Elementy analizy tensorowej - Uniwersytet Jagielloński

6 Spis treści3.7. Wektory kowariantne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.8. Pola kowektorów i gradient funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.8.1. Graficzne przedstawienie kowektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093.9. Tensory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.10. Składowe i bazy tensorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.11. Pola tensorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.12. Działania na tensorach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.13. Komutator pól wektorowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.14. Tensor metryczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1273.15. Operacje na tensorach za pomocą metryki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1363.16. Wyznaczniki i symbol Leviego–Civity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1393.17. Uogólniony symbol Kroneckera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1453.18. Tensory względne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1483.19. Rozmaitości dwuwymiarowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1493.20. Metryka hiperpowierzchni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1513.20.1. Sfera S n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1563.21. Przestrzenie hiperboliczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1583.21.1. Wstęp historyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1583.21.2. Płaszczyzna hiperboliczna jako sfera w przestrzeni Minkowskiego . . . . 1593.21.3. Model Kleina płaszczyzny Łobaczewskiego . . . . . . . . . . . . . . . . 1603.21.4. Model Poincarégo płaszczyzny hiperbolicznej . . . . . . . . . . . . . . . 1623.21.5. Pseudosfera Beltramiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1633.21.6. Przekształcenia modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1663.22. Orientowalność rozmaitości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1674. Odwzorowania tensorów i pochodna Liego . . . . . . . . . . . . 1714.1. Odwzorowania styczne funkcji i wektorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1714.2. Odwzorowania styczne dla kowektorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1754.3. Odwzorowania styczne dla dowolnych tensorów . . . . . . . . . . . . . . . . . 1764.4. Transformacje czynne i bierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1784.5. Symetrie i przeniesienie według Liego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1794.6. Pochodna Liego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1824.7. Ogólne własności pochodnej Liego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1864.8. Pochodna Liego tensorów względnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1904.9. Symetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1945. Pochodna absolutna i kowariantna . . . . . . . . . . . . . . . . . 1975.1. Pochodna absolutna wektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1985.2. Pochodna kowariantna wektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2005.3. Transformacje koneksji afinicznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2035.4. Pochodna kowariantna i absolutna tensora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2055.5. Pochodne wyższych rzędów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2105.6. Pochodne kowariantne tensorów względnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2115.7. Przestrzeń z koneksją afiniczną . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2135.7.1. Koneksja symetryczna i pochodna Liego . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2145.8. Przeniesienie równoległe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2165.9. Linie geodezyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2195.9.1. Przekształcenia geodezyjne koneksji afinicznej . . . . . . . . . . . . . . 224