Elementy analizy tensorowej - Uniwersytet Jagielloński

Spis treści 75.9.2. Interpretacja geometryczna skręcenia koneksji . . . . . . . . . . . . . . 2265.10. Odwzorowanie eksponencjalne i współrzędne riemannowskie . . . . . . . . . . 2285.11. Krzywizna przestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2325.12. Tensor krzywizny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2335.13. Interpretacja geometryczna tensora krzywizny . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2415.14. Przestrzenie afinicznie płaskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2435.15. Pochodna Liego koneksji i krzywizny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2486. Różniczkowanie w przestrzeni Riemanna . . . . . . . . . . . . . 2536.1. Koneksja metryczna i symetryczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2536.2. Kowariantne operatory różniczkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2596.3. Tożsamości różniczkowe pierwszego rzędu dla metryki . . . . . . . . . . . . . 2636.4. Różniczkowanie tensorów względnych i pochodna Liego . . . . . . . . . . . . . 2666.5. Geodetyki jako linie najkrótsze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2676.5.1. Form–inwariantność funkcjonału długości . . . . . . . . . . . . . . . . . 2736.5.2. Ekstremum warunkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2766.6. Własności metryczne geodetyk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2806.7. Przykłady linii geodezyjnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2856.8. Współrzędne normalne riemannowskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2956.9. Współrzędne normalne geodezyjne Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3037. Krzywizna i izometrie przestrzeni Riemanna . . . . . . . . . . 3087.1. Tensory Riemanna i Ricciego oraz skalar krzywizny . . . . . . . . . . . . . . . 3087.2. Przestrzenie metrycznie płaskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3117.3. Pola wektorowe kowariantnie stałe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3137.4. Krzywizna przestrzeni w wymiarach 1, 2 i 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3157.5. Krzywizna przestrzeni S 2 , H 2 , T 2 , S 3 i H 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3187.6. Krzywizna przestrzeni wielowymiarowych. Tensor Weyla . . . . . . . . . . . . 3207.7. Czasoprzestrzenie czterowymiarowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3247.7.1. Przestrzeń de Sittera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3247.7.2. Przestrzeń anty–de Sittera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3297.7.3. Czasoprzestrzenie Robertsona–Walkera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3317.7.4. Płaska fala grawitacyjna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3337.8. Tensory krzywizny i tensory Weyla dla różnych metryk . . . . . . . . . . . . 3367.9. Niezmienniki tensora krzywizny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3387.10. Tożsamości Bianchiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3427.10.1. Całkowe tożsamości Bianchiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3447.11. Dewiacja geodezyjna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3487.12. Krzywizna sekcyjna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3547.13. Krzywizna a metryka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3577.14. Izometrie i przestrzenie symetryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3587.14.1. Przestrzenie o stałej krzywiźnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3607.14.2. Jednorodność i izotropowość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3637.14.3. Symetria odbiciowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3657.15. Wektory Killinga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3707.15.1. Klasyczna konstrukcja wektora Killinga . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3727.16. Wyznaczenie izometrii z wektorów Killinga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374