Elementy analizy tensorowej - Uniwersytet Jagielloński

1.4. Przestrzenie R n i E n 19ściową skończonej, przeliczalnej lub nieprzeliczalnej ilości kul otwartych. Wynikastąd, że jeżeli punkt x należy do zbioru otwartego, to zawiera się w nim wrazz otaczającą go kulą otwartą o dostatecznie małym promieniu. Nazwanie tejtopologii „naturalną” nabiera sensu, gdy w liniowej przestrzeni R n wprowadzisię iloczyn skalarny i w konsekwencji normę wektora. (Pojęcia te są historyczniewcześniejsze i bardziej intuicyjne od abstrakcyjnego zbioru otwartego).• Wektorowa przestrzeń euklidesowa R n . Jest to topologiczna przestrzeńwektorowa R n , w której wprowadzamy euklidesowy iloczyn skalarny, czyli odwzorowaniepary wektorów na liczbę rzeczywistą, dany wzorem〈x,y〉 ≡ x · y :=Iloczyn ten ma własności:n∑x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ... + x n y n .i=1— x · y = y · x,— jest liniowy w każdym argumencie,— x · x 0 oraz x · x = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0 = (0,... ,0). (E)Iloczyn skalarny określa normę (długość) wektora 7‖x‖ := √ ∑〈x,x〉 = √ n (x i ) 2oraz odległość punktów x i y:∑d(x,y) ≡ ‖x − y‖ := √ n (x i − y i ) 2 .Dla dowolnych wektorów w R n zachodzi nierówność Cauchy’ego–Schwarzai=1i=1(x · y) 2 ‖x‖ 2 · ‖y‖ 2 ,a z niej wynika nierówność będąca szczególnym przypadkiem nierówności Minkowskiego:‖x + y‖ ‖x‖ + ‖y‖.Aby udowodnić pierwszą nierówność, bierzemy dwa dowolne wektory x i yoraz dowolną liczbę λ ∈ R. Wówczas zachodzi(x + λy) · (x + λy) = ‖y‖ 2 λ 2 + 2x · yλ + ‖x‖ 2 .7 Zależnie od wygody wektory tej przestrzeni będziemy oznaczać x, a ich długość ‖x‖ albo pismempogrubionym x i ich długość |x|.