Elementy analizy tensorowej - Uniwersytet Jagielloński

38 1. PreliminariaA ijl B klm C pm :=n∑l=1 m=1n∑A ijl B klm C pm == A ij1 B k11 C p1 + ... + A ijn B kn1 C p1 + ... + A ijn B knn C pn ,T ilj lk := T i1j 1k + ... + T inj nk.Indeksy, po których się sumuje, nazywamy niemymi, pozostałe indeksysą swobodne. Indeksy nieme, w odróżnieniu od swobodnych, można dowolniezmieniać w trakcie rachunków, bowiem a i b i ≡ a k b k itp.Notacja jest tak dobrana, by wyeksponować dwie zasadnicze cechy rachunkutensorowego: wszystkie wzory wyglądają tak samo we wszystkich układachwspółrzędnych. To oznacza, że żaden wybór map na rozmaitości nie jest wyróżnionyi wszystkie wzory wyglądają tak samo niezależnie od wymiaru przestrzeni,czyli rachunki na tensorach przebiegają tak samo zarówno dla n = 2,jak i dla n = 1000. Nawet na płaszczyźnie wzory stają się skomplikowanei nieprzejrzyste, jeżeli zamiast notacji tensorowej każdy element macierzy rozpatrywaćosobno.Wymiar przestrzeni n będzie zawsze parametrem swobodnym.