Kapitola 3: Lineární diferenciální rovnice

Příklad 3.2.1Nalezněte řešení lineární diferenciální rovnice y ′′ +9y =0, které vyhovujepočátečnímpodmínkám y(0) = 1,y ′ (0) = −3.Řešení:Charakteristická rovnice zadané LDR y ′′ +9y =0 jeλ 2 +9=0.Její kořeny jsou λ 1 =3i, λ 2 = −3 i. (Rovniciřešíme v oboru komplexních čísel,λ = ± √ −9.) Má-li charakteristická rovnicedva ryze imaginární komplexně sdruženékořeny λ 1,2 = ±bi, pak obecné řešení HLDRmátvarObecné řešení zadané LDRtedyjey(x) =C 1 cos bx + C 2 sin bx , x ∈ Ê , C 1 ,C 2 ∈ Ê .y(x) =C 1 cos 3x + C 2 sin 3x, x ∈ Ê , C 1 ,C 2 ∈ Ê .Nyní určíme konstanty C 1 ,C 2 tak, aby nalezené řešení vyhovovalo počátečnímpodmínkám y(0) = 1,y ′ (0) = −3. Spočtěme derivaci obecného řešení y(x):y ′ (x) =−3 C 1 sin 3x +3C 2 cos 3x. Pak po dosazení počátečních podmínek do y(x) ay ′ (x) dostanemeDalší1 = y(0) = C 1 cos(3 · 0) + C 2 sin(3 · 0)−3 = y ′ (0) = −3 C 1 sin(3 · 0) + 3 C 2 cos(3 · 0). – p.11/37