Elementy analizy tensorowej - Uniwersytet Jagielloński

34 1. Preliminariama postać F I ,(r,ϕ) = F I (x,y) =(+ √ x 2 + y 2 ,arctg y ). (1.2)xJeżeli punkt (x,y) leży w kwadrancie I, to punkt (−x, −y) należy do kwadrantuIII i odwzorowanie F I nie jest różnowartościowe w obu kwadrantach,F I (−x, −y) = F I (x,y). Odwzorowania f −1 nie można zatem wyrazić w całymobszarze U za pomocą F I ; w każdym kwadrancie f −1 dane jest innym wzorem.Aby je znaleźć, wygodnie jest rozpatrywać półpłaszczyzny z uwzględnieniemrozdzielającej je półosi — są to spójne zbiory otwarte.Kwadrant I i IV. x > 0, y/x = tg ϕ ∈ (−∞, ∞). Kąt ϕ ∈ (−π/2,+π/2)i jest to cały zakres głównej wartości funkcji arctg. Zatem w tym obszarze f −1dane jest tym samym wzorem (1.2), tyle że kąt ϕ ma inny zakres.Kwadrant I i II. y > 0, więc bierzemy iloraz x/y = ctg ϕ ∈ (−∞,+∞).Kąt ϕ zmienia się od 0 do π i jest to cały zakres główny wartości funkcjiarcctg. W tym obszarzer = √ x 2 + y 2 , ϕ = arcctg x y . (1.3)Kwadrant III i IV. y < 0, wybieramy zatem x/y = ctg ϕ ∈ (−∞,+∞).Kąt ϕ ∈ (−π,0) i jest to zakres główny wartości funkcji arcctg przesuniętyw dół o π, czyli ϕ = arcctg x/y − π.Dziedzina V odwzorowania f jest przedstawiona na rys. 1.4. W kwadrantachI i IV transformacja f −1 dana jest dwoma wzorami. Stosując tożsamościRysunek 1.4