Elementy analizy tensorowej - Uniwersytet Jagielloński

1.6. Transformacje współrzędnych 331.6.1. Współrzędne biegunowe na płaszczyźnieTransformacja f(r,ϕ) = (x,y) ze współrzędnych biegunowych do kartezjańskichma postaćx = r cos ϕ, y = r sin ϕ. (1.1)Rysunek 1.3Geometrycznie odwzorowanie f definiujemy za pomocą promienia r i kątaϕ na płaszczyźnie (x,y), rys. 1.3. Dla y = 0 i x > 0 (dodatnia półoś Ox)mamy ϕ = 0, a na ujemnej półosi R − := {(x,y) : x < 0 i y = 0} mamyϕ = ±π zależnie od tego, czy podchodzimy do niej od góry, czy od dołu, tapółprosta jest miejscem (konwencjonalnym) nieciągłości kąta ϕ jako funkcjipunktu na R 2 . Odwzorowanie f jest zatem różnowartościowe dla −π < ϕ 0. Płaszczyznę(x,y) dzielimy na cztery kwadranty osiami Ox i Oy — są to zbiory otwarte(bez brzegowych półosi). Bierzemy najpierw kwadrant I: x > 0 i y > 0.Z (1.1) mamy y/x = tg ϕ > 0, zatem w tym kwadrancie odwzorowanie f −1