Coordenadas Polares - DSpace en ESPOL
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Moisés Vill<strong>en</strong>a Muñoz <strong>Coord<strong>en</strong>adas</strong> <strong>Polares</strong><br />
4<br />
4.1 EL SISTEMA POLAR<br />
4.2 ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES<br />
4.3 GRÁFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS<br />
POLARES: RECTAS, CIRCUNFERENCIAS, PARÁBOLAS,<br />
ELIPSES, HIPÉRBOLAS, LIMACONS, ROSAS, LEMNISCATAS,<br />
ESPIRALES.<br />
Objetivos:<br />
Se pret<strong>en</strong>de que el estudiante:<br />
• Grafique Rectas, circunfer<strong>en</strong>cias, parábolas, elipses,<br />
hipérbolas, limacons, rosas, lemniscatas, espirales <strong>en</strong><br />
coord<strong>en</strong>adas polares<br />
77
Moisés Vill<strong>en</strong>a Muñoz <strong>Coord<strong>en</strong>adas</strong> <strong>Polares</strong><br />
78<br />
4.1 EL SISTEMA POLAR<br />
El plano cartesiano es un sistema rectangular, debido a que las<br />
coord<strong>en</strong>adas de un punto geométricam<strong>en</strong>te describ<strong>en</strong> un rectángulo. Si<br />
hacemos que este punto repres<strong>en</strong>te un vector de magnitud r que parte<br />
desde el orig<strong>en</strong> y que ti<strong>en</strong>e ángulo de giro θ , t<strong>en</strong>dríamos otra forma de<br />
definir un punto.<br />
Sería sufici<strong>en</strong>te, para d<strong>en</strong>otar al punto de esta manera,<br />
m<strong>en</strong>cionar el valor de r y el valor de θ . Esto se lo va a hacer indicando<br />
el par ord<strong>en</strong>ado ( r , θ ) , <strong>en</strong> este caso se dice que son las coord<strong>en</strong>adas<br />
polares del punto.<br />
Se deduc<strong>en</strong> las sigui<strong>en</strong>tes transformaciones:<br />
⎧ 2<br />
⎪r<br />
= x + y<br />
De rectangulares a polares: ⎨<br />
⎪⎩ θ = arctg<br />
De polares a rectangulares: ⎨<br />
⎩ ⎧x<br />
= r cos θ<br />
y = r s<strong>en</strong> θ<br />
Una utilidad de lo anterior la observamos ahora.<br />
Ejemplo<br />
Encu<strong>en</strong>tre las coord<strong>en</strong>adas polares del punto P ( 1,<br />
1)<br />
SOLUCIÓN:<br />
Repres<strong>en</strong>tando el punto <strong>en</strong> el plano cartesiano, t<strong>en</strong>emos:<br />
y<br />
x<br />
2
Moisés Vill<strong>en</strong>a Muñoz <strong>Coord<strong>en</strong>adas</strong> <strong>Polares</strong><br />
⎧ 2 2<br />
r = 1 + 1 =<br />
⎪<br />
Utilizando las transformaciones ⎨<br />
1 π<br />
⎪θ<br />
= arctg = 1<br />
⎩<br />
4<br />
Además se podría utilizar otras equival<strong>en</strong>cias polares:<br />
π π<br />
π −<br />
( 2,<br />
) = ( 2,<br />
−7<br />
) = ( − 2,<br />
5 ) = ( − 2,<br />
3 ) (Analícelas)<br />
4<br />
4<br />
4<br />
4<br />
Para repres<strong>en</strong>tar un punto <strong>en</strong> el plano, conoci<strong>en</strong>do sus<br />
coord<strong>en</strong>adas polares, no es necesario hallar sus coord<strong>en</strong>adas<br />
rectangulares; se lo puede hacer directam<strong>en</strong>te. Este trabajo puede ser<br />
muy s<strong>en</strong>cillo si se dispone de un plano que t<strong>en</strong>ga como refer<strong>en</strong>cia<br />
ángulos y magnitudes.<br />
Un plano con estas características se lo llama Sistema Polar o<br />
Plano Polar. Consiste de circunfer<strong>en</strong>cias concéntricas al orig<strong>en</strong> y rectas<br />
concurr<strong>en</strong>tes al orig<strong>en</strong> con difer<strong>en</strong>tes ángulos de inclinación.<br />
Al eje horizontal se lo llama “Eje Polar”, al eje vertical se lo llama<br />
π<br />
“Eje<br />
2<br />
”. El punto de intersección <strong>en</strong>tre estos dos ejes se lo llama<br />
“Polo”.<br />
2<br />
π<br />
79
Moisés Vill<strong>en</strong>a Muñoz <strong>Coord<strong>en</strong>adas</strong> <strong>Polares</strong><br />
80<br />
165 <br />
180 <br />
195 <br />
150 <br />
210 <br />
225 <br />
135 <br />
240 <br />
120 <br />
255 <br />
105 <br />
Polo<br />
π<br />
Eje<br />
2<br />
270 <br />
Ejercicios propuestos 4.1<br />
1. Construya un plano polar y marque los puntos cuyas coord<strong>en</strong>adas polares son dadas.<br />
Exprese dichos puntos con r > 0 y con r < 0 .<br />
a. ( 1,<br />
)<br />
2<br />
π b. ( 3,<br />
0)<br />
2π<br />
c. ( 4,<br />
− )<br />
3<br />
3π<br />
e. ( − 2,<br />
)<br />
2<br />
d. ( − 1,<br />
π)<br />
2. Construya un plano polar y marque los puntos cuyas coord<strong>en</strong>adas polares son dadas. Luego<br />
<strong>en</strong>cu<strong>en</strong>tre las coord<strong>en</strong>adas cartesianas de dichos puntos.<br />
a. (<br />
π<br />
2,<br />
)<br />
4<br />
e. ( 4,<br />
3π<br />
)<br />
π<br />
b. ( − 1,<br />
)<br />
3<br />
2π<br />
f. ( 2,<br />
)<br />
3<br />
7π<br />
c. ( 4,<br />
− )<br />
6<br />
5π<br />
g. ( − 2,<br />
− )<br />
3<br />
3 3π<br />
d. ( , )<br />
2 2<br />
5π<br />
h. ( − 4,<br />
)<br />
4<br />
3. Encu<strong>en</strong>tre las coord<strong>en</strong>adas polares de los sigui<strong>en</strong>tes puntos.<br />
a. (− 1,<br />
1)<br />
b. ( 2 3,<br />
− 2)<br />
c. ( − 1,<br />
− 3)<br />
d. ( 3,<br />
4)<br />
75 <br />
285 <br />
Eje Polar<br />
4. (INVESTIGACIÓN) Encu<strong>en</strong>tre la distancia <strong>en</strong>tre los puntos dados <strong>en</strong> coord<strong>en</strong>adas polares.<br />
Verifique su respuesta hallando la distancia, utilizando coord<strong>en</strong>adas cartesianas.<br />
π 3π<br />
a. ( 1,<br />
) − ( 3,<br />
) . b. (<br />
6 4<br />
π<br />
π π<br />
2,<br />
) − ( 1,<br />
4π)<br />
c. ( 1,<br />
) − ( 1,<br />
)<br />
4<br />
3 6<br />
60 <br />
300 <br />
45 <br />
315 <br />
30 <br />
330 <br />
15 <br />
345
Moisés Vill<strong>en</strong>a Muñoz <strong>Coord<strong>en</strong>adas</strong> <strong>Polares</strong><br />
4.2 ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES<br />
Una ecuación <strong>en</strong> coord<strong>en</strong>adas polares la pres<strong>en</strong>taremos de la<br />
forma r = f (θ)<br />
. Por tanto para obt<strong>en</strong>er la gráfica, <strong>en</strong> primera instancia,<br />
podemos obt<strong>en</strong>er una tabla de valores para ciertos puntos y luego<br />
repres<strong>en</strong>tarlos <strong>en</strong> el sistema polar; luego sería cuestión de trazar la<br />
gráfica sigui<strong>en</strong>do estos puntos.<br />
Ejercicio Propuesto 4.2<br />
1. Encu<strong>en</strong>tre la ecuación cartesiana de la curva descrita por la ecuación polar dada.<br />
a. r s<strong>en</strong>( θ)<br />
= 2<br />
b. r = 2s<strong>en</strong>( θ)<br />
1<br />
c. r =<br />
1−<br />
cos( θ)<br />
2<br />
d. r = s<strong>en</strong>( 2θ)<br />
e.<br />
2<br />
3<br />
r = θ<br />
f. r =<br />
2 − 4cos(<br />
θ)<br />
2. Encu<strong>en</strong>tre la ecuación polar de la curva descrita por la ecuación cartesiana dada.<br />
a. y = 5<br />
e. y = x + 1<br />
2 2<br />
b. x + y = 25<br />
2<br />
f. x = 4y<br />
c. 2 xy = 1<br />
2 2<br />
g. x − y = 1<br />
2<br />
d.<br />
2 2 2 2 2 2<br />
x<br />
b x + a y = a b<br />
h. y =<br />
4 p<br />
3. Realice una tabla de valores y trace punto a punto <strong>en</strong> un plano polar, la gráfica de:<br />
1.<br />
2.<br />
6<br />
r =<br />
cos θ<br />
6<br />
r =<br />
s<strong>en</strong> θ<br />
r = 6 cos<br />
r = 3 + 3cos<br />
r = 6 + 3cos<br />
r = 3 + 6 cos<br />
9<br />
r =<br />
3 + 3cosθ<br />
9<br />
r =<br />
6 + 3cosθ<br />
9<br />
r<br />
=<br />
3 + 6cosθ<br />
3. θ<br />
4. θ<br />
5. θ<br />
6. θ<br />
7.<br />
8.<br />
9.<br />
81
Moisés Vill<strong>en</strong>a Muñoz <strong>Coord<strong>en</strong>adas</strong> <strong>Polares</strong><br />
82<br />
4.3 GRÁFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS<br />
POLARES<br />
Se trata ahora de pres<strong>en</strong>tar ecuaciones polares típicas que<br />
permitan por inspección describir su lugar geométrico.<br />
4.3.1 RECTAS<br />
4.3.1.1 Rectas tales que conti<strong>en</strong><strong>en</strong> al polo.<br />
La ecuación cartesiana de una recta tal que el orig<strong>en</strong><br />
pert<strong>en</strong>ece a ella, es de la forma y = mx<br />
Realizando las transformaciones respectivas:<br />
y = mx<br />
r s<strong>en</strong> θ = m r cosθ<br />
s<strong>en</strong> θ<br />
= m<br />
cosθ<br />
tg θ = tg φ<br />
Resulta, finalm<strong>en</strong>te:<br />
Ejemplo<br />
Graficar<br />
π<br />
θ =<br />
4<br />
θ = φ<br />
Por inspección de la ecuación dada concluimos rápidam<strong>en</strong>te que el lugar geométrico es<br />
π una recta, que pasa por el polo con un ángulo de . Es decir:<br />
4
Moisés Vill<strong>en</strong>a Muñoz <strong>Coord<strong>en</strong>adas</strong> <strong>Polares</strong><br />
4.3.1.2 Rectas tales que NO conti<strong>en</strong><strong>en</strong> al polo y se<br />
<strong>en</strong>cu<strong>en</strong>tran a una distancia "d" del polo.<br />
Observemos la sigui<strong>en</strong>te repres<strong>en</strong>tación gráfica:<br />
Del triangulo t<strong>en</strong>emos: cos ( θ − φ)<br />
Por tanto, la ecuación del m<strong>en</strong>cionado lugar geométrico<br />
sería:<br />
Ejemplo<br />
4<br />
Graficar r<br />
=<br />
cos θ −<br />
π ( )<br />
6<br />
=<br />
d<br />
r =<br />
cos<br />
d<br />
r<br />
( θ − φ)<br />
83
Moisés Vill<strong>en</strong>a Muñoz <strong>Coord<strong>en</strong>adas</strong> <strong>Polares</strong><br />
84<br />
SOLUCIÓN:<br />
Por inspección de la ecuación dada concluimos rápidam<strong>en</strong>te que el lugar geométrico es<br />
una recta, que se <strong>en</strong>cu<strong>en</strong>tra a una distancia de 4 unidades del polo y la medida del<br />
π ángulo de la perp<strong>en</strong>dicular a la recta es . ES decir:<br />
6<br />
Ahora veamos casos especiales:<br />
1. Si<br />
0<br />
<br />
φ = <strong>en</strong>tonces la ecuación resulta<br />
vertical.<br />
Al despejar resulta r cos θ = d es decir x = d .<br />
π 2. Si φ = <strong>en</strong>tonces la ecuación resulta:<br />
2<br />
r =<br />
Una recta horizontal.<br />
d<br />
=<br />
d<br />
r = . Una recta<br />
cos θ<br />
π π<br />
π<br />
( θ − ) cos θ cos + s<strong>en</strong> θs<strong>en</strong><br />
s<strong>en</strong> θ<br />
cos 2<br />
2<br />
2<br />
d<br />
=<br />
d
Moisés Vill<strong>en</strong>a Muñoz <strong>Coord<strong>en</strong>adas</strong> <strong>Polares</strong><br />
3. Si φ = π <strong>en</strong>tonces la ecuación resulta:<br />
d<br />
r =<br />
cos<br />
Una recta vertical.<br />
=<br />
d<br />
( θ − π)<br />
cos θ cos π + s<strong>en</strong> θs<strong>en</strong><br />
π − cos θ<br />
4. Si 3 2<br />
π φ = <strong>en</strong>tonces la ecuación resulta:<br />
r =<br />
Una recta horizontal.<br />
4.3.2 CIRCUNFERENCIAS<br />
d<br />
=<br />
π π<br />
π<br />
( θ − 3 ) cos θ cos 3 + s<strong>en</strong> θs<strong>en</strong><br />
3 − s<strong>en</strong> θ<br />
cos 2<br />
2<br />
2<br />
4.3.2.1 Circunfer<strong>en</strong>cias con c<strong>en</strong>tro el polo.<br />
La ecuación cartesiana de una circunfer<strong>en</strong>cia es:<br />
2 2<br />
x + y =<br />
Aplicando transformaciones t<strong>en</strong>emos:<br />
2<br />
a<br />
2 ( r cosθ)<br />
+ ( r s<strong>en</strong> θ)<br />
r<br />
r<br />
r<br />
2<br />
2<br />
2<br />
+ y<br />
cos<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
( cos θ + s<strong>en</strong> θ)<br />
= a<br />
2<br />
= a<br />
2<br />
θ + r<br />
Resultando, finam<strong>en</strong>te:<br />
x<br />
2<br />
s<strong>en</strong><br />
2<br />
2<br />
2<br />
r =<br />
a<br />
d<br />
θ = a<br />
= a<br />
= a<br />
2<br />
2<br />
2<br />
=<br />
=<br />
d<br />
d<br />
85
Moisés Vill<strong>en</strong>a Muñoz <strong>Coord<strong>en</strong>adas</strong> <strong>Polares</strong><br />
86<br />
Ejemplo<br />
Graficar r = 2<br />
SOLUCIÓN:<br />
Por inspección de la ecuación dada concluimos que el lugar geométrico es una<br />
circunfer<strong>en</strong>cia con c<strong>en</strong>tro el polo y que ti<strong>en</strong>e radio 2.<br />
4.3.2.2 Circunfer<strong>en</strong>cias tales que conti<strong>en</strong><strong>en</strong> al polo y<br />
a , φ<br />
ti<strong>en</strong><strong>en</strong> c<strong>en</strong>tro el punto ( )<br />
Observemos el gráfico:<br />
De allí obt<strong>en</strong>emos el triángulo:
Moisés Vill<strong>en</strong>a Muñoz <strong>Coord<strong>en</strong>adas</strong> <strong>Polares</strong><br />
Aplicando la ley del cos<strong>en</strong>o y despejando, t<strong>en</strong>emos:<br />
Resultando, finalm<strong>en</strong>te:<br />
Ejemplo<br />
π<br />
Graficar r = 4 cos(<br />
θ − )<br />
SOLUCIÓN:<br />
3<br />
a<br />
r<br />
2<br />
2<br />
r = 2a cos<br />
= r<br />
2<br />
+ a<br />
2<br />
= 2ar<br />
cos<br />
( θ − φ)<br />
− 2ar<br />
cos<br />
( θ − φ)<br />
( θ − φ)<br />
Por inspección de la ecuación dada concluimos que el lugar geométrico es una<br />
circunfer<strong>en</strong>cia tal que el polo pert<strong>en</strong>ece a ella y su c<strong>en</strong>tro es el punto ( 2, ) 3<br />
π . Por tanto su<br />
gráfico es:<br />
Casos especiales, serían:<br />
1. Si<br />
0<br />
= 2 cos 0 2a<br />
cos<br />
<br />
<br />
φ = t<strong>en</strong>emos r a ( θ − ) = θ<br />
Que transformándola a su ecuación cartesiana, t<strong>en</strong>emos:<br />
r =<br />
2a<br />
cos θ<br />
x<br />
r = 2a<br />
r<br />
2<br />
r = 2ax<br />
x<br />
2<br />
+ y<br />
2<br />
= 2ax<br />
2<br />
2<br />
( x − 2ax<br />
+ a )<br />
+ y<br />
2 2 2<br />
( x − a)<br />
+ y = a<br />
2<br />
= 0 + a<br />
2<br />
87
Moisés Vill<strong>en</strong>a Muñoz <strong>Coord<strong>en</strong>adas</strong> <strong>Polares</strong><br />
88<br />
Una circunfer<strong>en</strong>cia con c<strong>en</strong>tro el punto (a , 0)<br />
y radio r = a<br />
2. Si = π<br />
φ t<strong>en</strong>emos r = 2a cos(<br />
θ − π)<br />
= −2a<br />
cos θ<br />
Una circunfer<strong>en</strong>cia con c<strong>en</strong>tro el punto ( − a,<br />
0)<br />
y radio r = a<br />
π 3. Si = 2<br />
π = 2 cos 2a<br />
s<strong>en</strong><br />
2<br />
φ t<strong>en</strong>emos r a ( θ − ) = θ<br />
Una circunfer<strong>en</strong>cia con c<strong>en</strong>tro el punto ( 0,<br />
a ) y radio r =<br />
a
Moisés Vill<strong>en</strong>a Muñoz <strong>Coord<strong>en</strong>adas</strong> <strong>Polares</strong><br />
4. Si 3 2<br />
π =<br />
π = 2 cos 3 2a<br />
s<strong>en</strong><br />
2<br />
φ t<strong>en</strong>emos r a ( θ − ) = − θ<br />
Una circunfer<strong>en</strong>cia con c<strong>en</strong>tro el punto ( 0,<br />
− a)<br />
y radio r = a<br />
4.3.3 CÓNICAS tales que el foco es el polo y su recta<br />
directriz está a una distancia "d" del polo<br />
Observe la figura.<br />
Se define a la parábola ( e = 1),<br />
a la elipse ( 0 < e < 1)<br />
y a la hipérbola<br />
( e > 1)<br />
como el conjunto de puntos del plano tales que:<br />
( P,<br />
F ) =<br />
e d(<br />
P l)<br />
d ,<br />
89
Moisés Vill<strong>en</strong>a Muñoz <strong>Coord<strong>en</strong>adas</strong> <strong>Polares</strong><br />
90<br />
Entonces:<br />
Casos especiales son:<br />
1. Si<br />
0<br />
<br />
φ = t<strong>en</strong>emos<br />
2. Si φ = π t<strong>en</strong>emos<br />
π<br />
3. Si φ = t<strong>en</strong>emos<br />
2<br />
4. Si 3<br />
2<br />
π<br />
φ = t<strong>en</strong>emos<br />
d<br />
r<br />
r<br />
Ejemplo 1<br />
6<br />
Graficar r =<br />
1+<br />
cosθ<br />
SOLUCIÓN:<br />
( P,<br />
F ) = e d(<br />
P,<br />
l)<br />
r = e[<br />
d − r cos(<br />
θ − φ)<br />
]<br />
r = ed − er cos(<br />
θ − φ)<br />
+ er cos(<br />
θ − φ)<br />
= ed<br />
[ 1+<br />
ecos(<br />
θ − φ)<br />
] = ed<br />
ed<br />
r =<br />
1+<br />
ecos<br />
( θ − φ)<br />
ed<br />
r =<br />
1+ ecosθ<br />
ed<br />
r =<br />
1− ecosθ<br />
ed<br />
r =<br />
1+ es<strong>en</strong><br />
θ<br />
ed<br />
r =<br />
1− es<strong>en</strong><br />
θ<br />
En este caso " e = 1 " (el coefici<strong>en</strong>te del cos<strong>en</strong>o) por tanto t<strong>en</strong>emos una parábola con<br />
foco el polo (el orig<strong>en</strong>) y directriz con ecuación cartesiana " x = 6 " (a la derecha y<br />
π<br />
paralela al eje ). Parábola cóncava a la izquierda.<br />
2
Moisés Vill<strong>en</strong>a Muñoz <strong>Coord<strong>en</strong>adas</strong> <strong>Polares</strong><br />
Ejemplo 2<br />
6<br />
Graficar r =<br />
1−<br />
cosθ<br />
SOLUCIÓN:<br />
Como el ejemplo anterior, es una parábola; pero ahora como hay un signo negativo <strong>en</strong><br />
la función trigonométrica, la recta directriz t<strong>en</strong>drá ecuación cartesiana “ x = −6<br />
" (a la<br />
π<br />
izquierda y paralela al eje ). Cóncava hacia la derecha.<br />
2<br />
Ejemplo 3<br />
6<br />
Graficar r =<br />
1+<br />
s<strong>en</strong> θ<br />
SOLUCIÓN:<br />
Es una parábola con foco el polo y recta directriz y = 6 (paralela y arriba del eje polar).<br />
Cóncava hacia abajo.<br />
91
Moisés Vill<strong>en</strong>a Muñoz <strong>Coord<strong>en</strong>adas</strong> <strong>Polares</strong><br />
92<br />
Ejemplo 4<br />
6<br />
Graficar r =<br />
1−<br />
s<strong>en</strong> θ<br />
SOLUCIÓN:<br />
Es una parábola con foco el polo y recta directriz y = −6<br />
(paralela y abajo del eje polar).<br />
Cóncava hacia arriba.<br />
Ejemplo 5<br />
6<br />
Graficar r =<br />
1+<br />
1 cosθ<br />
2<br />
SOLUCIÓN:<br />
En este caso " e = 1 " (el coefici<strong>en</strong>te del cos<strong>en</strong>o), por tanto t<strong>en</strong>emos una elipse con un foco el<br />
2<br />
polo y el otro foco a su izquierda <strong>en</strong> el eje polar.<br />
NOTA: La ecuación de esta cónica pudo haber sido dada de la sigui<strong>en</strong>te forma también:<br />
12<br />
r = ¿Por qué?<br />
2 + cosθ
Moisés Vill<strong>en</strong>a Muñoz <strong>Coord<strong>en</strong>adas</strong> <strong>Polares</strong><br />
Ejemplo 6<br />
6<br />
Graficar r =<br />
1−<br />
1 cosθ<br />
2<br />
SOLUCIÓN:<br />
Es una elipse con un foco el polo y el otro a su derecha <strong>en</strong> el eje polar.<br />
Ejemplo 7<br />
6<br />
Graficar r =<br />
1+<br />
1 s<strong>en</strong> θ<br />
2<br />
SOLUCIÓN:<br />
Es una elipse con un foco el polo y el otro <strong>en</strong> el eje π hacia abajo.<br />
2<br />
93
Moisés Vill<strong>en</strong>a Muñoz <strong>Coord<strong>en</strong>adas</strong> <strong>Polares</strong><br />
94<br />
Ejemplo 8<br />
6<br />
Graficar r =<br />
1−<br />
1 s<strong>en</strong> θ<br />
2<br />
SOLUCIÓN:<br />
Es una elipse con un foco el polo y el otro <strong>en</strong> el eje π hacia arriba.<br />
2<br />
Ejemplo 9<br />
6<br />
Graficar r =<br />
1+<br />
2cosθ<br />
SOLUCIÓN:<br />
En este caso " e = 2 " (el coefici<strong>en</strong>te del cos<strong>en</strong>o), por tanto t<strong>en</strong>emos una hipérbola con un foco el<br />
polo y el otro foco a su derecha <strong>en</strong> el eje polar.
Moisés Vill<strong>en</strong>a Muñoz <strong>Coord<strong>en</strong>adas</strong> <strong>Polares</strong><br />
Ejemplo 10<br />
6<br />
Graficar r =<br />
1−<br />
2cosθ<br />
SOLUCIÓN:<br />
Es una hipérbola con un foco el polo y el otro foco a su izquierda <strong>en</strong> el eje polar.<br />
Ejemplo 11<br />
6<br />
Graficar r =<br />
1 + 2s<strong>en</strong><br />
θ<br />
SOLUCIÓN:<br />
Es una hipérbola con un foco el polo y el otro foco <strong>en</strong> el eje π hacia arriba.<br />
2<br />
95
Moisés Vill<strong>en</strong>a Muñoz <strong>Coord<strong>en</strong>adas</strong> <strong>Polares</strong><br />
96<br />
Ejemplo 12<br />
6<br />
Graficar r =<br />
1 − 2s<strong>en</strong><br />
θ<br />
SOLUCIÓN:<br />
Es una hipérbola con un foco el polo y el otro foco <strong>en</strong> el eje π hacia abajo.<br />
2<br />
4.3.4 CARACOLES<br />
Los caracoles ti<strong>en</strong><strong>en</strong> ecuación polar de la forma: r = a ± b cosθ<br />
o de<br />
la forma r = a ± b s<strong>en</strong> θ<br />
Consideremos tres casos:<br />
1. Si a = b se llama CARDIOIDES<br />
Ejemplo 1<br />
Graficar r = 6 + 6 cos θ<br />
Esta gráfica pres<strong>en</strong>ta simetría al eje polar, es decir: f<br />
( θ) = f ( −θ)
Moisés Vill<strong>en</strong>a Muñoz <strong>Coord<strong>en</strong>adas</strong> <strong>Polares</strong><br />
Ejemplo 2<br />
Graficar r = 6 − 6 cos θ<br />
Ejemplo 3<br />
Graficar r = 6 + 6 s<strong>en</strong> θ<br />
Ejemplo 4<br />
Graficar r<br />
= 6 − 6 s<strong>en</strong> θ<br />
97
Moisés Vill<strong>en</strong>a Muñoz <strong>Coord<strong>en</strong>adas</strong> <strong>Polares</strong><br />
98<br />
2. Si a > b se llaman LIMACON O CARACOL SIN RIZO<br />
Ejemplo 1<br />
Graficar r = 6 + 3cos<br />
θ<br />
Ejemplo 2<br />
Graficar r = 6 − 3cos<br />
θ<br />
Ejemplo 3<br />
Graficar r = 6 + 3s<strong>en</strong><br />
θ<br />
π<br />
Esta gráfica pres<strong>en</strong>ta simetría al eje , es decir: f<br />
( π − θ)<br />
= f ( θ)<br />
2
Moisés Vill<strong>en</strong>a Muñoz <strong>Coord<strong>en</strong>adas</strong> <strong>Polares</strong><br />
Ejemplo 4<br />
Graficar r = 6 − 3 s<strong>en</strong> θ<br />
3. Si a < b se llaman LIMACON O CARACOL CON RIZO<br />
Ejemplo 1<br />
Graficar r = 3 + 6 cos θ<br />
Nota: Determine los ángulos de formación del rizo.<br />
Ejemplo 2<br />
Graficar r<br />
= 3 − 6 cos θ<br />
99
Moisés Vill<strong>en</strong>a Muñoz <strong>Coord<strong>en</strong>adas</strong> <strong>Polares</strong><br />
100<br />
Ejemplo 3<br />
Graficar r = 3 + 6s<strong>en</strong>θ<br />
Ejemplo 4<br />
Graficar r = 3 − 6 s<strong>en</strong> θ<br />
4.3.5 ROSAS<br />
Estos lugares geométricos ti<strong>en</strong><strong>en</strong> ecuación polar de la forma<br />
r = a cos ( nθ)<br />
o r = a s<strong>en</strong> ( nθ)<br />
para n > 1 ∧ n ∈ N<br />
De aquí consideramos dos casos:<br />
1. Si n es PAR es una rosa de 2 n petálos
Moisés Vill<strong>en</strong>a Muñoz <strong>Coord<strong>en</strong>adas</strong> <strong>Polares</strong><br />
Ejemplo<br />
Graficar<br />
r = 4 s<strong>en</strong> ( 2θ)<br />
SOLUCIÓN:<br />
Por inspección concluimos que es una rosa de 4 pétalos<br />
2. Si n es IMPAR es una rosa de n petálos<br />
Ejemplo<br />
Graficar r = 4 cos ( 3θ)<br />
SOLUCIÓN:<br />
Por inspección concluimos que es una rosa de 3 pétalos<br />
101
Moisés Vill<strong>en</strong>a Muñoz <strong>Coord<strong>en</strong>adas</strong> <strong>Polares</strong><br />
102<br />
r<br />
2<br />
4.3.6 LEMNISCATAS<br />
2<br />
Ti<strong>en</strong><strong>en</strong> ecuación polar de la forma r = a cos 2θ<br />
o de la forma<br />
= a s<strong>en</strong> 2θ<br />
Ejemplo 1<br />
Graficar<br />
2<br />
r<br />
Ejemplo 2<br />
= 4 cos 2θ<br />
Graficar r<br />
2<br />
= −4<br />
cos 2θ
Moisés Vill<strong>en</strong>a Muñoz <strong>Coord<strong>en</strong>adas</strong> <strong>Polares</strong><br />
Ejemplo 3<br />
Graficar<br />
2<br />
r<br />
= 4 s<strong>en</strong> 2θ<br />
4.3.7 ESPIRALES<br />
Consideramos dos tipos:<br />
4.3.7.1 Espiral de Arquímedes.<br />
Su ecuación polar es de la forma r = aθ<br />
Ejemplo<br />
Graficar r<br />
= 2θ<br />
103
Moisés Vill<strong>en</strong>a Muñoz <strong>Coord<strong>en</strong>adas</strong> <strong>Polares</strong><br />
104<br />
4.3.7.2 Espiral de Logarítmica.<br />
Su ecuación polar es de la forma<br />
Ejemplo<br />
Graficar r = 2e<br />
3θ<br />
r = ae<br />
Ejercicios propuestos 4.3<br />
1. Trace la gráfica repres<strong>en</strong>tada por la ecuación polar dada.<br />
1. r = 5<br />
11. r = 2 − 4 s<strong>en</strong> θ ; 0 ≤ θ ≤ π<br />
2.<br />
π<br />
θ =<br />
4<br />
12.<br />
13.<br />
r = 3( 1−<br />
cos( θ))<br />
r = 2 + 4s<strong>en</strong>(<br />
θ)<br />
3. r = 2s<strong>en</strong>( θ)<br />
14. r − 2 + 5s<strong>en</strong>(<br />
θ)<br />
= 0<br />
4. r = −cos(θ)<br />
15. r = s<strong>en</strong>( 3θ)<br />
5. r = −3cos(<br />
θ)<br />
16. r = s<strong>en</strong>( 5θ)<br />
6.<br />
7.<br />
8.<br />
9.<br />
10.<br />
2<br />
r =<br />
1−<br />
s<strong>en</strong>( θ)<br />
2<br />
r =<br />
2 − s<strong>en</strong>( θ)<br />
2<br />
r =<br />
1−<br />
2s<strong>en</strong>(<br />
θ)<br />
r = 1− 2cos(<br />
θ)<br />
r = 3 + 2s<strong>en</strong>(<br />
θ)<br />
17.<br />
18.<br />
19.<br />
20.<br />
21.<br />
22.<br />
23.<br />
24.<br />
r = 2cos( 4θ)<br />
2<br />
r = 4cos(<br />
2θ)<br />
2<br />
r = 3s<strong>en</strong>(<br />
2θ)<br />
r = −6cos(<br />
3θ)<br />
r = −4<br />
s<strong>en</strong> 3θ<br />
r = θ,<br />
θ > 0<br />
r = s<strong>en</strong>( θ)<br />
+ cos( θ)<br />
s<strong>en</strong>( θ ) + cos( θ)<br />
= 0<br />
⎧r<br />
= 3cos<br />
θ<br />
2. Graficar <strong>en</strong> un mismo plano ⎨<br />
y determine los puntos de intersección.<br />
⎩r<br />
= 1 + cos θ<br />
3. Graficar <strong>en</strong> un mismo plano<br />
⎪⎧<br />
r = 3s<strong>en</strong>θ<br />
⎨<br />
y determine los puntos de intersección.<br />
⎪⎩ r = 1 + cos θ<br />
bθ<br />
4. Graficar <strong>en</strong> un mismo plano<br />
⎪⎧<br />
2<br />
r = −8<br />
cos 2θ<br />
⎨<br />
y determine los puntos de intersección.<br />
⎪⎩ r = 2<br />
5.<br />
⎧ 3<br />
Graficar <strong>en</strong> un mismo plano ⎪r<br />
=<br />
⎨ 2 + s<strong>en</strong>θ<br />
y determine los puntos de intersección.<br />
⎪<br />
⎩r<br />
= 4 + 4s<strong>en</strong>θ<br />
r = 4cos<br />
2θ<br />
y exterior a r = 2<br />
6. Repres<strong>en</strong>te <strong>en</strong> el plano polar la región compr<strong>en</strong>dida <strong>en</strong> el interior de ( )<br />
7. Sea p( r θ )<br />
⎧r<br />
≤ 2s<strong>en</strong>3θ , : ⎨ , determine Ap( r, θ<br />
)<br />
⎩r<br />
≥ 1