Mühazirə 1.

Mühazirə 1. OPERATORLAR VƏ ONLAR ÜZƏRİNDƏ ƏMƏLLƏRKvant mexanikasının riyazi aparatı operatorlar nəzəriyyəsinə əsaslanır.Operator latın əlifbasının böyük hərfləri ilə işarə olunur.Aˆ,Bˆ,Lˆ,Mˆ. Qeyd edək ki,riyaziyyatda istifadə olunan hər bir əməl operatordur. Operatorlar müəyyən siniffunksiyalar üçün təyin olunur. Məsələn: diferensiallama əməliyyatı yalnızdiferensiallana bilən funksiyalar üçün təyin olunur və aşağıdakı kimi işarə olunur:L ˆ =ddxBu əməliyyat hər hansı funksiyadan x dəyişəninə görə I tərtib törəmə alınmasınınəzərdə tutur. Operatorun hər hansı funksiyaya təsiri nəticəsində yeni bir funksiyayaranır. Ümumi şəkildəyazılır və nəticədə yeni funksiya alınır:Lˆψ = ϕLˆψLˆ operatorunun hər hansı ψ funksiyasına təsiri kimiTutaq ki, operatoru -dır. Funksiya isə ψ ( x)= sin x olsun. OndaLd / dxdLˆ ψ = sin x = cos xdxOperatorların cəmi, fərqi, hasili əməlləri mövcuddur. Məs:( Aˆ Bˆ) ψ = Aˆψ ± Bˆψ± (2)A ˆBˆψ = Aˆ(Bˆψ ) = Aˆϕ =123Qeyd edək ki, bəzən iki operatorunbərabər olur:ϕfAˆ Bˆhasili həmin operatorların BAˆ(1)(3)ˆ hasilinəAˆ Bˆ= BA ˆ ˆ(4)Bu halda  və Bˆ operatorları kommutativdir. Əgər qeyd olunan (4) bərabərliyiödənmirsə, onda  və Bˆ operatorları kommutativ deyildir.Riyaziyyatda istifadə olunan operatorların heç də hamısı kvant mexanikasınınoperatorları deyildirlər. Kvant mexanikası operatorları aşağıdakı 2 şərti ödəyirlər:

1. Kvant mexanikasında istifadə olunan operatorlar xətti olmalıdırlar. Tutaq ki,c1və c2iki ixtiyari sabitdir. ψ1və2funksiyadır. Əgər( c1ψ1 + c2ψ2) = c ˆ ˆ1Lψ1c2Lψ2L ˆ+ψ isə Lˆ operatorunun təsir etdiyi 2 ixtiyarişərti ödənərsə, Lˆ operatoru xətti olur. Yuxarıda qeyd etdiyimiz operatoruxəttidir. Doğrudan daLˆc( cψ+ c ψ ) = ( cψ+ c ψ )1112dψ1+ cdx2d2dxdψ2= cdx11112Lˆψ + c22=Lˆψ2ddxXəttilik şərtini bəzən daha ümumi şəkildə yazırlar:sLˆ∑i=1iiscψ= ∑i=1c Lˆψiicψ+11ddx2L ˆ = d / dxc ψ =Göstərmək olar ki, qüvvətə yüksəltmə, kökalma operatorları xətti deyildirlər. Deməli,bu operatorlar kvant mexanikasının operatorları ola bilməzlər.2. Kvant mexanikasında istifadə olunan operatorlar ermit və ya öz-özünəqoşma operatorlar olmalıdır. Bu şərt riyazi olaraq aşağıdakı kimi ifadə olunur:** *∫ ψ Lψdτ= ∫ψLψdτ1ˆ22ˆ1(7) ifadəsində d τ həcm elementidir. Ermitilik şərtindəki * ifadəsi funksiyanın,operatorun kompleks qoşmasını göstərir. Funksiyanın, operatorun kompleksqoşmasını tapmaq üçün onun ifadəsində xəyali vahidin qarşısındakı işarənidəyişirlər. Məs:( a + ib)iαx( e )⎛⎜i⎝ddx= e⎟ ⎠⎞**= a − ib;−iαx= −i;ddx( e;αx⎜ ⎝⎛( a + b))*ddx= ei = −1 (xəyali vahid)⎟ ⎠⎞**αz== a + bddxYazılanlardan aydın olur ki, həqiqi ədədin, funksiyasının və operatorun kompleks2(5)(6)(7)

qoşması elə onun özünə bərabər olur. Yuxarıda qeyd etdiyimizL = d / dx operatoruxəttidir, lakin ermitlik şərtini ödəmir. Deməli, bu operatordan kvant mexanikasındaistifadə oluna bilməz. LakinKvant mexanikasında bu operatordan istifadə oluna bilər.dM ˆ = i operatoru həm xəttidir, həm də ermitdir.dxOperatorların məxsusi qiymətləri və məxsusi funksiyaları. Qeyd etdik ki,operatorun funksiyaya təsiri nəticəsində yeni funksiya yaranır. Bu qayda bəzənpozulur. Belə ki, bəzi hallarda operatorun funksiyaya təsiri nəticəsində müəyyən sabitvuruq dəqiqliyi ilə funksiyanın özü alınır. Məs:2dL ˆ = ; ψ ( x)= sin k x k = const2dxLψ=ddxd ⎛ d ⎞⎜ sin k x⎟=dx ⎝ dx ⎠dk ⋅ cos k x = −kdx2ˆ 2sin k x =2Operatorlar nəzəriyyəsində bu hal ümumi halda aşağıdakı kimi yazılır:ˆ (8) ( L = const)L ψ = Lψ(8) operator tənliyi müəyyən sərhəd şərtləri daxilində həll olunur, vəsin k xL ψ tapılır. L-ə operatorun məxsusi qiyməti, ψ -ə isə həmin operatorun məxsusi funksiyası deyilir.Operatorun bir neçə məxsusi qiyməti ola bilər: ( L L ,..., ),2L s1. Operatorun məxsusiqiymətləri çoxluğuna həmin operatorun spektri deyilir. Spektr həm kəsilməz, həm dədiskret ola bilər. Əgər operatorun hər bir məxsusi qiymətinə yalnız bir məxsusifunksiya uyğun gələrsə - spektr cırlaşmamışdır – deyilir. Əgər operatorun bir məxsusiqiymətinə məs, L-əψ1, ψ2,...,ψskimi bir neçə funksiyaya uyğun gələrsə, onda –spektr cırlaşmışdır – deyilir. Məxsusi funksiyaların sayı isə (s) spektrin cırlaşmatərtibi adlanır.KVANT MEXANİKASI OPERATORLARININ XASSƏLƏRİI. Ermit operatorunun məxsusi qiyməti həqiqidir.Tutaq ki, Lˆ ermit operatordur və onun üçün

L ˆ ψ = Lψtənliyi ödənir.(9)ˆ* *L ψ =* *Lψ*Lˆψ = Lψψ⇒ˆ * * *Lψ= Lψψ* ˆ**ψ Lˆψ = Lψψ* * * *ψLψ= LψψHər iki bərabərliyi bütün fəza üzrə inteqrallayaq:* **∫ψLˆ ψdτ= ∫ Lψψ dτ= L&∫ψψ dτ(10)*ψ Lˆ* * * ** *ψ dτ= Lˆψ ψdτL ψ ψ dτ(11)∫ ∫ =∫Lˆ operatoru Ermit olduğundan (10) və (11) bərabərliklərinin sol tərəfləribərabərdir. Onda,** ∗∗⇒ L∫ψψ/dτ= L ∫ψψ/dτ⇒ L = LII. Ermit operatorunun 2 müxtəlif məxsusi qiymətinə uyğun məxsusifunksiyaları ortoqonaldırlar. Tutaq ki, Lˆ ermit operatorudur.operatorun məxsusi qiymətləridir vəLψ =nL nnL , L n mhəminLn ≠ L m. Aşağıdakı operator tənliklərini yazaq.ˆ ψ (12) Lˆψ = ψ (13)Göründüyü kimiGöstərək ki,ψ funksiyası L ,nnm L mψm-∗∫ ψ n ψ dτ= 0 (ortoqonallıq şərti).m(13) tənliyinin kompleks qoşmasını yazaq:∗m L mmL mməxsusi qiymətinə uyğundur.Lˆ ∗∗ψ = ψ m(14)(12) tənliyini ψ ∗m-a, (14)-ni ψ n-ə vurub bütün fəza üzrə inteqrallayaq:∗ψ∫mLˆψ dτ=nLn∗ψ ψ dτ∫mn(15)ˆ∗n m m m n m ∫ψmψn dτ(16)∗∗∫ψL* ψ dτ= L*∫ ψ ψ dτ= LL- ermit olduğundan (15) və (16) bərabərliklərinin sağ tərəfləri eynidir. Onda,

*( L − L ) ψ ψ dτ⇒∫*0 = ∫ ψ ψ dτ= 0nmmnmn2Göstərmək olar ki, ermit operatorun məxsusi funksiyalarının ψ -nin bütün fəza üzrəinteqralı sabit ədəddir. Yəni,∫2ψ d τ = A ( A = const)Yeni bir ϕmfunksiyası daxil edək:ψ mϕ m =AAydındır ki, bu funksiya üçün∫ϕ2*m dτ= ∫ϕmϕmdτ= 1(17)(17) şərtinə normallıq şərti deyilir. ϕ mfunksiyasının ortoqonal olduğunu nəzərəalsaq, onlar üçün*mϕndτδmn∫ϕ =δmn⎧1,= ⎨⎩0,m = nm ≠ nδmn- Kroneker simvolları adlanır:δ 11 = 1,δ 00 = 1, δ10= 0(18) şərti məxsusi funksiyaların ortonormallıq şərti də adlanır.III. Tutaq ki,cırlaşmışdır. Yəni,LLˆermit operatorunun hər hansı məxsusi qiymətiməxsusi qiymətinəψ ,...,(18)(19)s tərtibdən1, ψ2ψskimi məxsusi fuknsiyalaruyğun gəlir. Göstərmək olar ki, bu funksiyaların istənilər xətti kombinasiyasındandüzəldilmiş hər hansı funksiya daolacaqdır:Lˆψ 1 = Lψ1Lˆψ Lψs2 = 2⇒ψ= ∑− − − − − − −Lˆψ = Lψ33i=1Lməxsusi qiymətinə uyğun məxsusi funksiyacψ= cψ+ c ψ + ... + c ψ111122ss

İsbat edək ki,Lˆψ = LˆL ˆψ= Lψ= c Lˆψ + c1( cψ+ c ψ + ... + c ψ )111Lˆψ + ... + c Lˆψ = L2222ssss=( cψ+ c ψ + ... + c ψ ) = LψIV. Ermit operatorun məxsusi funksiyaları çoxluğu tam sistem təşkil edir. Bu odeməkdir ki, operatorun təyin olunduğu funksiyalar çoxluğundan götürülmüş hərhansı funksiyanı həmin operatorun məxsusi funksiyaları üzrə sıraya ayırmaq olar.BuradakıHər hansıF(x)F ( x ) c ψ1(x )cietməklə tapıla bilər.iifunksiyası üçün1= ∑(9)naməlum əmsallarının qiymətləri ψ ivəV. Əgər Lˆ vəoperatorlar kommutativdir.122Fssfunksiyalarından istifadəMˆ funksiyalarının məxsusi funksiyaları eynidirsə, onda buTutaq ki, aşağıdakı operator tənlikləri ödənir:Lˆψ = Lψ⇒Mˆψ = MψLM ˆ ˆ = ML ˆ ˆI tənliyinə Mˆ operatoru, II tənliyinə isəMˆLˆ( Lˆψ )( Mˆψ )VI. Əgər 2funksiyaları eynidir.Lˆoperatoru ilə təsir edək:= ML ˆ ψ = L(Mˆψ ) = LMψ⇒ ML ˆ ˆ = LM ˆ ˆ != LM ˆ ψ = M ( Lˆψ ) = MLψLˆvəMˆ operatorları kommutativdirsə, onda onların məxsusiKVANT MEXANİKASININ POSTULATLARII postulat. Kvant mexanikasında hər bir fiziki kəmiyyətə müəyyən bir ermitoperatoru qarşı qoyulur. Məs: enerjiyə qarşı qoyulan operator Hamilton operatorudur.Operatorları təyin etmək üçün aşağıdakı 3 qaydadan istifadə olunur.I qayda – koordinatlara və zamana qarşı qoyulan operatorlar elə onların özünə

ərabərdir:x ˆ = x;yˆ= y;zˆ= z;tˆ= tBu o deməkdir ki,x ˆf( x)= xf ( x)II qayda – impulsunp , p , pxyzDekart proyeksiyalarının operatorlarıaşağıdakı kimi təyin olunurlar:pˆxi =∂= −ih;∂x−1;pˆyhh =2π∂= −ih;∂yBəzən başqa yazılışdan istifadə olunur:ˆp xi= −i2∂ h ∂=∂xi ∂xpˆz∂= −ih∂zIII qayda – koordinatlardan və impulslardan asılı hər hansıfizikikəmiyyətinə qarşı qoyulan operatoru təyin etmək üçün bu kəmiyyətin klassikfizikadan məlum düsturu yazılır vəBuradaLp , p , p( x, y,z,p , p , p ) ⇒ Lˆ( x,y,z,pˆ, pˆ, pˆ)İmpuls operatoru.r rp = i pxr r ri , j,kxr+ jpyyzr+ kpzxyxzuyğun operatorlarla əvəz olunur:- koordinat oxları üzrə yönələn vahid vektorlardır.r r r r ⎛ r ∂ r ∂ r ∂ ⎞p = i pˆx + jpˆy + kpˆz = −ih⎜i+ j + k ⎟⎝ ∂x∂y∂z⎠r ∂ r ∂ r ∂ ri + j + k = ∇∂x∂y∂zr rpˆ= −ih∇∇ r- nabla operatoru və ya Laplas operatoru adlanır.yzL

Kinetik enerji operatoru.TTˆ==mv212m22p= =2m12m2 2 2( pˆ+ pˆ+ pˆ)xy2 2 2( p + p + p )zxyz2h ⎛ ∂= −2⎜m ⎝ ∂x22;2∂+∂y2+2∂∂z2⎞⎟⎠∇2∂=∂x22∂+∂y2ˆ hT = − ∇2m222∂+∂z22Enerji operatoru.Klassik fizikadan məlumdur ki, sərbəst zərrəciyin tam enerjisi onun Hamiltonfunksiyasına bərabərdir. Hamilton funksiyası zərrəciyin kinetik və potensialenerjisinin cəmi deməkdir:E = H = T + U( x,y,z)Ona görə də enerjiyə qarşı qoyulan operatoru Hamilton operatoru adlandırmışlar və oaşağıdakı kimi ifadə olunur:HˆHˆOndarM == Tˆ+ Uˆ ( x,y,z)2h= − ∇2m2+ U ( x,y,z)İmpuls momenti və onun proyeksiyalarının uyğun operatorları.Klassik fizikada zərrəciyin impuls momenti M [ r,p]rMˆrr[ rp]rirjrk= x y zpzpyrrr[ rpˆ] = −ih[ r∇= ]pzvə yarrr= kimi təyin olunur.

Mˆ=İndi də Mˆs rM = i Mxxrixpˆzrjypˆyzpˆrk, Mˆy,Mˆzr r+ jM + kMBu determinantı açsaqyzri= −ihx∂∂xrjy∂∂yrkz∂∂zoperatorlarını təyin edək:zr rrrM = i ( ypz− zpy) + j(zpx− xpz) + k ( xpy− ypx)Axırıncı 2 ifadədən alırıq:MMMxyz=yp= xp=xpzzy− zp− zp−ypyxx⇒ Mˆ⇒ Mˆ⇒ Mˆxyz=ypˆ= xpˆ=xpˆyzy− zpˆ− zpˆ−xypˆyx⎛ ∂= −ih⎜ y⎝ ∂z∂− z∂y⎛ ∂ ∂= −ih⎜z − x⎝ ∂x∂z⎛ ∂= −ih⎜x −⎝ ∂y2 2 2 2 2 2 2= M; ˆ ˆ ˆ ˆx + M + M M = My zx + M MyM +2z⎞⎟⎠⎞⎟⎠∂y∂xKvant mexanikasında bir çox məsələləri həll edərkən qeyd olunan operatorlarınsferik koordinatlarda ifadələri tələb olunur. Belə ifadələri almaq üçün əvvəlcə dekatrvə sferik koordinatlar arasında əlaqə düsturlarını tapaq:0 ≤ r < ∞0 ≤ θ ≤ π0 ≤ ϕ ≤ 2π⎧x= r sinθcosϕ⎪⎨y= r sinθsinϕ⎪⎩z= r cosθ⎞⎟⎠

=x2+y2zθ = arccosryϕ = arctgx+ z2Şəkil 1.Sferik koordinatlarır ,θ , ϕ ilə işarə edirlər. r - koordinat başlanğıcındanverilmiş nöqtəyə qədər məsafədir.θ - r ilə z oxunun müsbət istiqaməti arasındakı bucaqdır. r radiusvektorunun XOY müstəvisinin proyeksiyası ilə x oxunun müsbət istiqamətiarasındakı bucaq ϕ ilə işarə olunur.Dekart və sferik koordinatlar arasında əlaqə düsturlarından istifadə etməkləkvant mexanikasında istifadə olunan operatorları sferik koordinatlarda da ifadə etməkolar.Aşağıda daha çox istifadə olunun bəzi operatorların sferik koordinatlardaifadələri verilmişdir:2∇ 2 1 ∂ ⎛ 2 ∂ ⎞ 1 ⎡ 1 ∂ ⎛ ∂ ⎞ 1 ∂ ⎤= ⎜r⎟ + ⎢ ⎜sinθ⎟ +222∂⎥r r ⎝ ∂r⎠ r ⎣sinθ∂θ⎝ ∂θ⎠ sin θ ∂ϕ2⎦2θϕ1 ∂ ⎛ ∂ ⎞ 1 ∂= ⎜sinθ⎟ +2 2sinθ∂θ⎝ ∂θ⎠ sin θ ∂ϕ2Laplas operatoru∇ Laplas operatorunun bucaqlardan

asılı hissəsidir.M2∂= −h∇θϕ Mˆ, , z = −ih∂ϕˆ 22ˆ 2ˆ ˆ MH Tr + + U ( r)22mr= Hamilton operatoru2Tˆh 1= −22m r∂ ⎛⎜r∂r⎝2∂∂r⎞⎟⎠kinetik enerji operatorunun radial hissəsidir.II postulat. Kvant mexanikasında hər bir fiziki kəmiyyətin ala biləcəyi qiyməthəmin kəmiyyətə uyğun operatorun məxsusi qiyməti olmalıdır. Məs: impuls-impulsoperatorunun, enerji - Hamilton operatorunun məxsusi qiymətidir və s. Qeyd olunankəmiyyətlər onlara uyğun operatorlar üçün yazılmış operator tənliklərinin həllindəntapılır. Məs:pxkəmiyyətip ˆ ψ =xp ψx, enerjiH ˆ ψ = Eψ(1)tənliyinin həllindən tapılır. (1) tənliyi ilk dəfə 1926-cı ildə alman alimi Şredingertərəfindən təklif edilmiş və Şredinger tənliyi adlanır. Kvant mexanikasının yaranmatarixi də 1926-cı ildən hesablanır. Əgər sistemin Hamilton operatoru zamandan asılıdeyilsə, onda (1) tənliyinə stasionar hal üçün Şredinger tənliyi deyilir. Zamandan asılıhallar üçün Şredinger tənliyi isə aşağıdakı kimidir:r∂ψ( , t)i H ˆ rh = ψ ( , t)∂tIII postulat. Kvant mexanikasında sistemin halı koordinatlardan və zamandanasılı müəyyən bir funksiya ilə təsvir olunur:ψ ( r , t)Bu funksiyaya sistemin hal funksiyası və ya dalğa funksiyası deyilir. r r ilə sistemdəkizərrəciklərin radius vektorları yığımı işarə edilir. Dalğa funksiyası verilmiş sistemüçün Şredinger tənliyinin həllindən tapılır. Klassik fizikada sistemin halıkoordinatlardan və impulslardan asılı müəyyən bir funksiya ilə verilir. Əgər başlanğıcandan bu funksiya məlumdursa, onda müəyyən tənliklər həll olunaraq sonrakı hallarüçün də funksiya tapıla bilir. Bu prinsipə səbəbiyyət prinsipi deyilir. Bu prinsip kvant(2)

mexanikasında da doğrudur. Belə ki, başlanğıc halda sistemin dalğa funksiyasıməlum olarsa, onda Şredinger tənliyi həll olunaraq, sonrakı hallar üçün dalğafunksiyası tapıla bilər. Ümumi halda ψ kompleks funksiya da ola bilər. Ona görə dədalğa funksiyasının özünün fiziki mənası yoxdur. Lakin onun modulunun kvadratızərrəciyin müəyyən həcm elementində olması ehtimalını verir:r 2 r rdW ψ,*( r,t) dV = ψ ( r,t)⋅ψ( r t)dV= (3)Dalğa funksiyası real sistemlərin halını təsvir etdiyindən o müəyyən şərtləriödəməlidir.1. Dalğa funksiyası normallıq şərtini ödəyir:r( r t) ψ ( r,t)∗∫ ψ , dV = 1r2. Zərrəciyin sistemdən sonsuz uzaqlaşma ehtimalı çox kiçik olduğundanrr → ∞, →( r,t) 0ψ olmalıdır.3. Dalğa funksiyasının özü və onun törəmələri kəsilməz qiymətlər almalıdır.4. Dalğa funksiyası birqiymətli olmalıdır. Tutaq ki, dalğa funksiyası yalnız birkoordinatdan ϕ -dən asılıdır. 0 ϕ ≤ 2π(4)≤ intervalında dəyişdiyindənbirqiymətlilik şərti tələb edir ki, dalğa funksiyasının ϕ -də və ϕ + 2π-də aldığıqiymətlər eyni olsun. Yəni,( ϕ) = ψ ( ϕ + π )ψ 25. Əgər sistem bir-birindən asılı olmayan zərrəciklərdən təşkil olunmuşsa ondabelə sistemin tam dalğa funksiyası ayrı-ayrı zərrəciklərin dalğa funksiyalarınınhasili şəklində axtarılır. Xüsusi halda, sistem bir-birindən asılı olmayan 2zərrəcikdən ibarətdirsə, onda onun dalğa funksiyasını aşağıdakı şəkildəaxtarmaq olar:rψr( r r , t) ψ ( r,t)⋅ψ( r,)1, 2 1trs= (5)6. Əgər ψ1, ψ2,...,ψnsistemin dalğa funksiyalarıdırsa və sistemin halınıLxarakterizə edən fiziki kəmiyyəti həmin hallarda L 1, L2,...,Lnqiymətlərinialırsa, onda bu funksiyaların ixtiyari xətti kombinasiyası da sistemin dalğafunksiyası olacaqdır:

ψ =n∑i = 1cψiiψ funksiyası ilə təsvir olunan halda kəmiyyəti L L ,..., L qiymətlərindənbirini alacaqdır.L1 , 2IV postulat. Əgər sistemin ψ dalğa funksiyası məlum olarsa, sistemin halınıxarakterizə edən hər hansıbilər:∫ψLψdτL =*ψ ψ dτ∫* ˆLn(6)kəmiyyətinin orta qiyməti aşağıdakı kimi hesablanaGöründüyü kimi L kəmiyyətini hesablamaq üçün bu kəmiyyətə qarşı qoyulanoperatoru və dalğa funksiyasını bilmək tələb olunur. Qeyd etdiyimiz kimi dalğafunksiyası Şredinger tənliyinin həllindən tapılır. Ona görə də kvant mexanikasındaəsas məsələ Şredinger tənliyinin həllidir.Əgər dalğa funksiyası normallıq şərtini ödəyərsə, yəni∗∫ ψ ψdτ= 1 isə L ∫*= ψ Lˆψdτalınır.Tutaq ki, müəyyən nəzəri hesablamalarla L kəmiyyətinin orta qiyməti tapılmışdır.Aydındır ki, bu qiymət həmin kəmiyyətin təcrübədən tapılmışfərqli olacaqdır. OndaL − L = ΔLL(7)dəqiq qiymətindənBu fərqə kəmiyyətin hesablanmasındakı qeyri-müəyyənlik və ya xəta da deyilir. Eyniqayda ilə fiziki kəmiyyətin orta kvadratik xətasından da danışmaq olar və o aşağıdakıkimi təyin olunur:22 ∗( ΔL) = ( L − L) = ∫ψL −V postulat. Əgərkommutativdirsə, yənizamanda və dəqiq ölçülə bilərlər. ƏgəryəniLˆ Mˆ≠ MˆLˆ, L və2Lˆ)ψ dτ( (8)L və M kəmiyyətlərinə uyğun Lˆ vəMˆ operatorlarıLˆ Mˆ= MˆLˆşərti ödənirsə, yalnız onda bu kəmiyyətlər eyniLˆvəMˆ kommutativ operatorlar deyilsə,M kəmiyyətləri eyni zamanda dəqiq ölçülə bilməzlər. Bumüddəa kvant mexanikasında Heyzenberqin qeyri-müəyyənlik prinsipi adlandırılır.

Nəzəri hesablamalarla isbat edilmişdir ki,xətaları arasında aşağıdakı münasibət ödənilir:LvəM kəmiyyətlərinin orta kvadratik2 2 1 2( L ) ⋅ ( ΔM) ≥ cΔ (9)41cˆ= ( LM ˆ ˆ − MˆLˆ) (10)iTutaq ki, Lˆ və Mˆ operatorları kommutativdir. Onda (9) münasibətinin sağ tərəfi 0-abərabərdir. Bu o deməkdir ki,ikisi 0-a bərabərdir.həm dəΔMΔ L vəΔ M kəmiyyətlərinin hər hansı biri və ya hərL və M kəmiyyətləri bir-birindən fərqlənmədiyindən həm Δ L,-in sıfra bərabər olduğunu qəbul etmək lazımdır. Bu o deməkdir ki,L = L, M = M ödənilməlidir. Başqa sözlə desək, hər iki kəmiyyət eyni zamandavə dəqiq ölçülə bilərlər. Əgər Lˆ və Mˆ kommutativ deyildirsə, onda (9)-un sağ tərəfisıfırdan fərqli olur vəΔLvəΔM-dən hər hansı birinin sıfra bərabər olduğunudemək olmaz. Başqa sözlə, qeyd olunan kəmiyyətlər eyni zamanda və dəqiq ölçüləbilmirlər.İndi də bəzi xüsusi hallar üçün qeyri-müəyyənlik münasibətlərini alaq:1. x və px∂xˆ= x,pˆx = −ih∂x∂xˆpˆxψ = −ihxψ = −ihxψ′∂xˆp x∂xˆψ = −ih( xψ) = −ih(ψ + xψ′)∂xxˆpˆψ − pˆxˆψx x=xˆˆpx − pˆxxˆ= ihcˆ1= ih = hiihψhΔx Δpx≥ , eyni qayda ilə2

ΔyΔzΔpΔpyzh≥2h≥2(11)Göründüyü kimi koordinatın və impulsun eyni adlı proyeksiyaları eynizamanda və dəqiq ölçülə bilməzlər. Başqa sözlə desək zərrəciyin x koordinatı dəqiqölçülərsə,p x-in ölçülməsi qeyri-müəyyən qalır. Ona görə də kvant mexanikasındazərrəciyin trayektoriyası anlayışından danışmaq mümkün deyil. Göstərmək olar ki,və py, x və pz,yvəp , z və p , z və kəmiyyətlərinə uyğun operatorlarzxp yxbir-biri ilə kommutativdir. Yəni,yˆ pˆ− pˆyˆ= 0xxBu o deməkdir ki, y və p kəmiyyətləri eyni zamanda və dəqiq ölçülə bilərlər.x(12)