matematika

POKLICNO-TEHNIŠKO IZOBRAŽEVANJE (PTI)KATALOG ZNANJAMATEMATIKA206 do 242 urDoločil Strokovni svet Republike Slovenije za splošno izobraževanje na 99. seji dne 15. 2. 2007.KAZALOI. UVOD...............................................................................................................................................3II. UDEJANJANJE KLJUČNIH KOMPETENC PRI PREDMETU MATEMATIKA......................3III. USMERJEVALNI CILJI, KLJUČNE KOMPETENCE, USMERITVE ZA RAZVIJANJEKLJUČNIH KOMPETENC..........................................................................................................43.1 Usmerjevalni cilji....................................................................................................................43.2 Ključne kompetence................................................................................................................43.3 Usmeritve za razvijanje in evalviranje ključnih kompetenc ...................................................5Pristop .....................................................................................................................................5Razvijanje in evalviranje ključnih kompetenc........................................................................6Diferenciacija ..........................................................................................................................8Povezava s stroko in drugimi predmeti...................................................................................8Tehnologija .............................................................................................................................9Vloga učitelja matematike ......................................................................................................9IV. OPERATIVNI CILJI ...................................................................................................................101. tema: ŠTEVILA ........................................................................................................................111.1 Osnovna znanja o številih ....................................................................................................111.2 Kompleksna števila (izbirni tematski sklop).......................................................................122. tema: GEOMETRIJA................................................................................................................132.1 Osnovni geometrijski pojmi v ravnini in prostoru...............................................................132.2 Transformacije v ravnini......................................................................................................142.3 Geometrijski liki ..................................................................................................................152.4 Kotne funkcije ostrih kotov..................................................................................................162.5 Geometrijska telesa..............................................................................................................172.6 Krivulje II. reda (izbirni tematski sklop) .............................................................................182.7 Vektorji (izbirni tematski sklop)..........................................................................................193. tema: FUNKCIJE, ENAČBE IN DIFERENCIALNI RAČUN ................................................203.1 Funkcija in enačba ...............................................................................................................203.2 Linearna funkcija in linearna enačba ...................................................................................223.3 Potenčne funkcije in potenčne enačbe .................................................................................233.4 Kvadratna funkcija in kvadratna enačba..............................................................................253.5 Polinomi...............................................................................................................................261

I. UVODMatematika kot veda, ki je neločljivo povezana z drugimi vedami in vsemi področji življenja, imapomembno vlogo v splošnem izobraževanju posameznika. Pouk matematike je pomemben, ker prinjem dijaki spoznavajo in razvijajo zahtevnejše načine razmišljanja (npr. deduktivno razmišljanje)ter hkrati spoznavajo matematične pojme in postopke, ki so nepogrešljivi za vključenost indelovanje v sodobni družbi.Pouk matematike v poklicno tehniškem izobraževanju upošteva značilnosti posameznih strokovnihpodročij in potrebe dijakov. Obenem upošteva kompetence in znanje dijakov, ki so jih razvili vsrednjem poklicnem izobraževanju.Vsa strokovna področja so vse bolj matematizirana, vendar pa je matematika v njih čedalje manjvidna, saj se skriva v tehnologiji (računalniških programih, matematičnih modelih, strojih inizdelkih). Za opravljanje določenih dejavnosti je zato vedno manj pomembno obvladovanjeračunanja in določenih matematičnih postopkov, vedno pomembnejša pa sta razumevanjematematičnih pojmov, sposobnost povezovanja matematičnega znanja z danimi situacijami nanekem strokovnem področju in zmožnost reševanja strokovnih problemov. To je osnova zakompetentno uporabo tehnoloških orodij, ki so danes na voljo in ki opravijo večji del osnovnihmatematičnih postopkov.Za dijake, ki zaključijo poklicno tehniško izobraževanje, je pomembno dvoje. Na eni strani naj jimpridobljeno matematično znanje in kompetence, ki jih razvijejo, nudijo stabilno orientacijo vopravljanju dejavnosti na lastnem strokovnem področju, na drugi strani pa naj bo to znanje dovoljsplošno, da jim omogoča nadaljnje izobraževanje. Pri pouku matematike je treba upoštevati tudistrukturo dijakov, njihove specifičnosti in možnosti, ter dejavnosti pri pouku organizirati na taknačin, da so dijakom dovolj blizu, povezane s specifiko njihove stroke, z drugimi področji in zživljenjem. Dijake vzgajamo tudi k natančnosti, sistematičnosti, doslednosti, urejenosti invztrajnosti pri delu.II. UDEJANJANJE KLJUČNIH KOMPETENC PRI PREDMETU MATEMATIKAKljučne kompetence se udejanjajo skozi ključne kompetence predmeta matematika, ki izhajajo izglobalnih ciljev predmeta in so zapisane v III. poglavju v razdelku 3.2.3

III. USMERJEVALNI CILJI, KLJUČNE KOMPETENCE, USMERITVE ZARAZVIJANJE KLJUČNIH KOMPETENC3.1 Usmerjevalni cilji1. Doseganje čim višje stopnje matematične pismenosti udeležencev izobraževanja. S pojmom'matematična pismenost' razumemo:a. poznavanje, razumevanje in suvereno delo s številskimi in geometrijskimi pojmi,operacijami ter odnosi med njimi;b. razumevanje informacij, ki so podane z matematičnimi sredstvi (diagrami, tabelami,obrazci) ter uporabo matematike in matematičnih sredstev pri komuniciranju;c. zmožnost specifičnega dojemanja in razlaganja različnih pojavov ter interpretacijeresničnosti;č. zmožnost reševanja matematičnih problemov in zmožnost kritične uporabe matematičnihpojmov, sredstev, tehnoloških orodij in modelov na drugih področjih;d. pozitiven odnos do matematičnih znanj, učenja in uporabe matematike ter zavedanjepomembnosti matematike kot kulturne vrednote.2. Razvijanje in usvojitev matematičnih znanj, ki so potrebna za uspešno učenje drugih predmetovin uspešno opravljanje dejavnosti znotraj stroke, v kateri se dijaki izobražujejo.3. Razvijanje abstraktnega in deduktivnega matematičnega mišljenja, kar je pomembno zanadaljnje izobraževanje.3.2 Ključne kompetenceCilje matematike v poklicno tehniških programih dosegamo z razvijanjem določenih ključnihkompetenc; zapisane so v nadaljevanju skupaj z osnovnimi smernicami za doseganje.Kompetence• Razumevanje in zmožnost zauporabljanje osnovnihmatematičnih pojmov, odnosovmed njimi in izvajanje postopkov• Zmožnost za raziskovanje inreševanje matematičnihproblemov• Zmožnost za generaliziranje inabstrahiranje ter reševanjeproblemov na splošni aliabstraktni ravni• Zmožnost za interpretiranje inkritično presojo pri uporabljanjumatematike na strokovnih indrugih področjihPouk naj zajemaObravnavo področij:• števila in operacije,• odnosi med količinami (funkcije),• algebra (izrazi s spremenljivkami, enačbe),• merjenja, ravninska in prostorska geometrija ter kotnefunkcije.• delo s podatki.Uporabo:• navadnega računala, grafičnega računala inračunalniških programov pri izvajanju matematičnihpostopkov ter pri raziskovanju in reševanjumatematičnih problemov.Situacije, pri katerih dijaki razvijajo:4

• Zmožnost za uporabljanjematematičnih orodij prisporazumevanju• Zmožnost za uporabljanjetehnologije pri izvajanjumatematičnih postopkov ter priraziskovanju in reševanjumatematičnih problemov• Zmožnost za zbiranje,organiziranje in analiziranjepodatkov• Zmožnost za načrtovanje inorganiziranje delovnih postopkov• Zmožnost za sodelovanje in delov timu• Odgovornost za lastno znanje inzmožnost samostojnega učenjamatematičnih znanj.• Sprejemanje in doživljanjematematike kot kulturne vrednote• Zaupanje v lastne matematičnesposobnosti in razvijanjepozitivne samopodobe• presojo primernosti uporabe matematičnih orodij(modelov) v stroki in na drugih področjih,• zmožnost za interpretiranje matematičnih izračunov inanaliz v stroki in na drugih področjih,• kritično presojo pri apliciranju matematičnih izračunovv stroki in na drugih področjih,• poznavanje strategij reševanja zaprtih in odprtihmatematičnih problemov,• zmožnost za posploševanje, abstraktno mišljenje inuporabo simbolnega matematičnega jezika,• zmožnost za načrtovanje reševanja problemov vmatematičnem kontekstu in kontekstu stroke,• zmožnost za raziskovanje problemov v matematičnemin ne- matematičnem kontekstu,• vztrajnost, sistematičnost, natančnost, kritičnost,odgovornost in pridobivajo občutek za orientacijo inumeščenost v spreminjajočem se svetu informacij.Dejavnosti in situacije:• pri katerih dijaki rešujejo matematične naloge v timu,• pri katerih dijaki rešujejo matematične naloge vkontekstu kompleksnih poklicnih in življenjskihsituacij,• ki so dijakom blizu, so zanje pomembne, zanimive inpri katerih se lahko izkažejo.3.3 Usmeritve za razvijanje in evalviranje ključnih kompetencPristopV poklicno tehniških programih pri poučevanju uporabljamo različne pristope, pri čemer glede naobravnavano temo izberemo najustreznejšega:• Induktivni pristop, pri katerem izhajamo iz konkretnih situacij, ki so dijakom dobro razumljive,tako da ob njih lahko dijak suvereno matematično razmišlja. Uporabljamo tudi didaktičnemateriale. Iz konkretnega nivoja se nato dvignemo na abstraktno raven;• Deduktivni pristop, pri katerem je poudarek na teoretično-matematični osnovi, dokazovanju inkasnejšem apliciranju;• Prepletanje induktivnega in deduktivnega pristopa, pri čemer izhajamo iz realnih situacij ter zvključevanjem deduktivnega razmišljanja lastnosti abstrahiramo in jih dokažemo.5

Razvijanje in evalviranje ključnih kompetencKljučne kompetence Razvijanje kompetence Evalviranje kompetence• Razumevanje in zmožnost zauporabljanje osnovnihmatematičnih pojmov,odnosov med njimi inizvajanje postopkov• Zmožnost za raziskovanje inreševanje matematičnihproblemov• Zmožnost za generaliziranjein abstrahiranje ter reševanjeproblemov na splošni aliabstraktni ravniPrimerni načini evalviranjakompetence so:• pisni preizkusi,• ustno spraševanje oz.preverjanje s pogovorom,• seminarske naloge.• Zmožnost za zbiranje,organiziranje in analiziranjepodatkov• Zmožnost za uporabljanjematematičnih orodij prisporazumevanjuPri pouku matematike vpoklicno tehniških programihrazvijamo tako abstraktnodeduktivnoznanje s sukcesivnoaplikacijo kot tudi izkušenjskorefleksivnoučenje s sukcesivnimposploševanjem in abstrakcijo.Nekatere matematične vsebineoz. znanja torej razvijamo vmatematičnem kontekstu (čeodmislimo morebitnemotivacijske prvine), nato paprikažemo njihovo uporabo zmanj in bolj zahtevnimi inrealističnimi primeri.Pri obravnavi drugihmatematičnih vsebinizhajamo iz situacij, ki sodijakom znane in razumljive.Generaliziranje in abstrahiranjematematičnih pojmov pravilomapoteka ob navezavi naobravnavano situacijo.Problemske situacije, s katerimise srečujejo dijaki, segajo odpovsem matematičnih situacij dosituacij, ki se navezujejo nastrokovna znanja oz. nakontekst, ki je dijakom domač.Poudarjamo: razumevanjepreprostejših in zahtevnejšihmatematičnih pojmov,razumevanje in izvajanjepreprostih postopkov,navezovanje pojmov inpostopkov na strokovne in drugekontekste, poznavanje dijakomrazumljivih strategij, izvajanjekompleksnih postopkov stehnološkimi pripomočki.Dijaki naj se srečujejo skompleksnimi nalogami, prikaterih so podatki podani in/alije podatke treba predstaviti narazlične načine (v tabelah, raznihdiagramih, v besedilu).Dijaki naj se srečujejo znalogami, pri katerih jePri evalviranju kompetence smopozorni na:• opisovanje situacij zustreznimi matematičnimipojmi,• povezovanje situacij zmatematičnimi pojmi (tudizahtevnejšimi), postopki instrategijami,• izbiro in pravilno izvajanjepostopkov,• raven abstraktnosti dijakoveobravnave, elementededuktivnega sklepanja tersistematičnost postopka,• izbiro in izvedbokompleksnih postopkov oz.strategij ob uporabitehnoloških pripomočkov,• utemeljevanje izbirepostopkov, strategijreševanje nalog inpravilnosti rešitve naloge.Primerni načini evalviranjakompetence so:• kompleksne naloge v pisnihpreskusih,• matematična in empiričnapreiskovanja (tj. obravnavaodprtih problemov - odzbiranja podatkov in6

Ključne kompetence Razvijanje kompetence Evalviranje kompetencepodatkov veliko, nalogami, prikaterih je podatkov preveč, intudi z nalogami s premalopodatki (morajo jih najti sami).Dijaki naj se srečujejo znalogami, pri katerih morajosami zbirati in urejati podatke,dobljene z merjenjem ali izsekundarnih virov.postavljanja vprašanj doizdelave in predstavitveporočila),• projektne naloge.Pri evalviranju kompetence smopozorni na:• celovitost obravnave inprimernost načrta obravnave,Navedena znanja dijaki usvojijo • procesna znanja vv predhodnem izobraževanju, posameznih delih obravnave,zato jih predvsem utrjujemo s • ustreznost in zahtevnostprimernimi nalogami, v okviru prijemov pri zbiranju inpreiskovanj pri poukuanalizi podatkov,matematike ¸ter medpredmetnih • utemeljenost ugotovitev terprojektov.kritičnost pri obravnavizbranih podatkov in• Zmožnost za uporabljanjetehnologije pri izvajanjumatematičnih postopkov terpri raziskovanju in reševanjumatematičnih problemovDijake poučujemo, kako najsmiselno uporabljajo različnatehnološka orodja. Temeljninamen uporabe tehnologije jepodpora pri reševanjukompleksnejših problemov in priizvajanju za dijake zelozahtevnih opravil. Ni mišljeno,da bi uporabljali tehnologijo zapremostitev težav pri izvajanjurutinskih matematičnihpostopkov (npr. risanje grafalinearne funkcije).S tehnologijo obravnavamokompleksnejše, realistične alikonceptualno zahtevnejšeprobleme, ki so za dijake rešljivile ob uporabi tehnologije. Dijakesoočamo s poklicnimisituacijami, pri katerih zareševanje matematičnihproblemov uporabljajotehnologijo.interpretaciji ugotovitev.Primerni načini evalviranjakompetence so:• matematične in empiričnepreiskave,• projektne naloge,• pisni preizkusi,• ustno spraševanje oz.preverjanje s pogovorom.• Zmožnost za interpretiranjein kritično presojo priuporabljanju matematike nastrokovnih in drugihpodročjih• Zmožnost za načrtovanje inorganiziranje delovnihDijaki se srečujejo z bolj in manjzahtevnimi primeri modeliranja,predvsem takega, ki je povezanoz njihovim poklicem. Primodeliranju poudarjamomatematični vidikmatematičnega modela, uporaboPrimeren način evalviranjakompetenc so:• reševanje zahtevnejših nalog,povezanih s stroko, pripouku matematike,• izdelava projektne naloge vokviru matematike oz. v7

Ključne kompetence Razvijanje kompetence Evalviranje kompetencepostopkov• Zmožnost za sodelovanje indelo v timumodela in kritično presojoprimernosti modela,povezovanje.okviru več predmetov.• Odgovornost za lastnoznanje in zmožnostsamostojnega učenjamatematičnih znanj• Sprejemanje in doživljanjematematike kot kulturnevrednote• Zaupanje v svoje lastnematematične sposobnosti inrazvijanje pozitivnesamopodobeDijaki obravnavajo obširnejše(ne nujno zahtevnejše) problemev okviru matematike in tudidrugih predmetov. Reševanjeproblemov naj poteka v timu innaj zajema tudi načrtovanje dela.Pri pouku matematike se dijakisrečujejo tudi s situacijami, kiso zanje pomembne, zanimive, vkaterih se lahko izkažejo in obkaterih spoznajo, da poznavanjematematike omogoča boljšerazumevanje sveta in v temsmislu bolj kakovostno življenje.-DiferenciacijaV pouk matematike v poklicno tehniških programih sta uvedeni dve vrsti diferenciacije.1) Izbirnost tematskih sklopov glede na izobraževalni programKatalog znanja opredeljuje OBVEZNE in IZBIRNE tematske sklope. Obvezni tematski sklopise obravnavajo v vseh programih srednjega strokovnega izobraževanja, izbirni tematski sklopipa se obravnavajo po izbiri programa ali šole. Šola jih lahko izbere glede na potrebeizobraževalnega programa oz. druge okoliščine. Za realizacijo izbirnih tematskih sklopov jepotrebno v izvedbenem kurikulu zagotoviti dodatne ure pouka matematike.2) Diferenciacija znanj glede na izbiro pri poklicni maturiDijakom, ki izberejo matematiko kot enega od predmetov na poklicni maturi, naj šola zagotovipoglabljanje in utrjevanje pridobljenega znanja po možnosti z zunanjo diferenciacijo v zadnjemletniku. Ob tem naj se zagotovi tem dijakom tudi dodatne ure pouka matematike.Povezava s stroko in drugimi predmetiPouk matematike naj upošteva povezave s stroko in drugimi področji. Te povezave so večstranskein večplastne:• Nekatere matematične pojme dijaki srečajo pri drugih predmetih pred obravnavo pri poukumatematike. V tem primeru obravnava pri drugih predmetih pripomore k osmišljanju tehmatematičnih pojmov ter k boljšemu in globljemu razumevanju pojmov pri pouku matematike.• Nekatere pojme spoznavajo dijaki najprej pri pouku matematike. V tem primeru obravnava istevsebine pri drugem predmetu pripomore k spoznavanju uporabe matematike.8

• V nekaterih primerih pa matematične vsebine dijaki spoznavajo hkrati pri matematiki in kakemdrugem predmetu (npr. pri projektih).Pri vseh načinih uvajanja pojmov, še posebej pa v zadnjem primeru, je nujno sodelovanje medučiteljem matematike in drugimi učitelji, ki naj temelji na načelih timskega dela.TehnologijaTako za uspešno poklicno delo na izbranem strokovnem področju kot tudi za uspešno nadaljnjeizobraževanje je pomembna zmožnost kompetentne uporabe tehnologije pri reševanju matematičnihproblemov. Zato se dijaki pri pouku matematike učijo uporabe navadnih in grafičnih računal terračunalniških programov in jih uporabljajo. Uporablja se različna računalniška orodja, npr.:programe dinamične geometrije, programe za simbolno računanje, računalniške preglednice,programe za tridimenzionalno modeliranje, programe za obravnavo specifičnih učnih vsebin indruge, na posameznem strokovnem področju uveljavljene programe, ki omogočajo učenje aliuporabo matematike.Uporaba tehnologije omogoča obravnavo kompleksnejših in realističnih situacij ter učenjezahtevnejših matematičnih strategij. Zmožnost uporabe tehnologije je pomembna tudi za uspešnodelo pri drugih predmetih. Tehnologijo pri pouku matematike uporabljamo tudi zato, da omogočimoučenje matematike dijakom, ki bi jih skromnejše računske spretnosti ali specifični primanjkljaji vznanju ovirali pri nadaljnjem učenju.Vloga učitelja matematikeUčitelj matematike v poklicno tehniških programih naj bo del »strokovnega okolja« na šoli. Bitimora dobro seznanjen s strokovnim področjem, za katerega se dijaki izobražujejo. Poznati moratehnologijo njihove dejavnosti, terminologijo, dogovore in oblike dela, organizacijo dela idr., ker bole tako znal avtentično in verodostojno vključevati elemente strokovnega področja v poukmatematike. Na ta način bo bolje razumel dijake in tudi dijaki bodo laže sprejemali njega inmatematiko, ki jo poučuje, kot pomemben sestavni del svoje stroke in življenja.Učitelj matematike naj timsko sodeluje z učitelji stroke in drugih predmetov pri načrtovanju inizvajanju pouka. Kot član tima poglablja svoj uvid v stroko in druge predmete, sam pa drugimučiteljem približa filozofijo pouka matematike in matematične kompetence, pomembne za uspešnodelovanje in napredovanje dijakov pri izobraževanju, na strokovnem področju in v vsakdanjemživljenju. Načrtovanje dejavnosti in pouka je tako usklajeno in smiselno ter dijakom omogočaustrezen razvoj matematičnega znanja in kompetenc.Za uspešen razvoj kompetenc je pomembno, da med udeleženci učnega procesa vlada spoštljiv inkorekten odnos, v katerem so jasno razmejene pravice in odgovornosti tako učitelja kot dijakov.Dijaki naj imajo možnost sodelovati pri načrtovanju aktivnosti za pouk matematike in najsodelujejo tudi pri pripravi teh aktivnosti (priprava materialov ali iskanje gradiv). Učiteljimatematike naj dijake usmerjajo v reflektirane aktivnosti in kritično razmišljanje ter jim dajejomožnost izbiranja in odločanja. S takšnim pristopom dijaki razvijajo višjo mero odgovornosti zalastne odločitve in lastno znanje.9

1. tema: ŠTEVILA1.1 Osnovna znanja o številihPovezani cilji iz SPIDijak pozna naravna,cela, racionalna in realna števila, loči te množice števil in razume odnos med njimi ( N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ).Števila predstavi na različne načine (s števkami, z besedami, s točkami na številski premici). Na številski premici uredi števila. Pozna imena računskihoperacij in uporablja osnovne računske zakone pri računanju vrednosti številskih izrazov. Računa z navadnim računalom. Danemu številu določinasprotno in obratno število. Ulomek izrazi v decimalni obliki, razlikuje končna in periodična decimalna števila in pretvarja decimalna števila v desetiškiulomek in obratno. Pozna relacijo deljivosti in osnovni izrek o deljenju.Pozna pojem delitelja in večkratnika. Določa delitelje, večkratnike, največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik števil, pri tem uporablja tudiEvklidov algoritem. Loči soda in liha števila in pozna kriterije deljivosti s števili: 2, 5, 3, 9, 10 in 10 n . Pozna potenco z naravnim in celimeksponentom in računa s takimi potencami.Rešuje preproste neenačbe.Računa z izrazi s spremenljivkami: sešteva, odšteva, množi veččlenike, računa kvadrat dvočlenika, produkt vsote in razlike dveh členov. Izpostavljaskupni faktor in razstavi razliko kvadratov. Računa vrednost izraza s spremenljivkami za dane vrednosti spremenljivk.Dijak pozna pojem odstotek. Pozna pojem premo in obratno sorazmerne količine. Uporablja sklepni račun.Računa s kvadratnimi in kubičnimi koreni in pri tem uporablja numerično računalo.Dijak določa absolutno vrednost števila.Operativni cilji Opis ciljev Primeri dejavnosti za pouk in priporočilaDijak ponovi osnovne pojme, Dijak uporablja vse računske operacije s števili Učitelj izdela načrt dejavnosti, s katerimi dijakipostopke in operacije s števili (izsamostojno ponovijo osnovne pojme, postopke inSPI ).operacije s števili. Učitelj diagnosticira predznanjedijakov, po potrebi dopolni vrzeli ali pomaga dijakomDijak računa z algebrskimi izrazi. Dijak izračuna vrednost izraza s spremenljivkami.Poenostavi izraz s spremenljivkami (sešteva, odšteva inmnoži enočlenike in veččlenike).Računa kvadrat in kub dvočlenika in razstavljapreproste algebrske izraze. Pri tem uporablja operacije:izpostavljanje skupnega faktorja, razstavljanje razlikekvadratov, razlike in vsote kubov ter razstavljanjetričlenikov po Vietovem pravilu.Izvaja operacije s preprostimi algebrskimi ulomki.Poenostavlja sestavljene (dvojne) ulomke in računa znjimi.odpraviti napačne predstave.Preveriti in upoštevati moramo predznanje iz SPINajprej dobro utrdimo posamezne izraze.Dijak naj računa tudi s »sestavljenimi« izrazi(kvadriranje, kubiranje, množenje, razstavljanje …).Urjenje lahko učinkovito poteka v skupinah.Spozna naj tudi računalniške programe za simbolnoračunanje.Poudarek je na krajšanju in razširjanju algebrskihulomkov.11

Dijak pozna pojem interval.Dijak pozna in razume pojemabsolutna vrednost realnegaštevilaDijak pozna korene poljubnihstopenj in računa z njimi.Dijak računa s potencami zracionalnimi eksponenti.Dijak pozna pojem interval in predstavi oz. zapišeinterval na različne načine: grafično na realni osi, zuporabo znakov za neenakosti, z množicami.Dijak rešitev neenačbe zapiše z intervalom.Dijak pozna in razume definicijo absolutne vrednosti.Upošteva lastnosti absolutne vrednosti in računa z izrazi,v katerih nastopajo absolutne vrednosti. Rešuje preprosteenačbe in neenačbe z absolutno vrednostjo. Loči medabsolutno in relativno napako.Dijak računa korene poljubnih stopenj, pri tem uporabljanumerično računalo. Smiselno ocenjuje pričakovanirezultat in kritično vrednoti dobljeno rešitev.Poenostavlja številske in algebrske izraze, v katerihnastopajo koreni poljubnih stopenj.Dijak preoblikuje koren v potenco z racionalnimeksponentom in potenco z racionalnim eksponentom vkoren.Računa s potencami z racionalnimi eksponenti vštevilskih in algebrskih izrazih.Dijaki uporabljajo različne simbolne zapise intervalov.Poudarimo »geometrijsko« ponazoritev absolutnevrednosti. Rešujemo le številske izraze z absolutnovrednostjo in preproste enačbe ter neenačbe. Poudarimouporabo določanja absolutne in relativne napake vstroki.Dijaki imajo predznanje iz SPI, a pred vpeljavo korenovvišjih stopenj je smiselno preveriti in obnovitipoznavanje kvadratnih in kubičnih korenov.Dijak naj se nauči uporabljati navadno računalo priračunanju s koreni višjih stopenj.Dijak naj se nauči uporabljati navadno računalo priračunanju s potencami z racionalnimi eksponenti.1.2 Kompleksna števila (izbirni tematski sklop)Operativni cilji Opis ciljev Primeri dejavnosti za pouk in priporočilaDijak razume potrebo po vpeljavikompleksnih števil in zna zapisatikompleksno število.Dijak pozna in razume zapis z = a + biPonazori kompleksno število (s točko, z vektorjem) vkompleksni ravnini. Dijak ponazori množicePokažemo potrebo po kompleksnih številih in njihovpomen v matematiki in stroki.Dijak računa s kompleksnimištevili.Dijak uporabi kompleksna števila(pri reševanju kvadratne enačbe).kompleksnih števil v kompleksni ravnini.Dijak sešteva, odšteva, množi, deli kompleksna števila.Določi vrednosti potenc imaginarne enote. Določikonjugirano in absolutno vrednost kompleksnega številain oboje ponazori v kompleksni ravnini.Dijak reši kvadratno enačbo z realnimi koeficienti innegativno diskriminanto. Razstavlja izraze v množicikompleksnih števil.Povezava – primerjanje : računanje z dvočleniki,(računanje z vektorji)12

2. tema: GEOMETRIJA2.1 Osnovni geometrijski pojmi v ravnini in prostoruPovezani cilji iz SPI:Odnose med točkami, premicami in ravninami v prostoru dijak opredeli ob modelu in jih grafično prikaže. Razume odnos vzporednosti in pravokotnostipremic in ravnin. Dijak zna opisati lego točke v ravnini in prostoru s pomočjo kartezičnega in polarnega koordinatnega sistema.Dijak uporablja pojme: vrh kota, krak kota (poltrak), vrste kotov (kot nič; polni, iztegnjeni in pravi kot; ostri in topi kot) in pozna odnose med koti(sokota, sovršna kota). Dijak meri kote in računa z njimi (v kotnih stopinjah in minutah) ter jih načrtuje z geotrikotnikom in s šestilom ( 60 ,30 ,15 , 45 ,90 ,120 ) .Operativni cilji Opis ciljev Primeri dejavnosti za pouk in priporočilaDijak ponovi osnovnegeometrijske pojme o točkah,premicah in ravninah izpredhodnega izobraževanja.Učitelj ne poučuje ponovno tistih vsebin, ki sodijo vpričakovano predznanje dijakov, ampak pripraviustrezne dejavnosti za samostojno delo dijakov domain/ali v šoli, pri katerih dijaki znanje obnovijo indopolnijo. Učitelj diagnosticira napačne predstave inDijak sprejme osnovne aksiomegeometrije.Dijak ločuje med aksiomi, izreki,definicijami.Dijak uporablja matematičnijezik.Dijak obnovi znanje o kotih.Dijak pozna aksiome, ki povezujejo točke, premice inravnine.Dijak ve, da izreki izhajajo iz aksiomov in da zdefinicijami opredeljujemo nove pojme, npr. kolinearnetočke, komplanarne točke, konveksne množice točk.Dijak uporablja matematični jezik in strokovnoterminologijo pri definiciji pojmov, opisovanju odnosov,predstavitvi in logični interpretaciji znanih dokazov.Predstavi in interpretira znan dokaz (npr. izrek(i), kigovori(jo) o določenosti ravnine).Ločuje med modeli in koncepti.Dijak pokaže obseg znanja na diagnostičnem preverjanjuv pisni ali ustni obliki.primanjkljaje ter dijakom pomaga, da jih odpravijo.Pri definicijah geometrijskih pojmov in odnosov mednjimi učitelj uporablja vse načine matematičnegovorice:strokovno neoporečna besedna razlaga, predstavitve sprostorskimi modeli, z načrtovanjem oz. slikami in ssimbolnim matematičnim zapisom.Dijaki doumejo aksiome kot temeljne matematičneresnice, na katerih sloni geometrija.Dijak uporablja matematični jezik pri komuniciranju zmatematiko in o matematiki.Primerne oblike dejavnosti so samostojni nastopi,predstavitve, skupinsko delo, projektno delo.Dijaki samostojno ponovijo osnovne pojme o kotu, npr.izdelajo plakat, napišejo izvlečke, seminarsko nalogo,13

Dijak pozna vrste kotov inodnose med njimi.Dijak pozna mere za kot inračuna s koti.Dijak načrtuje kote s šestilom ingeotrikotnikom.Dijak računa komplementarne in suplementarne kote.Prepozna in uporablja odnose med koti ob vzporednicahin koti s pravokotnimi kraki.Dijak nadgradi znanje o kotnih merah, in sicer: računatudi s kotno sekundo, spozna radian in zna pretvarjati izstopinj v radiane in obratno. Pri tem suvereno uporabljanavadno računalo. Na pamet pretvarja stopinje v radiane in obratno pri kotih: ( npr. 60 ,30 ,45 ,90 ,120 ...)Suvereno računa velikosti kotov. Loči med pozitivno innegativno orientiranimi koti.Dijak načrtuje kote do polnega kota z geotrikotnikom ali sšestilom glede na stroko oz. poklic. Dijak pozna pojemsimetrale in načrta simetralo daljice in kota tudi priuporabi programov dinamične geometrije.pripravijo predstavitev z elektronskimi prosojnicami …Učitelj diagnosticira in po potrebi dopolni vrzeli vznanju.Dijaki urijo spretnosti uporabe navadnega računala pripretvarjanju kotnih mer: iz desetiškega v šestdesetiškištevilski sistem in obratno ter iz kotnih stopinj v radianein obratno.Izvajajo se le preprostejše klasične geometrijskekonstrukcije (koti, simetrale daljic in kotov) zgeometrijskim orodjem in v obsegu, ki je pomemben zastroko.2.2 Transformacije v ravniniPovezani cilji iz SPI:Dijak načrta simetralo daljice in kota ter pozna in uporablja lastnosti točk na simetrali. Pozna in upošteva togi premik, vrtež, zrcaljenje in podobnostnepreslikave (razteg). Uporablja Talesov izrek pri delitvi daljice na skladne dele.Operativni cilji Opis ciljev Primeri dejavnosti za pouk in priporočilaDijak ponovi osnovne preslikave vravniniDijak razume in uporablja pojmaskladnost in podobnost.Dijak pozna pojem razmerja in pojem sorazmerjadaljic.Uporabi ustrezne strategije in povezuje vsebineravninske geometrije (npr. izdelava skice, uvid vsituacijo, analiza odnosov, delitev lika v osnovne dele –trikotnike, povezovanje likov in koordinatnega sistema).Osnovni pojmi se ne poučujejo znova. Dijaki jih ssamostojnim delom ponovijo, npr. preveri lastnosti nekegeometrijske konfiguracije (npr. raziskuje simetrije,središčne raztege…). Učitelj diagnosticira in po potrebidopolni vrzeli v znanju.Programe dinamične geometrije uporabljajo dijakipredvsem za samostojno raziskovanje.Vsebine ravninske geometrije se navezujejo nakoordinatni sistem, kjer je to primerno, npr. lega točke,geometrijske transformacije.14

2.3 Geometrijski likiPovezani cilji iz SPI:- Krog in njegovi deli: Dijak pozna in načrta krog (krožnico), tetivo, krožni lok , krožni izsek in krožni odsek. Zna raziskati medsebojno lego premiceinkrožnice ter dveh krožnic.- Trikotnik: Dijak pozna vsoto notranjih in zunanjih kotov, trikotniško neenakost, vrste trikotnikov glede na stranice in kote, višine trikotnika,težiščnice in težišče, Uporablja podobnost in skladnost trikotnikov pri načrtovalnih in računskih nalogah o trikotnikih.- Štirikotnik: Dijak pozna pravokotnik, kvadrat, paralelogram, romb, trapez, enakokraki trapez. Uporablja lastnosti štirikotnikov (odnose medstranicami, koti, diagonale) pri načrtovalnih in računskih nalogah.- Pravilni večkotnik; Dijak pozna lastnosti pravilnih večkotnikov in jih razlikuje glede na število stranic oz. kotov.- Dijak računa obsege in ploščine likov z uporabo obrazcev. Dijak uporablja Pitagorov izrek.- Dijak pozna in pretvarja merske enote za dolžino, ploščino (in tudi za prostornino, čas, maso, temperaturo). .Operativni cilji Opis ciljev Primeri dejavnosti za pouk in priporočilaDijak ponovi definicijegeometrijskih likov in njihovelastnosti.Dijak uporablja zveze med notranjimi in zunanjimi kotitrikotnika ter odnose med stranicami in koti trikotnika.Dijaki samostojno ponovijo osnovne pojme o likih, npr.izdelajo modele likov,izdelajo plakat, napišejo izvlečke,seminarsko nalogo, pripravijo predstavitev zelektronskimi prosojnicami …Učitelj diagnosticira in po potrebi dopolni vrzeli vDijak pozna izrek o obodnem insrediščnem kotu.Dijak ločuje med skladnima inpodobnima trikotnikoma.Dijak načrtuje trikotnike,štirikotnike in pravilnevečkotnike.Dijak pozna in uporablja zvezo med obodnim insrediščnim kotom nad istim lokom (tudi Talesov izrek vpolkrogu) v načrtovalnih in drugih geometrijskihproblemih.Načrtuje tangenti na krog skozi točko zunaj kroga.Dijak pozna aksiom in izreke o skladnih trikotnikih.Pozna tudi definicijo in izreke za podobne trikotnike.Dijak izvede osnovne konstrukcije z geometrijskimorodjem in z opisom oz. zapisom postopka.znanju.Izvajajo se le preprostejše klasične geometrijskekonstrukcije z geometrijskim orodjem in v obsegu, ki jepomemben za stroko.Učitelj uvaja in uporablja pojme, odnose in lastnosti prireševanju problemov, povezanih s stroko inživljenjskimi situacijami.Dijaki samostojno raziskujejo in razvrščajo trikotnikeglede na odnose med stranicami in koti po različnihkriterijih (npr. na osnovi trikotniške neenakosti,velikosti kotov, dolžin stranic).Dijak preveri lastnosti neke geometrijske konfiguracije15

Dijak pozna in uporablja osnovneizreke v ravnini (Pitagorov,Evklidov, višinski, Talesov).Dijak uporablja osnovne izreke za določanje različnihelementov v trikotniku, v konstrukcijskih nalogah in prireševanju kompleksnejših geometrijskih problemov.Predstavi in logično interpretira znan dokaz (npr. vsotanotranjih kotov).(npr. razišče, katere znamenite točke trikotnika lahkoležijo zunaj trikotnika).Obravnava likov in izrekov temelji deloma nadeduktivni metodi in na opisni metodi.2.4 Kotne funkcije ostrih kotovPovezani cilji iz SPI:Dijak določi vrednosti kotne funkcije poljubnega kota z numeričnim računalom in ponazarja vrednosti kotnih funkcij poljubnega kota na enotskikrožnici.Operativni cilji Opis ciljev Primeri dejavnosti za pouk in priporočilaDijak obnovi predznanje o kotnihfunkcijah.Dijak določa vrednosti kotnihfunkcij pri različnih merskihenotah za kote.Dijak pozna in uporablja sinusniin kosinusni izrek.Dijak določa vrednosti kotnih funkcij, če so velikostikotov merjene v kotnih stopinjah (minutah, sekundah)ali radianih. Dijak uporablja točne vrednosti kotnih funkcij za kote 60 ,30 ,45 ,90 ,0 . Uporablja zvezemed kotnimi funkcijami komplementarnih kotov.Uporablja navadno računalo in trigonir.Dijak uporablja sinusni in kosinusni izrek za računanjestranic in kotov trikotnika. Uvidi pomen izrekov, kottemeljnih orodij za razrešitev kateregakoli trikotnika ins tem poljubnega večkotnika. Uporablja navadnoračunalo.Dijaki samostojno ponovijo osnovne pojme in zvezemed kotnimi funkcijami, npr. izdelajo plakat, napišejoizvlečke, seminarsko nalogo, pripravijo predstavitev zelektronskimi prosojnicami …Dijaki obnovijo spretnost uporabe računala pridoločanju vrednosti kotnih funkcij.Učitelj diagnosticira in po potrebi dopolni vrzeli vznanju.Učitelj uporablja različno tehnologijo pri povezovanjukoordinatnega sistema in enotske krožnice. Poudarek jena razumevanju odnosa med velikostjo kota invrednostmi kotnih funkcij ter njihovimi predznaki vrazličnih kvadrantih.Dijaki samostojno preiskujejo in raziskujejo. Pri temuporabljajo tudi programe dinamične geometrije vobsegu, ki je pomemben za stroko.Dijaki urijo razreševanje poljubnega trikotnika vnalogah in problemih iz okolja.16

Dijak računa polmera trikotnikuvčrtanega in očrtanega kroga.Dijak računa dolžine daljic, obsegein ploščine likov.Dijak rešuje kompleksnegeometrijske probleme.Dijak uporablja formule za računanje trikotnikuvčrtanega in očrtanega kroga. Uporablja navadnoračunalo.Dijak računa obseg in ploščino poljubnega trikotnika insestavljenih likov z že znanimi formulami, s Heronovimobrazcem in formulami, ki vključujejo kotne funkcije.Uporablja novo oznako za ploščino likov (S). Rešujetudi indirektne naloge pri iskanju različnih elementov vlikih (npr. višina, diagonala …).Računa dolžine stranic tudi z uporabo sorazmerja. Priizračunih dijak ocenjuje in kritično presoja dobljenevrednosti ter je pozoren na merske enote. Uporabljanavadno računalo.Dijak uporablja ustrezne strategije in povezuje vsebineravninske geometrije (npr. izdelava skice, uvid vsituacijo, analiza odnosov, delitev lika v osnovne dele –trikotnike, povezovanje likov in koordinatnega sistema).Učitelj poišče primere iz življenja, okolja in stroke.Poudarek je na razreševanju splošnega trikotnika,uporabi sinusnega in kosinusnega izreka ter Heronovegaobrazca.Dijaki tudi samostojno preiskujejo in raziskujejo. Pritem uporabljajo tudi programe dinamične geometrije.2.5 Geometrijska telesaPovezani cilji iz SPI:Dijak opiše, skicira pokončno prizmo, pokončni valj, pokončno piramido, pokončni stožec in kroglo. Računa dolžine višin, diagonal, velikosti kotov,površine in prostornine geometrijskih teles. Izdela mreže teles tudi zahtevnejših oblik.Operativni cilji Opis ciljev Primeri dejavnosti za pouk in priporočilaDijak ponovi osnovne pojme ogeometrijskih telesih.Prizma in valjDijak razume prizmo kot telo s poljubno osnovnoploskvijo. Računa kompleksne naloge z uporabonavadnega računala. Pri izračunih dijak ocenjuje inkritično presoja dobljene vrednosti ter je pozoren namerske enote.Dijaki samostojno ponovijo osnovne pojme o telesih,npr. izdelajo modele teles in njihove mreže, izdelajoplakat, napišejo izvlečke, seminarsko nalogo, pripravijopredstavitev z elektronskimi prosojnicami … Učiteljdiagnosticira in po potrebi dopolni vrzeli v znanju.Dijaki izdelujejo modele teles, raziskujejo in rešujejonaloge s programi dinamične geometrije.Poiščejo modele teles iz življenja, okolja, stroke in vzvezi z njimi računajo različne količine.Piramida in stožec Dijak razume piramido kot telo s poljubno osnovno Dijaki izdelujejo modele teles, raziskujejo in rešujejo17

Vrtenine in kroglaDijak rešuje kompleksne problemev prostoru.ploskvijo. Računa kompleksne naloge z uporaboračunala. Pri izračunih dijak ocenjuje in kritično presojadobljene vrednosti ter je pozoren na merske enote.Dijak prepozna valj, stožec in kroglo kot vrtenine.Določi os vrtenja in analizira nastalo vrtenino glede naizbiro osi.Dijak uporablja ustrezne strategije in povezuje vsebineprostorske geometrije (npr. izdelava skice, uvid vsituacijo, analiza odnosov, vključevanje pojmov izravninske geometrije in geometrije teles).naloge s programi dinamične geometrije.Poiščejo modele teles iz življenja, okolja, stroke in vzvezi z njimi računajo različne količine.Dijaki tudi samostojno preiskujejo in raziskujejo. Pritem uporabljajo tudi programe dinamične geometrijeDijaki tudi samostojno preiskujejo in raziskujejo. Pritem uporabljajo tudi programe dinamične geometrije.2.6 Krivulje II. reda (izbirni tematski sklop)Povezani cilji iz SPI:Osnovni geometrijski pojmi: točka, premica, daljica, krožnica (kot geometrijsko mesto točk), simetrala,Zrcaljenje in simetrijeKoordinatni sistem, linearna in kvadratna funkcijaEnačbe in sistemi enačbOperativni cilji Opis ciljev Primeri dejavnosti za pouk in priporočilaDijak spozna krivulje, kinastanejo pri preseku stožca indvojnega stožca z ravninami.Dijak poveže krožnico inkoordinatni sitem.Dijak poveže elipso, hiperbolo,parabolo in koordinatni sitem.Dijak prepozna krivulje, ki nastanejo s presekomdvojnega stožca z ravninami: krožnica, elipsa,hiperbola, parabola, z znanjem, ki ga je pridobil pristrokovnih predmetih, npr. tehničnem risanju, meritvah.Dijak zapiše enačbo krožnice v središčni legi inpremaknjeni legi s središčem S(p,q).Analizira medsebojne lege krožnice in premice in dvehkrožnic ter računa razdalje in koordinate presečišč.Dijak uporablja enačbo elipse in hiperbole v središčnilegi ter parabole s temenom v koordinatnem izhodišču.Glede na potrebe stroke, uporablja tudi enačbe krivulj,v = p,qki so vzporedno premaknjene za vektor ( )Analizira medsebojne lege krivulj in premic vkoordinatnem sistemu. Pri tem uporablja ustrezneračunalniške programe.Učitelj pomaga povezati matematično predznanjedijakov z njihovim specifičnim strokovnimpredznanjem. Pri tem uporabi možnosti, ki jih omogočastroka, npr. primeri nalog, izdelkov, računalniškiprogrami in druga tehnologija.Dijaki samostojno preiskujejo in raziskujejo. Pri temuporabljajo grafična računala, programe za simbolnoračunanje, programe dinamične geometrije in programeiz stroke.Dijaki samostojno preiskujejo in raziskujejo. Pri temuporabljajo tudi ustrezne računalniške programe, npr.programe dinamične geometrije in programe iz stroke.18

2.7 Vektorji (izbirni tematski sklop)Operativni cilji Opis ciljev Primeri dejavnosti za pouk in priporočilaDijak pozna in uporablja grafično Dijak grafično ponazori vektor z usmerjeno daljico. Dijak primerja ponazoritev vektorjev v koordinatnemponazoritev vektorjev.Nariše vektor z danimi koordinatami a = ( a 1, a2)vsistemu s ponazoritvijo kompleksnih števil vkompleksni ravnini.koordinatnem sistemu. Točki v koordinatnem sistemudoloči koordinate krajevnega vektorja.Dijak sešteva in odšteva vektorje.Vektor pomnoži s skalarjem.Dijak grafično in računsko sešteva in odšteva vektorje.Grafično in računsko pomnoži vektor s skalarjem.Uporablja lastnosti vsote in produkta s skalarjem pripoenostavljanju izrazov.Učitelj pri ponazoritvi vektorjev uporablja različnotehnologijo (npr. programi dinamične geometrije).Dijak pozna in uporablja pojmelinearna kombinacija vektorjev,kolinearnost, komplanarnost,baza.Dijak izračuna skalarni produktvektorjev.Dijak pozna in uporablja pojem linearna kombinacijavektorjev. Pozna in uporablja pojma kolinearnost inkomplanarnost. Grafično in računsko izrazi dani vektorkot linearno kombinacijo dveh nekolinearnih vektorjev(razstavljanje vektorjev).Dijak izračuna skalarni produkt vektorjev. Pozna inuporablja lastnosti skalarnega produkta. Izračunadolžino vektorja. Izračuna kot med vektorjema.Ugotovi, ali sta vektorja vzporedna oziroma pravokotna.Dijak rešuje naloge na elementarnem nivoju.Učitelj poveže z razstavljanjem sil pri fiziki.Učitelj naj poudari medpredmetne povezave (medfizikalnimi količinami so na primer vektorji hitrost,pospešek, sila) in pomen vektorjev v stroki.19

3. tema: FUNKCIJE, ENAČBE IN DIFERENCIALNI RAČUN3.1 Funkcija in enačbaPovezani cilji iz SPI:Dijak uporablja pravokotni koordinatni sistem v ravnini in ga opiše.Dijak prepozna odvisnost ene količine od druge in jo predstavi s tabelo ter grafom; kritično napoveduje spremembe ene količine v odvisnosti od druge.Dijak ima osnovne izkušnje z modeliranjem in uporabo modelov.Operativni cilji Opis ciljev Primeri dejavnosti za pouk in priporočilaDijak obnovi osnovne pojme okoordinatnem sistemu, odvisnostikoličin, funkcijah in enačbah (izSPI).Učitelj ne poučuje ponovno tistih vsebin, ki sodijo vpričakovano predznanje dijakov, ampak pripraviustrezne dejavnosti za samostojno delo dijakov domain/ali v šoli, pri katerih dijaki predznanje obnovijo indopolnijo. Učitelj diagnosticira napačne predstave inprimanjkljaje ter dijakom pomaga, da jih odpravijo.Dijak dopolni znanja okoordinatnem sistemu.Dijak pozna definicijo funkcije.Dijak uporablja pravokotni koordinatni sistem zaprikazovanje lege množic točk v ravnini. Pozna pojemrazdalje med točkama in njene lastnosti. Določa razdaljemed točkami.Dijak pozna splošno definicijo funkcije in definicijorealne funkcije realne spremenljivke. Uporablja različnenačine predstavitve funkcije: enačbo (funkcijskipredpis), tabelo in graf.Različne primere funkcij vpeljemo kot modelerealističnih pojavov iz stroke, drugih predmetnihpodročij ali življenja.Za načrtovanje grafov uporabljamo grafična računala inračunalniške programe.20

Dijak prepozna lastnosti realnihfunkcij realne spremenljivke.Dijak izvaja premike in raztegefunkcij.Dijak rešuje enačbe, neenačbe tersisteme enačb in neenačb spomočjo tehnologije.Dijak izdela in uporabljamatematični model.Dijak pozna lastnosti surjektivnih, injektivnih inbijektivnih funkcij. Zapiše definicijsko območje inzalogo vrednosti funkcije, ugotovi zveznost funkcije,določi intervale, na katerih je funkcija pozitivna oz.negativna, določi intervale naraščanja in padanjafunkcije, določi lokalne ekstreme funkcije, ugotovisodost oz. lihost funkcije, določi intervale konveksnostiin konkavnosti funkcije, ugotovi periodičnost funkcijein določi asimptote.Dijak v zapisu funkcije najde osnovno funkcijo inprepozna premik v smeri abscisne oz. ordinatne osi terrazteg v smeri abscisne oz. ordinatne osi. S pomočjotehnologije nariše graf osnovne funkcije ter grafepremaknjenih oz. raztegnjenih funkcij.Dijak reši enačbo, neenačbo ali sistem enačb oz.neenačb s pomočjo tehnologije. Razume pojem rešitvena algebrski in grafični način, preizkusi pravilnostrešitve, interpretira pot reševanja in pomen rešitve.Dijak opiše pojav s čim ustreznejšim matematičnimmodelom. Je kritičen pri izbiri in uporabi modela.Doseganje tega cilja poteka kontinuirano skozi celotnopoklicno tehniško izobraževanje.Pred obravnavo posameznih tipov funkcij dijakipreučujejo lastnosti funkcij predvsem na osnovinjihovih grafov in v povezavi z razumevanjemrealističnih pojavov, ki jih funkcijski predpisipredstavljajo. Pri preučevanju lastnosti funkcij dijakiuporabljajo grafična računala in računalniške programe.Na analitični način obravnavamo dane lastnosti pripoglobljeni obravnavi posameznih tipov funkcij.Doseganje tega cilja poteka kontinuirano skozi celotnopoklicno tehniško izobraževanje.Pred obravnavo posameznih tipov funkcij dijakipreučujejo premike in raztege funkcije z grafičnimiračunali in računalniškimi programi ter v povezavi zrazumevanjem realističnih pojavov, ki jih funkcijskipredpisi predstavljajo.Doseganje tega cilja poteka kontinuirano skozi celotnopoklicno tehniško izobraževanje.Pred obravnavo posameznih tipov enačb, neenačb insistemov enačb ali neenačb dijaki pristopajo k reševanjupredvsem na grafični način in v povezavi zrazumevanjem realističnih pojavov, ki jih dani zapisipredstavljajo. Pri tem uporabljajo grafično računalo inračunalniške programe.Analitični način reševanja vključimo ob poglobljeniobravnavi posameznih tipov funkcij, enačb, neenačb tersistemov enačb in neenačb.Doseganje tega cilja poteka kontinuirano skozi celotnopoklicno tehniško izobraževanje.Dijaki obravnavajo realistične pojave iz stroke, drugihpredmetov ali življenja. Pri iskanju in izdelavi modelauporabljajo grafično računalo in računalniške programe.Izdelava in uporaba matematičnih modelov se izvaja privečini tematskih sklopov, v temi »Funkcije, enačbe indiferencialni račun« pa ima še posebno vlogo pri21

osmišljanju funkcij, enačb in neenačb. Smiselno jo jevključiti tudi v medpredmetne projekte, pri katerihsodeluje učitelj matematike.3.2 Linearna funkcija in linearna enačbaPovezani cilji iz SPI:Dijak razlikuje linearno odvisnost od drugih vrst odvisnosti in predstavi linearno odvisnost z enačbo. Pozna lastnosti linearne funkcije, izračuna ničlo teriz smernih koeficientov sklepa o vzporednosti ali pravokotnosti premic. Nariše graf linearne funkcije na različne načine, tudi z upoštevanjem pomenasmernega koeficienta in začetne vrednosti.Dijak reši linearno enačbo na več različnih načinov, tudi s preoblikovanjem v ekvivalentne enačbe. Reši besedilno nalogo, v kateri nastopata linearnoodvisni količini tudi tako, da zapiše ustrezno linearno enačbo, jo reši in rešitev primerno interpretira.Dijak modelira realistične pojave iz poklica in življenja z linearno funkcijo. Je kritičen pri izbiri in uporabi modela.Operativni cilji Opis ciljev Primeri dejavnosti za pouk in priporočilaDijak obnovi znanje o linearniodvisnosti, linearni funkciji, grafulinearne funkcije, eksplicitnienačbi premice in linearni enačbi.Dijak uporablja lastnosti linearnefunkcije.Dijak uporablja različne oblikeenačb premic.Dijak prepozna in reši linearnoneenačbo.Dijak uporablja osnovne lastnosti linearne funkcije inkoeficientov. Na osnovi smernih koeficientov sklepa ovzporednosti ali pravokotnosti premic in zapiše enačbolinearne funkcije.Dijak razločuje funkcijski zapis od enačbe premice.Pozna eksplicitno, implicitno in segmentno oblikoenačbe premice ter pomen koeficientov v teh enačbah.Smiselno pretvarja enačbe premic iz ene v drugo obliko.Dijak analitično in s pomočjo tehnologije reši linearnoneenačbo. Razume pomen rešitve na algebrski ingrafični način, preizkusi pravilnost rešitve terinterpretira pot reševanja in pomen rešitve.Učitelj ne poučuje ponovno tistih vsebin, ki sodijo vpričakovano predznanje dijakov, ampak pripraviustrezne dejavnosti za samostojno delo dijakov domain/ali v šoli, pri katerih dijaki predznanje obnovijo indopolnijo. Učitelj diagnosticira napačne predstave inprimanjkljaje ter dijakom pomaga, da jih odpravijo.Dijaki raziščejo za njih nove lastnosti linearne funkcije.Ob tem uporabljajo grafična računala ali računalniškeprograme.Dijaki rešujejo naloge in probleme, ki osmislijo potrebopo različnih oblikah enačbe premice.Dijaki pri reševanju enačb oz. neenačb ter sistemovenačb oz. neenačb uporabljajo grafično računalo aliračunalniške programe, in sicer:22

Dijak prepozna in reši sistemlinearnih enačb oz. sistemlinearnih neenačb.Dijak analitično in s pomočjo tehnologije reši sistemlinearnih enačb oz. sistem linearnih neenačb. Razumepomen rešitve na algebrski in grafični način, preizkusipravilnost rešitve ter interpretira pot reševanja in pomenrešitve.• ko se učijo reševanja enačb oz. neenačb stehnologijo,• ko je cilj dejavnosti boljše razumevanje pomenaenačbe oz. neenačbe in rešitve,• ko dijaki rešujejo enačbe oz. neenačbe, ki izhajajo izrealističnih problemov in so zato kompleksnejše terzahtevnejše,• ko reševanje enačbe oz. neenačbe ni prvenstvenaaktivnost, ampak je le faza v širši nalogi aliprojektu.Ko je cilj dejavnosti učenje postopkov za reševanjeenačbe oz. neenačbe, pa je tehnologija lahkopripomoček za usmerjanje razmišljanja ali preverjanjerezultata. Če je le mogoče, naj bo reševanje enačb,neenačb ali sistemov brez tehnologije osmišljeno sširšim kontekstom.3.3 Potenčne funkcije in potenčne enačbeOperativni cilji Opis ciljev Primeri dejavnosti za pouk in priporočilaDijak prepozna potenčnoodvisnost in jo razlikuje od drugihvrst odvisnosti.Dijak prepozna potenčno odvisnost iz različnihpredstavitev (besedilo, tabela, graf). Razlikuje potenčnoodvisnost od linearne.Primere potenčnih funkcij vpeljemo kot modelerealističnih pojavov iz stroke, drugih predmetnihpodročij ali življenja.Dijak predstavi potenčnoodvisnost z enačbo.Dijak pozna in uporablja lastnostipotenčne funkcije.Dijak predstavi potenčno odvisnost količin v simbolniobliki z enačbo f ( x)= xn , n ∈ZDijak pozna lastnosti potenčnih funkcij ter jih uporabljapri risanju grafov in drugih nalogah: zveznost potenčnefunkcije, intervale, na katerih je funkcija pozitivna oz.negativna, intervale naraščanja in padanja funkcije,lokalne ekstreme funkcije, sodost oz. lihost funkcije terintervale konveksnosti in konkavnosti funkcije.Lastnosti potenčnih funkcij dijak prepozna in preveri naanalitični in grafični način.Simbolni zapis z enačbo vpeljemo na primerihrealističnih pojavov iz stroke, drugih predmetnihpodročij ali življenja.Dijaki v začetku brez tehnologije po točkah narišejovsaj en graf osnovne potenčne funkcije. Nato zgrafičnim računalom ali računalniškim programomnarišejo grafe osnovnih potenčnih funkcij in raziščejonjihove lastnosti. Šele nato lastnosti potenčnih funkcijobravnavajo tudi na analitični način.23

Dijak nariše graf potenčnefunkcije.Dijak določi inverzno funkcijopotenčne funkcije in nariše grafkorenske funkcije.Dijak prepozna in reši potenčnoenačbo oz. potenčno neenačbo.Dijak modelira realistične pojave spotenčnimi funkcijami.Dijak nariše graf potenčne funkcijef ( x)= a(x − p)n + q z upoštevanjem lastnostipotenčnih funkcij ter premikov in raztegov funkcije.Razloži končen graf na osnovi upoštevanja premikov inraztegov osnovnega grafa funkcije.Dijak analitično in grafično določi inverzno funkcijoosnovne potenčne funkcije. Pozna lastnosti korenskihfunkcij in nariše graf korenske funkcije.Dijak analitično in grafično reši potenčno enačbo oz.neenačbo. Razume pomen rešitve na algebrski ingrafični način, preizkusi pravilnost rešitve terinterpretira pot reševanja in pomen rešitve.Dijak opiše pojav s potenčno funkcijo. Primerja različnemodele (linearna funkcija, potenčne funkcije) ter jekritičen pri izbiri in uporabi modela.Dijaki uporabijo predznanje o premikih in raztegihfunkcije ter z grafičnim računalom ali računalniškimprogramom raziščejo grafe premaknjenih inraztegnjenih potenčnih funkcij. Nato rišejo grafe tudibrez uporabe tehnologije.Dijaki pri raziskovanju lastnosti korenskih funkcijuporabljajo tudi grafična računala in računalniškeprograme. Za risanje korenskih funkcij, ki vsebujejopremike in raztege, dijaki uporabljajo tehnologijo.Dijaki analitično reševanje potenčnih enačb oz. neenačbpovezujejo z grafičnim.Pri reševanju enačb oz. neenačb uporabljajo grafičnoračunalo ali računalniške programe, in sicer:• ko se učijo reševanja enačb oz. neenačb stehnologijo,• ko je cilj dejavnosti boljše razumevanje pomenaenačbe oz. neenačbe in rešitve,• ko rešujejo enačbe oz. neenačbe, ki izhajajo izrealističnih problemov in so zato kompleksnejše terzahtevnejše,• ko reševanje enačbe oz. neenačbe ni prvenstvenaaktivnost, ampak je le faza v širši nalogi aliprojektu.Ko je cilj dejavnosti učenje postopkov za reševanjeenačbe oz. neenačbe, pa je tehnologija lahkopripomoček za usmerjanje razmišljanja ali preverjanjerezultata. Če je le mogoče, naj bo reševanje enačb oz.neenačb brez tehnologije osmišljeno s širšimkontekstom.Dijaki obravnavajo realistične pojave iz stroke, drugihpredmetov ali življenja, ki se jih da razmeroma smiselnomodelirati s potenčnimi funkcijami. Pri iskanju inizdelavi modela uporabljajo grafično računalo inračunalniške programe.24

3.4 Kvadratna funkcija in kvadratna enačbaPovezani cilji iz SPI:Dijak pozna različne oblike zapisa kvadratne funkcije in njene lastnosti. Izračuna ničli in teme. Graf nariše po točkah ali z uporabo tehnologije.dijak reši kvadratno enačbo s premislekom, tabeliranjem ali grafično s pomočjo tehnologije. Preizkusi pravilnost rešitve ter interpretira pot reševanja inpomen rešitve.Dijak ima osnovne izkušnje z modeliranjem realističnih pojave iz poklica in življenja s kvadratno funkcijo. Je kritičen pri izbiri in uporabi modela.Operativni cilji Opis ciljev Primeri dejavnosti za pouk in priporočilaDijak obnovi znanje o kvadratnifunkciji, o različnih oblikah enačbin o grafu kvadratne funkcijeDijak prepozna kvadratnofunkcijo.Dijak uporablja lastnostikvadratne funkcije.Dijak nariše graf kvadratnefunkcije.Dijak prepozna in reši kvadratnoenačbo oz. kvadratno neenačbo.Dijak razume kvadratno funkcijo kot primer potenčnefunkcije. Razločuje kvadratno odvisnost od drugih vrstodvisnosti.Uporablja nove pojme: teme, parabola, temenska oblikaenačbe, splošna oblika enačbe, ničelna oblika enačbe.Uporablja vse tri oblike enačbe kvadratne funkcije insmiselno pretvarja eno obliko v drugo. Pozna inuporablja lastnosti ničel.Dijak iz enačbe kvadratne funkcije s preoblikovanjem vdruge ustrezne oblike enačbe določi teme in ničlefunkcije ter nariše graf.Dijak analitično in s pomočjo tehnologije reši kvadratnoenačbo oz. neenačbo. Razume pomen rešitve naalgebrski in grafični način, preizkusi pravilnost rešitveter interpretira pot reševanja in pomen rešitve. Razumein uporablja rešitve kvadratne enačbe kot ničlekvadratne funkcije.Učitelj ne poučuje ponovno tistih vsebin, ki sodijo vpričakovano predznanje dijakov, ampak pripraviustrezne dejavnosti za samostojno delo dijakov domain/ali v šoli, pri katerih dijaki predznanje obnovijo indopolnijo. Učitelj diagnosticira napačne predstave inprimanjkljaje ter dijakom pomaga, da jih odpravijo.2Dijaki ob potenčni funkciji f ( x)= a(x − p)+ q innjenem grafu spoznajo nove pojme: kvadratna funkcija,parabola, teme.Dijaki za risanje bolj kompleksnih kvadratnih funkcijuporabljajo grafična računala in računalniške programe,dokler se ne naučijo postopkov za izračun ničel.Dijaki pri reševanju enačb oz. neenačb uporabljajografično računalo ali računalniške programe, in sicer:• ko se učijo reševanja enačb oz. neenačb stehnologijo,• ko je cilj dejavnosti boljše razumevanje pomenaenačbe oz. neenačbe in rešitve,• ko rešujejo enačbe oz. neenačbe, ki izhajajo izrealističnih problemov in so zato kompleksnejše terzahtevnejše,• ko reševanje enačbe oz. neenačbe ni prvenstvena25

Dijak rešuje realistične problemein modelira realistične pojave skvadratno funkcijo.Dijak rešuje naloge, pri katerih uporablja kvadratnofunkcijo in njene lastnosti, ali kvadratno enačbo oz.neenačbo. Dijak opiše pojav s kvadratno funkcijo.Primerja različne modele (linearna funkcija, potenčnefunkcije, kvadratna funkcija) ter je kritičen pri izbiri inuporabi modela.aktivnost, ampak je le faza v širši nalogi aliprojektu.Ko je cilj dejavnosti učenje postopkov za reševanjeenačbe oz. neenačbe, pa je tehnologija lahkopripomoček za usmerjanje razmišljanja ali preverjanjerezultata. Če je le mogoče, naj bo reševanje enačb oz.neenačb brez tehnologije osmišljeno s širšimkontekstom.Dijaki obravnavajo realistične pojave iz stroke, drugihpredmetov ali življenja, ki se jih da razmeroma smiselnomodelirati s kvadratno funkcijo. Pri iskanju in izdelavimodela uporabljajo grafično računalo in računalniškeprograme.3.5 PolinomiOperativni cilji Opis ciljev Primeri dejavnosti za pouk in priporočilaDijak prepozna enačbo polinomain ustrezno uvršča polinom vznanja o linearni funkciji,potenčnih funkcijah in kvadratnifunkciji.Dijak razume polinom kot linearno kombinacijoosnovnih potenčnih funkcij. Ve, da so vrste funkcij, kijih je do sedaj obravnaval (linearna funkcija, potenčnefunkcije, kvadratna funkcija), posebni primeripolinomov.predmetnih področij ali življenja.Dijak pozna in uporablja lastnostipolinomov.Dijak nariše graf polinoma.Dijak pozna lastnosti polinomov ter jih uporablja pririsanju grafov in drugih nalogah: zveznost polinoma,lastnost ničel polinoma, intervale, na katerih je funkcijapozitivna oz. negativna, intervale naraščanja in padanjafunkcije, lokalne ekstreme funkcije, intervalekonveksnosti in konkavnosti funkcije ter obnašanjepolinoma pri velikih in malih vrednostih spremenljivke.Lastnosti polinomov dijak prepozna in preveri nagrafični, nekatere tudi na analitični način.Dijak določi ničle polinoma in obnašanje polinoma privelikih in malih vrednostih spremenljivk ter skicira grafz upoštevanjem obnašanja grafa v okolici ničel.Primere polinomov vpeljemo kot razširitev oz.posplošitev že znanih funkcij (linearne, potenčnih,kvadratne). Algebrsko predstavitev polinomapodkrepimo z realističnimi primeri iz stroke, drugihDijaki z grafičnim računalom ali računalniškimprogramom narišejo grafe polinomov in raziščejonjihove lastnosti. Šele nato nekatere obravnavajo tudi naanalitični način (npr. lastnosti ničel).Dijaki določajo ničle polinomov nižjih stopenj in ničlerazcepnih polinomov v glavnem z razcepom aliHornerjevim algoritmom, ničle polinomov višjih26

Dijak modelira realistične pojave spolinomi.Dijak opiše pojav s polinomom. Primerja različnemodele (linearna funkcija, potenčne funkcije, kvadratnafunkcija, polinom višje stopnje) ter je kritičen pri izbiriin uporabi modela.stopenj pa s pomočjo grafičnega računala aliračunalniških programov.Dijaki obravnavajo realistične pojave iz stroke, drugihpredmetov ali življenja, ki se jih da razmeroma smiselnomodelirati s polinomi. Pri iskanju in izdelavi modelauporabljajo grafično računalo in računalniške programe.3.6 Racionalne funkcijeOperativni cilji Opis ciljev Primeri dejavnosti za pouk in priporočilaDijak prepozna enačbo racionalnefunkcije.Dijak razume racionalno funkcijo kot kvocientpolinomov in prepozna njeno enačbo.Dijak pozna in uporablja lastnostiracionalnih funkcij.Dijak nariše graf racionalnefunkcije.Dijak pozna lastnosti racionalnih funkcij ter jihuporablja pri risanju grafov in drugih nalogah,predvsem: lastnost ničel in polov ter asimptotoracionalne funkcije. Lastnosti racionalne funkcije dijakprepozna na grafični, nekatere tudi na analitični način injih opiše.Dijak nariše graf racionalne funkcije s pomočjotehnologije in ga interpretira.Dijaki z grafičnim računalom ali računalniškimprogramom narišejo grafe racionalnih funkcij inraziščejo njihove lastnosti. Šele nato obravnavajolastnosti ničel in polov ter asimptoto tudi na analitičninačin. Analitična obravnava služi boljšemurazumevanju lastnosti racionalne funkcije, ni pa nujno,da dijak izkazuje znanje na tem nivoju.Dijaki za risanje grafov uporabljajo grafična računala inračunalniške programe.Dijak modelira realistične pojave spolinomi.Dijak opiše pojav z racionalno funkcijo. Primerjarazlične modele (linearna funkcija, potenčne funkcije,kvadratna funkcija, polinom višje stopnje, racionalnafunkcija) ter je kritičen pri izbiri in uporabi modela.Dijaki obravnavajo realistične pojave iz stroke, drugihpredmetov ali življenja, ki se jih da razmeroma smiselnomodelirati z racionalno funkcijo. Pri iskanju in izdelavimodela uporabljajo grafično računalo in računalniškeprograme.27

3.7 Eksponentna funkcija in eksponentna enačbaPovezani cilji iz SPI:Dijak prepozna in razume eksponentno rast v besedilnem opisu, tabeli in grafu.Izdela preprost matematični model za pojav iz poklica ali življenja ter ga opiše z eksponentno funkcijo. Je kritičen pri izbiri in uporabi modela.Operativni cilji Opis ciljev Primeri dejavnosti za pouk in priporočilaDijak obnovi znanje o eksponentnirasti in modeliranju eksponentnerastiDijak razlikuje eksponentnoodvisnost od drugih vrstodvisnosti.Dijak predstavi eksponentnoodvisnost z enačbo.Dijak pozna lastnosti eksponentnefunkcije.Dijak nariše graf eksponentnefunkcije.Dijak prepozna in rešieksponentno enačbo oz.eksponentno neenačbo.Loči eksponentno funkcijo od potenčne na osnovizapisa, tabele in grafa ter pojasni razlike.Dijak predstavi eksponentno odvisnost količin vxsimbolni obliki z enačbo ( f ( x)= a ).Dijak pozna enačbo eksponentne funkcijexf ( x)= a , a > 0, a ≠ 1 in pomen konstante a. Poznadefinicijsko območje funkcije, zalogo vrednosti,začetno vrednost in asimptoto. Pozna vpliv osnove a nanaraščanje oz. padanje funkcije. Ve, da je grafeksponentne funkcije konveksna krivulja.Dijak nariše graf eksponentne funkcijex−pf ( x)= ka + q,a > 0, a ≠ 1. Razloži končen graf naosnovi upoštevanja premikov in raztegov osnovnegagrafa funkcije.Dijak analitično in grafično reši eksponentno enačbo oz.neenačbo. Razume pomen rešitve na algebrski ingrafični način, preizkusi pravilnost rešitve terinterpretira pot reševanja in pomen rešitve.Učitelj ne poučuje ponovno tistih vsebin, ki sodijo vpričakovano predznanje dijakov, ampak pripraviustrezne dejavnosti za samostojno delo dijakov domain/ali v šoli, pri katerih dijaki predznanje obnovijo indopolnijo. Učitelj diagnosticira napačne predstave inprimanjkljaje ter dijakom pomaga, da jih odpravijo.Odvisnost je lahko podana z besednim opisom, tabeloali grafom.Dijaki uporabijo predznanje in raziščejo lastnostieksponentne funkcije. Ob tem uporabljajo grafičnaračunala ali računalniške programe.Dijaki narišejo graf eksponentne funkcijexf ( x)= a , a > 0, a ≠ 1 z upoštevanjem lastnostieksponentne funkcije. Graf eksponentne funkcijex−pf ( x)= ka + q,a > 0, a ≠ 1pa lahko dijaki narišejo zuporabo tehnologije.Dijaki analitično reševanje eksponentnih enačb oz.neenačb povezujejo z grafičnim.Pri reševanju enačb oz. neenačb uporabljajo grafičnoračunalo ali računalniške programe, in sicer:• ko se učijo reševanja enačb oz. neenačb stehnologijo,28

Dijak modelira realistične pojave zeksponentno funkcijo.Dijak opiše pojav z eksponentno funkcijo. Primerjarazlične modele (linearna funkcija, potenčne funkcije,polinomi, eksponentna funkcija) ter je kritičen pri izbiriin uporabi modela.• ko je cilj dejavnosti boljše razumevanje pomenaenačbe oz. neenačbe in rešitve,• ko rešujejo enačbe oz. neenačbe, ki izhajajo izrealističnih problemov in so zato kompleksnejše terzahtevnejše,• ko reševanje enačbe oz. neenačbe ni prvenstvenaaktivnost, ampak je le faza v širši nalogi aliprojektu.Ko je cilj dejavnosti učenje postopkov za reševanjeenačbe oz. neenačbe, pa je tehnologija lahkopripomoček za usmerjanje razmišljanja ali preverjanjerezultata. Če je le mogoče, naj bo reševanje enačb oz.neenačb brez tehnologije osmišljeno s širšimkontekstom. Dokler dijaki ne poznajo logaritma,eksponentne enačbe oz. neenačbe tipa af ( x )≥ brešujejo samo z uporabo tehnologije.Dijaki obravnavajo realistične pojave iz stroke, drugihpredmetov ali življenja, ki se jih da razmeroma smiselnomodelirati z eksponentno funkcijo. Pri iskanju inizdelavi modela uporabljajo grafično računalo inračunalniške programe.3.8 Logaritem, logaritemska funkcija in logaritemska enačbaPovezani cilji iz SPI:Dijak prepozna in razume logaritemsko rast v besedilnem opisu, tabeli in grafu.Izdela preprost matematični model za pojav iz poklica ali življenja ter ga opiše z logaritemsko funkcijo. Je kritičen pri izbiri in uporabi modela.Operativni cilji Opis ciljev Primeri dejavnosti za pouk in priporočilaDijak obnovi znanje ologaritemski rasti in modeliranjulogaritemske rastiDijak zapiše logaritemskoodvisnost z enačbo.Dijak predstavi logaritemsko odvisnost količin vsimbolni obliki z enačbo y = log x .aUčitelj ne poučuje ponovno tistih vsebin, ki sodijo vpričakovano predznanje dijakov, ampak pripraviustrezne dejavnosti za samostojno delo dijakov domain/ali v šoli, pri katerih dijaki predznanje obnovijo indopolnijo. Učitelj diagnosticira napačne predstave inprimanjkljaje ter dijakom pomaga, da jih odpravijo.Odvisnost je lahko podana z besednim opisom, tabeloali grafom.29

Dijak pozna lastnosti logaritemskefunkcije.Dijak nariše graf logaritemskefunkcije.Dijak pozna definicijo logaritmain jo uporablja.Dijak izrazi logaritem pri daniosnovi z logaritmom pri poljubniosnovi.Dijak prepozna in rešilogaritemsko enačbo oz.logaritemsko neenačbo.Dijak pozna enačbo logaritemske funkcijef ( x)= logax,a > 0, a ≠ 1, pomen in vpliv konstante ana naraščanje oz. padanje funkcije. Pozna definicijskoobmočje funkcije, zalogo vrednosti, ničlo funkcije inasimptoto. Ve, da je logaritemska funkcija inverzna keksponentni funkciji.Dijak nariše graf logaritemske funkcijef ( x)= k loga( x − p)+ q . Razloži končen graf na osnoviupoštevanja premikov in raztegov osnovnega grafafunkcije.Dijak pozna definicijo in lastnosti logaritma. Uporabljadefinicijo logaritma za reševanje eksponentnih enačboblike a x = b , ko ni mogoče reševati s sklepanjem.Uporablja pravila za računanje z logaritmi zapoenostavljanje smiselnih izrazov z logaritmi.Dijak pozna in uporablja formulo za prehod k noviosnovi.Dijak analitično in grafično reši preprosto logaritemskoenačbo oz. neenačbo. Razume pomen rešitve naalgebrski in grafični način, preizkusi pravilnost rešitveter interpretira pot reševanja in pomen rešitve.Dijaki uporabijo predznanje o eksponentni funkciji inraziščejo lastnosti logaritemske funkcije. Ob temuporabljajo grafična računala ali računalniške programe.Dijaki narišejo graf logaritemske funkcijef ( x)= logax,a > 0, a ≠ 1 z upoštevanjem lastnostilogaritemske funkcije. Graf logaritemske funkcijef ( x)= k loga( x − p)+ q pa lahko dijaki narišejo zuporabo tehnologije.Dijaki na pamet izračunajo določene logaritme npr.2log22, ln e , …, za ostale uporabljajo navadnoračunalo.Dijaki analitično reševanje logaritemskih enačb oz.neenačb povezujejo z grafičnim.Pri reševanju enačb oz. neenačb uporabljajo grafičnoračunalo ali računalniške programe, in sicer:• ko se učijo reševanja enačb oz. neenačb stehnologijo,• ko je cilj dejavnosti boljše razumevanje pomenaenačbe oz. neenačbe in rešitve,• ko rešujejo enačbe oz. neenačbe, ki izhajajo izrealističnih problemov in so zato kompleksnejše terzahtevnejše,• ko reševanje enačbe oz. neenačbe ni prvenstvenaaktivnost, ampak je le faza v širši nalogi ali30

Dijak modelira realistične pojave zlogaritemsko funkcijo.Dijak opiše pojav z logaritemsko funkcijo. Primerjarazlične modele (linearna funkcija, potenčne funkcije,eksponentna funkcija, logaritemska funkcija) ter jekritičen pri izbiri in uporabi modela.projektu.Ko je cilj dejavnosti učenje postopkov za reševanjeenačbe oz. neenačbe, pa je tehnologija lahkopripomoček za usmerjanje razmišljanja ali preverjanjerezultata. Če je le mogoče, naj bo reševanje enačb oz.neenačb brez tehnologije osmišljeno s širšimkontekstom.Dijaki obravnavajo realistične pojave iz stroke, drugihpredmetov ali življenja, ki se jih da razmeroma smiselnomodelirati z logaritemsko funkcijo. Pri iskanju inizdelavi modela uporabljajo grafično računalo inračunalniške programe.31

3.9 Kotne funkcije (razširitev)Povezani cilji iz SPI:Dijak določi vrednosti kotne funkcije poljubnega kota z numeričnim računalom. Ponazarja vrednosti kotnih funkcij poljubnega kota na enotski krožnici.Operativni cilji Opis ciljev Primeri dejavnosti za pouk in priporočilaDijak obnovi znanje o kotnihfunkcijahDijak pozna in uporabljadefinicije kotnih funkcij zapoljubni kot.Dijak pozna in uporablja osnovnezveze med kotnimi funkcijamiistega kota.Dijak pozna in uporabljaperiodičnost ter sodost oz. lihostkotnih funkcij.Dijak pozna in uporablja definicije kotnih funkcij naenotski krožnici za določitev vrednosti posameznekotne funkcije poljubnega kota, podanega v stopinjahali radianih.Dijak uporabi osnovne zveze med kotnimi funkcijami inz dano kotno funkcijo izrazi preostale kotne funkcije.Dijak s pomočjo periodičnosti ter sodosti oz. lihostiizrazi kotno funkcijo poljubnega kota s kotno funkcijoostrega kota.Učitelj ne poučuje ponovno tistih vsebin, ki sodijo vpričakovano predznanje dijakov, ampak pripraviustrezne dejavnosti za samostojno delo dijakov domain/ali v šoli, pri katerih dijaki predznanje obnovijo indopolnijo. Učitelj diagnosticira napačne predstave inprimanjkljaje ter dijakom pomaga, da jih odpravijo.Dijaki s pomočjo na enotsko krožnico vrišejo vrednostposamezne kotne funkcije za poljubni kot in obratno. Čeje dana vrednost ene funkcije, poiščejo kot in vrednostidrugih funkcij.Uporabljajo navadno računalo in trigonir.Dijaki poenostavljajo izraze in dokazujejo preprosteenakosti z uporabo pravil za periodičnost, sodost oz.lihost in z uporabo adicijskih izrekov v obsegu, ki jepomemben za stroko.Dijak pozna in uporablja adicijskeizreke.Dijak pozna lastnosti kotnihfunkcij.Dijak nariše graf kotne funkcije.Dijak pozna in uporablja adicijske izreke pri prehodu naostri kot, pri dvojnih kotih in dokazovanju drugihenakosti.Dijak pozna enačbe kotnih funkcijf ( x) = sin x, f ( x) = cos x, f ( x) = tan x, f ( x) = cot xter njihovo definicijsko območje in zalogo vrednosti.Zapiše ničle, intervale naraščanja in padanja kotnihfunkcij, maksimume in minimume za funkciji sinus inkosinus ter asimptote za funkciji tangens in kotangens.Dijak nariše grafe kotnih funkcijf ( x)= Asin( ω ( x −ϕ)) + y0,Dijaki v začetku brez tehnologije po točkah narišejografe osnovnih kotnih funkcij. Nato uporabijopredznanje in z grafičnim računalom ali računalniškimprogramom narišejo poljubne grafe kotnih funkcij terraziščejo njihove lastnosti. Šele nato lastnosti kotnihfunkcij obravnavajo tudi na analitični način.Dijaki narišejo grafe kotnih funkcijf ( x) = sin x, f ( x) = cos x, f ( x) = tan x, f ( x) = cot x32

Dijak modelira realistične pojave skotnimi funkcijami.( x − )f ( x)= A cos( ω ϕ ) + y0, f ( x) = tan x inf ( x) = cot x Razloži končen graf na osnovi upoštevanjapremikov in raztegov osnovnega grafa funkcije.Dijak opiše pojav s kotno funkcijo. Primerja različnemodele (linearna funkcija, potenčne funkcije,eksponentna funkcija, polinomi, racionalna funkcija,logaritemska funkcija, kotna funkcija) ter je kritičen priizbiri in uporabi modela.z upoštevanjem lastnosti funkcij. Grafe funkcijf ( x)= Asin( ω ( x −ϕ)) + y0inf ( x)= A cos( ω ( x −ϕ)) + y0pa lahko dijaki narišejo zuporabo tehnologije.Dijaki obravnavajo realistične pojave iz stroke, drugihpredmetov ali življenja, ki se jih da razmeroma smiselnomodelirati s kotnimi funkcijami. Pri iskanju in izdelavimodela uporabljajo grafično računalo in računalniškeprograme.3.10 Krožne funkcije in trigonometrijske enačbe (izbirni tematski sklop)Operativni cilji Opis ciljev Primeri dejavnosti za pouk in priporočilaDijak pozna in uporablja krožnefunkcije.Dijak nariše krožno funkcijo.Dijak prepozna in rešitrigonometrijsko enačbo oz.neenačbo.Dijak pozna definicijsko območje in zalogo vrednostikrožnih funkcij:f ( x) = arc sin x, f ( x) = arc cos x,f ( x) = arc tan x, f ( x) = arc cot xUporablja krožne funkcije za izračun kota v stopinjah inradianih.Dijak nariše krožno funkcijo kot inverzno funkcijo hkotni funkciji. Pojasni sliko krožne funkcije na osnovirazumevanja grafov inverznih funkcij.Dijak analitično in grafično reši preprostotrigonometrijsko enačbo oz. neenačbo. Razume pomenrešitve na algebrski in grafični način, preizkusipravilnost rešitve ter interpretira pot reševanja in pomenrešitve.Dijaki skicirajo graf posamezne krožne funkcije inzapišejo njene lastnosti. Pri iskanju kota dijakiuporabljajo računala.Dijaki narišejo kak primer krožne funkcije breztehnologije s ciljem, da bolje razumejo pojem inverznefunkcije. Za nadaljnje risanje krožnih funkcij pauporabljajo grafična računala ali računalniške programe.Dijaki rešijo trigonometrijsko enačbo npr.sin ωx+ ρ = a,−1≤ a ≤ 1, tan 2x= a,( )2sin x = cos x,cos x = 1+sin x,…Pri reševanju enačb oz. neenačb uporabljajo grafičnoračunalo ali računalniške programe, in sicer:• ko se učijo reševanja enačb oz. neenačb stehnologijo,• ko je cilj dejavnosti boljše razumevanje pomenaenačbe oz. neenačbe in rešitve,• ko rešujejo enačbe oz. neenačbe, ki izhajajo iz33

ealističnih problemov in so zato kompleksnejše terzahtevnejše,• ko reševanje enačbe oz. neenačbe ni prvenstvenaaktivnost, ampak je le faza v širši nalogi aliprojektu.Ko je cilj dejavnosti učenje postopkov za reševanjeenačbe oz. neenačbe, pa je tehnologija lahkopripomoček za usmerjanje razmišljanja ali preverjanjerezultata. Če je le mogoče, naj bo reševanje enačb oz.neenačb brez tehnologije osmišljeno s širšimkontekstom.3.11 Diferencialni računOperativni cilji Opis ciljev Primeri dejavnosti za pouk in priporočilaDijak ponovi znanje o zveznostifunkcij.Dijak nariše graf funkcije. Določi točke nezveznosti.Prepozna zveznost oz. nezveznost v danih točkah.Zveznost se definira opisno. Dijaki ponovijo znanje ofunkcijah, ki so jih spoznali v času izobraževanja terdoločijo zveznost oz. nezveznost v danih točkah.Dijaki rišejo grafe funkcij na osnovi poznavanjalastnosti funkcij, pa tudi grafičnimi računali inDijak pozna definicijo limitefunkcije.Dijak določa limite funkcij.Dijak določa naklon premice inkot med premicama.Dijak spozna pojma: okolica točke, limita funkcije vtočki. Opiše limito funkcije. Spozna definicije limite injih uporablja v danih nalogah.Dijak izračuna preproste limite funkcij. Uporabljapravila za računanje z limitami.Dijak pozna in uporablja zvezo med naklonom premicein njenim smernim koeficientom.Določi velikost naklonskega kota premice in velikostkota med premicama.računalniškimi programi.Dijaki ponovijo pojem odprtega intervala (odseka naštevilski premici) in ga povežejo s pojmom okolicatočke. S pomočjo grafa funkcije določijo limito. Pri temlahko uporabljajo grafična računala ali računalniškeprograme.Dijaki ponovijo razcepe izrazov in jih uporabljajo pridoločanju limit.Dijaki raziščejo zvezo med naklonom premice in njenimsmernim koeficientom z grafičnim računalom aliračunalniškimi programi.34

Dijak pozna definicijo odvodafunkcije v točki ter razume inuporablja geometrijski pomenodvoda.Dijak zapiše diferenčni količnik in definicijo odvodafunkcije. Razume in uporablja zvezo med odvodomfunkcije, naklonom funkcije (oz. tangente na njen graf)ter rastjo funkcije v okolici dane točke. Določi približnonumerično vrednost odvoda funkcije v točki.Dijak določi enačbo tangente na graf krivulje v danitočki in kot med krivuljama.Dijaki s pomočjo grafičnega računala ali računalniškihprogramov raziskujejo povezavo med odvodom,naklonom tangente in rastjo funkcije v dani točki.Enačbe tangent in kote med krivuljama določajopredvsem z namenom boljšega razumevanja povezavmed odvodom, naklonom tangente in rastjo funkcije vdani točki.Dijak določa odvode funkcij.Dijak uporablja zvezo medodvodom in lokalnim vedenjemfunkcije.Dijak spozna pojem odvod funkcije. Uporablja pravilaza odvajanje osnovnih in sestavljenih funkcij. Spoznain uporablja odvode elementarnih funkcij.Dijak pozna povezavo prvega odvoda funkcije sstacionarnimi točkami funkcije in z naraščanjem oz.padanjem funkcije. Uporablja te povezave za določanjestacionarnih točk, intervalov naraščanja oz. padanjafunkcije ter za reševanje preprostih ekstremalnihproblemov.Dijaki ob učiteljevi pomoči razvijejo nekatera pravila zaodvajanje in odvode nekaterih elementarnih funkcij.Ostala pravila za odvajanje in odvode elementarnihfunkcij sprejmejo od učitelja ali iz literature.Pri določanju odvodov funkcij je poudarek narazumevanju odvodov funkcij. Dijaki razvijajo spretnostdoločanja odvodov le toliko, da lahko nadaljujejo znadaljnjo analizo funkcij. Za določanje odvodovuporabljajo tudi grafična računala ali računalniškeprograme.Dijaki rešujejo realistične ekstremalne probleme izstroke, drugih področij ali življenja. Pri tem uporabljajografična računala in računalniške programe.Ob reševanju realističnih primerov dobijo uvid vpomen odvoda v različnih strokah in učitelj ga zatolahko utemeljeno poudari.Dijak nariše graf funkcije.Dijak razišče lastnosti funkcije. Določi definicijskoobmočje funkcije, zalogo vrednosti, intervale naraščanjain padanja funkcije, lokalne ekstreme in vodoravneprevoje funkcije. Nariše graf funkcije in ga interpretira.Dijaki za raziskovanje lastnosti funkcije in risanje grafauporabljajo tudi grafična računala in računalniškeprograme.35

3.12 ZaporedjaOperativni cilji Opis ciljev Primeri dejavnosti za pouk in priporočilaDijak pozna definicijo in lastnostizaporedja.Dijak razume zaporedje kot funkcijo, ki preslika(pod)množico naravnih števil v neko drugo množico.Določi lastnosti zaporedja in pozna različnepredstavitvene oblike zaporedij (splošni člen,rekurzijski obrazec, naštevanje členov, graf). Loči medgrafi realnih funkcij (krivulje) ter grafom zaporedja(točkovni graf).Učitelji poiščejo primere iz različnih področij stroke,življenja in okolja ter pripravijo dejavnosti, pri katerihdijaki spoznajo zaporedja kot pomembno orodje zaanalizo različnih pojavov.Dijaki dojamejo zaporedja tudi kot specifičen primervzorcev v matematiki.Pri samostojnem raziskovanju in analizah uporabljajorazlično tehnologijo.Dijak pozna in uporabljadefinicijo aritmetičnegazaporedja.Dijak pozna in uporabljadefinicijo geometrijskegazaporedja.Dijak definira aritmetično zaporedje, zapiše splošničlen, določi člene danega zaporedja. Izračuna vsoto nčlenov aritmetičnega zaporedja.Dijak razume definicijo geometrijskega zaporedja innjegove lastnosti ter računa različne količine (splošničlen, količnik, vsoto). Dojame pomen in uporabnostgeometrijskega zaporedja pri modeliranju različnihpojavov (npr. v naravi: eksponentna rast, v finančnimatematiki: obrestno-obrestni račun).Definicijo zaporedja in izračun vsote n členovzaporedja lahko vpeljemo s primeri iz zgodovine, strokein podobno.Pri analiziranju in samostojnem raziskovanju pojavovdijaki uporabljajo tehnologijo in različne računalniškeprograme, tudi iz stroke.36

4. tema: OSNOVE LOGIKE, OBDELAVA PODATKOV IN OSNOVE VERJETNOSTNEGA RAČUNA4.1 Osnove logikeOperativni cilji Opis ciljev Primeri dejavnosti za pouk in priporočilaDijak pozna izjave in uporabljapovezave med izjavami.Dijak sklepa, utemeljuje indokazuje.Dijak prepozna izjavo in razume ter uporablja povezavemed njimi: konjunkcija, disjunkcija, implikacija inekvivalenca.Dijak razlikuje med demonstracijo s primerom indokazom. Razume pot oz. prehod od kratkematematične razlage do dokaza. Razume učinekspreminjanja predpostavk pri rešitvi naloge. Prirazmišljanju pravilno uporablja pogojno zvezo »Če …potem …« in zna odgovoriti na vprašanja »Zakaj …?«in »Kaj, če …?«. Uporabi matematično sklepanje (zdedukcijo) pri utemeljevanju trditev. Razčlenjuje rešitevproblema (npr. geometrijskega) na korake in deduktivnoutemeljuje posamezne korake. Zaveda se, da obstajajopogoji oz. omejitve, pri katerih velja dani sklep in jihnavede. Razume pojem potrebnega in zadostnegapogoja.Učitelj poudarjeno uporablja matematični jezik, izjavein povezave med njimi pri vsebinah, kjer nastopajoenostavnejši dokazi (npr. pri geometriji, pri številih(deljivost)).Dijaki ustno in pisno utemeljujejo in dokazujejopreproste matematične trditve (ne le reprodukcijodokaza).4.2 Obdelava podatkovPovezani cilji iz SPI:Dijak pozna osnove dela s podatki: zbiranje podatkov, tabelarično prikazovanje podatkov, analiziranje podatkov s preprostim strukturiranjem podatkov(razporejanje v skupine oz. kategorije po enem ali dveh kriterijih, razvrščanje, ureditev v drevesno strukturo), prikazovanje podatkov z raznovrstnimidiagrami, povzemanje podatkov (modus, mediana, aritmetična sredina). Znanje o delu s podatki zna uporabiti v celovitem postopku empiričnegapreiskovanja, od zbiranja podatkov do interpretiranja rezultatov.Dijak obnovi znanja o delu spodatki.Znanje o delu s podatki ponovimo in utrdimo prireševanju kompleksnih nalog, pri matematičnihpreiskovanjih ter predvsem v okviru medpredmetnihprojektov (empirične preiskave).37

4.3 Osnove verjetnostnega računaPovezani cilji iz SPI:Dijak pozna osnove dela s podatki.Dijak uporablja osnovne prijemekombinatorike.Dijak določa verjetnost slučajnihdogodkov.Dijak zna sistematično predstaviti različne vrsteizborov iz dane množice objektov. Pri tem si pomaga stabelami in drevesnim diagramom.Pozna in zna uporabiti osnovni zakon kombinatorike.Pri ponazoritvi zakona si pomaga z drevesnim ali zdrugačnimi diagrami.V izborih v raznih kontekstih neposredno prepoznapermutacije (kjer razlikujemo vse elemente) inkombinacije (brez ponavljanja). Število kombinacij oz.permutacij izračuna z obrazcem.V raznih preštevanjih si pomaga z osnovnim zakonomkombinatorike in po potrebi s 'pravilom vsote' (npr. privariacijah brez ali s ponavljanjem).Dijak pozna pojem poskusa. Razume pojem empiričneverjetnosti, jo zna izmeriti in meritev pravilnointerpretirati.Razume pojem matematične verjetnosti, jo zna vpreprostih primerih neposredno izračunati in rezultatpravilno interpretirati.Predstavi sistem elementarnih dogodkov z diagramom.Z diagramom si pomaga pri računanju verjetnostisestavljenih dogodkov.Razume pojem nezdružljivosti in neodvisnostidogodkov ter zna izračunati verjetnost vsotenezdružljivih in produkta neodvisnih dogodkov.Uporablja znanje kombinatorike pri računanjumatematične verjetnosti.38

V. MINIMALNI STANDARDI ZNANJAMinimalne standarde znanja izkazuje dijak, ki razvije kompetence le do osnovnih stopenj ter je prinjihovem izkazovanju nesamostojen in manj zanesljiv.VI. DIDAKTIČNA PRIPOROČILADidaktična priporočila so zapisana kot usmeritve za pouk matematike v III. poglavju (Usmerjevalnicilji, ključne kompetence, usmeritve za razvijanje ključnih kompetenc) in kot bolj konkretnapriporočila v zadnji koloni tabel v IV. poglavju (Operativni cilji).VII. OBLIKE PREVERJANJA IN OCENJEVANJAPreverjanje in ocenjevanje matematičnega znanja naj odseva globalne cilje pouka matematike,raznolikost učnih metod in izrazne zmožnosti dijakov. Pri tem smo pri dijakih pozorni narazumevanje matematičnih idej, na zmožnost izražanja teh idej, na izvajanje matematičnihpostopkov v skupini in samostojno, v preprostem, kompleksnem in poklicnem kontekstu. Spodnjapreglednica prikazuje predvidene načine ocenjevanja.Načini ocenjevanja Ocenjevalni kriteriji OpombaPisni preskusUstno »spraševanje«Razumevanje in zmožnostuporabljanja osnovnih matematičnihpojmov.Raven sistematičnosti, splošnosti inabstraktnosti pri obravnavimatematičnih situacij.Zmožnost reševanja matematičnihproblemov.Zmožnost zbiranja, organiziranja inanaliziranja podatkov.Zmožnost interpretiranja in kritičnepresoje pri uporabi matematike vpoklicu.Zmožnost uporabe matematičnihorodij pri sporazumevanju.Razumevanje in zmožnostuporabljanja osnovnih matematičnihpojmov.Zmožnost uporabe matematičnihorodij pri sporazumevanju.Pri dijakih skušamo čim boljrazvijati sposobnostsporočanja matematičnihidej. Če ima dijak pri ustnemsporočanju izrazite težave,mu omogočimo, da dobioceno na njemu ustreznejšinačin.39

MatematičnopreiskovanjeProjektna nalogaZmožnost uporabe matematičnihorodij pri sporazumevanju.Zmožnost načrtovanja in organiziranjadelovnih postopkov.Zmožnost uporabe tehnologije priizvajanju matematičnih postopkov.Raven sistematičnosti, splošnosti inabstraktnosti pri obravnavimatematičnih situacij.Zmožnost uporabe matematičnihorodij pri sporazumevanju.Zmožnost uporabe tehnologije priizvajanju matematičnih postopkov.Zmožnost interpretiranja in kritičnepresoje pri uporabi matematike vpoklicu.Zmožnost načrtovanja in organiziranjadelovnih postopkov.Zmožnost sodelovanja in dela v timu.Preiskovanje je lahko vezanona poklicne aspiracijedijakov. Zahtevnostpreiskovanja naj boprilagojena zmožnostimdijaka. Dijak dobi dobrooceno, če v skladu s svojimmatematičnim znanjem insposobnostmi izdelapreiskavo zavzeto inodgovorno, pri tem pa pokažezmožnost načrtovanja,pravilne uporabematematičnega znanja,sporočanja in uporabetehnologije.Projektno naloga naj bointerdisciplinarna in izvedenav timu. Pri vrednotenjunaloge smo pozorni nadijakovo zavzetost inodgovornost pri delu ter nadijakovo zmožnostnačrtovanja, dela s podatki,interpretiranja rezultatov,sporočanja in uporabetehnologije.40