Statika pre špeciálne inžinierstvo. - Fakulta špeciálneho inžinierstva

ŽILINSKÁ UNIVERZITA V ŽILINEFakulta špeciálneho inžinierstvaDoc. Ing. Jozef KOVAČIK, CSc.Ing. Martin BENIAČ, PhD.STATIKAPRE ŠPECIÁLNE INŽINIERSTVODruhé doplnené a upravené vydanieUrčené pre študijné odbory Bezpečnostný manažment, Špeciálny manažment,Doprava v krízových situáciách a Záchranné služby.Vydala Žilinská univerzita2005

Recenzenti:prof. Ing. Norbert Szuttor, DrSc.doc. Ing. Josef Reitšpís, PhD.Schválila edičná rada ŽU v Žiline výmerom číslo 8/2004© J.Kovačik, M.Beniač, 2003ISBN 80-8070-077-Xkovben

OBSAHPREDSLOV ............................................................................................................... 51 ÚVOD DO MECHANIKY A STATIKY.................................................................. 71.1 Úvod do mechaniky, základné pojmy a definície.............................................. 71.2 Základné pojmy, axiómy a úlohy statiky............................................................ 121.2.1 Axióma o rovnobežníku síl .................................................................... 131.2.2 Axióma o rovnováhe dvoch síl ............................................................... 191.2.3 Axióma o pridaní (odobratí) rovnovážnej sústavy síl ............................ 222 ROVINNÁ SÚSTAVA SÍL ....................................................................................... 252.1 Rovinný zväzok síl ............................................................................................. 252.1.1 Redukcia rovinného zväzku síl .............................................................. 262.1.1.1 Analytické riešenie ................................................................... 262.1.1.2 Grafické riešenie ...................................................................... 272.1.2 Rovnováha rovinného zväzku síl ........................................................... 302.1.3 Statická určitosť úloh ............................................................................. 332.1.4 Rovnováha troch síl v rovine ................................................................. 352.2 Všeobecná rovinná sústava síl ........................................................................... 372.1.2 Statický moment sily .............................................................................. 372.2.2 Silová dvojica.......................................................................................... 422.2.3 Preloženie sily na telese a skladanie sily a dvojice síl ........................... 452.2.4 Redukcia všeobecnej rovinnej silovej sústavy ....................................... 462.2.4.1 Analytické (výpočtové) riešenie............................................... 472.2.4.2 Grafické riešenie ...................................................................... 512.2.5 Rovnováha všeobecnej rovinnej sústavy síl ........................................... 542.2.5.1 Analytické (výpočtové) riešenie rovnováhy............................. 542.2.5.2 Grafické riešenie rovnováhy .................................................... 582.2.6 Statická určitosť úloh ............................................................................. 622.2.7 Riešenie sústavy rovnobežných síl ......................................................... 633 ŤAŽISKÁ HMOTNÝCH ÚTVAROV..................................................................... 69

PREDSLOVSkriptá Statika pre špeciálne inžinierstvo sú určené študentom Fakulty špeciálnehoinžinierstva ŽU. Vznikli na podnet detašovaného pracoviska FŠI ŽU v Košiciach, nazabezpečenie literatúry najmä pre externú i dennú formu štúdia v odboroch špeciálnehoa bezpečnostného manažmentu.Úlohou predmetu statika, spoločne s ďalšími predmetmi tohto zameraniav špeciálnom inžinierstve je, aby analýza príčin a opatrenia prijímané na riešeniekrízových situácií boli efektívne a vždy v súlade s ich fyzikálnou podstatou.Obsiahnutá látka zo statiky je rozdelená do 6 kapitol, v ktorých okrem nutnej teórie súna ilustráciu a získanie potrebnej zručnosti aj vypočítané príklady. Väčšia časť skrípt, počnúctreťou kapitolou, je venovaná metódam a aplikáciám základných vedomostí zo statiky (kap. 1a 2) na riešenie podmienok rovnováhy a ekvivalencie silových sústav na skutočných telesáchv rovine.Štúdium a osvojenie si vedomostí zo statiky predpokladá znalosti matematiky a fyziky,v rozsahu týchto predmetov prednášaných na FŠI ŽU.Pri spracovaní skrípt sme vychádzali z osnovy predmetov v oboch odboroch štúdia naFŠI ŽU a ustálenej metodiky vyučovania statiky na technických vysokých školách. Vodidlomnám boli najmä skriptá VTA v Brne. Snažili sme sa o pragmatický prístup - o čonajjednoduchšie a úsporné objasnenie teórie, o dôraz na jej aplikácie v príkladoch,a o využitie i vlastných skúseností z praktickej výučby.Ďakujeme Prof. Ing. Norbertovi Szuttorovi, DrSc. a doc. Ing. Josefovi Reitšpísovi, PhD.za ich starostlivú recenziu a pripomienky.Autori5

1. ÚVOD DO MECHANIKY A STATIKY1.1 Úvod do mechaniky, základné pojmy a definícieobjektov.Mechaniku možno definovať ako vedu o pohybe a o vzájomnom pôsobení hmotnýchPodľa druhu hmotných objektov sa mechanika delí na mechaniku tuhých telies,mechaniku deformovaných telies a mechaniku kvapalín a plynov.Z viacerých ďalších možných delení uveďme najčastejšie klasické rozdeleniemechaniky (Lagrange, 1736- 1813) na statiku, kinematiku a dynamiku.• Statika• Kinematika• Dynamikavyšetruje telesá a ich vzájomné pôsobenie (prevažne) v pokoji.vyšetruje pohyb telies v priestore a v čase, pričom neuvažuje s ichhmotnosťou a vzájomným účinkom.vyšetruje pohyb telies so zreteľom na ich hmotnosť a vzájomnésilové pôsobenie.V bežnej technickej praxi sa úlohy v mechanike riešia v medziach platnosti tzv.klasickej mechaniky, ktorej základom sú tri Newtonove (1642 - 1727) zákony:• Zákon zotrvačnosti hmotný bod zotrváva v pokoji, alebo v rovnomernompohybe, ak nie je okolitými telesami nútený zmeniť svojpôvodný stav.• Zákon pohybový zmena pohybu (zrýchlenie) je priamo úmerná sile, ktorána teleso pôsobí a má smer pôsobiacej sily (Pozn.: tiežzvaný ako „zákon sily“).• Zákon akcie a reakcie ak pôsobí teleso 1 na druhé silou F 12 (akciou), pôsobíteleso 2 na prvé rovnako veľkou silou F 21 opačnéhozmyslu (reakciou).7

Hmota existuje v priestore a v čase. Polohu akéhokoľvek objektu v priestore možnourčiť len ako relatívnu, t. j. vždy iba vzhľadom na počiatok dajakého súradnicovéhosystému. (Termínom „priestor“ sa v klasickej mechanike rozumie euklidovský trojrozmernýpriestor).Neoddeliteľnou vlastnosťou hmoty je pohyb, t. j. časová zmena polohy hmotnéhoobjektu v danej súradnicovej sústave (priestore). Neexistuje hmotný objekt, ktorý by nebolv pohybe aspoň v jednej súradnicovej sústave!Aby bolo možné popísať, t. j. početne vyjadriť (kvantifikovať) úlohy v mechanike jeteda potrebné najskôr zaviesť vhodnú súradnicovú sústavu.Pri riešení úloh v priestore sa používajú: pravouhlá (ortogonálna) trojosá súradnicovásústava, ďalej valcová (cylindrická) a guľová (sférická) súradnicová sústava.V úlohách riešených v rovine sa najčastejšie používa pravouhlá (ortogonálna)dvojosá súradnicová sústava a keď je to výhodnejšie polárna súradnicová sústava (obr. 1.1).pravouhlá súradnicová sústavapolárna súradnicová sústavaObr. 1.1Predpokladom na použitie zákonov klasickej mechaniky je inerciálnosť súradnicovejsústavy. Ako interciálna (nepohyblivá, stála) súradnicová sústava sa v bežných technickýchproblémoch považuje sústava spojená so Zemou (pole zrýchlenia spôsobené rotáciou Zeme jezanedbateľné).Základné veličiny mechaniky sú: • hmotnosť• dĺžka• čas.8

V sústave SI (Systéme International d`Unites) sa uvažuje s nasledujúcimi hodnotamizákladných veličín:• Jednotkou hmotnosti je 1 kg (kilogram). Táto jednotka je daná (dohovorenou)hmotnosťou medzinárodného prototypu kilogramu.• Jednotkou dĺžky (vzdialenosti) je 1 m (meter). Jeho veľkosť je daná národnýmštandardom dĺžkovej miery.• Jednotkou času je 1 s (sekunda). Čas sa považuje za rovnomerne a nezávisleplynúcu veličinu.Ostatné veličiny a ich jednotky, ktoré sa používajú v mechanike sú odvodené zozákladných. K najvýznamnejším odvodeným veličinám patríSilaSila je vektor (F). Aby bol vektor sily jednoznačne určený (obr. 1.2) musí byť u silyznáma jej:• veľkosť• miesto pôsobenia• smer• zmysel.F... vektor sily/F/ = F... veľkosť silye F ... smer a zmysel („šípka“) sily/e F / = 1 (jednotkový vektor)e... nositeľka silyA... pôsobisko silyr A ... polohový vektor pôsobiskasily0... počiatok súradnicovej sústavyα, β... smerové uhly vektoru silyObr. 1.2F x , F y ... súradnice vektoru silyX A , Y A ... súradnice polohovéhovektoru (pôsobiska sily)x, y... osi súradnicovej sústavyPriamka, na ktorej leží vektor sily, sa nazýva nositeľkou sily.9

Jednotkou veľkosti sily je 1 N (Newton)Sila s veľkosťou 1 N udelí hmotnému bodu s hmotnosťou 1 kg zrýchlenie a = 1ms -2v smere a zmysle sily (2. Newtonov zákon: m.a = F), t.j.: 1N = [1kg.ms -2 ] .V technickej praxi sa často využívajú jej násobky, napr.: 1kN = 10 3 N, 1 MN = 10 6 N,resp. 1mN = 10 -3 N, 1μN = 10 -6 N.Rozdelenie sílSily sa rozdeľujú podľa rôznych kritérií tak, aby to zodpovedalo potrebám riešenýchúloh v mechanike. V súlade s tým sa sily delia na (obr. 1.3):1. Vonkajšie (vyvolané vonkajšími účinkami na teleso) a vnútorné (sily vo vnútri telesa).2. Prvotné (primárne, akcie) a druhotné (sekundárne, reakcie), ktoré sa prejavia vo väzbáchmedzi telesami.3. Povrchové (kontaktné, dotykové) a objemové (vlastná tiaž telesa, odstredivé sily,magnetické sily).Vonkajšie sily môžeme ďalej rozdeliť na:• Osamelé, ak sa účinok vonkajšej sily sústreďuje na veľmi malú plošku v pomerek celkovým rozmerom telesa. (Pri výpočtoch uvažujeme, že takáto sila pôsobí v bode).Osamelé sily meriame v [N], [kN] ... .• Spojité, keď vonkajšie zaťaženie je rozložené na určitej čiare alebo ploche (napr. vlastnátiaž telesa). Spojité zaťaženie, rozložené po čiare meriame v [Nm -1 ] a rozložené po plochev jednotkách [Nm -2 ].10

Zaťaženia možno deliť ďalej na trvalé (napr. vlastná tiaž) a dočasné (prechádzajúcevozidlo na moste, účinok vetra a pod.), alebo na statické a dynamické (pôsobiace v krátkejčasovej perióde), stále a cyklické atď.(náhradná sila)osamelá silasústava osamelýchbremienstále spojitézaťaženiepohyblivé spojitéčiastočné zaťaženiestále spojitétrojuholníkovézaťaženiekombinované(zložené)zaťaženiezaťaženievonkajšímimomentmizaťaženie silamirôzneho smeruObr. 1.3Významnou objemovou silou je sila tiaže. Je priamoúmerná gravitačnému zrýchleniu av blízkosti zemského povrchu má veľkosť g = 9,806 ms -2 . Sila tiaže pôsobiaca na telesos hmotnosťou m je G = g.m [N].Pre štúdium a všeobecný popis vlastností mechanických stavov a javov skutočnýchtelies vznikol rad užitočných fyzikálnych abstrakcií, akými sú:• Hmotný bod ... teliesko, ktoré má zanedbateľné rozmery, konečnú hmotnosť(m ≠ 0) a nulový moment zotrvačnosti.• Hmotné teleso ... súbor vzájomne viazaných hmotných bodov, ktorých celkováhmotnosť sa rovná hmotnosti telesa. Ak sa vzdialenosti medziviazanými hmotnými bodmi môžu meniť hovoríme o poddajnostitelesa (sústave hmotných bodov). Vtedy, keď tieto vzdialenostipovažujeme za nepremenné (stále) hovoríme o dokonale tuhomtelese. Dokonale tuhé teleso má tri zotrvačné charakteristiky:celkovú hmotnosť [kg], ťažisko (hmotný stred) a momentyzotrvačnosti, charakterizujúce rozloženie hmoty v telese [kgm 2 ] .11

Fyzikálne abstrakcie umožňujú vytvárať primerane zjednodušené fyzikálne modelyskutočných telies.Z fyzikálneho modelu sa odvodzuje model matematický (výpočtový), ktorý vediek sústave rovníc, ktorých riešenie je riešením problému.Z uvedeného vyplýva, že ak máme získať riešením modelu správne výsledky, musímodel vystihovať s dostatočnou presnosťou základné vlastnosti skutočného objektu. Tvorbamodelu a jeho riešenie vyžaduje skúsenosti a znalosti, o. i. práve zo základov mechaniky.So silami sa v statike pracuje ako s vektormi. Prednosť sa pritom dáva výpočtovýmmetódam, pričom grafické metódy sa používajú tam, kde umožňujú ľahkú orientáciu v úlohea podporujú fyzikálne predstavy.1.2 Základné pojmy, axiómy a úlohy statikyStatika je časťou mechaniky, ktorá sa zaoberá rovnováhou telies, t. j. silovýmiúčinkami, ktoré nevyvolávajú zmenu pohybového stavu telies. Statika je najstaršia časťmechaniky a jej niektoré princípy boli využité už pri stavbe egyptských pyramíd. Archimedes(287 - 212 pred n.l.) poznal rovnováhu na páke. Stevin (1548 - 1620) určil princíprovnobežníka síl. Na rozvoji celej mechaniky sa ďalej podieľali Galileo Galilei (1564 - 1642),Christian Huygens (1629 - 1695) a ďalší. Najvýznamnejšími sa stali objavy Isaaca Newtona(1642 - 1727). V ďalšom období sa statika rozvíjala najmä v oblasti metód riešeniaa v praktických aplikáciách. V súčasnosti, v ére výpočtovej techniky, sa prechádza viac odpredtým veľmi rozšírených grafických metód k metódam výpočtovým.Silové účinky uvažované vo fyzikálnom modeli sa nazývajú silovou sústavou.V súvislosti s riešením rovnováhy silových sústav statika rieši tiež otázku statickejekvivalencie.12

Význam statickej ekvivalencie pri riešení silových sústav je tak významný, že sa častopovažuje za druhú úlohu statiky. Podľa takéhoto náhľadu rieši statika dve úlohy:• Statickú rovnováhu ... silová sústava je v statickej rovnováhe ak nemení pohybový stavtelesa (väčšinou stav telesa v pokoji).• Statickú ekvivalenciu ... dve rôzne silové sústavy sú staticky ekvivalentné vtedy, keďspôsobujú rovnakú zmenu pohybového stavu telesa (majú nateleso rovnaký účinok).Základnú úlohu statiky možno sformulovať takto:Základnou úlohou statiky je určenie statickej rovnováhy a ekvivalencie silovýchsústav a ich aplikácie na riešenie staticky určitých úloh v technickej praxi.Prvé kontakty s oboma úlohami prinášajú už základné axiómy statiky.Axiómou sa rozumie (základná) pravda, poučka či tvrdenie, ktoré netreba dokazovať,pretože jej správnosť bola overená skúsenosťou.Statika je vybudovaná na dvoch axiómach: na axióme o rovnobežníku síla o rovnováhe dvoch síl. Dôležitým dôsledkom druhej axiómy je veta o pridaní (odňatí)rovnovážnych síl, ktorá sa niekedy uvažuje samostatne, ako tretia axióma.1.2.1 Axióma o rovnobežníku sílDve rôznobežné sily F 1 a F 2 , ktoré pôsobia v spoločnom bode A tuhého telesa majúrovnaký účinok ako sila R pôsobiaca v tom istom bode, pričom jej veľkosť, smera zmysel sa rovná orientovanej uhlopriečke rovnobežníka zostrojeného nad obomasilami.13

Sila R sa nazýva výslednica (rezultanta) a je staticky ekvivalentná silám F 1 , F 2 . Prinahradení síl F 1 a F 2 ich výslednicou hovoríme o redukcii (zjednodušení) silovej sústavy.Sily F 1 , F 2 v rovnobežníku síl sa nazývajú zložkami výslednice.výslednicazložky≡a) b) silový rovnobežník c) silový trojuholníkObr. 1.4Z obr. 1.4c je zrejmé, že výslednicu R možno získať tiež vektorovým súčtom síl F 1 a F 2.R = F 1 + F 2 = F 2 + F 1 (1. 1)Uvedený súčet sa skladá zo silových trojuholníkov a má charakter komutatívnostisčítania vektorov (nezáleží na poradí sčítania síl!).• Výpočtové (analytické) riešenie vychádza zo skalárneho prepisu vektorovej rovnice(1.1). Z obr. 1.5, z kosínusovej a sínusovej vety (o všeobecnom trojuholníku) a skutočnosti, žecosα = - cos(π - α) platí:R =2 21 221F2F + F + F cosα(1.2)Obr. 1.5Pre uhol α = 0 bude R = F 1 + F 2sinα 1 =sinα 2 =F2RsinαF1sinαR(1.3)α = π bude R = F 2 - F 1sinα 1 = RF 2π 2 2α = bude R = F +21F2sinα 2 = RF 114

2. ROVINNÁ SÚSTAVA SÍLRovinnú sústavu síl tvoria sily, ktorých nositeľky ležia v jednej rovine. V prípadeviazaného telesa musia väzby dovoľovať vznik reakcií v tej istej rovine pôsobiacich síl.2.1 Rovinný zväzok sílSily tvoria rovinný zväzok síl, alebo tiež tzv. centrálny silový systém, keď nositeľkysíl ležia v jednej rovine a majú spoločný priesečník (obr. 2.1).Vzhľadom na vetu o posunutí sily po jej nositeľke (ods. 1.3.3, obr. 1.15) je zrejmé, žezaťaženie telesa silami F n na obr. 2.1b je staticky ekvivalentné so zaťažením na obrázku 2.1a .≡a) b)Obr. 2.1Prvou základnou úlohou statickej ekvivalencie je redukcia síl.Výslednicou zväzku síl je vždy jediná sila na nositeľke, ktorá prechádza spoločnýmpriesečníkom (dôsledok axiómy o rovnobežníku síl - ods. 1.3.1).Druhou základnou úlohou je určenie podmienok rovnováhy silovej sústavy. Tentostav nastane zrejme vtedy, keď výslednica bude nulová (vektor nulovej veľkosti).Obe úlohy je možno riešiť analyticky alebo graficky.25

2.1.1 Redukcia rovinného zväzku síl2.1.1.1 Analytické riešenieNa analytické riešenie zvolíme najskôr súradnicový systém 0xy s počiatkomv spoločnom priesečníku nositeliek síl.Sú dané F i a α 1 (obr. 2.2) každej zo síl.Sily F i (kde i = 1,2, ...,n) nahradímezložkami v osiach x a y o veľkostiachF ix = FicosαF iy = F sinα (2.1)iIch výslednice v oboch osiach súF innR x = ∑ F ix= ∑ FicosαiObr. 2.2R y =i=1n∑i=1i=1n∑F iy= F sinαi=1ii(2.2)Výslednica R má veľkosťR = R +(2.3)2 2xR ya jej smer je určený uhlom α , pre ktorý platíRRytgα R = (2.4)RxAk vyjadríme zložky výslednice pomocou uhla α , bude RR x = R.cos α R a R y = R.sinα (2.5)26

čo umožňuje ďalej napísať, napr.nR.cos α R = ∑ Ficosαi(2.6)i=1Uvedený vzťah vyjadruje vetu o priemete výslednice:Priemet výslednice rovinného zväzku síl do ľubovoľného smeru sa rovnáalgebraickému súčtu priemetov jej zložiek do toho istého smeru.Doplňme, že pre α i = α ležia všetky sily nutne na spoločnej nositeľke a ichvýslednica je∑ niR = F a α = αiR2.1.1.2 Grafické riešenieNa grafické riešenie sú dané veľkosti síl F a ich nositeľky eii. Na riešenie zvolímenajskôr vhodnú mierku m F [N/mm] a vypočítame veľkosti zobrazovacích úsečiekjednotlivých síl.FiFi= [mm] (2.7)mFVieme už, že skladanie (redukciu) síl rovinného zväzku možno vykonať buďpostupným uplatnením axiómy o rovnobežníku síl, alebo (zrejme možným) rozšírenímvektorového sčítania na viac než dve sily:R = F 1 + F 2 + F 3 + ... Fn (2.8)R 1,2R 1,2,3atď.To možno stručne zapísať akoR =∑ niFi(vektorový súčet F ) (2.9)i27

V nasledujúcej úlohe na obr. 2.3 je riešenie vykonané pre tri sily, kde:R = F + F + F1 2 3zvolíme m = ... Fzložkový (silový) obrazecObr. 2.3Po nakreslení zložkového obrazca odmeriamevýslednice R = R . m [N]. FR[mm] a vypočítame veľkosťPozor! Výslednica pôsobí v spoločnom priesečníku síl a jej zmysel v zložkovomobrazci je vždy proti zmyslu obehu jej zložiek (vyznačené čiarkovane).Komutatívnosť sčítania vektorov dokumentujú časti obr. 2.4b,ca) b)c)Obr. 2.4Príklad 2.1: Určite analyticky aj graficky veľkosť, smer a zmysel výslednice rovinnéhozväzku síl F 1 = 150 kN, F 2 = 250 kN, F 3 = 350 kN, F 4 = 400kN, F5 = 450 kN,s uhlami α 1 = 0 o , α 2 = 60 o , α 3 = 150 o , α 4 = 210 o , α = 300 o5 . Uhly sú merané(obr. 2.5) od kladnej osi x proti zmyslu pohybu hodinových ručičiek.28

Uhol α meraný od osi x je potomRα R = 180 o + 52,97 o = 232,97 o• Grafické riešenie je vykonané v obr. 2.5b v mierke m F = 10 kN.mm -1 . Odmeranímobdržíme R= 25 mm, z čoho potom hľadaná výslednica má veľkosť R = R . m F = 25 . 10 == 250 kN a odmeraný uhol od osi x je α R = 230 o .Je zrejmé, že grafické riešenie závisí na starostlivosti, s akou je nakreslený zložkovýobrazec. Ak však vezmeme do úvahy, s akou nepresnosťou bývajú často zadané jednotlivésily vo zväzku, možno grafický postup akceptovať vo väčšine riešených praktických úloh.Grafické riešenie sa preto často uprednostňuje pre svoju rýchlosť a názornosť.2.1.2 Rovnováha rovinného zväzku sílRovinný zväzok síl je v rovnováhe, keď jeho silový účinok na tuhé teleso je nulový.Takýto stav nastane vtedy, ak jeho výslednica je nulová (nulový vektor), t. j.R = 0(2.10)• Početné riešenieZ rovnice (2.3) pre veľkosť výslednice R =R + , kde R x = F a Ry =2 2xR y∑ ix= ∑ Fiyvyplýva, že pri rovnováhe musia byť splnené rovnice∑ Fix= 0 , ∑ Fiy= 0(2.11)Rovnice 2.11 vyjadrujú podmienky rovnováhy rovinného zväzku síl a je ich možnoformulovať slovne takto:Pri rovnováhe rovinného zväzku síl je algebraický súčet priemetov všetkých síl dosmerov súradnicových osí rovný nule.30

Poznámka: Pretože smery osí súradníc môžeme voliť ľubovoľne a sú na smeroch nositeliekv sústave síl nezávislé, možno pre podmienky rovnováhy použiť ľubovoľné dvenerovnobežné osi. Zvyčajne sa však používajú pravouhlé osi x, y.Z uvedeného vyplýva, že sily rovnakého smeru (so spoločnou nositeľkou) budúv rovnováhe, keďn∑ F i = 01(2.12)• Grafické riešenieNa obr. 2.6 je nakreslený zväzok síl F + F + F , ktoré pôsobia v bodoch A , A , A1 2 3 1 2 3(ich nositeľky e , e 1 2, e 3 sa pretínajú v spoločnom bode A). Výslednica zväzku síl R leží nanositeľke e r .Zvolíme vhodnú mierku síl m F a nakreslíme ich zložkový obrazec:orientácia postupného sčítania síla)Obr. 2.6smer (opačný) ich výsledniceb)Rovnováhe porozumieme vtedy, keď si uvedomíme, že keby sme pridali k tejtosústave (ďalšiu!) silu F 4 , ležiacu na nositeľke výslednice e r , pre ktorú by platilo-F 4 = R (2.13)by bolo možno napísaťR + F 4 = F 1 + F 2 + F 3 + F 4 = R + (-R) = 0 (2.14)R31

na splniť tak podmienku rovnováhy rovinného zväzku síl (∑ F1i= 0).V zložkovom obrazci (obr. 2.6b) sa to prejaví v jednom zmysle uzavretým obrazcomsíl. Podmienku rovnováhy rovinného zväzku síl pri grafickom riešení možno vysloviť takto:Pri rovinnom zväzku síl musí byť zložkový obrazec uzatvorený a všetky jehozložky sú orientované v tom istom zmysle.Príklad 2.2Nitovaný styk (obr. 2.7a) je zaťažený silami F 2 = 3000 N a F3 = 8000 N. Určiteveľkosť síl F a F 1 4, keď je styk v rovnováhe.a)b)Obr. 2.7• Analytické riešenieVšetky osové sily v prútoch tvoria rovinný zväzok síl (majú spoločný priesečník A),pre ktorý pri rovnováhe (2.11) platí ∑ Fix= 0,∑ Fiy= 0.Po dosadení dostávame rovnice:F - F 1 2 + F 3 . cosα = 0F 4 - F3sinα = 0(sústavu 2 rovníc o dvoch neznámych F ,- F ) 1 2Po dosadení hodnôtF = 3000 - 8000 cos40 o = - 3128 N1F = 8000 sin40 o = 5142 N.432

Hľadané sily sú F = -3,128 kN a F1 4 = 5,142 kN, pričom si treba všimnúť, že sila F 1 máopačný zmysel, než sme pôvodne (v obr. 2.7a !) predpokladali.Na obr. 2.7b je vykonané grafické riešenie rovnováhy v mierke m = 1 kN/cm -1F v súlades rovnicou 2.14, F 1 + F2 + F 3 + F4 = 0.Odmeraním priamo v obr. 2.7b zistíme (s presnosťou zrejme najviac na dve desatinnémiesta!), že F = -3,12 kN a F = 5,15 kN2 42.1.3 Statická určitosť úlohÚloha rovinného zväzku síl je staticky určitá vtedy, keď neobsahuje viacneznámych než dve a ak nie je výnimočným prípadom.Statickú ekvivalenciu alebo rovnováhu dvoch silových sústav F i, F j možno teda napísať∑F i ± ∑F j = 0• vektorovo , kde i = 1,2 ..., nj = 1,2, ..., m (2.15)• alebo analyticky∑F ix ± ∑F jx = 0∑Fiy ± ∑F jy = 0(2.16)zväzku.Znamienko platí pre statickú ekvivalenciu, ⊕ pre statickú rovnováhu rovinnéhoRovnice pre analytické riešenie sú dve, z čoho teda vyplýva aj uvedená podmienkastatickej určitosti.Pri väčšom počte neznámych (obr. 2.8a) je úloha staticky neurčitá (nevieme s istotou -určite vypočítať, aké sily budú pripadať pri rovnováhe od jednej sily Q na tri! smery v prútoch1,2,3). Pri nevhodnom usporiadaní síl vznikne výnimočný prípad (obr. 2.8b, 2.8c).33

a)b) nemôže byť ΣF iy = Q ≠ 0Obr. 2.8c) chýba jedna rovnicaΣF iy = 0 (úloha je triviálna)Príklad 2.3: Na bod A pôsobia známe sily F , F , F 1 2 3, ktoré majú byť nahradené zväzkom sílv tomto bode P΄, P˝ a Q v daných smeroch. Sily P΄ a P˝ majú rovnakú veľkosť.0 ≡ ANa riešenie statickej ekvivalencie sústavF 1, F 2, F3 a P΄, P˝, Q sú využité rovnice(2.16)∑F ix - ∑F jx = 0∑F iy - ∑F jy = 0, kde P΄ = P˝ = PObr. 2.9Po dosadení hodnôt dostávamez obrázku 2.9 rovnice pre neznámehodnoty P a Q.F 1 cosα 1 - F 2 cosα 2 + F3sinα3 + P (1 + cosβ) = 0F1sinα 1 + F2sinα 2 - F3cosα 3 + Q - P . sinβ = 0odtiaľ potom1P =1+cos β(F 2 cosα 2 - F1cosα1 - F3sinα3) = P΄ = P˝Q = -F 1 .sinα1 - F2sinα 2 + F3cosα 3 + P.sinβ34

2.1.4 Rovnováha troch síl v rovineTri sily v rovine na tuhom telese sú v rovnováhe vtedy, keď tvoria rovinný zväzoksíl a spĺňajú podmienky rovnováhy zväzku.R 1,2Dôkaz je zrejmý z obr. 2.10. Sily F , F 1 2majú výslednicu R 1,2 , ktorá prechádzaich priesečníkom K . Tretia sila F 3 musíbyť pri rovnováhe s výslednicou R 1,2kolineárna (1.11) a teda nositeľky síl F 1 ,F 2 , F 3 sa pretínajú v spoločnom bode K .Obr. 2.10Ďalej musia byť splnené rovnice 2.12 a 2.11∑F i = 0∑F ix = 0∑F jy = 0- pri grafickom riešení- pri analytickom riešeníPríklad 2.4: Určite analyticky a graficky reakcie na nosníku (obr. 2.11a) uloženom prosto napodperách A, B. Nosník je zaťažený šikmou silou F = 2 kN.0 ≡ Ka) b) c)Obr. 2.1135

⇒ K .Nosník AB je v rovnováhe pri účinku troch síl F, A, B, pre ktoré platí F + A + B = 0Nositeľky troch síl sa musia pretínať v spoločnom priesečníku K a tým je určený ajsmer tretej sily A. (Smer nositeľky reakcie B je daný vlastnosťou posuvnej väzby).• Na analytické riešenie treba určiť uhol α. Z obr. 2.11a plynieob.tgβ4. tg30tgα = = = 0,3849 ⇒ α = 21,1 o .( a + b)(2 + 4)Podľa rovníc o rovnováhe zväzku síl (obr. 2.11b) platí:ΣF = 0: -F.cosβ + A.cosα = 0ixΣF iy = 0: -F.sinβ + A.sinα + B = 0A po úprave a dosadení určímeA = Fcos β cos30= 2.cosαcos 21oo= 1,855 kNB = F.sinβ - Asinα = 2.sin30 o - 1,855.sin21 o = 0,335 kN• Z grafického riešenia (obr. 2.11c) vo zvolenej mierke m = 1 kN/5 mm odmeriameFA aB a vypočítameA =B =AB. m = 3,7 . 0,5 = 1,86 kNF. m = 0,65 . 0,5 = 0,33 kNF36

2.2 Všeobecná rovinná sústava sílVšeobecnú rovinnú sústavu (systém) síl tvoria sily, ktorých nositeľky ležia v jednejrovine a majú v nej všeobecnú polohu (nepretínajú sa všetky v spoločnom priesečníku).Treba doplniť, že medzi silovými účinkami v rovine sa môžu vyskytovať nielenosamelé sily, ale tiež spojité zaťaženia a zaťaženie momentmi. Spojité zaťaženia nadokonale tuhom telese nahradzujeme vo výpočtoch osamelými silovými účinkami. Momentspoločne s osamelou silou sú dva základné druhy silového pôsobenia na teleso.Preto, skôr než pristúpime k riešeniu všeobecnej sústavy síl, je treba sa zoznámiťs nasledujúcimi pojmami:• Statický moment sily k bodu roviny,• Silová dvojica a jej statický moment,• Preloženie sily na telese a skladanie sily a momentovej silovej dvojice.2.2.1 Statický moment silyAk pôsobí sila F v bode A telesa, ktoré sa môže otáčať okolo bodu 0, bude ako viemeotáčavý účinok tým väčší, čím väčšia bude sila F a čím väčšia bude jej vzdialenosť p odbodu 0.Otáčavý účinok sily vyjadruje statický moment sily F k bodu 0 a označuje sa písmenom M.FM = F . p[N.m] (2.17)Ap ... rameno sily (najkratšia, kolmá vzdialenosťnositeľky sily e r od bodu otáčania 0)0 ... momentový bodObr. 2.1237

Možno vysloviť tieto vety:• Mierou točivého účinku sily F okolo bodu 0 je statický moment sily F k tomutobodu.• Statický moment sily je rovný súčinu sily F a jej vzdialenosti od momentového bodu0 (ramena sily) p.• Momentu sily je možno priradiť vektor M na nositeľke e F a jeho smer je kolmý narovinu momentu.a)Obr. 2.13Znamienko momentu sa podľa dohovoru označuje podľa zmyslu točivého účinku takto:D+(proti chodu hodinovýchručičiek)C -v smere hodinovýchručičiek)Technickým (praktickým) aplikáciám prospeje, keď si uvedomíme, že z definíciestatického momentu sily priamo vyplýva, že jeho veľkosť (obr. 2.13b) je vlastne danádvojnásobným obsahom trojuholníka (0ff´).b)Obr. 2.1338

Ako tiež priamo z definície vyplýva, sila F má na teleso nulový otáčavý účinok vtedy,keď prechádza jej nositeľka momentovým bodom.V tomto prípade je p = 0 a teda súčin M = F.p = 0.Naopak, maximálny moment sily Fvzniká vtedy, keď sila je kolmá naAspojnicu OA , keď jej rameno jenajväčšie (obr. 2.14).Obr. 2.14M max= F . OA = F . pmaxKeď na teleso pôsobí viac síl (obr. 2.15) je výsledný (celkový) otáčavý účinok okolobodu 0 daný algebraickým súčtom veličín M . iAA 2AA nM = F 1 .p - F .p + ... + F .p1 2 2 n nn∑n∑= F p = M (2.18)i i1 1iPodmienka rovnováhy momentovpôsobiacich na otočne uložené teleso jepotomM = ∑ Mi= ∑ Fipi(2.19)Obr. 2.15Dosiaľ, v snahe vysvetliť točivý účinok sily, sme pre statický moment M mali vždyzadanú veľkosť i rameno sily F.V technickej praxi však býva úloha často zadaná všeobecnejšie, napr. sú známe len F i ,α i, A i(x i, y i), kde i = 1,2, ..., n.39

Z obr. 2.16 plynie, že rameno sily F ije p = x sinαi - y cosαi i i ia tedaM i = F i.p i = F i(xisinα i - yicos αi) =xiFisinαi - yiFcos αi = x i F iy - y i F(2.20)ixObr. 2.16Ak dosadíme do výrazu pre M i hodnoty súradníc i zložiek síl s ohľadom na znamienka(+, -) , dostaneme výsledné znamienko (zmysel) momentu v súlade s prijatou dohodouD.C + - .jeVýsledný moment všetkých síl k tomu istému bodu otáčania na dokonale tuhom telese∑ i ∑ i iy+M = M = x F y F )(2.21)(i ixUvedená rovnica (2.21)sa uvádza ako Varignonová (1654 - 1722) momentová veta:Statický moment výslednice k ľubovolnému bodu roviny síl sa rovnáalgebraickému súčtu statických momentov všetkých jej zložiek k tomu istému bodu40

Príklad 2.5: Určite moment sily F k bodu A. Sú dané F = 225N a rozmery uvedenév obr. 2.17.M A = F.p = x .F - y F =B y B x0,5(-Fcosα) - (-0,4) . Fsinα =F(-0,5cosα + 0,4sinα) ==152252+ 82(-0,5.15 + 0,4.8) == - 56,91 Nm ( v zmysle C).Obr. 2.17Príklad 2.6: Určite reakcie B v mieste podopretia (vo väzbe) B nosníka dĺžky l, ktorý jeotočne uložený na podpere v bode a. Nosník je zaťažený silou F a bremenomtiaže Q podľa obr. 2.18.Obr. 2.18Pre nosník otočne uložený v (kĺbe)bode A môžeme napísať momentovúpodmienku rovnováhy k tomutobodu.l lMA = -F . - Q ( + a)+ B . l = 02 2Odkiaľ reakcia B má veľkosť1⎡2a⎤B = F + Q(1 + )2 ⎢⎣ l ⎥⎦Reakcia B ruší otáčavý účinok síl F a Q k bodu A, resp. keby sme nahradili podperunosníka B silou B so silami F a Q ako sú nakreslené na obrázku, nosník by zostal v pokoji -(neotáčal by sa v kĺbe okolo bodu A).41

2.2.2 Silová dvojicaDve rovnobežné nekolineárne sily (neležia na tej istej nositeľke), rovnako veľkéa opačného zmyslu tvoria silovú dvojicu.Na obr. 2.19 je nakreslená silová dvojicatvorená silami F 1 a F 2, pre ktoré platíF 2 = -F1, takže∑ F i = F1 + F 2 = F1 + (-F 1) = 0 (2.22)AAZ uvedeného plynie, že silová dvojica mávýslednicu vždy rovnú nule (nemá tedažiadny posuvný účinok na teleso).Statický momentový (točivý) účinoksilovej dvojice k ľubovoľnému bodu 0 jeObr. 2.19 M = ∑M i = ∑F i . p i = -F 1.p1 + F 2.p 2 = F(p2 +p 1) = F . pMoment silovej dvojice je tedaM = F . p(2.23)kde rameno p dvojice je vzdialenosť nositeliek síl o veľkosti F. Pre rovnováhuk ľubovoľnému bodu môžeme potom tiež napísať∑M K = 0(2.24)Čo možno slovne vyjadriť takto:Sústava silových dvojíc je v rovnováhe, keď algebraický súčet momentov dvojíc sarovná nule.42

Príklad 2.7: Je treba nahradiť dvojicu síl F 1 , - F 1 inou dvojicou v bodoch c, d, v ktorej majúmať sily zvislý smer. (obr. 2.20)Dané F 1 = 65 NMoment danej dvojice jeM 1 = F 1 .p 1 = F 1 . AB cos30 o= 65 . 0,8.cos 30 o = 45,03 NmObr. 2.20Iná ekvivalentná dvojica s (rovnakým!) momentovým účinkom čo do veľkosti a zmyslu,pôsobiaca v bodoch c, d jeM 2 = F .p = M2 2 1, z čoho vyplýva veľkosť sily F 2F =2Mp21=45,031,2= 37,52 NPríklad 2.8: Určite reakcie A a B nosníka zaťaženého silami F a -F podľa obr. 2.21Obr. 2.21Zaťažujúce sily tvoria silovú dvojicuo momenteM = -F(a+b)iReakcie A, B musia pri rovnováhetvoriť tiež silovú dvojicu, a teda ak jeznámy smer reakcie B musíA ║B.byťPodľa rovnice 2.24 potom možno napísaťF ( a + b)∑M i = -F(a + b) + A . l = 0 a odtiaľ A = B = .lPredpokladaný smer reakcií bol zvolený správne, pretože hodnoty A, B sú kladné.43

Zo vzťahu pre M vyplýva, že moment dvojice nezávisí na polohe momentovéhobodu a teda je ku všetkým bodom roviny rovnaký. Treba ešte raz zdôrazniť, že silovádvojica má na teleso len krútiaci účinok - rovnaký okolo každého bodu roviny - vyjadrenýveličinou M - momentom dvojice.Obr. 2.22V rovine dokonale tuhého telesamôžeme účinok dvojice znázorniťnapr. tak, ako ukazuje obr. 2.22, t. j.orientovaným oblúčikom a veličinouM [Nm].Ak na teleso pôsobia viaceré silové dvojice, je výsledný točivý účinok daný momentomM = ∑M i = ∑F i p i (2.25)Z charakteru silovej dvojice ako bola už popísaná vyplývajú nasledujúce vety, ktorésúvisia s riešením statickej ekvivalencie a rovnováhy silových dvojíc:- Silovú dvojicu možno v rovine ľubovoľne posunúť a natočiť.DD- Danú dvojicu (F i p i ) možno nahradiť ľubovoľnou inou dvojicou (F j p j ), keď je splnenárovnica Fipi = Fjp j a zmysel točivého účinku má rovnaký.- Dvojica sa nedá nahradiť jedinou silou, teda sila a dvojica nemôžu byť ekvivalentné(momenty sily k rôznym bodom roviny sú všeobecne rôzne, zatiaľ čo momenty dvojícsú rovnaké).D- Dvojica môže byť v rovnováhe s inou dvojicou len vtedy, keď jej točivý účinok (M)Cmožno zrušiť točivým účinkom inej dvojice opačného zmyslu (-M).Z posledných dvoch viet vyplývajú i podmienky statickej ekvivalencie a rovnováhy. Presústavy M i a M j (i = 1,2,...,n; j = 1,2,...,m) musí byť splnená rovnica∑Mi ± ∑M j = 0, pričom znamienka (2.26)v rovnici značia( - ) ... ekvivalenciu( + ) ... rovnováhu .44

Príklad 2.9: Určite osové sily v prútoch nesúcich dosku zaťaženú momentom M, keď vlastnútiaž dosky možno zanedbať.a) Pri zaťažení telesa momentom Mmusia hľadané osové sily v prútochtvoriť silovú dvojicu.b)Napr. S a S majú výslednicu1 2R 12 = S 1 + S , 2ktorá so silou S 3 vytvára dvojicu.Obr. 2.23potom S 3 . a - M = 0S 3 = R 12 =Mazo známej sily R 12 určíme zložky S a S (obr. 2.23b),1 2S 1 = R 12 .cosα, S 2 = R12. sinαPoznámka: Riešenie s rovnakým výsledkom môžeme vykonať samozrejme aj pre inúkombináciu síl.2.2.3 Preloženie sily na telese a skladanie sily a dvojice sílSilu na dokonale tuhom telese možno preložiť do ľubovoľného bodu telesa, akv rovine danej nositeľkou sily a týmto bodom pridáme silovú dvojicu, ktorej moment sarovná statickému momentu sily v pôvodnej polohe k bodu prekladu.obr. 2.24.Dôkaz tejto dôležitej vety pre riešenie úloh v technickej praxi je zrejmý z nasledujúcehoa) b) c)AB≡AB≡AMBObr. 2.2445

Podľa axiómy o pridaní rovnovážnej sústavy síl (ods. 1.2.3) F, -F →B ( →...označeniemiesta sily) v obr. 2.24b je sústava ekvivalentná ( ≡...označenie pre ekvivalenciu) so sústavouna obrázku 2.24a i sústavou na obrázku 2.24c.TakžeF → A ≡ F →B,M = F.p(2.27)Čo je vlastne vyjadrenie skôr vyslovenej vety o preložení sily.Všimnúť si treba tiež, že ak postupujeme v obr. 2.24a,b,c obrátene, silu F a momentM možno nahradiť inou silou F posunutou o vzdialenosťMp = ,Fs tým, že zmysel otáčavého účinku oboch sústav (obr. c, a) musí byť rovnaký.Príklad 2.10: Nahraďte silu F = 360 N pôsobiacu v bode B silou a momentom v bode A (obr.2.25).BEkvivalentná sústava v bode A je silaF = 360 N a moment M = F . 0,3 =A= 360 . 0,3 = 108 Nm.Obr. 2.252.2.4 Redukcia všeobecnej rovinnej silovej sústavyPodľa poznatkov uvedených v predošlej kapitole môžeme nakresliť nasledujúcu schémuredukcie silovej sústavy a momentov (obr. 2.26)46

MA M ij≡ ≡ ≡ AA iAA MM j⇓ ⇓ to možno napísať ⇓ ⇓F i → A iM jF i → AM j, M i = F i .piR = ∑F iM = ∑M i + M jR = ∑F ih = RMObr. 2.262.2.4.1 Analytické (výpočtové) riešenie2.26.Postupujme tak, ako je riešená redukcia v poradí po sebe idúcich obrázkoch v schémeV technických výpočtoch býva zvyčajne dané F i , A i (x i , y i ), α 1 , M j (i = 1,2,...,n; j =1,2,...,m) v ortogonálnej súradnicovej sústave. Inokedy môžu byť zadané smery síl pomocousúradníc bodovAi B na sile Fii , ako tomu je na obr. 2.27Pri zadaní síl pomocoucosα i =( x − x )BA BiiAAiB je zrejmé, žei, sinα i =( y − y )BA BiiA(2.28)AiB i=x− x+− y22(B A)i(B A)iyPoznámka: Aby bol obrázokprehľadný, je zo všetkých síla momentov sústavy v ňomnakreslená iba jediná sila F i a jedenmoment M j .Obr. 2.27Postup riešenia usporiadajme do štyroch krokov odpovedajúcich obrázku 2.26.47

1. Sily F preložíme do bodu 0. Vznikne zväzok síl F v bode 0 a sústava momentoviiM i = x . Fiy - y.F ix(2.29a)2. Vykonajme redukciu síl a určime ich veľkosťR xnn= ∑ = ∑F ixF icosαi1 1z čoho R =n∑∑R y = F iy= F isinαi,n1 12x2yR + R , tgα=RRRyxRy⇒ α R = arctg (2.29b)Rx3. Po redukcii momentov silových rovníc je výsledný momentnmnmM = ∑ M i+ ∑ M j= ∑ ( x.Fy− y.Fx)i+ ∑ Mj. (2.29d)11114. Vzniknutú sústavu R, M nahradíme výslednou silou posunutou o vzdialenosť h, akoukazuje obr. 2.28.MPosunutie h = (2.29e)RD DPozor! Zmysly momentov M a R . h musia byť zhodné ⇒ M , R . h .M(xR , y R )e rPretože M = ∑(xF y - yF x ) + M j ,môžeme napísaťR . h = ∑(xF y - yF x) + Mj (2.30)Obr. 2.28Rovnica (2.30) vyjadruje Varignonovú momentovú vetu pre všeobecnú rovinnúsústavu síl. Možno ju slovne vyjadriť takto:48

Moment výslednice všeobecnej rovinnej sústavy síl k ľubovoľnému bodu roviny jerovný algebraickému súčtu momentov (od síl a silových dvojíc) k tomu istému boduroviny.Z uvedenej vety možno o. i. určiť tiež súradnice miesta výslednice všeobecnej rovinnejsústavy pomocou jej zložiek R x a R y .Podľa rovnice (2.30) a obr. 2.28 pre ktorýkoľvek bod na nositeľke e platí rM = R . h =x R R y - y R R x (2.31)odkiaľ pre ľubovoľne zvolenú súradnicu x možno určiťRxR.Ry− My R = (2.36)RxPri vlastnom výpočte dĺžky úsekov súradníc uvažujeme buď yRalebo xR v počiatku,teda y R = 0, alebo xR = 0. Po ich dosadení do rovnice získame hľadané súradnice bodov,v ktorých výslednica tieto osi pretína (obr. 2.28).Mp = q =R y−MRx(2.37)Z obr. 2.26 je zrejmé, že vo všeobecnom prípade možno rovinnú sústavu síla momentov (redukovať) nahradiť jedinou silou R, pričom môžu nastať tieto štyri prípady:1. R ≠ 0; M ≠ 0 → sústava sa redukuje na jedinú silu R, ktorá neprechádzazvoleným počiatkom súradnicovej sústavy.2. R ≠ 0; M = 0 → počiatok súradnicovej sústavy bol zvolený na nositeľkevýslednice R,3. R = 0; M ≠ 0 → sústava sa redukovala len na výsledný moment (dvojicu).4. R = 0; M = 0 → sústava je v rovnováhe.49

Najčastejšie sa vo výpočtoch v statike využíva 4. prípad, ktorý vyjadruje rovnovážnystav všeobecnej rovinnej sústavy (podrobnejšie ďalej, ods. 2.2.5).Príklad 2.11: Určite výpočtom výslednicu síl F 1 = 1200 N, F 2 = 1500 N, F3 = 800 N,F 4 = 2000 N, ktoré zvierajú s kladnou osou x uhly α 1 = 45 o , α 2 = 120 o ,α 3 = 250 o , α 4 = 330 o a majú súradnice pôsobísk A 1 (2; 3) m, A2 (-3; 2) m,A 3 (-4; -1) m, A 4 (3; -4) m, (obr. 2.29).Obr. 2.29Poznámka: Zadané hodnoty je vhodné, ako smeuž uviedli pri ručnom spôsobe výpočtu,usporiadať do tabuľky. Taktousporiadaný výpočet a jeho postupnezískavané dielčie výsledky umožňujepôsobenie síl v sústave analyzovať, resp.ľahko výsledok redukcie prepočítať, akby v silovej sústave nastali neskôrzmeny.i F α cosα sinαi i i iSúradnicepôsobísk sílPriemety síl dosúradnicových osíMomentyzložiekk počiatkuTab. 2.3[N] [ o ] xiyiF ix= F i cosαiFiy= F i sinαi-F ix. yi Fiy. x i[m] [m] [N] [N] [Nm] [Nm]1 1200 45 0,707 0,707 2 3 849 849 -2547 16982 1500 120 -0,500 0,866 -3 2 -750 1299 1500 -38973 800 250 -0,342 -0,940 -4 -1 -274 -752 -274 30084 2000 330 0,866 -0,500 3 -4 1732 -1000 6928 -30004∑R x=1557Ry=396 5607 -2191i = 1M (0) =341650

R xR2 22 2- Veľkosť výslednice R: R = + y= 1557 + 396 = 1607 N- Smer výslednice, resp. jej uhol α R396 oα R = arctg = 14 16´1557- Nositeľka výslednice pretína osi x, y v úsekochp =M ( ) 3416− M O ( O ) 3416= = 8,62m a q = = −Ry 396Rx 1557 = -2,19 m- Vzdialenosť nositeľky výslednice od počiatku súradnicovej sústavyM O( ) 3416h = = = 2,125 m.R 1607Príklad 2.12: Na stožiar trolejového vedenia (obr. 2.30) pôsobia sily S, G a Q. Určitevýslednicu R a jej priesečník (q) s osou stožiaru.R = - SsinαxR = -Scosα - G - QyR =2( −Ssinα)+ ( −Scosα− G − Q)2Obr. 2.30α = arctgR− ( S cosα− G − Q)− S.sinαM A = S. h . sinα - G.e - Q.aZ momentovej vety (2.37) určímesúradnicuMRAq = - =xS.h.sinα− G.e − Q.aS.sinα2.2.4.2 Grafické riešenieVieme už, že všeobecnú rovinnú sústavu osamelých síl spojitého zaťaženia a momentovmožno na dokonale tuhom telese nahradiť sústavou len osamelých síl (momenty ako silovédvojice a spojité zaťaženia náhradnými bremenami). Preto grafické riešenie vykonáme presústavu osamelých síl.51

Majme sústavu osamelých síl F i (i = 1,2,...,n) na obr. 2.31a. Výslednicou R tejto sústavynje R = ∑ Fi . Pri grafickom riešení rovinného zväzku síl (2.1.1.2) je výslednica daná1uzatváracou stranou R v silovom mnohouholníku a smeruje proti zmyslu obehu jej zložiek(obr. 2.31b). Po odmeraní dĺžky strany R v [mm] v obr. 2.31b vypočítame výslednicu zovzťahu R =R . m [N], v ktorom m = [N.mm ] je mierka síl.FF-1a)b) F 3F 2 F 2´ 2 3 F3´F 4F 2´ F 3´1 0 4F F1´ F 4´1´ 0 F 4´F 1RObr. 2.31Polohu výslednice rovinnej sústavy (v rovinnom zväzku síl sme polohu výslednice užpopredu poznali - priamo z axiómy o rovnobežníku síl totiž vyplýva, že musí prechádzaťspoločným priesečníkom!) určíme takto:- zvolíme vhodne tzv. pól 0 a v silovom (zložkovom) obrázku 2.31b nakreslíme pólovélúče 0,1,...,n,- z ľubovoľného bodu I na nositeľke sily F 1 (2.31a) vedieme rovnobežky 0´, 1´s lúčmi0,1. Rovnobežku 0´vedieme až k priesečníku II so silou F 2 . Z bodu II pokračujemerovnobežkou 2´až k bodu III na sile F 3 atď. (Lomená čiara 0´, 1´, 2´,...n´ sa nazývavláknový mnohouholník, prípadne výslednicová čiara), v literatúre sa uvádza ajnázov pólový obrazec. Všetky pomocné sily prechádzajú v silovom obrazci cezspoločný pól – pól 0 a vytvárajú pólový obrazec,- priesečníkom r prvého (0´) a posledného (n´) vlákna (musí !) prechádza výslednica Rcelej sústavy.52

Statická podstata riešenia je v tom, že v zložkovom obrazci (obr. 2.31b) je každá silafiktívne nahradená dvoma zložkami F i´a F i″ , a to tak, že platíFi″ = - F´2+1a jej zložky Fi″ a F´2+1 ležia na telese na spoločnej nositeľke (i´), pritom ich účinok je ale nateleso nulový (nulový vektor).Z rovnice R = ∑F i = ∑( F i´ + F i ″) = F i ´a F 1 ″ + ... F´ n-1 + F´ n + F″ n = F´1 + F″vyplýva, že výslednica R je daná tiež súčtom vektorov F´ 1 a F″ n, ktorá leží na nositeľkách 0´ an´ a prechádza teda ich priesečníkom r (obr. 2.31a).Statickú podstatu možno zdôvodniť tiež aj ako priamy dôsledok Varignonovej vety(2.30) → Momenty síl v zložkovom obrazci sú v rovnováhe s ich výslednicou k ľubovoľnezvolenému pólu bodu 0.Poznámka: Iná poloha pólu by mala za následok nutne iný tvar zložkovéhoi vláknového mnohouholníka, ale výsledok - sila R (ako vyplýva z dôkazu) bybola vždy rovnaká. V prípade inej voľby bodu I na sile F 1 by napr. vznikol iný(väčší, alebo menší) mnohouholník, rovnobežný s tým, ktorý je nakreslený naobrázku 2.31a (pri nevhodnej polohe bodu I dokonca so stranami - vláknamimimo nákresňu).Príklad 2.13: Určite graficky výslednú silu R zaťažujúcu votknutý rám. Je dané: F 1 = 2,4 kN,F 2 = 5,6 kN, F 3 = 6,6 kN. Mierka síl je m F = 0,2 kN.mm -1 , mierka dĺžokm F = =0,02 m.mm -1 .0Obr. 2.32Výslednica prechádza bodom r a má veľkosť R = R . m F = 60 . 0,2 = 12 kN a pretínarám vo vzdialenosti AC = 0,28 m.53

2.2.5 Rovnováha všeobecnej rovinnej sústavy sílRovnováha všeobecnej rovinnej sústavy nastane vtedy, keď budú splnené podmienkynulového účinku síl celej sústavyR = 0 ; M = 0(2.39)2.2.5.1 Analytické riešenie rovnováhyPre analytické riešenie prepíšeme uvedené podmienky rovnováhy (2.39) vo vektorovomvyjadrení vo zvolenej súradnicovej sústave na rovnice skalárneho typu1 ∑F = 0 ix∑F iy = 0(2.40)∑M = 0 iRovnice v takomto tvare predstavujú základný tvar podmienok rovnováhy všeobecnejrovinnej sústavy síl. (Sily dvojíc sú zahrnuté v ostatných silách).Pri rovnováhe všeobecnej rovinnej sústavy síl v rovine je algebraický priemet všetkýchsíl vo dvoch smeroch (zvyčajne navzájom kolmých) a algebraický súčet momentov všetkýchsíl a dvojíc k ľubovoľnému bodu roviny rovný nule.Okrem základného tvaru možno použiť i alternatívne, ďalšie kombinácie rovnícrovnováhy2 3∑MA = 0 ∑M A = 0∑MB= 0 ∑MB= 0(2.40a)∑F x = 0 ∑M = 0 C(2.40b)kde C ∉ ABV týchto výrazoch sú zložkové rovnice z časti alebo úplne nahradené momentovými .Momentovú podmienku M i , ktorá ako jediná obsahuje polohové parametre zozákladného tvaru nie je možné vypustiť!54

Príklad 2.15: Na nosníku (obr. 2.34) zaťaženým osamelou šikmou silou F = 500 kN poduhlom α = 30 o určite reakcie A x , A y , B.F=500N30°Rovnako ako v príklade 2.7 i terazvyužijeme tú istú alternatívu rovnícrovnováhy, takže:Obr. 2.34∑M A = 0: B . l - Fsinα . a = 00 ≡ A∑M B = 0: -Ay . l + Fsinα . b = 0∑F ix = 0 : A - Fcosα = 0xodtiaľ B =F.sinα.al=500.0,5.26= 83,33 NA y =F.sinα.bl=500.0,5.46= 166,67 N∑F ix = 0 : A x - Fcosα = 0 → A = Fcos30 o = 500 . 0,866 = 433 Nxa opäť kontrola správnosti ∑F iy = 0: A y + B - F y = 166,7 + 83,3 - 500 . 0,5 = 0∑F iy = 0: A y + B - F y = 166,7 + 83,3 = -500 . 0,5 = 0 → vyhovuje!Pozn.: - Sila A x vyšla kladná, t. j. náš predpoklad o zmysle jej pôsobenia v obr. 2.34 bolsprávny (v opačnom prípade, keby vyšlo znamienko záporné - zmýlili sme sa -sila by mala opačný zmysel).- Vieme, že reakcia v podpere B s ohľadom na jej triedu (tab. 1.1), môže byť lenzvislá!56

Príklad 2.16: Na nosníku zaťaženom osamelými silami F , F 1 2, momentom M a spojitýmizaťaženiami určite reakcie A x , A y , B (obr. 2.35).Obr. 2.35Pozn.: Dohovor o orientácii(zmysle a smere) síla momentov sazvyčajne už nekreslí.Spojité zaťaženia o intenzitách q 1 , q 2 [N/mm] nahradíme náhradnými bremenami Fq 1a Fq 2 (silami v ťažisku obrazov trojuholníka a obdĺžnika).1Fq 1 = q1 . a ...pôsobí v jednej tretine dĺžky a základne trojuholníka2Fq 2 = q2 (c + d) ...pôsobí uprostred dĺžky (c + d).Na riešenie použijeme dve podmienky momentové a jednu silovú:ac − d)∑M A = 0: -F q 1 . + M - F 1 (a + b) - Fq 2 . (1 - ) + F 2 sinα (1 + d) + F2cosα . d + B . l=32= 0ac − d∑M B = 0: -Ay . l + Fq 1 (l - ) + M + F 1 (b + c) + Fq 2 . + F2cosα . d + F2sinα .d = 032∑F ix = 0 : A x + F cosα = 02O správnosti výpočtu sa možno presvedčiť na konkrétne zadaných hodnotách, napr.F 1 = 2 kN, F 2 = 4 kN, q 1 = 1 kN.m -1 , q 2 = 0,5 kN.m -1 , M = 2 kN m, α = 30 O , a = 3 m, b = 1 m,c = 2,5 m, d = 1,5 m .Po dosadení do rovníc rovnováhy dostaneme:A x = -3,464 kN, Ay = 3,726 kN, B = -0,226 kNKontrolou správnosti sa z podmienky rovnováhy ΣF iy = 0, A y - Fq 1 - F 1 - Fq2 + B ++F .sinα = 0 presvedčíme, či je riešenie správne.257

Príklad 2.17: Určite reakcie vo votknutí A rovinného rámu. Rozmery i zaťaženia sú zrejméz obr. 2.36.Nahradené bremeno je F = q.4 =q= 40 kN, F = 20 kN, M = 30 kNm.Na určenie reakcií A x, Ay a M v(moment vo votknutí - okolo bodu A)použijeme základný tvar podmienokrovnováhy:Obr. 2.36 ∑F ix = 0: A x - F = 0∑F iy = 0: A y - F q = 0∑M A = 0: - M - F q . 2 + F . 4 + M v = 0Po dosadení hodnôt zo zadania postupne obdržímeA x = 20 kN, Ay = 40 kN, M v = 30 kNmZ kontrolnej rovnice (∑M = 0 je) po dosadení a výpočte zistímeBM v - M - A y . 4 + A x . 6 + F q.2 - F.2 = 30 - 30 - 40 . 4 + 20 . 6 + 40 . 2 - 20 . 2 = 0 →Riešenie je správne.2.2.5.2 Grafické riešenie rovnováhyAk má byť sústava síl F i v rovnováhe, musí byť splnená podmienkaR = ∑F i = 0. (2.41)´ ´´Vtedy zrejme i pre jednotlivé zložky F i a F n platia rovniceF i´ + F n´´ = 0 (2.42)Pólové lúče 0 a n sa stotožnia (obr. 2.37b) a vlákna 0´a n´ sú kolineárne (obr. 2.37a).Pre n = 4 je 0 ≡ 4 a 0´ ≡ 4 (obr. 2.37).58

2 F 31 0F 1 3F 1´ 0≡4F 4´´a) F4b)F 2Obr. 2.37Podmienku rovnováhy všeobecnej rovinnej sústavy síl pri grafickom riešení možnoslovne vyjadriť takto:Všeobecná rovinná sústava síl pri grafickom riešení je v rovnováhe, keď silovýobrazec (obr. 2.37b) opísaný v jednom zmysle je uzavretý a aj jej vláknový (pólový)obrazec (obr. 2.37a) je medzi danými silami uzatvorený.Poznámka: Keby sila F 4 pôsobila v bode (A 4 ), potom by sily F 1´a F 4´tvorili silovú dvojicuo veľkosti momentu M = F 1´. d (obr. 2.37a, vyznačené čiarkovane).Príklad 2.18: Určite graficky reakcie v kĺboch A a B uloženia žeriavu, zaťaženého tiažou G= 50 kN a bremenom Q = 20 kN. Mierka dĺžok je m l = 0,2 m.mm -1 a mierka sílm F = 2 kN.mm -1 (obr. 2.38).AQ0GBa) b)Obr. 2.3859

V zložkovom obrazci (2.38b) vynesieme všetky sily Q a G a smer nositeľky silyB(má smer kyvného prúta v mieste B). Ďalej zvolíme pól 0 a nakreslíme pólové lúče.Vláknový mnohouholník (obrazec) (obr. 2.38a) musíme začať kresliť tak, že ako prvénakreslíme vlákno 0´, ktoré prechádza bodom A (jediný známy bod reakcie A; inak by smevláknový obrazec medzi silami neuzavreli).Po odmeraní v obrázku vypočítameA = A . m = 58 . 2 = 116 kNFB =B. m = 47 . 2 = 94 kN.FV úlohách o rovnováhe síl sa často vyskytuje úloha uviesť do rovnováhy danú silu Fs troma neznámymi silami na nositeľkách, ktoré sa nepretínajú v spoločnom priesečníku.Graficky sa úloha rieši pomocou tzv. Culmannovej (1821 - 1888) priamky.F 1, F 2, F3 .Na obr. 2.39a je nakreslená sila F a nositeľky e , e , e 1 2 3 (zatiaľ) neznámych síl na telesePodľa (2.41) pri rovnováhe musí byť splnená podmienkaF + F 1 + F2 + F 3 = 0Sily F a F majú výslednicu, ktorá prechádza priesečníkom ich nositeliek I.1R = F 1 + F 1Podobne výslednica síl F 2 a F prechádza bodom II3R = F + F2 2 3Pri rovnováhe musia byť R 1 + R 2 = 0 ⇒ kolineárne.Spoločná nositeľka oboch výsledníc je zjavne spojnicaI, II, zvaná Culmannovapriamka. Tak získame smer výsledníc R , R 1 2 a riešenie môžeme vykonať v silovom obrazci(obr. 2.39b).60

Culmannova priamka Fa) b)Obr. 2.39Úloha má ako je zrejmé z obrázku alternatívne riešenia pomocou spojnice´II ´Ia tiež´´II´´I (má však nevhodné umiestnenie).Dodajme, že v prípade nahradenia sily F staticky ekvivalentnými silami (opačná úloha)majú sily F 1 , F 2 , F opačný zmysel.3Príklad 2.19: Teleso tiaže G = 500 N je zavesené na konzole z troch prútov. Určite grafickyosové sily v prútoch (obr. 2.40).Obr. 2.40Výsledok: S = 375N, S = 220N, S = 590N1 2 361

2.2.6 Statická určitosť úlohÚloha vo všeobecnej rovinnej sústave síl je staticky určitá, keď neobsahuje viacneznámych než tri a je riešiteľná, (keď nie je výnimočným prípadom).Statickú ekvivalenciu alebo rovnováhu dvoch silových sústav v rovine F i a Fj(v praktických úlohách sú F zvyčajne druhotné sily - reakcie) možno zapísať rovnicamij∑F ix ± ∑Fjx = 0∑F iy ± ∑F jy = 0(2.43)∑M iA ± ∑M jA = 0Rovnice pre analytické riešenia sú tri, čo zodpovedá uvedenej definícii statickejurčitosti. Pri väčšom alebo menšom počte neznámych nie je úloha staticky určitá a preto juriešiť metódami statiky nie je možné.Na obr. 2.41a je úloha staticky neurčitá a na ďalších obr. 2.41b,c,d sú nevhodneusporiadané väzby, tzv. výnimočné prípady usporiadania väzieb.a) úloha 1x staticky neurčitá b) úloha 1x staticky neurčitá,(„preurčená“)∑F ix = 0 („triviálna“)1 2G3c) pohyblivá sústava c) rovnováha nastať nemôže,Obr. 2.41∑F iy = G ≠ 062

Príklad 2.20: V rovine dosky pôsobia sily F 1, F 2, F 3 a momenty M 1, M2 (obr 2.42). Úlohouje nahradiť účinok tejto sústavy ekvivalentným účinkom inej sústavy - sily F Ba momentu M v bode B.BBJe dané: F = 100 N1 2F = 100 NF 3 = 150 N β 2 = 45 oβ 3 = 30 o M 1 = 30 NmM 2 = 60Nm Q = 0,1 mObr. 2.42Z rovníc o statickej ekvivalencii obochsústav vyplývaF 1 - F2.sinβ 2 = F3.sinβ 3 + (FBcos B) = 0F 2.cosβ 2 - F3.cosβ 3 + (FBsin B) = 0F 2.sinβ 2 . 2a + M1 - M2 - (-F B cosαBB. a +M B) = 0Po dosadení a výpočte dostaneme F B = 74,78 N ; α B = 232 o ,76´ ; M B = -20,43 Nm.Pozn.: Úloha by mohla znieť i opačne - nájsť inú silovú sústavu, ktorá by bola sozadanou silovou sústavou v rovnováhe. Je zrejmé, že výsledkom riešenia by bolihodnoty F B a M B, rovnako veľké, ale opačného zmyslu.2.2.7 Riešenie sústavy rovnobežných síl• Analytické riešenieSústava rovnobežných síl Fi (obr. 2.43) patrí, ako si ešte ďalej ukážeme medziveľmi dôležité a časté úlohy riešenia sústav. Sústava rovnobežných síl je zvláštnymprípadom všeobecnej rovinnej sústavy síl. Výslednica R je s danými silami (zložkami)rovnobežná, a jej veľkosť jeR = ∑F i (2.44)a jej poloha od zvoleného bodu sa určí z momentovej vety (2.30), kde63

∑FipiMoh = =(2.45)R RMomentovú rovnicu možno napísať i vo tvarex R R y - yRR x = ∑ x . F − y F )(2.46)(i iy i ixz ktorej pri voľbe x R určíme súradnicu y R bodu R výslednice, a pre y R (x R ) = 0 súradnicep (q) priesečníka nositeľky výslednice s osou x(y).Keď priemety síl do osi súradnicovejsústavy vyjadríme početne pomocouuhlu α, budeObr. 2.43 y . R = Cx R R.sinα - y.R.cosα == ( ∑ xiFi)sinα− ( ∑ yiFi) cosα(2.47)Riešením rovnice sú samozrejme ajsúradnice bodu C (x C, yC) výslednicepodľa rovnícx C . R = x iF∑∑iy iFiZ postupu a rovníc je zrejmé, že súradnice bodu C závisia len na súradniciach pôsobískA i a veľkostiach Fi sústavy a že vôbec nezávisia na uhle (α) pootočenia síl. Tento bod sanazýva tzv. statický stred C sústavy rovnobežných síl.Súradnice statického stredu C sú:∑∑∑∑xiFiyiFix C = , y C = (2.48)FFiiPre sústavu rovnobežných síl možno vysloviť teda vetuAk sa sústava rovnobežných síl otáča okolo svojich pôsobísk, otáča sa ichvýslednica okolo jediného bodu - okolo statického stredu sústavy.64

Z uvedeného plynie tiež dôležitý záver, že polohu statického stredu rovnobežnejsústavy síl možno určiť ako priesečník výsledníc pre dva smery pootočenej sústavy.Zvyčajne sa volia stredy na seba kolmé.Riešenie možno vykonať opäť buď analyticky alebo graficky pomocou zložkoveja výslednicovej čiary.Príklad 2.21: Určite graficky a výpočtom veľkosť a polohu výslednice R dvochrovnobežných síl F = 500 N, F1 2 = -100 N, ktoré majú opačný zmysel.Vzdialenosť síl p = 4 m (obr. 2.44).a) b)Obr. 2.44Určovacie úseky sílF1=Fm1F500N=10Nmm−1= 50 mmF2=Fm2F100N=10Nmm−1= 10 mm• Grafické riešenieVynesieme do silového obrazca (obr. 2.44b) v príslušných zmysloch F(11´), F1 2( 22 ´) . V ňom má výslednica určovací úsek 12´(smeruje dole). Odmeraním zistíme R = 40mm, t. j. R = R . m = 40 mm. 10 N.mm -1 = 400 N.F65

Polohu výslednice (stačí zistiť jediný bod r, pretože výslednica R rovnobežných sílje s nimi rovnobežná) zistíme z vláknového obrazca 2.44a.• Analytické riešenieZ momentovej rovnice (2.45)R . 0 = F 1.p 1 - F2(p 1 + p) = 500 . p1 - 100(p 1 -4,0) = 0400odkiaľ p 1 = = 1,0 m.400Príklad 2.22: Rozložiť danú silu R na dve rovnobežné sily, ktorých nositeľky sú dané (obr.2.45) - úloha je opakom predchádzajúcej úlohy v príklade 2.13.a) b)A 2AA 1F1 2FObr. 2.45• Analytické riešenieZvolíme bod otáčania na jednej z neznámych síl (čo zrýchľuje výpočet), napr. nanositeľky sily F bod A . Potom podľa momentovej vety (2.45)2 2R. p = F (p + p ) ± p . 02 1 1 2 2R.p= ,odtiaľ F 21p1+ p2R.p12p1+ p2resp. ak zvolíme na sile F 1 bod otáčania A1 dostaneme F = .66

• Grafické riešenieNa ľubovoľnej priamke 12´ ║ F 1 ║ F2vynesieme zobrazovací úsek sily R, t. j.R = AB = 12 ´. Rovnobežky 0´a 1´vo vláknovom obrazci (2.45a) so silami 0, 1 v silovomobrazci v ľubovoľnom bode R pretínajú nositeľky síl e , e 1 2 v bodoch I, II. Lomená čiara0 ′,1′, r′ je výslednicovou čiarou. Preto čiara r´║ 01´ v silovom obrazci rozdelí úsečku 12´nadva diely F 1 = 11 a F 2 = 12 , ktoré prináležia hľadaným silám F.Príklad 2.23: Určite polohu statického stredu sústavy rovnobežných síl F = 200 N, F =1 2= -100 N, F 3 = 400 N so súradnicami pôsobísk A 1 (1; 2,5), A 2 (2,5; 1,5), A3 (4;-0,5) m (obr. 2.46).Ai (x i , y i )Obr. 2.46Grafické riešenie• Analytické riešenieZ rovníc pre statický stred (2.48), keď dosadímezadané hodnoty so zreteľom na ich znamienkadostaneme:x C =y C =∑∑∑∑F xiFiiF yF= 0,3 m.iii200.1+( −100).2,5+ 400.4== 3,01 m200 + ( −100)+ 400=200.2,5 + ( −100).1,5+ 400.( −0,5)200 + ( −100)+ 400Zvolíme m L = 0,1 m/mm, m F = 10N/mm. Silový obrazec nakreslíme len raz, prezvislé sily (obr. 2.47b), pre vodorovné sily využijeme ten istý obrazec myslene pootočený oπ/2 [(i) ⊥ i]; (i´) ⊥ i´).A C (xC , y C )=a) b)C (x C , y C )Obr. 2.4767

3. ŤAŽISKÁ HMOTNÝCH ÚTVAROVRovinné hmotné útvary sú také telesá, ktorých tretí rozmer je zanedbateľný, alebo majúrovinu symetrie. Ich modelom je rovinná čiara (L), alebo plocha A, ktorých hmotnosti sú ρ L[kgm -1 ], resp. ρ A [kgm -2 ], tzv. špecifické (merné) hmotnosti útvarov - hustoty.Obr. 3.1Na teleso, ktorého rozmery súv porovnaní s rozmermi Zemezanedbateľné, pôsobí v jejgravitačnom poli sústavaelementárnych síl G i , ktoré možnopovažovať (vzhľadom na veľmivzdialený stred gravitácie) akosústavu rovnobežných síl (obr. 3.1).Statický stred síl G i dokonale tuhého telesa sa nazýva ťažisko T.Z vlastností statického stredu vyplýva, že sila tiaže G = ∑Q i prechádzaťažiskom telesa nezávisle na polohe telesa.Podľa toho, keď zavesíme homogénne teleso (obr. 3.2a) v ktoromkoľvek bode, napr.1,2, ustáli sa jeho poloha vtedy (obr. 3.2b), keď nositeľka síl T bude kolineárna (stotožní sa)s nositeľkou sily tiaže Q, pôsobiacou v ťažisku telesa (Q = -T).a) b)TTObr. 3.269

Ťažisko T rovinného hmotného útvaru sa určí z momentovej vety vzťahmix T =∑∑G xiGii, y T =∑∑G yiGii(3.1)Keď dosadíme pre čiaru ρ L alebo ρ A , potomG i = ρ L . l i . g alebo G i = ρ A . A i . gPre homogénne teleso (ρ L = konšt., ρ A = konšt.) môžeme výrazy na výpočet súradnícťažiska napísať v tvarex T =y T =∑l∑il∑li∑lxiyiiix T =y T =∑∑∑∑A xiAiAiiiA yi(3.2)kde ∑l i , ∑A i je celková dĺžka [m] a plocha [m 2 ] homogénneho útvaru.Pomocou týchto rovníc riešime i tvarovo komplikovanejšie telesá. Takéto telesá najskôrrozložíme na viac jednoduchých telies, v ktorých dĺžky (resp. plochy) a polohy ťažísk viemeriešiť výpočtom alebo graficky pomocou zložkovej a výslednicovej čiary.Pre ťažiská homogénnych (rovnorodých) útvarov platia nasledujúce poučky:- ťažiská útvarov so stredom súmernosti, majú ťažiská v tomto strede,- útvary, ktoré majú os súmernosti, majú ťažisko na tejto osi,- útvary, ktoré majú rovinu súmernosti, majú ťažiská v tejto rovine,- ak sú známe ťažiská dvoch častí telesa, leží ťažisko celého telesa naspojnici oboch ťažísk.70

Príklady:T = ( T 1´T 2´ x T 1´´T 2´´)Obr. 3.3Pozn.: Ťažisko môže ležať aj mimo hmotný útvar (čiaru, plochu) !x T = 4/3 π rPríklad 3.1: Určite ťažisko tuhej lomenej čiary 1 ,2,3, 4 ležiacej v jednej rovine.Keď rozdelíme lomenú čiaru na trirovné časti 12 , 23, 34 , o dĺžkach3,0Obr. 3.4l 1 = 2,0 m, l 2 = 5,0 m, l 3 = 3,0 m, súsúradnice ťažísk jednotlivých častí:x 1 = 0, x 2 = 1,5 m, x 3 = (3,0 + 1,5) =4,5 my 1 = 1,0m, y 2 = 2,0 m, y 3 = 4,0 m.Ťažisko T celej lomenej čiary má súradnicex T =∑l∑ilxii=0.2,0 + 1,5.5,0 + 4,5.3,0=2,0 + 5,0 + 3,021,010= 2,1 my T =∑li∑lyii=1,0.2,0 + 2,0.5,0 + 4,0.3,0=10,024,010= 2,4 m71

Príklad 3.2: Určite súradnice ťažiska a silu tiaže žeriavu zostaveného z homogénnych prútovrovnakého prierezu ρ L = 5,5 kg/m. Rozmery žeriavu sú na obr. 3.5.• Grafické riešeniePri grafickom riešení vynesieme do silového obrazca (obr. 3.5b), napr. len polovicedĺžok prútov v mierke m L = 0,1m.mm -1 . V rovnakom smere (vodorovne a zvislo) pôsobiaceprúty 3,4,5 môžeme nahradiť ich výslednicou v mierke m F . Na kreslenie vláknového obrazca(obr. 3.5a) pre vodorovný smer použijeme otočené pólové lúče zvislého smeru o 90 o (akov príklade 2.15).a)b)Obr. 3.5Odmeraním získame súradnice ťažiskax T = 2,45 m , y T = 1,75 mSila tiaže žeriavu je G = 2. 15 ´ .m L . ρ 1 . g = 913 N.• Analytické riešenieVyžaduje najskôr (prácne) vypočítať pomocou trigonometrických funkcií dĺžkyprútov l 1 = 4,609 m, l 2 = 4,949 m, l 3 = l 4 = 2,692 m, l 5 = 2 m. Ťažiská prútov možno určiťpriamo z obrázku 3.2a x = 3,25 m, y = 3,00 m, x = 3,75 m, y = 1,75 m, x = 1 m,y = 1,25 m, y = 0 m.T3,4T5T1T1T2T3T 3, 4, 572

Tiaž žeriavu je G = ρ L . g . ∑l i = 5,5 . 9,81 . 16,942 = 914,1 N. Súradnice ťažiska (z rovníc3.2) sú:x T =∑l∑ilxii=40,92216,942= 2,415 my T =∑li∑lyii=29,21716,942= 1,724 mPoznámka: Na riešení sa možno presvedčiť, že grafické riešenie je rýchlejšie, ako výpočtovériešenie.Príklad 3.3: Aby „nadrozmerné“ teleso podľa obr. 3.6 sa mohlo uložiť na prevoz do osišpeciálneho vozidla (bezpečnosť jazdy), treba vypočítať súradnice jehoťažiska.Prierez (v rovine súmernosti)rozdelíme na štyri časti: 2obdĺžniky, 1 trojuholník a 1kruh, ktorého plocha je„negatívna“ (treba juodpočítať!). Súradnice ťažískjednotlivých častí x i , y i (i =1,2,3,4) sú uvedené aj s dielčímivýpočtami vo výpočtovejObr. 3.6 tabuľke.Tab. 3.1i x i [m] y i [m] A i [m 2 ] y i A i x i A i0 1 2 3 4 = (2 x 3) 5 = (1 x 3)1 3,00 4,00 48,00 192,00 144,02 8,00 3,00 24,00 72,00 192,03 11,00 2,00 9,00 18,00 99,04 3,00 3,00 -19,63 -58,89 -58,89∑ 41 61,37 223,11 376,1173

Podľa rovníc (3.2) sú súradnice ťažiska prepravovaného telesax T =376,1161,37= 6,13 m , y T =223,1161,37= 3,64 m.Poznámka: Názvom nadrozmerné telesá sa označujú také telesá, ktoré majú väčšie rozmery,ako sú technickými normami (STN) stanovené priečne prechodové prierezy komunikácií.Nadrozmerné telesá zvyčajne prekračujú aj dovolené zaťaženie umelých stavieb nakomunikáciách (mosty), na čo je pri výbere a príprave trasy treba brať zreteľ.Vtedy, keď čiaru alebo plochu možno vyjadriť analyticky, využíva sa na určovanieťažiska integrálny výpočet. Súradnice ťažísk sú potom dané vzťahmi:x T =y T = ∫∫s∫s∫sxdsdsydsds∫∫Ax T =∫∫y T =A∫∫A∫∫AxdAdAydAdA∫s, kde ds = s [m] (3.3)∫∫dA = A [m 2 ]APríklad 3.4: Určite súradnice ťažiska oblúka o polomere R, vymedzeného uhlom α.Obr. 3.7ds = RdϕOs y je osou symetrie oblúka a tedax T = 0. Druhú súradnicu y T určímez rovnice (3.3)y T =∫s∫sydsds=∫+ α−α2R .2.sinαR.sinα= =2. R.α αR cosϕ. Rdϕ∫+ α−αR.dϕPoznámka: Veľkosti plôch a súradnice ťažísk mnohých čiar a útvarov možno nájsť napr.v statických, stavebných alebo strojníckych tabuľkách.=74

4. PRIAME NOSNÍKY A RÁMYPriame a lomené nosníky (rámy) tvoria základné nosné časti rôznych konštrukciía strojov. Ich zaťaženie a uloženie je riešené tak, že sústava prvotných (akčných)a druhotných síl (reakcií) tvorí rovinnú sústavu.Okrem výpočtu reakcií v staticky určitých úlohách je možné v statike vyriešiť tiežanalýzu vnútorných síl v ktoromkoľvek bode nosníka.V rovinných nosníkoch a rámoch sú to tieto vnútorné sily:- osová (normálna) sila N,- priečna (posúvajúca, tangenciálna) sila Q,- ohybový moment M O .Riešiť vnútorné veličiny pri rôznom uložení a zaťažení nosníkov patrí medzi základnévedomosti potrebné (neskôr v predmete pružnosť a pevnosť) na navrhovanie (dimenzovanie)a posudzovanie skutočných nosníkov (telies).Na obr. 4.1a je nakreslený prizmatický nosník zaťažený a uložený na podperáchv rovine symetrie. Na obr. 4.1.b je jeho výpočtový model, predstavovaný osou nosníka (tzv.strednicou), ktorá prechádza ťažiskami T priečnych rezov.a)b)Obr. 4.1Poznámka: Spôsob nakresleniapodpier (väzieb nosníkav miestach) A, B v tomto obrázkuzodpovedá spôsobu zakresleniapevnej a posuvnej podpery na obr.1.14 a ich funkcií v tab. 1.1.Všimnime si, že aj normálne silya momenty kreslíme pre názornosťkolmo na strednicu, aj keďv skutočnosti pôsobia v jej smere.75

Na obr. 4.1b vidieť, že všetky zaťaženia vyznačujeme na osi nosníka. V danomprípade to sú osamelé sily F 1 , F 2 , F 3 a spojité zaťaženia q, n. Pri prenesení na os nosníka budezaťažená v miestach 1, 2, 3 silami F 1 , F 2 , F 3 [N], spojitými bremenami q, n [N.mm -1 ],momentom M [Nm] a spojitým momentom m [N.mm -1 ], ktoré vzniknú pri prekladaní sily F 3a zaťaženia n.Pri statickom vyšetrovaní nosníkov a rámov nezáleží na tvare prierezu (napr. , , ,, , , atď.) a ani na druhu materiálu nosníkov. Rozhoduje len tvar strednice, a pretoňou vo výpočtových modeloch nahradzujeme skutočné telesá.4.1 Typy nosníkov a rovinných rámov - uloženie a vonkajšie zaťaženieNosníkom sa rozumie teleso, ktorého jeden rozmer (dĺžka) je oveľa väčší, ako ďalšiedva rozmery (výška a šírka) a je uložený tak, že sa pri zaťažení ohýba.Na obr. 4.2 sú nakreslené výpočtové schémy niektorých typov nosníkov a rámov prirozličnom uložení a zaťažení.a) prostý nosník(s previsnutým,prečnievajúcim koncom)b) votknutý (konzolový)nosníkc) nosník s vloženým kĺbomd) rám (lomený nosník)prosto uložený76

e) votknutý rámObr. 4.24.3).Na nosníkoch a rámoch na obr. 4.2 sú nakreslené nasledujúce druhy zaťaženia (obr.a) zaťaženie osamelou siloub) zaťaženie osamelým momentomc) spojité zaťaženie priečne α) rovnomernéβ) nerovnomerné(napr. lineárne)d) spojité zaťaženie osové α) rovnomerné(normálne)β) nerovnomernée) spojité zaťaženie α) rovnomernémomentovéβ) nerovnomernéObr. 4.377

Možno si všimnúť, že zaťaženia rozdeľujú strednicu nosníkov a rámov na úseky,v ktorých je q, n, m rovné nule, alebo rôzne od nuly, a to buď konštantné alebo premenné[q (x) , M (x) , m (x) ]. Ďalej vidno, že na strednici sú miesta, kde pôsobia osamelé sily F i alebomomenty M j . Ekvivalentné náhradné silové účinky F q , F n , M m sa používajú pri výpočtesekundárnych síl (reakcií).V praktických úlohách sa vyskytujú najčastejšie zaťaženia uvedené na obr. 4.3a,b,ca preto sa najmä nimi ďalej budeme zaoberať.4.2 Výpočet reakciíStatický výpočet nosníkov a rámov začína vždy výpočtom sekundárnych síl -reakcií. Určovaniu reakcií u staticky určite uložených telies sme sa venovali v príkladoch (2.7- 2.10) - v rovinnej sústave síl.Preto len zopakujme, že podmienky rovnováhy môžu mať spoločne s kontrolnýmirovnicami niektorý z nasledujúcich tvarov:∑Fix = 0∑Fiy = 0∑M A = 0∑M B = 0∑M A = 0∑M B = 0∑MA = 0∑F ix = 0∑M C = 0∑MB = 0∑F iy = 0∑F ix = 0a) b) c)kde C ∉ AB→ kontr. rovniceNa riešenie prosto uložených nosníkov sa najčastejšie používa tvar rovníc b.V ďalšom si ukážeme zostavovanie rovníc rovnováhy pre najčastejšie prípady a druhyzaťaženia (obr. 4.3a-c).78

Príklad 4.1: Prostý nosník (obr. 4.4)Obr. 4.4Dané: F, q, M, α, a, b, cNáhradné bremeno F q = q . aHľadáme: A x , A y , BRovnice rovnováhy podľa tvaru (4.1) b sú:∑M A = 0: -F q . 2a - Fsinα (a + b) + B . l + M = 0... odtiaľ → B∑M B = 0: -A y . l + F q (l - 2a ) + Fsinα . b + M = 0 ... odtiaľ → Ay∑F ix = 0: A x - Fcosα = 0 ... odtiaľ → A xPo určení neznámych zložiek reakcií vykonáme kontrolu∑F iy = 0: A y - F q - Fsinα + B = 0.Poznámka: Pri použití rovníc v tvare b) k bodom podopretia A, B je v každej rovnici ibajedna neznáma, čo veľmi urýchľuje výpočet.Príklad 4.2: Votknutý rámBDané: F, q 1 , q 2 , M, a , b, c, dNáhradné bremená sú: F q1 = q 1 . bF q2 = 21 (q2 - q 1 ) bObr. 4.5Hľadáme A x , A y , a moment vo votknutíM vRovnice rovnováhy podľa základnéhotvaru sú:∑F ix = 0: A x + F = 0 → A x je zrejmé, že sme v obrázku„chybne“predpokladali zmysel sily A x∑F iy = 0: A y - F q1 - F q2 = 0 → A y∑M A = 0: -M - F q1 . 2b - Fq2 . 32 b- F . c + Mv = 0 → M vKontrolná rovnica: ∑M B = 0: M v + A x .(c+a) - A y . b - M + F q12b + Fq2 . 3b +F.a = 079

Príklad 4.3: Nosník s vloženým kĺbomStatická neurčitosť nosníka uloženého na troch podperách A, B, C je odstránenávloženým kĺbom D. Nosník sa vlastne skladá z dvoch telies, spojených v kĺbe D. Dané: F 1 , F 2 ,M, α, a, b, c (obr. 4.6).Náhradné bremeno je F q = q . aHľadáme A x , A y , B, CObr. 4. 6Rovnice rovnováhy podľa (4.1b) sú:∑F ix = 0: A x - F 1 cosα 1 + F 2 = 0 → A x∑F iy = 0: A y - F q + B - F 1 sinα 1 + C = 0 → A y∑M iA = 0: -F q . 2a + Ba - F1 sinα 1 (l 1 + c) + C(l 1 + 2c) + M = 0→ BRovnice sú len tri, zatiaľ čo neznáme zložky reakcií sú štyri, a teda jedna rovnica chýba.Spojenie telies v kĺbe D ale umožňuje napísať napr. pre pravú časť od kĺbu D podmienku∑MP D= 0 → C .Na základe známej veľkosti reakcie C môžeme potom určiť zostávajúce reakcie B a A y .4.3 Vnútorné silySily F 1 , F 2 , momenty M 1 , M 2 a spojité zaťaženie q spoločne s reakciami A x , A y , B súprimárne vonkajšie sily zaťažujúce teleso (lomený nosník - rám, obr. 4.7a). Všetky tietovonkajšie zaťaženia vyvolávajú v telese vnútorné sily.Na nosníkoch a rámoch sa vnútorné sily zisťujú v prierezoch kolmých na os (strednicu)nosníka alebo rámu (napr.mm , nn,ll atď.).80

PF iPĽxObr. 4.7Na vyšetrenie vnútorných síl použime napr. ľavú časť Ľ telesa, oddelenú myslene(fiktívne) rezom mm od pravej časti P . Ľavá časť telesa lomeného nosníka je zaťažená,rovnovážnou sústavou:- vonkajších síl F 1 , F q , A x , A y , M 1PĽ- vnútorných síl Fi, t. j. silami, ktorými pôsobí v prierezemm pravá časťtelesa na ľavú.PĽVnútorné sily Fitvoria všeobecnú sústavu síl v rovine rezumm . Aj keď zatiaľnepoznáme ich polohu v tomto priereze, môžeme ich v ďalšom riešení nahradiť ekvivalentnousilovou sústavou, a to silou F PĽ a momentom M PĽ vo výpočtovom modeli 2.8c.F PĽKeď vykonáme naznačenú redukciuPĽvnútorných síl F do ťažiska prierezuiTm v použitej súradnicovej sústave x, yObr. 4.7cPĽ PĽ PĽ PĽmôžeme napísať F = ∑F , F = ∑F , MPĽ PĽ= ∑M .xixyiyiT81

Podľa pôsobenia v priereze označujeme a nazývame vnútorné silové účinky takto:PĽ∑Fix= N ... osová (normálna) silav prierezePĽ∑F = Q ... priečna sila (vo vnútri)iyPĽ∑M iT= MO... ohybový momentmm (obr. 4.7c)(4.1)4.3.1 Výpočet vnútorných síl N, Q, M OSpôsob a veľkosť vnútorných silových účinkov N, Q, M O vyplýva z podmienokrovnováhy síl na časti Ľ , pre ktorú platí (obr. 4.7d)Ľ∑Fix+ N = 0Ľ∑Fiy+ Q = 0 (4.2)Ľ∑MiT+ MO = 0P .Je zrejmé, že rovnaké rovnice by sme mohli napísať aj pre riešenie na pravej časti telesaNakoľko vonkajšie (primárne a sekundárne) sily tvoria rovnovážnu sústavu, sú veľkostiveličín N, Q, M O v rovine ľubovoľného fiktívneho rezu:ĽPN = / ∑F / = / ∑F /ixixĽPQ = / ∑F / = / ∑F / (4.3)iyĽPM O = / ∑M / = / ∑M /iTiyiTZo spôsobu, ako boli zadefinované vnútorné sily možno vysloviť vetu na určenie ichveľkosti stručne takto:Veľkosť vnútorných síl N, Q, a momentu M O v ľubovoľnom priereze sa rovnáich algebraickému súčtu po jednej strane vyšetrovaného prierezu.Pri algebraickom sčítaní po jednej strane prierezu sa berie zreteľ na zmysel pôsobeniavnútorných síl podľa nasledujúceho dohovoru:82

Obr. 4.8Poznámka: Pôsobenie vnútorných síl a momentov v opačnom zmysle ako je vyznačenýna obr. 4.8 po oboch stranách prierezu mm označujeme znamienkom - .Možno si všimnúť, že znamienkový dohovor závisí na orientácii telesa, t. j. na určeníjeho ľavého a pravého konca, resp. v prípade momentu na horných a dolných vláknachpriečneho rezu. Pri inej než vodorovnej polohe nosníka, alebo napr. na zvislici rámu, nemusíbyť takto jednoducho popísaný znamienkový dohovor jednoznačný.Vo zvolenom priereze mm (obr. 4.7d) po označení jednotlivých úsekov strednice v obr.4.9 vo výpočtovom modeli rovinného rámu, bude (s ohľadom na znamienkovú konvenciu)veľkosť jednotlivých vnútorných síl nasledujúca:N = A x - F 1Q = A y - q.xM mm = -A x (c + b + a) - A y .x + F 1 .a + qx. 2x - M1Obr. 4.9Pozn.: Vieme už, že ak počítame vnútorné silyz pravej alebo z ľavej stranyvyšetrovaného prierezu výsledok musíbyť rovnaký. Preto pri praktickýchvýpočtoch dávame prednosť tej straneprierezu, kde je menej vonkajších síla výpočet je jednoduchší (rýchlejší).Spôsobom, ako je uvedený na obr. 4.9 možno vypočítať hodnoty N. Q M Ov ľubovoľnom mieste nosníka alebo rámu.4.3.2 Priebeh vnútorných síl N, Q, M O83

Pri vyšetrovaní namáhania telies je treba poznať nielen veľkosť vnútorných sílv niektorom náhodne zvolenom reze, ale poznať aj ich priebeh po celej strednici. Len takmožno určiť miesto a hodnotu maximálneho namáhania - v prípade nosníkov a rámov miestoa veľkosť maximálneho momentu M Omax .Na vyriešenie týchto úloh nestačí teda vyriešiť len lokálne hodnoty N. Q, M O , ale jetreba poznať aj zákonitosti ich priebehu N(x), Q(x), M O (x), v závislosti na charakterezaťaženia (obr. 4.3) na vyšetrovanej časti telesa.Teleso (rám), ktoré konkrétne vyšetrujeme (obr. 4.7a) sa dá rozdeliť na jednotlivé časti,zaťažené takto:AE,EG,DC → q = 0GH , HB → q = konšt.V miestach A, B, C, E, H na strednicu pôsobia osamelé sily a momenty. Výpočetv priereze mm , teda GH (q = konšt.) ukazuje, že v závislosti na mieste rezu x je v tomtointervaleN = A x - F 1 → konštantná (na x nezávislá)Q = A y - q.x → lineárna funkcia x (x 1 )2xM O = A x (b + c + a) a A y .x - F 1 .a - q. 2+ M 1 → kvadratická funkcia x (x 2 )Nakoľko sa nosníky a rovinné rámy veľmi často vyšetrujú s priečnym zaťažením q (x) ,odvodíme vzťahy, ktoré umožnia bližšie analyzovať charakter prierezu Q (x) a M (x) pre tentospôsob zaťaženia.Schwedlerova (1823 - 1894) - Žuravského (1821 - 1891) veta84

Ak vyjmeme z telesa (obr. 4.10) fiktívny( mm ≡ 0 )elementárny prvok o dĺžke dx, potomrovnice rovnováhy prvku, napr. k bodu(x + dx) sú:∑F iy = 0: Q - (Q + dQ) - q (x) .dx = 0Obr. 4.10∑M iO = 0: -M O - Q.dx + q (x) .dx . 2dx ++ (M O + dM O ) = 0Po úprave (so zanedbaním malej hodnoty momentového účinku q (x) .tiaže) dostávame:2dx2od vlastnejdQ = -q(x)dxdM Odx= Q(4.4)Z týchto diferenciálnych rovníc 1. rádu možno pri známom priečnom zaťažení q (x)určiť v danom intervale telesa charakter priebehu (tvar krivky) veličín Q a M O (obr. 4.11).a) q = 0 → Q ... konštantná→ M O ... lineárnyb) q = konšt. → Q ... lineárna→ M O ... kvadratickýc) q ...lineárne → Q ... kvadratická→ M O ... kubický85

Obr. 4.11Z vlastnosti derivácie funkcie vyplýva, že v poradí veličín q, Q, M O sa jedná vždyo krivku rádovo vyššiu a súčasne, že poradnice q (x) , Q (x) predstavujú smernice dotyčníc kukrivkám Q (x) a M O(x) v danom priereze (extrémy funkcie).To dovoľuje, pomocou priebehu Q (x) kontrolovať správnosť priebehu M O(x)a naopak (!).Okrem priebehu Q a M O treba určiť tiež polohu (x m ) a veľkosť (M Omax ) najväčšiehoohybového momentu.Vtedy, keď má ohybový moment M O priamkový priebeh, je miesto a veľkosť M Omaxz výpočtu zrejmá. Ak však leží M Omax v intervale, kde M O (x) je krivka, treba jeho polohua veľkosť určiť.Maximum v tomto intervale sa určí z podmienky extrému funkcie jednej premennej.Z podmienkydM O= 0 (4.5)dxurčíme miesto x m a potomM Omax = M O (x) (4.6)x = x mPretože podľa Schwedlerovej - Žuravského vety platídM Odx= Q, je extrémohybového momentu tam, kde je priečna sila rovná nule (kde mení svoje znamienko)!Poznámka: Z uvedeného tiež vyplýva, že v miestach, kde pôsobia osamelé sily F i , súv diagramoch N a Q skoky a v diagramoch M O zlomy (náhle zmeny hodnôt M O ).86

Ak sú vo vyšetrovanom intervale nosníka spojité zaťaženia n(x), prípadne m(x), potommajú predchádzajúce vzťahy tvardN = n(x) ,dxdM = Q - m(x) (4.7)dxs rovnakým významom použitia ako pre q (x).V nasledujúcich príkladoch na vyšetrovanie priebehu N. Q, M budú použité užvyriešené hodnoty reakcií (ich výpočtu sme sa podrobne venovali v predchádzajúcom ods.4.2).Pri kreslení diagramu na priamych nosníkoch budeme kladné hodnoty N a Q vynášaťnad osou, hodnoty momentov M O na stranu ťahaných vlákien (pod osou). Na rámoch N a Qľubovoľne a M O opäť na strane ťahaných vlákien.Príklad 4.4: Určite výpočtom priebehy N, Q, M O na prostom nosníku od osamelej sily F.1cm=201cm=200Dané: F = 500 N a rozmery podľaobrázku 4.12Reakcie: A = 333,3 N, B = 166,7 N (viď.príklad 2.14)- Vnútorné sily Q:• v priereze C, v intervale I jeQ I = A = 333,3 N• v priereze C, v intervale II jeQ II = A - F = 333,3 - 500 = -166,7 N- Vnútorné sily N:∑F ix = N = 0- Ohybový moment M O (v mieste sily,kde mení priečna sila znamienko)M O = 333,3 . 2 = 666,6 NmObr. 4.1287

Na zobrazenie sú použité mierky m L = 0,1 m.mm -1 , m F = 20 N.mm -1 , m M = 20Nm.mm -1 ,dNpričom v oboch intervaloch = -n = 0 ⇒ Q konšt.,dxpriebeh.dM Odx= Q = konšt. ⇒ M O má lineárnyPríklad 4:5: Určite graficky veľkosť a priebehy vnútorných síl N, Q, M O na prostom nosníkuod osamelej sily FDané: F = 500 N a rozmery podľaobrázku 4.132,0m 4,0ml = 6,0mZvolíme mierky m L = 0,1 m.mm -1m F = 10 N.mm -1m M = 20 N.mm -1MTObr. 4.13Odmeraním A = 335 N, B = 165 NM max = y c . f = 1,10.600 = 660 Nmkde (y c v mierke dĺžok a f v mierke síl).Zdôvodnenie súčinu M max = y c . f viď odst. 2.21, obr. 2.13.Pozn.: V obrazci T je veľkosť síl A, B a F polovičná voči mierke síl.88

Príklad 4.6: Určite výpočtom priebehy N, Q, M O na prostom nosníku od šikmej sily F(obr. 4.14)cDané: F = 500 N, a = 2,0 m, b = 4,0 m,l = 6,0 m, α = 30 oReakcie: A y = 166,7 N, A x = 433 N,B = 83,3 N (viď. príklad 2.15),F y = 250 N433Obr. 4.14000- Vnútorné sily Q• v priereze C, v intervale I jeQ I = A y = 166,7 N• v priereze C, v intervale II jeQ II = A y - F y = A y - F.sin30 o == 166,7 - 500 . 0,5 = -83,3 N- Vnútorné sily N:• v priereze C, v intervale I je∑F ix = A x = 433 N• v priereze C, v intervale II je∑F ix = A x - F x = 0 NPozn.: Na zobrazenie zvolíme m L = 0,1 m.mm -1 , m F = 10 N.mm -1 , m M = 20 Nm.mm -1 .- Ohybový moment M(x=c)Mo = A y . a = 166,7 . 2,0 = 323,4 NmPozn: Rameno sily A x voči bodu C, ktorý tiež leží na strednici je nulové, preto ajmomentový účinok tejto sily k bodu C je nulový!89

Príklad 4.7: Určite výpočtom a graficky veľkosť a priebehy vnútorných síl na prostomnosníku od spojitého rovnomerného zaťaženia (obr. 4.15).• Grafické riešeniecZaťaženie q[N.m -1 ] nahradímeosamelým náhradným bremenom F q =q.l. Vo zvolených mierkach vzdialenostía síl nakreslíme zložkový obrazeca priebeh vnútorných síl a momentov.Obr. 4.15• Analytické riešenieReakcie A = B = 2F = q . 2lZmena znamienka priečnych síl musí nastať vždy keď bude platiť A - q . x = 0.Odtiaľ x =A q . l 1= . =l .q 2 q 2V tejto vzdialenosti platí, že q.l = F q a teda aj, že v smere nosníka, v bode C budeM C = M Omax =. l qx l 1A − . =2 2 4 8ql2Poznámka: • V príkladoch 4.5 a 4.7 na grafickom riešení si možno všimnúť, že privynášaní priebehu N a Q sa vlastne kreslí rovnovážny zložkový obrazecvonkajších síl roztiahnutý na celú dĺžku nosníka.• V príklade 4.7 je použitý bežný spôsob zostrojenia kvadratickejparaboly, ktorým pri pozornom kreslení možno získať dostatočnepresné poradnice priebehu momentov.90

Príklad 4.8: Určite výpočtom priebehy N, Q, M O na nosníku s osamelými silami (obr. 4.16).Dané: F 1 = 2 kN, F 2 = 3 kN, F 3 = 2 kN,F 4 = 3 kN, α 1 = 60 o , = 45 o , = 60 o .A ≡ 0 C Rozmery sú v obrázku.xReakcie: ∑M A = 0 → B = 4,74 kNkontrola ∑Fy = 0∑M B = 0 → A y = 4,0 kN∑F x = 0 → A x = -1,09 kN0- Vnútorné sily Q0Napr. v priereze C, v intervale IIIN = -F 1 cosα 1 - A x = -2cos60 o +1,09 = 0,09 kNQ = -F 1 sinα 1 +A y - F 2 = -2sin60 o ++ 4,0 - 3 = -0,73 NM O = -F 1 sinα 1 (1,5 + x) + A y .x -+F 2 (x-1,5)= 1,9 - 0,73 xN a Q sú konštantné.M O je lineárna funkcia x.To zodpovedá q = n = 0.Obr. 4.160Použité mierkym L = 0,1 m.mm -1m F = 0,1 kN.m -1m M = 0,1 kNm.mm -1Podobne aj v ostatných intervaloch.91

Príklad 4.9: Určite priebehy N, Q, M O na pravouhlom rovinnom ráme (obr. 4.17).Dané: F 1 = 2 kN, F 2 = 3 kN, q = 1 kNm -1a)Rozmery dĺžok v m F = 0,1 m.mm -1 .Reakcie: ∑M A = 0 → B = 1,5 kN2∑M B = 0 → A y = 0,5 kN∑F x = 0 → A x = -1 kN2Obr. 4.17Vnútorné silyObrazce N, Q, M O sa kreslia zvyčajne do troch samostatných diagramov (obr. 4.17b,c,d). Ohybové momenty kreslíme na stranu ťahaných vlákien prierezu.b)d)c)Možno si všimnúť, že v pravouhlýchrámoch pri prechode z jednej časti nadruhú prechádzajú osové sily v priečnea naopak.Ohybové momenty majú v miesteprechodu na oboch častiach rovnakúhodnotu.92

5. ROVINNÉ SÚSTAVY TELIESRovinná sústava telies je tvorená telesami, ktoré sú navzájom spojené pohyblivo.Spojenie je prevedené tak, že vzájomný pohyb telies je možný iba v rovinách rovnobežnýchs jednou základnou rovinou. Rovnako aj vonkajšie (primárne) silové účinky i väzbové reakcietvoria rovinnú sústavu síl.Sústavy telies môžu byť nepohyblivé alebo pohyblivé (mechanizmy). Medzinepohyblivé sústavy zaraďujeme tiež tzv. prútové sústavy.5.1 Rovinné prútové sústavyPrútová sústava je najjednoduchší výpočtový model priehradovej konštrukcie, ktorýje tvorený nehmotnými štíhlymi telesami - prútmi, spojených navzájom kĺbmi. Akzaťaženie i uloženie sústavy pôsobí v jednej rovine, je takáto prútová sústava rovinná.Telesá priehradovej konštrukcie (zvislice, diagonály - priečky, pásy ...) sú najčastejšiez valcovaných oceľových profilov rôzneho tvaru (obr. 5.1) a usporiadania. Ich názvy,najčastejšie odvodené od geometrického tvaru konštrukcií určujú záväzné technické normy.Obr. 5.1Telesá sú spojené v tzv. styčníkoch. Konštrukčné prevedenie styčníkov bývanajčastejšie podľa niektorého zo spôsobov, ktoré uvádza obr. 5.2:kĺbové nitované alebo skrutkované zvarovanéObr. 5.293

Na nasledujúcich obrázkoch 5.3 a 5.4 sú nakreslené príklady trojuholníkovýchpriehradových konštrukcií a ich výpočtové modely.Obr. 5.3Obr. 5.4Výpočtový model priehradovej konštrukcie - prútová sústava - je vytvorený na základetýchto predpokladov:- Jednotlivé telesá sú štíhle a možno ich považovať ako jednorozmerné - tzv. prúty.- Prúty sa pretínajú v jednom bode - styčníku a (sú natoľko štíhle, že) ich ohybovútuhosť nemusíme brať do úvahy. Spojenie prútov v uzle potom pôsobí ako kĺbovéspojenie.- Zaťaženie konštrukcie sa uvažuje len v uzloch. Keďže osi prútov prechádzajúťažiskami telies, prúty prenášajú len osové (normálne) sily - ťah alebo tlak.94

5.1.1 Základná úloha, statická a tvarová určitosťZ predchádzajúcich úvah vyplýva, že každý prút môže byť namáhaný len osovou silou.Každý uzol, pokiaľ zaťaženie i uloženie je v styčníkoch, predstavuje rovinný zväzok síl. Keďje prútová sústava ako celok v pokoji, musí byť v pokoji aj každá jej časť, a preto silyv každom uzle musia byť v rovnováhe a spĺňať známe dve podmienky rovnováhy∑F ix = 0∑F iy = 0v prútoch.Základnou úlohou riešenia prútovej sústavy je určenie neznámych osových sílPrútová sústava je v rovnováhe vtedy, ak je v rovnováhe každý jej uzol, preto pri počteuzlov u musí byť v rovinnej prútovej sústave splnených 2.u rovníc typu∑F ix = 0∑F iy = 0(pre každý uzol)V týchto rovniciach sú zahrnuté tiež tri podmienky rovnováhy vonkajších sílpôsobiacich na prútovú sústavu. Počet voľných rovníc, ktoré sú k dispozícii je teda len2u - 3.Ak má byť prútová sústava s počtom p prútov tvarovo a staticky určitá, musia byťsplnené vzťahy:p = 2.u - 3pre voľnú prútovú sústavu(5.1)2.u = p + 2p 2 + p 1 pre viazanú (nepohyblivú)prútovú sústavukde p je počet prútov, u počet uzlov, p 2 počet väzieb, ktoré odoberajú prútovej sústave2 o V a p 1 počet väzieb odnímajúcich 1 o V.95

Základnú úlohu - určiť neznáme sily v prútoch od vonkajších (primárnycha sekundárnych) síl pôsobiacich na prútovú sústavu v jej uzloch vieme metódami statikyvyriešiť len vtedy, keď prútová sústava je staticky a súčasne aj tvarovo určitá!5.1.2 Rozdelenie staticky určitých prútových sústavOsové sily v prútoch môžeme určovať analyticky alebo graficky rôznymi metódami.Voľba metódy riešenia staticky a tvarovo určitej prútovej sústavy závisí na jej type.a zložité.Rovinné staticky určité prútové sústavy sa podľa typu delia na jednoduché, zložené5.1.2.1 Jednoduchá prútová sústava (obr. 5.5)Jednoduchá prútová sústava vznikne vtedy, keď k základnému trojuholníku je každýďalší styčník pripojený najviac dvoma prútmi a sústava má aspoň jeden dvojný uzol (len dveneznáme sily v uzle = počtu podmienok, resp. počtu rovníc rovnováhy v ňom).Obr. 5.5u = 5 podľa (3.1)p = 7p 2 = 1p 1 = 12.5 = 7 + 2.1 + 1.1 ⇒podmienka riešiteľnostistatickými metódamije splnená!Metódou riešenia je postupná uzlová metóda. Riešenie základnej úlohy začína vždy vodvojnom styčníku.Pri grafickom riešení možno použiť aj Cremonovu (1830 - 1903) metódu.96

5.1.2.2 Zložená prútová sústava (obr. 5.6)Zložená prútová sústava vznikne spojením dvoch jednoduchých sústav pomocou trochprútov, ktoré sa nepretínajú v jednom uzle, pričom sústava nemá dvojný styčník.u = 10p = 17p 2 = 1p 1 = 1podľa (3.1) 2.10 = 17 + 2 + 1 ⇒splnené!Obr. 5.6Takúto sústavu možno riešiť tzv. priesečnou metódou, a to buď analytickouRitterovou (∗1826), alebo Culmannovou grafickou metódou.5.1.2.3 Zložitá prútová sústava (obr. 5.7)Zložitá prútová sústava neobsahuje dvojný styčník (uzol) a jediným rezom ( m, m ) ceztri prúty, vedeným podobne ako v predchádzajúcej zloženej sústave, sa nedá rozdeliť na dvečasti.u = 6p = 9p 2 = 1p 1 = 1podľa (3.1) 2.6 = 9 + 2.1 + 1.1 ⇒splnené!Obr. 5.7Vhodnými metódami riešenia sú tzv. Hennebergova (∗ 1850) metóda náhradnéhoprúta (n) a metóda neurčitej mierky.Poznámka: V ďalšom sa budeme podrobnejšie zaoberať len metódami a riešenímjednoduchých prútových sústav. U ostatných metód budú vysvetlené iba princípy.97

5.2 Metódy riešenia statických určitých rovinných prútových sústav5.2.1 Metódy riešenia jednoduchých prútových sústavAko bolo už uvedené (ods. 5.1.2.1) možno jednoduché prútové sústavy riešiť pomocouuzlovej a Cremonovej metódy. Ukážeme si, že Cremonova metóda vychádza z uzlovejmetódy a že v určitých prípadoch zrýchľuje a objektivizuje jej postup.5.2.1.1 Postupná uzlová metódaPri postupnej uzlovej metóde (má niekoľko variantov) sa v jednoduchej prútovejsústave rieši rovnováha v každom uzle ako rovnováha rovinného zväzku síl. Riešenie začínavýpočtom reakcií, t. j. vonkajších sekundárnych síl, ktoré spoločne s akčnými (vonkajšímiprimárnymi) silami predstavujú vonkajšiu všeobecnú sústavu síl, pôsobiacu na prútovúsústavu ako celok.Vlastný výpočet osových síl v prútoch začína vždy vo dvojnom uzle (uzol lens dvoma neznámymi silami) a potom pokračuje postupne v ďalšom novovzniknutomdvojnom uzle.Tomu zodpovedá aj postupné očíslovanie uzlov, napr. v poradí I, II, ... .Pri analytickom riešení sa predpokladá, že všetky neznáme sily sú ťahové (+). Vovýsledkoch potom získame buď ťah (+), keď sa znamienko potvrdí, alebo tlak (-), ak sapôvodný predpoklad ukáže ako nesprávny.Pri grafickom spôsobe riešenia kreslíme zmysly osových síl v uzloch.Ťah (+) alebo tlak (-) v každom prúte sa zvyčajne označuje vo východzom výpočtovommodeli (obr. 5.8a).98

Príklad 5.1 V danej prútovej sústave (obr. 5.8) určite početne a graficky všetky osové silyv prútoch.Dané: F 1 = F 2 = F 3 = F 4 =F = 20 kNα = 45 o , sin 45 o = cos45 o = 0,7072.u = p + 2p 2 + p 12.5 = 7 + 2.1 + 1 → splnené!Obr. 5.8a) Početný spôsob- Výpočet reakcií: ∑M B = 0: - A y .8 + F (6 + 4 + 2) → A y =20.128∑F x = 0: - A x + F 4 = 0 → A x = 20 kN= 30 kN∑F y = 0: A y - 3F + B = 0 → B = 30 kN- Vlastný výpočet osových síl v prútoch (tzv. zjednodušená varianta uzlovej postupnejmetódy).Uvoľníme v uzloch neznáme osové sily ako ťahy (obr. 5.8a):Obr. 5.8a99

V sústave sú dva dvojne uzly (I, V) riešenie začneme napr. v uzle I .Uzol I∑F y = 0: A y + S 1 sinα = 0 → S 1 = - = −sinα= -42,43 kNA y300,707=Obr. 5.8a/1∑Fx = 0: -A x + S 2 + S 1 cosα = 0 → S 2 = A x - S 1 cosα == 20,0 - (-42,43 . 0,707) = 20 + 30 = 50 kNPoznáme už veľkosti a druh síl v prútoch S 1 , S 2 . Príslušné znamienka síl vyznačíme doobr. 5.8 ako tlak (-) v prúte S 1 , resp. ťah (+) v prúte S 2 (znamienko + sa nezvyknevyznačovať).Poznámka: Niekedy, pre väčšiu názornosť sa znamienkami plus (ťah) a mínus (tlak)označené sily v prútovej sústave (obr. 5.8) dopĺňajú ešte aj graficky zmyslami(šípkami) ich pôsobenia (zistenými, skutočnými).Môžeme teda postúpiť do novovzniknutého dvojného uzla II , lebo v tomto uzle súteraz už iba dve neznáme osové sily S 3 , S 5 (uzol III túto podmienku nespĺňa, pretože sú v ňomzatiaľ neznáme až tri sily -S 3 , S 5 a S 6 ).Uzol II∑F y = 0: - S 3 .sinα - S 1 .sinα - F 1 = 0S 3 = -(F 1 + S 1 sinα)1= -(S 1 +sinαF1 ) =sinαObr. 5.8/2-(-42,43 +20 ) = 14,14 kN0,707Predtým vypočítanú silu pri ďalšom uzle dosadzujeme aj soznamienkom.F x = 0: S 4 + S 3 cosα - S 1 cosα = 0S 4 = (S 1 - S 3 ) cosα = (- 42,43 - 14,14) . 0,707 = -40 kN100

Po vyznačení síl S 4 ako tlak (-), resp. S 3 ako ťah (+) znamienkami, prípadne aj grafickyzmyslami ich pôsobenia v obr. 5.8 môžeme postupovať ďalej, konkrétne: v našom prípade bysme mohli pokračovať v ktoromkoľvek z uzlov III, IV i V, pretože v každom z nich sú už lendve neznáme sily. Postúpme do ďalšieho uzla, napr. III .Uzol III∑F y = 0: S 5 .sinα + S 3 . sinα - F 2 = 0S 5 =F 2- S 3 =sinα200,707- 14,14 = 14,14 kNObr. 5.8a/3 ∑F x = 0: -S 2 - S 3 cosα + S 5 cosα + S 6 = 0S 6 = S 2 + (S 3 - S 5 ) cosα = 50 + (14,14 - 14,14) .0,707 = 50 kNPostupujeme ďalej, napr. do uzla IVUzol IV∑F y = 0: - S 5 .sinα - F 3 - S 7 sinα = 0S 7 = -(S 5 sinα + F 3 )1= -(S 5 +sinαF3 ) =sinα= - (14,14 +20 ) = - 42,43 kN0,707Obr. 5.8/4 ∑F x = 0: -S 4 - S 5 cosα + S 7 cosα = 0S 4 = (S 7 - S 5 ) cosα = (-42,43 - 14,14) 0,707 =-40 kN (čo je tá istá hodnota - podľaočakávania(!) -ako v uzle II ).do obr. 5.8.Opäť vyznačíme znamienkami, prípadne aj graficky zmyslami zistené osové sily S 7 a S 4101

Riešenie ukončíme v poslednom uzle VUzol V∑F y = 0: B + S 7 sinα = 030 + (-42,43 . 0,707) = 0 → splnené!∑F x = 0: -S 6 - S 7 cos α + F 4 = 0Obr. 5.8/5 -50 - (-42,43 . 0,707) + 20 = 0-50 + 30 + 20 = 0 → splnené!Poznámka: Rovnováha v posednom uzle je súčasne kontrolou správnosti celého výpočtu!b) Grafický spôsobGrafický (názornejší) spôsob riešenia je zrejmý z nasledujúcich obrazcov rovnováhyv každom uzle prútovej sústavy - dve silové podmienky v analytickom spôsobe možnonahradiť pri grafickom riešení jedinou podmienkou - uzavretím silového obrazca!Tak, ako pri analytickom spôsobe i teraz výpočet začína určením reakcií!Príklad 5.2:mierka síl 10 kN.cm -1dĺžok 0,01 m.mm -1Obr. 5.9 5.9a102

IVIIPoznámka: Cremonov obrazecIII5.9bIV5.9cCremonovu metódu možno charakterizovať ako „prienik“ postupne (pre každý uzolzvlášť) uzavretých silových obrazcov získaných pri postupnej uzlovej metóde v jedinýobrazec, v ktorom sa úseky osových síl v prútoch vyskytujú iba jedenkrát. Spomínaný prieniksa pritom dosiahne jednoducho (porovnajme navzájom obr. 5.9.b a obr. 5.9.c!) „stotožnením“úsekov tých istých síl (podrobnejšie ešte viď v ďalšom ods. 5.2.1.2).5.2.1.2 Cremonova grafická metódaCremonovu grafickú metódu možno použiť len na riešenie jednoduchých prútovýchsústav. Pri Cremonovej metóde (nemá analytický spôsob, resp. je zhodný s analytickýmspôsobom uzlovej metódy) sú osové sily nakreslené v silovom obrazci iba jedenkrát,neopakujú sa (!). Uzavretý Cremonov obrazec je súčasne kontrolou správnosti i presnostigrafického riešenia.Pri Cremonovej metóde je treba dodržať nasledujúci postup:103

- Rovnovážnu sústavu vonkajších síl (prvotných i reakcií) kreslíme v poradí, v akompôsobia po obvode prútovej sústavy, napr.:- Rovnovážny zložkový obrazec síl v každom uzle vynášame v poradí ich pôsobeniaa v rovnakom zmysle ako vonkajšie sily- Keď sa niektoré prúty krížia (zriedkavý prípad), uvažujeme v mieste kríženia myslenýkĺb, ktorý rozdelí prúty na dve časti, pričom s každou pracujeme zvlášť.Príklad 5.3: Určite Cremonovou metódou osové sily v jednoduchej prútovej sústave na obr.5.10. Dané: F = 5 kN, tvar a rozmery prútovej sústavy podľa obrázku.Obr. 5.10- Výpočet osových síl Veľkosti reakcií A = mF R.( m FS= 0,05 kN.mm-1 ) resp. B = m . BF RAVeľkosti osových sílSi = mF S.S , i = 1,2,..7)iObr. 5.10a104

Poznámka: - Grafické riešenie začína vždy (po výpočte reakcií!) vo dvojnom uzle. Vozvolenom smere obehu, najskôr zložením už známych síl a potom ichrozkladom do dvoch neznámych prútov.- Niekedy je treba zmeniť mierku síl pri výpočte reakcií a osových síl, pretožeich zobrazovacie úseky sú podstatne menšie.- Na začiatku, pri zoznamovaní sa s Cremonovou metódou je vhodné sioznačovať (obr. 5.10a) dohovoreným znamienkom (napr. → ) tie sily,s ktorými začíname kresliť rovnováhu v novom (ďalšom) uzle. V novom uzlemusí mať ale táto sila vždy opačný zmysel.Príklad 5.4: Určite veľkosť osových síl v častých priamopasových trojuholníkovýchpriehradových sústavách so stúpajúcimi (obr. 5.11) a klesajúcimi (obr. 5.12)diagonálami. Obe prútové sústavy sú symetrické ku stredu rozpätiageometricky i zaťažením v horných styčníkoch.Postup a výsledok riešenia osových síl v Cremonovom silovom obrazci je zrejmý zobr. 5.11a a 5.12a.Obr. 5.11Obr. 5.11am F = 0,2 m.mm -1 105

-1-13Obr. 5.12Obr. 5.12aZo symetrie priehradových sústav a zaťažení je zrejmé, že A = B =127∑i=1F , a žeiskutočné veľkosti osových síl možno vypočítať zo vzťahu S i = m F .S i , kde m F =AA , čozodpovedá vhodne zvolenej dĺžke úseku A = 1.Pozn.: V obr. 5.11a a 5.12a je už vynechané pomocné označovanie zmyslu síl, čo všakpredpokladá už určitú počtársku zručnosť.Zo symetrie tiež vyplýva, že polohou symetrické prúty k stredu rozpätia v pravej častisústavy budú namáhané rovnakými osovými silami, ako v ľavej riešenej časti (urýchenievýpočtu).Keď si v zodpovedajúcich uzloch predstavíme (ako v analytickom spôsobe riešeniauzlovou metódou) počiatok súradnicovej sústavy, je zrejmé, že v prútoch S 2 , S 13 v obr. 5.11,resp. S 4 v obr. 5.12 musia byť osové sily nulové.Za povšimnutie stojí, že stúpajúce diagonály (ku stredu rozpätia) sú namáhané na tlak,klesajúce na ťah, horné pásy sú tlačené a dolné naopak ťahané.106

5.2.2 Metódy riešenia zložených prútových sústavNa riešenie zložených prútových sústav možno použiť priesečnú metódu. Metóda jeznáma vo dvoch podobách:- grafická Culmannova metóda- analytická Ritterova metóda.V nasledujúcich úlohách uvidíme, že oboma metódami možno riešiť tiež sily vo vnútrijednoduchých prútových sústav.5.2.2.1 Culmannova grafická metódaPríklad 5.5: Určite osové sily v danej sústave (obr. 5.13).Dané: F 1 = 3 kN, F 2 = 6 kNa)Reakcie:∑M A = 0 → B = 1,715 kN∑M B = 0 → A y = 7,285 kNObr. 5.13b)Primárne sily sú len zvislé, A x = 0.Osové sily:Daná sústava je zložená, nemádvojný uzol. Rezom m-mrozdelíme sústavu fiktívne na Ľa P časť. Vlastné riešenievykonáme napr. pre ľavú časť, naktorú pôsobia sily F 1 , F 2 , A y a S 8 ,S 9 , S 10 pomocou Culamnnovejpriamky (obr. 5.13b), pričom prerovnováhu sústavy ako celku platí:F 1 + F 2 + A = R L = -BVýslednica R Ľ leží na nositeľke reakcie B, takže R Ľ = S 8 + S 9 + S 10 = 0, R Ľ = A - F 1 -+ F 2 = 1,715 kN.107

Po vyriešení rovnice graficky pomocou Culmannovej priamky, odmeraním úseku sílv mierke m F obdržíme hľadané sily = S 8 -4,5 kN, S 9 = 0,5 kN, S 10 = 3,53 kN.Po určení síl v týchto troch prútoch možno pokračovať v riešení osových síl v sústaveďalej, napr. postupnou uzlovou metódou.Fiktívny rez vedený cez tri prúty (nie viac, máme k dispozícii len 3 podmienkyrovnováhy!), ktorým rozdeľujeme zloženú sústavu na dve časti nemusí byť priamy(obr. 5.14 a,b).a) b) c)Obr. 5.14Pozn.: Pokiaľ sa uspokojíme s určením len jednej osovej sily, môžeme prerezať i viacako 3 prúty (obr. 5.14b), ale osi všetkých ostatných ostatných okrem toho,v ktorom osovú silu určujeme, musia tvoriť zväzok síl (smerovať do jednéhobodu). Čiara rezu nemusí byť dokonca ani spojitá (obr. 5.14c).5.2.2.2 Ritterova analytická metódaPríklad 5.6: Pre analytické riešenie sústavy na obr. 5.13a je vhodnejšie zvoliť pravú časť P ,nakoľko z vonkajších síl na nej pôsobí len jediná - reakcia B. Neznáme osovésily S 8 , S 9 ,S 10 (obr. 5.15) zvolíme ako ťahy a potrebné uhly prútov 8, 9, 10 (α,β, γ), určíme pomocou goniometrických funkcií z rozmerov danej prútovejsústavy. Podstatou Ritterovej metódy je, že každá momentová rovnicak priesečníkom vždy dvoch (z troch neznámych) síl - k momentovým stredomI , II , III, obsahuje len jednu neznámu silu:∑M I = 0 → S 8∑M II = 0 → S 9 (5.2)∑M III = 0 → S 10108

Obr. 5.15Nevýhodou metódy je prácne hľadanie ramien síl (p 1 , p 2 , p 3 ) jednotlivých momentov,aj keď pri súčasnom grafickom a analytickom riešení, možno ramená odmerať s dostatočnoupresnosťou priamo v pozorne nakreslenom obrázku.Naopak, výhodu metódy je, že ak nepotrebujeme poznať všetky osové sily v sústave,možno vypočítať len tie sily v prútoch, ktoré nás zaujímajú.Výpočet zloženej sústavy by sa dal popísanou Ritterovou metódou rozšíriť na všetkyprúty, ale podobne, ako v predchádzajúcej Culmannovej metóde, je výhodnejšie, keď povypočítaní troch neznámych prútov sa vo výpočte pokračuje už postupnou uzlovou (aleboCremonovou) metódou.5.2.3 Metódy riešenia zložitých prútových sústav5.2.3.1 Hannebergova metóda náhradného prútu (n)Metóda náhradného prútu sa používa na riešenie zložitých sústav, ktoré nemajú dvojnýuzol a neumožňujú použitie priesečníkovej metódy, alebo na riešenie sústav s vonkajšoustatickou neurčitosťou. (Vonkajšia statická neurčitosť ako vieme z ods. 1.3.2, obr. 1.13neodvoľuje vypočítať reakcie, takže nie je možné ani vyriešiť osové sily). PrincípHannebergovej metódy je znázornený na obr. 5.16.109

Aa) b) c)Obr. 5.16Pôvodná zložitá sústava (obr. 5.16a) je nahradená dvoma jednoduchými sústavami (obr.5.16b,c), ktoré vznikli odňatím prútu, napr. 8 a zavedením náhradného prútu na jednotkovejsile S 8 = 1 (na zachovanie tvarovej určitosti oboch náhradných sústav).V oboch náhradných jednoduchých sústavách vypočítame (napr. Cremonovou metódou)osové sily v prútoch od vonkajšieho zaťaženia (obr. 5.16a) S i´, S n´ a od jednotkovej sily (obr.5.16a) S i ″, S n ″.Nová sústava zaťažená pôvodnou vonkajšou silou F, reakciami A, B a silou S 8v miestach odobratého prúta bude staticky ekvivalentná pôvodnej sústave vtedy, keď osovásila v náhradnom prúte n bude nulová.Výsledné hodnoty osových síl získame superpozíciou (sčítaním) síl v zodpovedajúcichprútoch v náhradných sústavách:S i = S i´ + S i ″ . S 8 (5.3)a v náhradnom prúte S n = S n´ + S n ″ . S 8Z podmienky nulovej sily v náhradnom prúte S n = 0(!) jeS n = S n´ + S n ″ . S 8 =0´Sna z toho S 8 = -´´Sn(5.4)110

Príklad 5.7: Výsledky riešenia oboch náhradných sústav, ako aj síl v celej prútovej sústave(obr. 5.16) možno usporiadať do tabuľky.Najskôr však treba ako vždy vypočítať reakcie. V danom prípade určímereakcie z rovnováhy síl F, A, B (pretínajúcich sa v spoločnom priesečníkuK ). Z rovinného zväzku vonkajších síl vyjde potom veľkosť reakcií pre napr.zadanú silu F = 6 kN → A = 7,2 kN, B = 4,0 kN.Tab. 5.1Prút 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n(i)S i´ +2,00 +2,1 +2,95 -3,25 -3,10 6,45 1,55 0 -2,10 2,4S i ″ -0,47 -0,52 -0,71 -0.25 -0,24 -0,74 0,38 1 0,50 -0,54S 1 ″.S 8 -2,08 -2,30 -3,15 -1,11 -1,06 -3,28 1,68 4,44 2,22S i -0,08 -0,2 -0,2 -4,36 -4,16 3,17 3,23 4,44 0,12Z rovnice (5.4) je S 8 = -2,4− 0,54= 4,44 kN5.2.3.2 Metóda neurčitej mierkyMetódu neurčitej mierky je vhodné použiť pri riešení zložitej prútovej sústavy, ktorá jezaťažená jednou alebo najviac dvomi silami, pretože riešenie osových síl v sústave trebaopakovať postupne pre každú zaťažujúcu vonkajšiu silu zvlášť.Princíp riešenia spočíva v tom, že silový obrazec vnútorných (osových) síl a reakcií,ktorý sa nedá zostrojiť pre danú (jedinú!) silu, začíname kresliť od niektorej zvolenejosovej sily v prúte. Tento prút je treba zvoliť vhodne tak, aby bolo možno vyriešiťpostupne všetky osové sily v prútoch i reakcie v podperách.Príklad 5.8: V danej zložitej prútovej sústave určite osové sily metódou neurčitej mierky.Dané: F = 15 kN a rozmery sústavy podľa obr. 5.17a.Mierka dĺžok m L = 0,1 m.mm -1Reakcie možno určiť napr. grafickyriešením rovnice F + A + B = 0 → K111

Osové sily: Riešenie je vykonanéCremonovou metódou (význam použitejsymboliky - viď príklad 5.10) od úsekuzvolenej sily S7v dĺžke S7= 35 mm.Po vyriešení ostatných osových sílv prútoch pri počiatočnej dĺžke úsekuS7= 35 mm odmeriame po uzavretía)obrazca F = 58 mm.Z dĺžky úseku zistíme mierku síl m F =F 15 = = 0,259 kN.mm-1F 58b)Obr. 5.17Ostatné dĺžky osových síl ( Si) a ( R ) odčítame tiež z obrázku a určíme ich veľkosť užv známom merítku S i = Si. m F , i = 1,2, ...n, resp. R = m.Rj, kde j = A , B .5.2.4 Niektoré dôležité poznámky o riešení prútových sústavO možnom zjednodušení a zrýchlení riešenia základnej úlohy prútových sústavvyplývajúcom z tvarovej symetrie a zaťaženia sme sa presvedčili už v príkladoch 5.11 a 5.12.Všimnime si ešte niekoľkých ďalších zvláštne usporiadaných prútov a zaťaženiav uzloch, v ktorých je veľkosť osových síl zrejmá bez riešenia (obr. 5.18):112

Obr. 5.18Pozn.: Zrejmosť týchto prípadov (veľmi urýchľujúcich výpočet síl), si ľahkozapamätáme, keď si v každom uzle predstavíme súradnicovú sústavu.Príklad 5.9: Majme vyriešiť napr. tzv. francúzsku jednoduchú trojuholníkovú sústavu(obr. 5.19). S 3 = S 5 = S 7 = S 15 = S 17 = S 19 = 0S 1 = S 6 , S 16 = S 20 , S 2 = S 4 = S 8S 14 = S 18 = S 21Prúty 3, 5, 7, 15, 17, 19 súnezaťažené, bránia iba vybočeniuzaťažených prútov.Obr. 5.19Podľa toho treba určiť iba osové sily v (21 - 12) = 9-tich nosných prútoch!Na záver už stručne iba uveďme, že ľubovoľnú staticky určitú rovinnú prútovú sústavumôžeme vyriešiť zostavením 2.u lineárnych rovníc typu ∑F ix = 0, ∑F iy = 0 pre každý uzol (u),ktoré v maticovom vyjadrení majú tvar:A . P + Q = 0 (5.5)v ktorom A ... je štvorcová matica koeficientov n neznámych osových síl a reakcií typu 2.uP ... je stĺpcová matica neznámych síl prútov a vonkajších väzbových reakciíQ ... je stĺpcová matica vonkajších zaťažovacích účinkov v uzloch0 ... je nulová stĺpcová matica.Keď je matica sústavy A regulárna (det. /A/ ≠ 0) je riešenie dané vzťahomP = -A -1 . Qčo v maticovom tvare je tzv. všeobecná uzlovámetóda. (5.6)Poradie uvoľnenia uzlov pri zostavaní rovníc je ľubovoľné a všetky neznáme savypočítajú naraz. Použitie tejto metódy na riešenie skutočných priehradových konštrukcií sivyžaduje výpočtovú techniku.113

114

6. PASÍVNE ODPORYPri riešení rovnováhy skutočných telies, okrem druhotných síl v ideálnych väzbách(dokonale tuhé a ideálne hladké), treba brať do úvahy aj ďalšie pôsobiace veličiny, a to:šmykové trenie a valivý odpor.Pasívne odpory sa môžu prejaviť len vtedy, keď uloženie telesa alebo sústavy je také, žesa pri danom zaťažení a ideálnych väzbách môže teleso začať pohybovať.Pasívne odpory bránia vzájomnému pohybu dotýkajúcich sa telies a pôsobia vždyproti ich možnému alebo relatívnemu pohybu.určený.Možným alebo relatívnym pohybom je teda aj smer a zmysel pasívnych odporov úplneV tejto kapitole sa budeme zaoberať aj tzv. čapovým trením, valivým odporom a trenímvlákien (pásov).6.1 Šmykové trenie, súčiniteľ trenia, súčiniteľ adhézieV dôsledku drsnosti povrchu dotýkajúcich sa telies (obr. 6.1a) pôsobí na každúelementárnu plošku dA telesa 2 všeobecne orientovaná elementárna sila dR 12 proti zmyslurelatívneho pohybu telesa 2. Keď rozložíme túto silu na zložky dN 12 a dT 12 do normálya roviny styku, obdržíme dve sústavy elementárnych rovnobežných síl, ktoré možno nahradiťvýslednými účinkami.kde N 12 = p.dAN 12 =∫A(p ... tlak medzi telesami v Nm -2 )∫Ad N 12 a T 12 = d T 12 (6.1)a) b)Obr. 6.1S115

Na hranici pokoja a pohybu alebo pri pohybe telesa 2 je možno uvažovaťs jednoduchým výpočtovým modelom, určeným vzťahomkde μ je tzv. súčiniteľ šmykového trenia.dT 12 max = dF 12 = μ N 12 (6.2)dT 12 = dF 12 je elementárna trecia sila medzi oboma telesami.Ak bude μ na celej stykovej ploche konštantné, jeF 12 =∫Ad F 12 = μ ∫ dN = μ N 12 (6.3)Rovnica (6.4) F 12 = μ N 12 (6.4)je najjednoduchším výpočtovým modelom pasívnych odporov dvoch dotýkajúcich satelies pri ich vzájomnom pohybe alebo na medzi pokoja a pohybu - tzv . Coulombov vzťah(1736 - 1806). Geometrickým modelom je rovná styková plocha (obr. 6.1b), kde v miesteS pôsobia sily N 12 , T 12 a ich výslednicaR 12 = F 12 + N 12 (6.5)Výsledná reakcia je odklonená proti zmyslu relatívneho pohybu a uhol φ, pre ktorý platíF12tgφ =N = μ (6.6)12plôch.Uhol φ je tzv. trecí uhol, ktorého tangenta je rovná súčiniteľom trenia stýkajúcich saPodľa toho, či ide o prípad na medzi pokoja a pohybu alebo už pri pohybe, sú hodnotytrecej silyF s = μ s . N ... trecia sila z pokoja - statické trenieF k = μ k . N ... trecia sila pri pohybe - kinetické treniekde μ s = tgφ s je súčiniteľ statického treniaμ k = tgφ kje súčiniteľ kinetického trenia116

Zo skúsenosti vieme, že μ s > μ k , (φ s > φ k ). (6.7)V nasledujúcej tabuľke 6.1 sú na porovnanie uvedené niektoré hodnoty súčiniteľov prisuchom trení.Tab 6.1Súčiniteľ šmykového treniaMateriály telies μ s (z pokoja) μ k (pri pohybe)Oceľ na oceli 0,15 0,03 - 0,09Oceľ na bronze 0,11 0,105Oceľ na ľade 0,027 0,014Dub na dube v smere vlákien 0,62 0,48napriečvláknami0,7Pri rovinných úlohách vymedzuje uhol φ tzv. trecí trojuholník. Pri možnom pohybe vovšetkých smeroch vznikne tzv. trecí kužeľ.Podľa toho, keď uhol α odklonenia výslednice R 12 od normály (n) šmykovej plochy(obr. 6.1b) bude mať hodnotu:α ≤ φ s bude teleso v pokoji pri ľubovoľne veľkej reakcii Rα ≤ φ s teleso sa začne pohybovaťPríklad 6.1: Medzi typické a v praxi časté úlohy patrí rovnomerný pohyb telesa tiaže G, naktoré pôsobí sila F i na naklonenej rovine (obr. 6.2). Dané: G, α, β, a, b, μ s , μ k .Máme určiť veľkosť sily F potrebnej na zdvíhanie a spúšťanie telesa (v smereosi x, obr. 6.2.a,b) po naklonenej rovine.TObr. 6.2117

1. Zdvíhanie telesa (translačný posun smerom nahor)Na uvoľnené teleso pôsobí všeobecnárovinná sústava síl s neznámymi F, F t ,F n , c (obr. 6.2a).Pre sústavu síl môžeme okrem trochrovníc rovnováhy napísať aj rovnicu pretreciu siluObr. 6.2aF t = μ k . F nZo sústavy rovníc∑F ix = Fcosβ- Gsinα - F t = 0∑F iy = Fsinβ- Gcosnα + F n = 0∑M iT = F t .b - F n .c = 0po úprave dostaneme (po dosadení za F t , F n z rovnice pre treciu silu)F = G .sinα+ μ .cosαcos β + μ .sin βkk(6.8)Treba však skontrolovať, či nedôjde skôr k preklopeniu telesa okolo hrany A. Sila Fvytvára destabilizujúci (sklápajúci) a sila G stabilizujúci moment (stabilizujúci účinok).Ak nemá teda dôjsť k neželateľnému sklopeniu telesa okolo hrany A, musí platiť:F (asinβ + bcosβ) ≤ G(bsinα + acosα) (6.9)a po dosadení za F z rovnice (6.8) dostanemesinα+ μ cosαbsinα+ a cosα≤cos β + μ sin β asinβ + bcosβodkiaľaμ ≤(μ = μ s ) (6.10)bapokiaľ bude μ s 〉 , teleso sa okolo hrany preklopí.b118

2. Spúšťanie telesaPri spúšťaní telesa (obr. 6.2b) sav rovniciach rovnováhy zmeníznamienko trecej sily F t .Sila F na spúšťanie telesa má veľkosťF = Gsinα− μ cosαcos β − μ sin βkk(6.11)Obr. 6.2bKeď vyjde hodnota F záporná, je treba pri pohybe nadol teleso tlačiť.Pre α = φ k je hodnota sinα - μ k cosα = sinα - tgαcosα = sinα - sinα = 0, a teda tiež sila F= 0. Teleso sa v takomto prípade bude pohybovať po naklonenej rovine rovnomerne smeromdole bez pôsobenia vonkajšej sily F.Z tejto úvahy vyplýva experimentálne určovanie súčiniteľa trenia. Keď uvediemeteleso naklonením roviny do rovnomerného pohybu, potom musí zrejme platiť α = φ k , a tedasúčiniteľ trenia jeμ k = arctg φ k = arctgαPríklad 6.2: Treba vypočítať veľkosť sily F, potrebnej na posunutie homogénnej tyče shmotnosťou m = 40 kg, dĺžkou l = 3,6 m opretej o stenu vysokú 1,8 m.Súčinitele trenia sú v miestach A, B rovnaké μ = 0,60 (obr. 6.3).Tri podmienky rovnováhy sú:∑F ix = 0: F A - F - F B cosα + N B sinα = 0∑F iy = 0: N A - G + N B cosα - F B sinα = 0l∑M A = 0: G . cosα - NB . BA = 02a doplňujúce väzobné rovnice F A = μN A ,F B = μN BObr. 6.3119

Po dosadení hodnôt2 2BA = 1 ,8 + 2,4 = 3 m; G = m . g = 40 . 9,81 = 392,4 N a1, 8α = arctg 2,4= 36,87 o dostaneme po vyriešení rovníc rovnováhy N B = 188 N,F B = 112,8 N, N A = 309,7 N, F A = 185,8 N a hľadanú silu potrebnú na posunutie tyčeF = 388,8 N.6.2 Čapové treniePasívne odpory pôsobiace na čapy rotujúcich telies sa rozdeľujú na dva základné druhy:- radiálne (obr. 6.4a)- axiálne (obr. 6.4b)ra) b)Obr. 6.4Pasívne odpory pôsobia proti otáčaniu pohybu čapu tzv. momentom čapového trenia.Moment čapového trenia je vyjadrený vzťahomM č = Q . r . μ č (6.12)kde Q ... je sila zaťažujúca čap [N]r ... polomer čapu [m]μ č ... súčiniteľ čapového trenia, závislý na druhu materiálu čapu a rozloženímerného tlaku p [N.m -2 ] v stykovej ploche.Kritérium rozdelenia na čapy radiálne a axiálne závisí, ako je to zrejmé z obr. 6.4, nasmere pôsobiacej sily Q voči osi rotácie čapu.120

V nasledujúcej tabuľke 6.2 sú na ilustráciu uvedené súčinitele čapového trenia preniektoré druhy čapov a rovnomerné i premenlivé rozloženie merného tlaku pri suchom trenív stykovej ploche čapu.RADIÁLNE A AXIÁLNEČAPY PODĽA TVARUSTYKOVEJ PLOCHYRadiálny čapTab. 6.2SÚČINITEĽ ČAPOVÉHO TRENIA PRE MERNÉ TLAKYp . r/ cosφ = konštp = konštp . r = konštαp . r/ cosφ = konštμ č = μsin 2αα4sinα = π: μ č = 1,57 μμ č = μ2α + sinαα = π: μ č = 1,27 μAxiálny čap plnýμ č = 32 μμč = 21 μAxiálny čap prstencovýr2Axiálny čap guľovýr1r131−( )2 rμ č = μ23 r121−( )rμ č = 21 μ22α− sinα2sin αr1+rμ č = μ22sin αμ č = 2μ22α+ sin α12121

Príklad 6.3: Panva i s obsahom tekutého kovu má hmotnosť 8 000 kg. Určite silu F vozvislom lane pri vylievaní na začiatku nakláňania panvy. Súčiniteľ šmykovéhotrenia medzi čapom a závesnými hákmi je μ = 0,3. Rozmery sú na obr. 6.5.Vzhľadom na to, že zaťaženie panvy(tiaž, lano, závesy v mieste A) súusporiadané symetricky vo zvislejObr. 6.5rovine, možno úlohu riešiť ako rovinnú.Pre sily na uvoľnenej panve možno napísať rovnice rovnováhy∑F ix = 0: A x = 0∑F iy = 0: -G + A y + F = 0∑M iA = 0: F . 0,8 - M č = 0,v ktorom M č = μ č . A y . r Aak budeme uvažovať (tab. 6.2) μ č = 1,57 μ.a dosadíme číselné hodnoty, dostávame- 8000 . 9,81 + A y + F = 00, 15F . 0,8 - 1,57 . 0,30 2A y = 0odkiaľ A y = 75163,4 NF = 3316,6 NNa vyklopenie panvy treba na začiatku vyklápania vyvinúť v lane silu F = 3316,6 N.6.3 Valivý odporPasívny účinok, ktorý vzniká pri valení telies sa nazýva valivý odpor. Vznikáv dôsledku toho, že skutočné telesá nie sú dokonale tuhé a preto sa účinkom síl sa deformujú.122

šmyku.V riešení valivého odporu predpokladáme, že v mieste dotyku telies nedochádza kuPo zaťažení valca tiaže Q silou F v smere pohybu dochádza k deformácii valcai podložky (obr. 6.6).a) b) c)Obr. 6.6Moment valivého odporu M v = N . ξ (6.13) pôsobí vždy proti smeru valenia valca.Veličina ξ- tzv. rameno valivého odporu (súčiniteľ valivého trenia) sa zisťujeexperimentálne.Z uvedených predpokladov je zrejmé, že musí platiť podmienkaT ≤ N . μ s (6.14)Pri rovnomernom pohybe valca musia sily spĺňať podmienky rovnováhy∑F ix = 0: F - T = 0∑F iy = 0: N - Q = 0∑M ic = 0: N. ξ - F . a - T . R = 0Odkiaľ sila F jeF = T = Q .ξa + R(6.15)a pri splnenej podmienke valenia T ≤ N . μ = Q . μ jea ≥ μξ - R (6.16)123

Pre a < μξ - R bude sa valec kĺzať. Pre a = 0, t. j. R > μξnastane valenie.Experimentálne zistené hodnoty Tab. 6.3súčiniteľov valivého odporuniektorých materiálov sú uvedenév tabuľke 6.3.MATERIÁL TELIESξ [mm]liatina na liatine 0,5oceľ na oceli 0,5drevo na kameni 1,5Príklad 6.4: Určite súčiniteľ valivého odporu materiálu valca a podložky, keď bremeno Qklesá stálou rýchlosťou (obr. 6.7).Valec sa pohybuje rovnomerne ponaklonenej rovine účinkom rovnovážnejsústavy síl, pre ktorú platí∑F ix = 0: Q - Gsinα - T = 0∑F iy = 0: N - Gcosα = 0∑M c = 0: M v - T . R = 0Obr. 6.7OdtiaľT = Q - Gsinα, N = G. cosαM v = (Q - Gsinα) Rpretože M v = N . ξ = Q . cosα . ξ je (Q- Gsinα) R = Gcosα . ξa odtiaľ súčiniteľ valivého odporu je ξ =Q − GsinαRGcosα6.4 Trenie vlákien (pásov)Pri šmýkaní vlákien (oceľových pásov, lán, remeňov, reťazí a pod.) po povrchu teliess valcovou alebo všeobecne zakrivenou plochou, vzniká špeciálny prípad šmykového trenia,ktoré nazývame trením vlákien (pásov).124

Pri výpočte vláknového trenia sa predpokladá, že vlákno je dokonale ohybné,nenaťahovacie a nehmotné. Vlákno vo výpočtovom modeli (obr. 6.8a) je vedené okolozakrivenej vypuklej plochy telesa (napr. hnacieho kolesa) a namáhané silami F 1 , F 2 .Ak sú povrchy vlákna i telesa dokonalea)hladké, potom zrejme platíb)F 1 = F 2a v prierezoch 1 a 2 vymedzenýchuhlom opásania α sú tangenciálne silyT 1 = T 2 .Pri dotyku skutočných telies a vlákien(μ ≠ 0) narastá vo vyznačenom smerepohybu zaťaženie od miesta 1k miestu 2 v dôsledku trenia, takžeT 2 > T 1 .Sily, pôsobiace na vybratý elemento dĺžke dl (obr. 6.8b) tvoria zväzok síl,ktorého rovnice rovnováhy sú:ΣΣF ixF iyObr. 6.8dψdψ= 0 : ( T + dT ).cos − T.cos− dF = 0,2 2dψdψ= 0 : −(T + dT ).sin − T.sin+ dN = 0.2 2(6.17)dψPre dF = μdN a cos = 1,2nadobudnú rovnice (6.17) tvardψ dψsin = a po zanedbaní diferenciálov vyšších rádov2 2dT = μ.dNT.dψ =dNdTIch riešením dostaneme = μ.dψT125

Po integrácii, pri konštantných hodnotách μ, α dostaneme tzv. Eulerov vzorecT 2 = T 1 . e μα (6.18)Z uvedeného vzorca na výpočet prenosu sily vláknom je zrejmé, že pomer síl T 2 / T 1nezávisí na tvare zakrivenia plochy telesa, ale iba na veľkosti súčinu uhla opásaniaa súčiniteľa trenia.Ak vlákno kĺže po valci o polomere r (obr. 6.9), má prenášaný moment trenia veľkosťM T= ∫ ∫ ∫ ∫μψμαdT. r = μ.r.dN = μ.r.T.dψ= μ.r.T1 . e . dψ= T1. r.(e −1),odkiaľ s využitím rovnice (6.18) dostanemeα0M T = r. (T 2 – T 1 )(6.19)r Obr. 6.9Poznámka: Pasívne odpory sa vyskytujú tiež pri navrhovaní skrutiek (samosvornosť), riešeníohybnosti (tuhosti) lán a trakčných odporov.126

PREHĽAD POUŽITÝCH SYMBOLOV A JEDNOTIEKSymbol Názov Jednotkaa bod, vzdialenosť [x,y], [m]b bod, vzdialenosť [x,y], [m]c bod [x,y]d bod, priemer [x,y], [m]e nositeľka sily *, vzdialenosť [1], [m]f bod [x,y]g gravitačné zrýchlenie [m.s -2 ]h posunutie, výška [m], [m]k kritérium statickej určitosti [°V]l dĺžka [m]mmierka, rez *, hmotnosť, počet odobranýchstupňov voľnosti[pomer], [1], [kg], [ks]n rez *, spojité zaťaženie [1], [N.m -1 ]pspojité zaťaženie pohyblivé, rameno sily,vzdialenosť, počet prútov, počet väzieb, merný[N.m -1 ], [m], [m], [ks], [ks],[Pa]tlakq spojité zaťaženie stále, vzdialenosť [N.m -1 ], [m]r polomer [m]s vzdialenosť, osová sila v prútoch [m], [N]u počet uzlov [ks]v počet stupňov voľnosti [°V]x os *, rameno [1], [m]y os *, rameno [1], [m]A plocha, bod, reakcia [m 2 ], [x,y], [N]B bod, reakcia [x,y], [N]C bod [x,y]D bod, vložený kĺb * [x,y], [1]F sila [N]G tiažová sila [N]127

Q náhradná sila, tiaž, priečna sila [N], [kg], [N]K priesečník (bod) [x,y]M moment [N.m]N normálová sila [N]P sila [N]R výslednica [N]S osová sila [N]T ťažisko, trecia sila, nositeľka síl * [x,y], [N]α, ψ uhol, uhol opásania [°],[°]β uhol [°]μsúčiniteľ šmykového trenia *, súčiniteľčapového trenia *[1], [1]ξ rameno valivého odporu [m]π Ludolfovo číslo* (3,14) [1]φ trecí uhol [°]- * bezrozmerné číslo,- [x,y] súradnice bodu128

POUŽITÁ LITERATÚRA1. BALAŽOVJECH, V.: Statika v príkladoch, Bratislava 1962, SVTL2. BUŠOVÁ, B.-CABAN, S.-ŽIARAN, S.: Mechanika I. Statika, Bratislava 1996, STU2. CHASÁK, V.- NAVRÁTIL, O.: Technická mechanika - 1 díl, Brno 1990, VTA3. MORAVČÍK, M.- MELCER, J.: Statika dopravných stavieb I, Žilina 1996, VŠDS4. NOVÁK, O.- HOŘEJŠÍ, J. a kol.: Statika stavebních konstrukcí, Praha 1972, SNTL - NTL5. SVOBODA, F.: Stavební mechanika pro konstruktéry, Praha 1970, SNTL - NTL129

Za odbornú náplň tohto vydania zodpovedá odborný redaktor doc. Ing. Josef Reitšpís, PhD.AutoriNázovVydaladoc. Ing. Jozef Kovačik, CSc. Ing. Martin Beniač, PhD.STATIKA PRE ŠPECIÁLNE INŽINIERSTVOŽilinská univerzita v Žiline v EDIS – vydavateľstve ŽUZodp. redaktorVydanieNákladDruhé doplnené a upravené vydanie100 výtlačkovAH/VH 6,28/6,72ISBN 80-8070-077-XRukopis v EDIS – vydavateľstve ŽU neprešiel redakčnou ani jazykovou úpravou.