Elementy analizy tensorowej - Uniwersytet Jagielloński

18 1. Preliminaria• Wektorowa przestrzeń R n . W R n wyróżniony jest punkt 0 = (0,... ,0),naturalne jest więc nałożyć na nią strukturę przestrzeni liniowej 4 : punkty traktujemyjak wektory. Wektorowa przestrzeń R n to n–wymiarowa rzeczywistaprzestrzeń liniowa, której elementami są ciągi x = (x 1 ,...,x n ). Operacja liniowaax + by, dla a,b ∈ R, daje wektor będący ciągiem (ax i + by i ). Współrzędnex i punktu stają się teraz składowymi wektora. Wektor jest tożsamyz ciągiem swoich składowych. Aby mieć zgodność z zapisem macierzowym,przyjmujemy regułę, że składowe wektora, zarówno w R n , jak i na dowolnejrozmaitości, tworzą macierz jednokolumnową. W tej przestrzeni wprowadzamybazę naturalną złożoną z n wyróżnionych, liniowo niezależnych wektorów 5e 1 = (1,0,... ,0) T , e 2 = (0,1,0,... ,0) T , ..., e n = (0,... ,0,1) T . W bazie {e i },i = 1,... ,n, dowolny wektor x jest kombinacją liniową x = ∑ ni=1 xi e i . Wynikastąd fundamentalneTWIERDZENIE 1.1. Każda rzeczywista n–wymiarowa przestrzeń liniowaV n jest izomorficzna z wektorową przestrzenią R n . Izomorfizm oznacza tuwzajemnie jednoznaczne i zachowujące operacje algebraiczne odwzorowanieliniowe V n na R n .Rzeczywiście, niech {E i }, i = 1,... ,n, będzie pewną bazą wektorowąw V n , czyli każdy wektor v ∈ V n ma w tej bazie reprezentację v = ∑ ni=1 xi E i .Wprowadzamy odwzorowanie liniowe f : V n → R n zdefiniowane jego działaniemna wektory bazowe 6 , f(E i ) := e i . Wówczasn∑n∑f(v) = x i f(E i ) = x i e i = xi=1i mamy wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie v ↔ x będące liniowymizomorfizmem obu przestrzeni.• Topologiczna przestrzeń wektorowa R n . W liniowej przestrzeni R n możnawprowadzić topologię, czyli zdefiniować rodzinę zbiorów otwartych, którełącznie pokrywają całą przestrzeń. Można to zrobić na wiele nierównoważnychsposobów. W praktyce zawsze wprowadza się topologię naturalną, w którejpierwotnymi zbiorami otwartymi są kule otwarte o środku w dowolnym punkciex 0 = (x i 0 ) i o dowolnym promieniu r > 0:{ n∑K(x 0 ,r) := x : (x i − x i 0 )2 < r};2i=1kule te nie zawierają brzegowej sfery. Dowolny zbiór otwarty jest sumą mnogo-4 Terminy „przestrzeń liniowa” i „przestrzeń wektorowa” traktujemy jak ścisłe synonimy.5 Ze względów typograficznych będziemy czasem pisać wektory jako transponowane macierze jednowierszowe;górny indeks T oznacza transpozycję macierzy.6 Notacja: symbol „:=” oznacza definicję, czyli wielkość stojąca po lewej stronie jest definiowanawyrażeniem po prawej stronie tego symbolu.i=1