Kapitola 3: Lineární diferenciální rovnice

Příklad 3.1.3Nalezněte obecné řešení lineární diferenciální rovnice y ′′ + y ′ + y =0.Řešení:Charakteristická rovnice zadané LDR y ′′ + y ′ + y =0 jeλ 2 + λ +1=0.Její kořeny jsou λ 1 = − 1 2 + √ 32 i, λ 2 = − 1 2 − √ 32i.(Kořeny kvadratické rovnice hledáme√voborukomplexních čísel, nalezneme je pomocí vzorečku λ 1,2 = −1± 1 2 −4·1·12·1.) Má-licharakteristická rovnicedva imaginární komplexně sdružené kořenyλ 1 = a + bi,λ 2 = a − bi, pak obecné řešení HLDRmátvary(x) =C 1 e ax cos bx + C 2 e ax sin bx , x ∈ Ê , C 1 ,C 2 ∈ Ê .Obecné řešení zadané LDRtedyjeZpěty(x) =C 1 e − x 2cos(√32 x)+C 2 e − x 2sin(√32 x) , x ∈ Ê , C 1,C 2 ∈ Ê .. – p.6/37