Глава 3: Настраиваемые модули из функциональных элементов

Случай 2: b = 1. Использование двух операций — фиксации переменных константами иотождествления переменных — не позволяет объединить любую пару подфрагментов ПФ востаточную функцию так, чтобы подфрагменг с меньшим номером всегда размещался надподфрагментом с большим номером.Пусть задано настроечное поле ПФ из d переменных. Объединение любых двух из 2 dподфрагментов ПФ так, как это было указано выше, возможно2C2dспособами. С другой стороны,число различных вариантов настройки, объединяющих подфрагменты, которое обеспечивает этонастроечное поле для одной свободной переменной к при использовании указанных операций, наосновании (3-10) равноПри этом справедливость неравенстваNd ( ;1) = Sd ( + 2;3) - Sd ( + 1;3) . (3-15)2C d < Sd ( + 2;3) - Sd ( + 1;3)(3-16)2доказывает высказанное утверждение.2Пример. Пусть d = 3, тогда C 3 = 28. При этом, так как N(3, 2) = 19,2то не удается объединить любую пару подфрагментов ПФ в остаточную. Докажем следующееутверждение. Использование трех операций настройки, указанных в начале параграфа, позволяетобъединить любую пару подфрагментов ПФ в остаточную так, что подфрагмент с меньшим номеромвсегда будет размещен над подфрагментом с большим номером.Пусть задано настроечное поле ПФ из d переменных. Объединение любых двух из 2 d2подфрагментов ПФ так, как это указано в формулировке утверждения, возможно C способами. С2 dдругой стороны, число различных вариантов настройки для одной свободной переменной ииспользования указанных в формулировке утверждения операций на основании (3-10) равноNdПри этом справедливость равенстваd -1( ;1) 2 Sd ( 1;2)= + . (3-17)2 d -1C d = 2 Sd ( + 1;2)(3-18)2доказывает утверждение.Введенные выше операции настройки позволяют объединить пару подфрагментов в указанномпорядке. Для обеспечения возможности их объединения в произвольном порядке введем четвертуюоперацию настройки - замену переменных их инверсиями. При этом справедливо следующееутверждение: использование четырех операций настройки позволяет объединить любую паруподфрагментов ПФ в остаточную функцию при произвольном порядке их расположения в ней.Случай 3: b = 2. Пусть в настроечном поле имеются две свободные переменные и используютсятри операции настройки; тогда для d = 3 число настроек N (3;2) = 12. Следовательно, в этом случаеосуществляется выбор и объединение четырех подфрагментов из восьми в двенадцати различныхсочетаниях. С другой стороны, общее число сочетаний из 2 d подфрагментов по четыре при условии,что в столбце значений остаточной функции каждый подфрагмент ПФ с меньшим номером будет44расположен над подфрагментом ПФ с большим номером, равно C . При d = 3 C2 d8= 70 . Поэтомууже при d = 3 не удается выбрать и объединить в остаточную функцию произвольные четыреподфрагмента ПФ.В общем случае объединение произвольных четырех подфрагментов ПФ при использовании трехопераций настройки не удается, так как4C d > Nd ( ;2)(3-19)24Например, при d = 6 C64= 635376, в то время как N (6;2) = 4816 .Так как объединение произвольных четырех подфрагментов невозможно, а выбор определенныхсочетаний из четырех подфрагментов связан с большим перебором, то в дальнейшем будемрассматривать лишь случай, когда объединению подлежат два подфрагмента.