Kapitola 3: Lineární diferenciální rovnice

Příklad 3.1.6Ověřte, že funkce y 1 (x) =e x a y 2 (x) =x e x jsou řešení lineární diferenciální rovnicey ′′ − 2y ′ + y =0. Tvoří funkce y 1 ,y 2 fundamentální systém řešení?Řešení:Funkci y 1 (resp. y 2 ) dosadíme do dané diferenciální rovnice. Spočtěme y 1 ′ (x),y′′ 1 (x)(resp. y 2 ′ (x),y′′ 2 (x) ):y 1 (x) =e x =⇒ y ′ 1 (x) =ex =⇒ y ′′1 (x) =ex ,y 2 (x) =x e x =⇒ y ′ 2 (x) =(1+x)ex =⇒ y ′′2 (x) =(2+x)ex .Dosad’me y 1 ,y ′ 1a y′′ 1 (resp. y 2,y ′ 2 a y′′ 2)dolevé strany dané rovnice:y ′′1 − 2y′ 1 + y 1 =e x − 2e x +e x =0,y ′′2 − 2y′ 2 + y 2 =(2+x)e x − 2(1+x)e x + x e x =0.Pravá strana dané rovnice je rovna nule. Ukázali jsme tak, že jak pro funkci y 1 (x) =e x ,tak pro funkci y 2 (x) =x e x se levá strana rovnice y ′′ − 2y ′ + y =0 rovná pravéprovšechna x ∈ Ê. Funkce jsou řešení dané diferenciální rovnice. Tvoří fundamentálnísystém řešení, jsou-li lineárně nezávislé.Další. – p.9/37