋅cos
α
a b
F⋅
sin α ⋅a
l
R B A: R B ⋅l
−F⋅
sin α ⋅a
= 0 R B =
(4.3)
l
nulová
N čára
F⋅
sin α ⋅b
B: −R Ay ⋅l
+ F⋅
sin α ⋅b
= 0 R Ay =
l
R Ax - N x
F·cosα
Kontrola:
T
R Ay
+
F·sinα - R B
M o
Obr. 4.5
M Ox
T x
+
M OC = M Omax
R Ay + RB
−F⋅
sin α = 0
Prokreslení průběhu vnitřních statických účinků
provedeme podle kapitoly 4.1.
K prokreslení průběhu nejdříve vypočteme vnitřní
statické účinky v řezu ve vzdálenosti x od levé
podpory.
N x = -R Ax platí pro 0 ≤ x < a (4.4)
Zakreslíme tzv. nulovou čáru a vyneseme v řezu x = 0
velikost R Ax ve zvoleném měřítku od nulové čáry dolů
26

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
(N x = -R Ax) . Až do působiště síly F bude N konstantní. V řezech x > a bude
N = -R Ax + F·cosα = 0 (4.5)
Část nosníku a bude namáhána tlakem
T x = R Ay platí pro 0 ≤ x < a
-
, v části b je normálová síla nulová.
Zakreslíme nulovou čáru a pro x = 0 vyneseme velikost R Ay ve zvoleném měřítku od nulové čáry
nahoru (T x = R Ay ). Až do působiště síly F bude T konstantní. V řezech x > a bude
T = R Ay - F·sinα (4.6)
Pro x = l bude T = R Ay - F·sinα + R B = 0 (4.7)
M Ox = R Ay·x … rovnice přímky
K určení průběhu stačí určit velikosti M o v místech působení vnějších sil.
M oA = M oB = 0 M oC = R Ay·a = M o max (4.8)
Stejné výsledky bychom obdrželi při volbě x od pravé podpory. Této skutečnosti je možno využít
pro kontrolu.
Nosník zatížený silovou dvojicí, obr. 4.6
x
R R M
Ay
Ax A C
B
a
b
l
R B
N
Reakce
R Ax = 0
A: ⋅l
−M
= 0
R B
B: − −M
= 0
R Ay
M
R B =
l
M
R Ay = − (4.9)
l
T x
T R Ay R B
M
M o
-
-
+
M oa
Vnitřní statické účinky
N x = -R Ax = 0 (4.10)
Nosník není namáhán normálovou silou.
T x = R Ay pro 0 ≤ x < l
T x = R Ay + R B = 0 pro x = l (4.11)
Nosník je po celé délce namáhán konstantní
posouvající silou.
M
Obr. 4.6
MOx
= R Ay ⋅ x = − ⋅ x … rovnice přímky (4.12)
l
K prokreslení průběhu stačí určit dva body této přímky.
Řez A: M oA = 0 Řez B: M oB = 0
27

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
Řez C:
M
MOa
= R Ay ⋅a
= − ⋅a
(nekonečně blízko vlevo od M)
l
M
Mob = R Ay ⋅a
+ M = − ⋅a
+ M (nekonečně blízko vpravo od M)
l
Pro a > b bude M oa = M o max
Nosník zatížený spojitým zatížením, obr. 4.7
x
R
A
Ax
Q
q
B
T
Q x
R Ay
N
R Ay
M o
+
Obr. 4.7
l
-
M o max
+
R B
R B
Reakce
Pro výpočet reakcí můžeme spojité zatížení nahradit
myšlenou osamělou silou Q, působící v těžišti
spojitého zatížení.
Q = q·l
Pak: R Ax = 0
A: ⋅ − ⋅ l
R B l Q 0
2 =
Q
R B
=
2
l
B: Q⋅
−R
Ay ⋅l
= 0
2
Kontrola:
R Ay + R B – Q = 0
Vnitřní statické účinky
N x = R Ax = 0
Nosník není namáhán normálovou silou.
Q
R Ay = (4.14)
2
Pro výpočet posouvající síly nahradíme spojité zatížení osamělou silou
Q x = q·x
Pak
T x = R Ay – Q x = R Ay - q·x … rovnice přímky
Pro prokreslení průběhu stačí dva body této přímky.
T A = R Ay pro x = 0
T B = -R B pro x = l (4.15)
2
x
x
Mox
= R Ay ⋅ x − Q x ⋅ = R Ay ⋅ x − q⋅
… rovnice paraboly
2
2
⎛ dM
Podle Schwedlerovy věty bude maximum v místě, kde T = 0 ⎜ o
⎝ dx
⎞
= 0⎟ , tj. pro
⎠
x =
l
2
M o
2
2
2
q⋅l
q⋅l
q⋅l
max = − =
(4.16)
4 8 8
28

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
4.3.3. Kombinované zatížení
Nosník zatížený kombinovaně, obr. 4.8
Reakce
R Ax
A
R Ay
N
R Ax
T
R Ay
+
l/2 l/2
M
C D
a
b
F 1
α 1 F 2
R B
B E
c
- F 1x
x m
+
F 2
T D
- R B
F 1y
q
R Ax – F 1·cosα 1 = 0 ⇒ R Ax
A:
2
l
R B ⋅l
− q⋅
−M
−F1
⋅ sin α ⋅a
−F2
⋅
2
⇒ R B
( l + c) = 0
B:
2
q⋅l
−R
Ay ⋅l
−M
+ F1
⋅ sin α1
⋅b
−F2
⋅c
= 0
2
⇒ R Ay (4.17)
Kontrola
R Ay + R B – F 1 · sinα 1 – F 2 = 0
Vnitřní statické účinky
Pro zakreslení průběhu je určíme v místech
M o
+
M
+
M o ext M oD MoB
-
působení vnějších sil z odstraněné levé nebo
pravé části nosníku.
N A = -R Ax N D = -R Ax + F 1·cosα 1 = 0
Obr. 4.8
M 0C
T A = R Ay
T D = R Ay - q·a
T E = F 2
T B = F 2 - R B
M
⎛ 2 ⎞
⎜ l ⎟
⎜ 2 ⎟
l ⎝ ⎠
= R Ay ⋅ − q⋅
2 2
M oA = 0 M oE = 0
oC (nekonečně blízko od M) MoD
= RB
⋅b
−F2
⋅( b + c)
M oB = -F 2·c
2
b
− q⋅
2
Extrém může být i v místě, kde T = 0
R Ay - q·x m = 0
x
m =
R
Ay
q
Moext
2
xm
= R Ay ⋅ xm
− q⋅
2
29

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
V řešeném případě by byl maximální ohybový moment v řezu C:
M o max = M oC + M
5. Pasívní odpory v reálných vazbách
Na rozdíl od ideálních (dokonale hladkých) vazeb vznikají u reálných (drsných) vazeb i tečné
složky reakcí. Při vzájemném pohybu těles působí tyto složky proti smyslu relativní rychlosti.
Při vyšetřování rovnováhy těles s reálnými vazbami budeme řešit dva typy úloh.
1. Vyšetřování rovnováhy za pohybu
2. Vyšetřování podmínek, za kterých mohou být pohyblivě uložená tělesa v rovnováze za klidu.
5.1. Obecná vazba
Uvolnění obecné vazby za klidu a za pohybu je uvedeno na obr. 5.1.
φ a
φ a
φ
φ
α
R a
R
N
R
N
v A = 0
T a T 0 A
Neznámé T 0 , N ( ) T ≤ T a
parametry: nebo R, α ( ≤ ϕ a )
φ a = arctg f a
0 N
T
A
α nebo R (φ = arctgf)
v A
Pasívní odpory: − T = N·f
Obr. 5.1
a) b)
V případě, že nedochází k pohybu (obr. 5.1a), může působit tečná složka v obou smyslech a
její velikost musí splňovat podmínku
T0 ≤ Ta
, kde Ta
= N ⋅ fa
(f a je součinitel adheze). Výsledná
reakce za klidu R představuje dva neznámé parametry N, T 0, nebo R, α, kde α ≤ ϕa
(φ a = arctgf a ).
Při relativním pohybu bude třecí reakce rovna třecí síle a bude působit proti smyslu relativní rychlosti.
Třecí síla T představuje pasívní odpor a její velikost vypočteme podle Coulombova zákona T = = N·f,
kde f je součinitel smykového tření. Výsledná reakce R představuje pouze jeden neznámý
30

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
parametr, velikost normálové složky N, nebo velikost reakce R, která leží na nositelce dané třecím
úhlem φ = arctgf. Počet neznámých parametrů při pohybu je stejný jako u vazby ideální.
5.2. Posuvná vazba
Uvolnění vazby za klidu a za pohybu je uvedeno na obr. 5.2.
T 0
N
v = 0
T
N
v
M N
M N
Neznámé T 0 , N, M N N, M N
parametry: T ≤ T
0
a
Pasívní odpory: −
T = N·f
a) b)
Obr. 5.2
Reakce v klidu představují tři neznámé, za pohybu dva neznámé parametry. Za pohybu je počet
neznámých parametrů opět stejný, jako u vazby ideální.
Důležitým případem technické praxe je tření v klínové drážce. Při řešení pasívních odporů
budeme předpokládat symetrickou drážku, obr. 5.3.
y
v
α
y
α
2T
T
x
T
F N N
z
G
G
Obr. 5.3
Rovnovážné rovnice:
F – 2T = 0
2N·sinα – G = 0 T = N·f (5.1)
N·cosα - N·cosα = 0
31

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
f
Řešením dostaneme: F = G⋅
= G ⋅
sin α
f
k
kde
f
f k = je součinitel tření v klínové drážce.
sin α
Skutečnost, že f k > f se využívá např. u klínových drážek řemenic převodů s klínovými řemeny.
5.3. Rotační vazba
5.3.1. Ložisko radiální
5.4b.
Síly působící na čep jsou uvedeny na obr. 5.4a, jejich nahrazení pro početní řešení je na obr.
ω = konst.
ω = konst.
r č
φ
S
N
A
F v
R
T
a) b)
R
F v
ρ M č
S
φ •
r č
A
Obr. 5.4
Výsledná akční síla F v je v rovnováze s reakcí R. reakce R má dvě složky, normálovou N a
tečnou T. Pro početní řešení je výhodné přeložit reakci R do středu čepu S, čímž vzniká silová dvojice
M č = R·ρ, kterou nazýváme čepovým třením. Působí proti smyslu relativní úhlové rychlosti ω.
Dosadíme-li podle obrázku ρ = r č · sinφ a za
tgϕ
f
sin ϕ = = = f č
(5.2)
2
2
1+
tg ϕ 1+
f
dostaneme M č = R·r č·f č
32

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
kde f č je součinitel čepového tření.
Pro praktické výpočty se součinitel čepového tření vyhledá v tabulkách.
Uvolnění rotační vazby za klidu a za pohybu je uvedeno na obr. 5.5.
ω = 0 ω ≠ 0
R y
R y
M č
M o
R x
ω
R x
Neznámé
parametry: R x , R y , M o R x , R y
M ≤ R⋅r
⋅ f
Pasívní
odpory:
Obr. 5.5
o
č
ča
f ča …součinitel čepové
adheze
−
a) b)
M č = R · r č · f č
Za pohybu je počet neznámých parametrů stejný jako u ideální vazby.
Poznámka: Vztah pro výpočet výsledné reakce
2 2
R R x + R y
= je nelineární vzhledem ke složkám R x ,
R y . Tím je porušena linearita rovnovážných rovnic a tím komplikuje jejich řešení. Z tohoto důvodu
často provádíme linearizaci pomocí Ponceletova vztahu
2 2
R x + R y = 0 96⋅
R y + 0,
4⋅
R x
, pro R y > R x
nebo
2 2
R x + R y = 0 96⋅
R x + 0,
4⋅
R y
, pro R x > R y
(5.3)
5.3.2. Ložisko axiální (patní)
Nejběžnější provedení ložiska je na obr. 5.6. Čep ložiska je zatížen silou Q a hnací silovou dvojicí M,
jejíž velikost je třeba určit. Pro zaběhaný čep působí elementární normálová reakce v dotykové ploše
33

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
S na kružnici o středním poloměru
elementární reakce i tečné složky dT.
r 1 + r
r 2
S = . V důsledku drsnosti stykových ploch budou mít
2
M
r s
r 1
r 2
Obr. 5.6
N
Q
M
dN
ω = konst.
dT
M č
Elementární reakce dN a dT nahradíme výslednou
silou N a výslednou silovou dvojicí M č .
∫
N = dN
(5.4)
S
Mč
= ∫ rsdT
= rs
⋅ f ⋅ ∫ dN = N⋅rs
⋅ f
S
S
kde M č je moment čepového tření, působící proti
smyslu ω.
Z podmínek rovnováhy plyne
N = Q, M = M č (5.5)
Rovnováha za klidu je možná jen tehdy, splňuje-li
moment akční silové dvojice podmínku
Mo ≤ M a
(5.6)
kde M a = r s· f a · N je moment adhezní silové dvojice.
Uvolnění čepu axiálního ložiska za klidu a za pohybu je uvedeno na obr. 5.7.
ω = 0
ω
M o
M č
N
Neznámé
parametry: N, M o N
M ≤
o M a
Pasívní
odpory: − M č = N · r s · f
Obr. 5.7
N
34

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
5.4. Valivá vazba
Odpor při valení vzniká v důsledku nerovnoměrné deformace tělesa (válce) a podložky.
Působiště výslednice R elementárních reakcí se posouvá z pólu P o rameno valivého odporu ξ ve
smyslu pohybu do bodu A, obr. 5.8a. Výslednou reakci rozkládáme na normálovou N a tečnou složku
T v . Nemá-li dojít k prokluzu, musí být splněna podmínka valení T
v ≤ N⋅
fa
, kde f a je součinitel adheze.
Pro dosažení rovnováhy za pohybu při zatížení silou G, musíme na těleso působit silou F = T v .
G
r
F
S
R N
T v
v S
G
F
S
N
v S
P
ξ
T v
P
M v
a) b)
Obr. 5.6
Přesuneme-li složku reakce N do bodu P, obr. 5.8b, musíme připojit moment valivého odporu.
M v = ξ · N (5.7)
Způsoby uvolnění valivé vazby za klidu a za pohybu jsou na obr 5.9.
T o
S
N
v S = 0
P
M o
T v
ξ
A
T v
P
Neznámé
parametry: N, T o , M o N, T v N, T v
T ≤ f ⋅N
T ≤ f ⋅N
T ≤ f ⋅N
o
a
M o ≤ ξ⋅N
v
S
a
N
v S
S
v
N
a
M v
v S
Pasívní
odpory : − M v = ξ · N M v = ξ · N
Obr. 5.9
35

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
5.5. Pohyb vlákna po drsné ploše
S úlohami, které souvisí s pohybem vlákna po drsné ploše, se setkáváme např. u řemenových
převodů a pásových brzd.
Při pohybu vlákna po drsné ploše budeme hledat vztah mezi silami S 1 a S 2 . Vlákno se stýká s
válcovou plochou v oblouku daném úhlem opásání α, (obr. 5.10), součinitel tření mezi vláknem a
plochou je f.
n
f
dψ
dψ
dT
ψ
2
α v
S
S
S
S 2
1
dN
S
dψ
dψ
2
S+dS
t
Obr. 5.10
Na uvolněný element vlákna působí normálová reakce dN, třecí síla dT a síly S a S+dS na
koncích elementu.
Rovnovážné rovnice:
dψ
2
dψ
2
t: ( S + dS) ⋅cos
− S⋅cos
− dT = 0
dψ
dψ
n: 2 S ⋅ sin + dS ⋅ sin − dN = 0
2 2
dT = dN· f (5.8)
dψ
Úhel dψ je nekonečně malý, proto cos 1
2 = a
⎛ dψ
⎞
malé veličiny 2. řádu ⎜dS ⋅ ⎟ dostaneme:
⎝ 2 ⎠
dS = f·dN
Po úpravě
dS
= f ⋅dψ
S
dψ dψ
sin = . Po dosazení a zanedbání nekonečně
2 2
S· dψ = dN
Po integraci ∫ = f ⋅ ∫
S
S
2
dS
S
1 0
α
dψ
dostaneme
S2
ln
S1
= f ⋅α
a
fα
S = S1
⋅e
2 (5.9)
36

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
Má-li být vlákno v rovnováze za klidu, musí být splněny podmínky
S 2
S1
a
≤ e
f α
a
S1
S 2
a
≤ e
f α
resp.
−f a
α S2
faα
e ≤ ≤ e
S1
(5.10)
5.6. Vliv tuhosti lan a řemenů
Lana a řemeny nejsou dokonale ohebné. Náhlá změna křivosti při jejich navíjení nebo odvíjení
z kladky je provázena pasívními odpory. V důsledku těchto odporů nebudou lana a řemeny přesně
sledovat tvar kladky, což lze charakterizovat rameny neohebnosti ξ 1 a ξ 2 , obr. 5.11.
Vztah mezi silami S 1 a S 2 dostaneme
z momentové podmínky rovnováhy
ω
k otočnému bodu O.
O
r
S 2
S 1
ξ 1
ξ 2
Obr. 5.11
( r + ξ ) − S ⋅( r − ξ ) 0
S 1 ⋅ 1 2 2 =
r + ξ1
2 = S1
⋅
r − ξ2
S (5.11)
6. Kinematika posuvného pohybu tělesa (rovinný případ)
6.1. Základní poznatky
Těleso koná posuvný pohyb,jestliže libovolná přímka nemění při pohybu svůj směr.
Příklady přímočarého a křivočarého posuvného pohybu tělesa jsou uvedeny na obr. 6.1.
Obr. 6.1
37

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
V základním prostoru zvolíme souřadnicovou soustavu 0, x, y, v pohybujícím se tělese Ω, ξ, η a
libovolný bod L, obr. 6.2.
y
η
Ω
r LΩ
L
ξ
r Ω
r L
0
x
Obr. 6.2
Trajektorie bodu L:
r (6.1)
L = r Ω + rLΩ
Těleso považujeme za dokonale tuhé, nemění se velikost vektoru
r LΩ
a podle definice úsečka Ω L
nemění svůj směr. Vektor r LΩ
je stálý co do velikosti i směru. Trajektorie všech bodů tělesa jsou
shodné, navzájem posunuté křivky.
Derivací rovnice (6.1) obdržíme rychlost
dr Ω =
L dr
vL = = v Ω
(6.2)
dt dt
a další derivací zrychlení
dvL
dv Ω
aL = = = a Ω
(6.3)
dt dt
V dané poloze jsou rychlosti a zrychlení všech bodů stejné. Pohyb je určen pohybem jednoho
bodu.
6.2. Řešení pohybu bodu v rovině
6.2.1. Přirozená souřadnicová soustava
Bod L se pohybuje po křivce k L , obr. 6.3. Na křivce zvolíme počátek 0 L . Polohu bodu pak určuje
křivočará (oblouková) souřadnice s, jeho pohyb rovnice s = s(t).
38

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
s
L
0 L
j
ds
n
ρ
r
dφ
n n'
i t
L'
k L
t
t'
dφ
n
i t
i t ′
di t
0
S L
a) b)
Obr. 6.3.
Za čas dt přejde bod z polohy L do polohy L', urazí dráhu
křivosti S L pootočí o úhel dφ.
ds = dr
a normála se kolem středu
V bodě L sestrojíme tečnu t a normálu n a zavedeme jednotkové vektory i t a j n
.
Rychlost
dr ds dr
v = = ⋅ = v ⋅i
t
(6.4)
dt dt ds
Rychlost má velikost
ds
v = a leží na tečně ke křivce.
dt
Zrychlení
dv dv di
t
a = = ⋅i
t
+ v ⋅
(6.5)
dt dt dt
Podle obr. 6.3b
di
t
dt
=
i
t
⋅dϕ
⋅ jn
dt
1ds
= ⋅ j
ρdt
n
v
= ⋅ j
ρ
n
(6.6)
Po dosazení do (6.5) kde ρ je poloměr křivosti křivky k L
a = a ⋅i
+ a ⋅ j
(6.7)
t
t
n
n
dv
kde tečné zrychlení a t = a normálové zrychlení
dt
(obr. 6.4), takže výsledné zrychlení
a n
=
2
v
ρ
. Složky zrychlení jsou vzájemně kolmé
2 2
a a t + a n
= (6.8)
a t
•
a
a n
Obr. 6.4
39

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
6.2.2. Pravoúhlá souřadnicová soustava
V základním prostoru zvolíme pravoúhlou soustavu s jednotkovými vektory i , j , obr. 6.5.
y
L
k L
Pohyb bodu je pak určen následujícími
rovnicemi.
Trajektorie
r = x ⋅i
+ y ⋅ j
(6.9)
y
r
kde x = x(t) a y = y(t)
jsou parametrické rovnice dráhy
t
2 & 2
t 0
s = ∫ x& + y dτ
kde τ je čas.
0 x
x
Obr. 6.5
Rychlost
dr dx dy
v = = ⋅i
+ ⋅ j = v x ⋅i
+ v y ⋅ j , kde
dt dt dt
Velikost rychlosti podle obr. 6.6
dx
v x = ;
dt
dy
v y = (6.10)
dt
v y
•
v
2 2
v v x + v y
= (6.11)
Obr. 6.6
vx
Zrychlení
dv dv dv
x y
a = = ⋅i
+ ⋅ j = a x ⋅i
+ a y ⋅ j , kde
dt dt dt
dv x
a x = ;
dt
dv y
a y = (6.12)
dt
Velikost zrychlení podle obr. 6.7
a y
a
2 2
a a x + a y
= (6.13)
•
Obr. 6.7
a x
6.2.3. Polární souřadnicová soustava
Pro vyjádření trajektorie a zrychlení využijeme s výhodou komplexní proměnnou, podle obr. 6.8.
40

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
k L
Im
r
σ ρ
Trajektorie
j ϕ
L
i ρ
iϕ
r = ρ⋅e
= −1
i (6.14)
kde ρ = ρ(t) a φ = φ(t) jsou parametrické
r
rovnice dráhy.
θ φ
ρ
•
φ
0
Re
r
Obr. 6.8
Rychlost
⋅
dr ⎛ ⋅ ⋅ ⎞
⎜ ⎟ iϕ
v = = r =
ρ+ i⋅ρ⋅ϕ
⋅e
= v ρ ⋅iρ
+ v ϕ ⋅ jϕ
dt ⎝ ⎠
(6.15)
kde
⋅
v ρ = ρ ,
⋅
ϕ = ρ⋅ϕ
v a velikost rychlosti (obr. 6.9)
v ϕ
v
vρ
v =
ρ
⋅
2
⎛ ⋅ ⎞
+ ⎜ ⎟
ρ⋅ϕ
⎝ ⎠
2
•
Obr. 6.9
Zrychlení
⋅ ⎡⎛
⋅⋅ ⋅ ⎞ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⎤
⎢⎜
2 ⎟ ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎥
iϕ
a = v = ρ− ρ⋅ϕ + i⋅
⋅ = ρ ⋅ ρ + ϕ ⋅ ϕ
⎢
ρ⋅ϕ+ 2⋅ρ⋅ϕ
⎜ ⎟
e a i a j
⎥
⎣⎝
⎠ ⎝ ⎠⎦
(6.17)
kde
⋅⋅ ⋅
2
a ρ = ρ− ρ⋅ϕ
,
⋅⋅ ⋅ ⋅
a ϕ = ρ⋅ϕ+ 2 ρ⋅ ϕ a velikost zrychlení (obr. 6.10)
a ϕ
a
•
a ρ
2
2
⎛ ⋅⋅ ⋅ ⎞
2 ⎛ ⋅ ⋅ ⎞
a =
⎜
ρ− ρ⋅ϕ
⎟
+ ⎜2
⎟
ρ⋅ϕ
⎜ ⎟
(6.18)
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Obr. 6.10
41

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
6.2.4 Vyšetřování pohybu bodu
Při vyšetřování pohybu bodu je základním krokem získání rovnic pohybu. Využíváme
diferenciálních závislostí mezi kinematickými veličinami.
2
2
dv d s dv d( v )
v = = = v =
ds
dt
a t =
dt 2
dt ds 2
(6.19)
ds
Mezi dvojicemi kinematických veličin existuje šest závislostí:
s = f 1 (t) v = f 4 (s) (6.20 a, d)
v = f 2 (t) a t =f 5 (s) (6.20 b, e)
a t = f 3 (t) a t = f 6 (v) (6.20 c, f)
Je-li známa některá z funkcí (6.20a, b, c), získáme zbývající dvě derivacemi, případně integrací pro
zadané počáteční podmínky. Ostatní závislosti získáme vyloučením času z vhodných dvou rovnic(a)
až (c).
Je-li známa některá z funkcí (6.20d, e, f), využíváme vhodnou substituci z rovnic (6.19) a provedeme
příslušné derivace nebo integrace pro zadané počáteční podmínky.
6.2.5. Zvláštní případy pohybu
6.2.5.1 Přímočarý pohyb (obr. 6.11)
Přímočarý pohyb můžeme považovat za zvláštní případ
v
a
L
p
křivočarého pohybu bodu s poloměrem křivosti ρ = ∞.
Pak a = 0 ; a t = a .
n
Rychlost i zrychlení leží na společné nositelce, přímce p.
Obr. 6.11
6.2.5.2. Podle vlastností tečného zrychlení
a t = 0, v = konst. ……………………………. pohyb rovnoměrný
a t = ± konst. …………………………………. pohyb rovnoměrně zrychlený/zpožděný
a t ≠ konst. ……………………………………. pohyby nerovnoměrné
42

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
7. Dynamika posuvného pohybu tělesa (rovinný případ)
7.1. Základní poznatky
Na těleso působí vnější síly F i a těleso si představíme složené z elementárních hmotných bodů dm,
obr. 7.1. Při odvození základních závislostí využijeme poznatku z kinematiky, že v každém okamžiku
jsou rychlosti a zrychlení všech bodů stejné.
Kinetická energie je dána součtem
kinetických energií elementárních hmotných
y
r
dm
r T
r i
D
a
v
T
r iT
H
Fi
bodů.
E
1
v
2
2
2
= dm v dm m v
k ∫ ⋅ = ⋅ = ⋅
m 2 2
∫ (7.1)
m 2
1
0 x
Obr. 7.1
Obdobně budeme postupovat při dalších
výpočtech.
Hybnost: = ∫dm⋅
v = v ⋅ ∫dm
= m⋅
H v
(7.2)
m
m
Moment hybnosti: L = ∫ r × dm⋅
v = r × m⋅
v = r × H
(7.3)
m
T
T
Vzhledem k těžišti T: L = 0
(7.4)
T
Na základě vět o změně hybnosti a momentu hybnosti soustavy hmotných bodů odvodíme pohybové
rovnice.
Pohybové rovnice
dH
dt
= ∑Fi
i
dL
dt
T
= ∑ r × F
i
iT
i
m⋅dv
= ∑
dt
i
Fi
0 = ∑ r iT × F i
(7.6)
i
m ⋅a
= ∑F i
(7.5)
i
43

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
Rovnice (7.6) vyjadřuje tzv. podmínku posuvného pohybu tělesa: Algebraický součet momentů
vnějších sil k těžišti je roven nule.
Při řešení pohybové rovnice (7.5) a (7.6) rozepíšeme do tří skalárních rovnic, dvou složkových a
jedné momentové rovnice. Zvolíme-li jednu osu souřadnicové soustavy ve směru pohybu, pak
příslušná složková rovnice bude při ideálních vazbách vlastní pohybovou rovnicí, u reálných vazeb
tzv. hlavní pohybovou rovnicí. Tuto převedeme na vlastní pohybovou rovnici vyloučením tečných
složek reakcí.
Vlastní pohybová rovnice neobsahuje reakce slouží pro určení hnací síly při předepsaném
pohybu. (úloha 1. druhu, algebraická rovnice), nebo pro určení pohybu při zadaných silách (úloha 2.
druhu, diferenciální rovnice 2. řádu).
Obecně platí, že počet stupňů volnosti je roven počtu vlastních pohybových rovnic.
7.2. Sestavování pohybové rovnice d´Alembertovým způsobem
Formálním přepisem rovnice (7.5) obdržíme:
∑
i
F i +
( − m⋅a) = 0
∑ Fi
+ D = 0 (7.7)
i
kde D = −m⋅a
je myšlená doplňková (setrvačná) síla, která je s vnějšími silami v rovnováze
Vzhledem k platnosti rovnice (7.6) musí působit v těžišti tělesa T.
Aplikací dÁlembertova principu vyřešíme následující příklad (viz obr. 7.1).
Př.: 7.1.
Vypočtěte maximálně dosažitelné zrychlení a vozidla (obr. 7.2) se zadní hnací nápravou. Při řešení
zanedbejte pasívní odpory. Součinitel adheze mezi kolem a vozovkou je f 0 .
h
T
a
Obr. 7.2
l 2 l 1
l
44

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
Řešení:
y
h
D
T 0
T
G
a
x
N
2
l 2 l 1
l
N 1
Podle dÁlembertova principu musí být tíha vozidla G , reakce N 1 , N 2 hnací síla adheze T 0
a doplňková síla D v rovnováze.
T 0 – D = 0
D = m · a
N 1 + N 2 – G = 0
G = m · g
G· l 1 + D· h – N 2·l = 0
Maximální dosažitelné zrychlení vypočteme z adhezní síly na mezi prokluzu.
T 0 = N 2 · f 0
Výpočtem obdržíme
f0
⋅l1
a = g⋅
l − f0
⋅h
Poznámka: Řešení platí pokud N 1 ≥ 0.
7.3. Věta o změně hybnosti, věta o změně kinetické energie
Při řešení posuvného pohybu můžeme ve vybraných případech s výhodou využít větu o změně
hybnosti, případně větu o změně kinetické energie.
7.3.1. Věta o změně hybnosti
Při odvození vyjdeme z pohybové rovnice (7.5).
45

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
dv
m ⋅ = F kde F = ∑
dt
i
F i
Separací proměnných obdržíme
m⋅
dv = F⋅dt
a po integraci za počáteční podmínky t = 0, v = v 0
t
m⋅
v − m⋅
v 0 = ∫ F i dt
(7.8)
0
Zkráceně
H H = I F
− 0 (7.9)
kde H = m⋅
v je hybnost v čase t, H0 = m⋅
v 0 je hybnost v čase t = 0 a IF
= ∫ Fdt
Aplikací věty získáme závislost v = f 2 (t).
t
0
je impuls síly.
7.3.2. Věta o změně kinetické energie
Opět vyjdeme z pohybové rovnice (7.5).
dv
m ⋅ = F
dt
Po skalárním vynásobení hodnotou d r , představující diferenciál rádiusvektoru, určujícího
polohu bodu, dostáváme:
dr
m⋅
⋅dv
= F⋅dr
dt
Uvážíme-li, že
⎛ 1
d⎜
m⋅
v
⎝ 2
2
( d 2
) d v
= a
r
dt
⎞
⎟ = F⋅dr
⎠
v
v ⋅ dv =
2
, pak bude
Definujeme-li skalární veličinu
obdržíme
E K
1 2
= m⋅
v a nazveme ji kinetickou energií, po integraci
2
1
m⋅
v
2
2
1
− m⋅
v
2
2
0
r
= F⋅dr
∫
r0
(7.10)
Zkráceně
EK −EK0 = A
(7.11)
46

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
kde
r
A = ∫ F⋅dr
r 0
představuje práci, kterou vykonají působící síly mezi polohami r 0 a r .
Aplikací věty získáme závislost v = f 4 (s).
Poznámka: Všechny poznatky z kapitoly 7. je možno aplikovat v dynamice tělesa
zanedbatelných rozměrů – hmotného bodu.
8. Kinematika rotačního pohybu tělesa
8.1 Základní poznatky
Těleso koná rotační pohyb, jestliže jedna jeho přímka zůstává trvale v klidu. Tato přímka je
osou rotace o, obr. 7.3.
Trajektorií libovolného bodu L je kružnice se
středem na ose rotace, ležící v rovině χ ┴ o.
k
0
•
L
Dále budeme sledovat pohyb bodu L v této
rovině, obr. 7.4. K řešení použijeme polární
souřadnice ρ = r = konst. a φ = φ(t). Druhou
χ ┴ o
závislost nazýváme rovnicí rotačního
o
pohybu. Kinematické veličiny odvodíme
podle poznatků z kapitoly 6.2.
Obr. 7.3
t
r
v
dφ
ds
· L
k
L 0
φ
φ 0
x
Elementární dráha
ds = r · dφ (8.1)
Rychlost
ds dϕ
v = = r ⋅ = r ⋅ω
(8.2)
dt dt
dϕ
kde ω = [rad.s -1 ] je úhlová rychlost (8.3)
dt
Obr.7.4
Zrychlení
47

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
dv dω
a t = = r ⋅ = r ⋅ε (8.4)
dt dt
a
a t
Obr. 7.5
•
an
dω
kde ε = [rad.s -2 ] je úhlové zrychlení (8.5)
dt
2
v 2
= = r ⋅ω
r
a n (8.6)
Výsledné zrychlení podle obr. 7.5:
2
2
n
2
4
a = at + a = r ⋅ ε + ω
(8.7)
8.2. Vektorové vyjádření kinematických veličin
ε
ω
Obr. 7.6
o
ρ
•
L
r
Úhlová rychlost je vektor ležící na ose rotace o.
Pak rychlost bodu L určeného průvodičem r je dána
vzorcem
v = ω×r
(8.8)
a zrychlení vzorcem
dv dω
dr
a = = × r + ω× = ε× r + ω× v = a t + a n (8.9)
dt dt dt
kde ε je vektor ležící rovněž na ose o.
9. Dynamika rotačního pohybu tělesa
9.1. Základní poznatky
S rotačním pohybem se nejčastěji v praxi setkáváme při staticky určitém uložení tělesa ve dvou
ložiskách, z nichž ložisko A je radiální a ložisko B radiálně - axiální. Na těleso působí vnější síly
toto je složeno z nekonečného počtu elementárních hmotných bodů, obr. 9.1.
Fi
a
48

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
v
A
d H
dm
Fi
•
r
•
•
r i
•
B
Kinetická energie
1
Ek
=
2
m
2
2
ω
2
∫ dm⋅
v = ⋅ ∫r
dm = J0
⋅ω
∫
m
2
1
2
2
(9.1)
kde J0 = r dm je osový moment setrvačnosti
m
2
Moment hybnosti
o
ω
ε
2
L = ∫r
⋅dH
= ∫ r ⋅dm⋅
v = ω⋅ ∫r
dm = J0
m m
m
⋅ω
(9.2)
Obr.9.1
Pohybová rovnice
Aplikací věty o změně momentu hybnosti k ose rotace o:
dL
dt
= ∑M io
i
, kde M io je moment síly F i
Po dosazení za L obdržíme pro konstantní J 0
dω
J 0 = M 0
dt
⋅ , kde M 0 je výsledný moment všech sil F i
a J 0 · ε = M 0 (9.3)
Zanedbáme-li pasívní odpory je rovnice (9.3) vlastní pohybovou rovnicí a umožňuje určit
potřebný silový účinek pro předepsaný pohyb nebo řešit pohyb při zadaných silových účincích.
9.2. Věta o změně momentu hybnosti, věta o změně kinetické energie
9.2.1. Věta o změně momentu hybnosti
Z rovnice (9.3)
dω
J 0 ⋅ = M 0
dt
po separaci proměnných
J0
⋅dω = M0
⋅dt
Po integraci pro počáteční podmínky t = 0, ω = ω 0 obdržíme
t
J0 ⋅ω − J0
⋅ω0
= ∫ M0
⋅dt
(9.4)
0
Zkráceně
L - L 0 = I M (9.5)
49

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
Kde L = J 0 · ω je moment hybnosti v čase t, L 0 = J 0 · ω 0 je moment hybnosti v čase t = 0 a
t
IM
= ∫ M0 dt je tzv. impulsmoment.
0
Aplikací věty získáme závislost ω = f 2 (t).
9.2.2. Věta o změně kinetické energie
Z rovnice (9.3) po skalárním vynásobení dφ, kde φ je úhlová dráha, obdržíme
Jelikož dt
Označíme-li
dϕ
⋅ ⋅dω = M
dt
J0
0
⋅dϕ
2
dϕ d
je ω a
( ω )
ωdω =
⎛ 1 2 ⎞
d⎜
J0
⋅ω
⎟ = M0
⋅dϕ
⎝ 2 ⎠
1
2
1 2
J 0 ⋅ω = Ek
2
, bude
2dϕ
a nazveme kinetickou energií, po integraci dostáváme
ϕ
∫
ϕ0
2 1 2
J 0 ⋅ω − J0
⋅ω0
= M0dϕ
(9.6)
2
Zkráceně
Ek −Ek0 = A
(9.7)
ϕ
kde A = ∫ M 0 d ϕ představuje práci momentu M 0 mezi polohami φ a φ 0 .
ϕ0
9.3. Výsledné doplňkové síly, výpočet reakcí (rovinný případ)
9.3.1. Výsledné doplňkové síly
Rovinný případ nastane, má-li těleso rovinu symetrie σ kolmou na osu rotace o, obr. 9.2.
Výsledné doplňkové účinky pak leží v rovině symetrie a můžeme je určit podle obr. 9.3.
50

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
v
at
dm
d Dn
•
d Dt
a n
T
r T •
0
r
r T
T
o
σ ┴ o
dM D
ε
0
ω
d Dt
Obr. 9.2 Obr. 9.3
Na elementární hmotný bod dm budou působit doplňkové síly
dD n = dm·a n a
dD t = dm·a t
Síly dD n tvoří rovinnou soustavu sil o společném působišti v otočném bodě O. Nahradíme ji v tomto
bodě výslednicí.
Dn
=
m
2
∫dm⋅an
= ω ∫rdm
= m⋅rT
⋅ω = m⋅
m
2
aTn
a nazveme ji odstředivou silou.
Síly dD t tvoří rovinnou soustavu sil o různých působištích. Síly přeložíme do otočného bodu 0 a
připojíme silové dvojice dM D = dD t·r.
Síly působící v bodě 0 nahradíme výslednicí
∫dm⋅at
= ε∫rdm
= m⋅rT
⋅ε = m⋅
D t =
aTt
(9.9)
m
m
a nazveme ji tečnou doplňkovou silou.
Elementární silové dvojice nahradíme výsledným momentem
2
MD = ∫dDt
⋅r
= ε∫r
dm = J0
⋅ε
(9.10)
m
m
kde J 0 je osový moment setrvačnosti k ose rotace o a nazveme jej (moment M D ) doplňkový moment.
Výsledné doplňkové účinky jsou zakresleny na obr. 9.4.
(9.8)
51

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
D n
T
r T
M D
ε
0
•
Dt
ω
Obr. 9.4.
9.3.2. Výpočet reakcí
K výpočtu reakcí využijeme dÁlembertův princip. K vnějším silám připojíme doplňkové síly a
sestavíme podmínky fiktivní rovnováhy. Na uvolněné těleso pak působí akční síly F i , složky reakce
v rotační vazbě R x , R y , a doplňkové účinky D n , D t , M D , obr. 9.5.
y
D n
Fi
Podmínky rovnováhy
R x + Dnx
−Dtx
+ ∑ Fix
= 0 ⇒ R x
i
R + D −D
+ ∑ F = 0 ⇒ R y (9.11)
y
ny
ty
i
iy
R y
r T
T(x T ,y T )
∑ Mi −M D = 0 … vlastní pohybová rovnice
i
kde
M D
ε
0
ω
•
D t
R x
x
2
D nx = m⋅
x T ⋅ω D tx = m⋅
y T ⋅ε
2
D ny = m⋅
y T ⋅ω D ty = m⋅
x T ⋅ε
M D = J 0 ⋅ε
2
Výsledná reakce R = R x + R y
(9.12)
2
Obr. 9.5
10. Kinematika obecného rovinného pohybu tělesa
10.1. Definice, pohyblivost
Obecný rovinný pohyb je pohyb, při kterém trajektorie jednotlivých bodů tělesa jsou rovinné
křivky, ležící v navzájem rovnoběžných rovinách (roviny σ 1 , σ 2 na obr. 10.1). Body, ležící v daném
52

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
okamžiku na kolmicích k těmto rovinám, (např. A 1 , A 2 ) se pohybují po stejných, navzájem posunutých
trajektoriích (k A1 , k A2 ). Mají tedy totožný průmět do libovolné z trajektorií a můžeme proto vyšetřovat
pohyb tělesa jako pohyb rovinného obrazce – průmětu tělesa (obr. 10.2).
A 1
n A1 ≡ n A2
σ 1
k A1
y
L
p
Ω
φ
A 2
k A2
σ 2
y Ω
0 x Ω
x
Obr. 10.1 Obr. 10.2
Poloha volného tělesa je určena třemi nezávislými souřadnicemi (např. x Ω , y Ω , φ, kde Ω je referenční
bod a φ úhel, který svírá přímka tělesa p s kladnou poloosou x. Má tedy tři stupně volnosti. Těleso
s jednou obecnou vazbou má dva stupně volnosti, těleso se dvěma obecnými vazbami, nebo jednou
valivou vazbou má jeden stupeň volnosti.
10.2. Základní rozklad
Přemístění tělesa do libovolné polohy za čas ∆t je dáno přemístěním úsečky
Ω 1L 1 , obr. 10.3.
Ω L do polohy
L
L 1
Ω
Ω 1
L ' 1
Obr. 10.3
53

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
Do libovolné polohy Ω 1L1
se těleso přemístilo pohybem posuvným do polohy Ω 1L′ 1 a pohybem
rotačním kolem referenčního bodu Ω 1 . Snížíme- li časový interval na nekonečně malou hodnotu dt,
budou oba pohyby probíhat současně.
Z výše uvedené úvahy můžeme definovat základní rozklad obecného rovinného pohybu.
Základní rozklad obecného rovinného pohybu tělesa je rozklad na unášivý pohyb
posuvný, určený pohybem referenčního bodu a na druhotný pohyb rotační kolem tohoto bodu.
10.3. Vyšetření rychlosti a zrychlení
Vyšetření rychlostí a zrychlení libovolného bodu L provedeme pomocí základního rozkladu
podle obr. 10.4.
Trajektorie
y
r
L
= r Ω + rLΩ
ω
Ω
r LΩ
L
Rychlost
⋅ ⋅ ⋅
L = rL
= r Ω + rLΩ
= v Ω + vLΩ
v (10.1)
r Ω
r L
kde
⋅
Ω = r Ω
v je rychlost unášivého pohybu
posuvného,
v je rychlost
LΩ = ω×
rLΩ
0
Obr. 10.4
x
druhotného pohybu rotačního a ω je jeho
úhlová rychlost.
Zrychlení
⋅ ⋅ ⋅
⋅
L = vL
= v Ω + ω× rLΩ
+ ω× rLΩ
= aΩ
+ aLΩ
a (10.2)
a Ω je zrychlení unášivého pohybu posuvného
aLΩ aLΩt
+ aLΩn
= je zrychlení druhotného pohybu rotačního
kde
a je tečné zrychlení druhotného pohybu rotačního a ε je jeho úhlové zrychlení
LΩ = ε×
rLΩ
a je normálové zrychlení druhotného pohybu rotačního
LΩ n = ω×
vLΩ
Rychlost, resp. zrychlení libovolného bodu je dána vektorovým součtem rychlosti, resp. zrychlení
unášivého pohybu posuvného a rychlosti, resp. zrychlení druhotného pohybu rotačního.
Vyšetření rychlosti a zrychlení pomocí základního rozkladu bude využito v následujícím příkladě.
54

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
Př:. 7.1.
Pohyb tělesa je určen vazbou dvou jeho bodů A a B ke dvěma na sebe kolmým přímkám p A a p B
základního prostoru, obr. 10.5. Určete rychlost a zrychlení bodu B pro polohu určenou úhlem α a
známou rychlost a zrychlení bodu A.
v A
p A
A
a A
l
α
B
p B
Obr. 10.5
Řešení:
p A
A
v A
a A
l
v B
•
α
α
•
v A
B
p B
a
•
BAt a BAn
α
α
•
Obr. 10b
a B
a A
Obr. 10.5a
vBA
Zvolíme bod A jako referenční bod a bod B jako libovolný bod. Pro názornost provedeme grafickopočetní
řešení.
Pro rychlost budu B platí:
v B = v A + vBA
Rozbor řešitelnosti:
v A známe co do velikosti i směru, označíme podtržením
v B známe směr (p B ), označíme podtržením se šipkou
55

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
v BA známe směr ( vBA
┴ AB ), označíme podtržením se šipkou
Vektorová rovnice je řešitelná, viz obr. 10.5a. Z obrázku vypočteme:
vB
tg α =
vB
= v A ⋅ tgα
v A
cos α =
v A
vBA
v BA
v A
= cos α
Pro zrychlení bodu B platí:
a = a + a + a
B
A
BAt
BAn
Rozbor řešitelnosti provedeme analogicky jako u rychlosti.
2
vBA
aBAn
= a směřuje z bodu B do bodu A. Grafické řešení je na obr. 10.5b.
l
Z obrázku vypočteme:
0 = a A + aBAn
⋅ sin α − a ⋅cos
α ⇒ a
BAt
BAt
a B = aBAn
⋅cos
α + aBAt
⋅ sin α ⇒ a B
11. Dynamika obecného rovinného pohybu tělesa
11.1. Pohybové rovnice
Při sestavení pohybových rovnic vyjdeme ze základního rozkladu obecného rovinného pohybu
pro referenční bod v těžišti tělesa, obr. 11.1.
y
ω
Fi
p
Ω ≡ T
ε
vT
φ
•
y T
m; J T
aT
0 x T
x
Obr. 11.1
Na těleso působí vnější síly F i , jeho poloha je určena souřadnicemi x T , y T a úhlem φ,
z kinematického hlediska je pohyb určen rychlostí a zrychlením těžiště v T , a T a úhlovou rychlostí a
zrychlením druhotného pohybu rotačního ω, ε.
Pak pohybové rovnice budou dány pohybovými rovnicemi pro unášivý pohyb posuvný, daný
pohybem těžiště
56

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
1) m ⋅ & x T = ∑ F ix
(11.1a)
i
2) m ⋅ & y T = ∑ F iy
(11.1b)
i
a pohybovou rovnicí druhotného pohybu rotačního kolem těžiště
3) J T ⋅ϕ & = ∑M Ti
(11.1c)
i
V rovnicích značí m hmotnost tělesa, J T moment setrvačnosti k ose procházející těžištěm a M Ti
momenty vnějších sil k těžišti.
Počet vlastních pohybových rovnic je dán počtem stupňů volnosti. U vázaného tělesa se získají
vyloučením reakcí. Při řešení úloh 1. druhu se z nich určují silové účinky pro předepsaný pohyb
(algebraické rovnice), při řešení úloh 2. druhu pro dané silové účinky řešíme pohyb (diferenciální
rovnice 2. řádu).
11.2. Kinetická energie
Kinetickou energii opět získáme ze základního rozkladu součtem kinetické energie unášivého
pohybu posuvného a druhotného pohybu rotačního.
1 2 1 2
E k = m⋅
v + JT
⋅ω
(11.2)
2
T
2
11.3. Doplňkové účinky
Pro řešení dynamiky vázaných těles s výhodou aplikujeme dÁlembertův princip. Pro referenční
bod v těžišti (obr. 11.2) přísluší unášivému pohybu posuvnému doplňková síla
D = m⋅
(11.3)
a T
a druhotné rotaci pouze doplňkový moment
M J ⋅ε ( D D = 0 ) (11.4)
D = T
n = T
57

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
D
ω
ε
vT
M D
Ω ≡ T
a T
Obr. 11.2
Pohybové rovnice pak po uvolnění tělesa dostaneme z podmínek fiktivní rovnováhy vnějších sil
(akčních a reakčních) a výše uvedených doplňkových účinků. (11.3 a 11.4).
Na závěr kapitoly vypočteme příklad na kinetickou energii obecného rovinného pohybu tělesa.
Př.: 10.1
Sochory kruhového průřezu se valí po nakloněné rovině bez prokluzu, obr. 11.3. Na počátku dráhy je
rychlost těžiště nulová. Zanedbejte pasívní odpory a určete rychlost těžiště po uražení dráhy s.
T
s
T
α
v T =
Řešení:
Valivou vazbou vzniká obecný rovinný pohyb. Rychlost těžiště na konci dráhy s vypočteme podle věty
o změně kinetické energie.
EK −EK0
= A
1
m⋅
v
2
2
T
+
1
2
J
T
⋅ω
2
= G⋅h
h … rozdíl výšky těžiště v počáteční a konečné poloze
m … hmota tělesa
G … tíha tělesa
Moment setrvačnosti k ose rotační souměrnosti
J T
m⋅r
=
2
2
Výpočtem obdržíme
4
v T = ⋅s⋅
sin α
3 g
58

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
12. Kinematika mechanismů
Jako mechanismy označujeme pohyblivé soustavy těles s jedním a více stupni volnosti. Zde
budeme řešit pouze mechanismy s jedním stupněm volnosti.
12.1. Mechanismy s konstantními převody
Základními představiteli mechanismů s konstantními převody jsou řemenové převody a převody
ozubenými koly. Jako převod definujeme poměr mezi rychlostmi hnaného a hnacího členu
mechanismu.
12.1.1. Jednoduchý převod
Kinematické schéma jednoduchého řemenového převodu je na obr. 12.1, jednoduchého
převodu s ozubenými koly na obr. 12.2.
ω 21
ε 21
v
2 r 2 3 r 3
ω 31
1 1
v
ε 31
z 2
z 3
ε 21
ω 21 2 r 2
1
v
3 r 3
ω 31
A
1
ε 31
Obr.12.1 Obr. 12.2
Převod řemenového převodu vypočteme za předpokladu, že řemen po řemenicích
neprokluzuje. Pak obvodová rychlost obou řemenic je stejná.
pak převod
v = r r
(12.1)
2 ⋅ω21
= 3 ⋅ω31
ω31
r2
D2
ε31
p 2 , 3 = = = =
(12.2)
ω r D ε
21
3
3
21
kde D 2 , D 3 jsou průměry řemenic.
Převod mechanismu s ozubenými koly vypočteme z rovnosti obvodových rychlostí v dotykovém bodě
A valivých kružnic, z tzv. podmínky valení. Předpokládáme stejný smysl úhlových rychlostí ω 21 a ω 31 .
pak převod
v = r r
(12.3)
2 ⋅ω21
= − 3 ⋅ω31
ω31
r2
D2
z 2 ε31
p 2 , 3 = == − = − = − =
(12.4)
ω r D z ε
21
3
3
3
21
59

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
kde z 2 , z 3 je počet zubů hnacího a hnaného kola.
Záporné znaménko převodu vyjadřuje skutečnost, že hnané kolo 3 se otáčí v opačném smyslu.
12.1.2. Složený převod
Složený převod vznikne spojením jednoduchých převodů. Příklad dvojnásobného převodu
s ozubenými koly je na obr. 12.3.
z 2
Z 3
z 4
ε 21
ω 21 2
1
z 3
1
3
4
ω 41
A
1
ε 41
ε 31
ω 31
Obr. 12.3.
Celkový převod
ω41
ω31
ω41
⎛ z 2 ⎞ ⎛ z3
⎞ z 2 ⋅ z3
p2, 4 = = ⋅ = p2,
3 ⋅ p3,
4 = ⎜ ⎟ ⋅ =
21 21 31
Z
⎜ −
3 z
⎟
−
ω ω ω
⎝ ⎠ ⎝ 4 ⎠ Z3
⋅ z 4
(12.5)
kde p 2,3 je jednoduchý převod mezi koly 2 a 3 a p 3,4 je jednoduchý převod mezi koly 3 a 4.
Výsledek lze zobecnit i na vícenásobné převody: Složený převod je dán součinem jednoduchých
převodů.
12.1.3. Planetový převod
Planetový převod se skládá z ozubeného kola s vnitřním ozubením, tzv. korunového kola 1,
centrálního kola 2, satelitu 3 a unášeče 4, obr. 12.4.
60

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
ω
3
3 4
3
r 3
4
B
ω 21 4
ω 41 2
A
2
r 1 ω 21 r 2
ω 4 1
1
1
Obr. 12.4
V tomto provedení je korunové kolo 1 spojeno s rámem, centrální kolo 2 je naklínováno na
vstupním hřídeli a satelit 3 je volně otočný na unášeči 4, který je součástí výstupního hřídele.
Převod vypočteme z podmínek valení v bodech A a B. Výsledná rychlost kola 3 v bodech valení
je dána součtem rychlosti relativního pohybu 34 a unášivého pohybu 41.
A: 0 = ω34
⋅r3
+ ω41
⋅r1
(12.6)
B: ω 21 ⋅r2
= −ω34
⋅r3
+ ω41
⋅r2
(12.7)
ω
Po sečtení obdržíme:
( r )
21 ⋅r 2 = ω41
⋅ 1 + r2
z toho převod
ω41
r2
p2, 4 = =
(12.8)
ω r + r
21
1
2
ω
34
Úhlovou rychlost relativního pohybu satelitu vypočteme z rovnic (12.6) a (12.8).
r
= −
r
1
3
⋅ω
41
= −
21
21
( r + r ) ⋅r
2 2
1
r ⋅r
1
2
2
3
⋅ω
2r1
⋅r
= −
r − r
1
2
2
⋅ω
(12.9)
12.2. Mechanismy s proměnlivými převody
V následující kapitole se omezíme na jednoduché rovinné mechanismy, jejichž hlavními
představiteli jsou vačkový mechanismus (obr. 12.5a), čtyřkloubový mechanismus (obr. 12.5b),
kulisový mechanismus (obr. 12.5c) a klikový mechanismus (obr. 12.5d).
61

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
1
1 1
4
3
3
3
O
1
2
2
1
4
φ 21
φ 41
1
1
2
s 41
1
2
φ 21
3
4
a) b) c) d)
obr. 12.5
Vzhledem k tomu, že mechanismy mají 1º volnosti odpovídá poloze vstupního členu poloha
výstupního členu. Např. u čtyřkloubového mechanismu je úhlem φ 21 jednoznačně určen úhel φ 41 . Tuto
závislost můžeme vyjádřit funkcí φ 41 = z(φ 21 ), kterou nazýváme zdvihová závislost. U členů
mechanismů, konajících posuvný pohyb, je poloha určena délkovou souřadnicí, např. s 41 . Pro
zobecnění vztahů k vyjádření kinematických závislostí zavedeme zobecněné souřadnice q ij .
Pak pro výstupní člen platí:
zdvihová závislost z( )
q n = (12.10)
1 q 21
rychlost
( q )
dz
= (12.11)
( q21
) ⋅ &
21
21
q&
n 1 ⋅q&
21 = p q
dq21
kde ( q )
( q )
dz 21
p 21 = je převod (12.12)
dq
21
zrychlení
( q )
dp
= (12.13)
2
( q21
) ⋅&&
q21
= b( q21
) ⋅q&
21 + p( q21
) ⋅&
21
&
21 2
q n 1 ⋅q&
21 + p
q
dq21
kde ( q )
( q )
dp 21
b 21 = je derivace převodu. (12.14)
dq
21
Zdvihovou závislost, převod a derivaci převodu označujeme jako převodové funkce. Univerzální
metodou pro určení zdvihových závislostí je vektorová metoda. Kinematické schéma mechanismu
nahradíme uzavřenými vektorovými obrazci a sestavíme podmínky uzavřenosti. Vyloučením
pomocných souřadnic získáme zdvihovou závislost.
Př. 12.1.
Určete zdvihovou závislost klikového mechanismu.
Zdvihovou závislost určíme nahrazením kinematického schématu uzavřeným vektorovým obrazcem
(trojúhelníkem) podle obr. 12.6.
62

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
r
2
l 4
3
φ 21 ψ
1
1
s 41
Podmínky uzavřenosti
r ⋅ sin ϕ21 − l⋅
sin ψ = 0
r ⋅cos
ϕ
r
sin ψ = ⋅ sin
l
21 + l⋅cos
ψ − s41
=
ϕ 21
0
s
⎛ r ⎞
Obr. 12.6 cos ψ = 1−
⎜ ⎟ ⋅ sin
2 ϕ21
⎝ l ⎠
2
⎛ r ⎞ 2
41 = r ⋅cos
ϕ21
+ l⋅
1−
⎜ ⎟ ⋅ sin ϕ21
= z ϕ21
⎝ l ⎠
( )
2
Př. 12.2
Vypočtěte rychlost a zrychlení kulisy kulisového mechanismu, jehož kinematické schéma je na obr
12.7. Je dána úhlová rychlost hnací kliky ω 21 a úhlové zrychlení ε 21 .
rychlost
4
a v
41 41
3
r
ε 2
21
φ 21
ω 21
O
Zdvihová závislost
r ⋅cos
ϕ
převod
s cos
p
21 − s41
=
0
( )
41 = r ⋅ ϕ21
= z ϕ21
( ϕ )
dz
( ϕ )
21
21 = = −r
⋅ sin ϕ21
dϕ21
derivace převodu
Obr.12.7 b ( ϕ )
zrychlení
( ϕ21
) ⋅ϕ21
= −r
⋅ ϕ21
⋅ 21
v &
a
s 41
41 = p
sin ω
2
2
( ϕ21
) ⋅ϕ&
21 + p⋅( ϕ21
) ⋅ϕ&
21 = −r
⋅cos
ϕ21
⋅ω21
− r ⋅ 21⋅
21
41 = b
sin ε
s 41
r
φ 21
h
•
dp
( ϕ )
21
21 = = −r
⋅cos
ϕ21
dϕ21
13. Dynamika mechanismů
Pohybovou rovnici mechanismu odvodíme metodou redukce. Podstata metody spočívá v tom,
že reálný mechanismus redukujeme na výpočtový model sestávající z rotujícího nebo posouvajícího
se tělesa , obr. 13.1. Jako člen redukce volíme hnací nebo hnaný člen mechanismu.
63

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
Výpočtový model (člen redukce)
M r
•
J r
q r =s r a r v r
F r
q r =φ r
m r
ω r
ε r
a) člen redukce koná b) člen redukce koná
rotační pohyb
posuvný pohyb
Obr. 13.1
Ve výpočtovém modelu je:
φ r, ω r , ε r … úhlová dráha rychlost a zrychlení členu redukce
M r … redukovaný moment (vyjadřuje silové účinky)
J r … redukovaný moment setrvačnosti (vyjadřuje hmotnostní veličiny)
s r , v r , a r … dráha, rychlost a zrychlení členu redukce
F r … redukovaná síla (vyjadřuje silové účinky)
m r … redukovaná hmotnost (vyjadřuje hmotnostní veličiny)
Redukci silových účinků provádíme na základě rovnosti výkonů na mechanismu a na výpočtovém
modelu.
∑F i ⋅ vi
+ ∑Mj
⋅ω j = Mr
⋅ωr
∑ i ⋅ vi
+ ∑Mj
⋅ω j = Fr
⋅
i
z toho
j
vi
ω j
vi
M r = ∑Fi
⋅ + ∑M
j ⋅
=
ω
∑ ⋅ + ∑ ⋅
ω
r Fi
M j
i ωr
j r
i
F v (13.1a, b)
j
j
i vr
j vr
F (13.2a, b)
V rovnicích značí F i , M j síly a momenty působící na mechanismus, v i rychlosti působišť sil a ω j
úhlové rychlosti momentů.
Redukci hmotnostních veličin provádíme na základě rovnosti kinetické energie mechanismu a
výpočtového modelu.
2
2
∑ mi
⋅ v + ∑ J j ⋅ω = Jr
⋅ω
i
z toho
1 1 1 2
1 2 1 2 1 2
i
j
r
mi
⋅ v + J j ⋅ω = mr
⋅ vr
2
j 2 2
i 2 i
j 2 j 2
∑ ∑ (13.2a, b)
r
⎛ v
⎞
2
⎛ ω j ⎞
2
⎛ v j ⎞
⎛ ω j ⎞
J ∑ ⎜ i
r = mi
⋅
⎟ + ∑J
j
⎜ ⎟ m
i ⎝ ωr
⎠ j ⎝ ω
∑ ⎜ ⎟ ∑ ⎜
r = mi
⋅ + J ⋅
j
r ⎠
⎟ i ⎝ vr
⎠ j ⎝ v r ⎠
2
2
(13.3a, b)
V rovnicích značí m i , J j hmotnosti a momenty setrvačnosti členů, kterým přísluší rychlosti v i a úhlové
rychlosti ω j . Členům mechanismu, konajícím obecný rovinný pohyb, přísluší kinetická energie od
posuvého i rotačního pohybu.
64

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
Pohybové rovnice
U mechanismů s proměnlivými převody jsou převody
v i
ω , ω i v ,
i ω ,
i
r ωr
vr
vr
takže i redukovaný moment setrvačnosti J r a redukovaná hmotnost m r jsou funkcí
= ( ϕ )
m ( s )
Jr J r
r
r
r
r
funkcí obecné souřadnice,
ϕ r , resp. s r .
m = (14.a, b)
Pohybovou rovnici odvodíme z diferenciálního tvaru věty o změně kinetické energie.
Při redukci na rotující člen obdržíme
dA = dE k (A … mechanická energie) (14.5)
M ⋅dϕ
r
r
⎛ 1
= d⎜
Jr
⋅ω
⎝ 2
2
r
⎞
⎟
⎠
Mr
=
d
d
jelikož ω
⎛ 1 2 ⎞
⎜ Jr
⋅ωr
⎟ =
ϕr
⎝ 2 ⎠
dωr
r ⋅ = εr
dϕr
1
2
dJr
2
⋅ωr
+
dϕr
1
2
dωr
Jr
⋅ 2ωr
⋅ =
dϕr
Při redukci na posouvající člen analogicky odvodíme
Fr
=
1
2
dmr
2
⋅ vr
+ mr
⋅ar
dsr
V obecném tvaru můžeme pohybovou rovnici zapsat
1
2
dJr
2
⋅ωr
+ Jr
dϕr
⋅ε
r
(14.6)
(14.7)
1 dμr
2 2
Q r = ⋅ ⋅q& r + μr
⋅& q&
r
(14.8)
2 dqr
kde Q r je obecná redukovaná síla, μ r je obecná redukovaná hmotnost a q r je obecná souřadnice.
U mechanismů s proměnlivými převody se při řešení pohybu jedná o nelineární diferenciální
rovnici druhého řádu, která je řešitelná pouze numericky.
U mechanismů s konstantními převody μ r (J r , m r ) je konstantní a pohybová rovnice se
zjednoduší na tvar
Q r = μr
⋅& q&
r
(15.9)
Postup odvození pohybové rovnice mechanismu s konstantními převody a mechanismu
s proměnnými převody ukážeme na následujících příkladech.
Př. 13.1.
Odvoďte pohybovou rovnici zdvihacího ústrojí, jehož schéma je uvedeno na obr. 13.2. Odpor
prostředí a pasívní odpory zanedbejte!
65

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
Obr. 13.2
4
J 2
M h
φ 21
ε 21
ω 31
2 •
r 2
1
r 3
3
ω 21
•
J 3 , m 3
G3
ε 31
v
G 4
a
V obrázku značí:
M h … hnací moment
φ 21 … obecná souřadnice (úhel natočení bubnu)
r 2 , r 3 …poloměr bubnu, kladky volné
J 2 , J 3 … momenty setrvačnosti bubnu, kladky volné
G 3 , G 4 … tíhy kladky volné, břemene
ω 21 , ε 21 … úhlová rychlost, zrychlení bubnu
ω 31 , ε 31 … úhlová rychlost, zrychlení druhotného pohybu
rotačního kladky volné
v, a … rychlost a zrychlení břemene
Kladka volná koná obecný rovinný pohyb, rotaci kolem pólu
P.
Obvodová rychlost a tečné zrychlení bodu na obvodu bubnu
v 21 v 31
r 3
P
v = v 2v
21 2 31 =
a = a 2a
21 2 31 =
2v
Pak ω 21 = ; ε
r
2
31
2a
=
r
2
Redukci provedeme na hřídel bubnu
Redukovaný moment (rovnost výkonů)
M h
⋅ω
( G + G4
) ⋅ v = M ⋅ 21
21 − 3 r ω
2
Po dosazení za
ω 21
v = r ⋅
obdržíme
2
G3
+ G4
Mr
= Mh
− ⋅r2
2
Redukovaný moment setrvačnosti (rovnost kinetických energií)
1 2 1 2 1
J 2 ⋅ω21
+ m3
⋅ v 31 + J3
⋅ω
2 2 2
Po dosazení za v 31 , ω 31 a v obdržíme
2
2
31
1
+ m
2
2
4
⋅ v
2
=
1
2
Jr
⋅ω
⎛ r2
⎞
⎛ r2
⎞
J r = J2
+ J3
⋅⎜
⎟
+ ( 3 + 4 ) ⋅⎜
⎟
2
m m
⎝ r3
⎠
⎝ 2 ⎠
Pohybovou rovnici získáme po dosazení do rovnice (15.9)
2
21
v
ω 31 = ;
r
3
ε
31
=
a
r
3
2
G3
+ G
⎡
4
⎛
⎢
r2
⎞
M h − ⋅r2
= J2
+ J3
⋅⎜
⎟ +
2 ⎢
2
3
⎣
⎝ r ⎠
2 ⎤
⎛ r ⎞
⎝ 2 ⎠ ⎥
⎦
2
( m3
+ m4
) ⋅⎜
⎟ ⎥ ⋅ϕ&
21
66

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
Z pohybové rovnice při řešení úlohy 1. druhu vypočteme M h při řešení úlohy 2. druhu řešením
diferenciální rovnice 2. řádu ϕ 21 = f 1 () t .
Př. 13.2
s 41
Odvoďte pohybovou rovnici kulisového mechanismu, jehož schéma je na obr. 13.3. Odpor prostředí a
tíhové síly zanedbejte!
F
M h … hnací moment
v 41
F … zátěžná síla
m 4
r 2 … poloměr hnací kliky
a
m 3
41
4
φ 21 … obecná souřadnice (úhel natočení
3
r 2
•
2
kliky)
m 3 , m 4 … hmotnosti ramene, kulisy
J 2 … moment setrvačnosti kliky
Ε 2 1
φ 21
J 2
ω 21 , ε 21 … úhlová rychlost, zrychlení kliky
v 41 , a 41 … rychlost, zrychlení kulisy
ω 21
Obr. 13.3 1 M h
Kámen 3 koná posuvný pohyb, jeho rychlost
v 31 = r ⋅ω 21
Rychlost kulisy určíme pomocí převodových funkcí
Zdvihová závislost s = r ⋅ sin ϕ = z( )
Převod p ( ϕ )
41 21 ϕ21
( ϕ )
dz 21
21 = = r ⋅cos
ϕ21
dϕ21
Pak 41 = p( ϕ21
) ⋅ϕ21
= r ⋅cos
ϕ21
⋅ω21
v &
Redukce na hřídel kliky
Redukovaný moment (rovnost výkonů)
M h ⋅ω21 −F⋅
v 41 = Mr
⋅ω21
Po dosazení za v 41 = r ⋅cos
ϕ21
⋅ω21
obdržíme
Mr
= Mh
−F⋅r
⋅cos
ϕ 21
Redukovaný moment setrvačnosti (rovnost kinetických energií)
1
2
J 2
⋅ω
2 1 2 1 2
21 + m3
⋅ v 31 + ⋅m4
⋅ v 41 =
2 2
Po dosazení za v 31 a v 41 obdržíme
J r
2 2 2
J2 + m3
⋅r
+ m4
⋅r
⋅ ϕ21
= cos
Pohybová rovnice
1 dJr
⋅ϕ& 2 21 + Jr
⋅ϕ && = Mr
2 dϕ21
Po dosazení za J r a M r
1
2
2
Jr
⋅ω21
67

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
2 2 2
( J2
+ m3
⋅r
+ m4
⋅r
⋅cos
ϕ21
) ⋅ϕ&&
21 = Mh
−F⋅r
⋅cos
21
2
2
− m4 ⋅r
⋅ sin ϕ21
⋅cos
ϕ21
⋅ϕ&
21 +
ϕ
Z pohybové rovnice pro dané ω 21 = ϕ& 21 a ε 21 = ϕ& 21 můžeme určit M h pro libovolnou polohu danou
úhlem φ 21 (úloha 1. druhu), nebo pro zadané F a M h určit pohyb mechanismu ϕ 21 = f 1 () t (úloha 2.
druhu) řešením nelineární diferenciální rovnice 2. řádu.
14. Základy technického kmitání
Problémy kmitání se vyskytují ve všech oborech technické praxe. Náplní této kapitoly bude
mechanické kmitání. Přitom se omezíme pouze na lineární kmitání výpočtových modelů se
soustředěnými parametry.
14.1. Kmitání soustav s jedním stupněm volnosti
Pohyb celé řady technických aplikací lze znázornit modelem s jedním stupněm volnosti.
14.1.1. Volné netlumené kmitání
Mechanický model, popisující volný, netlumený pohyb s jedním stupněm volnosti, je pro
přímočarý posuvný pohyb znázorněn na obr. 14.1.
l 0 x x & , & x
Je složen z tuhého tělesa hmotnosti m, které se pohybuje
po dokonale hladké podložce a je uchyceno k nehmotné
F k
m pružině, v níž vzniká síla lineárně závislá na její
k
deformaci. Počátek souřadnic je v koncovém bodě
nedeformované pružiny. Pak síla v pružině
Obr. 14.1
= k ⋅ x kde k je tuhost pružiny [N·m -1 ] (14.1)
F k
Zanedbáme-li odpor prostředí, bude pohybová rovnice
m&
x
= −kx
nebo po úpravě
& 2
x& + Ω 0 x = 0 kde
Řešením obdržíme
k
Ω 0 = je vlastní kruhová frekvence [rad·s -1 ] (14.2)
m
cos nebo ( )
x = A ⋅ Ω0t
+ B⋅
sin Ω0t
x = C⋅
sin Ω0t
+ ϕ 0
(14.3)
Rovnice popisují harmonický pohyb.
Konstanty A, B resp. C, φ 0 jsou integrační konstanty, které se určí z počátečních podmínek. V čase t =
0 je výchylka x 0 a rychlost v 0 . Pro výpočet integračních konstant potřebujeme rychlost pohybu.
v = x& = −A
⋅Ω0 ⋅ sin Ω0t
+ B ⋅Ω0
⋅cos
Ω0t
(14.4)
Po dosazení počátečních podmínek do (14.3) a (14.4) obdržíme
68

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
A = x 0 ;
0
B = v
Ω0
resp.
2
2 ⎛ v
0 0
⎟ ⎞
+ ⎜
⎝ Ω0
⎠
C = x
, což je amplituda kmitání a (14.5)
0 =
Ω0
⋅ x 0
v 0
ϕ arctan , což je počáteční fáze (14.6)
Grafické znázornění pohybu v čase je na obr. 14.2.
C
C
φ 0
Obr. 14.2
3
T 0
y p
3
0 p
40
Ω 0 t
Doba kmitu (perioda) je dána vztahem
2π
0 =
Ω0
T , (14.7)
její převrácená hodnota je kmitočet
Ω0
f 0 = (14.8)
2 π
14.1.2. Volné tlumené kmitání
Z řešení netlumeného kmitání vyplynulo,že tento pohyb se periodicky opakuje nekonečně
dlouho s konstantní amplitudou. Ve skutečnosti se amplituda kmitavého pohybu zmenšuje, až
zanikne. K zohlednění této skutečnosti zavádíme do soustavy tlumení. Při matematickém modelování
se proces tlumení vyjadřuje ekvivalentní tlumící silou lineárně závislou na rychlosti.
F b = b⋅
x&
, kde b je součinitel tlumení [N·s·m -1 ] (14.9)
Mechanický model soustavy s tlumením je na obr. 14.3.
b
l 0 x x & , & x
k
F b
F k
m
Tlumení je modelováno paralelně připojeným tlumičem.
Pohybová rovnice
m&
x
= −bx&
− kx
Obr. 14.3
a po úpravě
& 2
x
+ 2δx&
+ Ω 0 x = 0
(14.10)
b
k
kde δ = je konstanta doznívání a Ω 0 = je vlastní kruhová frekvence netlumených kmitů.
2m
m
Rovnice (14.10) je lineární homogenní diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními
koeficienty, jejíž řešení lze předpokládat ve tvaru x = C⋅e
.
Dosazením do (14.10) a po úpravě dostaneme charakteristickou rovnici
2
2
λ + 2δ⋅λ + Ω0
= 0
jejíž kořeny jsou
λt
69

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
2 2
1 2 = −δ ± δ − Ω0
λ , (14.12)
Podle velikosti δ a Ω 0 bude tlumení:
δ ≥ Ω 0 … nadkritické, kritické – aperiodický pohyb
δ < Ω 0 … podkritické – kmitavý pohyb
Dále se budeme zabývat pouze podkritickým tlumením.
Kořeny charakteristické rovnice budou komplexně sdružené.
2
2
λ1, 2 = −δ ± iΩ
, kde Ω = Ω 0 −δ
je vlastní kruhová frekvence tlumené soustavy (14.13)
Dosazením do řešení
obdržíme
x t
λ1t
λ t
= C1
⋅e
+ C2
⋅e
x
2
−δt
x = e ⋅
x
5
−δt
( A ⋅ Ωt
+ B⋅
sin Ωt) = e ⋅C⋅
sin( Ωt
)
cos + ϕ 0
(14.14)
Graf této funkce je zakreslen na obr. 14.4.
T
Doba kmitu
C·e -δt
x t+T
T = 2π > T 0 (14.15)
Ω
y p
40
0
Obr. 14.4
-C·e -δt
5
0 p
Ω t
Proti netlumené soustavě se prodlužuje doba
kmitu. Amplituda tlumeného kmitavého pohybu se
s časem exponenciálně zmenšuje.
Vyjádřeme poměr výchylky v čase t a v čase t + T
x t
x t+
T
=
−δ
e
−δt
e ⋅C⋅
sin( Ωt
+ ϕ0
)
( t+
T) ⋅C⋅
sin[ Ω( t + T)
+ ϕ ]
0
δT
= e = konst.
Této skutečnosti využíváme pro vyjádření velikosti tlumení na základě experimentu. Z odečtených
hodnot časového průběhu x t a x t+T vypočteme tzv. logaritmický dekrement ϑ .
x t
ϑ = ln = δ⋅T
(14.16)
x t+
T
Z rovnice (14.4) plyne, že pohyb zanikne teoreticky v čase t = ∞. I když tento výsledek neodpovídá
skutečnosti, řešení po kvalitativní stránce vystihuje skutečný pohyb.
14.1.3. Kmitání vynucené budící silou harmonického průběhu
U volného kmitání byl pohyb závislý pouze na parametrech soustavy a na počátečních
podmínkách.
70

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
V technické praxi se setkáváme s případy, kdy na hmotu působí ještě tzv. budící síla, která je
známou funkcí času. Základním případem je budící síla harmonického průběhu
F
() t = F ⋅ sin( ωt
+ ϕ )
0 F , kde F 0 je amplituda síly (14.17)
ω je kruhová frekvence budící síly
φ F je počáteční fáze budící síly
Mechanický model takové soustavy je na obr. 14.5.
Pohybová rovnice
l 0 x x & , & x
m&
x
= −bx&
− kx + F0
⋅ sin( ωt
+ ϕF
)
k F p
F(
t)
Po úpravě
F b
m
b
& 2
x
+ 2 δx&
+ Ω x = a ⋅ sin ωt
+ ϕ (14.18)
0
0
( )
F0
Obr. 14.5
kde a0 = m
Jedná se o lineární diferenciální rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty s pravou stranou.
Řešení můžeme napsat ve tvaru
x = x h + x p
(14.19)
kde x h je řešení homogenní rovnice a x p tzv. partikulární integrál, který podle pravé strany rovnice
(14.8) budeme hledat ve tvaru
xp
= sin
( ωt
+ ϕ )
s0 ⋅
x
(14.20)
Po výpočtu první a druhé derivace podle času, dosazením do (14.18) a srovnáním členů u
sin ( ω + ) a ( ω + )
t ϕ x
cos t ϕ x obdržíme dvě rovnice pro výpočet neznámých s 0 a φ x ve tvarech
F
b)
s 0 =
2
( ) ( ) 2
2 2
Ω − ω + 2δ⋅ω
0
a0
2δ ⋅ω
ϕF − ϕx
= arctan
(14.21a,
2 2
Ω0
− ω
Podle rovnice (14.19) bude řešení
x = e
−δt
⋅
C
( Ωt
+ ϕ ) + s ⋅ sin( ωt
+ ϕ )
⋅ sin 0 0
x
(14.22)
Z rovnice je patrno, že po dostatečně dlouhé době se vlastní kmitání, které odpovídá homogennímu
řešení utlumí a zůstává pouze partikulární řešení s amplitudou s 0 a kruhovou frekvencí budící síly ω.
Této fázi říkáme ustálené vynucené kmitání.
Cenné informace o ustáleném vynuceném kmitání lze získat ve frekvenční oblasti
z amplitudové a fázové frekvenční charakteristiky.
Amplitudová frekvenční charakteristika
Rovnici pro výpočet amplitudy s 0 ustáleného vynuceného kmitání (14.21a) upravíme na bezrozměrový
tvar pomocí vztahů pro statickou výchylku
δ
r =
Ω 0
b .
F
= , činitele naladění η , a poměrný útlum
k
s st
0
ω
=
Ω 0
71

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
s
s
0
st
=
1
2 2
( 1− η ) + ( 2b
⋅η) 2
r
(14.23)
Grafické znázornění závislosti poměrné amplitudy
s 0
s st
na činiteli naladění η pro několik hodnot
s 0
poměrného útlumu b r je na obr. 14.6 a nazývá se amplitudová frekvenční charakteristika.
U netlumeného pohybu (b r = 0) přejde rovnice
6
(14.23) na tvar
s st
5
s0
1
=
(14.24)
b r = 0
s 2
st 1− η
4
b r = 0,2
Bude-li v tomto případě ω = Ω0
a tedy η = 1 ,
3
b r = 0,4
bude poměrná amplituda nekonečná. Tomuto
2
1
jevu se říká rezonance a pro práci většiny
strojních a elektro zařízení je nežádoucí.
Zvýšením tlumení (b r ) je možno tento
0
1 2 3
η
nežádoucí jev částečně potlačit.
Obr. 14.6
Fázová frekvenční charakteristika
Podobně můžeme upravit do bezrozměrového tvaru rovnici (14.21b) pro výpočet fázového úhlu
výchylky.
2br
⋅η
ϕF
− ϕx
= arctan (14.25)
2
1− η
Průběh opožďování fázového úhlu výchylky v závislosti na činiteli naladění η pro různé hodnoty
poměrného útlumu b r je na obr. 14.7 a nazývá se fázová frekvenční charakteristika.
(φ F – φ x)
180º
90º
0
b r = 0
b r = 0,2
b r = 0,4
1 2 3 η
Obr. 14.7 budící síle o 90°.
Z fázové frekvenční charakteristiky je
patrno, že do rezonance je výchylka
netlumené soustavy ve fázi s budící
silou, nad rezonancí je v protifázi. Při
rezonanci se výchylka opožďuje vůči
72

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
14.2. Kmitání lineárních soustav s více stupni volnosti
Přesnější modelování mechanických soustav se vyjadřuje modely s více stupni volnosti. U
těchto modelů se předpokládají nehmotné pružiny a tlumiče, hmotnosti soustředěné do jednotlivých
těles. Takovéto modely se nazývají modely se soustředěnými parametry. Postup odvození pohybové
rovnice v maticovém tvaru si ukážeme na posuvně kmitající soustavě se 2º volnosti, zakreslené na
obe. 14.8.
F1
F2
k 1
k 2
m 1
b 1 b 2
m 2
Obr. 14.8
x 1 x 2
14.2.1. Pohybové rovnice
Obecné souřadnice x 1, x 2 jsou výchylky hmot z rovnovážné polohy, F 1 a F 2 jsou budící síly.
Pak pro hmotnosti m 1 a m 2 platí pohybové rovnice
m 1& x
1 = −k1x1
+ k 2 ⋅( x 2 − x1
) − b1x&
1 + b2
⋅( x&
2 − x&
1 ) + F1
(14.26)
m 2&
x
2 = −k
2 ⋅( x 2 − x1
) − b2
⋅( x&
2 − x&
1 ) + F2
Po úpravě
( b1
+ b2
) ⋅ x&
1 − b2x
2 + ( k1
+ k 2 ) ⋅ x1
− k 2x
2 1
1&
x
1 + &
F
m =
m & & &
=
(14.27)
2x
2 − bx1
+ b2x
2 − k1x1
+ k 2x
2 F2
a v maticovém tvaru
m
⎡ 1
⎢
⎣ 0
0 ⎤ ⎡ ⎤ ⎡
⎥ ⋅
&& x1
⎢ ⎥ +
m
⎢
2 ⎦ ⎣
&& x 2 ⎦ ⎣
( b + b ) − b ⎤ ⎡x&
⎤ ⎡( k + k )
1 2
− b2
b
2
2
⎥ ⋅
⎦
1
⎢ ⎥ + ⎢
⎣x
&
2 ⎦ ⎣
1 2
− k 2
− k 2 ⎤ ⎡x1
⎤ ⎡F1
⎤
⎥ ⋅ ⎢ ⎥ =
k
⎢ ⎥
2 ⎦ ⎣x
2 ⎦ ⎣F2
⎦
(14.28)
Kondenzovaně
[ M ] {} x&
+ [ B] {} x&
+ [ K] {} x = {} F
& (14.29)
kde [ M ] je matice hmotnosti { x } je matice výchylek
[ B ] je matice tlumení { F } je matice budících sil
[ K ] je matice tuhosti
73

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
Pomocí maticového vyjádření je možno popsat jakoukoli soustavu se soustředěnými parametry s nº
volnosti.
14.2.2. Volné kmitání netlumené soustavy
Pohybové rovnice
[ M ] {} x&
+ [ K] {} x = {} 0
& (14.30)
Řešení předpokládáme ve tvaru
kde { C}
{} { C} Ω t
x 0
= sin (14.31)
T
⎡
⎤
= ⎢C
, C2 , ... , C n ⎥
⎣
⎦
1 a C i jsou amplitudy kmitání a Ω 0 vlastní kruhová frekvence.
Po výpočtu druhé derivace, dosazením do rovnic (14.30) a po vykrácení
sin Ω 0 t obdržíme
soustavu homogenních algebraických rovnic.
2
[ ] − Ω 0 [ M
] { C} = { 0}
K (14.32)
Pro netriviální řešení musí být determinant soustavy roven nule.
[ K] − Ω [ ] 2
0 M = 0
det (14.33)
Rozvedení determinantu získáme frekvenční rovnici
2n
2( n−1)
2
an Ω0 + an
1Ω
+ ... + a1Ω0
+ a0
= 0
(14.34)
−
0
Pro pozitivně definitní matice [ M ] a [ K ] jsou kořeny reálné, různé a nezáporné hodnoty, které
určují vlastní kruhové frekvence
0 ≤ Ω01
≤ Ω02
≤ ... ≤ Ω0n
.
Znalost vlastních kruhových frekvencí je důležitá z hlediska zabránění rezonančních jevů.
14.2.3. Kmitání vynucené budícími silami harmonického průběhu
14.2.3.1. Netlumená soustava
Pohybová rovnice
[ M] {} x&
+ [ K] {} x = { F } sin ωt
& (14.35)
0
74

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
kde { F }
T
⎡
⎤
= ⎢F1 , F2 , ... , F n ⎥
⎣
⎦
0 je matice amplitud budících sil.
Pro ustálené kmitání odhadneme řešení ve tvaru
{} x = {} S sin ωt
T
⎡
⎤
kde {} S = ⎢S1 , S2.
... , S n ⎥ je matice amplitud ustáleného vynuceného kmitání (14.36)
⎣
⎦
Po výpočtu druhé derivace, dosazení do (14.35) a vykrácení sin ωt
obdržíme
2
[ ω [ M ] + [ K
] {} S = { }
− (14.37)
2 F0
[ D ] {} S = { }
F 0
kde [ D ] je matice dynamické tuhosti. (14.38)
Za předpokladu, že det [ D] ≠ 0 , můžeme vypočítat inverzní matici [ D ] 1
poddajnosti. S její pomocí vypočteme amplitudy ustáleného vynuceného kmitání
{} S [ D
−1 = ] { F0 }
−
, tzv. matici dynamické
14.2.3.2 Tlumená soustava
Vyjdeme z pohybové rovnice (14.29)
[ M ] {} & x
+ [ B] {} x&
+ [ K] {} x = {} F
V odhadu partikulárního řešení pro ustálené vynucené kmitání tlumené soustavy musíme
respektovat fázové posunutí výchylek za budícími silami φ x .
kde { S }
{} x = {} S ( ωt
+ φx ) = { S } sin ωt
+ { S } cos ωt
sin 1 2
(14.39)
T
⎡
⎤
1 = ⎢S11
S12
..., S1n
⎥
⎣
⎦
, , a { S }
T
⎡
⎤
2 = ⎢S
21 S22
, ..., S2n
⎥
⎣
⎦
, (14.40)
Po výpočtu první a druhé derivace, dosazení do (14.29) a srovnání členů u
dvě maticové rovnice
− ω
− ω
2
2
[ M ] { S } − ω[ B] { S } + [ K] { S } = { F }
1
[ ] { S } + ω[ B] { S } + [ K] { S } = { 0}
2
2
1
1
2
0
sin ωt
a cos ωt
obdržíme
M (14.41)
Vyjádřeno jedinou maticí
[ K] − ω [ M] − ω[ B]
ω[ B] 2
[ K] − ω [ M]
⎡
⎢
⎢⎣
{ S1}
{ S }
{ }
2 ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ F0
⎥ ⋅ ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ ⎫
⎥⎦
⎩ 2 ⎭ ⎩ {} 0 ⎭
[ ] { S } { }
D = (14.42)
1 , 2 1,
2 F1 , 2
a pro det[ D ] 0
1,
2 ≠
75

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
1
= (14.43)
−
1, 2 1,
2 F1 , 2
{ S } [ D ] { }
Pak amplitudy ustálených vynucených kmitů budou rovny
i
2 2
1i
S2
i
S = S + , kde i = 1 až n (14.44)
14.2.4. Kroutivé kmitání
S kroutivým kmitáním se setkáváme u pohonů. Nejjednodušší pohon představuje motor, spojka
a rotor strojního zařízení., obr. 14.9a.
J 1
J 2
J
φ 3
1
φ 2 φ 3
a) b)
Obr. 14.9
k t1
k t2
M 1 M 3
Mechanický model (obr. 14.9b) je tzv. torzní soustava o 3º volnosti, kde J 1 je moment setrvačnosti
rotoru motoru, J 2 moment setrvačnosti spojky, J 3 moment setrvačnosti rotoru strojního zařízení, k t1
torzní tuhost hřídele motor – spojka, k t2 torzní tuhost hřídele spojka – rotor strojního zařízení, M 1 a M 2
jsou budící momenty.
Pohybové rovnice netlumené soustavy
( ϕ1
− ϕ2
) 1
⋅( ϕ − ϕ ) + ⋅( ϕ − ϕ ) 0
J ϕ& & t =
1 1 + k 1 ⋅ M
J & k t k
(14.45)
2 ϕ2
− 1 1 2 t2
2 3 =
( ϕ2
− ϕ3
) 3
J ϕ& & t =
3 3 − k 2 ⋅ M
Maticově.
⎡J1
0 0 ⎤ ⎡ϕ&&
1 ⎤ ⎡ k t1
⎢
⎥
⋅
⎢ ⎥
+
⎢
⎢
0 J2
0
⎥ ⎢
ϕ&&
2 ⎥ ⎢
− k t1
⎢⎣
0 0 J3
⎥⎦
⎢⎣
ϕ&&
3 ⎥⎦
⎢⎣
0
Kondenzovaně
− k t1
( k + k )
t1
t2
− k t2
0 ⎤ ⎡ϕ1
⎤ ⎡M1
⎤
− k
⎥ ⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
t2
⎥
⋅
⎢
ϕ2
⎥ ⎢
0
⎥
k t2
⎥⎦
⎢⎣
ϕ3
⎥⎦
⎢⎣
M3
⎥⎦
[] J {} ϕ& + [ k t ] {} ϕ = { M}
& (14.46)
kde [] J je matice momentů setrvačnosti { ϕ } je matice natočení
[ k t ] je matice torzních tuhostí { M}
je matice budících momentů
76

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
Ze srovnání s pohybovou rovnicí posuvně kmitající soustavy (14.29) plyne, že rovnice jsou
analogické. Všechny postupy řešení, uvedené pro posuvně kmitající soustavy, lze rozšířit na kmitání
kroutivé.
14.3. Krouživé kmitání hřídelů – kritické otáčky
Hřídele i rotory tvoří důležitou součást elektrických rotačních strojů. V této kapitole se budeme
věnovat pružným rotorům, u kterých je průhyb hřídele od odstředivých sil nezanedbatelný vzhledem
k vyosení těžiště rotoru. Nejjednodušší mechanický model je pružný nehmotný hřídel s kotoučem v
polovině jeho délky obr. 14.10. Po roztočení rotoru v důsledku vyosení těžiště e se působením
odstředivé síly hřídel prohne o průhyb y.
Pak velikost odstředivé síly bude:
m
•
y
Obr. 14.10
•
ω
T
e
Fo
2
( y + ) ⋅ω
F o = m⋅
e
(14.47)
kde m je hmotnost kotouče a ω úhlová rychlost rotoru.
Označíme-li ohybovou tuhost hřídele jako k o , pak pro
rovnováhu bude platit
F = k ⋅ y
(14.48)
o
o
Po dosazení za F o a úpravě obdržíme
2
0
2
ω
y = e⋅
Ω − ω
2
k 0
kde Ω 0 = je vlastní kruhová frekvence ohybového
m
kmitání.
V bezrozměrném tvaru
y
e
=
η
2
1−
η
2
, kde
η =
ω
Ω 0
Graficky je tato závislost zakreslena v obr. 14.11.
y
e
1
0 1
Obr. 14.11
η
77

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
V podkritické oblasti ω < ω k je těžiště kotouče ve větší vzdálenosti od spojnice ložisek, než osa
hřídele. V nadkritické oblasti ω > ω k se situace obrací a těžiště je blíže k ose rotoru, než osa hřídele.
Při vysokých úhlových rychlostech se bude těžiště kotouče blížit ose rotace, teoreticky pro ω = ∞ bude
na této ose ležet.
78

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A
───────────────────────────────────────────────────
Literatura
1. Juliš, K.- Tepřík, O.- Slavík-, A.: Statika, Praha, SNTL/ALFA 1987, 265 s.
2. Brát, V.-Rosenberg, J.-Jáč, V.: Kinematika, Praha, SNTL/ALFA 1987, 251 s.
3. Brousil, J.-Slavík, J.-Zeman, V.: Dynamika, Praha SNTL 1989, 328 s.
4. Slavík, J.-Stejskal, V.-Zeman, V.: Základy dynamiky strojů, Praha, Vydavatelství ČVUT,
ISBN 80-01-01622-6, 319 s.
79