fundamentos para o projeto de componentes de máquinas

FUNDAMENTOS PARA O
PROJETO DE COMPONENTES
DE MÁQUINAS
Prof. Dr. Perrin Smith Neto

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FUNDAMENTOS PARA O PROJETO DE COMPONENTES DE
MÁQUINAS
Prof. Dr. Perrin Smith Neto
Departamento de Engenharia Mecânica
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica
Instituto Politécnico da Universidade Católica
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
PREFÁCIO DA 1 A EDIÇÃO
Durante mais de 30 anos temos tido contato com os alunos do curso de engenharia
mecânica de diferentes Universidades Brasileiras como Universidade Federal de Minas
Gerais, Universidade Federal de Uberlândia, Universidade de São Paulo, Pontifícia
Universidade Católica do Rio de Janeiro, do Paraná e de Minas Gerais. Atualmente estamos
lecionando a disciplina Elementos de Máquinas para o curso de Engenharia Mecânica e
Mecatrônica da PUC-Minas. Todos os alunos se queixam da falta de um bom livro texto
nesta área em português. Também sentem dificuldades entre a ligação da teoria que
aprendem na Universidade e a prática profissional. O impacto que a disciplina Elementos
de Máquinas causa é muito grande, e, inúmeras vezes, vemos a necessidade de realizar um
grande esforço para que a impressão de nulidade na disciplina não marque
irremediavelmente o aluno que se inicia na matéria. Para o dimensionamento dos
elementos de máquinas, que é uma aplicação contínua das teorias estudadas em
Resistência dos Materiais, Mecânica dos Sólidos, Comportamento Mecânico dos Materiais,
Mecânica Racional, sentem-se os alunos perdidos, dentro de um campo imenso de
possibilidades, obrigados a tomar decisões, e a definir um campo imenso de possibilidades,
uma situação particular, sem que se sintam com pleno domínio daquelas teorias. O clamor
é geral, e por isso, marca realmente o ponto: falta para os estudantes de engenharia
mecânica, a parte prática neste campo de engenharia. Alguns tópicos, por deficiência dos
programas, são tratados superficialmente sem uma objetividade necessária, como a Fadiga
e a Concentração de tensões. Dentro da técnica moderna é impossível diminuir a
importância destes assuntos. São básicos, essenciais. O dimensionamento de uma peça de

máquina exige em profundidade aquilo que foi dado superficialmente na sala de aula. E fica
então o aluno, com aquele sentimento de frustração a que se referiu no inicio.
Incentivados por nossos ex-alunos e colegas das Universidades, com o intuito de
melhor prepará-los para aplicações reais, estamos apresentando o resultado do trabalho
que denominamos Fundamentos para o Projeto de Componentes de Máquinas. Neste livro
pretendemos enfocar na primeira parte os fundamentos do projeto de engenharia mecânica,
características mecânicas dos materiais, dimensionamento estático e dinâmico incluindo
conceitos de fadiga e concentração de tensões. Na parte de aplicações nos deteremos na
análise de parafusos de união, soldagem, molas, lubrificação e mancais de deslizamento,
mancais de rolamentos, engrenagens cilíndricas, eixos e árvores de transmissão, freios e
embreagens e elementos flexíveis de transmissão como correias, correntes e cabos de aço.
Durante estes anos de ensino superior, pudemos desenvolver junto com os alunos,
vários exercícios com utilização de softwares utilizando linguagens conhecidas dos alunos
tipo C++, Fortran, Pascal, etc. Com isto pretendemos neste volume apresentar não somente
um resumo da teoria, mas também alguns exercícios sob a forma de aplicativos,
desenvolvidos para utilização dos conceitos adquiridos no conteúdo da disciplina. Durante
vários anos ministrando a disciplina Elementos de Máquinas, desenvolvemos, orientando os
alunos, os seguintes softwares:
• Vigas-Diagramas de momentos fletores, diagramas de cargas cisalhantes.
• Resistência dos Materiais-cálculo de momentos de polar de inércia, centros de
gravidade para várias seções.
• Círculo de Mohr - determinação numérica e gráfica no estado plano e tridimensional
das tensões máximas normais e cisalhantes, conhecidas as tensões atuantes.
• Calculo da resistência à fadiga de elementos de máquinas em função do tamanho,
acabamento, temperatura, concentração de tensões.
• Cálculo do dimensionamento de parafusos de potência, parafusos de união em
vasos de pressão.
• Cálculo do dimensionamento do filete de solda para cargas de flexão ou torção.
• Dimensionamento de eixos e árvores para carregamento estático e dinâmico.
• Dimensionamento de mancais hidrodinâmicos.
• Dimensionamento de engrenagens cilíndricas retas e helicoidais.
• Seleção de Correias planas e trapezoidais utilizando catálogos de fabricantes.
• Seleção de correntes e cabos de aço.
O objetivo de acrescentar estes programas é de facilitar ao leitor uma visualização dos
conceitos de forma mais prática e moderna. Portanto, a idéia do livro é a de um documento

eletrônico para uma análise computacional dos projetos a serem desenvolvidos durante o
aprendizado.
Agradecemos aos nossos alunos e ex-alunos pelo incentivo que nos deram e ainda
nos dão, a eles dedicamos esta obra. Agradecimentos em especial à Pontifícia
Universidade Católica pelo privilégio de como professor titular na graduação e no mestrado
de engenharia mecânica ter recebido todo o apoio necessário à realização desta obra. As
críticas e sugestões serão sempre bem aceitas, e de antemão, as agradecemos. Também
não poderia de deixar de agradecer ao apoio recebido das Coordenações de Engenharia
Mecânica e Mecatrônica e principalmente do Mestrado de Engenharia Mecânica da
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. Gostaria de poder receber de toda a
comunidade acadêmica de engenharia , sugestões e críticas para aperfeiçoamento e
melhoria desta primeira edição. Solo Dei Gloria.
Prof. Dr.Perrin Smith Neto
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
Belo Horizonte, Fevereiro de 2005

Índice
CAPÍTULO 01 - INTRODUÇÃO _____________________________________ 01
1.1 - INTRODUÇÃO ____________________________________________________ 01
1.2 PROJETO CONCEITO - CADEIRA DE RODAS DE FIBRA DE CARBONO __________ 02
1.2.1 - CICLO DE DESENVOLVIMENTO DO PRODUTO _______________________________ 04
1.2.2 - CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS DE UMA CADEIRA DE RODAS DE LAZER _______ 05
1.3 - CONSIDERAÇÕES SOBRE A SEGURANÇA _____________________________ 08
1.4 - FATOR DE SEGURANÇA ____________________________________________ 09
1.5 - ESCOLHENDO UM FATOR DE SEGURANÇA ____________________________ 09
1.6 - CONSIDERAÇÕES ECOLÓGICAS _____________________________________ 13
1.7 - CONSIDERAÇÕES SOCIAIS __________________________________________ 14
1.8 - METODOLOGIA P/ RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE
COMPONENTES MECÂNICOS ____________________________________________ 15
1.9 - UNIDADES ________________________________________________________ 16
1.10 - COMENTÁRIOS SOBRE OS PROGRAMAS COMPUTACIONAIS ____________ 18
1.11 - CONFIABILIDADE DO PROJETO MECÂNICO ___________________________ 18
1.12 - FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DA CONFIABILIDADE ESTRUTURAL _______ 22
CAPÍTULO 02 - ANÁLISE DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES ______________ 24
2.1 - INTRODUÇÃO _____________________________________________________ 24
2.2 - TENSÃO __________________________________________________________ 24
2.3 - TENSÕES EM MEMBROS COM CARREGAMENTO AXIAL _________________ 27
2.3.1 - CARGA AXIAL __________________________________________________________ 27
2.3.2 - CARGA AXIAL - TENSÃO DE APOIO ________________________________________ 27
2.3.3 - TENSÃO MÉDIA DE CISALHAMENTO _______________________________________ 28
2.4 - TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO ______________________________________ 29
2.4.1 - EQUAÇÕES PARA TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO PLANA _____________________ 29
2.4.2 - CÍRCULO DE MOHR ______________________________________________________ 30
2.4.3 - CONSTRUÇÃO DO CÍRCULO DE MOHR PARA TENSÕES _______________________ 32
2.4.4 - TENSÕES PRINCIPAIS PARA O ESTADO GERAL DE TENSÕES __________________ 34
2.4.5 - CÍRCULO DE MOHR PARA O ESTADO GERAL DE TENSÕES ____________________ 35
2.5 – ANÁLISE DE DEFORMAÇÃO _________________________________________ 36
2.6 - LEIS DE TENSÃO - DEFORMAÇÃO LINEAR E
ENERGIA DE DEFORMAÇÃO ____________________________________________ 37
2.6.1 - COEFICIENTE DE POISSON PARA MATERIAIS ISOTRÓPICOS ___________________ 37
2.6.2 - LEI DE HOOKE PARA MATERIAIS ISOTRÓPICOS
(ESTADO TRIAXIAL DE TENSÕES) _______________________________________________ 38
2.7 - EXTENSOMETRIA __________________________________________________ 39
2.7.1 - EXTENSÔMETRO ELÉTRICO (STRAIN-GAUGE) _______________________________ 40
2.7.2 - PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO E USO ____________________________________ 42
2.7.3 - TIPOS DE EXTENSÔMETROS ELÉTRICOS (STRAIN-GAUGES) __________________ 43
2.8 - RELAÇÕES TENSÃO - DEFORMAÇÃO _________________________________ 45
2.9 - O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS _______________________________ 45
2.9.1 - INTRODUÇÃO __________________________________________________________ 45
2.9.2 – SÍNTESE HISTÓRICA ____________________________________________________ 46
2.9.3 - O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS _____________________________________ 48
2.9.4 - EQUAÇÕES BÁSICAS DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ________________ 50
2.10 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS _________________________________________ 51
2.11 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS _________________________________________ 61
CAPÍTULO 03 - CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS DOS
MATERIAIS -CARREGAMENTO ESTÁTICO ___________________________ 63
3.1 - INTRODUÇÃO _____________________________________________________ 63
3.2 - CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS _____________________________________ 64
3.3 - TEORIAS DE FALHAS COM CARREGAMENTO ESTÁTICO _________________ 73
3.3.1 - FALHA DE MATERIAIS DÚCTEIS SOB CARGA ESTÁTICA _______________________ 74
i

3.3.2 - EXERCÍCIO RESOLVIDO _________________________________________________ 79
3.3.3 - FALHA DE MATERIAIS FRÁGEIS SOB CARGA ESTÁTICA ______________________ 80
3.4 - SELEÇÃO DE MATERIAIS ___________________________________________ 83
3.4.1 - MATERIAIS METÁLICOS _________________________________________________ 84
3.4.2 - MATERIAIS CERÂMICOS _________________________________________________ 87
3.4.3 - MATERIAIS POLIMÉRICOS _________________________________________ 88
3.5 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS __________________________________________ 91
CAPÍTULO 04 - CARREGAMENTO DINÂMICO - FADIGA E
CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES ____________________________________ 103
4.1 - INTRODUÇÃO ______________________________________________________ 103
4.2 - TESTE DE FADIGA __________________________________________________ 104
4.3 - DETERMINAÇÃO DO LIMITE DE RESISTÊNCIA À FADIGA _________________ 105
4.3.1 - FATORES MODIFICATIVOS ________________________________________________ 107
4.4 - LIMITE DE RESISTÊNCIA PARA VIDA FINITA ____________________________ 111
4.5 - FADIGA SOB TENSÕES FLUTUANTES _________________________________ 112
4.6 - FADIGA SOB TENSÕES COMBINADAS _________________________________ 115
4.7 - FADIGA DE CONTATO SUPERFICIAL __________________________________ 116
4.8 - GRÁFICOS P/ DETERMINAÇÃO DO FATOR DE
CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES KT _______________________________________ 117
4.9 - PREVISÃO DE FADIGA COM CARGAS
VARIANDO RANDOMICAMENTE __________________________________________ 119
4.10 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS _________________________________________ 120
4.11 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS _________________________________________ 125
CAPÍTULO 05 - EIXOS E ARVORES DE TRANSMISSÃO _________________ 129
5.1 - INTRODUÇÃO _____________________________________________________ 129
5.2 - MATERIAIS PARA EIXOS E ÁRVORES _________________________________ 129
5.3 - CARREGAMENTO ESTÁTICO ________________________________________ 131
5.3.1 - CARREGAMENTO ESTÁTICO SUJEITO À FLEXÃO,
TORÇÃO E ESFORÇO AXIAL ____________________________________________________ 132
5.3.2 - CARREGAMENTO ESTÁTICO SUJEITO À
FLEXÃO E TORÇÃO __________________________________________________________ 133
5.4 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - CARREGAMENTO
ESTÁTICO SUJEITO À FLEXÃO E TORÇÃO ________________________________ 134
5.5 - DIMENSIONANDO EIXOS PELA NORMA ASME _________________________ 135
5.6 - EIXOS E ÁRVORES SUJEITOS À FADIGA ______________________________ 137
5.6.1 - CRITÉRIO DE FADIGA – GOODMAN ________________________________________ 137
5.6.2 – CRITÉRIO DE FADIGA - SODERBERG ______________________________________ 138
5.7 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - CRITÉRIO DE
FADIGA POR SODERBERG ______________________________________________ 139
5.8 – CHAVETAS / PINOS ________________________________________________ 144
5.9 - UNIÃO DE EIXOS COM CUBOS ______________________________________ 145
5.10 - DIMENSIONAMENTO DE CHAVETAS _________________________________ 146
5.11 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – CHAVETAS ____________________________ 147
5.12 - VIBRAÇÃO DE EIXOS ______________________________________________ 149
5.13 - FREQÜÊNCIA NATURAL E VELOCIDADE CRÍTICA ______________________ 151
5.14 - FREQÜÊNCIA NATURAL DE EIXOS COM
DIVERSAS MASSAS ___________________________________________________ 152
5.15 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – VIBRAÇÕES EM EIXOS ___________________ 155
5.16 - EIXOS ESCALONADOS ____________________________________________ 158
5.17 - VELOCIDADES CRÍTICAS DE ORDEM SUPERIOR ______________________ 161
5.18 - EIXOS ESCALONADOS ____________________________________________ 163
5.19 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS - DIMENSIONAMENTO DE EIXOS ____________ 164
CAPÍTULO 06 - LUBRIFICAÇÃO E MANCAIS DE
DESLIZAMENTO ________________________________________________ 168
ii

6.1 - INTRODUÇÃO ____________________________________________________ 168
6.2 - LUBRIFICANTES. _________________________________________________ 168
6.3 - VISCOSIDADE ____________________________________________________ 169
6.4 - CLASSIFICAÇÃO DOS MANCAIS. ____________________________________ 170
6.5 - LUBRIFICAÇÃO ELASTODINÂMICA __________________________________ 172
6.6 - TIPOS DE LUBRIFICAÇÃO __________________________________________ 173
6.7 - LUBRIFICAÇÃO ESTÁVEL E INSTÁVEL _______________________________ 173
6.8 - MECANISMOS DA LUBRIFICAÇÃO. __________________________________ 174
6.9 - LUBRIFICAÇÃO COM FILME ESPESSO OU DE ATRITO FLUIDO __________ 175
6.10 - SUPERFÍCIES DOS MANCAIS. _____________________________________ 178
6.11 - INTRODUÇÃO AO PROJETO ______________________________________ 179
6.12 - LEIS DE NEWTON DE ESCOAMENTO VISCOSO ______________________ 180
6.13 - LEI DE PETROFF ________________________________________________ 181
6.14 - HIPÓTESES _____________________________________________________ 182
6.15 - RELAÇÕES GEOMÉTRICAS EM UM MANCAL COM FOLGA. _____________ 183
6.16 - GRUPAMENTO DE VARIÁVEIS _____________________________________ 184
6.17 - MANCAL IDEAL. _________________________________________________ 186
6.18 - ESPESSURA MÍNIMA PERMISSÍVEL DO FILME DE ÓLEO. ______________ 187
6.19 - CÁLCULO DE MANCAIS PARA REGIME DE ATRITO FLUIDO. ____________ 187
6.20 - PRINCIPIOS HIDRODINÂMICOS ____________________________________ 188
6.21 - PROCEDIMENTO DE PROJETO ____________________________________ 188
6.22 - APLICAÇÃO ____________________________________________________ 189
6.23 - MANCAIS ÓTIMOS. _______________________________________________ 190
6.24 - TAXA DE FOLGA. ________________________________________________ 191
6.25 - RELAÇÃO ENTRE O COMPRIMENTO E O DIÂMETRO. _________________ 191
6.26 - CONSIDERAÇÕES SOBRE DISTRIBUIÇÃO DAS PRESSÕES
EM UM MANCAL E PERDA DEVIDA AO ATRITO ___________________________ 192
6.27 - FLUXO DE LUBRIFICANTE ATRAVÉS DE UM MANCAL. _________________ 194
6.28 - CALOR LEVADO PELO ÓLEO. ______________________________________ 195
6.29 - DISSIPAÇÃO DE CALOR DO MANCAL. _______________________________ 196
6.30 - MATERIAIS USADOS NOS MANCAIS. ________________________________ 199
6.31 - CONSTRUÇÃO DOS MANCAIS. _____________________________________ 200
6.32 - MANCAIS DE ESCORA. ____________________________________________ 200
6.33 - EXERCÍCIO RESOLVIDO ___________________________________________ 208
CAPÍTULO 07 - MANCAIS DE ROLAMENTOS __________________________ 210
7.1 - INTRODUÇÃO ____________________________________________________ 211
7.2 - DIMENSIONAMENTO ______________________________________________ 211
7.3 - ROLAMENTOS SOLICITADOS ESTATICAMENTE _______________________ 211
7.4 - ROLAMENTOS SOLICITADOS DINAMICAMENTE _______________________ 213
7.5 - CARGA E ROTAÇÃO VARIÁVEIS ____________________________________ 215
7.6 - CARGA MÍNIMA DOS ROLAMENTOS _________________________________ 216
7.6.1 - OBSERVAÇÕES ________________________________________________________ 217
7.6.2 - DURAÇÃO ATINGÍVEL - MODIFICADA DA VIDA ______________________________ 217
7.6.3 - DURAÇÃO DA VIDA ATINGÍVEL ___________________________________________ 218
7.6.4 - FATOR A23 ____________________________________________________________ 218
7.6.5 - RELAÇÃO DE VISCOSIDADE K ____________________________________________ 219
7.6.6 - VALOR BÁSICO A23II ____________________________________________________ 221
7.6.7 - FATOR DE LIMPEZA S ___________________________________________________ 224
7.6.8 - GRANDEZA DETERMINANTE V PARA A AVALIAÇÃO DA LIMPEZA ______________ 225
7.6.9 - VALORES PARA A GRANDEZA DETERMINANTE DE CONTAMINAÇÃO V _________ 227
7.6.10 - LUBRIFICAÇÃO COM ÓLEO _____________________________________________ 229
7.7 - PROCESSO DE SELEÇÃO DE ROLAMENTOS __________________________ 230
7.8 - TIPOS DE ROLAMENTOS ___________________________________________ 233
7.8.1 - ROLAMENTOS RÍGIDOS DE ESFERAS - ROLAMENTOS FAG FIXOS DE ESFERA __ 233
7.8.2 - ROLAMENTOS DE ESFERAS DE CONTATO ANGULAR ________________________ 235
iii

7.8.3 - ROLAMENTOS DE AGULHAS _____________________________________________ 239
7.8.4 - ROLAMENTOS DE ROLOS CÔNICOS ______________________________________ 239
7.8.5 - ROLAMENTOS AXIAIS ___________________________________________________ 240
7.9 – EXEMPLO RESOLVIDOS ___________________________________________ 241
7.10 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS ________________________________________ 248
CAPÍTULO 08 - PROJETO DE PARAFUSOS __________________________ 250
8.1 - INTRODUÇÃO ____________________________________________________ 250
8.2 - PARAFUSOS DE POTÊNCIA _________________________________________ 263
8.3 - PARAFUSOS DE UNIÃO - COMPRIMENTO DA PARTE ROSCADA __________ 266
8.3.1 - CONSTANTE DE RIGIDEZ DOS PARAFUSOS ________________________________ 267
8.3.2 - RIGIDEZ DAS PEÇAS OU MEMBROS EM COMPRESSÃO ______________________ 268
8.3.3 - RESISTÊNCIA DO PARAFUSO ____________________________________________ 269
8.3.4 - EXIGÊNCIAS DO TORQUE ________________________________________________ 271
8.3.5 - PRÉ-CARGA DO PARAFUSO - CARREGAMENTO ESTÁTICO ____________________ 271
8.3.6 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ________________________________________________ 274
8.3.7 - CARGA DE FADIGA _____________________________________________________ 277
8.4 - CISALHAMENTO DE PARAFUSOS E REBITES A CARGA EXCÊNTRICA _____ 279
8.5 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS _________________________________________ 282
CAPÍTULO 09 - PROJETO DE SOLDAS ______________________________ 285
9.1 - INTRODUÇÃO ____________________________________________________ 285
9.2 – TIPOS COMUNS DE JUNTAS SOLDADAS _____________________________ 285
9.3 - CÁLCULO DAS TENSÕES – SOLDAS CARREGADAS CENTRALMENTE _____ 293
9.4 - SOLDAS EM ÂNGULO – CARGA EXCÊNTRICA _________________________ 294
9.5 – TORÇÃO NAS JUNTAS SOLDADAS __________________________________ 298
9.6 - CARREGAMENTO DINÂMICO _______________________________________ 299
9.7 – FLEXÃO EM JUNTAS SOLDADAS ____________________________________ 300
9.8 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS _________________________________________ 302
CAPÍTULO 10 - TIPOS DE ENGRENAGENS E RELAÇÕES CINEMÁTICAS __ 307
10.1 - INTRODUÇÃO ___________________________________________________ 307
10.2 - ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS ____________________ 308
10.2.1 - DEFINIÇÕES __________________________________________________________ 308
10.2.2 – RAZÃO DE VELOCIDADES ______________________________________________ 310
10.2.3 - O MÓDULO ___________________________________________________________ 310
10.3 - ENGRENAGENS CILÍNDRICAS HELICOIDAIS __________________________ 311
10.3.1 - RELAÇÃO DE VELOCIDADES ____________________________________________ 312
10.3.2 - PASSO NORMAL E PASSO FRONTAL - MÓDULOS ___________________________ 314
10.3.3 - NÚMERO MÍNIMO DE DENTES ___________________________________________ 315
10.3.4 - ÂNGULO DE PRESSÃO _________________________________________________ 316
10.3.5 - LARGURA DE ENGRENAGEM ____________________________________________ 317
10.3.6 - RELAÇÕES ENTRE AS FORÇAS __________________________________________ 317
10.3.7 - COMPRIMENTO DOS DENTES EM CONTATO SIMULTANEAMENTE _____________ 317
10.4 - ENGRENAGENS CÔNICAS DE DENTES RETOS ________________________ 320
10.4.1 - CONES DE ATRITO - DEFINIÇÕES ________________________________________ 320
10.4.2 - RELAÇÃO DE VELOCIDADES ____________________________________________ 322
10.4.3 - ENGRENAGEM VIRTUAL ________________________________________________ 322
10.4.4 - NÚMERO MÍNIMO DE DENTES - EVITANDO INTERFERÊNCIA _________________ 323
10.4.5 - RELAÇÃO DE TRANSMISSÃO ____________________________________________ 324
10.4.6 - MÓDULO EFETIVO - MÓDULO MÉDIO _____________________________________ 324
10.4.7 - COMPRIMENTO DO DENTE _____________________________________________ 325
10.4.8 - FORÇAS ATUANTES NAS CÔNICAS _______________________________________ 325
10.5 - PARAFUSO SEM-FIM/COROA _______________________________________ 327
10.5.1 - INTRODUÇÃO _________________________________________________________ 327
10.5.2 - CARACTERÍSTICAS PRINCIPAIS __________________________________________ 328
10.5.3 - ALGUNS DADOS EMPÍRICOS ____________________________________________ 330
10.5.4 - MATERIAIS ____________________________________________________________ 331
10.5.5 - DIÂMETROS E DISTÂNCIA ENTRE CENTROS _______________________________ 331
iv

10.6 - TREM DE ENGRENAGENS _________________________________________ 333
10.6.1 - TREM DE ENGRENAGENS SIMPLES ______________________________________ 333
10.6.2 - TREM DE ENGRENAGENS COMPOSTOS __________________________________ 334
10.6.3 - TREM DE ENGRENAGENS PLANETÁRIAS _________________________________ 335
10.7 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS ________________________________________ 337
CAPÍTULO 11 - DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS ______________ 339
11.1 - INTRODUÇÃO ___________________________________________________ 339
11.1.1 - MATERIAIS PARA ENGRENAGENS _______________________________________ 339
11.2 - DESGASTE SUPERFICIAL DOS DENTES _____________________________ 341
11.3 - ENGRENAGENS CILÍNDRICAS RETAS ______________________________ 343
11.3.1 - INTRODUÇÃO ________________________________________________________ 343
11.3.2 - DIMENSIONAMENTO PELA RESISTÊNCIA _________________________________ 344
11.3.3 - CASOS ESPECIAIS ____________________________________________________ 347
11.3.4 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS _____________________________________________ 349
11.3.5 -VERIFICAÇÃO DO DESGASTE ____________________________________________ 353
11.3.6 - EXERCÍCIO RESOLVIDO - ENGRENAGENS CILÍNDRICAS _____________________ 358
11.4 - ENGRENAGENS CILÍNDRICAS HELICOIDAIS __________________________ 361
11.4.1 - DIMENSIONAMENTO PELA RESISTÊNCIA __________________________________ 361
11.4.2 - VERIFICAÇÃO DO DESGASTE ____________________________________________ 362
11.4.3 – EXERCÍCIO RESOLVIDO - ENGRENAGENS CILÍNDRICAS HELICOIDAIS _________ 362
11.5 - ENGRENAGENS CÔNICAS DE DENTES RETOS ________________________ 365
11.5.1 - DIMENSIONAMENTO PELA RESISTÊNCIA __________________________________ 365
11.5.2 - ROTEIRO DE CÁLCULO (ESQUEMA) ______________________________________ 366
11.5.3 - EXERCÍCIO RESOLVIDO ________________________________________________ 366
11.6 - PARAFUSO SEM FIM E COROA _____________________________________ 369
11.6.1 - DIMENSIONAMENTO PELA RESISTÊNCIA __________________________________ 369
11.6.2 - DIMENSIONAMENTO PELO DESGASTE ____________________________________ 370
11.6.3 - VERIFICAÇÃO DISSIPAÇÃO DE CALOR ____________________________________ 371
11.6.4 - RENDIMENTO DOS PARAFUSOS SEM-FIM _________________________________ 372
11.6.5 - EXERCÍCIO RESOLVIDO - SEM FIM E COROA _______________________________ 374
11.7 - DIMENSIONAMENTO PELA NORMA AGMA ___________________________ 377
11.7.1 - TENSÃO DE FLEXÃO EM ENGRENAGENS _________________________________ 377
11.7.2 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - TENSÃO DE FLEXÃO EM ENGRENAGENS ________ 379
11.7.3 - DURABILIDADE SUPERFICIAL ___________________________________________ 384
11.8 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - DURABILIDADE SUPERFICIAL ____________ 387
11.9 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS _________________________________________ 390
CAPÍTULO 12 – PROJETO DE FREIOS E EMBREAGENS ________________ 392
12.1 - INTRODUÇÃO ____________________________________________________ 392
12.2 - MATERIAIS DE FRICÇÃO __________________________________________ 392
12.3 - CONCEITOS GERAIS DE ATRITO ____________________________________ 393
12.4 - CONSIDERAÇÕES SOBRE FREIOS EM VEÍCULOS _____________________ 395
12.5 - FREIO A TAMBOR ________________________________________________ 396
12.6 - FREIO A DISCO __________________________________________________ 401
12.8 - FREIO ABS ______________________________________________________ 406
12.9 - CONSIDERAÇÕES SOBRE PRESSÃO E DESGASTE ____________________ 408
12.10 - CONSIDERAÇÕES SOBRE ENERGIA ________________________________ 410
12.11 - CONSIDERAÇÕES SOBRE TEMPERATURA NO FREIO _________________ 412
12.12 - ACIONAMENTO DE FREIOS _______________________________________ 413
12.13 - OPERAÇÃO A VÁCUO SUSPENSO __________________________________ 413
12.14 - OPERAÇÃO DE AR SUSPENSO ____________________________________ 414
12.15 - OPERAÇÃO DA BOMBA HIDRÁULICA _______________________________ 414
12.16 - OPERAÇÃO ELETRO-HIDRÁULICO _________________________________ 414
CAPÍTULO 13 – PROGRAMAS COMPUTACIONAIS _____________________ 415
13.1 - CIRCULO DE MOHR _______________________________________________ 415
13.2 - VIGAS __________________________________________________________ 415
v

13.3 - FADIGA PARA PEÇAS SEÇÕES CIRCULARES OU RETANGULARES _______ 416
13.4 - CÁLCULO DO LIMITE DE RESISTÊNCIA A FADIGA DE PEÇAS ____________ 417
13.5 - CÁLCULO DO LIMITE DE RESISTÊNCIA A FADIGA DE PEÇAS ____________ 418
13.6 – DIMENSIONAMENTO DE PARAFUSOS DE UNIÃO ______________________ 420
13.7 - PARAFUSO DE POTÊNCIA _________________________________________ 421
13.8 – FLEXÃO E TORÇÃO EM JUNTAS SOLDADAS __________________________ 421
13.9 - DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS UTILIZANDO A NORMA AGMA ___ 422
13.10 - MANCAIS HIDRODINÂMICOS _______________________________________ 425
13.11 - MANCAIS UTILIZANDO O CATÁLOGO DA SKF ________________________ 425
13.12 – MANCAIS DE DESLIZAMENTO _____________________________________ 426
13.13 – ROLAMENTOS COM UMA NOVA TEORIA DE VIDA ____________________ 427
13.14 – ROLAMENTOS DE ESFERA PARA UMA CARGA DINÂMICA _____________ 428
13.15 – SELEÇÃO DE ROLAMENTOS DE ESFERA ____________________________ 428
13.16 - DIMENSIONAMENTO DE EIXOS COM MOMENTO TORSOR E FLETOR ____ 429
13.17 - DIMENSIONAMENTO DE EIXOS ____________________________________ 430
APÊNDICE _____________________________________________________ 432
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS __________________________________ 445
vi

CAPITULO 01 - INTRODUÇÃO
1.1 - INTRODUÇÃO
A essência da engenharia é a utilização dos recursos e leis da natureza para beneficiar
a humanidade. Projetar uma residência com todos os detalhes é um exemplo desta utilização. A
Engenharia é uma ciência aplicada, no sentido que está relacionada com entendimento de
princípios científicos e sua aplicação para obtenção do alvo desejado.
O projeto de engenharia mecânica é um segmento maior da engenharia: ele se relaciona
com o conceito, projeto, desenvolvimento, refinamento e aplicação de maquinas e elementos de
máquinas de todos os tipos.
Para muitos estudantes de engenharia a disciplina Elementos de Máquinas é a sua
primeira disciplina profissionalizante, distinguindo-se das disciplinas básicas de ciência e
matemática. As disciplinas profissionalizantes se relacionam com a obtenção de soluções para
problemas práticos. Estas soluções devem refletir um entendimento das ciências mecânicas,
mas somente o seu entendimento não é suficiente; conhecimento empírico e bom senso estão
também envolvidos. Por exemplo, os cientistas não entendem a eletricidade completamente,
mas isto não impedem de desenvolverem equipamentos e sistemas elétricos bastante úteis e
práticos. De maneira análoga, os cientistas não entendem completamente os processos de
combustão ou fadiga de metal, mas os engenheiros mecânicos e industriais utilizam o
conhecimento disponível para desenvolverem máquinas de combustão bastante úteis e
necessárias. Quanto maiores conhecimentos científicos estejam disponíveis, os engenheiros
são capazes de desenvolver melhores soluções para os problemas práticos.
Devido à natureza profissional do assunto, a maioria dos problemas elementos de
máquinas não apresentam uma correta e única solução. Existe um número grande de soluções
trabalháveis, nenhuma das quais poderiam ser chamadas de incorretas. Mas dentre as
soluções corretas, algumas são obviamente melhores do que as outras porque elas refletem,
por exemplo, um conhecimento mais sofisticado da tecnologia, a conceito de projeto básico
mais engenhoso, uma utilização da tecnologia de produção mais econômica e efetiva, uma
aparência mais estética.
Este livro se relaciona primariamente com o projeto de componentes específicos de
máquinas ou sistemas mecânicos. Competência nesta área é básica para as considerações e
sínteses de maquinas completas e sistemas nas disciplinas subseqüentes como Projeto de
Máquinas, Máquinas de Elevação e Transportes, Projeto de Fim de Curso, Máquinas
Hidráulicas, Sistemas Mecânicos, dentre outras.Todo projeto inicia-se pequeno, com boa uma
1

fundamentação. A primeira parte do livro se relaciona com os fundamentos envolvidos,
conceitos de tensão e deformação, propriedades mecânicas dos materiais, análise estática e
dinâmica de peças, fadiga, aplicando em parafusos, molas e freios. Estes componentes são
largamente utilizados e de certa forma são bastante familiares aos estudantes.
No planejamento de uma cidade, além de residências, as praças e locais de acesso
como rodoviárias, ferroviárias, aeroportos, são fundamentais. Da mesma forma, a considerar
uma máquina completa, o engenheiro invariavelmente descobre que as condições e restrições
dos vários componentes estão interrelacionados. O projeto de uma mola de válvula de um
motor automotivo, por exemplo, depende do espaço disponível para a mola. Isto representará
um compromisso com o espaço para as passagens refrigerantes, folgas para vários
componentes, que irá adicionar uma nova dimensão para a imaginação e criatividade
necessária do engenheiro para obter um projeto ótimo de combinação dos elementos
relacionados.
Além das considerações fundamentais tecnológicas e econômicas do projeto no
desenvolvimento de componentes mecânicos e sistemas, o moderno engenheiro deve
considerar a segurança, ecologia e acima de tudo a qualidade de vida.
1.2 PROJETO CONCEITO - CADEIRA DE RODAS DE FIBRA DE CARBONO
Esta proposta foi desenvolvida entre o autor e um aluno do curso de Mecatrônica da
PUC-Minas. Visando o desenvolvimento e construção de uma cadeira de rodas fabricada em
fibra de carbono e projetada com tecnologia de ponta em engenharia de desenvolvimento de
produto, na PUC Minas, figura 1. A motivação é de podemos fabricar, no Brasil, cadeiras de
rodas esportivas mais eficientes para a prática de esportes e cadeiras motorizadas que
consumam menos bateria. Cadeiras de rodas brasileiras no mesmo nível tecnológico das
desenvolvidas na Europa e Estados Unidos, figuras 2 e 3.Podendo construir cadeiras mais
“baratas” e acessíveis para os portadores de deficiência
Para mostrar a viabilidade desse projeto é apresentado um exemplo prático de
desenvolvimento e construção de uma bicicleta esportiva de fibra de carbono. Foram utilizadas
ferramentas digitais da concepção à fabricação final.
2

Figura 1 - Cadeira de fibra de carbono conceito idealizada na PUC-Minas.
Figura 2 - Vista explodida da cadeira conceito
Após as pesquisas realizadas, constatou-se que a fabricação de uma cadeira de rodas
esportiva, utilizando fibra de carbono na sua estrutura, a torna super leve e resistente.
Com o uso dos melhores computadores e programas disponíveis na Engenharia Mecatrônica
PUC Minas, foi idealizada uma cadeira escamoteável, High-Tech.
Esta cadeira conceito, além de se destacar pelas suas qualidades mecânicas, ela inova
com seu estilo moderno e arrojado.Seu design foi concebido para que suas curvas façam a
cadeira parecer tão rápida quanto ela é, proporcionando prazer e atisfação às pessoas que a
utilizarem, figura 3.
Como “cadeira conceito” sua função é mostrar tendências e possibilidades de
projeto.Nos esboços 3D, vários detalhes como freios, encaixes e faixas não foram mostrados,
para que se pudesse focalizar a atenção apenas na geometria da cadeira, figura 4.
3

Figura 3 - Vista lateral da estrutura da cadeira de rodas. Figura 4 - Vista da cadeira desmontada.
Neste projeto, as três características principais são: leveza,design e resistência.
LEVEZA: a cadeira de rodas, para ser mais rápida e ágil precisa ter o mínimo de peso possível
a fim de diminuir os atritos e inércias do movimento.
DESIGN: sendo uma cadeira esportiva suas curvas devem invocar o sentimento de velocidade,
modernidade, agilidade e liberdade de movimento da pessoa que a utiliza.
RESISTÊNCIA: usando a fibra de carbono na fabricação da estrutura, a cadeira de rodas será
mais forte e mais resistente aos impactos e às condições ambientais adversas.
1.2.1 - CICLO DE DESENVOLVIMENTO DO PRODUTO
Da concepção até à fabricação de um produto final é necessária a execução de várias
etapas. Esse conjunto de etapas é denominado Ciclo de Desenvolvimento de Produto, figura 5.
É adotada toda uma metodologia científica para que o trabalho seja bem sucedido, do início ao
fim, com o produto final testado e livre de eventuais falhas de projeto.
idealização e esboços desenhos detalhados fabricação
do
pesquisa lista de materiais produto final
estudo de viabilidade cálculos e testes
Figura 5 - Fases do Ciclo de Desenvolvimento de Produto.
Na Era da Informação,o computador vem sendo usado como uma ferramenta valiosa e
indispensável para todas as áreas do conhecimento. Na engenharia, o computador realiza
cálculos e simulações impossíveis de serem feitos por um engenheiro com uso de apenas um
lápis e papel. Para os desenhistas e projetistas é mostrada na tela do computador, geometrias
tridimensionais que podem ser movimentadas e giradas em todas as direções criando a
sensação de estarem manipulando um objeto virtual, figura 6. Na fabricação os computadores
4

controlam as máquinas. Essas máquinas automatizadas realizam a fabricação das peças
mecânicas com precisão e velocidade sem a intervenção do homem diminuindo assim erros e
custos.
Com toda essa informatização, o ciclo de desenvolvimento de produto teve uma redução
de custo e tempo, e um aumento significativo na qualidade final do produto.
Figura 5 - Computador de ultima geração utilizado do projeto de uma moto de corrida.
1.2.2 - CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS DE UMA CADEIRA DE RODAS DE LAZER
LEVEZA & RESISTÊNCIA
LEVEZA
A cadeira de rodas, para ser mais rápida e ágil precisa ter o mínimo de peso possível a fim de
diminuir os atritos e inércias do movimento
RESISTÊNCIA
Figura 6 - Vista lateral do quadro da cadeira de rodas.
Após pesquisas realizadas, os autores constataram que a fabricação de uma cadeira de
rodas esportiva, utilizando fibra de carbono na sua estrutura, a tornaria super leve e
resistente,em comparação ao aço e o alumínio. A fibra de carbono é utilizada na indústria
esportiva para fabricação de raquetes de tênis e bicicletas .
Na indústria aeroespacial para construção de foguetes e aviões.
5

Para a prática de esportes,uma cadeira de rodas precisa ter características especiais
sofrendo alguns ajustes em sua configuração .Abaixo são listadas algumas recomendações:
• A ajustagem do assento para baixo a fim de obter maior estabilidade , mais firmeza e
um maior raio de roda disponível para impulsão. O encosto das costas precisa estar o
mais próximo possível do corpo (aproximadamente perpendicular ao piso) para maior
conforto e melhor resistência ao impacto.
• A posição do centro de gravidade de seu corpo em relação aos eixos das rodas afeta a
mobilidade.
Os eixos das rodas e a cadeira colocados mais a frente, proporcionará maior mobilidade
e giro mais rápido. Devem ser levadas em conta nestes ajustes as preferências e
características pessoais de cada praticante.
FAIXAS
Para melhorar o equilíbrio e a mobilidade:
• Faixas de tórax e cintura – dependendo do tipo de lesão estas faixas melhorarão o
equilíbrio e aumentarão a confiança. Entretanto, as faixas de tórax interferem com a
movimentação da cadeira.
• Faixas de pernas – uma faixa envolvendo as coxas ou logo acima dos joelhos impedirá
que as pernas afastem durante o jogo, dará maior estabilidade ao corpo e aumentará a
mobilidade.
Figura 7 - Faixas de pernas.
• Faixas de pernas – uma faixa envolvendo as coxas ou logo acima dos joelhos impedirá
que as pernas afastem durante o jogo, dará maior estabilidade ao corpo e aumentará a
mobilidade
6

PNEUS
Pneus com câmaras de alta pressão dão melhor desempenho:
• Pneus pretos devem ser evitados para não marcar a quadra.
• A cadeira será tão mais manobrável quanto maior for a cambagem das rodas (de 3 a 10
graus, aproximadamente).
RODAS DIANTEIRAS
De 4 a 5 polegadas (10 a 12.5 cm) aproximadamente de diâmetro
• Se maiores, reduzem a habilidade de giro.
• Se menores não rodam com suavidade e qualquer irregularidade no piso fará a cadeira
trepidar.
• Não muito finas para evitar danos na superfície da quadra.
Figura 8 - Esboços do quadro de uma cadeira de rodas fabricada em fibra de carbono.
Atualmente, o trabalho proposto se encontra no primeiro estágio do Ciclo de
Desenvolvimento de Produto, na etapa de design e idealização, figura 10. Os esboços de uma
Cadeira Conceito de fibra de carbono mostram a possibilidade de se desenvolver e construir
uma cadeira de rodas: leve, escamoteável, resistente e moderna, utilizando tecnologias digitais
CAD/CAE/CAM. Tecnologias de Ponta empregadas pelas indústrias automotivas e
aeroespaciais no desenvolvimentos de seus produtos. Os autores esperam que, por meio
desta apresentação, parcerias e recursos financeiros sejam conseguidos para que se possa
dar continuidade no projeto proposto.
7

Figura 9 - Design e idealização
1.3 - CONSIDERAÇÕES SOBRE A SEGURANÇA
A qualidade de um projeto pode ser medida por muitos critérios. É sempre necessário
calcular um ou mais fatores de segurança para estimar a possibilidade de falha.
No passado, os engenheiros deram muito valor aos aspectos funcionais e econômicos
dos novos produtos.
Segurança pessoal é uma consideração que os engenheiros tem sempre em mente,
mas agora demanda um aumento na ênfase. Em comparação com aspectos computacionais
precisos como tensão e deformação, a determinação de segurança é como um assunto
indefinido, complicado por fatores psicológicos e sociológicos. Isto tem desafiado os
engenheiros para levar em conta todos os fatos pertinentes e então tomar boas decisões que
venham a refletir o entendimento, imaginação, engenhosidade e julgamento. O primeiro passo
mais importante no desenvolvimento da competência em engenharia na área de segurança é
cultivar um entendimento de sua importância. A segurança de um produto é de grande valor
para os legisladores, juizes, promotores bem como para os profissionais de seguradoras. No
entanto, estes indivíduos não podem contribuir diretamente para a segurança de um produto;
eles somente podem concordar com a urgência de se considerar uma ênfase adequada na
segurança para o desenvolvimento de engenharia de produtos. É na realidade o engenheiro
que deverá processar o desenvolvimento de produtos e projetos com alto grau de segurança.
Deverá ter engenhosidade, capacidade imaginativa o suficiente para antecipar situações
potenciais de alto risco para o produto.
8

1.4 - FATOR DE SEGURANÇA
Um fator de segurança pode ser expresso de várias maneiras. Ele é tipicamente uma
relação entre duas quantidades que tenham as mesmas unidades; tais como resistência/tensão,
carga crítica/carga aplicada, máximo ciclo/ ciclos aplicados ou máxima velocidade de
segurança/velocidade de operação. O fator de segurança será sempre adimensional.
A forma de expressão para um fator de segurança pode ser escolhida baseado no tipo
de carga atuante. Se o elemento de máquina é sujeito a uma carga que varia ciclicamente com
o tempo, ele poderá sofrer uma falha por fadiga. A resistência do material para alguns tipos de
carga de fadiga pode ser expressa como um número máximo de ciclos de tensão reversa a um
dado nível de tensão. Em tais casos, pode ser adequado expressar o fator de segurança como
a relação do máximo número de ciclos esperados em uma possível falha do material para o
número de ciclos aplicados ao elemento em serviço considerando sua vida esperada. Uma vez
que haverá mais de um modo potencial de falha para qualquer elemento de falha, poderá haver
mais de um valor para o fator de segurança. O menor valor do fator de segurança para qualquer
peça é de grande valia uma vez que ele irá predizer o modo como se imagina que a peça irá
falhar. Quando ele se torna unitário, a tensão na peça será igual à resistência do material (ou a
carga aplicada será igual à carga que irá falhar, etc.) e a falha irá ocorrer. Portanto o fator de
segurança será sempre maior que 1.
1.5 - ESCOLHENDO UM FATOR DE SEGURANÇA
Escolhendo um fator de segurança é freqüentemente uma proposição confusa para o
projetista principiante. São tantas as variáveis envolvidas, a possibilidade de fracasso se
apresenta com tanta intensidade, que o projetista novato, em geral, superestima, adotando
fatores de segurança grandes demais. O FS deve ser fixado com base em projetos existentes,
em indicações tabeladas, gerais ou particulares, com o discernimento que o conhecimento
teórico propicia ao projetista. Influenciam fortemente o valor do FS os seguintes elementos:
etc.);
a) material da peça (dúctil, quebradiço, homogêneo, especificações bem conhecidas,
b) carga que atua na peça (constante, variável, modo de aplicação, bem conhecida,
sobrecargas possíveis, etc.);
c) perigo de vida (do operador da máquina, de elementos vizinhos, etc.);
d) perigo da propriedade;
e) classe da máquina.
9

Os dois primeiros itens, a) e b), servem de ponto de partida para a escolha inicial, ordem
de grandeza do fator de segurança, FS. Os três outros obrigarão a aumentar o valor fixado. O
fator de segurança pode ser traduzido como uma medida de incerteza do projetista nos
modelos analíticos, nas teorias de falhas, nas propriedades do material a ser utilizado. Quanto
que o fator de segurança deverá ser maior que 1 (um), dependerá de muitos fatores incluindo o
nível de confiança no modelo em que os cálculos serão baseados, no conhecimento da faixa
das possíveis condições de carga atuantes e na confiança sobre as informações disponíveis
sobre a resistência do material. Um fator de segurança menor poderá ser adotado quando
testes extensos foram realizados em protótipos físicos do projeto para provar a validade do
modelo de engenharia e do projeto e já se tenha dados dos testes sobre as resistências do
material em particular. Não se conhecendo as características mecânicas testadas do material,
um fator de segurança maior deverá ser adotado. Na ausência de qualquer norma de projeto
que possa especificar um fator de segurança para casos particulares, a escolha do fator de
segurança envolve uma decisão de engenharia a ser tomada. Um método razoável é
determinar as maiores cargas esperadas em serviço (incluindo possíveis sobrecargas) e
resistências mínimas esperadas para o material, baseando, portanto o fator de segurança
nestes dados. Então o fator de segurança torna-se uma razoável medida de incerteza. Na
industria aeronáutica, fatores de segurança para aeronaves comerciais estão na faixa de 1,2 a
1,5. Aeronaves militares podem Ter o fator de segurança menor do que 1,1 , só que a tripulação
toda possui pára-quedas, além do que os pilotos de teste possuem altíssimos salários. Os
mísseis possuem fator de segurança igual a 1, mas não tem tripulação e não se espera que
precisem retornar a origem. Estes pequenos fatores de segurança em aeronaves são
necessários para manter os pesos baixos e são justificados pela análise analítica sofisticada,
com testes dos materiais usados, extenso testes de protótipos dos projetos geralmente em
escala real com aplicação de cargas dinâmicas e medição de seus efeitos, e rigoroso serviço de
inspeção para pequenas falhas de equipamentos.
Vários autores apresentam em seus comentários, o fator de segurança como um produto de
subfatores. Assim por exemplo, se a tensão perigosa é o limite de resistência à tração (limite de
ruptura), pode-se fazer:
FS= a x b x c x d
Onde a= relação de elasticidade (limite de resistência a tração/limite de resistência ao
escoamento);
b= fator que leva em conta o tipo de carga.
Pode-se tomar: cargas constantes: b=1;
10

Carga variável sem reversão: b=1,5 a 2,0;
Carga variável com reversão: b=2,0 a 3,0.
c= fator que leva em conta o modo de aplicação da caga.
Para este fator podem-se seguir seguintes indicações:
Carga constante, gradualmente aplicada: c=1;
Carga constante, subitamente aplicada: c=2;
Choque: c>2.
d= margem ou fator real de segurança.Este fator varia, em geral, entre 1,5 a 3. Para
materiais dúcteis, pode-se adotar a faixa de 1,5 a 2. Para materiais quebradiços, tem-se 2,0 a
3,0.
Informação Materiais dúcteis FS
Material Qualidade da informação F1
Dados sobre as
propriedades do
material disponíveis
no teste
O material real foi usado para ser testado
Resultados de teste de Material bem representativo
Resultados de testes de material relativ.
representativo
Resultados de testes de material pouco
representativo
Ambiente Qualidade de informações F2
Condições ambientais Idênticas ao teste do material
1,3
de trabalho
Ambiente de laboratório estável
Ambiente moderadamente variável
Ambiente extremamente variável
Cargas Qualidade de informações F3
Modelos analíticos
para carga e tensão
Modelos foram testados e comparados com o
experimento
Modelos representam o sistema com precisão
Modelos representam o sistema com aproximações
Modelos são aproximações rudimentares
Tabela 1 – Materiais dúcteis.
Tal como foi apresentado acima, o FS permite uma determinação em que a dificuldade
foi dividida, tendo o projetista pontos de apoio para tomar sua decisão. Alguns cuidados devem
ser levados em conta. O maior ou menor conhecimento do material e da carga aproximam ou
afastam o FS dos valores mínimos dados. A presença de choque normalmente leva o FS para
1,3
2
3
5
2
3
5
1,3
2
3
5
11

os valores mais altos, em geral de 5 a 8, para os materiais dúcteis e aproximadamente o triplo
para os materiais quebradiços. Ao escolher um FS, o projetista deve verificar se não existe
algum valor imposto por lei ou mandado adotar por normas técnicas. É o caso, por exemplo, de
cabos para elevadores, caldeiras, pontes rolantes, etc. Quando a peça apresenta
descontinuidades ou qualquer fator que mude a distribuição uniforme do esforço, acarretando
concentração de tensões, os valores de FS não devem ser aplicados sem um estudo mais
minucioso. O FS sobre o limite de resistência à fadiga, não pode ser determinado pela
aplicação da expressão acima, sem um análise mais profunda.
Algumas diretrizes para a escolha do fator de segurança em um elemento de máquina
podem ser definidas, baseadas na qualidade e adequação da propriedade do material
disponível, das condições ambientais esperadas comparadas com aquelas nas quais o teste do
material foi realizado e a precisão da carga e análise de tensão dos modelos que foram
desenvolvidos para esta análise. A tabela 1 mostra um conjunto de fatores para materiais
dúcteis que podem ser escolhidos em cada uma das três categorias listadas. O fator de
segurança resultante é tomado como o maior dos três fatores escolhidos.
A ductilidade ou fragilidade do material deve ser considerada. Materiais frágeis são
projetados em relação à resistência à tração ou última, então a falha significa fratura. Materiais
dúcteis sob carga estática são projetados em relação ao limite de resistência ao escoamento e
se espera que mostrem algum sinal de alerta da falha antes que a fratura aconteça a menos
que as fissuras indiquem a possibilidade de falha de fratura mecânica. Por estas razões, o fator
de segurança para materiais frágeis é freqüentemente o dobro do usado para materiais dúcteis
na mesma situação.
Estes métodos de determinação do fator de segurança são apenas diretrizes para um
ponto de partida. Obviamente são sujeitos a julgamento do projetista na seleção dos fatores em
cada categoria. O projetista é o responsável último para obtenção da segurança do projeto.
Fatores de segurança maiores que os tabelados podem ser adequados em algumas
circunstâncias.
1.6 - CONSIDERAÇÕES ECOLÓGICAS
As pessoas dependem no seu ambiente de ar, água, alimentação e materiais para
vestimenta e agasalho. Na sociedade primitiva, os utensílios eram naturalmente recicláveis pelo
uso repetido. Quando foram introduzidas, a natureza tornou-se incapaz de e reciclar estas
periodicamente, interrompendo os ciclos naturais ecológicos. Os sistemas econômicos
permitem os produtos serem fabricados em massa e vendidos a preços que freqüentemente
12

não refletem o custo verdadeiro para a sociedade em termos do consumo de fontes naturais e
perdas ecológicas. Agora que a sociedade está tornando-se mais consciente destes problemas,
exigências na legislação e uma previsão de custos totais mais realística estão tendo um
impacto crescente nos projetos de engenharia. Podem-se colocar como objetivos ecológicos
básicos de um projeto de engenharia mecânica de uma maneira simples:
(1) a utilizar materiais que sejam reciclados economicamente dentro de períodos
razoáveis de tempo sem danos ao ar e poluição à água.
(2) minimizar a taxa de consumo de fontes de energia não recicláveis (tais como fluidos
fósseis) para efeito de conservação destes recursos e minimizar a poluição térmica.
Segue uma lista de pontos para serem considerados:
1. Considere todos os aspectos dos objetivos básicos do projeto envolvido, para verificar
se todos têm sentido. Existem métodos alternativos quando se consideram efeitos
ecológicos? Eles representam a melhor alternativa?
2. Após aceitar os objetivos básicos do projeto, o próximo passo é uma revisão dos
conceitos gerais que envolveram o projeto proposto.
3. Uma consideração importante é o projeto para reciclagem. O ciclo ecológico
completo incluindo a reutilização de dispositivos e conjuntos tornam-se a cada dia que
passa de uma grande importância. A industria automobilística já utiliza estes conceitos.
4. Seleção de materiais com fatores ecológicos em mente.
5. Ao especificar o processamento, fatores como a poluição de todos os tipos, o
consumo de energia, a eficiência do material utilizado são considerações bastante
importantes.
6. Empacotamento é outra importante área para conservação de recursos e redução da
poluição. Uso de materiais reciclados e reutilizáveis para empacotamento são áreas que
devem receber especial atenção.
1.7 - CONSIDERAÇÕES SOCIAIS
As soluções para os problemas em qualquer área da engenharia começam com sua
definição bem clara. O objetivo básico de qualquer projeto de engenharia é melhorar a
qualidade de vida de nossa sociedade. Poderíamos citar vários fatores como saúde física,
materiais bem acabados, segurança ambiental, igualdade de oportunidades; liberdade pessoal
e pacientes especiais. Várias considerações de projeto podem ser incompatíveis até que o
engenheiro consiga uma solução imaginativa e genial.
13

Todos os produtos de engenharia estão intimamente ligados a relações sociais. Grande
parte da população trabalha com organizações cuja função seja a de pesquisa, projeto,
desenvolvimento, fabricação, mercado, e serviço de produtos de engenharia. O esforço pessoal
aliado a fontes naturais entram no sistema de produção gerando produtos e materiais que serão
úteis e adequados. As experiências são de dois tipos: (1) experiência devido a trabalho direto
dos indivíduos, que é construtivo e satisfatório, e (2) conhecimento empírico obtido sobre a
efetiva idade do sistema total, com implicações para a melhoria do seu futuro. Os produtos
acabados servem a todas as pessoas até serem descartados, quando então eles serão fontes
de materiais reciclados de longo ou curto termo e possivelmente poluição. Uma lista de fatores
que constituem um índice de qualidade de vida deve levar em conta fatores psicológicos. As
pessoas exibem um conjunto infinito de variáveis e características. Sabe-se também que, no
entanto existem certas características inerentes e necessidades que permanecem constantes
para todos os indivíduos e presumivelmente em todos os tempos. Seriam assim definidas
como:
1. Sobrevivência
2. Segurança
3. Aceitação Social
4. Status
5. Auto-satisfação
O primeiro nível é á necessidade de imediata sobrevivência-alimentação, roupa,
vestimenta-aqui e agora. O segundo nível envolve segurança, para a própria sobrevivência e no
futuro. O terceiro nível tem a ver com a aceitação social. As pessoas precisam se interagir com
a família, com o grupos sociais, necessitando de amor e aceitação. O quarto nível é o de status,
reconhecimento, onde se deseja Ter o respeito e admiração pelo que se é no seu ambiente de
relacionamentos. O mais alto nível é o de auto satisfação, quando se cresce na direção de
alcançar um potencial completo, e obter como resultado satisfação pena. Em qualquer lugar e
tempo, as pessoas em cidades, estados e nações operam em um ou mais destes níveis,
podendo se pensar em uma escada com estes degraus de uma existência primitiva até alcançar
uma rica qualidade de vida. Vimos nas fotos o planejamento da cidade de Belo Horizonte, local
aprazível, serra do curral, bem planejada, com lindos prédios, arborização, e, no entanto
atualmente com inúmeros problemas e dificuldades de seus habitantes possuírem esta rica
qualidade de vida almejada. Historicamente, a engenharia tem feito esforços dirigidos
primariamente para os níveis 1 e 2. Mais recentemente, uma porcentagem maior de sistemas
de produção tem sido projetados para prover a sociedade com produtos que estejam acima
14

das necessidades básicas de sobrevivência e segurança, pensando na contribuição de
satisfazer as legítimas e maiores necessidades do consumidor.
1.8 - METODOLOGIA P/ RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE COMPONENTES MECÂNICOS
Um método essencial para atacar os problemas de componentes de máquinas é
formular adequadamente e apresentar suas soluções com precisão. A formulação do problema
requer consideração da situação física acoplada a situação matemática. A representação
matemática da situação física é uma descrição ideal ou modelo que se aproxima do problema
físico. O primeiro passo na resolução dos problemas de componentes mecânicos é definir (ou
compreender) o problema. Os próximos passos são para definir ou sintetizar a estrutura,
identificar as interações com o ambiente, realizar hipóteses adequadas pelo uso de lies físicas
pertinentes, relações e regras que parametricamente relacionam a geometria e o
comportamento do componente ou sistema. O último passo é checar os resultados e apresentar
comentários. A maioria das análises utiliza, direta e indiretamente,
• Estática e dinâmica
• Mecânica dos materiais
• Fórmulas (tabelas, diagramas, gráficos)
• Princípio de conservação de massa e energia
O maior objetivo destes livros é auxiliar os estudantes a aprenderem como resolver os
problemas de engenharia que envolva componentes mecânicos.
Um ingrediente básico da sociedade humana é a mudança. Os engenheiros deveriam
procurar entender não somente as necessidades da sociedade de hoje, mas também a direção
e rapidez das mudanças da sociedade que estão acontecendo. Mais ainda, precisamos
entender a influência da tecnologia - e dos elementos de máquinas mecânicos e sistemas de
produção associados em particular-nestas mudanças. Talvez o mais importante objetivo do
futuro engenheiro será o de dar a sociedade sua contribuição que irá promover esta mudança
na direção de uma melhoria no índice de qualidade de vida.
1.9 - UNIDADES
Diversos sistemas de unidades são usados na engenharia. O Sistema Internacional
(SI), o sistema inglês pés-libras-segundo (fps), o sistema americano, polegadas, libras,
segundo(ips) e o sistema métrico pouco usado, centímetro, grama e segundo(cgs).
15

Todos os sistemas foram criados da escolha de três das quantidades da expressão geral
da Segunda lei de Newton :
m.
L
F = 2
t
onde F é a força, m é a massa, L é o comprimento e t é o tempo. As unidades para estas três
variáveis podem ser escolhidas e a outra é então derivada em termos das unidades escolhidas.
As três unidades escolhidas são chamadas de unidades básicas, e as restantes são chamadas
de unidades derivadas.
A maioria da confusão que aparece quando da conversão entre as unidades do sistema
inglês e internacional é devida ao fato de que o sistema internacional utiliza diferente conjunto
de base unitária do sistema inglês. O erro maior é na conversão de unidades de peso (que são
as força libra) para unidade de massa. A relação entre massa e peso é
M =
onde gc que é a aceleração gravitacional é igual a 32,17 pés/segundo ao quadrado o que
equivale a 386 polegadas/segundo ao quadrado. Quando se utiliza todos os comprimentos em
polegadas e utiliza gc=32,17 pés/Seg 2 para computar massa, incorre-se em um erro de um fator
12 nos resultados. Pior ainda é quando o estudante esquece de converter o peso para massa.
Os resultados deste cálculo terão um erro de 32 ou 386, suficiente para afundar um navio ou
levar um avião a espatifar-se.
P
gc
O valor da massa é necessário na Segunda lei de Newton para determinar forças devido
a acelerações. As unidades de massa na equação F=m.a podem ser g, kg dependendo do
sistema a ser utilizado. Então no sistema inglês, o peso W em lbf deve ser dividido pela
aceleração devido a gravidade gc como indicado para obtenção da quantidade de massa pela
equação F= ma.
Ainda maior confusão é feita usando a unidade de libra-massa. Esta unidade é freqüentemente
usada em fluido dinâmico e termodinâmico, e aparece devido ao uso da forma diferente da
equação de Newton:
m.
a
F =
gc
onde m=massa em libramassa; a =aceleração e gc =constante gravitacional. Na terra, o valor
de massa de um objeto medido em libra-massa é numericamente igual ao seu peso em libra-
força. Contudo, o estudante deve se lembrar de dividir o valor de m em libra-massa por gc
16

quando usar a esta forma da equação de Newton. Então libra-massa irá ser dividida ou por
32,17 ou 386 quando se calcula a força dinâmica.
O sistema internacional (SI) requer que os comprimentos sejam medidos em metros,
massa em kilogramas (kg), e o tempo em segundos (sec). A força é derivada da lei de Newton
e a unidade é:
kg m/sec 2 = newtons(N)
No sistema SI, há distintos nomes para massa e força que ajudam a aliviar a confusão. Quando
se utiliza a conversão do SI para o sistema inglês, deve-se estar alerta para o fato de que a
força se converte de Newtons (N) para libras (lb). A constante gravitacional no sistema SI é
aproximadamente de 9,81 m/sec2.
Neste livro pretende-se usar preferencialmente o sistema internacional (SI), porém
considerando que vários elementos de máquinas usados no Brasil são fabricados no exterior,
principalmente nos Estados Unidos da América do Norte, o sistema inglês também será usado
uma vez que os alunos precisam se familiarizar com os dois sistemas. Assim por exemplo,
parafusos de 1/2 polegada de diâmetro, cordão de solda de 1/4 de polegada de espessura,
correias de 60 polegadas de comprimento, cabos de aço de 1 polegada de diâmetro são
bastante usados no meio comercial e de engenharia. Da mesma forma elementos como
engrenagens cilíndricas também usam o sistema inglês e internacional. Já os equipamentos
adquiridos na Alemanha, usam a norma DIN, em que o sistema é o internacional.
O estudante de engenharia deverá tomar precaução e sempre checar as unidades em
qualquer equação escrita para a solução de um problema técnico, seja na universidade seja na
prática profissional. Você poderá estar salvando uma vida ao fazer isto.
17

1.10 - COMENTÁRIOS SOBRE OS PROGRAMAS COMPUTACIONAIS
Este trabalho ora apresentado, fruto de estudos e prática profissional ao longo de 30
anos de atividades na área de engenharia, contempla aos leitores com vários programas
computacionais que foram desenvolvidos e orientados para os alunos dos cursos de elementos
de máquinas e projeto de máquinas. Alguns destes programas estão citados os nomes dos
alunos que trabalharam sobre nossa orientação. São programas que complementam a parte
teórica conceitual e, portanto permitem uma análise de exercícios com rapidez e facilidade. É
claro que algum pequeno erro possa existir nestes programas, porém todos checados e
funcionam perfeitamente dentro da moderna engenharia mecânica. Sugestões e comentários
serão bem vindos para que em outra edição possamos ainda mais melhorar e aperfeiçoar o
trabalho original.
1.11 - CONFIABILIDADE DO PROJETO MECÂNICO
Os projetistas de componentes mecânicos ou estruturais necessitam de métodos de
cálculo que permitam avaliar, de uma forma mais racional, a probabilidade de falha de um
componente ao longo da vida operacional prevista para o mesmo. Os métodos probabilísticos,
baseados em conceitos de confiabilidade, tem sido empregado para este fim, sendo estes
centrados na formulação de funções de desempenho, as quais expressam um modo de falha
específico do componente, sendo as variáveis desta consideradas de natureza aleatória. Estes
métodos permitem calcular a probabilidade desta função assumir valores inferiores a zero,
representando a falha do componente.
Neste trabalho apresentam-se os fundamentos destes métodos probabilísticos, bem
como se aplica os mesmos para definir a probabilidade de falha de componentes mecânicos e
estruturais, considerando como modos de falha o escoamento e a fadiga.
Adicionalmente avalia-se a relação entre a probabilidade de falha e o coeficiente de
segurança usualmente empregado nos tradicionais Critérios de Projeto de componentes
mecânicos e estruturais.
O emprego de métodos probabilísticos no dimensionamento de elementos estruturais ou
componentes mecânicos tem como objetivo projetar um componente cuja probabilidade de
falha, ao longo da vida operacional, tenha uma magnitude conhecida, podendo esta ser
controlada ao longo do processo de síntese estrutural. Estes métodos probabilísticos diferem
dos tradicionais Critérios de Projeto de componentes mecânicos ou estruturais, os quais são
18

aseados no emprego de coeficientes de segurança, que não informam, de forma explícita a
probabilidade de falha que está sendo considerada no dimensionamento do componente.
Há portanto uma crescente importância que os projetistas estruturais tem dado ao uso
de métodos probabilísticos no projeto de estruturas de grande responsabilidade, em função da
perda de vidas humanas, prejuízos econômicos ou mesmo danos ambientais de grande monta
associadas à falha destas estruturas.
Muitos fenômenos observados na natureza apresentam um certo grau de incerteza, ou
seja, os resultados da ocorrência dos mesmos não podem ser previstos com exatidão. Para
estes fenômenos físicos, caso sejam executadas avaliações dos resultados obtidos com a
realização de uma seqüência de ensaios que simulem a ocorrência de um fenômeno específico,
verifica-se a variabilidade dos mesmos. Dentre estes resultados, observa-se que alguns
apresentam uma maior freqüência de ocorrência que outros. Esta variabilidade nos resultados
obtidos, quando da execução de experimentos que representam um fenômeno físico, é
denominada de incerteza. O projeto de muitos sistemas de engenharia utiliza como conceito
básico para a operação segura do mesmo a garantia de que a sua capacidade ou resistência
seja superior à demanda dele exigida.
No campo da engenharia de estruturas ou da engenharia mecânica, a capacidade é
representada pela resistência mecânica de um componente ou conjunto de componentes,
enquanto que a demanda está relacionada com a ação de uma combinação de cargas atuantes
sobre os membros estruturais que compõem o conjunto em estudo. Um projeto estrutural ou
mecânico é considerado apto para operação quando a sua resistência excede a demanda
representada pela ação do carregamento externo. No entanto, a resistência mecânica e a ação
do carregamento externo são consideradas variáveis aleatórias, ou seja, apresentam uma
variabilidade na sua magnitude, caracterizando a existência de incertezas associadas com os
valores da resistência mecânica e/ou com a ação do carregamento externo, que afetam a
possibilidade do sistema estrutural ou mecânico manter a sua capacidade operacional ao longo
da vida útil definida para o mesmo.
Considerando as incertezas associadas com as variáveis acima citadas, o desempenho
de uma estrutura ou componente mecânico, ao longo da sua vida operacional, não pode ser
garantido pelos projetistas estruturais, havendo uma probabilidade não nula da ocorrência de
falha ao longo desta vida, em conformidade com um critério de desempenho específico. A
possibilidade da estrutura operar satisfatoriamente, em conformidade com as condições de
projeto, ao longo de sua vida útil, calculada como complemento da probabilidade de falha, é
definida como Confiabilidade. O uso dos conceitos de confiabilidade na análise e síntese de
19

componentes ou sistemas mecânicos e estruturais tem como objetivo maximizar os níveis de
segurança estrutural e minimizar os custos de projeto e fabricação, buscando-se uma avaliação
probabilística da possibilidade de ocorrência de falha estrutural, ao invés da utilização dos
tradicionais coeficientes de segurança empregados nos Critérios de Projeto. Estes coeficientes,
definidos em função da experiência adquirida no passado, tanto no projeto como na operação
de alguns tipos de estruturas ou componentes mecânicos, embora facilitem a tarefa do
projetista quando da execução da síntese estrutural, não permitem uma avaliação da
probabilidade de falha que está sendo admitida pelo Critério de Projeto.
O uso de Critérios de Projeto baseados em análises probabilísticas permite a clara
definição da probabilidade de falha de um sistema estrutural, bem como propicia a possibilidade
de estudo da influência de cada variável aleatória sobre a segurança do sistema. Mesmo com a
introdução de considerações probabilísticas, os Critérios de Projeto devem considerar a opinião
de especialistas, com grande experiência na execução de projetos estruturais ou mecânicos,
principalmente quando da definição das dispersões associadas às variáveis aleatórias e para
seleção das formulações matemáticas utilizadas para modelar um mecanismo específico de
falha.
De uma forma simplificada, o problema da definição da possibilidade de falha de um
componente estrutural pode ser analisado com o emprego de um modelo de comparação entre
uma oferta e uma demanda. A oferta é a resistência mecânica do componente, com respeito a
um modo de falha específico, e a demanda é a combinação de efeitos associados aos
carregamentos externos que agem sobre o mesmo ao longo de sua vida operacional. A falha do
componente estrutural ocorre quando a resistência mecânica tem magnitude inferior à
magnitude dos efeitos gerados pela ação do carregamento externo. O problema básico do
projetista estrutural é posicionar as funções densidade de probabilidade associadas com a
resistência mecânica e com a solicitação externa de forma a minimizar a probabilidade de falha,
controlando as dimensões e o material do componente estrutural. Os tradicionais Critérios de
Projeto empregados no dimensionamento de componentes mecânicos ou estruturais
consideram que tanto a resistência mecânica como a solicitação externa são representadas por
valores determinísticos, denominados de valores nominais. A resistência mecânica nominal é
um valor conservador, afastado do valor médio por um número inteiro de desvios padrões,
usualmente dois ou três, de forma a obter-se um valor inferior ao valor médio, minimizando a
resistência mecânica para as condições de projeto. A solicitação externa nominal tem
magnitude superior ao valor médio, sendo este afastado do mesmo por um número inteiro de
desvios padrões, maximizando a solicitação externa. O projeto estrutural é executado de forma
20

a afastar a resistência nominal da solicitação nominal, limitando esta última a uma fração da
resistência mecânica nominal, com o emprego do denominado fator de segurança, ou seja,
minimiza a possibilidade da solicitação externa superar a resistência mecânica. Este método,
tradicionalmente conhecido como “Método das Tensões Admissíveis”, limita a solicitação
máxima atuante no componente estrutural, expressa em termos de uma tensão admissível,
como uma porcentagem da resistência mecânica do material empregado na sua fabricação,
devendo o arranjo estrutural e as dimensões dos elementos de máquinas, garantir que, sob a
ação do carregamento externo considerado no projeto, as tensões atuantes nestes elementos
tenham, no máximo, a mesma magnitude da tensão admissível. Dessa forma, o
conservadorismo e a segurança introduzidos no projeto estrutural, com o emprego dos
coeficientes de segurança, são dependentes das incertezas associadas com a resistência
mecânica e com a solicitação externa, bem como da forma com que são definidos os valores
nominais das mesmas.
Usualmente, estes valores nominais são selecionados a partir da análise da dispersão
associada com a resistência mecânica e com a solicitação externa, para uma família de
estruturas, tais como estruturas navais, aeronáuticas e mecânicas, utilizando a experiência na
construção e operação destas estruturas, e a opinião de consultores especialistas.
A seleção do fator de segurança segue procedimentos similares aos acima descritos,
empregados para definição dos valores nominais. O mesmo objetivo dos tradicionais Critérios
de Projeto, baseados no uso do fator ou coeficiente de segurança, o qual é minimizar a
sobreposição entre as funções densidade de probabilidade da resistência mecânica e da
solicitação externa, pode ser obtido de uma forma que se baseia no cálculo da probabilidade da
resistência mecânica ser superada pela solicitação externa, denominada neste texto de
probabilidade de falha, sendo esta dependente das incertezas associadas com as variáveis
acima citadas. Os Critérios de Projeto baseados nos conceitos de confiabilidade tem por
objetivo minimizar a probabilidade de falha, considerando como variáveis aleatórias à
resistência mecânica e a solicitação externa, utilizando as dimensões do componente estrutural
e o material do mesmo como elementos que influenciam a magnitude e a variabilidade das
variáveis aleatórias. A utilização dos conceitos de confiabilidade na análise e/ou síntese de
componentes mecânicos ou estruturais apresenta algumas peculiaridades.
21

1.12 - FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DA CONFIABILIDADE ESTRUTURAL
O cálculo da confiabilidade de um componente mecânico ou estrutural está associado
com o desenvolvimento de uma função de desempenho que representa a formulação
matemática empregada para modelar um dado mecanismo de falha que o componente em
estudo está sujeito a apresentar. De uma forma genérica, a função de desempenho para um
componente mecânico ou estrutural pode ser definida pela relação entre a resistência mecânica
e a solicitação externa, usualmente expressa em termos de tensões induzidas no componente
pela ação do carregamento externo.
A função de desempenho (Z) é usualmente expressa pela relação:
Z = R − S
onde R representa a resistência mecânica do material do componente e S representa as
tensões induzidas pela ação do carregamento externo, ou simplesmente solicitação.
A falha do componente ocorre quando a solicitação ultrapassa a capacidade de
resistência do componente, ou seja, quando a função de desempenho tem magnitude inferior a
zero.
Para definição da confiabilidade do componente mecânico ou estrutural, considera-se
que tanto a resistência mecânica como a solicitação são variáveis aleatórias, e a confiabilidade
é
R c
( Z ≥ ) = P(
R ≥ S )
= P 0
representada pela probabilidade da resistência mecânica ser superior à solicitação, ou seja
onde RC probabilidade de sobrevivência do componente, ou a sua confiabilidade.
Como complemento da probabilidade de sobrevivência tem-se a probabilidade de falha,
a qual é definida pela seguinte relação:
onde pf é a probabilidade de falha.
R f
( Z ≤ ) = P(
R ≤ S )
= P 0
Baseando-se nas formulações apresentadas nas equações acima, verifica-se que, para
o cálculo da probabilidade de falha e da confiabilidade, necessita-se do conhecimento das
funções densidade de probabilidade da resistência mecânica e da solicitação, podendo ser
executado o cálculo analítico da probabilidade de falha através da relação:
Pf ∞
= ∫ Fr
0
s)
f s
( ( s)
ds
sendo FR(.) a função distribuição acumulada da resistência mecânica.
22

A confiabilidade é definida como o complemento da probabilidade de falha, ou seja:
R = 1 − p
c
A execução da integral constante da equação pode ser complexa, dependendo dos tipos
de funções densidade de probabilidade empregados na representação da resistência mecânica
e da solicitação externa. Entretanto, este não é o maior empecilho para a aplicação das
equações em referência. Na maioria dos problemas mecânicos ou estruturais, a solicitação,
expressa como as tensões atuantes na estrutura devido à ação do carregamento externo, é
calculada como a relação entre propriedades geométricas do componente e o carregamento
externo, sendo que as primeiras também tem natureza probabilística, fato que dificulta a
avaliação da função densidade de probabilidade da solicitação. A probabilidade de falha
calculada em conformidade coma formulação apresentada, para uma família de estruturas
projetadas conforme um Critério de Projeto específico, o qual emprega um coeficiente de
segurança pré-definido, permite a verificação de qual é a probabilidade de falha admissível
neste Critério de Projeto, expressa em termos do uso do coeficiente de segurança e dos valores
nominais da resistência mecânica e da solicitação. A obtenção desta correlação torna-se mais
complexa quanto maior for o número de variáveis necessárias para o cálculo da função
densidade de probabilidade da solicitação. Para funções de desempenho de formulações
lineares, a determinação da probabilidade de falha pode ser simplificada, caso as funções
densidade de probabilidade da resistência mecânica e da solicitação sejam do tipo normal e as
variáveis sejam consideradas independentes. Outras formulações, para outras combinações de
funções densidade de probabilidade, podem ser obtidas em literatura especializada na área de
confiabilidade estrutural.
f
23

CAPÍTULO 02 - ANÁLISE DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES
2.1 - INTRODUÇÃO
Os conceitos mais fundamentais no dimensionamento de elementos de máquinas são a
tensão e a deformação. Conhecidas as cargas atuantes nos elementos de máquinas, pode-se
determinar as tensões resultantes. Neste capítulo relacionamos as tensões atuantes no corpo
como um todo, sendo distintas das tensões superficiais ou tensões de contato. As tensões
resultantes de carregamento estático serão analisadas neste capítulo.
2.2 - TENSÃO
A tensão representa a intensidade da força de reação em um ponto do corpo submetido
a cargas de serviço, condições de fabricação e variações de temperatura. A tensão é medida
como a força atuante por unidade de área de um plano.
Tensão = força / área
σ
xx =
→
ΔPx
lim
ΔA 0 ΔA
∆P – Vetor força que atua sobre o elemento de área ∆A
τ
Figura 1 – Cargas atuantes em elemento infinitesimal
xy = lim
ΔA→0 Δ
P y
ΔA
xz =
→
ΔPz
lim
ΔA 0 ΔA
σxx, τxy, τxz são as componentes de tensão associadas ao plano x do ponto O
σ - tensão normal: tensão perpendicular ao plano de análise
τ - tensão de cisalhamento: tensão que atua paralelamente ao plano.
τ
Em uma peça submetida a algumas forças, a tensão é geralmente distribuída como uma
função continuamente variável dentro do contínuo do material. Cada elemento infinitesimal do
material pode experimentar diferentes tensões ao mesmo tempo. Deve-se olhar as tensões
como atuando em pequenos elementos dentro da peça.
24

A figura abaixo mostra um cubo infinitesimal do material da peça que é submetida a
algumas tensões tridimensionais. As faces deste cubo infinitesimal são paralelas a um conjunto
de eixos xyz tomados em uma orientação conveniente. A orientação de cada face é definida
pelo vetor superficial normal como mostra a figura. A face x tem sua superfície normal paralela
aos eixos x, etc. Note que há duas faces x, duas faces y e duas faces z, uma de cada sendo
positiva e uma negativa como definida pelo sentido de seu vetor normal à superfície. Os nove
componentes de tensão atuando nas superfícies deste elemento infinitesimal estão mostrados
nas figuras 3 e 4. Os componentes σxx , σyy , σzz são as tensões normais, assim chamadas
porque atuam respectivamente nas direções normais às superfícies x, y e z do cubo. As
componentes τxy , τxz , por exemplo são as tensões cisalhantes que atuam na face x e cujas
direções de atuação são paralelas aos eixos y e z , respectivamente
Figura 2 - Componentes de tensão sobre um elemento infinitesimal tridimensional
Estes elementos infinitesimais são modelados como cubos. Os componentes de tensão
são considerados atuando nas faces destes cubos em duas diferentes maneias. Tensões
normais atuam perpendicularmente à face do cubo e tendem a tracioná-las (tensão normal de
tração) ou comprimi-las (tensão normal de compressão). Tensões cisalhantes atuam
paralelamente às faces dos cubos em pares e nas faces opostas, que tendem a distorcer o
cubo em um formato romboidal. Estas componentes de tensão normal e cisalhamento atuantes
no elemento infinitesimal compõem o tensor.
Tensão é um tensor de segunda ordem e requer nove valores ou componentes para
descrevê-lo no estado tridimensional. Pode ser expresso por uma matriz:
25

Onde a notação para cada componente de tensão contem três elementos, a magnitude
(σ ou τ), a direção da normal à superfície de referencia (primeiro subscrito) e a direção da ação
(segundo subscrito). Utiliza-se σ para tensões normais e τ para tensões cisalhantes. Muitos
elementos nas máquinas são sujeitos a um estado de tensão tridimensional e requer o tensor
tensão.
Figura 3 – Componentes de tensão em um estado bidimensional
Em alguns casos, são usados como estado de tensão bidimensional (figura 2.2b)
O tensor tensão para o estado bidimensional é:
Um elemento infinitesimal de um corpo (dx) (dy) deve estar em equilíbrio. Portanto:
de onde podemos mostrar que:
∑ M o = 0 ∑ F y = 0 ∑ F x = 0
τ = τ
xy
ou seja, para um ponto sob estado plano de tensões as componentes cisalhantes em planos
mutuamente perpendiculares devem ser iguais. De fato, pode-se mostrar que isto é verdade
para um estado mais geral de tensões, ou seja:
yx
26

τ = τ τ yz = τ zy
2.3 - TENSÕES EM MEMBROS COM CARREGAMENTO AXIAL
2.3.1 - CARGA AXIAL
extremidades.
xz
zx
Seja a barra, considerada sem peso e em equilíbrio, sujeita a duas forças F em suas
2.3.2 - CARGA AXIAL - TENSÃO DE APOIO
P
σ = Tensão Normal (tração)
A
Figura 4 - Tensão normal (tração)
P
σ = Tensão de Apoio (compressão)
A
Figura 5 -Tensão de compressão
27

2.3.3 - TENSÃO MÉDIA DE CISALHAMENTO
a) Cisalhamento simples:
b) Rebite:
c) Cisalhamento duplo:
Figura 6 - Tensão de cisalhamento
Figura 7 - Cisalhamento simples
Figura 8 - Cisalhamento de rebite
Figura 9 - cisalhamento duplo
τ
τ
m
m
=
=
V
A
V
A
=
=
P
A
P
2A
28

2.4 - TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO
2.4.1 - EQUAÇÕES PARA TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO PLANA
Uma vez determinadas às tensões normais σx e σy e a tensão de cisalhamento τxy, é
possível determinar as tensões normais e de cisalhamento em qualquer plano inclinado em um
dado estado de tensão.
Aplicando as equações de equilíbrio estático:
∑ F x'
= 0
Figura 10a - Análise de tensões em um plano qualquer
Figura 10b - Análise de tensões em um plano qualquer
σ −σ dA.
cosθ.
cosθ
−τ
dA.
cosθ.
senθ
−σ
dA.
senθ.
senθ
−τ
dA.
senθ.
cosθ
= 0
x ' dA x
xy
y
xy
2
2
σ = σ . cos θ + σ . θ + 2.
τ . cosθ.
senθ
x '
Sabendo que:
x
y sen xy
29

2
2
2
2
sen 2θ = 2.
senθ.
cosθ
, cos 2θ
= cos θ − sen θ , 1 = cos θ + sen θ
Assim:
cos 2
1+
cos2θ
θ = ,
2
2 1−
cos2θ
sen θ =
2
Substituindo as expressões de sen 2 θ, cos 2 θ e sen 2θ:
1+
cos 2θ
1−
cos 2θ
σ x ' = σ x + σ y + τ xysen2θ
2
2
σ x + σ y σ x − σ y
σ x ' = + cos 2θ
+ τ xysen2θ
2 2
∑ F y = 0
τ + σ dAcosθ.
senθ
−τ
dA.
cosθ.
cosθ
−σ
dA.
senθ.
cosθ
+ τ dA.
senθ.
senθ
= 0
x ' y'dA
x
xy
y
xy
⎛σ x −σ
y ⎞
τ x' y'
= −
⎜ sen 2θ
+ τ xy cos2θ
2 ⎟
⎝ ⎠
2.4.2 - CÍRCULO DE MOHR
Sejam as equações de transformação de tensão:
σ x + σ y σ x −σ
y
σ x ' = − = cos2θ
+ τ xysen2θ
2 2
σ x −σ
y
τ xy = − sen 2θ
+ τ xy cos2θ
2
Elevando ao quadrado ambas as equações e somando-as tem-se:
2
⎛ σ x + σ y ⎞ 2 ⎛σ x −σ
y ⎞
⎜
⎜σ
x'
−
τ x'
y'
+ τ
2 ⎟ + =
⎜
2 ⎟
⎝
⎠ ⎝ ⎠
2
2
xy
Esta equação pode ser de maneira mais compacta:
2 2 2
( σ − ) + τ = R
x '
a x'
y'
A equação acima é a equação de um circulo de raio
σ x + σ y
a =
em 2 e b=0.
⎛σ x −σ
y ⎞
R =
⎜ + τ
2 ⎟
⎝ ⎠
2
2
xy
e o centro
30

O circulo construído desta maneira é chamado círculo de Mohr, onde a ordenada de um
ponto sobre o circulo é a tensão de cisalhamento τxy e abscissa é a tensão normal σx.
CONCLUSÕES IMPORTANTES
Figura 11 - Círculo de Mohr para tensões
• A maior tensão normal possível é σ1 e a menor é σ2. Nestes planos não existem tensão
de cisalhamento.
• A maior tensão de cisalhamento τmax é igual ao raio do circulo e uma tensão normal de
σ + σ
x
2
y
atua em cada um planos de máxima e mínima tensão de cisalhamento.
• Se σ1==σ2, o circulo de Mohr se degenera em um ponto, e não se desenvolvem tensão
de cisalhamento no plano xy.
• Se σx+σy=0, o centro do circulo de Mohr coincide com a origem das coordenadas σ - τ, e
existe o estado de cisalhamento puro.
• Se soma das tensão normais em quaisquer dos planos mutuamente perpendiculares é
constante: σx+σy=σ1+σ2=σx’+σy’= constante.
• Os plano de tensão máxima ou mínima formam ângulos de 45º com os planos das
tensões principais.
31

2.4.3 - CONSTRUÇÃO DO CÍRCULO DE MOHR PARA TENSÕES
Figura 12 - Elemento submetido a tensões σx = - 20 MPa (20 x 10 6 N/m 2 ) , σy = 90 MPa , σxy = 60 Mpa
Procedimento
1- Determinar o centro do circulo (a,b):
σ x + σ y − 20 + 90
a = = = 35Mpa
2 2
,
2- Determinar o Raio
⎛ σ x + σ y ⎞ 2
R =
⎜ + τ xy
2 ⎟ →
⎝ ⎠
3- Localizar o ponto A(-20,60)
2
b = 0
2
⎛ − 20 − 90 ⎞ 2
R = ⎜ ⎟ + 60 = 81,
4Mpa
⎝ 2 ⎠
Figura 13 – Círculo de Mohr
32

4- Tensões principais:
σ = 35 + 81,
4 = 116,
4Mpa
, σ = 35 − 81,
4 = −46,
4Mpa
1
5- Orientações das tensões principais:
60
. 2
47,
7º
20 35
' ⎛ ⎞
''
θ 1 = arc tag ⎜ ⎟ = , 1 25,
85º
⎝ + ⎠
= θ
2 '
''
''
''
2θ
1 + 2θ
2 = 180º
→ 2 66,
15º
= θ
6- Tensão máxima de cisalhamento:
τ
max
= R = 81,
4Mpa
2
Figura 14 – Inclinação das tensões atuantes
7- Orientação da tensão máxima de cisalhamento:
''
''
2θ
1 + 2θ
2 = 90º
→ 2 21,
15º
' '
2 = θ
Figura 15 - Posição do elemento submetido a tensões máximas de cisalhamento
33

2.4.4 - TENSÕES PRINCIPAIS PARA O ESTADO GERAL DE TENSÕES
Considere um estado de tensão tridimensional e um elemento infinitesimal tetraédrico.
Sobre o plano obliquo ABC surge a tensão principal σn, paralela ao vetor normal unitário.
Figura 16 - Elemento infinitesimal tetraédrico submetido a estado tridimensional de tensões
O vetor é identificado pelos seus cosenos diretores 1, m e n, onde cos α = 1, cos β = m,
cos γ = n. Da figura nota-se que: 1 2 +m 2 +n 2 = 1.
Figura 17 – Vetor unitário
O plano oblíquo tem área dA e as projeções desta área nas direções x, y e z são: dA.L,
dA.m e dA.n. Impondo o equilíbrio estático nas direções x, y e z, temos:
∑ F x = 0 , ( σ ndA)
. 1−
σ xdA.
1−
τ xydA.
m −τ
xzdA.
n = 0
∑ F y = 0 , ( σ ndA)
. m − σ xdA.
m −τ
xydA.
n −τ
xzdA.
1 = 0
∑ F z = 0 , ( σ ndA)
n −σ 2 dA.
n −τ
yzdA.
m = 0
Simplificando e reagrupando em forma matricial, temos:
34

Como visto anteriormente, 1 2 +m 2 +n 2 = 1, os cosenos diretores são diferentes de zero.
Logo, o sistema terá uma solução não trivial quando o determinante da matriz de coeficientes
de 1,m e n for nulo
A expansão do determinante fornece um polinômio característico do tipo:
onde: I = σ x + σ y + σ z
σ
σ σ σ III
3 2
n − Iσ n + IIσ
n − σ
2 ( τ xy
2
+ τ yz +
2 )
2 ( σ τ
2
+ σ τ + σ
2 )
II = ( σ xσ
y + σ yσ
z + σ zσ
x ) − τ xz
σ
III = σ xσ
yσ
z + 2. τ xyτ
yzτ
xz − x yz y xz zτ
xy
σ
As equações acima são invariantes, independentemente do plano oblíquo que é tomado
no tetraedro. Logo, as raízes do polinômio característico já as tensões principais.
= 0
2.4.5 - CÍRCULO DE MOHR PARA O ESTADO GERAL DE TENSÕES
Qualquer estado de tensão tridimensional pode ser transformado em três tensões
principais que atuam em três direções ortogonais.
Figura 18 - Elemento submetido a estado tridimensional de tensões
35

Admitindo que σ1>σ2>σ3>0.
2.5 – ANÁLISE DE DEFORMAÇÃO
Figura 19 - Círculo de Mohr para o estado tridimensional de tensões
Um corpo sólido se deforma quando sujeito a mudanças de temperatura ou a uma carga
externa, como mostrado abaixo.
Figura 20 - Corpo submetido à tração pura
Se L0 é o comprimento inicial e L é o comprimento final do corpo sob tração, o
alongamento é ∆L = L – L0 e o alongamento por unidade de comprimento, chamado
deformação linear, é definido como:
L
dL ΔL
ε = ∫ =
L
0 0 L0
Se o corpo se deforma em três direções ortogonais x,y,z e z e u, v, e w forem as três
componentes do deslocamento nestas direções, as deformações lineares são respectivamente:
36

Além da deformação linear, um corpo pode sofrer uma deformação angular, como
mostrado abaixo.
Figura 21 - Análise de deformação angular em elemento infinitesimal
Assim, para pequenas mudanças de ângulo, a deformação angular associada as
coordenadas x e y é definida por:
Se o corpo se deforma em mais planos ortogonais xz e yz, as deformações angulares
nestes planos são:
2.6 - LEIS DE TENSÃO - DEFORMAÇÃO LINEAR E ENERGIA DE DEFORMAÇÃO
2.6.1 - COEFICIENTE DE POISSON PARA MATERIAIS ISOTRÓPICOS
Seja o corpo abaixo submetido a uma força axial.
37

Deformação axial
Deformação lateral
Figura 22 - Peça submetida a carregamento axial
A relação entre o valor da deformação lateral e a deformação axial é conhecida como
coeficiente de Poisson:
2.6.2 - LEI DE HOOKE PARA MATERIAIS ISOTRÓPICOS (ESTADO TRIAXIAL DE
TENSÕES)
Seja um corpo sujeito a um estado triaxial de tensões σx, σy e σz.
Figura 23 - Corpo sujeito a um estado triaxial de tensões
O estado triaxial de tensões pode ser considerado como a superposição de três estados
de tensão uniaxial analisados separadamente:
38

1 – Deformações devido a σx:
2 – Deformações devido a σy:
3 – Deformações devido a σz:
Superpondo todas as deformações, temos:
Da Lei de Hooke, σ = E ε é o modulo de elasticidade do material, as deformações devido
à σx, σy e σz são:
- tensão são:
Para o caso do corpo ser submetido a esforços de cisalhamento as relações deformação
O módulo de cisalhamento G está relacionado a E e ν por:
2.7 - EXTENSOMETRIA
A extensometria é uma técnica utilizada para a análise experimental de tensões e
deformações em estruturas mecânicas e de alvenaria. Estas estruturas apresentam
deformações sob carregamento ou sob efeito da temperatura. É importante conhecer a
extensão destas deformações e muitas vezes precisam ser monitoradas constantemente, o que
pode ser feito de diversas formas. Algumas são o relógio comparador, o detector eletrônico de
39

deslocamento, por camada frágil, por foto-elasticidade e por strain-gauge. Dentre todas, o
strain-gauge, do inglês medidor de deformação, é um dos mais versáteis métodos.
Os extensômetros elétricos são largamente utilizados para medir deformações em
estruturas como pontes, máquinas, locomotivas, navios e ainda associados a transdutores para
medir pressão, tensão, força e aceleração. São ainda associados a outros instrumentos de
medidas para uso desde análise experimental de tensão até investigação e práticas médicas e
cirúrgicas.
2.7.1 - EXTENSÔMETRO ELÉTRICO (STRAIN-GAUGE)
Em 1856 William Thomson, ou conhecido como Lord Kelvin, apresentou à Royal
Philosophical Society de Londres os resultados de um experimento envolvendo a resistência
elétrica do cobre e ferro quando submetidos a estresse. As observações de Kelvin foram
consistentes com a relação entre resistência elétrica e algumas propriedades físicas de um
condutor, segundo a equação
L
R
A
ρ
=
onde R é a resistência elétrica, ρ é a constante de condutividade, L é o comprimento do
condutor e A é a área da seção transversal deste. A resistência é diretamente proporcional ao
comprimento e inversamente proporcional à área da seção transversal.
Quando uma barra metálica é esticada, ela sofre um alongamento em seu comprimento
e também uma diminuição do seu volume, resultado da diminuição da área da seção
transversal desta barra. A resistência elétrica da metálica aumenta quando esta barra é
esticada, também resultado da diminuição da área da seção transversal e do aumento do
comprimento da barra. Da mesma maneira, quando a barra é comprimida, a resistência diminui
devido ao aumento da área transversal e diminuição do comprimento.
A relação entre comprimento e dimensão da seção transversal pode ser expressa
através do coeficiente de Poisson:
dD
−
D ε L
ν =
=
dL ε a
L
40

Figura 24 - Extensômetro de fio
onde ν(ni) é o coeficiente de Poisson, D é a dimensão da seção transversal, L é o
comprimento, εL (epslon) é a deformação lateral e εa é a deformação axial. Esta relação
demonstra basicamente que, quando o comprimento diminui para um material (compressão), a
seção transversal aumenta, e vice-versa para um aumento no comprimento (tensão) do
material.
Experimentos realizados pelo norte-americano P. W. Bridgman em 1923 mostraram
algumas aplicações práticas da descoberta de Kelvin para realização de medidas, mas foi a
partir de 1930 que estas tomaram impulso. É creditado a Roy Carlson uma das primeiras
utilizações de um fio resistivo para medições de tensões em 1931. Entre 1937 e 1939, Edward
Simmons (Califórnia Institute of Technology, - Pasadena, CA, USA) e Arthur Ruge
(Massachusetts Institute of Technology - Cambridge, MA, USA) trabalhando
independentemente um do outro, utilizaram pela primeira vez fios metálicos colados à superfície
de um corpo de prova para medida de deformações. Esta experiência deu origem aos
extensômetros que são utilizados atualmente. A Figura 2.21 mostra um a construção geral de
um extensômetro à base de fio colado.
A partir de 1950, o processo de fabricação de extensômetros adotou o método de
manufaturar finas folhas ou lâminas contendo um labirinto ou grade metálica, colado a um
suporte flexível feito geralmente de epóxi. As técnicas de fabricação de circuitos impressos são
usadas na confecção dessas lâminas, que podem ter configurações bastante variadas e
intrincadas, como mostra a Figura 25.
Figura 25 Tipos de extensômetros elétricos.
41

Os extensômetros elétricos têm as seguintes características gerais, que denotam sua
importância e alto uso:
• alta precisão de medida;
• baixo custo;
• excelente linearidade;
• excelente resposta dinâmica;
• fácil instalação;
• pode ser imerso em água ou em atmosfera de gases corrosivos (com tratamento
adequado);
• possibilita realizar medidas à distância.
A base do extensômetro pode ser de: poliamida, epóxi, fibra de vidro reforçada com resina
fenólica, baquelita, poliéster, papel e outros. O elemento resistivo pode ser confeccionado de
ligas metálicas tais como Constantan, Advance, Nicromo V, Karma, Níquel, Isoelatic e outros. O
extensômetro pode ser confeccionado também com elemento semicondutor, que consiste
basicamente de um pequeno e finíssimo filamento de cristal de silício que é geralmente
montado em suporte de epóxi ou fenólico.
As características principais dos extensômetros elétricos de semicondutores são sua grande
capacidade de variação de resistência em função da deformação e seu alto valor do fator do
extensômetro, que é de aproximadamente 150, podendo ser positivo ou negativo. Para os
extensômetros metálicos a maior variação de resistência é devida às variações dimensionais,
enquanto que nos de semicondutor a variação é mais atribuída ao efeito piezo-resistivo.
Para um extensômetro ideal, o fator de extensômetro deveria ser uma constante, e de maneira
geral os extensômetros metálicos possuem o fator de extensômetro que podem ser
considerados como tal. Nos extensômetros semicondutores, entretanto, o fator do extensômetro
varia com a deformação, numa relação não linear. Isto dificulta quando da interpretação das
leituras desses dispositivos. Entretanto é possível se obter circuitos eletrônicos que linearizem
esses efeitos. Atualmente, os extensômetros semicondutores são bastante aplicados quando se
deseja uma saída em nível mais alto, como em células de cargas, acelerômetros e outros
transdutores.
2.7.2 - PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO E USO
Na sua forma mais completa, o extensômetro elétrico é um resistor composto de uma
finíssima camada de material condutor, depositado então sobre um composto isolante. Este é
então colado sobre a estrutura em teste com auxílio de adesivos como epóxi ou cianoacrilatos.
42

Pequenas variações de dimensões da estrutura são então transmitidas mecanicamente ao
extensômetro, que transforma essas variações em variações equivalentes de sua resistência
elétrica (por esta razão, os extensômetros são definidos como transdutores). Os extensômetros
são usados para medir variações de carga, pressão, torque, deslocamento, tensão,
compressão, aceleração, vibração. A seleção do extensômetro apropriado para determinada
aplicação é influenciada pelas características seguintes: material da grade metálica e sua
construção, material do suporte isolante, material do adesivo, tratamento e proteção do medidor
e configuração. O design dos extensômetros incorpora várias funcionalidades como alto fator de
medição, alta resistividade, insensibilidade à temperatura, alta estabilidade elétrica, alta
resistência mecânica, facilidade de manipulação, baixa histerese, baixa troca termal com outros
materiais e durabilidade. A sensibilidade à temperatura é um ponto fundamental no uso de
extensômetros, e freqüentemente o circuito de medição contém um compensador de
temperatura. Da mesma forma, o tipo de adesivo usado para fixar o extensômetro à estrutura a
ser monitorada é de suma importância. O adesivo deve transmitir as variações mecânicas com
o mínimo de interferência possível, por isso deve ter alta resistência mecânica, alta resistência
ao cisalhamento, resistência dielétrica e capacidade de adesão, baixas restrições de
temperatura e facilidade de aplicação.A relação básica entre deformação e a variação na
resistência do extensômetro elétrico pode ser expressa como:
⎛ 1 ⎞⎛
dR ⎞
ε = ⎜ ⎟⎜
⎟
⎝ F ⎠⎝
R ⎠
onde ε é a deformação, F é o fator do medidor e R é a resistência do medidor. Para um
medidor típico, F é 2.0 e R é 120 ohm.
2.7.3 - TIPOS DE EXTENSÔMETROS ELÉTRICOS (STRAIN-GAUGES)
Extensômetro axial único. Utilizado quando se conhece a direção da deformação, que é
em um único sentido.
Figura 26 - Extensômetro axial único.
43

EXTENSÔMETRO AXIAL MÚLTIPLO
Roseta de 2 direções. São dois extensômetros sobre uma mesma base, sensíveis a
duas direções. Utilizada para medir deformações principais quando se conhecem as direções.
Figura 27 - Roseta de 2 direções
Roseta de 3 direções. São três extensômetros sobre uma mesma base, sensíveis a três
direções. Utilizada quando as direções principais de deformações não são conhecidas.
Figura 28 - Roseta de 3 direções
A Figura 29(a) apresenta um extensômetro tipo diafragma, que são quatro
extensômetros sobre uma mesma base, sensíveis a deformações em duas posições
diferentes. Usado para transdutores de pressão. A Figura 29(b) apresenta um
extensômetro para medida de tensão residual, que são três extensômetros sobre
uma base devidamente posicionados para utilização em método de medida de
tensão residual. Finalmente, a Figura 29(c) mostra um extensômetro para
transdutores de carga (strain-gauge load cell), que são dois extensômetros dispostos
lado a lado, sobre a mesma base, para utilização em células de cargas (para
medição de tensão e compressão).
44

(a) (b) (c)
Figura 29 - Extensômetros tipo (a) diafragma, (b) para medida de tensão residual e (c) célula de carga
A extensometria, como técnica de medição de deformações ocorridas em materiais, é
essencial para monitoramento dinâmico de estruturas sujeitas a carregamentos e tem no
extensômetro elétrico ou strain-gauge seu instrumento principal.
Os strain-gauges têm aplicações tão variadas quanto monitoramento de deformações
em pontes, vigas, medição de vibração em máquinas, medição de pressão, de força, em
acelerômetros e torquímetros. Devido às vantagens e importância dos extensômetros elétricos,
estes aparelhos são indispensáveis a qualquer equipe que se dedique ao estudo experimental
de medições.
2.8 - RELAÇÕES TENSÃO - DEFORMAÇÃO
Para o estado plano de tensões, as condições permitem o uso da aproximação segundo
a qual não ocorre variação das tensões na direção z, podendo-se desconsiderar as tensões σzz
, σxz e σyz em presença das outras tensões. Então:
E ( ε xx υε yy )
( 1−
υ )
σ xx = +
2
E ( υε xx ε yy )
( 1−
υ )
σ yy = +
2
σ = 2Gε
xy
xy
σ
zz
= σ xz = σ yz = 0
εxx
εxx = εyy
2.9 - O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
2.9.1 - INTRODUÇÃO
εxy
A mecânica dos meios contínuos e mais especificamente a teoria da elasticidade, tem
como fundamento básico o desenvolvimento de modelos matemáticos que possam representar
adequadamente a situação física real em estudo. Na análise estrutural o objetivo pode ser a
45

determinação do campo de deslocamentos , as deformações internas ou as tensões atuantes
no sistema devido a aplicação de cargas. Muitos estudiosos do assunto tais como Navier,
Cauchy, Poisson, Green etc , destacaram-se no desenvolvimento de modelos matemáticos que
auxiliaram na determinação de variáveis envolvidas num determinado estudo.
Porém em certos casos práticos certas aplicações de modelos matemáticos apresentam
dificuldades as vezes intransponíveis . Como exemplo sabe-se que na análise estrutural a
perfeita representação matemática dos carregamentos, geometria, condições de contorno etc
em muitas situações apresenta-se de forma complexa, havendo assim a necessidade de se
introduzir hipóteses mais aproximadas no problema físico real possibilitando assim formas de
modelagem matemática que conduzem a soluções mais simples.Por outro lado a engenharia
tem demonstrado interesse cada dia maior em estudos mais precisos que se aproximam o
máximo possível do modelo real . Dentre estes métodos escolhidos surgiu o método dos
elementos finitos que é baseado na discretização do meio contínuo (estrutura sólida, o fluido, os
gases etc).O método dos elementos finitos é seguramente um dos métodos mais difundidos na
discretização dos meios contínuos . A sua utilização se deve também ao fato de poder ser
aplicado em problemas clássicos da mecânica estrutural elástico-linear tais como mecânica dos
sólidos , mecânica dos fluidos, transmissão de calor , acústica etc.
2.9.2 – SÍNTESE HISTÓRICA
Devido a complexidade comportamental dos sistemas estruturais utiliza-se modelos
mais simplificados que consistem em separar os sistemas em componentes básicos ou seja,
aplica-se o processo de análise do método científico de abordagem do problema.
Com esta operação, tem-se a oportunidade de se estudar o comportamento dos
elementos de forma mais simples sintetizando as soluções parciais para se obter uma solução
aproximada porém segura. A discretização de sistemas contínuos tem objetivos análogos aos
acima descritos, particionando-se o domínio, o sistema em componentes cujas soluções são
mais simples e posteriormente utiliza-se soluções parciais para resolver os problemas. Em
alguns casos essa subdivisão prossegue indefinidamente e o problema só terá solução
utilizando definições matemáticas de infinitésimos isto é, conduzindo-se a equações
diferenciais , ou expressões equivalentes com um número infinito de elementos. Com a
evolução dos computadores digitais os problemas discretos podem ser resolvidos sem
dificuldade mesmo que o modelo apresente um grande número de elementos dependendo
apenas da capacidade do computador .
46

A discretização de problemas contínuos tem sido abordada ao longo dos anos, de forma
diferente por matemáticos e engenheiros. Os matemáticos tem desenvolvido técnicas gerais
aplicáveis diretamente a equações diferenciais que regem o problema tais como: aproximações
por diferenças finitas , métodos de resíduos ponderados, técnicas aproximadas para determinar
pontos estacionários de funcionais etc. Os engenheiros procuram abordar os problemas de
forma mais intuitiva estabelecendo analogias entre os elementos discretos reais e porções
finitas de um domínio do contínuo.
O conceito de análise de estruturas teve início na escola francesa (1850 a 1875) com
Navier , St. Venan e com os trabalhos de Maxwell, Castigliano , Mohr e outros.
No período compreendido entre 1875 e 1920 as teorias e técnicas analíticas para o
estudo das estruturas forma particularmente lentos devido certamente as limitações práticas
nas soluções de equações algébricas . Neste período as estruturas de interesse eram
basicamente treliças e pórticos que utilizavam um processo de análise mais aproximado
baseado na distribuição de tensões com forças incógnitas o que era universalmente
empregado. Após 1920 em função dos trabalhos de Maney e Ostenfield passou-se a utilizar a
idéia básica de análise aproximada de treliças e pórticos baseada no método dos
deslocamentos . Estas idéias portanto foram as precursoras do conceito de análise matricial de
estruturas em uso hoje em dia. Várias limitações no tamanho dos problemas a solucionar que
poderiam ter forças ou deslocamentos com incógnitas continuaram a prevalecer até 1932
quando Hardy Cross introduziu o Método da distribuição de momentos. Este método facilitou a
solução de problemas de análise estrutural possibilitando-se assim trabalhar com problemas
mais complexos .
Após 1940 McHenry , Hrenikof e Newmark demonstraram no campo da mecânica dos
sólidos que podiam ser obtidas soluções razoavelmente boas de um problema de contínuo
através da distribuição de barras elásticas simples. Mais tarde Argyris, Turner, Clough , Martin e
Topp demonstraram que era possível substituir as propriedades do contínuo de um modo mais
direto e não menos intuitivo , supondo que as porções ou seja os elementos se comportavam
de forma simplificada.
Os computadores digitais apareceram por volta de 1950 mas a sua real aplicação a
teoria e a prática não se deu aparentemente de forma imediata. Entretanto alguns estudiosos
previram o seu impacto e estabeleceram codificações para a análise estrutural de forma
adequada ou seja na forma matricial. Duas contribuições notáveis podem ser consideradas
como um marco no estudo do método dos elementos finitos. Seus autores são Argyris e Kelsey
e Turner, Clough, Martin e Topp.
47

Tais publicações uniram os conceitos de análise estrutural e análise do contínuo e lançaram os
procedimentos resultantes na forma matricial; elas apresentaram uma influencia preponderante
no desenvolvimento do MEF nos anos subseqüentes. Assim as equações da rigidez passaram
a ser escritas em notação matricial e resolvidas em computadores digitais. A publicação
clássica de Turner et all de 1956 influencia decisivamente no desenvolvimento do método dos
elementos finitos.
Em 1941 o matemático Courant sugeria a interpolação polinomial sobre uma subregião
triangular como uma forma de se obter soluções numéricas aproximadas. Ele considerou esta
aproximação como uma solução de Rayleigh-Ritz de um problema variacional. Este é portanto o
método dos elementos finitos na forma com se conhece hoje em dia.
O trabalho de Courant foi no entanto esquecido até que os engenheiros
independentemente o desenvolveram. O nome elementos finitos que identifica o uso preciso da
metodologia geral aplicável a sistemas discretos , foi dado em 1960 por Clough. Em 1963 o
método foi reconhecido como rigorosamente correto e tornou-se uma respeitável área de
estudos. Hoje muitos pesquisadores continuam a se ocupar com o desenvolvimento de novos
elementos e de melhores formulações e algorítmos para fenômenos especiais e na elaboração
de novos programas que facilitem o trabalho dos usuários.
2.9.3 - O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
O método dos elementos finitos é um procedimento numérico para resolver problemas
de mecânica do contínuo com precisão aceitável na engenharia.Suponha-se que os
deslocamentos e/ou tensões da estrutura mostrada na figura 30a devam ser determinados Os
métodos clássicos descrevem o problema com equações diferenciais parciais, más não
fornecem respostas prontas por não serem o carregamento e a geometria comuns. Na prática
muitos problemas se tornam complicados para terem uma solução matemática fechada
(algoritmo próprio para a solução). Neste caso portanto como o da figura 30a uma solução
numérica é necessária e um dos métodos mais aplicáveis é o método dos elementos finitos.
48

Figura 30a – Estrutura plana real Figura 30b – malha de EF
Na figura 30b é mostrada uma possível malha de elementos finitos que representa a
viga da figura 30a, onde as regiões triangulares representam os elementos finitos e os
pequenos círculos representam os nós que conectam os elementos uns aos outros. Pode-se
dizer que os elementos finitos representam pedaços da estrutura real porém não se pode
converter a figura 30a na figura 30b fazendo cortes na estrutura em regiões e unindo estas
partes através dos nós pois isto resultaria numa estrutura fragilizada. Adicionalmente
procedendo desta forma haveria certamente uma concentração de tensões nos nós e uma
tendência a haver uma separação dos elementos nas regiões limítrofes. Na realidade uma
estrutura real não atua desta forma. Assim os elementos finitos devem se deformar de maneira
compatível. Por exemplo se uma aresta de um elemento permanece reta, as arestas dos
elementos adjacentes deverão ter deformações compatíveis, sem que haja sobreposição ou
separação.
A versatilidade é uma notável característica do método dos elementos finitos que pode
ser aplicado a problemas de natureza diversa. A região sob análise pode ter forma arbitrária e
cargas e condições de contorno quaisquer. A malha pode ser constituída de elementos de
diferentes tipos, formas e propriedades físicas. Esta grande versatilidade pode muitas vezes ser
colocada em um programa computacional simples, desde que se controle a seleção do tipo de
problema a abordar, especificando a geometria, condições de contorno, seleção de elementos
etc. Outra característica muito positiva do método é a semelhança entre o modelo físico e o
modelo real fazendo com que a abstração matemática seja fácil de se visualizar. Apesar de
suas vantagens, o método dos elementos finitos apresenta também algumas desvantagens por
exemplo: um resultado numérico específico sempre é obtido para um conjunto de dados que
tentam representar um sistema, e nem sempre existe uma fórmula fechada que permita a
verificação destes resultados. Um programa e um computador confiáveis são essenciais;
49

experiência e um bom senso na análise são necessários para se construir uma boa malha. Os
dados de saída de uma análise feita devem ser cuidadosamente interpretados.
2.9.4 - EQUAÇÕES BÁSICAS DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
O método dos elementos finitos comumente usado é baseado no método de Rayleigh-
Ritz e prevê a divisão do domínio de integração, contínuo em um número finito de pequenas
regiões conforme visto no item anterior (figuras 30a e 30b). A esta divisão do domínio dá-se o
nome de rede de elementos finitos. A malha desse reticulado pode ser aumentada ou diminuída
variando o tamanho dos elementos finitos. Ao invés de buscar uma função admissível que
satisfaça as condições de contorno para todo o domínio, no método dos elementos finitos as
funções admissíveis são definidas no domínio de cada elemento finito. Para cada elemento
finito i, é montado um funcional
um funcional ∏ para todo o domínio.
i ∏ , que somado aos dos demais elementos finitos , formam
∏ =
n
∑
i=
1
∏
Para cada elemento i, a função aproximada é formada por variáveis referidas aos nós do
elemento (parâmetros nodais) e por funções denominadas de funções de forma. Assim a função
aproximada υ tem a forma:
v =
m
∑ j=
1
j
i
a φ
j onde a φ j
são os parâmetros nodais e as funções de forma.
O funcional ∏ fica sendo expresso por:
∏(
a ) ≅
j
n
∑ ∏
i=
1 i
j
( a )
A condição de estacionariedade gera como no método de Rayleigh-Ritz, um sistema de
equações algébricas lineares tal que como:
δ ∏
n
n
( a j ) = ∑ δ ∏ i ( a j ) = ∑ ∑
i=
1 i=
1 j=
1
j
m
∂ ∏
i
∂a
( a )
j
A solução do sistema de equações acima dá os valores dos parâmetros nodais a que
podem ser deslocamentos, forças internas, ou ambos, dependendo da formulação do método
dos elementos finitos que se utiliza. Se o campo de deslocamentos é descrito por funções
aproximadoras e o princípio da mínima energia potencial é empregado, as incógnitas são as
componentes dos deslocamentos nodais e o método dos elementos finitos é denominado de
método dos elementos finitos, modelo das forças de deslocamentos ou método dos elementos
j
j
= 0
50

finitos, modelo dos deslocamentos ou método dos elementos finitos, modelo de rigidez. Se o
campo das tensões ou esforços internos é representado por funções aproximadoras, as
incógnitas serão as tensões ou esforços internos nodais e o método dos elementos finitos é
denominado de método dos elementos finitos, modelo das forças ou método dos elementos
finitos, modelo de flexibilidade, sendo utilizado o princípio da mínima energia complementar.
Nos métodos mistos, as funções aproximadoras são expressas em termos de deslocamento e
forças internas ou tensões e são derivadas de princípios variacionais generalizados, como o
princípio de Reissner.
2.10 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Dado o seguinte tensor da tensão associado ao sistema de referência x, y,z.
Determine:
Figura 31 – Exercício resolvido 1
a) i) As componentes normal (σ) e tangencial (τ) da tensão, numa faceta igualmente
inclinada relativamente a x, y, z.
ii) As direções das componentes referidas na alínea i).
b) Resolva a alínea anterior para uma faceta paralela a z e igualmente inclinada
relativamente a x e y.
c) As tensões e respectivas direções principais.
d) As componentes normal e tangencial da tensão na faceta x, partindo do tensor das
tensões associado ao sistema de eixos principais. Compare os valores obtidos com
os valores dados inicialmente.
Solução:
2
2
a) i) σ = −2
. 0×
10 MPa τ = 2.
16×
10 MPa.
' Tx
−σ
⋅l
ii) l = = −0.
535
τ
' Tz
−σ
⋅ n
n = = −0.
267
τ
b) σ = −50MPa
τ
= 150MPa.
T ' y −σ
⋅ m
; m = = 0.
802 ;
τ
51

l
'
T
=
x
−σ
⋅l
τ
=
' Tz
−σ
⋅ n
n = = −0.
943
τ
−0.
236
T ' y −σ
⋅ m
; m = = 0.
236 ;
τ
⎡σ
1 0 0 ⎤ ⎡4.
87 0 0 ⎤
2
c) [ σ ] 1,
2,
3 =
⎢
0 0
⎥ ⎢
2
0 0.
32 0
⎥
⎢
σ
⎥
=
⎢
⎥
× 10 MPa.
⎢⎣
0 0 σ ⎥ ⎢
3 ⎦ ⎣ 0 0 − 3.
19⎥⎦
l
3
m
n
3
d)
3
=
=
l
1
m
n
1
1
0.
605
=
0.
792
=
=
0.
081
0.
612
0.
440
=
1,
2,
3
= −0.
657 = cos( 1,
x)
= cos( 3,
x)
=
=
cos( 3,
cos( 3,
cos( 1,
y)
= cos( 1,
z)
y)
z)
1,
2,
3
l
2
m
n
2
2
=
=
0.
449
=
0.
787
=
−0.
423
cos( 2,
=
=
cos( 2,
x)
cos( 2,
2
[ σ ] = 0.
612 0.
787 0.
081 × 0 0.
32 0 × 0.
449 0.
787 − 0.
423 × 10 MPa
x,
y,
z
⎡−
⎢
⎢
⎢⎣
0.
657
0.
440
0.
449
−
0.
423
0.
605⎤
⎥
⎥
0.
792⎥⎦
⎡4.
87
⎢
⎢
⎢⎣
0
0
0
0 ⎤
⎥
⎥
− 3.
19⎥⎦
⎡−
⎢
⎢
⎢⎣
0.
657
0.
605
0.
612
0.
081
2. a) Represente no plano de Mohr, o estado de tensão abaixo definido.
Figura 32 – Exercício resolvido 2
0.
440
0.
792
b) Determine as tensões e direções principais do estado de tensão definido na alínea
anterior, resolva analiticamente e pela circunferência de Mohr.
Resolução:
a)
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
y)
z)
52

Figura 33 – Solução do exercício resolvido 2
b) σ1 = 7.606 Mpa; σ2 = 0.394 Mpa; σ3 = σz =0 MPa ( valor admitido )
θ1 = -16.85 0 ; θ2 = 73.15 0 ; θ3 = θz = 90 0 .
3. A figura representa o estado de tensão num ponto de uma chapa de aço.
Figura 34 – Exercício resolvido 3
a) Faça a representação gráfica de Mohr, do estado de tensão nesse ponto e determine
as tensões principais e respectivas direções.
b) Posteriormente a chapa é submetida a uma compressão adicional uniforme de
15MPa, segundo uma direção que faz um ângulo de 20 0 com o eixo dos x, marcado
no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio.
Determine as tensões principais e respectivas direções , referentes ao estado de
tensão resultante no ponto considerado.
53

Resolução :
a)
Figura 35 – Solução do exercício resolvido 3
σ1 = 67.5 MPa; σ2 = σz = 0 Mpa; σ3 = -27.75 MPa
θ1 = -24.23 0 ; θ2 = θz = 90 0 ; θ3 = 65.77 0
⎡ 36.
76 − 39.
82 0⎤
⎡58.
66 0 0 ⎤
b) [ σ ] ⎢
⎥
x,
y,
z =
⎢
− 39.
82 −13.
76 0
⎥
MPa ; [ σ ] ⎢
⎥
1,
2,
3 =
⎢
0 0 0
⎥
MPa
⎢⎣
0 0 0⎥⎦
⎢⎣
0 0 − 35.
66⎥⎦
θ1 = -28.81 0 ; θ2 = θz = 90 0 ; θ3 = 61.19 0
4. Considere o campo de deslocamentos dado por:
⎧u
=
⎪
⎨v
=
⎪
⎩
w =
2
( 0.
25x
⋅ ( y + z)
)
2
( 0.
25y
⋅ ( x + z)
)
2
0.
25z
⋅ ( x + y)
( )
× 10
× 10
−4
× 10
−4
−4
Para o ponto A (1,2,1), determine:
a) O tensor das deformações referido ao referencial x, y, z.
b) A deformação no ponto A segundo uma direção igualmente inclinada relativamente
aos três eixos.
c) Determine o plano onde se dá a distorção.
d) As extensões principais.
e) Determine o tensor das tensões, sabendo que E = 210 GPa e ν = 0.3.
54

Resolução:
⎡2.
25 1.
75 1.
50⎤
−4
a) [ ε ] ⎢
, , 1.
75 1.
00 1.
75
⎥
x y z =
⎢
⎥
× 10
⎢⎣
1.
50 1.
75 2.
25⎥⎦
b)
−4
'
−4
ε = 5.
167 × 10 δ t = 0.
466×
10 rad
=
2
γ
'
'
' δ − ε ⋅ l
δ − ε ⋅ m
'
x
' y
' δ z − ε ⋅ n
c) l = = 0.
412 ; m = = −0.
827 ; n = = 0.
412
γ
γ
γ
2
2
2
⎡5.
206 0 0 ⎤
−4
d) [ ε ] 1,
2,
3 =
⎢
0 0.
750 0
⎥
⎢
⎥
× 10
⎢⎣
0 0 − 0.
456⎥⎦
⎡143.
4 0 0 ⎤
e) [ σ ] ⎢
⎥
1,
2,
3 =
⎢
0 75.
0 0
⎥
MPa
⎢⎣
0 0 56.
5⎥⎦
5. Considere o estado de tensão definido no exercício 1 e um material isotrópico com
constantes elásticas: E = 210 GPa e ν = 0.3.
Determine o estado de deformação correspondente a este estado de tensão, tomando
como eixos coordenados:
Eixos x, y, z
Eixos principais 1, 2 , 3.
Resolução:
⎡0.
333 −1.
24 −1.
85 ⎤
−3
a) [ ε ] ⎢
, , 1.
24 0.
952 0.
62
⎥
x y z =
⎢
−
⎥
× 10
⎢⎣
−1.
85 0.
62 − 0.
905⎥⎦
⎡2.
73 0 0 ⎤
−3
b) [ ε ] 1,
2,
3 =
⎢
0 0.
09 0
⎥
⎢
−
⎥
× 10
⎢⎣
0 0 − 2.
26⎥⎦
1,
2,
3
6. Grava-se sobre uma chapa de aço uma circunferência de 600 mm de diâmetro.
Submete-se depois esta chapa a tensões tais que :
55

σ = 140MPa
; σ = 20MPa
; τ = −80MPa
x
Resolução:
y
Figura 36 – Exercício resolvido 6
Depois da solicitação a circunferência transforma-se numa elipse. Calcular os
comprimentos do eixo maior e do eixo menor dessa elipse e marcar as respectivas
direções na figura.
Figura 37 – Solução do exercício resolvido 6
θ1 = -26.57 0 θ2 = θz = 90 0 θ3 = 63.43 0 .
xy
56

7. Num ponto situado à superfície de uma placa de aço instalou-se uma roseta de
extensômetros como se indica na figura. Depois de aplicada ao corpo uma determinada
solicitação, colocando o ponto em estado plano de tensão, fizeram-se as seguintes
leituras:
Y
εa
a
εb
30 0
εc
Figura 38 – Exercício resolvido 7
−3
ε a = ε y = 1×
10
ν = 0.
3
−3
5
ε b = −2.
5×
10
λ = 1 . 211×
10 MPa
−3
5
ε = −2
× 10 = ε
E = 2 . 1×
10 MPa
c
G = 0 . 81×
10
5
x
MPa
Nesta situação determinar as extensões e tensões principais e respectivas direções.
Resolução:
[ ε ]
1.
2.
3
=
⎡1.
58
⎢
⎢
0
⎢⎣
0
0
0.
428
0
0 ⎤
0
⎥
⎥
× 10
− 2.
58⎥⎦
θ1 = -68.05 0 ; θ2 = θz = 90 0 ; θ3 = 21.95 0
⎡186.
66
⎢
⎢
⎢⎣
0
−3
0 ⎤
⎥
⎥
− 487.
25⎥⎦
[ σ ] = 0 0.
01018 0 MPa
1,
2,
3
0
0
8. Na vizinhança de um ponto, mediram-se as extensões segundo as arestas de um
tetraedro, resultantes de uma dada solicitação, e que estão representadas na figura.
b
c
X
57

n
'
Os valores obtidos foram os seguintes:
Figura 39 – Exercício resolvido 8
−4
−4
−4
ε a = ε x=
1×
10 ; ε b = ε y=
0.
5×
10 ; ε c = ε z=
−0.
5×
10 ;
−4
ε e = 0.
8×
10 ;
ε f
=
−0.
6×
10
−4
ε d
= 1.
5×
10
a) Defina o estado de deformação no ponto por intermédio do tensor das extensões.
b) Determine a extensão e a distorção numa direção igualmente inclinada relativamente
a três eixos de referência x, y, z.
c) Determine o plano aonde se dá a distorção.
d) Determine as extensões principais.
e) Represente o estado de deformação no plano de Mohr.
f) Determine o valor da máxima distorção.
Resolução
⎡ 1 − 0.
75 − 0.
55⎤
−4
a) [ ε ] ⎢
, , 0.
75 0.
5 0.
6
⎥
x y z =
⎢
−
⎥
× 10
⎢⎣
− 0.
55 0.
6 − 0.
5 ⎥⎦
b)
−4
'
−4
ε = −0.
133×
10 δ t = 0.
347 × 10 rad
=
2
γ
'
'
' δ − ε ⋅l
δ x
' y − ε ⋅ m
c) l = = −0.
277 ; m = = 0.
803;
γ
γ
2
2
'
δ z
− ε ⋅ n
= =
γ
2
−0.
528
−4
58

d)
e)
1
−4
2
−4
ε = 1.
816×
10 ε = −0.
012×
10 ε =
−4
f) γ = 2.
62×
10 rad
max
3
−0.
806×
10
Figura 40 – Solução do exercício resolvido 8
9. Na figura estão indicados os elementos da superfície A e B, ambos paralelos a direção
principal z, as tensões normal e tangencial no elemento A e a tensão normal no
elemento B, sabendo que a tensão principal na direção z vale 50 MPa, determine:
a) A tensão tangencial no elemento B.
b) As tensões e direções principais.
Figura 41 – Exercício resolvido 9
c) As extensões principais supondo: E = 210 Gpa ; ν= 0.3
−4
59

d) Componentes da tensão no elemento de superfície cuja normal, relativamente aos eixos
principais, tem por cossenos directores:
2 2 1
l = , m = , n = .
3 3 3
e) A tensão de comparação pelo critério de Von-Mises.
Resolução:
a) τ = −10.
44MPa
b
b) 1 50MPa
= σ ; MPa 0 . 12 2 = σ ; MPa 9 . 44 σ 3 = −
θ = = θ
c) [ ε ]
0
1 90 z ;
1,
2,
3
⎡2.
85
=
⎢
⎢
0
⎢⎣
0
−
= 59.
23
0
θ 2 ;
0
0.
498
0
0 ⎤
0
⎥
⎥
− 3.
02⎥⎦
1,
2,
3
d) σ = 22.
57MPa
τ = 29. 82MPa.
e) σ = 82.
72MPa
eq
θ
× 10
3
−4
= −30.
77
10. Num corpo de aço macio sujeito a estado plano de tensão, conhecem-se as tensões
normais em duas facetas ortogonais, como se indica na figura. Sabe-se também que
uma das direções principais é a indicada na figura, determine:
a) As tensões principais.
B
Y
Z
60 MPa
30 0
0
X
100 MPa
A
Dir P
Figura 42 – Exercício resolvido 10
b) As extensões principais, sabendo que E = 210 GPa, ν = 0.
3
c) tensão de comparação pelo critério de Von-Mises.
d) Admitindo que se trata de um material frágil com: σ = 100MPa
; σ = 60MPa
Verifique, pelo critério de Mohr-Coulomb, se o estado de tensão é possível.
c
t
60

Resolução:
⎡180
0 0 ⎤
a) [ σ ] ⎢
⎥
1,
2,
3 =
⎢
0 0 0
⎥
MPa
⎢⎣
0 0 −140⎥⎦
⎡1.
06 0 0 ⎤
−3
b) [ ε ] 1,
2,
3 =
⎢
0 0.
06 0
⎥
⎢
−
⎥
× 10
⎢⎣
0 0 − 0.
92⎥⎦
c) σ = 277.
85MPa
eq
1,
2,
3
180 −140
d) − = 4.
4 ≥ 1 não verifica
60 100
180 ≤ 100
não verifica
O estado de tensão não é admissível.
2.11 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Figura 43 – Solução do exercício resolvido 10
1. Determinar, empregando equações e o círculo de Mohr, para cada um dos estados de
tensão abaixo representados :
• a orientação dos planos principais;
• as tensões principais;
• a máxima tensão de cisalhamento;
• a orientação dos planos das tensões máxima de cisalhamento;
• a tensão normal associada a tensão máxima de cisalhamento.
Resposta : a) 18,52º e 108,52º; 66,10 MPa e -53,10 MPa; 59,60 MPa; -26,42º e 63,57º; -
2,5 MPa;
61

) 18,4º e 108,4º; 151,7 MPa e 13,8 MPa; 69 MPa; -26,6º e 63,4º; +82,75 MPa;
c) -37º e 53º; -27,2 MPa e -172,8 MPa; 72,8 MPa; 8º e 98º; -100 MPa;
d) -31º e 59º; 130,0 MPa e -210,0 MPa; 170 MPa; 14º e 104º; -40MPa.
Figura 44 – Exercício proposto 1
2. O prisma abaixo está submetido a um Estado Plano de Deformações. Encontrar as
tensões e direções principais, a tensão de cisalhamento máxima no plano xy e sua
direção e a maior tensão de cisalhamento no entorno de P. Representar estas
grandezas (tensões e direções) através dos círculos de Mohr correspondentes aos
planos formados por cada dois eixos principais.. Encontrar as deformações específicas e
deformações totais nas direções x, y e z. Encontrar as deformações específica máxima
e mínima. E=210.000 MPa. (= 0,3.
Figura 45 – Exercício proposto 2
62

CAPITULO 03 - CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS DOS MATERIAIS -
CARREGAMENTO ESTÁTICO
3.1 - INTRODUÇÃO
No projeto de um elemento de máquina, o ideal é se ter à disposição os resultados de
vários testes de resistência do material escolhido. Estes testes deverão ser feitos em amostras
que possuam o mesmo tratamento térmico, o mesmo acabamento superficial e as mesmas
dimensões do elemento que o engenheiro se propõe a construir; os testes dêem ser realizados
sob a mesma condição em que a peça estará trabalhando. Os testes deverão proporcionar
informações úteis e precisas, que dizem ao engenheiro qual o fator de segurança que deverá
ser usado e qual é a confiabilidade para uma determinada vida em serviço. O custo de reunir
numerosos dados antes do projeto é ainda mais justificado, quando há possibilidade da falha da
peça colocando em perigo vidas humanas ou quando se deve fabricar a peça em grande
quantidade . O custo dos atestes é muito baixo, quando dividido pelo número total de peças
fabricadas. Deve-se no entanto analisar as possibilidades: 1) a peça deva ser fabricada em
quantidades tão pequenas que, de forma alguma, justificariam os testes, ou o projeto deva ser
completado tão rapidamente, que não haveria tempo suficiente para a realização destes testes;
2) A peça já tenha sido projetada, fabricada e testada com a conclusão de ser falha ou
insatisfatória. Necessita-se de uma averiguação e análise mais aprofundada para compreender
a razão da falha da peça e sua não qualificação a fim de projetá-la mais adequadamente e
portanto melhorá-la. Normalmente o profissional terá somente os valores de limites de
escoamento, limites de ruptura e alongamento percentual do material, como as que são
apresentadas no apêndice deste livro. Com estas poucas informações, espera-se que o
projetista de máquinas apresente uma solução adequada. Os dados normalmente disponíveis
para o projeto foram obtidos através de testes de tração, onde a carga é aplicada gradualmente
e há um tempo para o aparecimento de deformações. Estes dados poderão ser usados para o
projeto de peças com cargas dinâmicas aplicadas das mais diversas maneiras a milhares de
rotações por minuto. O problema fundamental aqui seria usar portanto os dados dos testes de
tração e relacioná-los com a resistência das peças, qualquer que seja o estado de tensão ou
carregamento.
O ensaio de tração consiste em submeter um corpo de prova a uma tração progressiva,
sob a ação de uma cara lente e gradualmente crescente, em uma máquina de ensaios que
permite medir, continuamente, a força de tração P e a correspondente variação de comprimento
63

previamente assinalado no corpo de prova. O alongamento assim determinado compõe-se de
deformações "elásticas" e "permanentes". A deformação permanente pode ser medida após o
descarregamento da barra solicitada. Na curva tensão deformação se distinguem os seguintes
valores-limite:
Limite de elasticidade que é a maior tensão que se pode aplicar ao corpo de prova sem que ele
sofra deformação permanente. Considera-se limite de elasticidade "técnico" a tensão sob a
qual se verifica uma deformação permanente de 0,03%.
Limite de proporcionalidade é a máxima tensão sob a qual ainda se verifica
proporcionalidade entre a tensão e a deformação, isto é, sob a qual ainda é constante o módulo
de elasticidade.
σx ≥ σy → escoamento σx ≥ σu → ruptura
Figura 1 - Teste de tração em materiais dúcteis e frágeis
Limite de escoamento é a tensão sob a qual se verifica um "escoamento", isto é, um
alongamento sem um correspondente aumento da tensão aplicada.( σy também usado neste
livro como Sy) Durante o escoamento, a tensão pode variar entre o limite superior de
escoamento e o limite inferior de escoamento. Não sendo possível determinar o limite de
escoamento, considera-se o mesmo como sendo igual à tensão sob a qual se verifica uma
deformação permanente de 0,2%.
Limite de ruptura é a máxima tensão que se pode aplicar ao corpo de prova (σu ou
também usado neste livro como Su ou Srup).
3.2 - CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS
Podem-se primeiramente definir dois tipos de materiais. Os materiais dúcteis, que são
capazes de suportar uma deformação plástica relativamente grande antes de sofrerem fratura.
64

Mede-se a ductilidade pelo alongamento percentual que ocorre no material por ocasião da
fratura. Já o material é considerado frágil, quando se verifica uma pequena deformação
plástica. A linha divisória entre a ductilidade e a fragilidade é o alongamento de 5%. Diz-se que
um material com menos de 5% de alongamento na fratura é frágil, enquanto que um que tenha
mais de 5 é dúctil. Mede-se a ductilidade pelo alongamento percentual que ocorre no material
por ocasião da fratura. A ductilidade é também importante, porque é uma medida da
propriedade que indica a capacidade do material ser trabalhado a frio. Dobramento,
embutimento ou estampagem são operações de processamento de metais que exigem
materiais dúcteis.
Figura 2 - Máquina para ensaio de dureza
Quando se deve selecionar um material para resistir à deformação plástica, a dureza é,
geralmente a propriedade mais importante. Os quatro tipos de dureza mais usados são Brinell,
Rockwell, Vickers e Knoop. A maior parte dos sistemas de teste de dureza emprega uma carga
padrão que é aplicada a um esfera ou pirâmide em contato com o material a ser testado. É
uma propriedade fácil de se medir, porque o teste não é destrutivo e não há necessidade de
corpo de prova. Para os aços pode-se usar o número e dureza Brinell para obter-se uma boa
estimativa da resistência à tração. A relação é
Sut= 3,45 HB , (onde Sut ou σu ) é expresso em MPa.
As tabelas do apêndice mostram as propriedades de uma grande variedade de
materiais. Para o estudante, estas tabelas constituem uma fonte de informações para a
resolução de problemas e a execução de projetos.
65

A avaliação de tensões produzidas por cargas externas e peso próprio (F) é uma das
preocupações fundamentais no dimensionamento de estruturas. A tensão (σ) é avaliada por:
σ = F
A
onde F representa o carregamento e A a área da secção resistente.
Os materiais podem ser solicitados por tensões de tração, de compressão ou de
cisalhamento. Porém, quando submetidos a tensões de tração e compressão surge,
internamente ao material, tensões de cisalhamento.
Figura 3 - Tensões de tração, compressão e cisalhamento
As deformações são representadas pelas alterações de forma e dimensões de um corpo
resultantes das tensões. Conforme o tipo de carregamento aplicado tais deformações podem
ocorrer instantaneamente ou a longo prazo. Dependendo ainda do tipo de material e da
magnitude do carregamento as deformações podem ser reversíveis ou permanentes.
Corpo de prova antes do ensaio de tração (a)
Corpo de prova antes do ensaio de tração (b)
Figura 4 – Comprimento final e inicial do corpo de prova no ensaio de tração
Deformação específica ε pode ser definida com a relação entre a variação dimensional
( Δ ) devido ao carregamento e a dimensão inicial
Δ = l − o l
f
66

ε = Δ
onde lo é a dimensão antes da aplicação da carga e lf a dimensão após a aplicação da carga.
l
o
Em função dos mecanismos de tensão e deformação os materiais podem ser
classificados em elásticos, plásticos, viscosos. Entretanto, na prática, como os materiais
empregados na engenharia civil não são perfeitos, eles apresentam um comportamento
intermediário, podendo ser elasto-plásticos, visco-elásticos, visco-elasto-plásticos. Desse modo
as relações tensão-deformação, que definem o comportamento dos materiais, são
apresentadas nos itens subseqüentes.
DEFORMAÇÃO ELÁSTICA
Figura 5 - Corpo de prova submetido a tração
Em nível microestrutural, a deformação elástica é resultante de uma pequena elongação
da célula unitária na direção da tensão de tração ou a uma pequena contração na direção da
tensão de compressão. Esta deformação não resulta em qualquer alteração das posições
relativas dos átomos, conseqüentemente ocorre uma alteração no volume do material.
Tensão (σ)
Def. Elástica Def. Plástica
Deformação (ε)
Figura 6 - Gráfico tensão x deformação de material levado à ruptura
67

As deformações elásticas são reversíveis, isto é, o material recupera sua forma inicial
após a remoção do carregamento. É também instantânea, ou seja, a sua magnitude independe
do tempo decorrido desde o momento de aplicação da carga.
MÓDULO DE ELASTICIDADE
Quando a deformação medida é uma função linear da tensão e independente do tempo,
o material possui comportamento elástico perfeito. Este comportamento é representado pela lei
de Hook.
ε σ
= E
onde E é uma constante, denominada módulo de elasticidade, ou módulo de Young. O módulo
de elasticidade é a inclinação da reta do gráfico tensão x deformação.
COEFICIENTE DE POISSON
Qualquer variação dimensional em uma determinada direção, causada por uma força
uniaxial, produz uma variação nas dimensões ortogonais à direção da força aplicada. Por
exemplo, pode-se observar uma pequena contração na direção perpendicular à direção da força
de compressão. A relação entre a deformação lateral εx e a deformação direta (vertical) εy, com
sinal negativo, é denominada coeficiente de Poisson (ν).
Figura 7 – Deformação lateral e direta – Coeficiente de Poisson
ε
ν = −
ε
x
y
68

O coeficiente de Poisson (ν) está normalmente na faixa 0,25 a 0,50. Nas aplicações de
engenharia, as tensões de cisalhamento também solicitam as estruturas cristalinas . Essas
produzem um deslocamento de um plano de átomos em relação ao plano adjacente.
A deformação elástica de cisalhamento γ (Figura 8)definida pela tangente do ângulo de
cisalhamento :
γ = tgα
e o módulo de cisalhamento G é a relação entre a tensão (τ) e a deformação de cisalhamento
(γ):
G = τ
γ
Este módulo de cisalhamento (G) também chamado de rigidez. O módulo de
cisalhamento esta relacionado ao módulo de elasticidade e ao coeficiente de Poisson:
E
G =
2( 1+
ν )
A tensão de cisalhamento produz um deslocamento de um plano atômico em relação ao
seguinte. Desde que os vizinhos dos átomos sejam mantidos, a deformação será elástica
(Figura 8 ).
Figura 8 - Deformação elástica por cisalhamento
Considerando-se a faixa de variação do coeficiente de Poisson, o módulo de
cisalhamento é entre 33 e 45% do valor do módulo de elasticidade.
Os módulos de elasticidade (E) à tração e à compressão, o módulo de cisalhamento (G), assim
como o coeficiente de Poisson (ν), são parâmetros importantes que definem um material, dando
elementos para a previsão do seu comportamento frente às solicitações externas.
DEFORMAÇÃO PLÁSTICA
Quando submetidos a um determinado nível de tensão, muitos materiais apresentam uma
deformação permanente, não reversível e que não produz alteração de volume, denominada
deformação plástica. Ela é resultante de um deslocamento relativo permanente de planos
cristalinos e moléculas adjacentes. Trata-se de uma deformação irreversível, porque os átomos
69

e moléculas deslocados não retornam a sua posição inicial, mesmo depois da remoção do
carregamento.
DUCTILIDADE
É a deformação plástica total até o
ponto de ruptura, provocada por tensões que
ultrapassam o limite de elasticidade. Quando
um material é submetido à tração, a ductilidade
pode ser medida pela estricção que é a
redução da área da seção transversal do
material, imediatamente antes da ruptura. É
expressa em porcentagem (%) como sendo:
Es=
Ao - Af
Ao
x 100
onde Es é a estricção, Ao a área inicial e Af a área final.
Uma outra medida da ductilidade é o alongamento, que também pode ser medido em
porcentagem (%), sendo igual a:
lo − lf
Al = x100
lo
onde Al é o alongamento, lo o comprimento inicial e lf é comprimento final.
Portanto, quanto mais dúctil um material, maior é a redução de área ou alongamento
antes da ruptura.
plástica.
A tensão de escoamento é a tensão na qual o material começa a sofrer deformação
FLUÊNCIA E RELAXAÇÃO
Quando os materiais são submetidos a carregamentos constantes por longos períodos
de tempo, apresentam, além da deformação elástica instantânea uma parcela de deformação
plástica variável com o tempo e uma parcela de deformação denominada anelástica, ou seja,
uma deformação reversível não instantânea. Este processo no qual a tensão (σ) aplicada à
peça é constante e a deformação crescente com o tempo, é denominado fluência (Figura 10).
Tensão (σσ)
Def. Elástica
irreversível
Se a peça for submetida a uma deformação constante, a fluência manifesta-se na forma
de alívio de tensão ao longo do tempo, conhecido por relaxação.
Def. Plástica
reversível
Deformação (ε)
Figura 9- Comportamento de material elasto-
plástico durante carga e descarga
70

Deformação (εε)
Def. por fluência
Def. elástica instantânea
ou anelástica
Tempo
Tensão
Tempo
Figura 10 - Exemplos de deformação (direita) por fluência e relaxação da tensão (esquerda) por fluência
DUREZA
É definida pela resistência da superfície do material à penetração efetuada por um
material de dureza superior. A escala Brinell - BHN (Brinell Hardness Number) contém índices
de medida de dureza, calculados a partir da área de penetração de uma esfera metálica (de aço
ou de carbeto de tungstênio) no material. A penetração desta esfera é feita a partir de uma força
e intervalo de tempo padronizado. A escala Rockwell de dureza pode ser relacionada a BHN,
mas é a medida da profundidade de penetração (p) da esfera, e não da área da calota esférica
utilizada para definir dureza BHN.
Figura 11 - Medida de dureza Brinnell
BHN =
2N
π D( D − D − d
2 2
Para materiais que possam ser considerados homogêneos e isotrópicos, é possível
estimar aproximadamente a resistência à tração ou à compressão a partir da dureza.
71

TENACIDADE
É a medida da energia necessária para
romper o material, expressa em N×m. No gráfico
carga x deslocamento pode-se medir a tenacidade
pelo cálculo da área sob a curva (Figura 12).
A tenacidade é medida através de um ensaio
dinâmico onde o corpo-de-prova recebe o impacto
de uma massa conhecida que cai de uma altura
conhecida.
A resiliência é a energia dissipada pelo material em
deformação no regime elástica.
FADIGA
A fadiga é uma propriedade que os materiais apresentam quando submetidos a esforços
cíclicos, como ocorre numa ponte ferroviária cujo maior carregamento acontece com a
passagem do trem. Nesta situação, o material pode romper com um nível de tensão inferior ao
da ruptura estática, como alguém que fica dobrando um arame quando não pode cortá-lo com
as mãos.
(a) Número de Ciclos x Resistência (b) Número de Ciclos x Resistência
Figura 13 – Gráficos típicos de fadiga apresentando o número de ciclos de carregamento necessários para romper a
diferentes tensões de (a) aços e concreto armado e (b) polímeros.
Figura 12 - Tenacidade
A ruptura por fadiga depende do nível de tensão ao que o material é submetido em cada ciclo:
assim, quando o material é submetido a uma tensão da ordem de 95% da tensão de ruptura
estática, exigirá um número menor de ciclos do que quando a tensão é de 90%. Em alguns
materiais estruturais, como o concreto e o aço, existe o chamado limite de fadiga, que é a
porcentagem da tensão de ruptura estática abaixo da qual o material não rompe por fadiga, isto
72

é, suportaria um número infinito de ciclos. Outros materiais, como os polímeros termoplásticos
não apresentam limite de fadiga, rompendo sempre com o esforço cíclico, mesmo que isso
demande um número imenso de ciclos.
3.3 - TEORIAS DE FALHAS COM CARREGAMENTO ESTÁTICO
Quando se deve selecionar um material para resistir à deformação plástica, a dureza é,
geralmente a propriedade mais importante. Os quatro tipos de dureza mais usados são Brinell,
Rockwell, Vickers e Knoop. A maior parte dos sistemas de teste de dureza emprega uma carga
padrão que é aplicada a um esfera ou pirâmide em contato com o material a ser testado. É
uma propriedade fácil de se medir, porque o teste não é destrutivo e não há necessidade de
corpo de prova. Para os aços pode-se usar o número e dureza Brinell para obter-se uma boa
estimativa da resistência à tração. A relação é
Sut= 3,45 HB , onde S é expresso em MPa.
As tabelas do apêndice mostram as propriedades de uma grande variedade de materiais. Para
o estudante, estas tabelas constituem uma fonte de informações para a resolução de problemas
e a execução de projetos. Os engenheiros que trabalham com projetos de máquinas e
desenvolvimento de novos produtos de todo tipo de estrutura são confrontados quase sempre
com problemas onde as peças possuem tensões normais de tração e compressão e flexão,
além tensões de cisalhamento.Porque uma peça falha? Esta questão tem ocupado os cientistas
e engenheiros por décadas. Hoje se tem muito mais entendimento sobre vários mecanismos de
falhas do que se sabia no passado, devido a melhoria de técnicas de medição e testes. A
resposta mais simples e óbvia para a pergunta acima seria dizer que as peças falham porque
suas tensões atuantes excedem suas resistências. Que tipo de tensões ocasionam as falhas,as
tensões devido a compressão, tração, cisalhamento? A resposta seria: “Depende”.
Depende do material em questão; depende de sua resistência à compressão, tração e
cisalhamento. Depende também do tipo de carregamento e da presença ou ausência de
fissuras no material. Para uma combinação de cargas estáticas que produzem tensões
críticas, como saber se o material irá falhar para uma determinada aplicação? Uma vez que é
impraticável testar cada material e cada combinação de tensões, uma teoria de falha é
necessária para predizer com base na performance do teste de tração simples do material, tão
forte e resistente será sob outras condições de carga estática. A “teoria” por trás de todas as
teorias de falha é que qualquer que seja o responsável pela falha no teste padrão clássico de
tração será também responsável pela falha sob todas as outras condições de carga estática.
73

Por exemplo, suponha que um material tenha uma resistência à tração de 700 MPa. A
teoria prediz que sob qualquer condição de carga, o material irá falhar, se e somente se, a
tensão normal máxima exceder a 700 MPa. Para uma tensão normal de 560 MPa, não há
previsão de falha na peça. Por outro lado, suponha que seja postulado que a falha durante o
teste de tração ocorreu porque o material é limitado pela sua capacidade inerente de resistir a
tensão de cisalhamento, e que baseado no teste de tração a sua capacidade de tensão
cisalhante é de 350 MPa. Então se a peça foi submetida a uma tensão de cisalhamento de 420
MPa, sua falha foi prevista pela teoria.
O estudante de engenharia já tendo estudado os princípios de Mecânica dos sólidos e
resistência dos Materiais reconheceu nos exemplos acima a ilustração da teoria da máxima
tensão normal e a teoria da máxima tensão cisalhante.
Falha em uma peça submetida a um tipo qualquer de carregamento é considerada como
qualquer comportamento que a torna inútil para o qual foi projetada. Neste ponto iremos
considerar somente carga estática, deixando a parte de fadiga para o próximo capítulo. Carga
estática pode resultar de uma deflexão ou instabilidade elástica bem como uma distorção
plástica ou fratura. A distorção ou deformação plástica, está associada com tensões cisalhantes
e envolvem deslocamentos ao longo de planos de deslocamentos. A falha é definida como
ocorrendo quando a deformação plástica alcança um limite arbitrário, por exemplo 0,2 % em um
teste padrão de tração. O escoamento poderá no entanto ocorrer em áreas localizadas de
concentração de tensões ou em qualquer peça submetida à flexão ou torção quando
escoamento seja restrito a superfície externa.
3.3.1 - FALHA DE MATERIAIS DÚCTEIS SOB CARGA ESTÁTICA
Enquanto os materiais dúcteis irão sofrer fratura se tencionado estaticamente acima de
seu limite de resistência máximo, sua falha nos elementos de máquinas é geralmente
considerado ocorrer quando escoam sob carga estática. O limite de resistência ao escoamento
de um material dúctil é muito menor do que seu limite de resistência.
Historicamente, várias teorias foram formuladas para explicar esta falha: a teoria da
máxima tensão normal, a teoria da máxima deformação normal, a teoria da energia de
deformação máxima, a teoria da energia de distorção (Von Mises-Hencky) e a teoria da máxima
tensão cisalhante. Destas somente as duas últimas concordam com os resultados
experimentais e delas, a teoria de von Mises-Hencky é a mais precisa. Serão discutidas as
duas últimas teorias.
74

A) CRITÉRIO DE VON MISES-HENCKY OU CRITÉRIO DA MÁXIMA ENERGIA DE
DISTORÇÃO
O critério de Von Mises leva em consideração todas as tensões que atuam no corpo –
tensões tridimensionais, ou seja, as três tensões que atuam no cubo, definidas como s1 , s2 e s3
. Baseado em experimentos que mostram que corpos tencionados hidrostaticamente possuem
escoamento muito acima (ou não escoam) dos valores dados pelos testes de tração.
Von Mises conclui que o escoamento está diretamente relacionado com a distorção
angular do material da estrutura. Por esta razão, este critério é baseado na teoria da energia de
distorção máxima.
Desta forma, a energia que produz a distorção angular em uma estrutura é igual à
energia total de deformação menos a energia para produzir a variação de volume, ou seja:
mostrado:
Figura 14 – Energias aplicada em um corpo para variar seu volume
A tensão σm é chamada de tensão média e dada por:
σ
m
=
σ 1
+
σ 2
3
+
σ 3
A energia de distorção do corpo provoca uma distorção na sua forma geométrica, como
75

Figura 15 – Distorção geométrica de um corpo
Este critério se baseia na determinação da energia de distorção (isto é, energia
relacionada a mudanças na forma) do material. Neste critério, estamos interessados na tensão
equivalente
( σ − σ )
e o material é considerado no regime elástico enquanto
σ
eq
=
1
2
σ eq ≤ S Y
onde S Y é o limite de escoamento do material, tensão esta determinada em um ensaio de
tração. Graficamente esta relação é representada pela figura 15, onde cada ponto, de
coordenadas σ 1 , σ 2 representa o estado de tensões em um ponto do corpo. A região interna a
elipse de Mises indica que o ponto do corpo encontra-se no regime elástico. O contorno indica
plastificação e a região externa é inacessível.
Esta teoria preconiza que em qualquer material elasticamente tencionado aparece uma
variação no formato, no volume ou em ambos.
A energia total de deformação em uma peça submetida a carregamento pode ser
considerada consistindo de duas componentes ,uma devido ao carregamento hidrostático que
varia seu volume e outra devido a distorção com a variação do seu formato. Ao separar estas
duas componentes, a parcela da energia de distorção irá apresentar a medida da tensão
cisalhante presente. O componente estrutural estará em condições de segurança enquanto o
maior valor da energia de distorção por unidade de volume do material permanecer abaixo da
energia de distorção por unidade de volume necessária para provocar o escoamento no corpo
de prova de mesmo material submetido a ensaio de tração.
É conveniente quando utilizar esta teoria em trabalhar com a tensão equivalente, definida com o
valor da tensão de tração uniaxial que produz o mesmo nivel de energia de distorção que a
tensão real envolvida.
2
2
76

Seja a energia de distorção por unidade de volume em um material isotrópico em estado
plano de tensões:
1
Ud = . G
6
2
2
( σ − σ σ + σ )
Sendo σa e σb as tensões principais e G o módulo de elasticidade transversal.
1
No caso particular de um corpo de prova em ensaio de tração, que esteja começando a
escoar, temos σ1 =σy e σ2 =0, sendo (Ud)e = σy 2 /6. G.
Assim o critério da máxima energia de distorção indica que o elemento estrutural está
seguro enquanto Ud < (Ud)e ou seja
σ1 2 -σ1σ2 + σ2 2 = Sy 2
Figura 16 - Teoria da energia de distorção ou Von Mises
B) CRITÉRIO DE TRESCA OU DA MÁXIMA TENSÃO DE CISALHAMENTO
Este critério estabelece que a falha (escoamento) começa sempre que a tensão
cisalhante máxima em uma peça torna-se igual à tensão cisalhante máxima (Ssy) que o material
pode suportar. Neste critério, as duas tensões são consideradas, lembrando-se que:
τ máx
=
σ
−
1 2 ⇒
2
σ
1
2
2
Tensão cisalhante máxima é a metade da
diferença entre as duas tensões que atuam
Assim, o procedimento é feito calculando-se a máxima tensão cisalhante que atua na
estrutura, usando o modelo matemático apropriado, e comparando com o limite de resistência
(escoamento) ao cisalhamento (Ssy).
Escoamento começa quando:
máx = τ
S sy
77

O limite de resistência ao cisalhamento ou tensão cisalhante do material está relacionado com
Sy (limite de escoamento a tração / compressão). Desta forma, para um teste uniaxial de tração,
apenas a tensão σ1 está presente, sendo a condição extrema quando σ1 = Sy, então:
S
y
Ssy = = 0,5⋅S
y
2
O limite de resistência ao cisalhamento do material é a metade do limite de resistência
do material, seja no escoamento (Sy) como no limite de resistência máximo (Su).
A representação gráfica deste critério esta mostrada abaixo:
Figura 17 – representação gráfica do Critério de Tresca
Este critério é mais usado para materiais dúcteis.
Figura 18 – Exemplificação de torção em uma peça
Para garantir que a estrutura não ira falhar, usa-se um fator de segurança n.
τ
τ
máx
máx
=
=
Ssy Sy
n
n
=
2n
Ssu Su
A teoria da máxima tensão cisalhante deve ser a mais antiga teoria sendo
originariamente proposta por Coulomb (1736-1806), que apresentou as maiores contribuições
=
2n
78

para o campo da mecânica e da eletricidade. Esta teoria está representada graficamente na
figura 17. Note cuidadosamente na figura 17 que no primeiro e terceiro quadrantes a tensão
principal zero está envolvida no circulo principal de Mohr, o mesmo não acontecendo no
segundo e quarto quadrantes. Esta teoria se correlaciona razoavelmente com o escoamento de
materiais dúcteis. Contudo a teoria da máxima energia de distorção seria mais recomendada
porque correlaciona melhor com os dados atuais de testes de materiais dúcteis, sendo:
ESTADO UNIAXIAL - σσσσ1 < SY
SY = Limite de Resistência ao Escoamento;
σ1, σ2 - tensões normais principais
O Elemento estrutural é considerado seguro enquanto a tensão máxima de cisalhamento
τmax no elemento não exceder a tensão de cisalhamento correspondente a um corpo de prova
do mesmo material, que escoa no ensaio de tração.
3.3.2 - EXERCÍCIO RESOLVIDO
1. A viga mostrada na figura abaixo foi construída de um material com Sy = 150MPa.
Determinar a largura b da viga, sabendo-se que l = 1,5m, h=0,35m, P=100.000N,
segurança n=1,7, usando o escoamento como a característica de resistência do
material.
Resolução:
h
y =
2
σ =
P ⋅l
h
⋅
3 2
b⋅h
12
=
M = P ⋅l
Figura 19 – Figura exercício resolvido
12 P ⋅l
⋅
2 2
h
M
σ
= ⋅ y
I
⇒
I =
P ⋅l
σ = 6 ⋅
b⋅h
b⋅h
2
12
3
79

Então:
Condições de dimensionamento
P ⋅l
6⋅
b ≥
S
10 6
100000⋅1,
5⋅1,
7
6⋅
2
( 0,
35 ) ⋅150
⋅
0,083 m
P ⋅l
b ≥ 6⋅
⋅
S y
⇒ σ ≤
n
y
≤ ⇒
2
2
b⋅h n
h S y
⇒
⇒
b ≥
3.3.3 - FALHA DE MATERIAIS FRÁGEIS SOB CARGA ESTÁTICA
A) CRITÉRIO DA MÁXIMA TENSÃO NORMAL (RANKINE)
n
Este critério de comparação entre s e v, estabelece que a falha da estrutura ocorre
sempre que a maior tensão (principal) que atua na peça, determinada pelo modelo matemático
apropriado, se iguala ao limite de escoamento (Sy) ou ao limite de resistência (Su). Assim:
s1 = Sy
s1 = Su
Figura 20 – Tensão normal atuante em uma peça – Critério de Rankine
s1 é a máxima tensão normal que atua
Se o estado de tensão que atua no corpo da estrutura for um estado plano de tensão, ou
seja, tensões normais sx , sy e tensão cisalhante txy , mesmo assim a comparação com S é feita
tomando-se apenas a maior delas.
Assim:
80

Figura 21 - Estado de tensão que atua no corpo de uma estrutura em um estado plano de tensão
Apenas s1 é usada na comparação. Pelo que foi visto, o critério da máxima tensão
normal, s1 sendo a única tensão importante, tem sua aplicação em estruturas onde outras
tensões são pequenas ou desprezíveis.
Uma representação gráfica ilustra este critério conforme mostrado abaixo:
Sut = limite de resistência à tração
Suc = limite de resistência à compressão
Para os aços
⇒ Sut = Suc
Figura 22 - Critério de Rankine
Para garantir a integridade da estrutura, assegurar que a mesma não vai falhar, usa-se
um fator de segurança n (1,3 ≤ n ≤ 2,0) e a comparação é feita. Neste caso o escoamento é
considerado como limite de resistência critica. Critério mais usado para materiais frágeis.
S ut
σ = 1
n
→ Neste caso o escoamento é considerado como limite de resistência crítico.
Critério mais usado para materiais frágeis.
σ
S y
= 1 n
81

O componente estrutural se rompe quando a máxima tensão normal atinge o valor da
tensão última σU do material, determinada em um ensaio de tração em um corpo de prova de
mesmo material. Assim, o componente estrutural se encontrará em situação de segurança
enquanto os valores absolutos das tensões principais forem menores que Sut.
devido ao
O critério da máxima tensão normal é conhecido também com critério de Coulomb,
físico francês Charles Augustin de Coulomb. Este critério tem uma deficiência séria, uma vez
que se baseia na hipótese de que a tensão última do material é a mesma na tração e na
compressão.
B) CRITÉRIO DE MOHR
Ensaios de tração, compressão, torção → Envoltória dos círculos de Mohr
Figura 23 - Critério de Mohr
Este critério, sugerido pelo engenheiro alemão Otto Mohr, pode ser usado para prever
os efeitos de um certo estado de tensões plano em um material frágil, quando alguns resultados
de vários tipos de ensaios podem ser obtidos para esse material. O estado de tensões que
corresponde à ruptura do corpo de prova no ensaio de tração pode ser representado em um
diagrama de círculo de Mohr pelo círculo que intercepta o eixo horizontal em O e em σUT . Do
mesmo modo, o estado de tensões que corresponde à ruptura no ensaio de compressão pode
ser representado pelo círculo que intercepta o eixo horizontal em O e em SUC. Fica claro que um
82

estado de tensões representado por um círculo inteiramente contido em qualquer dos dois
círculos descritos é um estado de tensões seguro.
3.4 - SELEÇÃO DE MATERIAIS
A seleção de um determinado material para integrar um novo produto é uma tarefa
dinâmica e os princípios que a controlam são constantemente alterados à medida que novos
materiais são também continuamente concebidos, bem como os requisitos técnicos e econômicos
podem ser mudados. Um exemplo desse fato é a substituição das ligas metálicas por materiais
compósitos na fuselagem dos aviões comerciais de última geração. A necessidade de minimizar
gastos com combustível e melhorar o desempenho dessas aeronaves leva ao uso de um material
mais leve. Um outro exemplo é encontrado na indústria automobilística. Até o início da década
passada era comum que os blocos de motores fossem fabricados em ferro fundido, um material
relativamente pesado. Entretanto, nos últimos anos a indústria automobilística tem substituído o
ferro fundido por ligas de alumínio, que além de serem mais leves, permitem que o motor seja
refrigerado de maneira mais eficiente. A substituição de materiais é um processo contínuo que
ocorre desde os primórdios da civilização, à medida que, em função de suas necessidades, o
homem iniciou a transformação de materiais em ferramentas e utensílios. Na indústria moderna,
muitos fatores e aspectos são constantemente alterados. Isto provoca a contínua busca pela
reposição de materiais, tendo como objetivo o menor custo de produção, bem como o aumento da
eficiência do produto final. Uma lâmpada,por exemplo, é constituída por um bulbo de quartzo
(SiO2) e por um filamento de tungstênio. O tungstênio, por suportar facilmente temperaturas
acima de 2.000 0 C, é usado para transformar energia elétrica em energia luminosa. Entretanto,
em presença de oxigênio, esse metal é intensamente oxidado em temperaturas elevadas, o que
leva a sua degradação. Em uma lâmpada elétrica, o tungstênio é inserido dentro do bulbo e
selado a vácuo, o que evita a oxidação do filamento. Um exemplo clássico de alteração no perfil
de consumo de materiais é o caso da indústria automobilística. Em 1975, um carro médio
americano exibia em torno de 80% de seu peso em ligas ferrosas. Com a necessidade de redução
de peso imposta pelos aumentos do custo de combustíveis na década de 70, o emprego dessa
ligas passou a ser responsável por 73% do peso. Tal redução é significativamente profunda
quando se considera que o veículo teve seu peso reduzido em aproximadamente 25% no mesmo
período, resultado direto do uso de materiais mais leves e da diminuição em tamanho. Nesse
período, o uso de materiais leves, como os plásticos e o alumínio, passou de 8% do peso total do
veículo para valores próximos a 23%. Atualmente, é possível encontrar em alguns automóveis,
83

carrocerias construídas integralmente em alumínio, o que além de representar redução de custos,
resulta em um produto mais resistente à corrosão.
3.4.1 - MATERIAIS METÁLICOS
A principal característica dos materiais metálicos está relacionada à forma ordenada
com que os seus átomos estão arranjados no espaço, o que pode ser melhor sintetizado pelo
termo “estrutura cristalina”. Em função do arranjo atômico, os materiais metálicos apresentam,
em geral, boa resistência mecânica e podem ser deformados permanentemente sob a ação de
forças externas.
Além, disso, como resultado das ligações metálicas, eles são bons condutores de calor e
eletricidade. Os materiais metálicos são substâncias inorgânicas compostas por um ou mais
elementos metálicos e podem também conter elementos não-metálicos, como o oxigênio,
carbono e nitrogênio.
Dentre os materiais metálicos, destacam-se as ligas de alumínio, largamente empregadas
na construção de aeronaves, as ligas de titânio usadas na confecção de implantes ortopédicos e
as superligas de níquel, apropriadas para fabricação de componentes para operação em
temperaturas elevadas. Os metais são vitais para indústria moderna, pois seu uso ocorre em uma
gama de aplicações excepcionalmente diversificada, da indústria de microeletrônica à automotiva.
AÇOS ESPECIAIS
Aços especiais são os aços que pelo seu percentual de carbono ou pela adição de
elementos de liga, principalmente metálicos, apresentam propriedades específicas em termos
de resistência mecânica, à corrosão e características eletromagnéticas. Assim como nos aços
comuns, os aços especiais podem ser planos ou longos.
AÇOS ESPECIAIS PLANOS
Os aços especiais planos são produzidos através de processos de laminação a quente
ou a frio, sendo comercializados nas formas de bobinas e chapas. Os tipos mais importantes
são os aços inoxidáveis, os aços siliciosos (ou aços elétricos) e os aços carbono e/ou ligados.
84

AÇOS INOXIDÁVEIS
O aço inoxidável é versátil, reciclável e está presente em vários segmentos de mercado,
pelas suas características mecânicas, de durabilidade, limpeza e beleza. Deve conter mínimo
de 10% de cromo em sua composição, o que permite a formação em sua superfície de fina
película protetora de óxido de cromo, que impede a corrosão (oxidação) do ferro. Outros
elementos como níquel, molibdênio e cobre, quando adicionados, melhoram a resistência à
corrosão e as características mecânicas destes aços. Os aços inoxidáveis são divididos em
três tipos básicos conforme o teor de cromo, níquel e carbono em sua composição e suas
características metalúrgicas.
- Aços Inoxidáveis Martensíticos - contêm de 10% a 30% de cromo e alto carbono. O
maior teor de carbono torna estes aços temperáveis, obtendo-se dureza superficial.
- Aços Inoxidáveis Ferríticos - possuem teor de cromo idêntico aos martensíticos e baixo
teor de carbono, apresentando superior resistência à corrosão.
- Aços Inoxidáveis Austeníticos - quando, além do cromo, contêm níquel em percentagens de
5% a 25%. Estes são os inoxidáveis considerados mais nobres, pois o níquel melhora a
resistência à corrosão, as qualidades mecânicas e a resistência ao trabalho em temperaturas
elevadas.
Cabe ressaltar que o setor de bens de consumo duráveis é o maior consumidor,
especificamente o de cutelaria e baixelas. O consumo industrial, englobando indústrias
alimentícia, bebidas, láctea, vinícolas e de balcões e frigoríficos, é o segundo maior
demandante, seguido pelo setor de transportes (indústria automobilística).
AÇOS SILICIOSOS
Os aços siliciosos ou aços elétricos têm características eletromagnéticas e podem ser de
dois tipos: G.O. - grão orientado e G.N.O. - grão não orientado. Os aços ao silício G.O.
apresentam excelentes propriedades magnéticas na direção de laminação. Estes aços são
utilizados basicamente na fabricação dos núcleos de transformadores, e em menor escala em
reatores de potência, hidrogeradores e turbogeradores, propiciando economia de energia
elétrica e maior eficiência dos equipamentos. Os aços ao silício G.N.O. possuem as mesmas
propriedades magnéticas em qualquer direção. As principais aplicações são na fabricação de
núcleos de geradores e motores elétricos, não necessitando de tratamento térmico posterior.
Note-se que algumas vezes são também chamados de especiais os aços ao silício,
semiprocessados, os quais necessitam ser submetidos a tratamento térmico posterior pelo
85

usuário, para adquirir características magnéticas do aço silicioso G.N.O., porém com qualidade
inferior.
AÇOS CARBONO/LIGADOS
São utilizados em máquinas e equipamentos que requerem propriedades mecânicas
especiais, conferidas pelo alto teor de carbono (de 0,5% a 2,0% C) e/ou pelos elementos de liga
adicionados em sua confecção. Os principais usos são nos implementos agrícolas, ferramentas
e cutelaria.
AÇOS ESPECIAIS LONGOS
Os aços especiais longos apresentam enorme gama de tipos em função das
propriedades físicas e químicas requeridas. São geralmente comercializados sob as formas de
blocos, tarugos, barras, fio-máquina, arames e tubos. Para fins de estudos, podem ser
classificados em quatro tipos básicos:
AÇOS PARA CONSTRUÇÃO MECÂNICA
São aços que contêm carbono até 0,5% e/ou outros elementos de liga como silício,
manganês, cromo e molibdênio, de forma a melhorar suas características de resistência
mecânica. Os aços para construção mecânica são classificados por vários critérios como
composição química, tratamento térmico a ser submetido e aplicação final dos produtos. Os
principais tipos de aços são: microligados, para tratamento térmico, para forjados, para molas,
para porcas e parafusos e para rolamentos. Estima-se que cerca de 90% dos aços para
construção mecânica destina-se à indústria automobilística e de autopeças. A indústria
ferroviária, implementos agrícolas e de artigos de uso doméstico seriam as demais usuárias.
AÇOS DE ALTA-LIGA
Estes aços contêm elementos de liga como cromo, níquel, molibdênio, vanádio,
tungstênio e cobalto, adquirindo propriedades de dureza e resistência mecânica, entre outras,
necessárias à fabricação de ferramentas de usinagem, estampos, moldes e matrizes, válvulas e
outros produtos. Os principais tipos são: aço ferramenta, aço rápido, aço inoxidável, aço válvula
e superligas.
86

Os aços ferramenta podem ser para trabalho a frio e a quente. As principais
características do aço ferramenta para trabalho a frio são: alta resistência a abrasão, alta
tenacidade, elevada retenção de corte, alta resistência ao choque e grande estabilidade
dimensional. No caso dos aços para trabalho a quente, as principais características são:
elevada resistência mecânica a quente, boa resistência a abrasão em temperaturas elevadas,
boa condutibilidade térmica e elevada resistência à fadiga.
Os aços rápidos são aços ferramenta utilizados para fabricação de ferramentas de corte.
Os aços inoxidáveis longos destinam-se a diversos usos onde se necessite material não
corrosivo, tais como indústrias de alimentos, bebidas e hospitalar. Os aços válvula são
inoxidáveis destinados, especificamente, para a produção de válvulas de motores a combustão.
As superligas são ligas nobres, principalmente à base de níquel, feitas sob encomenda,
para utilização em resistências elétricas, eletrodos de vela de automóvel, implantes cirúrgicos,
entre outros.
3.4.2 - MATERIAIS CERÂMICOS
Os materiais classificados como cerâmicos envolvem substâncias altamente resistentes ao
calor e no tocante à estrutura atômica, podem apresentar arranjo ordenado e desordenado,
dependendo do tipo de átomo envolvido e à forma de obtenção do material. Esses materiais são
constituídos por elementos metálicos e não-metálicos (inorgânicos), formando reações químicas
covalentes e iônicas.
Em função do arranjo atômico e das ligações químicas presentes, os materiais cerâmicos
apresentam elevada resistência mecânica, alta fragilidade, alta dureza, grande resistência ao calor
e, principalmente, são isolantes térmicos e elétricos. Nas últimas décadas, uma gama bastante
variada de novos materiais cerâmicos foi desenvolvida. Tais materiais caracterizam-se,
principalmente, pelo controle de suas composições, das dimensões de suas partículas e do
processo de produção dos componentes. Como resultado desse procedimento, é possível produzir
dispositivos de alta resistência mecânica e resistente a temperaturas elevadas, o que possibilita a
aplicação dos mesmos em máquinas térmicas, onde o aumento do rendimento está ligado ao
aumento da temperatura de trabalho. Em razão de sua excelente estabilidade térmica, os materiais
cerâmicos têm um importante papel na fabricação de diversos componentes, tais como insertos de
pistões de motores de combustão interna ou ainda, na produção de componentes de turbinas a
gás. A figura 24 mostra produtos automotivos fabricados com materiais cerâmicos. Exemplos de
materiais cerâmicos incluem a alumina, a sílica, o nitreto de silício, a zircônia e o dissiliceto de
molibdênio, todos caracterizados como materiais cerâmicos de engenharia.Em função da alta
87

estabilidade térmica, os materiais cerâmicos são, em princípio, ideais na fabricação de
componentes de máquinas térmicas, as quais têm seu rendimento aumentado quando se eleva
a temperatura de operação.
(a) (b)
Figura 24 - Produtos automotivos fabricados com materiais cerâmicos: (a) Parte superior
de pistões e anéis de nitreto de silício sinterizado, (b) Rotor de turbo-alimentador de
nitreto de silício.
Entretanto, além das características citadas, os materiais cerâmicos exibem baixa
tenacidade à fratura, que corresponde à falta de capacidade de limitar a propagação de trincas
no interior do material. Assim, no caso da existência de uma pequena trinca no interior de um
componente fabricado com materiais cerâmico, a mesma propagaria rapidamente, causando a
ruptura do mesmo. Tal fenômeno ocorre em escala muito menor em materiais metálicos.
Algumas partes da fuselagem do ônibus espacial americano são recobertas com material
cerâmico. Durante a reentrada dessa aeronave na atmosfera terrestre, em conseqüência do atrito,
temperaturas acima de 1.000 0 C podem ser geradas, o que poderia danificar partes desse veículo.
O recobrimento de material cerâmico utilizado, que pode suportar temperaturas extremamente
elevadas, serve como proteção, isolando o calor gerado do resto da aeronave.
3.4.3 - MATERIAIS POLIMÉRICOS
Os materiais poliméricos, apesar de abrangerem diversos materiais classificados como
naturais, envolvem ainda aqueles de natureza sintética e artificial. Grande parte desses últimos
tiveram sua utilização viabilizada a partir da década de 20, com os avanços da química orgânica. A
principal característica que diferencia os materiais poliméricos dos outros tipos de materiais está
relacionada à presença de cadeias moleculares de grande extensão constituídas principalmente
88

por carbono. O arranjo dos átomos da cadeia molecular pode levar a mesma a ser caracterizada
como linear, ramificada ou tridimensional. O tipo de arranjo da cadeia controla as propriedades do
material polimérico. Embora esses materiais não apresentem arranjos atômicos semelhantes ao
cristalino, alguns podem exibir regiões com grande ordenação atômica (cristalinas) envolvidas por
regiões de alta desordem (não-cristalina). Devido à natureza das ligações atômicas envolvidas
(intramoleculares → ligações covalentes e intermoleculares → ligações secundárias), a maioria
dos plásticos não conduz eletricidade e calor. Além disso, em função do arranjo atômico de seus
átomos, os materiais poliméricos exibem, em geral, baixa densidade e baixa estabilidade térmica.
Tal conjunto de características permite que os mesmos sejam freqüentemente utilizados
como isolantes elétrico ou térmico ou na confecção de produtos onde o peso reduzido é
importante. Um dos materiais poliméricos mais versáteis é o polietileno, com um número de
aplicações industriais bastante amplo. Outros exemplos de materiais poliméricos incluem os
poliuretano, que é usado na fabricação de implantes cardíacos ou a borracha natural utilizada na
fabricação de pneus.O painel de um automóvel moderno é essencialmente fabricado com o uso
de plásticos (material polimérico). Entretanto, os automóveis fabricados há mais de 20 anos
tinham o mesmo painel fabricado a partir de materiais metálicos. Tal substituição foi efetuada
em função de dois fatores: segurança e custos. Com o uso de plásticos, o painel se tornou mais
seguro para os ocupantes do veículo em caso de acidente, pois esse materiais deformam-se
mais facilmente que os materiais metálicos. Com o desenvolvimento da indústria petroquímica,
os plásticos tiveram seu custo reduzido, bem como os processo de moldagem tornaram-se mais
eficiente, o que resultou em um produto de preço reduzido. Um automóvel de competição de
última geração é basicamente construído com o uso de materiais compósitos do tipo matriz
plástica e reforço de fibras de carbono. O material compósito matriz plástica/fibras de carbono
permite obter uma relação resistência mecânica/peso extremamente elevada e muito maior que a
de diversos materiais metálicos. Em um automóvel de competição é importante reduzir o peso total
do veículo. Portanto, com o uso desse material compósito é possível projetar o veiculo, com um
peso total menor. Por outro lado, o emprego de tal material em automóveis de passeio não se
justifica à medida que o custo de produção seria excessivamente elevado em comparação com o
uso do aço.
O emprego de materiais para se produzir um produto manufaturado exige etapas de
fabricação onde as características desses materiais são alteradas no tocante à forma, a
dimensões, e principalmente, em relação a sua estrutura interna. No caso de materiais metálicos, o
processamento pode envolver técnicas como a fundição, o forjamento, ou a laminação. No caso de
materiais cerâmicos, este podem ser fundidos, sinterizados, ou tratados termicamente.
89

TIPO DE MATERIAL CARACTERÍSTICAS CONSTITUINTES
METÁLICO Média – Alta resistência mecânica
Alta ductilidade
Bom condutor térmico e elétrico
Baixa – Alta temperatura de fusão
Baixa – Alta dureza
POLIMÉRICO Bom isolante térmico e elétrico
Alta ductilidade
Baixa resistência mecânica
Baixa dureza
Baixa estabilidade térmica
CERÂMICO Alta resistência mecânica
Alta fragilidade
Bom isolante térmica e elétrico
Alta temperatura de fusão
Alta dureza
Elementos metálicos e não-metalicos
Cadeiras moleculares orgânicas
Óxidos
Silicatos
Nitretos
Tabela 1 - Constituição e características dos materiais
Os materiais poliméricos são processados principalmente por moldagem a quente. Em
todos os casos, um número elevado de variáveis operacionais é observado e as características e
intensidade dessas afetarão de maneira significativa, a natureza do produto final. Por exemplo, a
transformação de um lingote de aço em uma chapa metálica a ser utilizada na fabricação de um
automóvel exige que o material seja conformado plasticamente, o que além de gerar tensões na
estrutura cristalina do metal, pode modificar sua estrutura atômica, alterando o arranjo dos átomos.
Tal situação pode alterar de maneira significativa, as propriedades mecânica do material utilizado.
Um outro exemplo está relacionado à produção de uma peça metálica pelo processo de
fundição de metais, como é o caso de um bloco de motor de automóvel. Neste caso, um molde,
com uma cavidade com a mesma forma geométrica do bloco é preenchido por um volume de
metal líquido. Após a solidificação deste metal, a peça é desmoldada e a fundição do pistão é
concluída. Quando a velocidade de solidificação do metal líquido é alta ou baixa, a estrutura
interna do material será afetada em relação a defeitos na estrutura atômica e distribuição de
constituintes e conseqüentemente, alterando as propriedades da peça.
Concluindo, um material para ser aplicado em engenharia necessita apresentar dados
sobre suas características básicas e também sobre a maneira com que o mesmo foi processado
90

até o momento de ser empregado. Uma chapa de aço, que é na verdade uma liga de ferro e
carbono, laminada "a frio" apresenta características distintas de uma outra laminada "a quente".
No projeto de um elemento de máquina, o ideal é se ter à disposição os resultados de
vários testes de resistência do material escolhido. Estes testes deverão ser feitos em amostras
que possuam o mesmo tratamento térmico, o mesmo acabamento superficial e as mesmas
dimensões do elemento que o engenheiro se propõe a construir; os testes dêem ser realizados
sob a mesma condição em que a peça estará trabalhando. Os testes deverão proporcionar
informações úteis e precisas, que dizem ao engenheiro qual o fator de segurança que deverá
ser usado e qual é a confiabilidade para uma determinada vida em serviço. O custo de reunir
numerosos dados antes do projeto é ainda mais justificado, quando há possibilidade da falha da
peça colocando em perigo vidas humanas ou quando se deve fabricar a peça em grande
quantidade . O custo dos atestes é muito baixo, quando dividido pelo número total de peças
fabricadas. Deve-se no entanto analisar as possibilidades: 1) a peça deva ser fabricada em
quantidades tão pequenas que, de forma alguma, justificariam os testes, ou o projeto deva ser
completado tão rapidamente, que não haveria tempo suficiente para a realização destes testes;
2) A peça já tenha sido projetada, fabricada e testada com a conclusão de ser falha ou
insatisfatória. Necessita-se de uma averiguação e análise mais aprofundada para compreender
a razão da falha da peça e sua não qualificação a fim de projetá-la mais adequadamente e
portanto melhorá-la. Normalmente o profissional terá somente os valores de limites de
escoamento, limites de ruptura e alongamento percentual do material, como as que são
apresentadas no apêndice deste livro. Com estas poucas informações, espera-se que o
projetista de máquinas apresente uma solução adequada. Os dados normalmente disponíveis
para o projeto foram obtidos através de testes de tração, onde a carga é aplicada gradualmente
e há um tempo para o aparecimento de deformações. Estes dados poderão ser usados para o
projeto de peças com cargas dinâmicas aplicadas das mais diversas maneiras a milhares de
rotações por minuto. O problema fundamental aqui seria usar portanto os dados dos testes de
tração e relacioná-los com a resistência das peças, qualquer que seja o estado de tensão ou
carregamento.
3.5 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Qual a peça solicitada por maior tensão; uma barra de aço de seção reta 1,31×1,53 cm
solicitada por uma carga de 209,5 N ou uma barra de aço duro de seção circular de
diâmetro 6,8 mm sob uma carga de tração de 139,0 N ?
91

2. Em um fio de aço são marcados dois traços que distam entre si 50,0 mm. O fio é
tencionado e a distância entre traços passa a ser 57,6 mm. Qual o alongamento sofrido?
3. Se o módulo médio de deformação longitudinal (Es) de um aço é 2.100.000 kgf/cm 2 ,
quanto se alongará um fio de 12,7 mm de diâmetro e com 10 m de comprimento, quando
solicitado por uma carga de tração de 18.000 kgf?
4. Se o módulo médio de deformação longitudinal (Ec) de um concreto é 250.000 kgf/cm 2 ,
quando se encubará (deformação elástica-instantânea) uma viga de seção reta 20×30
cm com 10m de comprimento, quando submetida a uma carga de compressão de
18.000 kgf?
5. Com o valor de encurtamento obtido no exercício 4 calcule em quanto foi reduzida a
carga de tração do exercício 3.
6. Uma carga de 450 kgf, quando aplicada a um fio de aço com 240 cm de comprimento e
0,16 cm 2 de área de seção transversal, provoca uma deformação elástica de 0,3 cm.
Calcular a tensão (σ), a deformação (ε) e o módulo de Young (Es).
7. Ao se determinar a dureza Brinell de um exemplar de uma amostra de cobre, usou-se
uma esfera de diâmetro 2mm impressa com uma força igual a 40 kgf. Os diâmetros de
impressão, medidos a 180° um do outro foram de 0,67 e 0,69 mm. Qual a dureza Brinell
do corpo de prova ensaiado?
8. Uma barra de alumínio com 12,5 mm de diâmetro, possui duas marcas que distam entre
si 50mm. Os seguintes dados obtidos de um ensaio de tração:
Carga (kgf) Distância entre marcas (mm)
900 50,05
1800 50,10
2700 50,15
3600 54,80
Tabela 2 – exercício proposto 8
a) Construir a curva tensão×deformação;
b) Calcular o módulo de deformação longitudinal da barra;
c) Calcular a tenacidade do material, Para este cálculo, é necessário, fazer uma
simplificação admitindo patamar de escoamento linear até a ruptura (material elástico-
plástico perfeito).
92

SOLICITAÇÕES ESTÁTICAS
9. Projetou-se um pequeno pino de 8 mm de diâmetro, de um ferro fundido cujas tensões
de resistência a tração e a compressão são respectivamente σrt=293 MPa e σrc=965
MPa. Este pino suportará uma carga compressiva de 3500 N combinada com uma carga
torcional de 9000 N.m. Calcular o fator de segurança usando a teoria da Tensão Normal
Máxima, Teoria de Mohr Modificada e Teoria de Coulomb-Mohr.
10. Determine o fator de segurança para o suporte esquematizado na figura abaixo
baseando-se na teoria da máxima energia de distorção e na teoria da máxima tensão de
corte e compare-as.
Material: Alumínio com σe =330 MPa
Comprimento da haste: L = 160 mm
Comprimento do braço: a = 200 mm
Diâmetro externo da Haste: 45 mm
Carregamento : F = 4500 N
Figura 25 – Exercício proposto 10
11. Determine o fator de segurança para o suporte esquematizado na figura acima se
baseando na teoria de Mohr modificada.
Material: Ferro fundido cinzento com σrt =380 MPa e σrc = 1200 MPa
Comprimento da haste: L = 160 mm
Comprimento do braço: a = 200 mm
Diâmetro externo da haste: 39 mm
Carregamento : F = 4500 N
12. Determinar os fatores de segurança, correspondentes às falhas pelas teorias da tensão
normal máxima, da tensão cisalhante máxima, e da teoria de Von-Mises (energia da
distorção) respectivamente para um aço 1020 Laminado, para cada um dos seguintes
estados de tensão:
a) σx =70 MPa e σy = -28 MPa.
b) σx =70 MPa e τxy = 28 MPa. (sentido horário).
c) σx = -14MPa , σy = -56 MPa e τxy = 28 MPa. (sentido anti-horário).
d) σx =70 MPa e σy = 35 MPa.τxy = 70 MPa. (sentido horário).
93

13. Usando os valores típicos das resistências do ferro fundido ASTM 40, determinar os
fatores de segurança correspondentes à fratura, pelas teorias da tensão normal máxima,
de Coulomb-Mohr e modificada de Mohr, respectivamente, para cada um dos seguintes
estados de tensão:
a) σx =70 MPa e σy = -28 MPa.
b) σx =70 MPa e τxy = 28 MPa. (sentido horário).
c) σx = -14MPa , σy = -56 MPa e τxy = 28 MPa. (sentido anti-horário).
d) σx =70 MPa e σy = 35 MPa.τxy = 70 MPa. (sentido horário).
14. Um tubo de alumínio com σe =290 MPa e σrt = 441 MPa tem 80 mm de diâmetro externo
e espessura de parede de 1,25 mm e esta sujeito a uma pressão estática interna de 8,9
MPa. Calcular o fator de segurança, contra o escoamento, aplicando as três teorias para
materiais dúcteis.
15. Um cilindro de paredes grossas deve ter um diâmetro interno de 15 mm, ser feiro de um
aço SAE 4140 normalizado e deve resistir a uma pressão interna de 35 MPa baseado
num fator de segurança de 4. Especificar um diâmetro externo satisfatório, baseado a
decisão no escoamento, de acordo com a teoria da máxima tensão cisalhante.
16. Um elemento de máquina de seção retangular esta submetido a uma carga P = 5000N.
O elemento é confeccionado com aço SAE 1020 normalizado. O raio de curvatura r = 50
mm e b = 10mm, c = 10 mm. Determine o coeficiente de segurança correspondente a
teoria de von-Mises.
CRITÉRIOS DE ESCOAMENTO E FRATURA
17. Um componente de máquina construído em aço, está submetido ao estado de tensões
indicado. O aço utilizado tem σY = 331 MPa. Usando a teoria da máxima tensão de
cisalhamento (Tresca), determinar se vai ocorrer escoamento quando: a) σ0 = 210 MPa;
b) σ0 = 252 MPa; c) σ0 = 294 MPa. Resp.: a) Não; b) Sim; c)Sim.
18. Resolver o problema anterior usando a teoria da máxima energia de distorção (von
Mises).
94

Resp. : a)Não; b) Não; c) Sim.
19. Um componente estrutural de aço, com σY = 300 MPa, fica submetido ao estado de
tensões indicado.
Figura 26 – Exercício proposto 19
Determinar, usando o critério da máxima energia de distorção, se o escoamento vai
ocorrer quando:
a)τ0 =60 MPa; b) τ0 = 120 MPa; c) τ0 = 130 MPa. Resp. : a) Não; b) Não; c) Sim.
20. Resolver o problema anterior usando a teoria da máxima tensão de cisalhamento.
Resp. : a) Não; b) Sim; c) Sim.
Figura 27 – Exercício resolvido 20
95

21. Uma barra de alumínio é feita de uma liga para a qual σUT = 70 MPa e σUC = 175 MPa.
Sabendo-se que a intensidade T dos torques indicados é aumentada gradativamente e
usando o critério de Mohr, determinar a tensão de cisalhamento τ0 que deve ocorrer na
ruptura da barra. Resp. : 50 MPa.
22. Um elemento de máquina é feito de ferro fundido para o qual σUT = 51,7 MPa e σUC =
124,1 MPa. Determinar, para cada um dos estados de tensões indicados, e usando o
critério de Mohr, a tensão σ0 para a qual deve ocorrer a ruptura do elemento. Resp. : a)
51,7 MPa; b) 42,8 MPa; c) 56,4 MPa.
23. A tensão de escoamento para um dado material vale 110 MPa. Se esse material está
sujeito a tensão plana e a falha por escoamento ocorre quando uma das tensões
principais é igual a +120 MPa, qual o valor da menor intensidade para a outra tensão
principal ? Usar o critério de Von Mises. Resp.: 23,9 MPa.
24. Se um eixo é construído com um material para o qual σY = 50 ksi, determine a tensão
tangencial máxima de torção no inicio do escoamento segundo : a) teoria da máxima
tensão tangencial (Tresca); b) teoria da máxima energia de distorção (Von Mises).
Resp.: a) 25 ksi; b) 28,9 ksi.
25. O estado de tensões abaixo mostrado ocorre no ponto crítico de um elemento estrutural
cuja tensão de escoamento σY = 300 MPa. Esboçar o hexágono de Tresca e a elipse de
von Mises marcando sobre mesmos o ponto correspondente ao estado de tensões dado
e demonstrando se há segurança ao segurança ao escoamento.
Figura 28 – Exercício resolvido 25
96

26. O teste de tração em um corpo de prova de aço 12.5 mm diâmetro e 50 mm de
comprimento , forneceu o seguinte resultado :
Carga (kN) 26 36 46.5 54.5 71 75 80.5 85
Alongamento (mm) 0.05 0.07 0.09 0.11 0.15 0.20 0.31 0.41
Tabela 3 – Exercício proposto 26
1. Calcule o limite de resistência ao escoamento 0.2% e o módulo de elasticidade. [ 640
MPa, 207 GPa ]
2. Um peça cilíndrica de 800 mm de comprimento deverá resistir a uma força de tração
de 2 kN sendo que o seu comprimento não deve exceder a 1 mm. O fator de
segurança mínimo é 2.5 .
Figura 29 – Exercício resolvido 26
27. Este exemplo introduz conceitos que serão utilizados no tratamento de juntas com
flanges. Um parafuso olhal de diâmetro de 18 mm (1) é montado através de um furo de
diâmetro 20 mm em uma luva de diâmetro externo de 35 mm (2),com a porca para
fixação. A porca é então apertada produzindo uma força inicial de montagem e a carga
P finalmente é aplicada. A máxima tensão admissível é de 550 e 80 MPa para o
parafuso e a luva respectivamente, e o módulo de elasticidade são 550 e 80 para o
parafuso e a luva respectivamente. Qual a máxima carga que a montagem poderá
resistir sem perda de contato e qual a força inicial será necessária? Resposta [ 136, 52
kN ].
29. Três barras de comprimento 0.5 m são idênticas e feitas de aço com limite de
escoamento de 250 MPa e conectadas por dois pinos. São submetidas a carga de 15
kN. Estas barras foram projetadas para suportar igual carga e fator de segurança 2,5.
97

Devido a erro de fabricação o comprimento da barra central difere de 0,2 mm do
comprimento das outras barras exigindo que um dos pinos esteja trabalhando forçado
yield steel, are conectada por dois pinos e onde é aplicada uma carga de 15 kN.
Desprezando a flambagem, determine o real fator de segurança na montagem se
a. a barra central é a maior de todas. Resposta [ 2.0 ]
b. a barra central é a menor de todas. Resposta [ 1.6 ]
Figura 30 – Exercício resolvido 29
30. Uma prensa consiste de um parafuso central rosqueado 1 através da viga 2 que
está conectado à base através de dois cilindros idênticos 3. Todos os componentes são de aço
; suas dimensões efetivas são:
1. o passo do parafuso central é de 3mm , seu diâmetro é de 20 mm e seu comprimento
é de 250 mm;
2. a viga possui 300 mm de largura, 60 mm de profundidade e comprimento de 250 mm;
3. Os cilindros são de 250 mm de comprimento e diâmetro de 15 mm cada.
Figura 31 – Exercício resolvido 30
O parafuso é girado manualmente até assentar-se na base. Qual a tensão nos cilindros
quando após isto. o parafuso gira um quarto de volta ? Despreze os efeitos de deflexão
e flambagem.
[Resposta 209 MPa ]
98

31 . O disco anular de raios ri e ro e espessura b, é apoio ao longo de sua superfície
externa. Uma carga é transmitida uniformemente para sua periferia interna por
cisalhamento. Supondo que o cisalhamento no disco para o raio r seja uniforme,
calcule a rigidez devida :
1. a carga axial,F. Resposta [ 2 b G / ln ( ro/ri ) ]
2. um torque, T. Resposta [ 4 b G /( 1/ri 2 - 1/ro 2 ) ]
Figura 32 – Exercício resolvido 31
32. Quando um eixo sólido de seção circular é submetido a a uma pressão uniforme p
(devido a montagem com interferência de uma polia por exemplo) , as tensões radiais e
circunferências no eixo são compressivas e iguais a p. Usando a teoria de falha da máxima
tensão cisalhante, deduza equação de projeto para uma seção transversal de um eixo de
módulo Z, carregada pela pressão p, por um momento fletor M e um torque T.
Resposta [ n √{ (M/Z + p) 2 + (T/Z) 2 } = S ]
Figura 33 – Exercício resolvido 32
33. As componentes de tensão resultantes em uma seção transversal de uma peça circular
de diâmetro 50 mm, material dúctil, são mostradas: força de tração de 120 kN, força
cisalhante vertical de 120 kN , momento fletor de 0,5 kNm e um torque de 1,5 kNm. Qual
a tensão máxima equivalente nesta seção transversal? Resposta [ 292 MPa ]
99

Figura 34 – Exercício resolvido 33
34. Determine para cada um dos seguintes estados bidimensionais de tensão (MPA) , as
116.6 o ]
]
tensões principais e a orientação da máxima tensão principal. Faça um desenho dos
elementos orientados segundo as direções principais.
A) σ x = 80 ; σ y = 170 ; τxy = 60 c.w. Resposta [ 50, 200 MPa,
B) σ x = -220 ; σ y = -70 ; τxy = 180 c.c.w. Resposta [ -340, 50 MPa, 56.3 o ]
C) σ x = -205 ; σ y = -445 ; τxy = 35 c.w. Resposta [ -450, -200 MPa, -8.1 o
35. Mostre que a teoria de falha por distorção leva às seguintes formas alternativas para um
estado plano de tensão :
σ e 2 = σ 1 2 - σ 1 σ 2 + σ 2 2 onde σ 1 e σ 2 são as tensões principais,
= σ m 2 + 3 σ a 2 ou em termos dos componentes básicos
= σ x 2 - σ x σ y + σ y 2 + 3 σ xy 2 ou em termos dos componentes cartesianos.
Qual a relação entre as resistência à tração e ao cisalhamento que esta teoria prediz?
Resposta [ 0.577 ]
36. Um eixo uniformemente sólido ABCDE é apoiado por dois mancais em A e D, e gira a
900 rpm. Uma potência de 50 kW é aplicada ao eixo através de uma polia de diâmetro
de 560 mm em C. A potência de 30 kW é dissipada pela polia de 280 mm de diâmetro
em B, e 20 kW pela polia de 210 mm de diâmetro em E. Cada polia, as duas correias
são paralelas e a relação de tração nelas é de 3:1. Determine o diâmetro mínimo
admissível do eixo se a tensão admissível de projeto devido a fadiga é de 100 MPa.
Resposta [ diâmetro de 40 mm ]
100

Figura 35 – Exercício resolvido 36
37. O braço de uma broca abcdefg é feito de um eixo de aço com limite de resistência a
fadiga de 450 MPa e está submetido ao carregamento mostrado na figura. Um mancal
de apoio em g prevê a reação de torque necessário ao equilíbrio. Qual o fator de
segurança? Resposta [ teoria da máxima tensão cisalhante 1.21; teoria da
energia de distorção 1.22 ]
Figura 36 – Exercício resolvido 37
38. O eixo horizontal ABCD é apoiado em dois mancais em B e D como mostra a figura.
Uma correia envolve uma polia de 250 mm de diâmetro fica no eixo em A, e uma
engrenagem de 150 mm de diâmetro primitivo está montada no eixo em C. Os
diâmetros do eixo e a disposição axial dos componentes está mostrada abaixo.
Figura 37 – Exercício resolvido 38
101

15.6]
As forças atuantes na correia são horizontais e na relação F1/F2 = 4, enquanto que a
reação vertical no pinhão ,P atua tangencialmente ao círculo primitivo. Determine o fator
de segurança do eixo quando suporta uma potência de 20 KW através da correia para o
pinhão a uma freqüência de 7,5 Hz, sendo que o limite de escoamento do material do
eixo é de 500 MPa. Neste exemplo são desprezados aspectos de fadiga e concentração
de tensão Um grande fator de segurança deverá ser portanto obtido devido a estas
considerações.
Resposta [teoria da máxima tensão cisalhante 14.5 ou teoria da energia de distorção
102

CAPITULO 04 - CARREGAMENTO DINÂMICO - FADIGA E
CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES
4.1 - INTRODUÇÃO
Na determinação das propriedades dos materiais através do diagrama tensão-
deformação a aplicação da carga é gradual, sendo esta condição definida como condição
estática. Os valores obtidos se aplicam aos critérios conhecidos como critérios estáticos.
Por outro lado, as condições que freqüentemente aparecem em estruturas mecânicas
são solicitações dinâmicas, onda as tensões/deformações variam ciclicamente em pequenos
intervalos de tempo, como no caso de um eixo em uma máquina rotativa. Esta flutuação da
tensão ou variação em função do tempo leva à estrutura a falha por fadiga. A fadiga é um
processo gradual, iniciado com pequenas trincas não visíveis a olho nu, que se desenvolve de
forma progressiva e acumulativa, levando a peça a falhar bruscamente após um determinado
número de solicitações ou ciclos. Muitas pesquisas já foram realizadas nesta área de forma,
nos dando um conhecimento parcial dos mecanismos básicos associados com a falha por
fadiga. Neste capítulo iremos dar alguns fundamentos de conceitos elementares que são de
grande ajuda para o entendimento do comportamento devido à fadiga. A falha por fadiga
resulta, portanto de deformação plástica repetitiva, da mesma forma que um arame falha ao ser
fletido repetidamente para frente e para trás. Sem o escoamento plástico repetido, a falha por
fadiga não acontece. A falha por fadiga pode ocorrer a níveis de tensão bem abaixo do ponto de
escoamento ou limite elástico convencional. Devido ao fato que o escoamento plástico
altamente localizado pode dar origem a falha por fadiga, o engenheiro é levado a ter especial
atenção a locais potencialmente vulneráveis tais como: quinas, roscas, rasgo de chavetas,
corrosão, furos e entalhes. O aumento de resistência destes locais chamados de vulneráveis é
tão efetivo quanto substituir a peça por uma material mais resistente. A fissura inicial devido a
fadiga resulta em um aumento da concentração de tensão local. À medida que a fissura se
propaga, o material na raiz da fissura é submetido a um escoamento reverso bem localizado e
destrutivo. A seção é reduzida e cauda um aumento de tensões, a taxa de propagação da
fissura aumenta até que a seção restante não é mais capaz de suportar a carga aplicada, vindo
finalmente a acontecer a fratura. Este capítulo descreve a obtenção do limite de resistência à
fadiga, fatores modificativos desta resistência e as teorias existentes para o seu cálculo.
103

4.2 - TESTE DE FADIGA
O carregamento dinâmico consiste em solicitações onde as tensões variam ciclicamente
em pequenos intervalos de tempo. Uma causa comum de fratura é a fadiga: tipo de falha devido
a cargas repetidas, a qual é responsável por grande parte das falhas por causas mecânicas.
Em geral, uma ou mais trincas pequenas surgem no material, podendo crescer até que ocorra
falha completa. Este efeito é observado em estruturas com estado de tensões bem abaixo da
tensão de ruptura.
Se o número de repetições (ciclos) do carregamento é grande, da ordem de milhões,
então a situação é dita fadiga de alto ciclo. Por outro lado, fadiga de baixo ciclo é causada por
um número relativamente pequeno de ciclos, cerca de dezenas, centenas, ou milhares. Fadiga
de baixo ciclo é geralmente acompanhada por uma quantidade significativa de deformação
plástica, enquanto que fadiga de alto ciclo é associada a deformações relativamente pequenas
que são essencialmente elásticas. Componentes de máquinas, veículos e estruturas, são
freqüentemente sujeitos a carregamentos repetidos, também chamados de carregamentos
cíclicos, e as tensões cíclicas resultantes podem levar a danos físicos microscópicos nos
materiais envolvidos. Mesmo em tensões bem abaixo de uma dada resistência do material, os
danos microscópicos podem ser acumulados com ciclo contínuo até seu desenvolvimento em
uma trinca ou outro dano macroscópico que leva à falha do componente. A figura abaixo mostra
o croqui do corpo de prova para o teste de fadiga à flexo-torção.
Figura 1 – Corpo de Prova de Moore para fadiga.
A Máquina de fadiga para testes de flexo-torção é bem simples, e o laboratório de
Análise Estrutural da PUC-Minas, possui o equipamento mostrado na figura 2.
A figura 3 apresenta um esquema da máquina, onde se verifica que o momento fletor
atuante no corpo de prova é constante. O braço de alavanca provoca uma carga 10 vezes
maior no corpo de prova. Um motor elétrico de 3500 rpm produz as rotações no corpo-de-prova.
Estas rotações são registradas por um contador eletrônico com capacidade de contar até 10 9
ciclos. Ocorre o desligamento automático da máquina após a falha do corpo-de-prova.
104

Deve-se observar que a fixação do corpo-de-prova, na máquina é feita em dois pontos.
Assim, o corpo-de-prova fica submetido a um momento fletor constante no seu centro, logo,
nesta região do corpo-de-prova atua apenas o momento fletor.
Figura 2 - Máquina de Fadiga Flexo-Rotativa aberta no Laboratório de
Análise Estrutural da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
Figura 3 - Esquema da máquina de fadiga.
4.3 - DETERMINAÇÃO DO LIMITE DE RESISTÊNCIA À FADIGA
Para determinar o limite de resistência à fadiga Sf (também chamado de limite de fadiga)
Moore desenvolveu uma máquina rotativa para testar corpos de provas, cujo esquema é dado
abaixo:
105

Provoca-se um momento constante ao longo do comprimento do corpo de prova L com a
aplicação da carga. Vários corpos de prova idênticos são testados para diferentes cargas P
(diferentes tensões na seção crítica), sendo que o número de ciclos ou vida para cada um deles
será, portanto diferente. A representação gráfica tem a configuração mostrada abaixo:
Figura 4 - Curva de fadiga para aços, sendo Sf o limite de resistência à fadiga.
Na figura 4 acima, pode ser observado que, para um nível de tensão σ ≤ Sf, o corpo de
prova de aço não rompe, tendo uma vida infinita ou número de ciclos (N) muito grande, maior
que 10 6 ciclos. Por outro lado, para um número de ciclos menor ou igual a 10 3 (mil ciclos), a
tensão de ruptura é praticamente igual ao limite de resistência à tração, encontrada para os
testes estáticos, sendo o valor mais recomendado pela literatura é 0,9 Su. Neste capitulo
usaremos ambas as expressões Su ou Srup para o limite de resistëncia a tração. A tensão
encontrada nos testes de fadiga, para uma vida infinita, utilizando a máquina de Moore, é
chamada de limite de resistência à fadiga e é representado por Sf. O valor do limite de
resistência à fadiga varia para os diferentes tipos de aço. Dos resultados experimentais, obtidos
para aços comerciais, conclui-se que existe uma relação funcional entre o limite de resistência à
fadiga do corpo de prova, Se' e o limite de resistência à tração, Su, tal que:
S f
' = 0.
504×
Su ⇒ O limite de resistência à fadiga de corpos de
prova (Sf') é a aproximadamente a metade do limite de resistência à
tração (Sut) para aços.
É importante notar que a relação acima vale somente para valores do limite de
resistência à tração de aços até 1400 MPa. Os resultados experimentais mostram que para
valores acima de 1400 MPa, o limite de resistência à fadiga dos aços fica praticamente em
torno de 700 MPa. Portanto '= 700Mpa
⇒ quando Su > 1400Mpa
. Tem-se então que,
S f
para traçar o diagrama teórico S-N (tensão-número de ciclos) de um corpo de prova de aço, não
106

é necessário realizar inúmeros testes na máquina de Moore. A comprovação experimental
mostra que a construção desta curva em escala log-log pode ser feita assumindo:
10 3 ciclos ⇒ usar σ = 0.9 Srup.
10 6 ciclos ⇒ usar σ = 0.5 Srup.
Para isto basta marcar os pontos A e B, respectivamente 0,9 Srup e 0,5 Srup. Marcar o
ponto C para 10 6 , na posição correspondente a 0,5 Srup. A figura abaixo mostra este
procedimento.
4.3.1 - FATORES MODIFICATIVOS
Figura 5 - Curva de fadiga teórica para um aço comercial
Nota-se que o limite de resistência à fadiga Sf' encontrado para um aço, vale para um
corpo de prova, de dimensões padronizadas, testado sob certas condições de acabamento e
temperatura. O limite de resistência à fadiga de uma peça qualquer sofre várias influências que
devem ser levadas em consideração. Os fatores de modificação são usados para modificar Sf',
adaptando-o às condições reais da peça em estudo. Assim, multiplicando Sf' pelos vários
fatores modificativos, K, tem-se o limite de resistência à fadiga teórico, de peça Sf.
S = Ka × Kb × Kc × Kd × Ke × S
f
Cada fator modificativo,K tem uma função de modificação definida por um valor
numérico. Assim, na expressão acima tem-se:
Sf = Limite de resistência à fadiga da peça;
Sf' = Limite de resistência à fadiga do corpo de prova;
Ka = Fator devido ao acabamento superficial;
Kb = Fator devido ao tamanho da peça;
Kc = Fator devido ao tipo de carga;
f
'
107

Kd = Fator devido à temperatura;
Ke = Fatores diversos, como concentração de tensões ou ambiental.
A) FATOR DE ACABAMENTO SUPERFICIAL
Este fator leva em consideração o acabamento da superfície, que no caso do corpo de
prova é bem acabada e polida. Como o acabamento é função do material e da forma que o
mesmo foi trabalhado, a fórmula abaixo permite a sua determinação do fator de superfície Ka:
Ka = a.
S
onde Srup é o limite de resistência à tração do material. Uma vez que o limite de resistência à
tração de materiais dúcteis é idêntico ao limite de resistência à compressão, utiliza-se a
expressão Srup, mas alguns autores utilizam a expressão Srupt para defini-lo e Srupc para o limite
de resistência à compressão. Os fatores a e b são obtidos a partir da tabela a seguir:
Acabamento superficial
b
rup
Fator a
Kpsi MPa
Fator b
Retificado 1.34 1.58 -0.085
Usinado ou estirado à frio 2.70 4.51 -0.265
Laminado à quente 14.4 57.7 -0.718
Forjado 39.9 272 -0.995
Tabela 1 - Valores para os fatores a e b, no sistema internacional e inglês, de acordo com [67].
B) FATOR DEVIDO AO TAMANHO
O fator Kb para flexões e torções é calculado por:
−0.
1133
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ 0.
3 ⎠
d
Kb 0. 11 ≤ d ≤ 2 in (pol.)
−0,
1133
⎛ d ⎞
−0,
107
Kb = ⎜ ⎟ = 1,
24.
d 2, 79 d ≤ 51 mm
⎝ 7,
62 ⎠
≤ (mm)
Kb = 0, 859 − 0,
000837.
d 51≤ d ≤ 254 mm (mm)
Para valores maiores, Kb varia de 0.60 a 0.70 para flexões e torções. Se a peça estiver
sob cargas axiais, o tamanho não tem nenhum efeito sobre o limite de resistência à fadiga e,
portanto adota-se Kb = 1. Quando a peça não estiver girando ou a seção transversal não for
circular, o valor do fator Kb deve ser calculado. Nestes casos utilizamos o conceito de diâmetro
108

efetivo de, que é obtido equacionando o volume do material submetido à carga e 95% da carga
máxima para o mesmo volume do corpo de prova. Quando os dois volumes são igualados, o
comprimento é cancelado e precisamos considerar apenas as áreas.
No caso de peças com secções não circulares, como a figura 6 Para se calcular o
diâmetro efetivo para uma barra de secção retangular, usa-se a fórmula:
( ) 2 / 1
de = 0. 808.
hb
sendo que h é a altura e b a largura da seção retangular.
C) FATOR DEVIDO AO CARREGAMENTO
Para carregamento axial, Kc=1 ou Kc=0,922 ( > 1400Mpa
)
Para carregamento de flexão Kc=1
S rup
Para carregamento devido a cisalhamento, torção Kc = 0,577.
D) FATOR DEVIDO À TEMPERATURA
Os testes realizados nos corpos de prova foram à temperatura ambiente. Para peças
trabalhando a temperaturas diferentes a da ambiente, os fatores Kd podem ser obtidos por
tabelas ou experimentalmente. Nesta edição ainda usaremos Kd=1,pois os valores de Kd estão
sendo obtidos no laboratório de Análise Estrutural da PUC-Minas em pesquisa em andamento.
E) FATOR DEVIDO À CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES
A concentração de tensão está presente em toda estrutura que contém curvaturas
significativas, entalhes e outra forma de perturbação brusca na geometria da peça. Os fatores
de concentração teórico Kt, obtidos na sua maioria de forma experimental, podem ser obtidos
em tabelas e gráficos próprios, como mostrado no final do capítulo. Este fator, quando
multiplicado pela tensão nominal, ou seja, tensão σo calculada pelo modelo matemático sem a
existência de entalhe, permite determinar a tensão máxima que atua no entalhe.
σ
máx
= Kt. σ o
⇒
σ
Kt =
σ
Estes gráficos mostram os principais fatores de concentração de tensão para alguns
entalhes mais usados nas estruturas.
máx
o
109

Dependendo do tipo de material ou da sua resistência, este fator de concentração de
tensão geométrico ou teórico, Kt, sofre alterações, diminuindo sua intensidade em função da
sensibilidade q do entalhe. A relação que determina o novo fator de concentração Kf (fator
efetivo ou prático), foi definido por Peterson, como:
( 1)
Kf = 1+ q × Kt −
A sensibilidade ao entalhe q, depende do limite de resistëncia a tração e do raio do
enalhe. Os valores experimentais da literatura usam q variando de 0 a 1,sendo que os valores
mais utilizados se encontram na faixa de 0,6 a 0,9. Esta faixa de valores será utilizada nesta
edição e após os resultados experimentais obtidos na PUC-Minas, teremos alteração nestes
valores de q.
Calculado o fator Kf, temos que:
1
Ke =
Kf
Este é o fator Ke , que devemos usar como fator corretivo,na fórmula para o cálculo do
limite de resistência à fadiga de peça ,Sf.
F) EFEITO DA CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO COM CARGA DE FADIGA
COMPLETAMENTE REVERSA
Para elementos de máquinas com entalhes as curvas S-N apresentam para o mesmo
material um valor menor do que quando não possuem entalhes. Isto significa que as
concentrações de tensões são importantes causando esta diminuição. A relação entre os
limites de resistência a fadiga sem entalhe e com entalhe é designada como Kf, ou fator de
concentração de tensão de fadiga. Teoricamente, poderíamos esperar que Kf fosse igual ao
fator teórico de concentração de tensões Kt. Os testes, porém mostram que Kf é
freqüentemente menor que Kt. Isto é aparentemente devido a irregularidades internas na
estrutura do material. Um material "ideal" teria tensões internas de acordo com a teoria elástica;
na realidade os materiais possuem irregularidades causando pontos localizados com maiores
tensões. Então, mesmo corpos de prova não entalhados sofrem destes "entalhes internos". A
equação definida como = 1+ q × ( Kt −1)
Kf , utiliza o índice de sensibilidade ao entalhe q, que
varia entre 0 (Kf =Kt) e 1 (Kf=1). Há portanto necessidade de se determinar o indice de
sensibilidade do material. A situação é um pouco mais complicada do que se imagina porque a
sensibilidade ao entalhe depende não somente do material mas também do raio relativo da
110

geometria do entalhe e das dimensões das imperfeições internas características. Os raios de
entalhe bem pequenos aproximando-se de imperfeições de material fornecem um índice de
sensibilidade quase zero o que não deixa de ser uma boa noticia! Isto torna o Kf quase sempre
igual a um. Os gráficos do índice de sensibilidade ao entalhe são plotados em função do raio e
da resistência à tração dos materiais (Figura 7). Para os aços observa-se a tendência de que
materiais mais resistêntes e duros são mais sensíveis ao entalhe. Isto significa que a troca de
um aço menos resistente por um aço mais resistente e duro normalmente aumenta uma parte
da resistência a fadiga, mas o aumento não é tão grande como se poderia esperar devido ao
aumento no índice de sensibilidade. A Figura 4.6 também mostra que para um dado aço
submetido a carregamento torcional a sensibilidade ao entalhe é um pouco maior do que para
carregamento axial e fletor. Os resultados também mostram que a influência do entalhe a 10 3
ciclos é consideravelmente menor do que a 10 6 ciclos.
Outro aspecto onde há uma pequena divergência entre os autores. É melhor tratar o Kf
como um fator de concentração de tensão ou um fator de redução de resistência? Os autores
diferem neste ponto, mas a maioria utiliza como fator de concentração de tensão. Na realidade
a resistência do material não enfraqueçe pela existência do entalhe. O entalhe é o causador de
tensões maiores e localizadas. Com isto pode-se utilizar as curvas S-N tanto para peças com
ou sem entalhes.
G) FATORES DEVIDO A INFLUÊNCIA DIVERSAS
A peça pode não possuir pontos de concentração de tensão, mas o fator Ke pode ser
também utilizado quando se considera outros efeitos como, direcionamento na laminação do
material, corrosão, tensões residuais, cromagem superficial e outros tratamentos de cobertura
superficial.
4.4 - LIMITE DE RESISTÊNCIA PARA VIDA FINITA
Uma vez determinados todos os coeficientes de modificação, é possível calcular o limite
de resistência à fadiga para a peça em estudo:
S = Ka × Kb × Kc × Kd × Ke × S
f
Desta forma é possível traçar o diagrama S-N para a peça, como já definido:
f
'
111

Figura 8 - Determinação da resistência à fadiga S, para um número de ciclos
(10 4 ciclos) e um limite de resistência à fadiga Sf determinados.
Como Sf é o limite de resistência à fadiga para vida infinita, pode-se calcular, a partir do
diagrama acima o limite de resistência a fadiga (S) para uma vida finita. A solicitação cíclica em
uma peça é um processo cumulativo, ou seja, se a peça resiste a 100.000 ciclos e já sofreu
30.000 ciclos, ela memoriza ou guarda este número de ciclos. Se em outra oportunidade a peça
continuar sendo solicitada, o número de solicitações ainda possível é igual ao número de ciclos
totais que ela suportaria menos o número de ciclos já aplicados, ou seja, 70000. A teoria de
fadiga acumulativa é estudada pela Regra de Minner.
onde
a
=
( 0,
9.
S )
S
f
S .
rup
2
b
= a N para
4.5 - FADIGA SOB TENSÕES FLUTUANTES
e
b
N
1
= − log
3
⎛
= ⎜
⎝
S
S
a
0,
9.
S
Freqüentemente encontram-se em estruturas solicitações diferentes das simplesmente
alternadas. Estas tensões são chamadas de flutuantes ou a combinação de tensões alternadas
e tensões médias constantes. As figuras a seguir mostram estas solicitações:
f
⎞
⎟
⎠
1
b
rup
112

Figura 9 - Tensões reversas, repetidas e flutuantes.
As tensões médias (σm) e alternadas (σa) são definidas como:
σ
σ =
a
máx
− σ
2
mín
σ
σ =
A influência das tensões médias e alternadas na fadiga de uma peça foi determinada
inicialmente por Goodman. Na figura 10, a linha de Goodman é obtida pela reta unido na
abcissa o limite de resistência à tração (Srup) e na ordenada o limite de resistência à fadiga (Sf).
m
máx
+ σ
2
As tensões médias são plotadas na abcissa e as tensões alternadas na ordenada.
Figura 10 - Diagrama de Goodman, com os eixos das tensões média e alternada.
O diagrama é baseado no fato de que quando somente tensão média (σm) atua, a falha
é caracterizada pelo limite de resistência (Srup.). Quando somente tensão alternada (σa) atua, a
falha é caracterizada pelo limite de resistência a fadiga (Sf).
Resultados experimentais mostram que, sob a ação das tensões médias (σm) e
alternadas (σa), os pontos de falha, para diferentes valores de tensões combinadas acontecem
como mostrado na figura acima. Isto significa que a linha de Goodman, obtida ligando Sf com
Srup, é a linha de segurança para qualquer combinação de tensões σm e σa. Em outras palavras,
qualquer combinação que cair dentro dos limites do diagrama está seguro, como no caso do
ponto “A”.
mín
113

Outra concepção desta teoria é o diagrama de Sodeberg ou linha de Sodeberg, que
utiliza para o eixo das tensões médias o limite de resistência ao escoamento (Se), sendo um
diagrama mais conservativo. Outros diagramas mais próximos da realidade, que mais se
aproximam dos resultados experimentais já foram propostos, com destaque para a parábola de
Gerber. A figura abaixo mostra a representação gráfica:
Figura 11 - Representação gráfica das diversas teorias de fadiga.
Nesta figura, o ponto A, resultado da combinação das tensões médias σm e alternadas
σa, esta segura para as teorias de Gerber e Goodman, mas não se encontra segura segundo a
teoria de Soderberg. As equações a seguir representam a formulação matemática de cada
teoria:
Sa
S
f
Sa
S
f
Sa
S
f
+
+
⎛
+ ⎜
⎝
Sm
= 1
S
y
Sm
S
rup
= 1
2
Sm ⎞
⎟
S ⎟
rup ⎠
= 1
⇒ Soderberg
⇒ Goodman
⇒ Gerber
Para fins de aplicação nos problemas convencionais de engenharia, recomenda-se a
utilização da teoria de Goodman.
Para cálculos de tensões de fadiga em problemas reais de engenharia, deve-se utilizar
um coeficiente de segurança n, que na teoria de Goodman, por exemplo, é determinado por:
Sa Sm
n
σ σ
= =
a
As tensões σm e σa podem se transformar respectivamente nas resistências média e
alternada Sm e Sa se cada uma delas forem divididas pelo coeficiente de segurança n. Assim as
equações que representam as teorias ficariam assim:
m
114

a m 1
+ =
S f S y n
σ σ
a m 1
+ =
S f Srup
n
σ σ
nσ ⎛ ⎞
a ⎜
nσ
m
+ ⎟
S ⎜ ⎟
f ⎝ S rup ⎠
4.6 - FADIGA SOB TENSÕES COMBINADAS
2
= 1
⇒ Soderberg
⇒ Goodman
⇒ Gerber
Em componentes mecânicos de uma forma geral, a distribuição de tensões mais
freqüente é a de tensões combinadas. Dependendo dos tipos de esforços envolvidos na parte
mecânica, flexão, esforço normal ou torção aparecem tensões alternadas e médias devido a
essas múltiplas solicitações. Assim, cada tipo de esforços pode gerar:
A combinação destas tensões para resultar em um única tensão, seja alternada ou
média, é conseguida da seguinte forma:
- Tensões alternadas ou médias na mesma direção:
→ Soma (σa1)f + (σa1)n + (σa1)t = (σa1), obtendo-se a tensão resultante, alternada
ou média, na direção correspondente.
- Tensões alternadas ou médias, respectivamente em direções diferentes:
→ Calcula-se a tensão equivalente ou tensão de Von Misses:
'
m
2
m1
σ = σ −σ
∗σ
+ σ
'
a
m1
m2
2
1
a1
2
m2
σ = σ − σ ∗σ
+ σ Direções 1 e 2 principais.
Observa-se que as tensões contidas nos radicais já foram combinadas como a soma de
todas as tensões que atuam na mesma direção. No caso das tensões estarem referidas nos
eixos X e Y, a tensão cisalhante estará presente e as equações acima descritas são escritas na
forma:
a2
2
a 2
115

2
ax
2
ay
σ a '= σ − ( σ ax × σ ay ) + σ + 3.
τ axy
2
mx
2
my
σ m '= σ − ( σ mx × σ my ) + σ + 3.
τ mxy
Deve-se lembrar que cada uma destas tensões são calculadas pela equação dada pelo
modelo matemático correspondente ao tipo de solicitação. Uma vez obtido σa’ e σm’, a teoria de
Goodman pode ser aplicada.
4.7 - FADIGA DE CONTATO SUPERFICIAL
No estudo anterior, o limite de resistência a fadiga Sf’ foi determinado usando uma
máquina rotativa que flexiona o corpo de prova, e por isso é freqüentemente chamado de limite
de resistência à fadiga devido à flexão. O contato direto entre peças causa a fadiga superficial
devido ao contato, sendo o limite de resistência à fadiga superficial Ssf determinado de forma
diferente.
Trabalhos realizados por Buckingham e Talboudert determinaram que a fadiga
superficial do material depende da dureza Brinell (HB), sendo o limite de resistência à fadiga
superficial para uma vida de 10 8 ciclos, definido pelas expressões:
S' sf = 0.
4HB
−10
(Kpsi) ou
S' sf = 2.
76HB
− 70 (MPa)
Este limite foi determinado para materiais (aço) em condições apropriadas e para uma vida
de 10 8 ciclos. Em condições de trabalho o limite de resistência à fadiga superficial da peça é
determinado pela expressão abaixo, que considera os fatores de modificação:
S
sf
= S'
sf
C
×
C
L
T
× C
× C
onde CL = Fator de vida, depende do número de ciclos
CH = Fator que depende da razão de dureza
CT = Fator de temperatura
CR = Fator de confiabilidade
O fator CH = 1 para uma dureza das partes aproximadamente iguais. O fator de vida CL é
calculado pela expressão:
C L
para N = número de ciclos entre 10 4 e 10 8 .
= 2,
466 × N
−0,
056
H
R
2
2
116

O fator temperatura CT, para condições normais da temperatura dos lubrificantes (T <
120°), é 1. Por outro lado, o fator de confiabilidade depende do sistema em consideração,
sendo CR para engrenagem dado:
Confiabilidade Fator CR
90% 0,85
99% 1,00
99.9% 1,25
Tabela 3 – Fatores de confiabilidade.
A fadiga superficial é muito importante para estudar certos elementos mecânicos como a
fadiga no contato de dentes de engrenagens, contato de esfera ou rolos em rolamentos, rodas e
trilhos ferroviários, cames e seguidores, etc.
É muito importante lembrar que, para o dimensionamento da parte mecânica usando
fadiga superficial, é necessário conhecer o modelo matemático ou fórmula matemática da
tensão provocada pelo contato. Estas formulações não são simples de serem escritas, e são
baseadas na teoria de contato de Hertz. Uma vez calculada a tensão induzida na peça, o
dimensionamento é feito comparado esta tensão com o limite de resistência à fadiga Ssf,
considerando o coeficiente de segurança n.
S sf
σ =
n
4.8 - GRÁFICOS P/ DETERMINAÇÃO DO FATOR DE CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES KT
117

118

Figura 12 - Gráficos para Determinação do Fator de concentração de tensões Kt.
4.9 - PREVISÃO DE FADIGA COM CARGAS VARIANDO RANDOMICAMENTE
Para se prever a vida de peças tencionadas acima do limite de resistência a fadiga,
n
N
1
1
n
+
N
2
2
n
+ ... +
N
k
k
=
1
119

é um procedimento difícil. Palmgreen e Minner propuseram muito logicamente um conceito
simples onde se uma peça é carregada ciclicamente a um nível de tensão que provocaria uma
falha a 10 5 ciclos, então cada ciclo deste carregamento consume uma parte nos 10 5 da vida da
peça. Se outros ciclos de tensão são interpostos correspondendo a uma vida de 10 4 ciclos,
cada um destes ciclos consume uma parte nos 10 4 da vida, e assim por diante. Nesta base, 100
% da vida foi consumida, e se tem a previsão da falha. A regra de Palmgren ou Miner é
expressa pela seguinte equação em que n1, n2,..., nk representam o número de ciclos a
específicos níveis de sobre tensão, e N1 , N2 , .. Nk representam a vida (em ciclos) destes
níveis de sobre tensão, tomados da curva S-N. A falha por fadiga é prevista quando a equação
acima se mantém.
4.10 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Uma peça metálica é submetida a uma carga fletora F. A mola flutua entre 9,3 kN a 10,67
kN. Possui um limite de resistência à tração Srup=1400 Mpa e limite de resistência ao
escoamento Se=950 Mpa. Considerando um acabamento de forjamento para a peça,
calcule o fator de segurança contra o escoamento e a fadiga para uma espessura de 18
mm.
Solução:
Cálculo do fator por fadiga. Devemos calcular os valores de R1 e R2.
F
R 1 = e
2
F
R 2 =
2
−3
M F = R1.
150X
10 → −3
= . 150X
10
3
10, 67x10
−3
Figura 13 - Exercício resolvido 1.
F
M Momento onde a força F e aplicada.
F
2
M = . 150x10
→ M N m
F max
F 800,
25 .
max
2
=
120

3
9, 3x10
−3
M = . 150x10
→ M N m
F min
F 697,
5 .
min
2
=
M. c
σ = onde I =
I
( w − d )
12
. 3
h
−3 −3
−3
( 75x10
−10x10
)( . 18x10
)
Assim
σ
σ
I =
→
12
3
x 8
max = = 2,
28x10
−
800,
25.
9 10
8
3,
645x10
3
x 8
min = = 1,
987x10
−
697,
5.
9 10
8
3,
645x10
Pa
Pa
σ max −σ
min
7
σ a =
→ σ a = 1,
465x10
Pa
2
σ max + σ min
8
σ m '=
→ σ m '= 2,
133x10
Pa
2
Cálculo dos fatores de correção à fadiga.
Cálculo de Ka – Forjado
b
a = a S rup tabela 4.1 a = 272 b = - 0,995
k ⋅
k a = 0,
201
Cálculo de Kb – Seção quadrada
K b
⎛
= ⎜
⎝
d
7,
62
⎞
⎟
⎠
−0,
1133
2, 79 ≤ d ≤ 51 mm (mm)
1
2
de = 0, 808.(
18x75)
→ = 29,
688mm
−0,
1133
d e
⎛ 29,
688 ⎞
K = ⎜ ⎟ → K
b
b = 0,
857
⎝ 7,
62 ⎠
Cálculo de Kc – Flexão
Para flexão temos que k = 1 .
c
3
I =
−8
4
3, 645x10
m
Cálculo de Kd – Considerando temperatura de trabalho baixa. k = 1
Cálculo de Ke
K
1
= onde = 1+ q.(
Kt −1)
e
K f
Cálculo de q
K f
Adotando q=0,95,tem-se
d
121

Cálculo de Kt
d
w
10
= =
15
Kt = 2,
1
0,
133
Donde fica Kf
d 10
e = = 0,
556
h 18
K = 1+ 0,
95.(
2,
1−1)
→ K = 2,
045
f
Assim Ke
1
K e = → K e = 0,
489
2,
045
Com todos os parâmetros podermos calcular o Sf.
S '= 0,
504.
S para aços.
f
S f
f
rup
'= 705,
6Mpa
S = Ka × Kb × Kc × Kd × Ke × S
S f
S f
= 0 , 201×
0,
857×
0,
489×
705,
6
= 59,
435Mpa
f
f
'
Cálculo do fator de segurança pelo critério de Goodman modificado
a m 1
+ =
S f Srup
n
σ σ
8
8
1,
465x10
2,
133x10
1
+ = → n = 0,
382
6
6
59,
435x10
1400x10
n
Cálculo do fator de segurança por escoamento:
M. c
σ = onde I =
I
σ
800,
25.
9 10
8
3,
645x10
( w − d )
12
. 3
h
3
x 8
max = = 2,
28x10
−
Srup
max
Pa
6
1400x10
n = → n = = 6,
140
8
σ
2,
28x10
2. Uma mola é submetida a uma carga variável, sendo a carga máxima F= 133 N e a carga
mínima F= 66 N. O material da mola é aço com Srup= 1170 Mpa, e diâmetro d= 9,5 mm.
122

Neste projeto não foi considerada a concentração de tensões ao longo do comprimento
da mola. O acabamento superficial corresponde a um laminado a quente. Qual o número
de aplicação de carga N, que causará falha na peça.
Solução:
Figura 14 - Exercício resolvido 2.
Calculemos o momento máximo e mínimo.
M = ⋅
max
−3
410x10 Fmax
M = ⋅
min
−3
410x10 Fmin
−3
−3
M = 410x10
⋅133
M = 410x10
⋅66
max
max M 27,
06N.
m
M = 54,
53N
⋅ m
Cálculo das tensões.
32M
σ = 3
π.
d
min
min =
32.
54,
53
σ max =
→ −3
3
max 647,
8Mpa
π.(
9,
5x10
)
= σ
32.
27,
06
σ m =
→ σ
−3
3
m = 321,
5Mpa
π.(
9,
5x10
)
σ max −σ
min
σ a =
→ σ a = 163,
2Mpa
2
σ max + σ min
σ m '=
→ σ m '= 484,
7Mpa
2
Cálculo de Ka – Laminado à quente
b
= a Srup
tabela 4.1 a = 57,7 b = - 0,718
ka ⋅
−0,
718
Ka =
→ Ka = 0,
362
57,
7.
1170
Cálculo de Kb
123

K b
d e
⎛
= ⎜
⎝
d
7,
62
⎞
⎟
⎠
= 0,
370.
d
d e = 0,
370.
9,
5
d e = 3,
515
−0,
1133
−0,
1133
2, 79 ≤ d ≤ 51 mm (mm)
⎛ 3,
515 ⎞
Kb = ⎜ ⎟ → k b = 1,
092
⎝ 7,
62 ⎠
Cálculo de Kc – Flexão
Para flexão temos que k = 1 .
c
Cálculo de Kd – Considerando temperatura de trabalho baixa. k = 1
Não foram consideradas concentrações de tensões ao longo da mola, ou seja, k = 1 .
Com todos os parâmetros podermos calcular o Sf.
S '= 0,
504.
S para aços.
f
S f
f
rup
'= 589,
68Mpa
S = Ka × Kb × Kc × Kd × Ke × S
S f = 0, 362x1,
092x589,
68 → = 233,
103Mpa
Cálculo do número de ciclos.
S
S = a.
N
σ a =
σ m
1−
S
b
rup
( 0,
9.
Srup)
2
a = →
Sf
1 0,
9.
S rup
b = − log → b = −0,
2183
3 S
1
b
f
S
f
'
S f
⎛ S f ⎞
N =
⎜
a ⎟ → N ≥
441683ciclos
⎝ ⎠
6
163,
2x10
= →
6
484,
7x10
1−
6
117,
0x10
a = 4756, 734x10
6
d
S = 2, 786x10
8
e
124

4.11 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS
CARGAS VARIÁVEIS
1. Um elo como mostrado na figura abaixo, é feito de aço AISI 4130 temperdo e revenido a
540 o C(Sut=1030 MPa). A carga F= 5 KN é repetitiva e reversa. Supondo não haver
concentração de tensão pede-se: a) Qual deverá ser o diâmetro para N=1,40 e acabamento
de usinagem? B) Idêntico ao item a, exceto que o acabamento é polido. Qual a economia no
peso? C) Idêntico ao item a, exceto que o acabamento é forjado.
Figura 15 – Exercido proposto 1.
2. Idêntico ao exercício 1,exceto que, devido ao ambiente corrosivo, o elo é fabricado em
bronze silício, laminado a frio e o número de ciclos esperado para a vida da peça é maior
que 3x 10 7 ciclos.
3. Um eixo é apoiado como uma viga simples de 450 mm de comprimento, de aço AISI 3120.
Uma carga estática de 8900 N é aplicada ao eixo em rotação, na metade do eixo entre dois
apoios (mancais). As superfícies são polidas e a peça foi projetada para uma vida infinita.
aPara um fator de segurança N=1,6, baseado no limite de resistência à fadiga, qual deveria
ser o seu diâmetro se não há descontinuidades na sua superfície?
Figura 16 - Exercido 3.
4. Um suporte simples como o mostrado na figura, possui uma seção retangular e foi projetado
para vida infinita e carga reversa. Calcule: a) as dimensões de uma seção sem
descontinuidade onde b=2,8 t e L= 350 mm e um fator de segurança (projeto) igual a 2. O
125

material é aço AISI 1020, laminado com acabamento superficial de forjamento. b) Calcule as
dimensões de uma seção onde e= 100 mm.
Figura 17 - Exercido proposto 4.
5. Idêntico ao exercício 4, exceto que a vida da peça submetida a cargas reversas não deve
exceder 10 5 ciclos.
6. Um eixo é submetido a um torque reverso máximo de 1695 Nm. É usinado e feito de aço
AISI3140 . Qual deverá ser o seu diâmetro para N=1,75?
7. Idêntico ao exercício 6, exceto que o eixo é oco, com diâmetro externo igual ao dobro do
diâmetro interno
CARGAS VARIÁVEIS COM CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES
8. Um elo de conexão é visto na figura, exceto que há um furo radial de diâmetro 3 mm, no
centro da peça. A peça é usinada, feito de aço AISI2330 WQT1000 ºF e submetida a uma
carga axial reversa cujo valor máximo é de 22 kN. Para um fator de segurança N=1,5,
determine o diâmetro do elo no furo: a) para uma vida infinita; b) Para uma vida de
10 5 ciclos. c) Para o elo no ítem a, qual a máxima tensão de tração?
Figura 18 – Exercido proposto 8.
9. O elemento de máquinas mostrado na figura possui espessura uniforme t=b/2,5 e é usinado.
O material da peça é o aço AISI 1020, laminado. O projeto é para vida infinita e carga
126

epetitiva de 44 N a 90 kN, sendo que d=b. Pede-se: a) para um fator de segurança 1,8
(Soderberg), qual deveria ser as dimensões da peça? Qual a máxima tensão de tração
atuante na peça projetada?
Figura 19 – Exercido proposto 9.
10. A viga mostrada tem uma seção circular e suporta uma carga F que varia de 44,5 a 133,5
kN, é usinada, aço AISI1020, laminado. Determine o diâmetro D se r=0,2 D e N=2 (fator de
segurança), vida infinita.
Figura 20- Exercido 10.
11. Idêntico ao exercício 10, exceto que a carga F é constante e igual a 133,5 kN e a viga gira
com um eixo.
12. Uma viga em balanço está sujeita a uma carga reversa de 133,5 kN. Seja o raio do filete r=
3 mm e o material da viga é o aço SAE1015. Determine as dimensões t, h (b=1,3 h) para um
fator de segurança 1,8 baseado nas tensões variáveis. Considere nas seções A e B, vida
infinita.
127

Figura 21 - Exercido proposto 12.
13. Idêntico ao exercício 12, exceto que a carga F varia de =44,5 kN a 222,5 kN.
14. A peça mostrada na figura é feita de aço C1035, laminado com as seguintes dimensões:
a= 9 mm; b=22 mm; c=25 mm; d=12,5 mm; L=300 mm; r= 1,6 mm. A carga axial F varia de
133,5 kN a 222,5 kN e é aplicada através de pinos pelos furos. Pede-se: a) Quais os fatores
de segurança nos pontos A,B e C se a peça é totalmente usinada. B) Quais as máximas
tensões nestes pontos?
Figura 22 - Exercido 14.
128

CAPITULO 05 - EIXOS E ARVORES DE TRANSMISSÃO
5.1 - INTRODUÇÃO
Eixo é um elemento mecânico rotativo ou estacionário (condição estática) de secção
usualmente circular onde são montados outros elementos mecânicos de transmissão tais como:
engrenagens, polias, ventiladores, rodas centradas, entre outros. Os eixos são suportados
(apoiados) em mancais, de deslizamento ou rolamento, tendo secção quase sempre mássica e
variável, com rasgos de chavetas para fixação de componentes. A figura 1 mostra uma
iluminação de um eixo.
Figura 1 – Eixo
Os eixos são elementos solicitados a esforços de flexão, tração/compressão ou torção,
que atuam individualmente de forma combinada. Para a segurança do sistema em que o eixo
está inserido, este deve ser dimensionado para cargas estáticas (parado ou com rotação muito
baixa) ou dinâmica (altas rotações). Este dimensionamento leva em conta a resistência do
material de que foi confeccionado, comparam-se as tensões que atuam no mesmo com os
limites de resistência do material, estáticos (Sy ou Su) ou dinâmicos (Se – fadiga).
Em certos sistemas mecânicos, o nível de deflexão do eixo pode constituir em um
parâmetro crítico, devendo o eixo ser dimensionado usando a teoria de deflexão. Em outras
palavras, a geometria do eixo deve ser definida para os limites aceitáveis de deflexão, antes da
análise das tensões/resistências.
5.2 - MATERIAIS PARA EIXOS E ÁRVORES
Há uma grande variedade de materiais possíveis para a fabricação de eixos e árvores.
De acordo com o serviço devem ter alta resistência e baixa sensibilidade aos efeitos da
concentração de tenção.
Para se obter, em um cálculo, diâmetros menores e grandes resistências, pode-se usar
aços-liga, em geral tratados termicamente. Estes aços, porém têm a desvantagem de serem
129

caros e de maior sensibilidade às concentrações de tensões. Além disso, o diâmetro é muitas
vezes subordinado à certas deformações admissíveis, tornando o aço-liga contra indicado, já
que o problema não é mais de resistência.
Os aços-carbono, de baixo e médio teor, são, muito usados na fabricação de eixos e
árvores. Aços muito empregados são os seguintes: SAE 1015, 1020, 1025, 1030, 1040, 1045,
2340, 2345, 3115, 3120, 3135, 3140, 4023, 4063, 4140, 4340, 4615, 4620 e 5140.
Como vemos uma grande variedade de material existe para a confecção de eixos e
árvores. A seleção dependerá sempre das condições de serviço, custo, usinabilidade e
características especiais por ventura exigidas. É um campo muito aberto em que o projetista
deve procurar sempre maiores conhecimentos, pois praticamente qualquer material ferroso,
não-ferroso ou não metálico, pode ser usado, por uma razão qualquer, na execução de um eixo
ou uma árvore.
AISI Nº Tratamento Temperatura
1030 Q&T
1040
1050
Q&T
Q&T
Q&T
Q&T
Normal
Annealed
Q&T
Q&T
Q&T
Normal
Annealed
Q&T
Q&T
Q&T
Normal
1060 Q&T
Annealed
Q&T
Q&T
Normal
Annealed
205
315
425
540
650
925
870
205
425
650
900
790
205
425
650
900
790
425
540
650
900
790
ºC
Tensão de
escoamento
848
800
731
669
586
521
430
779
758
634
590
519
1120
1090
717
748
636
1080
965
800
776
626
Mpa
Tensão de
ruptura
648
621
579
517
441
345
317
593
552
434
374
353
807
793
538
427
365
765
669
524
421
372
MPa
Tabela 1 – Características dos Materiais para eixos
Alongamento
17
19
23
28
32
32
35
19
21
29
28
30
9
13
28
20
24
14
17
23
18
22
%
Redução de
47
53
60
65
70
61
64
48
54
65
55
57
27
36
65
39
40
41
45
54
37
38
Área
%
Dureza
Brinell
495
401
302
255
207
149
137
262
241
192
170
149
514
444
235
217
187
311
277
229
229
179
130

AISI Nº Tratamento Temperatura
1095 Q&T
Q&T
Q&T
Q&T
Normal
1141 Q&T
Annealed
Q&T
4130 Q&T
4140
4140
Q&T
Q&T
Q&T
Q&T
Normal
Annealed
Q&T
Q&T
Q&T
Q&T
Q&T
Normal
4340 Q&T
Annealed
Q&T
Q&T
Q&T
315
425
540
650
900
790
315
540
205
315
425
540
650
870
865
205
315
425
540
650
870
815
315
425
540
650
ºC
5.3 - CARREGAMENTO ESTÁTICO
Tensão de
escoamento
1260
1210
1090
896
1010
658
1460
896
1630
1500
1280
1030
814
670
560
1770
1550
1250
951
758
1020
655
1720
1470
1170
965
Mpa
Tensão de
ruptura
813
772
676
552
500
380
1280
765
1460
1380
1190
910
703
436
361
1640
1430
1140
834
655
655
417
1590
1360
1080
855
MPa
Alongamento
Tabela 1 (continuação) – Características dos Materiais para eixos
10
12
15
21
9
13
9
18
10
11
13
17
22
25
28
%
Redução de
30
32
37
47
13
21
32
57
41
43
49
57
64
59
56
Área
A determinação das dimensões de uma árvore é muito simples quando sujeito somente
a carregamento estático, principalmente se comparado a quando se tem carregamento
dinâmico. E mesmo com carregamento dinâmico, muitas vezes é necessário se ter uma boa
noção das dimensões das peças para se ter um bom começo dos problemas e por isto faz-se
antes uma analise como se o carregamento fosse estático.
8
9
13
18
22
18
26
10
10
13
19
38
43
49
58
63
47
57
40
44
51
60
%
Dureza
Brinell
375
363
321
269
293
192
415
262
467
435
380
315
245
197
156
510
445
370
285
230
302
197
486
430
360
280
131

5.3.1 - CARREGAMENTO ESTÁTICO SUJEITO À FLEXÃO, TORÇÃO E ESFORÇO AXIAL
As tensões em um ponto na superfície de uma árvore de diâmetro (d) sujeita flexão,
torção e carregamento axial são:
32 ∗ M 4 ∗ F
= +
π ∗ d π ∗ d
16 ∗T
τ = (2)
π ∗ d
σ x
(1) 3
2
xy
3
Onde a componente axial (F) de σx pode ser positiva ou negativa. Nós observamos que
há três carregamentos. Momento (M), força (F), e torque (T) aparecem na seção contendo o
ponto especifico na superfície.
Usando o circulo de Mohr podemos mostrar que as 2 principais tensões não nulas, são:
2 ⎡⎛σ
⎤
x ⎞
2
σ a ∗σ b = σ x ± ⎢⎜
⎟ + ( τ xy ) ⎥
(3)
⎢⎣
⎝ 2 ⎠ ⎥⎦
Estas tensões podem ser combinadas de forma a obter a máxima tensão de
cisalhamento (τmax) e a tensão de Von Mises (σ’); dando em:
1
−
2
2
σ a −σ
b
2
τ max = = ( )
2 2 ⎥ ⎥
⎡⎛σ
⎤
x ⎞
⎢⎜
⎟ + τ xy
⎢⎣
⎝ ⎠ ⎦
( ) ( ) 2
1
1
2
2
2
2 2
σ −σ
∗σ
+ σ = σ + 3 τ
1
2
(4)
σ '= a a b b
x ∗ xy (5)
Substituindo as equações (1) e (2) em (4) e (5) teremos:
[ ( ) ( ) ] 2
1
2
2
8∗
M + F ∗ D + 8∗
T
⎛ 2 ⎞
τ max = ⎜ ∗ 3 ⎟
(6)
⎝ π ∗ d ⎠
[ ( ) ] 2
1
2
2
8 ∗ M + F ∗ d + 48 ∗
4
σ '= ∗
T
(7)
3
π ∗ d
Estas equações nos permitem determinar τmax ou σ’ quando o diâmetro(d) é dado ou
determinar o diâmetro quando tivermos posse das tensões.
Se a analise ou projeto da árvore for baseada na teoria da máxima tensão de
cisalhamento, então τmax é:
S Sy S y
τ all = =
(8)
n 2 ∗ n
As equações (6) e (8) são úteis para a determinação do fator de segurança(n), se o
diâmetro for conhecido, ou para determinar o diâmetro se o coeficiente de segurança for
conhecido.
132

Uma analise similar pode ser feita levando em conta a teoria da energia de distorção
para falhas, onde a tensão de Von Mises é:
S y
τ 'all
=
(9)
n
5.3.2 - CARREGAMENTO ESTÁTICO SUJEITO À FLEXÃO E TORÇÃO
Em varias aplicações, a componente axial (F) das equações (6) e (7) é próxima de zero
ou tão pequena em relação às outras que pode ser desconsiderada. Daí teremos:
1
16
2 2 2
τ max ∗ ( M + T ) (10)
3
=
π ∗ d
1
2
2 ⎤
( 4 ∗ M + 3∗
) 2
⎥⎦
16 ⎡
σ '= ∗ 3
∗
⎢
T (11)
π d ⎣
É mais fácil resolver estas equações para se encontrar o diâmetro. Substituindo as
equações (8) e (9) nos temos:
⎡ 32 ∗ n
d = ⎢ ∗ T
⎢⎣
π ∗ S y
2 2 ( M + )
Usando a teoria de máxima tensão de cisalhamento, se o diâmetro for conhecido,
calcula-se n da seguinte forma:
1
=
π
32
3
n ∗ d ∗ S y
∗
1
2
⎤
⎥
⎥⎦
1
3
( ) 2
1
2 2
M + T
Se usarmos como base a teoria de energia de distorção, teremos:
Onde:
⎡ 16 ∗ n
d = ⎢ ∗
T
⎢⎣
π ∗ S y
1
=
π
16
3
n ∗ d ∗ S y
n = fator de segurança. n = 1,5 a 2,0
Sy = limite de escoamento do material.
M = momento Máximo no eixo.
T = torque máximo.
2
2
( 4 ∗ M + 3∗
)
1
2
⎤
⎥
⎥⎦
1
3
( ) 2
1
2
2
4 ∗ M + 3∗
T
(12)
(13)
(14)
(15)
133

5.4 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - CARREGAMENTO ESTÁTICO SUJEITO À FLEXÃO E
TORÇÃO
1. Qual o diâmetro de um eixo mostrado na figura 2, feito de um aço AISI 1035 laminado
F = 700N
⎧3,
73kW
Motor⎨
⎩n
= 1750rpm
I) Torque:
3
30×
10 . H
T =
π.
n
30×
10 3.
3,
73
T =
π.
1750
T = 20,
35N.
m
II) Momento:
F L 700 0,
3
M = . = .
2 2 2 2
M = 52,
5N.
m
III) Material:
Pela Tabela =>
IV) Segurança:
Usar n=2.
V) Diâmetro:
Figura 2 – Engrenagem no eixo.
, onde H=> Potência em KW, tem-se:
S y
= 462MPa
134

⎡ 32n
d = ⎢
⎣π
. Sy
2 2 ( M + T )
⎡ 32.
2
d = ⎢
⎣π
. 462×
10
d = 13,
54mm
6
1
2
⎤
⎥
⎦
1
3
2 2
( 52,
5 + 20,
35 )
1
2
2. Do exercício anterior visto, tem-se:
M = 52,5N.m ⎫
T = 20,35N.m
⎪
⎬d
= 13,
47mm
Sy
= 462MPa
⎪
n = 2 ⎪
⎭
M = 52,5N.m
T = 20,35N.m
S
S
y
u
Se =
= 462MPa
= 551,
5MPa
Ka = 0,78
Kb = 0,85
Kc = 0,923(S
Kd = 1,0
Ke = 1,0
Kf = 1,0
Se = 170,1MPa
u
< 1520MPa)
⎤
⎥
⎦
1
3
Se = Ka.Kb.Kc.K d.Ke.Kf.Se '
6
(0,78)(0,85)(0,923)(
1)(1)(1)(0,504
. 551,5×
10
⎧
⎪32.
2
⎡⎛
52,
5
d = ⎨ ⎢
⎪ ⎢
⎜
π 170,
1 10
⎣⎝
×
⎩
d = 18,
50mm
6
⎞
⎟
⎠
2
⎛
+
⎜
⎝
20,
35
6
551,
5×
10
2
⎞ ⎤
⎥
⎟
⎠ ⎥
⎦
5.5 - DIMENSIONANDO EIXOS PELA NORMA ASME
OBSERVAÇÃO: a norma ASME para Eixo de Transmissão:
- Não considera fadiga
- Não considera concentração de tensão
1
2
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
)
1
3
135

Segundo a norma ASME – as máximas tensões são cisalhantes:
τ = S (16)
τ d = 0,
30.
S yt d 0,
18.
ut
τ d = máxima tensão cisalhante admissível
S = tensão escoamento admissível
yt
S = tensão de ruptura admissível
u
As normas prevêem que se as concentrações de tensões estiverem presentes devido a
entalhe em chavetas, a tensão máxima admissível deve ser diminuída de 25%. A máxima
tensão cisalhante em um eixo submetido à flexão-torção é dada por:
2
⎛σ
a ⎞ 2
τ max = ⎜ ⎟ + τ xy (17)
⎝ 2 ⎠
M M d 32.
M
σ x = . y = . = 4
3
I π.
d 2 π.
d
64
T M d 16.
T
τ x = . y = . = 4
3
I π.
d 2 π.
d
64
logo,
τ
τ
max x
min
σ x
τ xy
=
16
=
π.
d
1 ⎛ 32.
M ⎞ ⎛ 16.
T ⎞
. ⎜ 3 ⎟ + ⎜ 3 ⎟
4 ⎝ π.
d ⎠ ⎝ π.
d ⎠
3
M
2
+ T
=
tensão de flexão (psi)
=
tensão de torção (psi)
M = momento de flexão (lbf.in)
T = momento de torção (lbf.in)
d = diâmetro dp eixo (in)
2
2
Segundo o critério da ASME, momento M e T devem ser multiplicados por fatores de
correção devido a choques e fadiga.
2 2
3 .
16.
T
16.
T
2
2
τ d M + T → d . ( C . M ) ( C T )
3 m + t
=
π.
d
τ = → Fórmula da ASME (19)
π.
d
136

para diâmetro de eixos baseado na teoria da máxima tensão cisalhante. Fatores Cm e Ct dados
na tabela.
5.6 - EIXOS E ÁRVORES SUJEITOS À FADIGA
Qualquer árvore girante que sofre momento de flexão e torção fixas estão sujeitos a uma
inversão, reversão completa da tensão causada pelo giro da árvore, mais a tensão de
cisalhamento permanecerá a mesma.
onde:
32 ∗ M a
16 ∗Tm
σ xa = (20) τ 3
xym = (21)
3
π ∗ d
π ∗ d
σxa = Tensão de Amplitude Alternada
τxym = Tensão de Cisalhamento Constante
Estas duas tensões podem ser manipuladas usando dois círculos de Mohr
Se estivermos usando a teoria de máxima tenção de cisalhamento, teremos:
σ ∗τ
σ = 2 ∗τ
(23)
a = 2 a (22) m
m
Se estivermos usando a teoria da energia de distorção, teremos:
5.6.1 - CRITÉRIO DE FADIGA – GOODMAN
σ = σ (24) σ m = 3 ∗τ
xym (25)
a
xa
Para qualquer eixo carregado com um momento de flexão e torção fixos, estará
submetido a uma flexão reversa provocando tensões alternadas e torção estacionária,
provocando tensões médias. Assim tem-se:
32M
a
16Tm
σ ax = τ
3
mxy =
3 (26)
πd
πd
Usando estas expressões e a equação da linha de Goodman:
σ a σ m +
S S
e
u
= 1
Pode-se obter, após desenvolvimento analítico que:
(27)
137

⎧
⎪32n
⎡⎛
M
d = ⎨ ⎢
⎜
⎪ π ⎢
⎩
⎣⎝
Se
a
⎞
⎟
⎠
2
⎛ T
+
⎜
⎝ S
m
u
2
⎞ ⎤
⎟ ⎥
⎠ ⎥⎦
1
2
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
1
3
(28)
5.6.2 – CRITÉRIO DE FADIGA - SODERBERG
Utilizando o teorema da máxima tensão cisalhante:
16.
T
π.
d
32.
M
σ =
π.
d
τ xy = 3 x
3
Para qualquer plano fazendo um ângulo α com o plano horizontal tem:
τ α
τ α
16. T
m = . cos 2.
α → valor médio
3
π.
d
16. M
a = . sen2.
α → (amplitude da componente alternativa)
3
π.
d
Por meio da geometria analítica, tem-se que:
n =
16.
⎛
⎜
⎝
⎧
⎪16.
n
⎡⎛
d = ⎨ . ⎢⎜
⎪ π ⎢⎜
⎪ ⎣⎝
⎩
T
S
T
S
sy
π.
d
sy
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
2
2
3
⎛ M
+
⎜
⎝ S se
⎛ M
+
⎜
⎝ S se
Para o critério da máxima tensão cisalhante (usada)
sendo que: S sx = 0,
5.
S x
n = Fator de segurança.
S = Tensão de escoamento.
y
⎧
⎪32.
n
⎡⎛
d = ⎨ . ⎢⎜
⎪ π ⎢⎜
⎪ ⎣⎝
⎩
S = Limite de resistência à fadiga.
e
Para casos mais gerais usar equação:
T
S
y
⎞
⎟
⎠
2
⎞
⎟
⎠
2
1
3
1
⎫ 2 2
⎞
⎤ ⎪
⎥
⎟ ⎬
⎠ ⎥
⎦ ⎪
⎭
1
3
1
⎫ 2 2
⎛ M ⎞
⎤ ⎪
+ ⎥
⎜
⎟ ⎬
⎝ S e ⎠ ⎥
⎦ ⎪
⎭
(29)
(30)
(31)
138

onde:
⎧
⎪32.
n
⎡
⎛ T
d = ⎨ . ⎢
⎪ ⎢
⎜
π
⎪ ⎣
⎝ S
⎩
T = Torque (amplitude)
a
T = Torque médio
m
M = Momento (amplitude)
a
M = Momento médio
am
a
e
⎞
⎟
⎠
2
⎛
⎜
M
+
⎜
⎝ S
m
y
⎞
⎟
⎠
2
⎛ M
+
⎜
⎝ S
e
a
⎞
⎟
⎠
2
⎛
⎜
M
+
⎜
⎝ S
am
y
1
3
1
2 ⎫
2
⎞ ⎤ ⎪
⎟ ⎥
⎟ ⎬
⎠ ⎥
⎦ ⎪
⎭
5.7 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - CRITÉRIO DE FADIGA POR SODERBERG
(32)
1. Um eixo usinado é fabricado de um aço com Su = 550 MPa. Calcular n.
Dado: T = 6,0 KN
175.
F 325.
F
R 1 = → R 1 =
500 500
σ = tensão alternada
a
σ max − σ min
σ a =
= σ max
2
Se
n =
σ
σ
a
=
a
M
I
c
= 100Mpa
175.
F
M = R1
. L = . 200 = 420KN.
m
500
4
3
π.
d
I π.
d
I = onde: = e
64
c 32
σ
a
e
=
K F
a
.
M
I
c
S K . K . K . K . K . S
= ´
b
S e´
0,
504.
S =
u
c
d
e
e
d
c =
2
139

a
b
u
K = a.
S → a = 4,51 e b = -0,265
K a
K b
K
K
c
=
4,
51.
550
⎛ d ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ 7,
62 ⎠
= K d
=
1
e
K f
= 1
−
−0,
1133
0,
265
=
r
K f = = 0,
0857
d
K f
t
=
0,
841
0,
847
( K −1)
) = 1,
58 → 0,
80
= 1 + q.
q =
1
logo, K e = = 0,
633
1,
58
logo,
S e
= 124,
4MPa
Se
124 , 4
n = = =
σ 99,
08
a
1,
25
D
→ K t = 1,
72 → = 1,
428
d
2. A transmissão representada na figura é movida por um motor elétrico, assíncrono, de
indução, trifásico, com potência P= 3,7 kW e rotação n= 1140 rpm. Dimensionar o
diâmetro da árvore 2, sabendo-se que a árvore é maciça e o material utilizado possui Su
= 700 Mpa, Sy = 630 Mpa e o fator de projeto é 1,8, com as engrenagens enchavetadas
no eixo (adotar Kf= 2,8). As engrenagens são cilíndricas (ECDR) e possuem as
seguintes características geométricas:
Z1= 23; Z2=49; Z3=28 e Z4= 47 m= 2,5 mm e ângulo de pressão 20º.
140

Calculemos o torque na árvore 1
M T 2
3000 P Z 2
= . .
π n Z
A potência do motor - P = 3700 W
Portanto
1
Figura 3 - Exercício resolvido 1.
3000 3700 49
M T = . . → M 2
T 66.
030N.
mm
2
π 1140 23
=
Esforços na transmissão:
Força tangencial (FT)
Força tangencial (no primeiro par)
Diâmetro primitivo
2.
M
FT
d
=
02
T2
d = m Z = 2,
5.
49 → d0 122,
5mm
=
0 2
. 2
2x66030
FT = → FT = 1.
078N
122,
5
Diâmetro primitivo:
d = m Z = 2,
5.
28 → d0 70mm
=
0 3
. 3
2x66030
FT = → FT = 1.
887N
70
Força radial no primeiro par
FR FT
.tg 20º
=
FR = 1078. tg20º
→ =
392N
2
3
F R
141

Força radial no segundo par
FR FT
.tg 20º
=
FR = 1887. tg20º
→ = 687N
Momento fletor
Plano vertical
F R
Figura 4 – Forças cisalhantes, diagrama de
momento fletor no plano vertical
M
max
= RAV
. 500 − 392.
400
M max 63.
700N.
mm
=
ΣM
A
600.
R
RBV ΣF
R
y
AV
RAV = 0
BV
=
= 638N
= 0
+ R
BV
= 441N
687.
500
+
= 392 + 687
392.
100
142

Plano Horizontal
Figura 5 – Forças cisalhantes, diagrama de
momento fletor no plano horizontal
ΣM
A
600.
R
RB H
ΣF
R
y
A H
RA H
= 0
B H
= 1078.
100 −1887.
500
= −1393N
= 0
+ R
BH
= 584
Cálculo do diâmetro considerando cargas estáticas
TMTC
d
⎡ 32.
n
⎢ .(
⎣π
. Sy
2 2
= M + T
)
1
2
⎤
⎥
⎦
1
3
= 1087 −1887
N
M M M + =
M
2 2
max H V
max
=
2
63700 +
M max 153.
174N.
mm
=
d
⎡32.
1,
8
2
.( 153174
1
1 ⎤ 3
2 2 66030 ) → d = 16,
95mm
= ⎢
⎣π
. 630
TED
d
⎡16.
n
⎢
⎣π
. Sy
+
2 2
= .( 4.
M + 3.
T
)
1
2
⎤
⎥
⎦
1
3
⎥
⎦
→ d = 16,
99mm
Cálculo do diâmetro considerando carregamento dinâmico
'
S = 0,
504.
S
e
u
'
S 0,
504.
700 → =
352,
8Mpa
' =
e
S e
139300
2
143

a
b
u
K = a.
S → a = 4,51 e b = -0,265
K a
K b
K b
K
K
c
=
4,
51.
700
⎛ d ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ 7,
62 ⎠
⎛16,
93⎞
= ⎜ ⎟
⎝ 7,
62 ⎠
= K d
=
1
e
K f
= 1
−
−0,
1133
−0,
1133
0,
265
=
=
0,
91
0,
784
K = 2,
8 → K = 0,
357
f
'
S e = Ka
. Kb.
Kc.
Kd
. Ke.
Se
Se = 0, 784x0,
91x1x1x
0,
357x352,
8
Cálculo do diâmetro pelo critério de Goodman
1
⎧
2
2 ⎫
2
⎪32.
n ⎡⎛
Ma ⎞ ⎛ Tm ⎞ ⎤ ⎪
d = ⎨ . ⎢⎜
⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ ⎬
⎪ π ⎢⎣
⎝ Se ⎠ ⎝ Su ⎠ ⎥⎦
⎪
⎩
⎭
e
1
3
1
⎧
2
⎫ 2 2
⎪32.
1,
8 ⎡⎛155215,
3 ⎞ ⎛ 66030 ⎞ ⎤ ⎪
d = ⎨ . ⎢⎜
⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ ⎬ → d = 32,
15mm
⎪ π ⎢⎣
⎝ 84,
86 ⎠ ⎝ 700 ⎠ ⎥⎦
⎪
⎩
⎭
5.8 – CHAVETAS / PINOS
1
3
Chavetas e pinos são dispositivos mecânicos usados para fixar no eixo, engrenagens,
polias e outros elementos de tal forma que o torque possa ser transmitido através dele. Os
pinos são usados com duplo propósito, o de transmitir o torque e evitar deslocamento axial do
componente montado no eixo. A figura abaixo ilustra estes dispositivos.
144

5.9 - UNIÃO DE EIXOS COM CUBOS
Figura 6 – Chavetas e Pinos.
O cubo é a parte centra do elemento (polia, engrenagem, etc.) onde é realizado um
rasgo para a fixação da chaveta.
Figura 7 – União de eixos com chavetas cúbicas.
A chaveta é uma peça que vai ocupar o rasgo no eixo e no cubo, simultaneamente,
fazendo a união dos mesmos.
Os principais tipos de chavetas, as mais usadas são definidas por normas (padrões).
Estas chavetas são do tipo:
• Chaveta meia-lua (woodruff)
• Chaveta plana.
• Chaveta inclinada.
A figura 8 mostra estas chavetas e a geometria, bem como a forma de usinagem do
rasgo. Observar que os rasgos das chavetas meia-lua são usinados com fresa circular as
chavetas planas e inclinadas com fresa circular e de topo.
145

Para exemplificar os padrões de chavetas tem-se:
• Uniões por adaptação de forma.
• Uniões por adaptação de forma com pretensão.
• Uniões por atrito.
• Chaveta meia-lua.
• Chavetas planas e inclinadas.
5.10 - DIMENSIONAMENTO DE CHAVETAS
Figura 8 – Tipos de Chavetas
Como já foi visto anteriormente, as chavetas são tabeladas quanto a sua secção.O
dimensionamento da chaveta consiste em determinar o seu comprimento mínimo (L), como é o
caso das chavetas planas e inclinadas (as mais usadas).
146

Figura 9 – Dimensionamento das chavetas.
As tensões que atuam nas chavetas são determinadas da seguinte forma:
Figura 10 – Tensões atuantes nas chavetas.
Quando a chaveta acopla (une) um eixo e uma polia, a transmissão de potencia do eixo
para a polia, força a chaveta de forma inclinada. Esta força (F) tende a cisalhar (rasgar) a seção
AA’ da chaveta. Logo:
F F
= =
A t.
L
τ Modelo Matemático (33)
Comparando com o limite de resistência cisalhante ao escoamento (Ssy) e para um fator
de segurança n, tem-se:
Ssy F Ssy
= ⇔ =
n t.
L n
τ (34)
5.11 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – CHAVETAS
1. Um eixo de aço AISI 1018 (ABNT) trefilado a frio tem Ssy = 185MPa. Uma chaveta
quadrada deve ser usada para acoplar um eixo de d = 40mm e uma engrenagem, que
transmitirão 22,38KW a uma rotação de 1100rpm. Usar fator de segurança n = 3,0.
147

T
F =
d => Força na chaveta
2
d 40
R = = ⇒ R = 20mm
2 2
3
30×
10 . H
Como: T = , onde H=> Potência em KW, tem-se
π.
n
3
30×
10 . 22,
38
T =
⇒ T = 194,
2N.
m
π.
1100
Logo:
194,
2
F = ⇒ F = 9713N
− 3
20×
10
Para a chaveta, temos:
F Ssy
=
t.
L n
F n
L = .
t.
S
sy
9713 3
L = .
0,
008 185×
10
L = 19,
7mm
6
Figura 11 – aplicação de chaveta.
Observar que, o comprimento mínimo é L = 19,7mm como a geometria do cubo é
maior do que o diâmetro do eixo, e como as chavetas têm o comprimento do cubo,
pode-se dizer que o comprimento da chaveta a ser usada é:
L ≥
40mm
148

5.12 - VIBRAÇÃO DE EIXOS
A figura 12 mostra um rotor consistindo de um grande disco de massa M montado em
um eixo, na metade da distância entre os mancais. A massa do eixo será considerada
desprezível comparada com M. Mesmo com um balanceamento de alto grau de precisão, há
contudo uma pequena excentricidade e do centro de massa g do disco, em relação ao eixo de
rotação. Por causa da excentricidade, a força centrífuga ocasionada pela rotação do eixo faz
com que este sofra uma deflexão r. Visto pela extremidade do eixo como na figura 12, o centro
O do disco parece estar girando em torno do eixo de rotação sobre uma circunferência de raio r.
A força de inércia causada por este movimento forçado é Fo = M(r + e) w 2 . Devido à deflexão do
eixo, considerado como uma mola, a resistência à força de inércia é kr, sendo k a constante de
mola do eixo na flexão. O sentido da aceleração do centro de gravidade g é conhecido neste
caso, de modo que se pode mostrar o vetor MA como uma força de inércia Fo (como na figura
12). Pode-se então escrever a equação do equilíbrio estático:
∑
F = 0
M r e w k r
2
( + ) − = 0
(35)
Figura 12 - Rotor com disco
149

Para se determinar o raio r, pode-se apresentar a equação (35) da seguinte forma:
r
=
2
ew
k − w
M
( )
Quando a velocidade ω do eixo for igual a
2
(36)
k / M , o denominador da equação (36) se
anulará e r atingirá valores intoleravelmente grandes. A rotação do eixo assim defletido parece
com uma viga em vibração quando visto do lado onde somente pode-se observar a projeção do
movimento. Portanto, pode-se considerar
k / M do eixo rotativo como a freqüência circular
natural ωn da viga quando levada a vibrar naturalmente no seu primeiro modo de vibração.
Pode-se escrever a equação (36), na forma adimensional:
2
r ( w / wn
)
=
e 1 − ( w / w )
n
A representação gráfica da equação (37) e indica a condição crítica de rotação, quando
ω for igual a ω n =
2
(37)
k / M , devido às amplitudes muito grandes da vibração do eixo. Na
condição crítica, chama-se ω de ωc e a velocidade de rotação do eixo em rotações por minuto
será
onde ω n =
60 60
nc = wc = wn
2π 2π
(38)
k / M normalmente é expresso em rad/s. Assim,
60 60 k k kg k k
nc = wn
= = 9,55 = 9,55 = 29,9 30 ≅
2π 2π
M M P P P
na qual nc è a velocidade crítica em rotação por minuto, k está em Newtons por metro e M. em
quilogramas. Pode-se calcular a constante k da mola através da deflexão estática δest do eixo
devido ao peso do rotor. Assim, k = Mg/δest e quando substituído na equação (39), a velocidade
crítica será expressa pela seguinte equação:
n
c
= 30
1
δ
est
Segundo os livros-texto de resistência dos materiais, pode-se calcular a deflexão
estática de uma carga P atuando no centro de uma viga uniforme bi-apoiada, como δest = Pl 3 /48
EIA. Assim, a velocidade crítica de um eixo com uma massa M situado no meio da viga, pode
ser calculada em termos das dimensões do eixo (l é o comprimento do eixo, entre apoios, IA é o
(40)
(39)
150

momento de inércia da área da seção reta do eixo, igual a πd 4 /64, d é o diâmetro do eixo) e do
módulo de elasticidade E do material do eixo.
n
c
= 46
Ed
Pl
4
3
Assim, de acordo com a equação (41), pode-se alterar o material e as dimensões do
eixo, assim como o peso da massa Af, de modo que a velocidade crítica nc seja superior ou
inferior à velocidade de projeto n na qual deseja-se operar. Caso n/nc for menor do que 0,707
ou maior do que 1,414, r será menor do que o dobro da excentricidade e. Por exemplo, se a
(41)
excentricidade e for 0,025 mm, r será 0,050 mm quando n/nc = 2 .
É interessante observar que em velocidades muito acima da crítica (ω/ωn>>1,0), o valor
de r/e = -1 e r = - e, indicando que o centro de massa de M estará no eixo de rotação. Neste
caso a massa não estará oscilando, porém o eixo oscilará em torno do centro de massa de M.
Até agora, considerou-se desprezível a massa do eixo. No caso da massa do eixo ser
grande bastante para não ser desprezada, e o eixo ter diâmetro uniforme, deve-se somar à
massa M 50 por cento da massa m do eixo, para se determinar à freqüência circular natural.
w
n
=
k
( M + 0,5 m)
Conforme mostra a figura 12, supõe-se que os mancais do eixo sejam rígidos. Em certos
casos, pode-se considerar os mancais como elasticamente apoiados, e neste caso o δest da
equação (40) deve incluir a deflexão estática dos apoios assim como a deflexão do eixo.
Entretanto, aplica-se a equação (40) somente quando a flexibilidade dos apoios for a mesma
para todas as posições angulares do rotor.
(42)
5.13 - FREQÜÊNCIA NATURAL E VELOCIDADE CRÍTICA
Pode-se ter uma variedade muito grande de configurações de rotores desde que sejam
usadas diversas massas e diversos apoios, assim como eixos de diâmetros variáveis. Embora
as curvas do fator de amplificação sejam difíceis de serem obtidas matematicamente, as
velocidades críticas dos eixos são determinadas com relativa facilidade através de cálculos de
freqüência natural. No próximo item, serão apresentados diversos casos de determinação da
velocidade crítica a partir da freqüência natural.
151

5.14 - FREQÜÊNCIA NATURAL DE EIXOS COM DIVERSAS MASSAS
Em um eixo rotativo com diversas massas conforme mostra a figura 13a, pode-se
determinar a freqüência circular natural ωn do eixo que, sem girar, vibra livremente, sem
amortecimento, após uma deflexão inicial no primeiro modo de vibração.
Pode-se aplicar o método de Rayleigh neste caso. Considerando que o sistema
vibratório é conservativo, a soma da energia potencial e da cinética é constante em qualquer
fase da vibração. Duas destas fases analisam-se facilmente. Na fase em que todas as massas
estão simultaneamente nos máximos deslocamentos Y, a energia armazenada elasticamente
no eixo é igual è energia potencial ∑ FY/2. Nesta fase a energia cinética é zero porque todos os
pontos do sistema estão momentaneamente com velocidade zero. Assim, a energia potencial é
FY F Y FnYn 2 2 2
1 1 2 2 EP = + + ... +
As forcas F são as necessárias para a deflexão do eixo, como se fosse uma mola, ate
ficar com a conformação mostrada nesta fase. O produto forca-deslocamento determina energia
potencial. Entretanto, como a forca e diretamente proporcional ao deslocamento, a forca media
que atua durante o deslocamento Y e F/2.
Durante a vibração, o eixo passa pela fase de repouso (não deformada) na qual a
energia potencial e zero, mas a energia cinética e máxima porque as velocidades das massas
são máximas. Considerando que as massas tem movimento harmônico simples, as velocidades
são V = Yωn e as energias cinéticas são MV 2 /2 = M(Yωn) 2 /2. Assim, a energia cinética do
sistema é
2 2
wn 2 2 2 wn
2 2 2
EC = ⎡M 1Y1 M 2Y2 ... M nYn PY 1 1 P2Y2 ... PnYn 2 ⎣ + + + ⎤
⎦ = ⎡ + + + ⎤
2g
⎣ ⎦
(44)
(a) Flexão dinâmica
(43)
152

d1
W1
d2
W2
(b) Flexão estática
Figura 13 – Flexão
Igualando-se os membros da direita das equações (43) e (44), pode-se deter-minar a
freqüência circular natural ωn. Entretanto, as forças F e os deslocamentos Y não são
conhecidos, mas podem ser determinados considerando-se a forma do eixo defletido
estaticamente sob a ação dos pesos conforme indica a figura 13b. Considerando que os
deslocamentos Y da vibração são proporcionais as deflexões δ da deformação estática, então
Y1 Y2
Yn
= = ... =
δ δ δ
1 2
Como as formas para defletirem uma mola são proporcionais as deflexões então
1 1 2 2
n
n n
d3
F1 Y1 F2 Y2
Fn Yn
= , = , =
P δ P δ P δ
Igualando as expressões da energia potencial e da cinética dadas pelas equações (43) e
(44) e usando as equações (45) e (46) para a eliminação de F e Y, a equação resultante que da
a freqüência circular natural é
[ Pδ + Pδ + ... + Pδ
]
2
1 1 2 2
n n
wn g
2 2 2
P1δ 1 + P2δ 2 + ... + Pnδ
n
=
⎡
⎣
⎤
⎦
Pδ
w = g ∑
2
n
2
∑ Pδ
(47)
e a velocidade critica pode-se determinar de nc = 60 ωn /2π.
A equação de Rayleigh equação (47) e uma expressão simples e altamente útil para
determinar a freqüência natural fundamental de muitos tipos de rotores. A determinação da
deflexão estática constitui a maior parte do esforço necessário na execução dos cálculos
conforme está ilustrado nos exemplos seguintes. As fórmulas de deflexão de vigas, para
inúmeros casos, estão disponíveis em livros texto de resistência dos materiais e em manuais.
Pode-se aplicar o método da área do diagrama de momento fletor e outros em casos gerais.
Dispõe também de métodos gráficos, conforme ilustrado no item seguinte, para a determinação
W3
(45)
(46)
das deflexões estáticas de rotores com eixos de diâmetros variáveis.
153

Para inclusão da massa do eixo nos cálculos, deve-se dividi-lo em diversos
comprimentos, cada um tratado como se fosse uma massa adicional.
A equação (47) não e estritamente uma avaliação exata da freqüência natural porque a
curva das deflexões estáticas não e proporcional exatamente a curva deflexões dinâmicas,
como foi considerado. Entretanto, o resultado obtido equação e somente um ou dois por cento
superior a freqüência natural funda verdadeira. Considerando que outros fatores tais como
efeitos giroscópicos durante a oscilação, ajustagens forçadas de discos no eixo, e chavetas
alteram raramente a velocidade critica, a equação (47) produz uma resposta aceitável. A
deflexão dos apoios pode ter uma influencia maior sobre as velocidades críticas e devem ser
acrescidas as deflexões do eixo, na equação (47).
A freqüência natural dada pela equação (47) é a fundamental, ou a mais baixa
freqüência do sistema de massas. É desejável, portanto, se possível projetarem-se as
dimensões de um, eixo de tal modo que a velocidade crítica mais baixa seja superior à
velocidade de projeto. Entretanto, nem sempre isso é possível. Em turbinas de alta rotação, a
velocidade de operação pode estar entre duas velocidades críticas de modo que o eixo não
necessita tornar-se excessivamente pesado. Neste caso, é necessária a passagem pela
velocidade crítica mais baixa, o que pode ser perigoso. Entretanto, se o rotor estiver
cuidadosamente balanceado e a primeira velocidade crítica for baixa, as forças perturbadoras
serão pequenas nas regiões perto da crítica. Também, a amplitude de vibração à velocidade
crítica aumenta a níveis perigosos somente se for permitido um tempo para a amplitude crescer;
portanto, acelerando-se na passagem pela velocidade crítica, pode-se manter as amplitudes em
intensidades aceitáveis. O amortecimento natural do material do eixo, embora pequeno,
também tende a reduzir as amplitudes. Muitas máquinas bem sucedidas foram projetadas para
funcionar entre velocidades críticas.
Quando o eixo se estende para fora dos mancais como na figura 12a, deve-se inverter
os sentidos dos pesos como indica a figura 12b na determinação das deflexões estáticas para
emprego na equação (47). Deve-se notar que se simula dessa maneira a curva da deflexão
dinâmica de meia-onda, para obtenção da freqüência natural mais baixa.
154

Figura 14 – Freqüência natural da estrutura
5.15 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – VIBRAÇÕES EM EIXOS
1. Um rotor de compressor de 25 kg e um rotor de turbina, de 15 kg, são montadas em um
eixo de aço conforme mostra a figura 13a. O eixo deve operar à velocidade prevista de
10.000 rpm. Empregando a equação de Rayleigh (47) determine o diâmetro do eixo
mais leve que possa ser usado para que tenha uma velocidade critica fundamental de
12.000 rpm, com uma margem de segurança de 2.000 rpm.
(b)
(a)
155

Figura 15 – Aplicação de vibrações em um eixo
Conforme a figura 15b mostra, inverte-se a carga P2 a fim de se obter uma curva de
deflexão com o formato do uma meia-onda simples. As figuras 15c e 15d mostram a
forma da viga deformada sob a ação de cada carga atuando independentemente,
conduzindo assim a dois casos cujas fórmulas deflexão estática mostradas a seguir
encontra-se em livros-texto de resistência dos materiais. Pelo método da superposição,
pode-se determinar as deflexões δ1 e δ2:
3 2
Pl 1 P2l a
δ1 = δ ′
1 + δ ′′
1 = + =
48EI 16EI
A A
⎡ ⎤
= ⎢ + ⎥ =
EI ⎣ 48 16 ⎦ EI
3 2
1 25× 0,50 15× 0,50 × 0,25 0,12369
A A
2 2
Pl 1 a P2 a ( l + a)
0,322
δ2 = δ ′
2 + δ ′′
2 = + =
16EI 3EI
EI
Usando-se a equação (47),
A A A
(d)
(a)
(b)
(c)
156

2 ⎡ P1δ 1 + P2δ
⎤ 2 ⎡ 25× 0,12369 + 15× 0,332 ⎤
wn = g ⎢ gEI
2 2 ⎥ = A
2 2
P1δ 1 + P2δ
⎢
2 25× 0,12369 + 15× 0,332
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Para g= 9,81m/s² e E= 2,1 x 10 10 kg/m²
w = 81,678 × 10 I
2 10
n A
I = 0,012243 × 10 w
−10
2
A n
Para nc= 12.000 rpm
w
n
2π
nc
= = 1260 rad/s
60
Portanto, o momento de inércia necessário do eixo é:
I A
= 0,012243 × 10 × 1260
Como IA= πd 4 /64,
−10
2
64
d = I = 395973, 4762 × 10
π
4 -10
A
d = 0,0793 m = 79,9 mm
Deve-se usar um diâmetro de 80mm.
2. Os apoios do rotor do exemplo 1, figura 15a, foram considerados como rígidos.
Determine a velocidade crítica do rotor do exemplo 1 se cada um dos apoios sofrer uma
deflexão de 0,14/EIA sob um carregamento estático. Use IA = 1,84 x 10 -6 m 4 e E = 2,1 x
10 10 kg/m 2 .
Devido à flexibilidade dos apoios, as cargas Pl e P2 terão uma deflexão adicional.
Conforme indica a figura 16, sob o carregamento, o apoio da esquerda desloca-se para
baixo e o da esquerda para cima. Como se pode ver, não há influência nobre a deflexão
da carga P1, porém o deslocamento de Pl aumenta de 0,28/EIA. Portanto as deflexões
estáticas totais são
0,12369
δ =
1
EI A
0,332 0, 28 0,612
δ 2 = + =
EI A EI A EI A .
Substituindo estes valores na equação (47),
157

w
w
2
n
n
= 774602
= 880,1 rad/s
60 60
nc = wn
= (880) = 8404 rpm
2π 2π
5.16 - EIXOS ESCALONADOS
A equação (47) para velocidade crítica se aplica a eixos de rotores do tipo mostrado na
figura 10a, no qual o diâmetro varia em degraus. Entretanto, como IA é variável em tais casos,
não se derivam com facilidade para as deflexões estáticas. Pode-se usar um dos diversos
métodos gráficos, tal como o seguinte.
0,14
EI A
Figura 16 – Eixos Escalonados
Deve-se recordar da resistência dos materiais que para se determinar à deflexão
estática deve-se resolver a equação diferencial básica:
d
2
0,14
y M
=
2
dx EI A
Na qual y é a deflexão, M é o momento fletor como função de x, e IA é O momento de
inércia da seção reta do eixo, como função de x. Integrando-se duas vezes a equação (48)
obtém-se a deflexão da viga. A primeira integração conduz a dy/dx, inclinação da curva elástica
da viga deformada. Além disso, iniciando-se com as cargas da viga, necessitam-se de duas
integrações para a obtenção do diagrama do momento fletor. Assim, necessita-se de quatro
(48)
integrações para se obterem as deflexões a partir do carregamento conhecido.
EI A
Como o processo de integração é o somatório de áreas sob as curvas, pode-se
empregar um método gráfico para um somatório para vigas complexas que têm funções com
numerosas descontinuidades. O método gráfico exige que as curvas sejam traçadas em escala
0, 28
EI
A
158

a fim de que as áreas sob as curvas possam ser avaliadas através da medição de quadrados
ou usando-se um planímetro.
A figura 17a mostra um rotor de aço com uma engrenagem de 89,0 N e um eixo de três
diâmetros diferentes. Divide-se a viga em cinco partes, mostrando-se os pesos de cada parte
no respectivo centro de gravidade. Uma delas inclui o peso da engrenagem. A figura 17a é um
diagrama de carregamento a partir do qual pode-se determinar o diagrama de esforço cortante
mostrado na figura 17b através de métodos convencionais (a primeira integração). Obtém-se o
diagrama de momento fletor da figura 17c através das áreas do diagrama de esforço cortante (a
segunda integração). Por exemplo, a ordenada M1 é obtida a partir da área Al, a ordenada M2,
é a soma das áreas A1+A2 e a ordenada Mn é 1
n
∑ A
. Deve-se levar em conta o sinal de cada
área. Devem-se multiplicar as áreas em milímetros quadrados pelo fator de conversão
apropriado obtido das escalas do diagrama de esforço cortante, afim de que as ordenadas do
diagrama de momento fletor sejam em N/mm.
159

Figura 17 – Deflexões em um eixo de carregamento conhecido
Depois de realizadas as integrações, deve-se transformar o diagrama de momento fletor
no diagrama M/EIA conforme exigido pela equação (48). Divide-se cada ordenada do diagrama
de momento fletor pelo valor adequado de EIA (E = 207x x 10 3 N/mm 2 para o aço e IA = πd 4 /64)
para obtenção das ordenadas M/EIA da figura 17d. Obtém-se as ordenadas da figura 17 e
representando a inclinação dy/dx da elástica (terceira integração), através das áreas do
diagrama M/EIA. As ordenadas traçadas a partir do eixo x' são todas positivas. Entretanto, sabe-
se do formato esperado da elástica que as inclinações são negativas perto da extremidade da
esquerda da viga, positivas na extremidade da direita e nas proximidades do meio da viga há
uma inclinação nula. Assim, traça-se o eixo x escolhido arbitrariamente de tal modo que as
160

áreas negativas sejam aproximadamente iguais às positivas, na figura 17e. Faz-se a quarta
integração usando-se as áreas da figura 17e para obtenção das ordenadas da deflexão estática
y na figura 17f. Observa-se que as ordenadas da deflexão estática são negativas porque as
áreas da curva dy/dx são negativas na extremidade da esquerda onde se inicia a integração.
Embora estas ordenadas sejam levantadas a partir do eixo x\ traça-se o eixo x conforme
indicado porque se sabe que são nulas as deflexões da viga nos apoios. Como o eixo x, traçado
arbitrariamente no diagrama da inclinação da elástica figura 15e, havia dividido igualmente as
áreas negativas e positivas, então o eixo x' e o x da figura 15f deveriam coincidir.
w
n
Dos dados das curvas a e f, calculam-se os seguintes valores:
∑ ∑
2 ∑ Py
6
wn = g = 0,794 × 10
2
∑ Py
2
Py = 2,94 N ⋅ mm Py = 0,0385 ⋅ mm
= 865 rad/s
60(865)
nc = = 8260 rpm
2π
5.17 - VELOCIDADES CRÍTICAS DE ORDEM SUPERIOR
Para rotores que tem eixos de diâmetros variáveis como no item precedente, a
determinação da segunda velocidade critica e as velocidades de ordem superior quanto à
flexão, e relativamente mais complexa do que o cálculo da velocidade crítica fundamental da
equação (47). Os livros-texto de Timoshenko, Den Hartog e Thomson apresentam métodos
para rotores com tais eixos e para um número de rotores com eixos uniformes com e sem
massas concentradas. No casos de vigas uniformes simplesmente apoiadas e vigas uniformes
em balanço para as quais a formula seguinte calcula as diversas freqüências naturais:
w = C
n n
EI Ag
3
Pl
E o coeficiente que indica a n-ésima freqüência natural, P e o peso total da viga em kg, e
/ e o comprimento da viga em metros. O eixo de transmissão do automóvel e eixo de bobina
são exemplos de vigas uniformes simplesmente apoiadas, e as palhetas de compressores e de
(49)
turbinas são exemplos aproximados de vigas uniformes em balanço.
161

Consideremos o caso da palheta do rotor mostrada na figura 18. Mostra-se a palheta
como uma viga em balanço a qual sofre um ciclo de perturbação de flexão cada vez que passa
por uma palheta do estator e provoca uma mudança na força aerodinâmica. Se N e o número
de palhetas do estator, então a freqüência da perturbação em ciclos por minuto será o produto
de N pela rotação do rotor em rpm. Quando essa freqüência coincidir com a freqüência natural
fn da palheta devida à flexão, existira uma situação crítica. Para a palheta de aço mostrada na
figura 16, os cálculos seguintes ilustram a determinação das diversas velocidades criticas do
rotor para o caso de um estator de 30 palhetas.
E =
I A
p =
3
2
207x10 N / mm
3
3
bh 25,
4x3,
18
= = = 68,
1mm
12 12
−6
3
76, 5x10
N / mm
9810 / s
2
g = mm I = 76,
2mm
P = × p = × × × =
4
−6
volume (25, 4 76, 2 3,18)(76,5 10 ) 0, 471 N
3
EI Ag (207 × 10 ) × 68,1× 9810
w n1 = c1
= 3,52 = 2870 rad/s
3 3
Pl
0, 471× 76, 2
f
60w 60
2π 2π
n1
n1
= = × =
2870 27, 400 ciclos/min
Figura 18 – Encaixe palheta e rotor
162

A velocidade crítica do rotor ocorre gerando
f 27400
N 30
n1 nc1 = = = 913 rpm
A segunda e a terceira velocidades críticas são
c 22, 4
n = n = × 913 = 5810 rpm
3,52
c2
2
c1
c1
c 61,7
n = n = × 913 = 16000 rpm
3,52
c3
3
c1
c1
f = Nn
n1 c1
Em geral as palhetas de rotores devem ser delgadas e leves para maquinas de alta
rotação e freqüentemente ultrapassam a primeira e a segunda velocidades criticas. A seleção
do material e importante. Alguns materiais possuem propriedades de amortecimento melhores
do que outros, e isto pode significar a diferença entre o êxito e o fracasso em ultrapassar as
velocidades criticas. As palhetas geralmente são curvas e sua espessura diminui gradualmente,
sendo maior na base do que na extremidade: isto torna a palheta mais rígida e aumenta um
pouco a velocidade critica. Observação: não deve ser utilizado em vigas não uniformes.
5.18 - EIXOS ESCALONADOS
Quando o eixo tem os diâmetros escalonados como o do rotor de dois discos mostrados
na figura 22, a constante da mola torcional é variável. Pode-se determinar uma constante
equivalente kt em função das constantes individuais kl, k2, k3...Kn. Para molas em série, o
torque instantâneo T em cada seção do eixo é o mesmo. Entretanto, os ângulos de torção
diferentes. O ângulo total de torção Φt é a soma de todos os ângulos individuais de torção.
φ = φ + φ + φ + ... + φ
1 1 2 3
T T T T T
= + + + ... +
k k k k k
t 1 2 3
n
1 1 1 1 1
= + + + ... +
k k k k k
t 1 2 3
n
1 1
= ∑ k k
t
Para o rotor com dois discos e com eixos de diâmetro variável, pode-se substituir kt,
determinado pela equação (50).
n
.
(50)
163

Figura 19 - Eixo e mancais
5.19 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS - DIMENSIONAMENTO DE EIXOS
1. O eixo da figura suporta uma engrenagem cilíndrica de dentes retos para uma rotação de
315 rpm. O diâmetro primitivo da engrenagem é de 364 mm, t=310mm, t1=120 mm,
t2=190 mm. Dimensione este eixo, calculando o valor de d. A engrenagem é enchavetada
no eixo. A carga total atuando no eixo é de 15 KN.
Figura 21 - Exercício proposto 1.
2. Um eixo é fabricado com aço AISI 1137, laminado a frio, e é usado em um cortador de
grama. A potência é suprida ao eixo por uma correia plana à polia A. Em B, uma corrente
de rolos exerce uma força vertical e em C uma correia trapezoidal também exerce uma
força vertical. Nas condições de operação a correia transmite 35 HP a 425 rpm das quais
25 HP é transmitida ao cortador e 10 HP para o ventilador. As duas seções do eixo são
164

unidas por um acoplamento flexível em D e as polias são todas enchavetadas no eixo.
Decida qual serão os diâmetros dos eixos, utilizando a teoria de falhas de Von Mises e o
critério de Goodman.
Figura 22 - Exercício proposto 2.
165

3. Um eixo S de aço AISI 1137, laminado a frio, transmite potencia que recebe de um eixo
W, que gira a 2000 rpm através de uma engrenagem E de 125 mm de diâmetro à
engrenagem A de 375 mm de diâmetro. A potência é transmitida de uma engrenagem C
para a engrenagem G, que varia de 10 HP a 100 HP, retornando a 10 HP, durante uma
rotação de do eixo S. O projeto leva em conta as tensões variáveis e a teoria da máxima
tensão cisalhante TMT|C e o critério de Goodman. Para um fator de projeto n=1,8,
calcule o diâmetro do eixo, utilizando somente as cargas tangenciais motoras.
Figura 23 - Exercício proposto 3.
166

4. Idêntico ao anterior, exceto que as componentes radiais das engrenagens devem também
ser consideradas, todas as engrenagens com ângulo de pressão 20 o .
5. Idêntico ao exercício 4, exceto que a engrenagem G se posiciona em cima da
engrenagem C.
6. Um pequeno eixo é fabricado com aço SAE1035, laminado a quente, recebe potência de
30 HP a 300 rpm, através de uma engrenagem de 300 mm de diâmetro, sendo esta
potência transmitida a outro eixo através de um acoplamento flexível. A engrenagem é
enchavetada no meio do eixo entre dois mancais, com ângulo de pressão 20 o , fator de
segurança n=1,5.
(a) Desprezando a componente radial R da carga total W, determine o diâmetro do eixo.
(b) Considerando ambas componentes radiais e tangencial, determine o diâmetro do
eixo.
Figura 24 - Exercício proposto 6.
167

CAPITULO 06 - LUBRIFICAÇÃO E MANCAIS DE DESLIZAMENTO
6.1 - INTRODUÇÃO
O movimento dos elementos ou peças de máquina exige superfícies de apoio, algumas
das quais são fácil e completamente lubrificadas outras lubrificadas deficientemente e com
dificuldade e, ainda outras, não recebem qualquer lubrificação. Em muitas situações, quando o
movimento é pequeno e a carga leve, o projetista se contenta em prever um furo de óleo, ou
outro dispositivo simples, e de fazer depender do operador da máquina a aplicação periódica do
lubrificante. Entretanto, quando a carga ou à velocidade, ou ambas, são elevadas, como
acontece comumente nas máquinas modernas, a lubrificação, seja por óleo, por ar ou outro
fluido, deve ser projetada para atender as condições de operação e evitar dificuldades que, sem
isso, adviriam. A lubrificação não é a apenas o lubrificante. Depende da carga, velocidade,
folgas, comprimento e diâmetro do mancal e, talvez, do tipo de superfície.
6.2 - LUBRIFICANTES.
Os óleos animais ou vegetais são lubrificantes, mas, é claro, os mais importantes dos
óleos são os derivados de petróleo. Os modernos óleos de petróleo contem, usualmente, um ou
mais aditivos que objetivam a melhoria de alguma propriedade particular do óleo. Assim, são
usados aditivos com os seguintes objetivos: para reduzir a taxa de e oxidação do óleo
(antioxidantes); para limpar as superfícies das maquinas (detergentes); para reduzir a corrosão
(anticorrosivos); para manter os produtos da decomposição em um estado coloidal
(dispersantes); para prevenir o contato de metal com metal, como no caso dos dentes de
engrenagem (agentes para extrema pressão); para reduzir ferrugem (antiferruginosos); para
baixar o ponto de congelamento; para diminuir a variação do índice de viscosidade com a
temperatura e para prevenir a formação de espuma.
Os lubrificantes sintéticos estão assumindo importância cada vez maior em situações
especiais. Um polímero dimetilsilicone apresenta o alto índice de viscosidade ** de 150, resiste
à oxidação até 350º F e pode ser fabricado com a viscosidade desejada.
A grafita tem sido usada como lubrificante de muitos modos: Um composto especial ,
lubrificante sólido, produz um filme com espessura de 0,004 mm (0,00015 pol.) a 0,0127 mm
168

(0,0005 pol.) de espessura e adere tenazmente às superfícies. Tem sido usado em mancais,
engrenagens, arvores caneluradas e outras aplicações e é extremamente preventivo de
escoriações nas superfícies metálicas provocadas pelo atrito.
6.3 - VISCOSIDADE
A propriedade mais importante de um lubrificante, no caso de atrito fluido, é a
viscosidade. Consideremos um elemento de um fluido no qual ocorre movimento relativo das
partículas. Se a velocidade da camada superficial superior é 2 v e, da inferior, v 1 , a variação da
velocidade entre as duas camadas é v2 − v1
= dv, se admitirmos que as camadas superficiais
estejam afastadas entre si de dh. A lei de Newton para os fluidos viscosos estabelece que a
tensão de cisalhamento F / A no fluido é proporcional ao gradiente de velocidade dv / dh:
F
A
Fig.1- Definição de viscosidade
dv
= μ ou
dh
Av
F = μ
(1)
h
onde A é a área do fluido e µ é a constante de proporcionalidade , chamada viscosidade
absoluta, ou simplesmente viscosidade, do fluido.
Existem dois tipos de viscosidade que são comumente utilizadas. A primeira é a
viscosidade absoluta e é derivada da unidade básica de força e velocidade. A outra é chamada
de viscosidade cinemática definida como a viscosidade absoluta dividida pela densidade.
Então:
F ub
τ = = μ ⋅
(2)
A h
2
F A N m N ⋅ s ec
μ = = = = Pa ⋅ s ec (3)
2
u h m s ec m m
b
169

Ou na unidade cgs:
Ou nas unidades inglesas:
2
dina ⋅ s egundo cm = centipoise
1 reyn f pol ⋅
2
= lb s eg
(5)
Se o lubrificante não constar das tabelas, será, provavelmente, necessário à conversão
a partir da viscosidade Saybolt Universal (SU), que é obtida em leituras de viscosímetros
comerciais. Esta conversão é feita com o uso de uma outra propriedade denominada
Viscosidade cinemática, que é a viscosidade absoluta do fluido dividida pela sua massa
específica, ambas expressas no mesmo sistema de unidades. As dimensões básicas da
viscosidade cinemática são L 2 T -1 . Como no sistema CGS de unidades, a massa especifica ρ é
numericamente igual à densidade d, é fácil determinar a viscosidade cinemática VC a partir da
absoluta Z em centipoise.
VC = Z / ρ = Z / d = 0,22t – (180/t) (centistokes) (6)
onde t é a leitura no viscosímetro Saybolt Universal em segundos sendo todas as propriedades
consideradas à mesma temperatura. A densidade de um óleo derivado de petróleo a uma
determinada temperatura θ é dada, aproximadamente, por:
dθ = d60 – 0,00035 (θ-60) (7)
onde d60 é a densidade a 60°F (cerca de 0,89 a 0,93 para es tes óleos).
6.4 - CLASSIFICAÇÃO DOS MANCAIS.
Um mancal é constituído de duas partes principais: o munhão, que é a parte interna,
cilíndrica, usualmente com movimento de rotação ou oscilação, e o mancal propriamente dito ou
superfície de apoio, que pode ser estacionário, como os mancais de uma arvore, ou pode ser
imóvel, como no caso de um sistema biela-manivela.
Pode-se classificar os mancais de vários modos. Um deles encara o fato de ser o
munhão inteiramente envolvido pela superfície de apoio ou mancal propriamente dito, caso
em que o conjunto é chamado mancal completo ou de ser envolvido apenas parcial, caso em
que o conjunto é chamado de mancal parcial. Um tipo simples de mancal parcial é usado
quando a carga é aplicada na parte superior do munhão e este mergulhado em óleo na parte
inferior.
(4)
170

Os mancais podem ser também classificados como mancais com folga ou sem folga.
Nos mancais com folga o diâmetro da superfície de apoio é maior do que o do munhão. A
diferença entre esses diâmetros é chamada de folga c. A folga radial cr=c/2 é a diferença entre
os raios das superfícies do mancal e do munhão. A relação entre a folga e o diâmetro do
munhão c/D é chamada de taxa de folga. Um mancal sem folga é aquele em que ambas as
superfícies, a do munhão e a de apoio do mancal, Têm os mesmos raios. È evidente que um
mancal sem folga é, obrigatoriamente, um mancal parcial, enquanto os mancais com folga
podem ser completos ou parciais.
Antes de podermos estudar os mancais hidrodinâmicos, temos que entender primeiro
como os lubrificantes atuam. Como a viscosidade dos lubrificantes varia com a temperatura,
temos que escolher um óleo ou graxa adequados para as condições de trabalho. O lubrificante
escolhido também é determinado em função do acabamento das paredes do mancal. Este
capítulo introduzirá os parâmetros usados para selecionar os lubrificantes, as qualificações de
acabamento e o comportamento hidrodinâmico dos mancais de deslizamento O estudo de
lubrificação, atrito e desgaste é chamado tribologia.
A exigência fundamental para duas superfícies serem lubrificadas é que as espessuras
operacionais do lubrificante entre as superfícies deve ser maior que a rugosidade das
superfícies. As duas superfícies devem flutuar em um filme pressurizado de lubrificante.
Figura 2 - Relação entre a espessura do lubrificante e a rugosidade das superfícies do mancal
A relação para a lubrificação hidrodinâmica è:
espessura
1
⎛ u 2
b ⎞
.. do.
filme : hmin
∝ ⎜ ⎟
⎝ W ⎠
Onde hmin normalmente excede 1 µm e onde W é a carga aplicada ao mancal.
(8)
171

Pode-se ver o que acontece se hmin for menor do que a altura da saliência da
rugosidade. Contato de metal com metade iria ocorrer, alto atrito e alta taxa de desgaste
também acontecem.
6.5 - LUBRIFICAÇÃO ELASTODINÂMICA
Figura 3 – Lubrificação
A característica fundamental deste tipo de lubrificação é que a carga provoca uma
deflexão elástica na superfície principal formando uma pequena cunha superficial. O lubrificante
é jogado para esta superfície pela rotação do elemento girante.T
Figura 4a - Operação Elastohidrodinâmica
Figura 4b - Características da lubrificação hidrodinâmica
O módulo efetivo elastohidrodinâmico é utilizado no projeto de mancais de rolamentos
de esferas e de rolos e em eixos que operam com mancais de nylon.O módulo efetivo é:
172

6.6 - TIPOS DE LUBRIFICAÇÃO
Lubrificação Limite: Contato entre mancal e munhão
Lubrificação de filme de óleo- lubrificação intermitente
Lubrificação Hidrodinâmica: O eixo do mancal é apoiado em um filme de óleo. O filme é
criado pelo movimento do mancal. A figura abaixo mostra a relação entre os parâmetros do
mancal e o coeficiente de atrito.
'=
6.7 - LUBRIFICAÇÃO ESTÁVEL E INSTÁVEL
Figura 5 - Viscosidade
A lubrificação Hidrodinâmica é considerada uma lubrificação estável. Com o aumento da
temperatura do lubrificante, a viscosidade tende a cair. Isto resulta em um menor coeficiente de
atrito levando a temperatura do lubrificante a cair, tendo portanto uma auto-correção. Já a
lubrificação intermediária é instável,pois um aumento na temperatura do lubrificante, causa uma
diminuição na viscosidade e portanto um aumento no coeficiente de atrito, levando a
temperatura do óleo a aumentar ainda mais.
E 2
2
1−ν
a 1−ν
b
E
a
2
+
E
b
(9)
173

6.8 - MECANISMOS DA LUBRIFICAÇÃO.
Suponhamos um munhão em repouso em seu mancal, como é mostrado
esquematicamente na Fig. 6 (a). O espaço da folga está cheio de óleo e o munhão repousa na
superfície de apoio, ou mancal, havendo contato de metal com metal no seu ponto mais baixo.
À proporção que o munhão, com a carga (ou reação do mancal) R, começa a girar no sentido
indicado na Fig. 6 (b) e (c), ocorre inicialmente, uma atrito de metal com metal e o munhão
tende a subir para a direita do mancal, como se vê na Fig 6 (b). Contudo, como o óleo adere à
superfície do munhão, a rotação arrasta um filme de óleo separando o munhão e o mancal e,
então, o munhão move-se para a esquerda e toma a posição excêntrica em relação ao mancal,
como se vê na Fig 6 (c). O mancal em rotação, agindo como uma bomba, provoca suficiente
elevação da pressão de óleo pra que este assegure uma completa separação entre a sua
superfície e a do mancal.
Para ser assegurado esta elevação de pressão e a continuidade da película de óleo, é
indispensável à existência de um espaço em forma de cunha pelo qual passe o fluxo de óleo,
como mostrou Reynolds na teoria hidrodinâmica que desenvolveu sobre o assunto. Observar,
neste particular, a convergência para a seção ho.
A camada de óleo junto à superfície do munhão fica aderente a ela e movimenta-se com
a mesma velocidade, enquanto a camada junto à superfície do mancal permanece estacionaria
com esta (se o mancal for estacionário). A velocidade de óleo vai, assim, decrescendo da
primeira das camadas citadas para a segunda. Em conseqüência, quanto mais rapidamente o
mancal girar, mais óleo será arrastado nas seções convergentes e maior será a espessura
mínima do filme ho, desde que a carga permaneça constante. Para bem compreender o
fenômeno, convém ter em mente a ação da bomba do munhão.
Fig. 6- Mecanismo de Lubrificação em Mancal
174

6.9 - LUBRIFICAÇÃO COM FILME ESPESSO OU DE ATRITO FLUIDO
As superfícies mais bem acabadas mostram irregularidades quando ampliadas, de modo
que existem sempre pontos mais elevados (ver Fig. 7). Para que se tenha uma lubrificação
com filme espesso, e espessura mínima ho do óleo deve ser suficientemente grande para
assegurar o afastamento destes pontos. Assim, quanto mais ásperas ou grosseiras as
superfícies mais espesso o filme que vai separar as mesmas. Um dos objetivos dos cálculos
dos mancais é o de assegurar a espessura mínima do filme de óleo ho, necessária para manter
a separação das superfícies. Quanto à lubrificação com filme espesso é atingida , a força de
atrito é a força necessária para cisalhar o lubrificante e é independente da natureza ou estado
das superfícies lubrificadas.
Fig. 7- lubrificante cisalhado
Desde que a ação de bomba do munhão não seja bastante para produzir um filme
suficientemente espesso, alguns ou muitos dos pontos mais altos das irregularidades de
superfície poderão tocar-se. Se este contato, ocorrer, teremos a lubrificação por filme
delgado ou de atrito combinado, pois que a força de atrito dependerá tanto das superfícies
como do lubrificante e ela será bem maior do que no caso do atrito fluido.
No inicio do movimento, Fig. 6 (a), há contato de metal com metal e lubrificação por filme
delgado. Se a carga é muito grande ou a velocidade muito baixa, o munhão poderá não
bombear bastante lubrificante para assegurar a separação das superfícies. Igualmente,
movimento de oscilação, partidas e paradas repetidas podem produzir rápido desgaste do
mancal pois que o filme se mantém demasiadamente fino. Se a operação normal processa com
filme espesso, isto é, atrito fluido, grande parte do desgaste ocorre nos períodos de partida. Por
esta razão, uma maquina com superfícies deslizantes deve ser projetada para partir sem carga
ou com carga leve, se bem que isto não seja sempre possível, praticamente.
175

Métodos de Lubrificação dos Mancais. Os mancais podem ser lubrificados: (a)
intermitentemente; (b) continuamente, com uma quantidade limitada de lubrificante ou (c)
continuamente, com uma quantidade abundante de lubrificante.
(a) Lubrificação Intermitente. A lubrificação intermitente, seja com óleo ou graxa,
compreende os casos em que é deixado ao operador a aplicação periódica do
lubrificante, seja em furos de lubrificação, ou em copos de óleo ou graxa, de tipo comum
ou de tipo especialmente designado como de pressão. O coeficiente de atrito decorrente
deste método de lubrificação é variável e problemático e, comumente, é admitido como
variando de 0,12 a 0,15.
(b) Lubrificação Limitada. Existem vários sistemas, alguns dos quais abaixo descritos, que
asseguram uma lubrificação contínua, mas de limitada quantidade de óleo, aos mancais.
Estes sistemas são indicados para serviços relativamente leves.
Lubrificação por gotejamento ou por gravidade. É de uso muito comum e, sob certas
condições, dá resultados satisfatórios. Um furo roscado no mancal, no lado da baixa
pressão, recebe um copo de óleo que é provido de uma válvula de agulha ajustável para
regular a quantidade de óleo fornecida ao mancal. Este método de alimentação de óleo
permite a formação de um filme de óleo espesso (atrito fluido), mas é aconselhável usar
um fator de segurança relativamente elevado e manter uma certa dependência ao
computar o valor do coeficiente de atrito.
Lubrificação por mecha. É obtida por meio de mechas ligadas a pequenos
reservatórios na parte superior do mancal e desenvolvendo-se ao longo de sua
superfície. O óleo é suprido ao munhão por ação capilar. Este tipo de lubrificação é
usado em eixos intermediários e os reservatórios de óleo devem ser completados
diariamente.
(c) Lubrificação Abundante. Existem vários meios de assegurar um abundante suprimento
de óleo a um mancal, alguns dos quais discutiremos abaixo.
O sistema de anel-guia, usado em muitos tipos de maquinas, é um sistema intermediário
176

no qual um anel fornecerá ampla quantidade de óleo, se o mancal for apropriadamente
projetado e trabalhar velocidades médias. Karelitz verificou que a quantidade de óleo
fornecida ao munhão é, aproximadamente, proporcional à largura do anel; que em altas
velocidades o óleo é expulso do anel, pela força centrifuga, na parte superior, havendo,
pois, necessidade de rasgos especiais para recolher o óleo e dirigi-lo ao munhão , e que
os anéis mais pesados fornecem mais óleo que os leves. Detalhes da aplicação de um
mancal com anel-guia do óleo a um motor elétrico, são mostrados na Fig. 8.
Fig. 8- Detalhes da aplicação de um mancal com anel-guia do óleo a um motor elétrico
Corrente ou cadeira-guia e colar-guia de óleo são variações do principio do anel. No
primeiro destes sistemas, uma corrente ou cadeia substitui o anel, enquanto que no segundo,
um colar no eixo mergulha no reservatório de óleo e leva o lubrificante à parte superior do
mancal. Notar que, se a carga atua na metade inferior do mancal, os sistemas de anel e de
corrente não dividem a área que suporta a carga, enquanto que o de colar divide essa área em
duas partes, tornando o mancal equivalente em dois mancais, no que se refere à distribuição
177

longitudinal da pressão.
Na lubrificação por banho, o munhão parcialmente submerso em um deposito de óleo,
método particularmente indicado para os mancais que suportam a carga na metade superior. A
lubrificação por salpico é usada em mecanismos alternativos, como nos motores de combustão
interna, onde a arvore de manivelas esta situada no reservatório de óleo (Carter) e a manivela
mergulha no óleo em cada volta. Este sistema tem se mostrado satisfatório em muitas
maquinas alternativas. Contudo, os resultados não são tão seguros quanto no caso de ser
usada a lubrificação por pressão.
No sistema de baixa pressão, o óleo flui ou é continuamente bombeado para o mancal
sob pequena altura manométrica. Nos sistemas de lubrificação sob pressão, em geral um
sistema de circulação, o óleo é bombeado de um reservatório. Ambos os sistemas devem
fornecer abundante quantidade de óleos aos mancais. Como a ação natural de bombeamento
do munhão, quando em rotação, produz pressões muito altas na película de óleo, não haverá
objetivo em bombear o óleo na região de alta pressão, exceto no caso de se querer assegurar
flutuação do eixo sob carga estática. A pressão com que o óleo é bombeado é muito menor do
que a gerada no mancal.
6.10 - SUPERFÍCIES DOS MANCAIS.
Conclui-se da exposição acima, que superfícies lisas são vantajosas nos mancais. Se as
irregularidades forem pequenas , as superfícies poderam ficar mais próximas uma da outra e o
lubrificante terá sua película mais fina, sem que sejam abandonadas as condições de atrito
fluido. Em conseqüência, quanto mais lisas as superfícies, maior a margem de
segurança.quanto a possível ruptura da película de óleo, pois que um mancal projetado para
trabalha em regime de atrito fluido, virá, certamente, a falhar se operar por largo tempo nas
condições de atrito combinado. O calor gerado pelo atrito excessivo romperá o filme de óleo.
Por esta razão as máquinas novas devem ser “amaciadas” sob baixa carga pois, deste modo,
os pontos altos das superfícies em atrito serão, onde houver ruptura local do filme de óleo,
alisados gradualmente e sem maiores danos. Quanto mais irregulares as superfícies, mais
eficiente será este período de amaciamento.
178

Os mancais comerciais são acabados por alargador, ou ferramenta de brochear. Os
munhões com superfícies apenas usinadas, sem retifica posterior são, comparativamente,
ásperos.
6.11 - INTRODUÇÃO AO PROJETO
Um número de parâmetros podem estar no controle do projetista, mas há um outro
grupo que é dependente do primeiro grupo e pode ser usado para definir os limites
operacionais do mancal. A hipótese 4 acima, em que a viscosidade é constante ao longo do
filme de óleo, não é muito precisa quando a temperatura do óelo eleva-se e passa ao mancal.
Uma vez que a viscosidade é fortemente dependente da temperatura, isto significa que o
projeto de mancal envolve algumas iterações, utilizando tabelas desenvolvidas por A A
Raimondi and J Boyd, 'A Solution for the Finite Journal Bearing and its Application to Analysis
and Design: III', Trans. ASLE 1, 1958, 194-209. Estas tabelas são bastante utilizadas em
soluções computacionais.
As variáveis obtidas ou controladas pelo projetista são viscosidade do lubrificante carga
por unidade de área projetada rotação, N dimensões: r, c, l e beta ( o angulo subtendido pela
parte submetida a carga no mancal).
As seguinte variáveis são consideradas dependentes do primeiro grupo:
Coeficiente de atrito
• Variação da temperatura, Δt
• Taxa do fluxo de óleo, Q
• Espessura mínima do filme de óleo, ho
Atualmente ainda, muitas tabelas ainda utilizam o sistema inglês para viscosidade em
reyns (normalmente em micro-reyns). Para converter reyns em Pa.s deve-se multiplicar por
6890.
Na ausência de informações específicas, pode se supor que um óleo lubrificante mineral
tenha uma densidade de aproximadamente 850 kg/m3 e calor específico de 1675 J/kgºC.
Para mancais hidrodinâmicos, uma relação comprimento diâmetro de aproximadamente
1 (digamos 0.8 a 1.3) é considerada uma faixa adequada. Relações . l/d menores que
1,podem ser usadas quando um projeto compacto seja importante, tal como em motores
automotivos multicilindros. Uma redução na relação l/d aumenta o fluxo de saida nas
extremidades do mancal, auxiliando resfriamento.
179

A espessura mínima de filme de óleo aceitável depende do acabamento superficial e
deverá permitir que as partículas possam passar sem causarem falhas. Para algumas
aplicações, por exemplo em motores automotivos, filtragem é necessária para e remover as
partículas cujo tamanho poderiam exceder a espessura mínima de óleo. Os seguintes valores
da espessura mínima de ho podem ser sugeridos:
• 0.0000025 m para pequenos mancais de bronze finamente embuchados.
• 0.00002 m para mancais comerciais babit
• 0.0000025 < ho < 0.000005 m para motores automotivos com mancais de fino
acabamento superficial e filtragem no lubrificante.
As máximas temperaturas de óleo não deveriam ser permitidas por serem excessivas
uma vez que a degradação e oxidação aumentam rapidamente. Para propósitos gerais de
maquinário, uma temperatura de operação de 60ºC deveria produzir uma boa e longa vida útil.
Acima 100ºC a taxa de oxidação cresce rapidamente. Temperaturas de 120ºC deveriam ser
evitadas em equipamentos industriais. Nos motores automotivos a temperatura de lubrificantes
podem atingir 180oC, porém óleos automotivos são formulados especificamente (e podem
mesmo ser completamente sintéticos)para resistir tais condições.
x diâmetro):
A lista abaixo apresenta alguns valores típicos de pressão nominal (carga/comprimento
• Motores elétricos, turbinas a vapor, redutores de engrenagem, bombas centrífugas -
aproximadamente 1 MPa
• Motores automotivos- mancais principais 4 - 5 MPa
• Eixos virabrequim 10 - 15 MPa
• Motores Diesel - mancais principais 6 - 12 MPa
• Eixo virabrequim 8 - 15 Mpa
6.12 - LEIS DE NEWTON DE ESCOAMENTO VISCOSO
A tensão de cisalhamento em um fluido é proporcional a taxa de variação da velocidade
com relação 'y', isto é:
onde μ é a viscosidade dinâmica ou absoluta
F du
τ = = μ (10)
A dy
Supondo que a taxa de cisalhamento seja constante, tem-se que : du/dy = U/h e
180

F U
τ = = μ (11)
A h
Unidades da viscosidade dinâmica ou absoluta é Pa.s ou N.s/m 2 .
6.13 - LEI DE PETROFF
Figura 9 – Lubrificação de um mancal
Se um eixo de raio, r, gira em um mancal , comprimento l e folga radial c a uma rotação
por segundo N,então a velocidade tangencial será:
será:
será:
U = 2πrN
[m/s] (12)
A tensão de cisalhamento é o gradiente de velocidade x viscosidade
U 2πμN
τ = μ =
(13)
h c
O Torque para cisalhar o filme de óleo é definido como força x comprimento do braço
2 3
⎛ 2πμrN
⎞ 4π
γ lμN
T = ( τA)(
r)
= ⎜ ⎟(
2πrl)(
r)
=
(14)
⎝ c ⎠
c
Se uma pequena força, w, é aplicada normal ao eixo do mancal, a pressão em N/m2
p = w/2rl (15)
A força de atrito é igual a fw, onde f é o coeficiente de atrito, então o torque de atrito
T = fwr = (f)(2rlp)(r) = 2r2flp
181

π γμN
f
cp
2
2
=
Igualando as duas expressões para o Torque T e resolvendo para f tem-se :
μ N γ
que é a Lei de Petroff ; e são grupos adimensionais.
p c
6.14 - HIPÓTESES
• O lubrificante obedece às leis de Newton para fluxo viscoso.
• Efeitos inerciais do lubrificante são desprezados.
• O lubrificante é incompressível.
• A viscosidade do lubrificante é constante através do filme.
• A pressão não varia na direção axial.
• A curvatura do mancal pode ser ignorada.
• Não há fluxo na direção (z) axial.
• A pressão de filme é constante na direção 'y' , e depende da direção 'x'.
• A velocidade da partícula lubrificante depende das coordenadas x e y.
De um diagrama de corpo livre das forças atuando em um pequeno cubo do lubrificante
e como:
então:
dp dτ
= (17)
dx dy
∂u
τ = μ
∂y
dp
dx
2
∂ u
= μ 2
∂y
Supondo que não haja vazamento nas extremidades mantendo x constante, a
integração dupla com relação a y, fornece:
2 U
( y − hy)
y
1 dp
u =
−
2μ
dx
mostrando que a distribuição de velocidade é função de y e do gradiente de pressão , dp/dx. A
distribução de velocidade através do filme é obtida superpondo uma distribuição parabólica (o
h
(18)
182

primeiro termo) em uma distribuição linear (o segundo termo). Quando a pressão for máxima,
dp/dx = 0 e a velocidade será u = - Uy/h.
Seja Q é a quantidade de fluido , na direção x por unidade de tempo:
Q = ∫ udy
(19)
Na prática, estas integrações devem ser modificadas para incluir os efeitos de
vazamento nas extremidades, etc.
6.15 - RELAÇÕES GEOMÉTRICAS EM UM MANCAL COM FOLGA.
A linha que passa através dos centros da superfície de apoio e do munhão é chamada
de linha dos centros (Fig. 10). Notar que sobre esta linha esta situada a menor espessura do
filme de óleo hmin=ho’ desde que o mancal suficientemente grande para incluir o ponto M. Se o
mancal se estender apenas até uma seção x, como é mostrado na figura 10, a espessura
mínima do filme hmin ficará situada na seção x e a espessura em M (no prolongamento do
mancal) será designada por ho. No cálculo dos mancais, é suficiente satisfatório considerar
ho=hmin mesmo que o mancal não atinja a seção M.
e, é:
À distância O-O’ entre os centros do munhão e do mancal é chamada de excentricidade
onde c r é a folga radial.
c
O − O´
= − ho = cr
− ho
(20)
2
A relação entre a excentricidade e a folga radial O-O´/(c/2) é denominada razão, taxa ou
fator de excentricidade. Ela é:
ou
O − O´
c / 2 − ho
e = =
(21)
c / 2 c / 2
2ho
ho
e = 1 − = 1−
(22)
c c
r
183

Fig.10 – Relações geométricas em um mancal com folga
Assim , vemos que tanto e como a relação ho/ c r definem a razão de excentricidade. O
comprimento do arco de contato, compreendido pelo ângulo β , Fg.10, designaremos por L A .
D
Arco de contato = LA = β = rβ
, (23)
2
onde β é expresso em radianos e r = D / 2 é o raio do munhão.
O comprimento do mancal, medido em uma direção axial, será chamado de
comprimento e será designado por L.
O ângulo Ǿ, Fig. 5, algumas vezes chamado de ângulo de excentricidade localiza a
posição da menos espessura do filme de lubrificante ho.
completos.
As relações geométricas acima, tanto se aplicam aos mancais parciais como aos
6.16 - GRUPAMENTO DE VARIÁVEIS
Uma vez que o espaço não permite uma discussão da teoria hidrodinâmica,
estabelecida por Reynolds e desenvolvida por outros, poderemos utilizar os princípios da
184

analise dimensional para estabelecer as relações entre certas variáveis interdependentes.
Suponhamos que desejamos estudar a maneira pela qual a relação ho/cr depende das
variáveis µ , n , p , c e D. Admitamos que a forma da função seja
h
c
o
r
= φ(
μ n
p
c
D
a b d e f
em que a, b, d, etc..., são expoentes de valores desconhecidos. A equação (24) deve ter as
mesmas dimensões em ambos os seus membros, para que ela seja matematicamente correta e
fisicamente homogênea. O passo seguinte em uma analise dimensional será substituir em (24)
as dimensões das diversas grandezas. Por exemplo, a unidade de ho/cr é mm por mm ou pol.
por pol, ou seja, a unidade, que significa que ho/cr é adimensional. Representando por F, T e L
respectivamente as dimensões de força, tempo e comprimento, a “dimensão” da viscosidade m
será FT / L² e a equação (24) dará:
Em conseqüência teremos:
)
(24)
a b d
⎛ FT ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ F ⎞ e f
1 = ⎜
( L)
( L)
2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
(25)
2
⎝
L
⎟
⎠ ⎝ T ⎠ ⎝ L ⎠
a
h ⎡
o ⎛ μn
⎞ ⎛ c
= ⎢⎜
⎟ ⎜
cr
⎢⎣
⎝ p ⎠ ⎝ D
que é o ponto mais avançado ao qual nos pode levar a análise dimensional. Ela serviu para que
estabelecêssemos um importante grupo de grandeza e que é confirmado por uma analise
teórica mais detalhada. Se nos faltasse esta análise teórica, seria necessária a execução de
numerosas experiências que nos proporcionasse informações posteriores quanto à natureza da
função mostrada na equação (27). Os grupos que aparecem em (27) são adimensionais.
e
⎞ ⎤
⎟ ⎥
⎠ ⎥⎦
O grupo de grandezas assim formado é denominado número de Sommerfeld S, ou
número característicos do mancal. Isto é:
⎛ μn
⎞⎛
D ⎞
S = ⎜ ⎟⎜
⎟
⎝ p ⎠⎝
c ⎠
onde n, é a velocidade em rotação por segundo.
2
(26)
(27)
185

Este grupamento de grandezas é comumente utilizado nos diagramas, algumas vezes
em sua forma adimensional exata.
6.17 - MANCAL IDEAL.
Para a realização de uma analise matemática do problema dos mancais, certas
hipóteses devem ser feitas. Assim, mancal ideal é o que permite essa analise matemática. A
teoria e os diagramas são baseados nas seguintes hipóteses:
(a) As superfícies do munhão e do mancal são cilíndricas retas e lisas. Isto requer
que o munhão não sofra deflexões e que as imperfeições de superfície sejam
anuladas pela existência de um filme de óleo de espessura h0, adequada.
(b) O mancal e infinitamente longo na direção axial. Isto corresponde a dizer que
não há fuga axial do lubrificante. A fuga que realmente ocorre no mancal finito
será considerada no calculo por meio de fatores de correção.
(c) O lubrificante tem viscosidade constante no seu escoamento no mancal.
Realmente, a viscosidade varia acentuadamente com a temperatura e mais
discretamente com a pressão. Entretanto, um valor médio dá resultados
suficientes para o trabalho.
Existem outras hipóteses de menor importância, que já estão incluídas nos diagramas
cuja análise foge ao objetivo deste livro.
A fuga axial de lubrificante, que inevitavelmente ocorre nos mancais finitos, reduz
acentuadamente a capacidade de carga do mancal e faz crescer as perdas por atrito. Como
resultado desta fuga, a pressão no filme de óleo varia no sentido axial, sendo máxima nas
proximidades do centro do mancal e nula nas extremidades. No mancal ideal, em que não há
fuga axial, esta queda de pressão não ocorre. Além disso, a quantidade de óleo em
escoamento e, portanto, a elevação da temperatura do óleo são afetadas pela fuga axial.
186

6.18 - ESPESSURA MÍNIMA PERMISSÍVEL DO FILME DE ÓLEO.
A espessura mínima permissível e segura, h0, do filme de óleo depende da rugosidade
das superfícies e da deflexão do munhão do mancal. O munhão pode girar com segurança com
filme de óleo mais delgado se as superfícies são bem lisas. Ocasionalmente, as condições de
operação são tais que a carga só poderá ser suportada se forem usadas superfícies de
refinado acabamento. Este é o caso em que o calculo determina a rugosidade das superfícies.
Comumente, entretanto, as superfícies comerciais ordinárias podem ser usadas sem
dificuldade. Outro ponto a considerar, é da espessura da película de óleo, que deve ser
suficientemente espessa para permitir a passagem de pequenas partículas de matéria
estranha, sem danos às superfícies. Desalinhamentos ou deflexões excessivas podem
provocar falhas locais do filme de óleo com conseqüente aquecimento excessivo que, se
propagando, causará a falha definitiva. Finalmente, a espessura mínima do filme de óleo deve
ser suficiente para permitir variações imprevistas da carga e da temperatura de operação. Na
base das considerações acima, muitos projetistas preferem calcular com uma espessura de
filme que consideram segura. Mas poucos dados existem quanto a isto. Karelitz sugere h0=
0,0001 pol. (0,00254mm) para pequenas buchas de bronze finamente usinadas e h0 > 0,00075
pol (0,019mm) para mancais comerciais revestidos de babbit. Dennison sugere h0 ≈ 0,0004 a
0,0006 pol. (0,010 a 0,015mm) para mancais de 5 a 10 pol. (127 a 254 mm) de motores diesel
trabalhando de 500 a 1200 r.p.m. Por outro lado, nas maquinas geradoras de potência, de uma
maneira geral, h0 pode variar de 0,001 a 0,005 pol. (0,025 a 0,127 mm). Norton sugere h0 =
0,00025 D como uma regra aproximada, onde D é o diâmetro normal do munhão.
6.19 - CÁLCULO DE MANCAIS PARA REGIME DE ATRITO FLUIDO.
Os diagramas de cálculo, constantes neste capítulo, estão agrupados em páginas
consecutivas, para uma referência Algumas vezes, é necessário fazer tentativas e
aproximações sucessivas.
Enquanto a viscosidade varia com a pressão, especialmente nos gases, trabalhamos
com óleos em que tal variação é pequena. Para o projeto de mancais de deslizamento, o óleo
geralmente usado é o motor para motores, é importante saber como a viscosidade varia com a
temperatura.
187

6.20 - PRINCIPIOS HIDRODINÂMICOS
São muitas as geometrias de mancais que trabalham nos princípios hidrodinâmicos.
Basicamente qualquer mancal que trabalha com um filme de óleo ou fluido é um mancal
hidrodinâmico. O fluido pode ser gás ou líquido. A geometria das superfícies do mancal atuam
de forma a criar fluxo e pressão no fluido. É a pressão do fluido que suporta a carga evitando o
contato metal com metal. A espessura do filme de óleo sob o eixo é fina e as superfícies do
mancal devem ser lisas.Para o projeto de um mancal de deslizamento deve-se assegurar que a
espessura mínima do filme c seja mantida, a excentricidade do eixo e seja aceitável, a
pressão no lubrificante seja possível e a viscosidade do óleo seja aceitável. Para determinar as
condições de operação aceitáveis,muitos testes foram realizados e equações foram
desenvolvidas. As combinações dos resultados levaram ao desenvolvimento de tabelas ou
gráficos de projeto que auxiliam na escolha das dimensões dos mancais, das folgas e das
características do lubrificante para condições de operação particulares.
6.21 - PROCEDIMENTO DE PROJETO
1. Selecione uma relação l/d , 1 é provavelmente um bom ponto de partida.
2. Utilizando uma carga específica e uma pressão nominal adequada, selecione o
comprimento e o diâmetro do mancal.
3. Especifique uma folga radial apropriada, c, provavelmente baseado em ajuste fechado
(H8/f7) ou livre (H9/d9).
4. Decida sobre uma viscosidade inicial. Uma vez que a viscosidade varia
consideravelmente com a temperatura, é necessário normalmente utilizar para o cálculo,
dois valores de viscosidade, um ligeiramente abaixo e outro ligeiramente superior ao
valor final antecipado.
5. Determine o número característico do mancal ou número Sommerfield (S).
6. Obter na tabela, a variável espessura mínina de óleo em função do número
característico do mancal e da relação l/d.
7. Agora se pode calcular a espessura mínima de óleo e verificar se é razoável.
8. Pode-se calcular agora a relação de excentricidade.
9. Se necessário, a posição angular da espessura mínima de óleo pode ser obtida de um
outro gráfico.
188

10. No gráfico “variável coeficiente de atrito" em função do número característico do mancal,
S, e da relação l/d, pode-se ler a variável coeficiente de atrito.
11. Calcule o coeficiente de atrito. Utilizando o raio e a carga atuante, calcule o torque
necessário para vencer o atrito. Utilizando o coeficiente de atrito e a rotação do eixo,
calcule a perda de potência devido ao atrito.C
12. No gráfico, "variável de fluxo" em função do número característico do mancal e da
relação l/d calcule o fluxo total de óleo.
13. No gráfico "relação de fluxo" em função do número característico do mancal e da
relação l/d , calcule o vazamento lateral do lubrificante.
14. Calcule a elevação de temperatura no lubrificante- é comum supor que todo o calor é
levado para fora pelo fluxo de óleo e a temperatura de vazamento do óleo é a média da
temperatura de entrada e saída.
15. No gráfico viscosidade x temperatura, checar a viscosidade do óleo após o aumento de
temperatura pela quantidade calculada anteriormente, e supor uma temperatura de
entrada adequada.
16. Repetir os cálculos acima necessários para checar os resultados com a viscosidade com
a média das temperaturas de entrada e saída.
6.22 - APLICAÇÃO
1. Um mancal hidrodinâmico tem as características abaixo:
• W = 5kN;
• d = 50 mm (diâmetro)
• l = 50 mm (comprimento)
• N = 30 rps;
• SAE20 (óleo lubrificante)
• Temperatura Inicial de 38º C
a) Qual a temperatura média de funcionamento para uma folga de c = 0,050 mm?
b) Qual a folga de projeto para uma temperatura média de funcionamento de 50ºC,
sendo esta 70% da folga ideal? Traçar uma curva e mostrar os valores.
189

DADOS INICIAIS DO PROGRAMA
Carga: 5 kN
Diâmetro: 50 mm
Comprimento: 50 mm
Rotação: 30 rps
Temperatura Inicial: 38º C
Folga: 0,050
Tipo: SAE 20
Relação de l/d: 1
RESULTADOS
Formula Parcial: 3,75µ
Temperatura média de funcionamento: 47,5ºC
FOLGA DE PROJETO
Temperatura média de funcionamento: 50ºC
Porcentagem em relação a folga máxima: 70%
RESULTADOS
Folga Ideal: 0,014168 mm
6.23 - MANCAIS ÓTIMOS.
Um problema de mancais pode apresentar um numero indefinido de soluções.
Entretanto, considerações de ordem pratica, como folga razoável, óleo conveniente e a relação
L / D entre o comprimento e o diâmetro, limitam consideravelmente as possibilidades. Kingsbury
mostrou que, para um certo ângulo de contato β, há um certo valor da excentricidade e que
resulta em uma capacidade máxima de carga e outro valor de e que resulta em um mínimo de
perda por atrito. Os mancais que correspondem a estas situações são denominados mancais
ótimos sendo o de máxima capacidade de carga um tanto diferente do que proporciona um
mínimo de perda por atrito. Com tantas possibilidades a escolher, o calculista deve procurar
obter um mancal ótimo não importando qual deles. Pequenas variações da folga ótima, para
190

mais ou para menos, tem pequeno efeito seja na carga ou no atrito e o projeto final poderá ser
um compromisso entre as folgas comercialmente usadas e os valores ótimos
6.24 - TAXA DE FOLGA.
Permanecendo os outros elementos constantes, um aumento na folga c acarreta um
decréscimo no numero de Sommerfeld e na espessura mínima do filme de óleo. Assim, se a
espessura mínima do filme é o elemento decisivo, um aumento da folga pode reduzir a
capacidade de carga do mancal. Entretanto, a folga maior permite maior fluxo do lubrificante, de
modo que o mancal trabalhará com temperatura mais baixa, uma vez que maior quantidade de
calor é elevada pelo lubrificante.
A folga e a taxa de folga c / D são funções do processo de fabricação. Um valor de c / D
= 0,001 esta bem próximo da média para cargas constantes, porem c / D pode ser menor,
digamos, 0,00075 para cargas variáveis . Tomando por base os materiais dos mancais, os
seguintes valores da relação c / D podem ser tomados como guia : “Babbit” com base de
estanho, 0,0005 ;liga de cádimo e prata 0,0008 ; cobre e chumbo 0,001 ; liga de prata chumbo
e índio 0,001 ; liga de alumínio 0,001. Para mancais pequenos, c / D pode ser pouco maior e
para mancais grandes um pouco menor do que os valores dados acima.
6.25 - RELAÇÃO ENTRE O COMPRIMENTO E O DIÂMETRO.
Quanto maior o comprimento L, para um diâmetro particular D menor a pressão média.
Em um mancal em que puder ocorrer atrito combinado, uma pressão mais baixa será
importante. Entretanto, se o atrito for fluido, o grupo µn / p será o elemento decisivo, com as
ressalvas seguintes:
1º. , se o mancal esta sujeito às partículas ou paradas em regime de plena carga, o
desgaste devido ao contacto de metal com metal não deve ser desprezado;
2º. , a pressão máxima do filme de óleo não deve ser tão grande que deforme ou
provoque fadiga nos metais dos mancais. A analise feita por Needs sugere que, em média, o
valor L / D ≈ 1 equilibra os vários prós e contras. Deve-se ter em mente, também, que se por um
lado, há uma tendência de f crescer à proporção que o mancal se torna mais curto, a fuga axial
também cresce com esse encruamento e, assim, maior quantidade de calor é arrastada pelo
óleo.
191

Onde o espaço é vital, como no caso dos motores de avião e motores em V para a
industria automobilística, é regra a adoção de baixas relações L / D, não sendo incomum o uso
de relações tão baixas como 0,25 a 0,5. Uma certa espessura de filme de óleo que se rompe
em mancais relativamente longos, devido às deflexões do eixo, pode ser bem tolerada por um
mancal mais curto.
6.26 - CONSIDERAÇÕES SOBRE DISTRIBUIÇÃO DAS PRESSÕES EM UM MANCAL E
PERDA DEVIDA AO ATRITO.
Devido à fuga axial a distribuição das pressões na direção axial é aproximadamente
parabólica. Quando a definição devida a Newton para viscosidade, é aplicada a um munhão
concêntrico com seu mancal, a equação resultante e aplicável a mancais levemente carregados
e a mancais que trabalham em altas velocidades, que são os casos em que os mancais são
aproximadamente concêntricos. Tal aplicação serve também para fins estimativos e, em
conjunto com outras considerações, proporciona consideráveis informações de ordem
prática.Com a expressão Uf = Fv, podemos, se necessário, calcular a perda de potência devida
ao atrito. Os mancais são comumente construídos com ranhuras ou rebaixos para a distribuição
do lubrificante, situados em oposição e abrangendo arcos de 30° a 60°, em planos formando,
mais ou menos, um ângulo reto com a direção da carga Estes rebaixos atuam não só como
distribuidores, mas também como pequenos reservatórios de óleo. No que diz respeito a
espessura do filme de óleo e a carga, é aconselhável considerar tais mancais como parciais,
com ângulo β. Entretanto, as perdas por atrito devem ser calculadas como a soma da que
ocorre no arco β com a correspondente ao ângulo θ, não levando em conta as que ocorrem nos
arcos correspondentes as ranhuras de distribuição porque, devido a grande espessura do filme
nessas regiões, são desprezíveis. A perda por atrito na parte não-carregada (correspondente a
θ), pode ser calculada, com suficiente precisão, pela equação de Newton , usando hm como a
espessura média do filme de óleo. Assim:
F = µAv / hm (28)
onde A representa a área do fluido cisalhado. A Geometria do mancal da, para a espessura
média hm:
hm = c/ 2 + 2 / θ (c/2 – h0) cos φ sem θ/2. (29)
Se o ângulo θ situa-se entre 120° e 180°, a espessura média h m pode, sem erro sensível,
ser calculada pela equação:
192

hm = c/2 +0,74 (c/2 - h0) cos φ . (30)
Fig.11 – Relação geométrica devio a perda por atrito
A razão ou fator de excentricidade não pode ser bem prevista pela teoria. Se um
munhão esta girando a alta velocidade, seu centro praticamente coincide com o do mancal
representado por A na Fig.12. Vamos supor que à proporção que a carga cresça, o centro do
munhão mova-se segundo uma trajetória semicircular ABC, cujo diâmetro é a folga radial cr =
c/2. Nesta hipótese, o munhão vai entrar em contato com o mancal em C, se a carga tornar-se
suficientemente grande. Esta suposição aproxima-se bastante das trajetórias determinadas
experimentalmente e é suficientemente exata para os fins que temos em vista.
Fig.12 - A razão ou fator de excentricidade
193

Notando que AB, na Fig. 12, e OO’, na Fig. 11, têm os mesmos comprimentos e que, em
qualquer posição B do centro do munhão a distancia AB é igual a cr – h0 e que o ângulo ABC é
sempre reto, virá:
cos φ = (cr – h0) / cr = 1 – (h0 /cr) = 1 – (2h0/c) = e (31)
equação que permite calcular o valor de φ. Usando o valor de cos φ de (31) na equação (30),
teremos o valor aproximado da espessura média hm na capa:
hm = cr [1 + 0,74 (1 - h0 /cr ) 2 ] = cr (1 + 0,74e 2 ). (32)
6.27 - FLUXO DE LUBRIFICANTE ATRAVÉS DE UM MANCAL.
Antes do advento das altas velocidades, encontradas em algumas das maquinas
modernas, a finalidade de um lubrificante era apenas reduzir o atrito. Entretanto, à proporção
que a velocidade de um munhão sob carga, cresce, a quantidade de perdas devidas ao atrito
também cresce e o mancal deve dissipar maior quantidade de calor. A quantidade de calor
gerado pelo atrito cresce, aproximadamente, com o cubo do diâmetro do munhão, enquanto
que o calor naturalmente transmitido por convexão e radiação é, aproximadamente,
proporcional à primeira potência de D. Assim, a proporção que a velocidade do munhão cresce,
com a carga constante, mais e mais quente vai se tornando o mancal. O munhão bombeia mais
óleo, o que tende fazer crescer a espessura do filme, mas o óleo perde viscosidade à proporção
que sobe a temperatura; se o mancal tornar-se demasiadamente quente, o filme de óleo
romper-se-á e o mancal será “queimado” Um método de retirar do mancal o calor excessivo,
devido ao atrito, e esfriá-lo por meios externos, seja ventilando-o, seja fazendo circular água em
serpentinas que o envolvam.
Usa-se muito um sistema de circulação de óleo, cujo principal propósito é obter um bom
fluxo de óleo através do mancal, para arrastar o excesso de calor gerado.
O óleo, normalmente, entra no mancal na região de baixa pressão do mesmo, um pouco
a frente da área que suporta a carga. Algumas vezes é prevista uma saída, um pouco além da
área de carga, pela qual o óleo, livremente, abandona o mancal. Se o óleo entra sob pressão
atmosférica, a ação bombeadora do munhão faz com que ele penetre na área que suporta a
carga. Nos mancais em que não há vedadores nas extremidades ocorre um certo vazamento.
194

Se não existirem saídas especiais, o único caminho para o óleo deixar um mancal completo é
pelas extremidades, principalmente nas extremidades da área de carga, porque o restante do
mancal não está sob pressão.
Admitido como retilíneo o gradiente da velocidade através da espessura do filme, como a
equação (33), a velocidade media do óleo será metade da velocidade periférica do munhão, isto
é, vr/2. Portanto, se o munhão for concêntrico em relação ao mancal (Fig. 220), o fluxo máximo
de óleo no espaço da folga, será o produto da velocidade média vr/2 pela área de escoamento
crL = cL/2, ou seja: q = vr cL/4 = 0,25 vr cL. Contudo, o valor real do fluxo na região sob carga é
menor e depende da relação L/D e da excentricidade do munhão. Assim, de uma maneira geral,
podemos escrever:
q f r
= C v cL,
(34)
onde q é obtido em galões por minuto (gpm), com vr em ft/min, c em polegadas, L em
polegadas e Cf o coeficiente de escoamento ajustado de modo que o resultado venha em gpm.
O coeficiente Cf é obtido na Fig. 213, onde são apresentados dois conjuntos de curvas. Os
valores de Cf, obtidos das curvas em traço cheio, substituídos na equação (34), dão o fluxo de
óleo na região carregada, quando o óleo é admitido no mancal a uma pressão próxima da
atmosférica. Uma parte deste óleo circula em torno do munhão e o restante abandona o mancal
pelas extremidades, em fuga axial. Esta fuga axial é igual a quantidade que deve ser
continuamente suprida para manter o escoamneto do óleo: corresponde a quantidade de óleo
que deixa o mancal quando nenhuma pressão o força para fora, exceto a gerada no filme de
óleo pela ação hidrodinamica de seu trabalho e quando a única área de escoamento é a da
folga.
6.28 - CALOR LEVADO PELO ÓLEO.
A quantidade de calor levada pelo óleo que circula através de um mancal é obtida a
partir da definição de calor especifico. Um valor, do lado da segurança, para óleos derivados de
petróleo é, aproximadamente, 0,4 Btu/lb = °F.
Então: Q = w(
0,
40)
Δt
(Btu/min), (35)
195

onde Q é a quantidade de calor recebida pelo óleo quando passa através do mancal, w, em
lb/min, é a vazão ou fluxo de oleo e ∆t é a elevação da temperatura do oleo.
Para a avaliação que estamos fazendo, podemos usar para os óleos derivados do
petróleo uma densidade de 0,83, que corresponde a um peso especifico de 6,92 lb/galão.
Assim, para q gpm, § 249, temos w = 6,92q lb/min e convertendo para unidades de trabalho,
usualmente adotadas para Uf, achamos:
Q = 2150 qΔt
(lb-ft/min), (36)
onde q é o fluxo de óleo em gpm. Para o óleo alimentado sob pressão, § 260, praticamnete
quase todo o calor gerado é, por ele, arrastado (179). Neste caso, a quantidade necessária de
óleo pode ser estimada igualando Q, da equação (36), para uma certa elevação de
temperatura, a Uf e calculando q. Uma elevação de temperatura inferior a 20°F é prá tica usual
no caso da lubrificação forçada.
6.29 - DISSIPAÇÃO DE CALOR DO MANCAL.
Muitas horas podem ser necessárias para que a temperatura de um mancal se estabilize
em seu valor de operação. Mesmo em condições estáveis, a radiação e a convecção térmica e
um mancal são fenômenos complexos. De uma estimativa da temperatura média do filme do
óleo, fazemos uma estimativa da temperatura na superfície do mancal. Entretanto, nem todas
as partes desta superfície estão a mesma temperatura, e o material adjacente ao mancal
conduz uma certa quantidade de calor, que é, eventualmente, transmitida ao ambiente por
convecção e radiação. Poderemos computar esta condução de calor pela adoção de uma certa
área “efetiva” de transmissão, área esta condensada nas partes metálicas adjacentes ao
mancal; entretanto, restará sempre a questão do valor desta área. De qualquer forma devemos
sempre fazer a estimativa da temperatura de operação em regime estável.
Em geral, a perda de calor pode ser expressa com:
Q = f A Δt
(37)
cr
b
b
196

2
onde fcr é o coeficiente de transmissão de calor em lb − ft / min* pol * ° F , Ab é a área efetiva
em
2
pol através da qual se processa a transferência de calor e b
temperatura da superfície do mancal acima da temperatura ambiente, em °F.
Δ t é a elevação de
Uma velha regra ditada pela experiência (166), recomenda que, em ar calmo, uma perda
2
de 2 Btu / hr − ft * ° F é um valor aceitável. Em conseqüência:
f cr
2
= 0,
18lb
− ft / min* pol * ° F (ar calmo) (38)
Quando o ar está em momento, o valor de f cr é bem maior, até mesmo dez vezes maior,
conforme publicações da literatura sobre o assunto. Assim, Karelitz (162) achou:
f cr
para uma velocidade do ar de 500ft/min.
2
= 0,
516lb
− ft / min* pol * ° F
Quando o óleo não circula, pode-se tomar, com aproximação aceitável (162, 166) que:
Δ = Δt
/ 2 (40)
onde Δ t0
é a elevação de temperatura do filme de óleo.
t b
0
(39)
Para valor da área efetiva, Norton (166) sugere, aproximadamente:
A b
= 25DL
(41)
onde L é o comprimento axial do mancal e D o seu diâmetro nominal. Esta expressão para A b é
aplicável quando existem pesadas massas de metal em presença. Se o mancal é de construção
leve ou tanto isolado, a área efetiva pode tornar-se tão baixa quanto 6DL.
As informações acima serão, provavelmente, satisfatórias na estimativa da temperatura
de equilíbrio. Porém, uma discussão resumida das considerações básicas elucidará um pouco
mais a situação. Assim, lembremo-nos que sendo uma parte do calor transmitida por meio de
radiação, a quantidade de calor assim transferida é, de acordo com a lei de Stefan-Boltzmann ,
proporcional à quarta potencia da temperatura. Por considerações diversas, e admitindo que a
temperatura não varie muito, poderemos chegar a:
197

f r
2
= 0,
108lb
− ft / min* pol * ° F
para valor da taxa unitária de calor radiado.
Quanto à convecção, não foram determinadas expressões que permitam sua avaliação
nos mancais. A situação pode ser considerada semelhante a de um tubo cilíndrico exposto a
um fluido externo em movimento
( ) 6 , 0
Dρv
/
f c D / k = 0,
24 * μ (43)
onde D é o diâmetro do tubo, k a condutibilidade térmica de seu material, ρ a massa especifica
e µ a viscosidade do fluido externo. Esta equação reduz-se à forma
(42)
0,
6 0,
4
f c = Cva
/ D , onde C é
uma função experimental das propriedades do ar, v a é a velocidade do ar em ft/min e D é uma
dimensão característica. De alguns poucos resultados experimentais, podemos escolher C =
0,0172 e ter:
0,
6 0,
4
f c = 0, 0172 * va
/ D
F pol ft lb − * °
min* /
2
que dá a taxa unitária de transmissão de calor por convecção, onde v a é a velocidade do ar em
ft/min e D o diâmetro nominal do mancal em polegadas.
O coeficiente total de tarnsmissao de calor f cr é, então, a soma f cr = f c + f r , cujo valor
é usado na equação (36), como previamente foi explanado. Se a velocidade do escoamento do
ar ao mancal puder ser estimada, o processo acima indicado será preferível. Mancais
localizados próximos a polias, volantes, etc., podem ser admitidos como expostos a uma
velocidade de ar de 60 a 100 ft/min.
Se o problema for o de estimar a temperatura de equilíbrio para um óleo particular, a
solução pode ser obtida por aproximações sucessivas. Um modo de proceder é indicado pelo
roteiro abaixo:
a) Supor uma temperatura do filme de óleo e ∆t0.
b) Para o óleo fixado, determinar a viscosidade, o coeficiente de atrito e as perdas por
atrito Uf.
c) Admitir que a elevação de temperatura do mancal ∆tb seja metade de ∆t0, elevação
de temperatura do óleo, e calcular Q, fluxo com que o calor é dissipado à temperatura
(44)
198

fixada. Se Q = Uf a temperatura suposta é a estimada para operação. Se Q e Uf são
diferentes, supor outra temperatura do filme e repetir os cálculos. Depois de efetuadas
duas series de cálculos, interpolações ou extrapolações dos valores fixados
proporcionarão uma base para a terceira tentativa.
6.30 - MATERIAIS USADOS NOS MANCAIS.
As propriedades que devem ser consideradas vantajosas nos materiais que se destinam
à construção de mancais são (164): baixo módulo de elasticidade, o que redundará em
facilidade do material tomar a forma desejada; baixa resistência ao cisalhamento, o que
proporcionará facilidade de ser a superfície alisada; baixa soldabilidade ao aço, o que dificultará
o aparecimento de defeitos ou cortes na superfície; capacidade de absorção de corpos
estranhos ou “incrustabilidade”, permitindo que, pela penetração em sua massa, sejam os
mesmos removidos da película de lubrificante; resistência à compressão e à fadiga; resistência
às temperaturas; resistência à corrosão; boa condutibilidade térmica; coeficiente de expansão
térmica semelhante ao do aço e, como sempre, baixo custo.
Os materiais mais usados são as ligas de cobre e o babbit. Os babbits são de base de
estanho ou de chumbo, dependendo de qual destes metais é o principal constituinte da liga. Em
todas as suas formas os babbits são ligas de baixa resistência, sendo usados em camadas
muito finais [de espessura inferior a 1 mm (0,04 pol.) até 0,05 mm (0,002 pol.)] sobre casquilho
de aço. Devido à sua baixa resistência à fadiga, não são satisfatórios onde a carga é severa e
variável, se bem que os revestimentos muito finos possam manter-se em certos casos. Na
espessura de 0,4 mm (0,016 pol.), a capacidade normal de carga (com atrito fluido) é de
aproximadamente 1 kg/mm 2 (1 500 psi).
As ligas de cobre usadas nos mancais são principalmente bronzes que são muito mais
fortes e duros do que o babbit. Uma liga de cobre e chumbo, com 25 a 50% de chumbo, em
uma camada de 0,75 mm (0,03 pol.) de espessura tem boa resistência à fadiga e é usada em
motores de avião. Sua capacidade de carga normal é de 2,1 kg/mm2 (3 000 psi). Bronzes ao
estanho têm uma capacidade normal de carga de 3,5 kg/mm 2 (5 000 psi) (173).
Revestimentos de prata, para serviços pesados, são colocados pelo depósito de uma
camada de 0,5 mm (0,02 pol.) a 0,75 mm (0,03 pol.) de prata sobre o aço, seguida de uma
camada de 0,025 mm (0,001 pol.) a 0,075 mm (0,003 pol.) de chumbo; em seguida, cerca de 4
a 5% de índio é depositado eletroliticamente, e termicamente difundido, na camada de chumbo.
199

Um mancal de ferro fundido, suportando munhão de aço, tem se mostrado uma
excelente combinação no ponto de vista de desgaste e atrito no caso do atrito combinado.
Entretanto, o ferro fundido não oferece boa incrustabilidade e outras qualidades de um metal
macio e marca, seriamente, a superfície do munhão no caso de qualquer irregularidade de
funcionamento.
Um mancal que contém seu próprio lubrificante é fabricado mediante elevada
compressão de cobre e estanho (ou chumbo) em pó, que são então sintetizados a uma
temperatura situada entre as de fusão dos dois metais. O resultado é um material que
apresenta no seu volume mais de 35% de porosidade. As porosidades são, então, impregnadas
com óleo que vem à superfície quando o mancal é sujeito a aquecimento ou pressão. Tais
mancais, chamados sinterizados, são muito úteis para serviços leves em pontos de difícil
acesso ou nos casos em que a operação não possa depender de uma adição regular de
lubrificante, como é o caso das máquinas de uso doméstico. Um material sinterizado para
mancais, classificado como SAE Tipo I, à base de bronze , pode ser aplicado em casos em que
pv VII VII 50 000, onde p em psi, é a pressão na área projetada e v a velocidade periférica do
munhão em ft/min. Para a aplicação da expressão acima, podemos considerar as seguintes
pressões máximas: 2 000 psi para v = 2,5 ft/min; 500 psi para v entre 50 e 100 ft/min; 325 psi
para v entre 100 e 150 ft/min e 250 psi para v entre 150 e 200 ft/min.
Mancais autolubricados são também fabricados mediante a inserção de grafita em
rasgos ou furos abertos na superfície, agindo a grafita como lubrificante. Se estes mancais
forem empregados com rotação constante, limitar a pv VII 1 500 com pmax = 40 a 50 psi..
Diversas substâncias plásticas, como nylon e micarta, são usadas como mancais e
podem ser lubrificadas com água ou óleo. Igualmente a madeira é usada no caso de atrito
combinado, especialmente usando água como lubrificante. Os mancais à base de borracha, Fig.
226, trabalham de forma excelente com a água como lubrificante e são usados nas turbinas
hidráulicas, na construção naval, máquinas de dragagem e outras aplicações. A borracha macia
deixa passar a areia ou o saibro sem injuriar a superfície do munhão. Alguns detalhes sobre o
cálculo e projeto de mancais de borracha são apresentados na referência.
Numerosos outros materiais, metálicos ou não, são usados na fabricação de mancais.
Por trata-se de um assunto vasto por si mesmo, sugere-se consulta a outras fontes.
200

6.31 - CONSTRUÇÃO DOS MANCAIS.
Existem tantos tipos de mancais, do ponto de vista de suas construções, que a
discussão e as ilustrações abaixo são meramente indicativas. As buchas para mancais
pequenos são, freqüentemente, feitas em uma só peça, usualmente em latão ou bronze. As
buchas devem ser prensadas em sua sede e, em seguida, acabadas para o diâmetro desejado.
Depois que ocorrer desgaste excessivo, a bucha deve ser substituída. Os mancais feitos em
duas peças podem ser usados com calços que são removidos para compensar o desgaste do
mancal.
É melhor que a linha de ação da carga resultante no mancal seja inclinada de um ângulo
menor que 60º em relação à linha de centro de uma das metades, no caso dos mancais
bipartidos. Em nenhuma hipótese, quando o atrito for fluido, deve a linha de ação da resultante
situar-se no plano de corte do mancal, por causa do efeito destrutivo das descontinuidades na
pressão do óleo. Quando a linha de ação da carga forma um grande ângulo com a vertical,
pode-se usar um mancal com o corte inclinado ou o plano de corte pode ser vertical em vez de
horizontal.
Os mancais de grande porte são freqüentemente, fabricados em mais de duas partes.
Um mancal em quatro partes permite ajustagens, com o propósito de compensar desgastes,
tanto na horizontal, como na vertical.
Mancais para arvores de transmissão podem ser suportados por estruturas fixas às
paredes ou aos vigamentos.
6.32 - MANCAIS DE ESCORA.
As árvores verticais e aquelas em que estão montados parafusos sem-fim, engrenagens
helicoidais, etc., estão sujeitas a forças axiais. Estas forças são suportadas por mancais de
escora é o mostrado na Fig. 236, usado para suportar arvores verticais. O maior desgaste neste
tipo de mancal ocorre no raio externo pois que, nele, a velocidade linear é máxima. Em
conseqüência, a superfície próxima à periferia desgasta-se gradualmente, deixando a parte
central mais alta, o que, eventualmente, produz pressões muito altas nesta parte. Para eliminar,
parcialmente, esta dificuldade, é usado um disco de escora, que é feito com um furo no centro.
Ocasionalmente, são usados diversos discos B, cada um deles girando, então, a uma fração da
velocidade do eixo, o que distribui o desgaste. A pressão admissível para tais mancais pode
variar de 3,5 kg/cm 2 (50 psi) a 14 kg/cm 2 (200 psi), em correspondência com velocidades
201

lineares periféricas médias de 60 m/min (200 ft/min) a 150 m/min (500 ft/min), as maiores
velocidades correspondendo às menores pressões. Para serviços de condições médias e com
velocidades muito baixas as pressões podem elevar-se até 1 kg/mm 2 (1500 psi) ou mais. O
coeficiente de atrito para mancais de escora bem lubrificados algumas vezes é feito igual a
0,015.
Fig 13 -mancal de escora para eixo vertical
O mancal de escora com colares, Fig. 13, é usado quando a carga é demasiadamente
elevada para um tipo simples, acima descrito, ou quando for impraticável a montagem do
mesmo. Em geral, ele é usado para absorver o esforço axial criado, por exemplo, por um órgão
de propulsão (como uma hélice ou um rotor de turbina ou bomba). As pressões admissíveis
para os mancais de colar são um pouco menores do que as permitidas nos mancais simples de
escora. Isto porque a carga não é uniformemente distribuída entre os colares. Se possível, os
colares devem ser colocados próximo ao ponto em que o esforço axial se origina, o que aliviará
o eixo da ação de flambagem. O diâmetro do colar pode ser de 1,4 a 1,8 vezes o diâmetro do
eixo e o coeficiente de atrito pode ser tomado aproximadamente igual a 0,04.
Fig 14.-mancal de escora com colares
202

Fig.15 – Viscosidade absoluta,conforme [67]
203

Fig.16 – Posição da espessura mínima do filme
204

Fig.17 – Razão da vazão,conforme [67]
205

Fig.18 – Razão da vazão,conforme [67]
Fig.19 – Razão da pressão máxima do filme,conforme [67]
206

Fig. 20 – Posição do filme,conforme [67]
207

6.33 - EXERCÍCIO RESOLVIDO
Um mancal hidrodinâmico gira a 1760 rpm, com diâmetro de d = 2 pol, comprimento L = 2 pol,
carga de W = 1000 lbf, e óleo lubrificante SAE 20. Sabendo-se que a temperatura inicial é de
100ºF, pede-se:
a) Qual a estimativa para a temperatura média de funcionamento para uma folga de c = 0,0020
pol.
b) Qual a folga ideal para uma temperatura média de 120°F? Traçar um gráfico de ho x c.
c) Para o mancal dado, folga de c = 0,0025 pol e temperatura média de 120°F, qual a potência
perdida? Esta potência aumenta ou diminui de quanto quando a rotação aumenta 50%?
d) Quanto que a pressão máxima do mancal dado aumenta, quando a carga aumenta de
100%,
c = 0,0025 pol, para a mesma temperatura média de 120ºF?
Respostas
1760
N = = 29,
33 rps W = 1000 lbf
60
D = 2 pol → r = 1 pol Óleo SAE 20
L = 2 pol Ti = 100°F
L
= 1
D
Δ T
a) c = 0,0020 pol Tm = Ti +
2
μ
Qs/Q (r/c).f Q/r.c.N.L
ΔT (ºF) Tm (°F)
S
ΔT (°F)
(12-11)
(12-19) (12-17) (12-18)
20 110 6
6,4. 10 − 0,18772 0,58 4,25 4,16 37
35 117,5 6
5,3. 10 − 0,1553 0,63 3,8 4,2 34
Tabela 01 – exercício resolvido 01
Para ΔT = 20°F:
2
r μ.
N
W 1000
S = . P = = = 250 lbf/pol
2
c P
2.
r.
L 2.
1.
2
2 20
= psi Tm = 100 + =110°
F → μ =
2
6
6,4. 10 −
S =
1
2
0,
0020
2
−6
6,
4.
10 . 29,
33
.
250
=
0,
18772
⎛ r ⎞
⎜ ⎟.
f
0,
103.
P ⎝ c ⎠ 0,
103.
250.
4,
25
Δ T =
. =
= 37º
F
⎡ ⎛ Qs ⎞⎤
⎛ Q ⎞ ( 1 − 0,
5.
0,
58)
. 4,
16
⎢1
− 0,
5.
⎜ ⎥ ⎜ ⎟
Q
⎟
⎣ ⎝ ⎠⎦
⎝ r.
c.
N.
L ⎠
35
6
Para ΔT = 35°F Tm = 100 + = 117,
5°
F → μ = 5,3. 10
2
− (12-11)
208

S =
1
2
0,
0020
2
−6
5,
3.
10 . 29,
33
.
=
250
0,
1554
34
Assim, para c = 0,0020 pol → Tm = 100 + =117°
F
2
6
b) Tm = 120°F → μ = 5,0. 10 −
0,
103.
250.
3,
8
Δ T =
= 34º
F
4,
2
( 1 − 0,
5.
0,
63)
.
2 −6
−6
1 . 5,
0.
10 . 29,
33 0,
5866.
10
S =
=
2
2
c
c
c S ho/c ho
0,0050 0,0235 0,12 − 3
0,600.
10
0,0010 0,5866 0,73 − 3
0,730.
10
0,0020 0,2607 0,59 − 3
0,885.
10
0,0025 0,1467 0,44 − 3
0,880.
10
0,0025 0,0939 0,33 − 3
0,825.
10
0,0030 0,0652 0,26 − 3
0,780.
10
Tabela 02 – exercício resolvido 01
ho
0,001
0,0008
0,0006
0,0004
0,0002
0
Gráfico ho x c
0 0,001 0,002 0,003 0,004
A folga ideal está entre: 0,0010 < c < 0,0015, pois ↑T: ↓c: ↓ho
2 −6
1760
1 5.
10 . 29,
33
⎛ r ⎞
c) N 1 = = 29,
33rps
→ S1
= .
= 0,
0939 → ⎜ ⎟.
f1
= 2,
55
60
2
0,
0025 250
⎝ c ⎠
N
2
1760.
1,
5
= = 44rps
→ S
60
2
=
1
2
0,
0025
2
−6
c
5.
10 . 44
. =
250
0,
1408
⎛ r ⎞
→ ⎜ ⎟.
f
⎝ c ⎠
2
=
3,
4
209

⎛
⎜
⎝
1 ⎞
⎛ 1 ⎞
⎟.
f 1 = 2,
55 → f1
= 0,
0064 ⎜ ⎟.
f 2 = 3,
4 → f 2 = 0,
0085
0,
0025 ⎠
⎝ 0,
0025 ⎠
W.
f . r.
N
1000.
0,
0064.
1.
1760
HP = HP1 =
= 0,
179HP
63000
63000
1000.
0,
0085.
1.
1760
HP2 =
= 0,
237HP
63000
0,
237 − 0,
179
Aumento = = 32,
4%
0,
179
d)
P
P
P
= K → Pmáx.
=
K
máx.
Tm = 120°F → μ = 5,0. 10 −
W (lbf) P(psi) S P/Pmáx.= K Pmáx.(psi)
1000 250 0,0939 0,39 641
2000 500 0,0469 0,33 1515
Tabela 03 – exercício resolvido 01
Sendo que:
2 −6
1 5,
0.
10 . 29,
33
S = .
Pmáx. = P/K
2
0,
0025 P
1515 −
641
Aumento = . 100 = 136%
641
6
210

CAPÍTULO 07 - MANCAIS DE ROLAMENTOS
7.1 - INTRODUÇÃO
7.2 - DIMENSIONAMENTO
O projeto completo da máquina ou do aparelho já determina, em muitos dos casos, o
diâmetro do furo dos rolamentos. Para uma determinação final das demais dimensões principais
e do tipo construtivo deve, entretanto, ser constatado através de um cálculo de
dimensionamento se as exigências quanto à vida útil, à segurança estática e à economia estão
satisfeitas. Neste cálculo, a solicitação do rolamento é comparada à sua capacidade de carga.
Na tecnologia dos rolamentos há uma diferenciação entre uma solicitação dinâmica e uma
estática.
Na solicitação estática o rolamento não apresenta ou há só um pequeno movimento
relativo (n < 10 rpm). Nestes casos, deve ser verificada a segurança contra deformações
plásticas muito elevadas das pistas e dos corpos rolantes.
A maioria dos rolamentos é solicitada dinamicamente. Nestes, os anéis giram um em
relação ao outro. Com o cálculo do dimensionamento, é controlada a segurança contra uma
fadiga prematura do material das pistas e dos corpos rolantes.
A vida nominal L10 conforme DIN ISO 281 raramente indica a duração realmente
atingível. Construções econômicas exigem, no entanto, que a capacidade de rendimento dos
rolamentos seja aproveitada ao máximo. Quanto mais for este o caso, mais importante é um
correto dimensionamento dos rolamentos.
As capacidades dinâmica e estática mencionadas neste capítulo se aplicam a
rolamentos de aço cromo temperados em estado padrão para temperaturas de serviços usuais
de até 100 °C. A dureza mínima das pistas e dos cor pos rolantes corresponde a 58 HRC.
Sob temperaturas mais elevadas, a dureza do material se reduz e com isto, a
capacidade de carga do rolamento.
7.3 - ROLAMENTOS SOLICITADOS ESTATICAMENTE
Quando se trata de solicitação estática, calcula-se o fator de esforços estáticos fs para
comprovar que o rolamento selecionado possui uma capacidade de carga estática suficiente.
Onde fs - fator de esforços estáticos
C
f s =
P
o
o
211

C0 - capacidade de carga estática [kN]
P0 - carga estática equivalente [kN]
O fator de esforços estáticos fs é um valor de segurança contra deformações elásticas
elevadas, nos pontos de contato dos corpos rolantes. Para rolamentos que devam ter um giro
particularmente suave e silencioso, deverá ser alcançado um fator elevado de esforços
estáticos. Se as exigências que se referirem à suavidade de giro forem menores, bastarão
fatores fs menores. De um modo geral, devem ser atingidos os seguintes valores:
fs = 1,5...2,5 Para exigências elevadas
fs = 1,0...1,5 Para exigências normais
fs = 0,7...1,0 Para exigências reduzidas.
Os valores correspondentes aos rolamentos axiais auto-compensadores de rolos e aos
de alta precisão estão dados na parte das tabelas.
A capacidade de carga estática C0 [kN] se encontra indicada nas respectivas tabelas dos
rolamentos. Uma carga desta magnitude (nos rolamentos radiais uma carga radial e nos axiais
uma carga axial e central), provoca uma pressão de superfície P0 calculada, no centro do ponto
de contato mais carregado entre os corpos rolantes e a pista de:
• 4600 N/mm² em todos os rolamentos auto-compensadores de esferas
• 4200 N/mm² em todos os outros rolamentos de esferas
• 4000 N/mm² em todos os rolamentos de rolos.
A carga ocasionada por C0 produz, no ponto onde incide a maior carga, uma deformação
plástica total dos corpos rolantes e da pista da ordem de 1 /10000 do diâmetro do corpo rolante.
A carga equivalente P0 [kN] é um valor calculado, ou seja, uma carga radial nos rolamentos
radiais e uma carga axial e central nos rolamentos axiais. P0 ocasiona a mesma solicitação no
ponto central de contato onde incide a maior carga entre os corpos rolantes e a pista como a
solicitação realmente atuante.
Onde P0 - carga estática equivalente [kN]
Fr - carga radial [kN]
Fa - carga axial [kN]
X0 - fator radial
Y0 - fator axial
P = X * F [kN] (1)
0
0 * Fr
+ Y0
Os valores para X0 e Y0 bem como indicações para o cálculo da carga estática
equivalente estão mencionados nas tabelas para os diversos tipos de rolamentos ou em seu
preâmbulo.
a
212

7.4 - ROLAMENTOS SOLICITADOS DINAMICAMENTE
O cálculo normalizado (DIN ISO 281) para os rolamentos dinamicamente solicitados tem
por base a fadiga do material, como causa da falha. A fórmula para o cálculo de vida nominal é:
Onde L10 - L vida nominal [10 6 rotações]
C - capacidade dinâmica [kN]
P - carga dinâmica equivalente [kN]
p - expoente de duração da vida
L
10
P
6 [ 10 rotações]
⎛ C ⎞
= L = ⎜ ⎟
(2)
⎝ P ⎠
L10 é a vida nominal em milhões de rotações, atingida ou superada por, no mínimo, 90%
de um lote significativo de rolamentos iguais.
A capacidade dinâmica C [kN] conforme DIN/ISO281-1993 consta nas tabelas para cada
rolamento. Uma carga desta magnitude resulta em uma vida nominal L10 de 10 6 rotações.
A carga dinâmica equivalente P [kN] é um fator calculado, ou seja, uma carga radial
constante em tamanho e direção, em rolamentos radiais ou uma carga axial em rolamentos
axiais. O resultado de P é a mesma duração de vida quanto à carga combinada realmente
atuante.
Sendo P - carga estática equivalente [kN]
Fr - carga radial [kN]
Fa - carga axial [kN]
X - fator radial
Y - fator axial
P = X * F + Y * F [kN]
r
Os valores para X e Y e também as indicações para calcular a carga dinâmica
equivalente estão indicados nas tabelas dos diversos tipos de rolamentos.
de rolos.
O expoente de duração de vida nominal p é diferenciado para rolamentos de esferas ou
Onde p =3 para rolamentos de esferas
p =10/3 para rolamentos de rolos
Se a rotação do rolamento for constante, a vida nominal pode ser expressa em horas:
a
6
L*
10
= L = [h]
n*
60
Lh 10 h
213

Sendo Lh10 = Lh duração de vida nominal [h]
L - vida nominal [10 6 revoluções]
N - rotação (freqüência de giro) [min -1 ]
Simplificando-se a fórmula, teremos:
L*
500*
33*
1 * 60
L 3
h =
n*
60
p
L
⎛ ⎞
⎛ C ⎞ ⎜
33*
1
h =
⎟
⎜ ⎟ *
3
500 ⎝ P ⎠ ⎜ n ⎟
⎝ ⎠
Neste contexto significam:
f
L
500
p h
L = índice dinâmico
ou
p
Lh p
500 =
Isto é fL = 1 para uma vida nominal de 500 horas
f
n
33*
1
p
=
3
fator de rotação
n
33*
1
3 C
*
n P
Ou seja, fn = 1 em uma rotação de 33*1/3 rpm. A equação da vida nominal fica, portanto, com a
forma simplificada:
Sendo fL- fator dinâmico
C - capacidade de carga dinâmica [kN]
P - carga dinâmica equivalente [kN]
fn - fator de rotação ou fator dinâmico f
C
f L = * f
P
O fator fL a ser alcançado resulta de experiências com aplicações de rolamentos iguais
ou semelhantes, que tenham demonstrado comprovada eficiência na prática. Nas tabelas,
foram compilados os valores fL a serem atingidos para inúmeras aplicações. Estes valores
levam em consideração não somente um período suficientemente longo de funcionamento até a
fadiga, mas também outras exigências como o peso reduzido em construções leves, adaptação
às peças contíguas, picos de carga extrema e outras (veja também outras publicações para
aplicações especiais). Os valores fL são corrigidos de acordo com a evolução tecnológica.
Ao se estabelecer comparações com aplicações comprovadas na prática, deve-se
naturalmente determinar a magnitude do esforço segundo o mesmo método de cálculo. Nas
tabelas estão indicados, além dos valores fL a serem alcançados, também os dados comumente
n
214

utilizados no cálculo. Nos casos em que se utilizam fatores adicionais, o valor fz se encontra
indicado. Ao invés de se utilizar P, calcula-se com fz × P. Do valor fL obtido, determina-se a vida
nominal Lh.
Com os valores fL e Lh obtém-se os parâmetros para o dimensionamento, somente para
aqueles casos onde a comparação entre os rolamentos testados em campo é possível. Para
uma mais precisa determinação da vida útil, também os efeitos da lubrificação, temperatura e
limpeza devem ser levados em consideração.
7.5 - CARGA E ROTAÇÃO VARIÁVEIS
Se, no decorrer do tempo houver alterações na carga e na rotação de um rolamento
solicitado dinamicamente, este fato deve ser considerado no cálculo da carga equivalente.
Neste caso, aproxima-se a curva do gráfico obtido mediante uma série de cargas isoladas e
rotações com uma duração determinada q %. Neste caso, obtém-se a carga dinâmica
equivalente P, aplicando-se a seguinte fórmula:
Onde nm
q1
q2
= n1
. + n2.
+ ...
100 100
P =
n m [min -1 ]
3
P
n
q
3 1 1 3 2 2
1 . . + P2
. . +
nm
100 nm
100
n
q
...
Figura 1 – Carga e rotações variáveis
[kN]
215

Para simplificar, consta o expoente 3 nas fórmulas para rolamentos de esferas e de
rolos. Se a carga for sujeita a alterações, mas a rotação permanecer constante, teremos:
P =
P
q
100
q
100
3
3 1 3 2
P = P1
. + P2
. + ... [kN]
Se, a uma rotação constante, a carga crescer de forma linear de um valor Pmin para um
valor máximo Pmax, obtém-se:
P
P =
min
+ 2. Pmax
3
Figura 2 – Carga linear no tempo
O cálculo ampliado de vida não deve ser calculado com o valor médio da carga dinâmica
equivalente. O melhor é determinar o valor Lh para cada duração sob condições constantes e,
baseado nestas, obter-se a vida atingível.
7.6 - CARGA MÍNIMA DOS ROLAMENTOS
Sob uma carga muito baixa - por exemplo, em alta rotação em giro de teste pode surgir
deslizamento que, com uma lubrificação deficiente pode provocar danificações. Para uma carga
mínima para rolamentos radiais recomendamos:
Onde P - carga dinâmica equivalente
C - capacidade de carga dinâmica
Rolamentos P/C
Esferas com gaiola 0,01
Rolos com gaiola 0,02
Sem gaiola 0,04
Tabela 1 – Carga mínima dos rolamentos
A carga mínima dos rolamentos axiais está dada no preâmbulo da parte de tabelas. Um
super dimensionamento dos rolamentos pode levar a uma duração da vida menor. Nestes
216

olamentos existe o perigo de deslizamento e uma solicitação elevada do lubrificante. O
deslizamento pode danificar as superfícies funcionais, por um engraxamento ou pela formação
de micro fissuras. Para um mancal ser econômico e seguro, deve ser aproveitada toda a sua
capacidade de carga. Para isto é necessário que ao projetá-lo, se considere outras grandezas
de influência, além da capacidade de carga, como é o caso do cálculo de vida.
7.6.1 - OBSERVAÇÕES
Os métodos de cálculo e símbolos acima expostos correspondem às indicações DIN ISO
76 e 281. A título de simplificação são utilizados nas fórmulas e tabelas para os rolamentos
radiais e axiais, os símbolos C e C0 para a capacidade de carga dinâmica e estática assim
como P e P0 para a carga dinâmica e estática equivalente. A Norma diferencia:
Cr → fator de carga radial dinâmica
Ca → fator de carga axial dinâmica
C0r → fator de carga radial estática
C0a → fator de carga axial estática
Pr → carga radial dinâmica equivalente
Pa → carga axial dinâmica equivalente
P0r → carga radial estática equivalente
P0a → carga axial estática equivalente
No intuito de simplificar, deixou-se de indicar os índices "r" e "a" junto a "C" e "P", haja
visto não existir, na prática, margem para dúvidas quanto à pertinência dos fatores de carga e
cargas equivalentes para rolamentos radiais ou axiais.
A DIN ISO 281 restringe-se à indicação da duração da vida nominal L10 e à vida
ampliada Lna em 10 6 rotações. A partir destes dados é possível ser deduzida a duração de vida
nominal em horas Lh e Lhna. Na prática, é costume se tomar por base Lh, Lhna e em especial o
fator dinâmico (fL). Devido a isto foram incluídos neste catálogo, como complementos valiosos,
valores orientativos para fL e fórmulas para Lh e Lhna.
7.6.2 - DURAÇÃO ATINGÍVEL - MODIFICADA DA VIDA
Segundo DIN ISO 281 a duração atingível (modificada) da vida é obtida segundo a
seguinte fórmula:
L na
=
a . a . a . L
1
2
3
6 [ 10 revoluções]
217

Ou expresso em horas:
Lhna = a1.
a2.
a3.
Lh
Onde Lna - duração atingível (modificada) da vida [10 6 rotações]
Lhna - duração atingível da vida [h]
a1 -fator para a probabilidade de falha, a2 - fator para o material, a3 - fator para as
condições em serviço
L - duração da vida nominal [106 rotações]
Lh - a duração da vida nominal [h]
7.6.3 - DURAÇÃO DA VIDA ATINGÍVEL
L na
6 [ 10 revoluções]
= a . a . L
e = a a . L [ h]
Sendo a1 - fator para a probabilidade de falha
1
23
[ h]
a23 - fator para o material e as condições de serviço
L - duração da vida nominal [10 6 rotações]
Lh - duração da vida nominal [h]
7.6.4 - FATOR A23
relação
Lhna 1.
23 h
O fator a23 para a determinação da duração da vida atingível Lna ou Lhna, é obtido da
Sendo a23II - valor básico a23II
s - fator de limpeza
a a II s .
23 23 =
O fator a23 considera as influências do material, tipo construtivo do rolamento,
solicitação, lubrificação e limpeza.
O ponto de partida para a determinação do fator a23. O campo mais importante para a
prática é o campo II do diagrama, que vale para limpeza normal (valor básico de a23 para s = 1).
Com uma limpeza melhor ou pior, será calculado com um fator s > 1 resp. s < 1.
218

7.6.5 - RELAÇÃO DE VISCOSIDADE Κ
Figura 3 - Esquema para a determinação de a23
No eixo de abscissas está indicada a relação de viscosidade κ como medida para a
formação da película lubrificante.
v
k =
v1
Onde v - viscosidade em serviço da película lubrificante no contato de rolagem
v1 - viscosidade de referência na dependência do diâmetro e do número de rotações
A viscosidade de referência v1 é determinada através da figura 3, com o auxílio do
diâmetro médio do rolamento (D + d)/2 e do número de rotações em serviço.
A viscosidade em serviço v de um óleo lubrificante é obtida do diagrama V-T com o
auxílio da temperatura em serviço t e da viscosidade (nominal) do óleo a 40 °C. Para graxas,
usa-se para v a viscosidade em serviço do óleo básico. Em rolamentos altamente solicitados e
com grandes parcelas de deslizamento (fs* < 4) a temperatura do rolamento nas áreas de
contato dos corpos rolantes é até 20 K mais alta que a temperatura medida no anel do
219

olamento parado (sem influência de aquecimento externo). Isto é em parte considerado,
colocando-se a metade do valor da viscosidade ½ obtida do diagrama V-T na fórmula.
Viscosidade de referência v1
v
k = .
v
Figura 4 – Viscosidade v1
1
220

Diagrama V-T para óleos minerais
7.6.6 - VALOR BÁSICO A23II
Figura 5 – Viscosidade para óleos minerais
Para poder determinar com mais precisão o valor básico a23II é necessário ter-se o fator
determinante K = K1 + K2.
O valor de K1 pode ser obtido do diagrama acima, na dependência do tipo construtivo do
rolamento e do índice de solicitação fs*. O valor de K2 depende da relação de viscosidade κ e do
índice fs*. Os valores do diagrama (abaixo) valem para lubrificantes não aditivados ou para
lubrificantes com aditivos, cuja eficiência especial não tenham sido testados em rolamentos.
Com K = 0 até 6, a23II se situa em uma das curvas no campo II da figura 8.
Com K > 6, só pode ser esperado um fator a23 no campo III, quando se deverá almejar um valor
de K menor e mediante uma melhora das condições, alcançar o campo II definido.
Se for lubrificado com a quantidade certa e com uma graxa bem adequada, podem ser
selecionados valores K2, como para óleos bem aditivados. A escolha correta da graxa é muito
importante em rolamentos com grandes parcelas de deslizamento e nos de grande porte,
altamente solicitados. Na determinação do valor a23II e, sem um conhecimento preciso da
221

aptidão da graxa, deverá ser aplicado o limite inferior do campo II. Isso vale principalmente
quando não se podem manter os intervalos de lubrificação.
Para
Fator determinante K1, na dependência do índice fs* e do tipo construtivo do rolamento.
a - Rolamento fixo de esferas
Figura 6 – K1 versus fs*
b - Rolamento de rolos cônicos, rolamento de rolos cilíndricos
c - Rolamento auto-compensador de rolos, rolamento axial auto-compensador de rolos 3
rolamento axial de rolos cilíndricos 1, 3
d - Rolamentos de rolos cilíndricos sem gaiola 1, 2
1 - V < 1 só é atingível em combinação com filtragem fina do lubrificante, de outra forma
usar K1 > 6.
2 - Considere na determinação de v: o atrito é no mínimo o dobro do que nos rolamentos
com gaiola. Isto leva a temperaturas mais altas do rolamento.
3 - Considerar a carga mínima
Fator determinante K2, na dependência do índice fs* para lubrificantes não aditivados e
para lubrificantes com aditivos, cuja eficiência especial não tenham sido testados em
rolamentos.
222

Figura 7 – k2 versus fs*
K2 se torna igual a 0 em lubrificantes com aditivos para os quais haja uma comprovação
positiva. Com K≥0,4 o desgaste se propaga no rolamento, se não for impedido por aditivos
apropriados.
Figura 8 – Valor de K em função de a23II e k
223

Campo
I: Transição para a durabilidade permanente
Premissa: máxima limpeza na fresta de lubrificação e cargas não muito elevadas,
lubrificante adequado.
II: Limpeza normal na fresta de lubrificação
Através da utilização de aditivos comprovados em rolamentos, também são possíveis
valores de a23 > 1 com k< 0,4 a23.
III: Condições de lubrificação inadequadas.
Contaminação do lubrificante, Lubrificantes inadequados.
7.6.7 - FATOR DE LIMPEZA S
O fator de limpeza s quantifica a influência da contaminação na duração da vida. Para a
determinação de s, é necessário obter-se a grandeza de contaminação V figura 8.
Para uma limpeza normal (V = 1) sempre vale 1, ou seja a23II = a23.
Em uma limpeza melhorada (V = 0,5) e em uma limpeza máxima (V = 0,3), obtém-se,
partindo do valor fs* e, na dependência da relação de viscosidade, um fator de limpeza de s
≥1.
Com s = 1, vale k ≥0,4. Com V = 2 (lubrificante moderadamente contaminado) e V = 3
(lubrificante fortemente contaminado) se torna s < 1 da área b do diagrama. A diminuição dos
valores de s por altos valores de V atua tanto mais forte quanto menos seja solicitado o
rolamento.
Diagrama para a determinação do fator de limpeza s
Figura 9a e b – Fator de limpeza
224

Figura 9c – Fator de limpeza
Onde a - diagrama para limpeza melhorada (V = 0,5) até máxima (V = 0,3)
b - diagrama para lubrificante moderadamente contaminado (V = 2) e lubrificante
altamente contaminado (V = 3)
Um fator de limpeza s > 1 só é atingível em rolamentos sem gaiola, quanto ficar excluído
qualquer desgaste no contato rolo/rolo, através de um lubrificante altamente viscoso e com
máxima limpeza (pureza do óleo de no mínimo 11/7 segundo ISO 4407).
7.6.8 - GRANDEZA DETERMINANTE V PARA A AVALIAÇÃO DA LIMPEZA
A grandeza determinante V depende do corte transversal do rolamento, do tipo de
contato no contato rolante e do grau de pureza do óleo. Se, na área de contato mais solicitada
de um rolamento, forem sobre roladas partículas duras a partir de um determinado tamanho, as
impressões deixadas nas áreas de contato de rolagem levam a uma fadiga prematura do
material. Quanto menor for a área de contato tanto mais nociva é a ação de um determinado
tamanho de partículas. Portanto, os rolamentos pequenos reagem com mais sensibilidade com
o mesmo grau de contaminação que os maiores e os rolamentos com contato fixo (rolamentos
de esferas) com mais sensibilidade do que os de contato linear (rolamentos de rolos).
A classe de pureza do óleo necessária conforme ISO 4406 é uma grandeza mensurável
para o grau de contaminação de um lubrificante. Para a sua determinação, é usado o método
padronizado para a contagem de partículas. Neste, a quantidade de todas as partículas > 5 µm
e de todas as partículas > 15 µm são classificadas em determinadas classes de pureza de óleo
ISO, desta forma, um grau de pureza 15/12 conforme ISO 4406 significa que, em 100 ml de
líquido se encontram entre 16000 e 32000 partículas > 5 µm e entre 2000 e 4000 partículas >
15 µm. A diferença entre uma classe e outra reside no dobro, da metade da quantidade das
partículas.
225

Especialmente as partículas com uma dureza > 50 HRC agem como redutoras da
duração da vida nos rolamentos. Estas partículas são de aço temperado, areia e resíduos de
material de abrasão. Principalmente os últimos são extremamente danosos. Se, como em
muitos casos de aplicação técnica, a maior parcela dos materiais estranhos contidos nas
amostras de óleo estiver localizada na faixa de redução da duração da vida, a classe de pureza
obtida com a contagem de partículas, pode ser comparada diretamente com os valores contidos
na tabela. Se, entretanto, no exame do resíduo do filtro, for verificado que se trata quase que,
p.ex., exclusivamente de contaminação mineral como areia de fundição ou grãos de material de
abrasão especialmente redutores da duração da vida, os valores de medição deverão ser
elevados em uma até duas classes de pureza, antes de determinar a grandeza de
contaminação V. Ao contrário, se for comprovado que a maioria é de partículas macias, como
madeira, fibras ou tinta no lubrificante, o valor de medição da contagem de partículas pode ser
correspondentemente reduzido.
Para atingir a pureza do óleo exigida, deverá haver uma determinada taxa de resíduo no
filtro. Esta é uma medida para a capacidade de separação do filtro em partículas de tamanho
definido. A taxa de resíduo no filtro ßx é a relação entre todas as partículas > x µm antes do
filtro com as partículas > x µm depois do filtro. Abaixo se encontra uma representação
esquemática.
Uma taxa de resíduo no filtro ß3 ≥200, significa, p.ex. que no teste "multi-pass" (ISO
4572) de 200 partículas 3 µm, só uma única consegue passar pelo filtro.
Com o uso de um filtro com uma determinada taxa de resíduo não se pode concluir
automaticamente pela classe de pureza do óleo.
226

7.6.9 - VALORES PARA A GRANDEZA DETERMINANTE DE CONTAMINAÇÃO V
(D-d) / 2
Mm
≤12,5
> 12,5 ... 20
> 20 ... 35
> 35
V Contato Pontual classe de
pureza de óleo conforme
ISSO 4406 1
Valores orientativos para a
taxa de resíduo no filtro
conforme ISO 4572
0,3 11/8 β3 ≥ 200
0,5 12/9 β3 ≥ 200
1 14/11 β6 ≥ 75
2 15/12 β6 ≥ 75
3 16/13 β12 ≥ 200
0,3 12/9 β3 ≥ 75
0,5 13/10 β3 ≥ 75
1 15/12 β6 ≥ 75
2 16/13 β12 ≥ 75
3 18/14 β25 ≥ 75
0,3 13/10 β3 ≥ 75
0,5 14/11 β6 ≥ 75
1 16/13 β12 ≥ 75
2 17/14 β25 ≥ 75
3 19/15 β25 ≥ 75
0,3 14/11 β6 ≥ 75
0,5 15/12 β6 ≥ 75
1 17/14 β12 ≥ 75
2 18/15 β25 ≥ 75
3 20/16 β25 ≥ 75
Só devem ser consideradas partículas cuja dureza seja > 50HRC
Tabela 2 – Contaminação V
A classe de pureza do óleo como medida para a probabilidade de sobre rolagem de
partículas redutoras da duração da vida nos rolamentos pode ser determinada por amostras
p.ex. por fabricantes de filtros e institutos. Deverá ser observada uma coleta apropriada de
amostras (vide p.ex. DIN 51170). Também aparelhos de medição "on-line" se encontram hoje
em dia à disposição. As classes de pureza são atingidas quando a quantidade total do óleo em
circulação passar uma vez pelo filtro em poucos minutos. Para garantir uma boa limpeza dos
227

mancais, é necessário um processo de enxágüe antes da colocação em funcionamento dos
mesmos.
Uma taxa de resíduo ß3 ≥200 (ISO 4572) significa, p.ex. que no assim chamado teste
"multi-pass", de 200 partículas ≥3 µm só uma passa pelo filtro. Filtros maiores que ß25 ≥75 não
deverão ser usados, pelas conseqüências negativas para os demais agregados também
instalados no circuito do óleo. Lubrificação com graxa
A lubrificação com graxa é aplicada em 90% de todos os rolamentos, pois apresenta as
seguintes vantagens:
• Reduzido custo construtivo
• Bom apoio das vedações, proporcionado pela graxa
• Alta durabilidade com uma baixa manutenção
Sob condições ambientais e de serviço normais, muitas vezes é possível uma
lubrificação para a vida.
Deve ser prevista uma lubrificação a intervalos regulares, quando houver alta solicitação
(rotação, temperatura, carga). Para tanto, devem ser previstos canais para suprir e drenar a
graxa e um depósito para a graxa envelhecida e, quando os intervalos forem curtos,
eventualmente uma bomba e um regulador da graxa. Coeficiente de pressão-viscosidade α
como função da viscosidade cinemática v, válido para a faixa de pressão de 0 a 2000 bar
Figura 10 - Coeficiente de pressão-viscosidade versus viscosidade
Onde a-b - Óleos minerais; e – Diéster; g - Éster triarilfosfato; h - Flúor carbono; i - Poliglicol
k,l - Silicone
228

Figura 11 – Dependência da densidade dos óleos minerais em função da temperatura.
7.6.10 - LUBRIFICAÇÃO COM ÓLEO
Um método de lubrificação com óleo se oferece quando as peças adjacentes da
máquina já são supridas com óleo. A dissipação do calor é necessária quando houver altas
cargas, altas rotações ou um aquecimento do mancal devido a influências externas.
Na lubrificação com quantidades pequenas (lubrificação por quantidades mínimas), seja
por gotejamento, névoa ou por ar-óleo, o atrito por "chapisco" e, com isto, os atritos no
rolamento são mantidos bem reduzidos.
Na utilização do ar como meio de transporte, é obtido um suprimento dirigido e um fluxo
auxiliar a vedação.
Uma lubrificação por injeção de óleo em maiores quantidades possibilita um suprimento
correto em todos os pontos de contato dos rolamentos de alta velocidade, proporcionando uma
boa refrigeração.
229

7.7 - PROCESSO DE SELEÇÃO DE ROLAMENTOS
Inicialmente, devemos ter as seguintes informações:
• Desempenho e condições requeridas ao rolamento
• Condições de operação e meio
• Dimensão do espaço para o rolamento
• Avaliação do tipo de Rolamento.
• Espaço permissível para o rolamento.
Devemos verificar neste item, quais os rolamentos disponíveis que se enquadram nas
dimensões requeridas pelo projeto.
INTENSIDADE E DIREÇÃO DA CARGA
intensidade.
Ao selecionar o rolamento, verificar a direção da carga (radial ou axial) e a sua
Tipo de Rolamento Capacidade de carga Capacidade de carga axial
Fixo de uma carreira de esferas
Contato angular
Rolos cilíndricos
Rolos cônicos
Auto compensadores de rolos
1 2 3 4 1 2 3 4
Tabela 3 – Capacidade de carga de cada rolamento
VELOCIDADE DE ROTAÇÃO E LIMITE DE ROTAÇÃO
A rotação máxima permissível varia em função do tipo de rolamento, da dimensão, do
tipo e material da gaiola, carga e método de lubrificação.
DESALINHAMENTO DOS ANÉIS INTERNO E EXTERNO
O desalinhamento entre o anel interno e externo ocorre em casos como o da flexão do
eixo em função da carga, da imprecisão do eixo e alojamento ou da deficiência na instalação.
Quando temos grandes desalinhamentos, devem-se selecionar rolamentos com a capacidade
de auto-alinhamento como os rolamentos auto compensadores.
230

FIXAÇÃO NA DIREÇÃO AXIAL E DISPOSIÇÃO
Em uma disposição de rolamentos, uma das peças é determinada como lado fixo e é
usada para fixar o eixo posicionando axialmente o rolamento. Neste lado fixo, deve ser
selecionado o tipo de rolamento que suporte a carga radial juntamente com a carga axial. Na
outra posição, o rolamento é denominado lado livre, suportando somente a carga radial e
devem permitir o deslocamento do eixo devido à dilatação ou contração pela variação de
temperatura. A não observância desta norma poderá acarretar em uma carga axial anormal no
rolamento, podendo ser a causa de uma falha prematura.
DIFICULDADE NA INSTALAÇÃO E REMOÇÃO
Os rolamentos de rolos cilíndricos que têm os anéis internos ou externos separáveis, de
agulha ou de rolamentos cônicos, apresentam maior facilidade de instalação e remoção,
facilitando a manutenção em equipamentos que requerem uma inspeção periódica. Rolamentos
com furos cônicos também são fáceis de instalar, pois podem ser instalados com a utilização de
buchas.
RUÍDO E TORQUE
Os rolamentos fixos de esferas são os mais adequados para as máquinas que requerem baixo
ruído e baixo torque, como nos motores elétricos e instrumentos de medição.
RIGIDEZ
Ao aplicar uma carga no rolamento, ocorre uma deformação elástica nas áreas de
contato entre os corpos rolantes e a pista. A rigidez do rolamento é determinada em função
proporcional da carga no rolamento e a intensidade da deformação elástica no anel interno, no
anel externo e no corpo rolante. Os rolamentos de contato angular de esferas e os rolamentos
de rolamentos cônicos são os mais apropriados para casos onde devemos ter o aumento da
rigidez pelo método de pré-carregamento, como em fusos de máquinas-ferramenta.
DISPONIBILIDADE E CUSTO
Há diferenças significativas de custo de acordo com o tipo e tamanho de rolamento
utilizado. Além disso, há a dificuldade de se obter determinados tipos de rolamentos. Diante
disso, recomendamos que na medida do possível, na seleção dos rolamentos, não se optem
por rolamentos de custo inacessível ou de difícil localização para compra.
231

DIMENSÕES PRINCIPAIS - SISTEMAS DE DENOMINAÇÃO
Os rolamentos são elementos de máquinas utilizáveis universalmente, prontos para a
montagem, devido ao fato de suas dimensões principais usuais serem normalizadas.
As normas ISO correspondentes a cada tipo de rolamento são: a ISO 15 para os radiais
(exceto os de rolos cônicos), a ISO 355 para os rolamentos de rolos cônicos em dimensões
métricas e a ISO 104 para os rolamentos axiais. Os planos dimensionais das normas ISO foram
absorvidas na DIN 616 e DIN ISO 355 (rolamentos de rolos cônicos com dimensões métricas).
Nos planos de medidas da norma DIN 616, vários diâmetros externos e larguras são
alocados a cada furo de rolamento. As séries usuais de diâmetro são 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4 (nesta
ordem, com diâmetros crescentes). Em cada série de diâmetros há diversas séries de largura
como, p.ex. 0, 1, 2, 3, 4 (correspondendo uma largura maior a cada número crescente).
No número de dois algarismos para a série de medidas, o primeiro corresponde à série
de largura (nos rolamentos axiais à altura) e o segundo indica a série de diâmetro .
No plano de medidas para os rolamentos de rolos cônicos com dimensões métricas segundo
DIN ISO 355, um dos algarismos (2, 3, 4, 5, 6) indica a faixa do ângulo de contato. Quanto
maior o algarismo, tanto maior o ângulo de contato. As séries de diâmetros e de larguras são
identificadas por duas letras.
Em casos de divergências com relação ao plano de medidas, como nos rolamentos
integrais das séries 2344 e 2347, esta característica é informada nos textos preliminares às
tabelas de medidas.
Exemplos para a identificação da série do rolamento e do diâmetro do furo na
designação básica, segundo DIN 623.
232

7.8 - TIPOS DE ROLAMENTOS
Figura 12 a– Denominação dos rolamentos
Os rolamentos são classificados de acordo com o tipo de carga que irão suportar, carga
radial ou axial.
7.8.1 - ROLAMENTOS RÍGIDOS DE ESFERAS - ROLAMENTOS FAG FIXOS DE ESFERA
Os rolamentos fixos de esferas de uma carreira suportam cargas radiais e axiais e são
adequados para rotações elevadas. Os rolamentos fixos de esferas não são separáveis. A
adaptabilidade angular é relativamente reduzida. Os rolamentos fixos de esferas vedados são
livres de manutenção e possibilitam construções simples.
CARGA DINÂMICA EQUIVALENTE
Com uma carga axial mais elevada, o ângulo de contato aumenta nos rolamentos fixos
de esferas. Os valores X e Y dependem da relação f0 · Fa/C0, tabela 4. O fator f0 está dado em
forma de tabela. C0 é a capacidade de carga estática. Se um rolamento fixo de esferas for
montado com um ajuste normal, isto significa uma usinagem do eixo conforme j5 ou k5 e a caixa
segundo J6, valerão os valores da tabela 4.
233

X Y X Y
0,3 0,22 1 0 0,56 2
0,5 0,24 1 0 0,56 1,8
0,9 0,28 1 0 0,56 1,58
1,6 0,32 1 0 0,56 1,4
3 0,36 1 0 0,56 1,2
6 0,43 1 0 0,56 1
Tabela 4 – Carga dinâmica equivalente
Fatores radial e axial dos rolamentos fixos de esferas são relacionados por:
Folga normal
P = F
F
a
0 r [kN] para ≤ 0,
8
Fr
Fa
P 0 = 0,
6.
Fr
+ 0,
5.
Fa
[kN] para > 0,
8
F
MEDIDAS DE MONTAGEM
r
Os anéis dos rolamentos só podem encostar-se aos rebordos do eixo e da caixa e não
no rebaixo. O maior raio rg da peça contrária rsmin tem que ser, portanto, menor que a menor
dimensão de canto rsmin (do rolamento).
A altura do rebordo da peça contrária deverá ser de tal forma que, mesmo com a maior
dimensão de canto, ainda permaneça uma superfície de apoio com uma largura suficiente (DIN
5418).
Nas tabelas dos rolamentos estão indicadas as medidas máximas do raio rg e o
diâmetro dos encostos. No preâmbulo do capítulo respectivo constam eventuais peculiaridades,
como p.ex. nos rolamentos de rolos cilíndricos, nos de rolos cônicos e nos axiais.
234

MEDIDAS DE MONTAGEM CONFORME DIN 5418
Figura 13 - Montagens de anéis de rolamento
Por serem de construção simples, inseparáveis, adequados para operar em altas
rotações, não exigirem muita manutenção e apresentarem um preço favorável, são os
rolamentos mais usuais. Apresentam um grande número de tamanhos e construções.
As pistas profundas e a conformidade próxima entre as ranhuras das pistas e as esferas
permite suportar cargas axiais relativamente pesadas em ambos os sentidos, além de cargas
radiais.
7.8.2 - ROLAMENTOS DE ESFERAS DE CONTATO ANGULAR
Rolamentos FAG de contato angular de esferas de duas carreiras.
Figura 14 – Rolamentos rígidos de esferas de uma carreira (1)
e duas carreiras (2) com placas de vedação com anel interno largo.
235

A pista do anel externo é esférica e o centro do raio é coincidente ao centro do
rolamento. Desta forma, o anel interno e a gaiola com as esferas giram livremente ao redor do
centro do rolamento, permitindo com isto a correção de erros de alinhamento.
Os rolamentos de contato angular de esferas de duas carreiras das séries 32B e 33B
não têm ranhuras de enchimento, motivo pelo qual admitem cargas axiais em ambos os
sentidos. Além dos rolamentos abertos, há ainda execuções básicas com blindagens (.2ZR) ou
com anéis de vedação (.2RSR) em ambos os lados Os rolamentos que sejam fornecidos na
execução básica vedada, podem também por razões técnicas de fabricação, ter no rolamento
aberto, as ranhuras para os anéis de vedação ou os discos de blindagem. Os rolamentos de
contato angular de esferas de duas carreiras têm, de um lado, ranhuras de enchimento; os
rolamentos devem ser montados de maneira que a solicitação principal seja admitida pelas
pistas de rolagem, que não tenham qualquer ranhura de enchimento. Os rolamentos de contato
angular de esferas 33DA, com o anel interno bipartido, por seu elevado ângulo de contato de
45°, são adequados para admitir cargas axiais espec ialmente altas em sentidos alternados.
Figura 15 - Rolamentos de contato angular de esferas
As fórmulas para a capacidade de carga equivalente dependem do ângulo de contato
dos rolamentos.
CARGA DINÂMICA EQUIVALENTE
Rolamentos de contato angular de esferas, das séries 32B e 33B com um ângulo de
contato α de 25 °
Fa
P = Fr
+ 0,
92.
Fa
[kN] para ≤ 0,
68
F
r
236

Fa
P = 0 , 67.
Fr
+ 1,
41.
Fa
[kN] para > 0,
68
F
Rolamentos de contato angular de esferas, das séries 32B e 33B com um ângulo de
contato α de 35°
Fa
P = Fr
+ 0,
66.
Fa
[kN] para ≤ 0,
95
F
Fa
P = 0 , 6.
Fr
+ 1,
07.
Fa
[kN] para > 0,
95
F
Rolamentos de contato angular de esferas, das séries 32B e 33B com um ângulo de
contato α de 45°
CAPACIDADE DE CARGA ESTÁTICA
Fa
P = Fr
+ 0,
47.
Fa
[kN] para ≤1,
33
F
Fa
P = 0 , 54.
Fr
+ 0,
81.
Fa
[kN] para > 1,
33
F
O fator radial é 1; os fatores axiais dependem do ângulo de contato. Rolamentos de
contato angular de esferas, das séries 32B e 33B com um ângulo de contato α de 25 °
P = F + 0,
76.
F [kN]
0
r
Rolamentos de contato angular de esferas, das séries 32B e 33B com um ângulo de
contato α de 35 °
P = F + 0,
58.
F [kN]
0
r
Rolamentos de contato angular de esferas, das séries 32B e 33B com um ângulo de
contato α de 45 °
P = F + 0,
44.
F [kN]
0
r
Os rolamento para fusos são uma execução especial de rolamentos de contato angular
de esferas de uma carreira, na qual o ângulo de contato, as tolerâncias e a execução da gaiola
são diferentes. Os rolamentos para fusos são especialmente adequados para mancais dos
quais são exigidas uma altíssima precisão de guia e uma aptidão para altas rotações. Eles tem
tido a melhor comprovação na utilização em fusos de máquinas-ferramenta. A FAG, já há
diversos anos, fornece os rolamentos para fusos das séries B719, B70 e B72 com esferas de
a
a
a
r
r
r
r
r
237

aço. Os rolamentos híbridos de cerâmica das séries HCB719, HCB70 e HCB72 têm as esferas
do mesmo tamanho, porém de cerâmica. Os rolamentos para fusos de alta velocidade das
séries HS719 e HS70 como também os rolamentos híbridos de cerâmica das séries HC719 e
HC70 têm esferas menores de aço ou de cerâmica. Estes rolamentos se destacam pela aptidão
para uma rotação mais elevada, atrito e geração de calor mais reduzido, menos necessidade de
lubrificante e com isto uma duração de vida mais alta. Com os rolamentos para fusos de alta
velocidade HSS719 e HSS70, como com os rolamentos híbridos de cerâmica HCS719 e
HCS70, obtém-se soluções extremamente econômicas. Estes rolamentos têm anéis de
vedação de ambos os lados. São lubrificados com graxa para a vida e livres de manutenção. Os
rolamentos para fusos da execução universal são para a montagem em pares na disposição em
X, O ou Tandem ou para a montagem em grupos em qualquer das disposições. Os pares de
rolamentos da execução universal UL têm, antes de montados, uma leve pré-carga nas
disposições em X ou em O. Nos ajustes interferentes a précarga do par de rolamentos aumenta
(para as tolerâncias de usinagem dos assentamentos, vide a publicação FAG n° AC 41130). Ao
pedir os rolamentos na execução universal deverá ser mencionado a quantidade de rolamentos
e não a de pares ou de pos.
Os rolamentos de esferas de contato angular possuem as pistas dos anéis internos e
externos deslocadas entre si no sentido do eixo do rolamento. Isto significa que são
particularmente adequados para suportar cargas combinadas, isto é, cargas radiais e axiais
atuando simultaneamente.
ROLAMENTOS DE ESFERAS DE CONTATO ANGULAR DE UMA CARREIRA (5)
A capacidade de carga axial dos rolamentos de esferas de contato angular aumenta
quando se aumenta o ângulo de contato α. Este é definido como sendo o ângulo entre a linha
que une os pontos de contato da esfera e as pistas no plano radial, ao longo do qual a carga é
transmitida de uma pista para a outra (a linha de carga) e uma linha perpendicular ao eixo do
rolamento.
238

Figura 16 – Ângulo de contato em rolamentos esféricos
A esferas e os anéis interno e externo formam ângulos que podem variar de 15°, 25°,
30° ou 40°. Quanto maior o ângulo de contato, maior será a capacidade de carga axial, e
quanto menor o ângulo de contato melhor será para altas rotações.
7.8.3 - ROLAMENTOS DE AGULHAS
Os rolamentos de agulhas são rolamentos de rolos com rolos cilíndricos que são muito
finos e compridos com respeito ao seu diâmetro. A ISO usa a definição que o comprimento do
rolo é de 2,5 vezes ou mais o diâmetro do rolo. Usa se, em referência a eles, o termo rolos de
agulha. Apesar da sua pequena seção transversal esses rolamentos têm elevada capacidade
de carga e são, portanto extremamente apropriados para arranjos de rolamentos onde o espaço
radial estiver limitado.
7.8.4 - ROLAMENTOS DE ROLOS CÔNICOS
Figura 17 – Rolamentos de agulhas
Os rolamentos de rolos cônicos são projetados de forma que o vértice dos cones
formados pelas pistas do anel interno e externo, e pelos rolos, coincidam em um ponto na linha
de centro do rolamento. Quando se aplica uma carga radial, dá-se origem a uma componente
de carga axial. É necessário usar dois rolamentos em oposição, em alguma combinação ou de
duas carreiras. São usados para cargas combinadas, ou seja, carga radial e axial.
239

O ângulo de contato α determina a capacidade de carga axial do rolamento. Quanto
maior o ângulo, maior a capacidade de carga axial.
• ângulo intermediário: C = 20°;
• ângulo grande: D = 28°;
• ângulo normal: sem sufixo = 17°.
7.8.5 - ROLAMENTOS AXIAIS
Figura 18 – Rolamentos de rolos cônicos de uma carreira de (25)
em pares de quatro carreiras (27) rolos cônicos cruzados.
Podem suportar somente cargas axiais. As cargas radiais não podem ser aplicadas,
devido à sua construção.
ROLAMENTOS AXIAIS DE ROLOS CILÍNDRICOS
Os rolamentos axiais de rolos cilíndricos podem suportar cargas axiais pesadas, são
insensíveis a cargas de choque e possibilitam arranjos de rolamentos rígidos que necessitam
de pouco espaço axial. Os rolamentos das séries 811 e 812 são utilizados principalmente
quando a capacidade de carga dos rolamentos axiais de esferas é insuficiente.
Os rolamentos axiais de rolos cilíndricos são rolamentos de sentido único, suportando somente
cargas axiais atuando em um sentido. Seu formato e desenho são simples, sendo fabricados
em construções de uma carreira e de duas carreiras.
A superfície cilíndrica dos rolos alivia ligeiramente em direção às extremidades. A linha de
contato modificada assim produzida assegura que não haverá tensões prejudiciais sobre as
extremidades. Os rolamentos são de construção separável; os componentes individuais podem
ser montados separadamente.
240

ROLAMENTOS AXIAIS DE AGULHAS
Os rolamentos axiais de agulhas podem suportar cargas axiais elevadas, são
insensíveis as cargas de choque e proporcionam arranjos rígidos que necessitam de espaço
axial reduzido. São rolamentos de escora simples, suportando somente cargas axiais em um
sentido. Para aplicações em que os componentes associados são inadequados para serem
utilizados como pista, os conjuntos também podem ser combinados com anéis de diferentes
construções.
7.9 – EXEMPLO RESOLVIDOS
1. Selecionar um rolamento para motor elétrico, com as seguintes características:
• Diâmetro do eixo, entre 50 ~ 70mm;
• Diâmetro do alojamento, entre 80 ~130mm; • Força Radial = 1000 kgf;
• Força Axial = 200 kgf;
• Temperatura de Trabalho = 80° C;
• Local com pequena concentração de impurezas;
• Rotação = 3600 rpm;
• Vida mínima exigida de 10.000 horas.
Para o nosso exemplo poderemos definir o tipo de rolamento mais adequado para a
aplicação requerida.
Espaço permissível para o rolamento.
Diâmetro Interno = 50 ~70 mm: poderemos utilizar qualquer rolamentos entre XX10
~XX14;
Diâmetro Externo = 80 ~ 130mm: qualquer rolamento entre XX10 ~ XX14, exceto X313
(D = 140mm) e X314 (D = 150mm).
Largura = Neste exemplo, não foi especificada a largura permitida.
Intensidade e direção da carga.
No exemplo dado, vamos comparar a capacidade de carga dos rolamentos 6310, 21310,
NU310 e 7310B:
Rolamento Cr (kgf)
Número
Cor (kgf)
6310 6.300 3.900
21310 12.100 13.000
7310B 6.950 4.900
NU310 8.850 8.800
241

Tabela 5a – Exercício resolvido 1
Todos os rolamentos acima atenderiam a exigência do projeto quanto à capacidade de
carga.
Velocidade de rotação.
Vamos comparar o limite de rotação dos rolamentos 6310, 21310, NU310 e 7310B:
Rolamento Cr (kgf) Cor (kgf)
6310 6.000 7.500
21310 2.800 3.800
7310B 5.000 6.700
NU310 5.600 6.700
Tabela 5b – Exercício resolvido 1
Neste caso, o rolamento 21310 não atende às exigências de rotação do equipamento.
Desalinhamento
Não exigido para o exemplo dado.
Fixação na direção axial
Definir se é livre ou lado fixo.
Dificuldade na instalação e remoção
Verificar as dimensões dos encostos nas tabelas de dimensões dos rolamentos.
Ruído
Os rolamentos de esferas são os mais adequados quando o nível de ruído é importante.
Rigidez
Os rolamentos de contato angular são os mais indicados, no entanto, esta exigência não
é requerida para esta aplicação.
Disponibilidade e custo.
Tabela comparativa de custos entre rolamentos de tipos diferentes com o mesmo
dimensional.
Rolamento 6310 22310 30310 NU2310 7310B
Custo (unidade:x) 1,00 2,60 1,80 2,80 1,90
Tabela 5c – Exercício resolvido 1
Pelos custos simbólicos da tabela acima, verificamos que os rolamentos fixo de uma
carreira de esferas têm um custo menor (para rolamentos de mesmo tamanho), além
disso, são mais fáceis de serem adquiridos.
242

Diante do exposto acima, o rolamento fixo de uma carreira de esferas é o mais indicado
e atende às exigências: das dimensões requeridas, da rotação, da carga radial e axial e
aos requisitos da aplicação.
Além disso, tem o menor custo comparado aos outros tipos de rolamentos com o mesmo
tamanho e a vantagem da fácil localização para compra.
Resultado do Exemplo:
Definição do Tipo Especificação do Tipo
Rolamento Fixo de uma Carreira de Esferas 6310
Tabela 5d – Exercício resolvido 1
2. Um rolamento rígido de esferas 6309 feito de aço padrão da SKF deverá trabalhar a
uma velocidade de 5 000 r/min sob uma carga radial constante Fr = 8 000 N. Vai ser
utilizada a lubrificação com óleo, possuindo o óleo uma viscosidade cinemática ηc = 20
mm 2 /s à temperatura de trabalho. A confiabilidade desejada é de 90 % e assume-se que
as condições de trabalho são de extrema limpeza. Quais serão as vidas L10, Lna e Lnaa?
a) Vida nominal L10 (para 90 % de confiabilidade)
⎛ C ⎞
L10 = ⎜ ⎟
⎝ P ⎠
p
A partir das tabelas de produtos, as capacidades de carga dinâmica para o rolamento
6309, C = 52 700 N. Uma vez que a carga é puramente radial, P = Fr = 8 000 N e por
conseguinte.
L10 = (52 700/8 000)3 = 286 milhões de revoluções
b) Vida nominal ajustada Lna
Lna = a1 a23 L10
Como é necessária uma confiabilidade de 90 %, será preciso calcular a vida L10a e
a1 = 1. O fator a23 é calculado da seguinte maneira: para o rolamento 6309, utilizando d e
D das tabelas de produtos, dm = 72,5 viscosidade de óleo requerida à temperatura de
trabalho para uma velocidade de 5 000 r/min, ν1 = 7 mm 2 /s κ = η/η1 = 2,7 valor de
a23 = 1,92.
L10a = 1 x 1,92 x 286 = 550 milhões de revoluções
c) Vida nominal de acordo com a teoria de vida da SKF
Lnaa = a1 aSKF L10
Como a confiabilidade pretendida é de 90 %, a vida L10aa é calculada e a1 = 1. Das
tabelas de produtos Pu = 1 340 e Pu/P = 1 340/8 000 = 0,17. Como as condições são de
243

extrema limpeza ηc = 1 e por conseguinte para κ = 2,7 o valor de aSKF é 14 para que de
acordo com a teoria de vida da SKF
L10aa = 1 x 14 x 286 = 4 000 milhões de revoluções
Para obter as vidas correspondentes em horas de trabalho, é necessário multiplicar por
[1 000 000/(60 n)]
onde n = 5 000 r/min. As diferentes vidas são então
L10h = 950 horas de trabalho
L10ah = 1 800 horas de trabalho
L10aah = 13 300 horas de trabalho
Se no exemplo tivéssemos calculado para condições de contaminação tais que
ηc = 0,2, aSKF seria 0,3 e
L10aa = 1 x 0,3 x 286 = 86 milhões de revoluções
Ou L10aah = 287 horas de trabalho
3. O apoio de um eixo de hélice de navio possui diâmetro d=140mm . Ele suporta uma
esforço axial normal de FaN=40 kN a uma rotação de nN=375 rpm e uma carga axial e
uma carga axial máxima de Fav=53 kN a uma rotação nv=500 . A duração da carga
normal corresponde a 75% do total e a duração da carga máxima 25% da duração total.
A vida de trabalho destes equipamentos chega a 50.000 h de funcionamento. Selecione
os mancais de rolos angulares adequados para este sistema.
Resolução:
d =
30mm
Figura 19 - Exercício resolvido 3
244

K a
=
2500N
n = 1500rpm
F ar
=
2000N
F = br 3000N
a) Rolamento A - SKF 30206 C(N) =40200 e=0,37 Y=1,6
B - SKF 33206 C(N) = 64400 e=0,35 Y=1,7
Testando se a disposição pertence ao grupo 2a, 2b ou 2c
F
Y
F
Y
ar
a
br
b
2000 = =
1,
6
3000 = =
1,
7
1250N
1765N
F ar F br < = condição2a
Y a Y b
Assim:
0,
5F
0,
5×
3000
br
F = ∴
ba F =
∴
ba
F ba
Y b 1,
7
=
882,
4N
= F + K ∴
Aa Ba a F = Aa 882 , 4+
2500 ∴F
= 3382N
F Aa
Cálculo da carga dinâmica equivalente
P = F r
F
F
ar ≤
r
e
P F r YF a +
= F
0 , 4×
F
ar >
Rolamento A: SKF 30206
F
F
ar
r
=
Assim,
=
P a
3382
2000
=
r
1,
69
>
e
0,
37
0 , 4×
2000 + 1,
6×
3382
= Pa 6211N
Rolamento B: SKF 33206
F
F
ba
br
=
Assim,
Pb F r =
882,
4
3000
=
Pb 3000N
=
0,
29≤0,
35
245

Cálculo do tempo de vida: (Pág 28)
L
=
1000000 ⎛
⎜C
×
60×
n ⎜ P
Rolamento A:
La
=
⎝
1000000
60×
1500
⎛
× ⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
10
3
40200
62+
1
⎞
⎟
⎟
⎠
10
3
= La 5614 horas de trabalho
Rolamento B:
Lb
=
1000000
60×
1500
⎛
× ⎜
⎜
⎝
64400
3000
⎞
⎟
⎟
⎠
10
3
= Lb 305500 horas de trabalho
b) Pelos resultados obtidos observa-se que o rolamento A: SKF 30206 não suporta um
tempo de vida de 32000 horas, já que seu limite é de 5614 horas. Já o rolamento B: SKF
33206 poderia ser utilizado. No entanto, seu limite de vida é de 305500 horas é muito
maior que o necessário, o que significa um maior custo. Desta forma, o ideal para esta
situação é escolher um rolamento que possua uma capacidade dinâmica C, entre os
valores de Ca = 40200N e Cb = 64400N, já que a capacidade dinâmica é proporcional ao
tempo de vida. Assim sendo: os rolamentos SKF 31306 e SKF32206 que possuem
capacidades dinâmicas de 47300N e 49500N, respectivamente, são mais recomendados
para esta situação.
Verificando o rolamento SKF 31306
Considerando que tanto o rolamento B quanto A são iguais: SKF 31306
F ar F br
< = condição2a
Y a Y b
0,
5F
0,
5×
3000
rb
F = ∴
aB F =
∴
aB
F aB
Y b 0,
72
=
2083N
= F + K ∴
Aa Ba a F = Aa 2083 + 2500 ∴F
= 4583N
F Aa
e=
0,
83
F
F
aA
ra
=
4583
> 0,
83
2000
0 , 4×
2000 + 4583×
0,
72∴P
= 4100N
r
P = a
a a
F 2083
aB = = 0,
69≤e
F rB 3000
=
Pb 3000N
246

Considerando o pior hipótese, ou seja, a carga dinâmica equivalente P iguala 4100N
Temos:
L
=
1000000
60×
1500
⎛
× ⎜
⎜
⎝
47300
4100
⎞
⎟
⎟
⎠
10
3
= Lb 38550 horas de trabalho
Assim verifica-se que o rolamento SKF 31306 é suficiente para onde são necessários
um tempo de vida de 32000 horas
4. O mancal de um garfo de um roda em balanço contém dois rolamentos radiais de
esferas série 62 . O diâmetro do eixo foi calculado em 25 mm. A figura mostra as
medidas calculadas em mm. A carga radial radkraft F é de 2,5 kN. Selecione estes
rolamentos, para as condições normais de trabalho sendo que a capacidade de carga de
ambos rolamentos é determinada em função das cargas radiais Far eFbr e que um dos
rolamentos deve suportar toda a carga axial.
Resolução:
3
F = 5Ton
= 49,
05×
10 N
d = 0,
05m
a)
S
0
S
= 1 , 3∴
=
0
C
P
0
0
Figura 20 - Exercício proposto 4
Carga estática equivalente para rolamento axial de esfera
P = 0 F a
Assim
3
C = S P =
0 0 0 1,
3×
49,
05×
10 = 63770 N
247

O rolamento selecionado segundo a tabela da pagina 600 é o SKF 51210 que possui uma capacidade de
carga estática superior a requerida, ou seja, Co=106000N > 63770N
b) Para o rolamento SKF 51210 e
P = 0 F a
C o
S
0
=
=
106000N
C
P
0
0
=
0 4,
32 = S
106000 3
24,
53×
10
7.10 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS
F a
=
3
24,
53×
10 N
, qual o So?
1. O eixo de um carrinho para combustível de forno suporta m=1,5 t devido ao peso próprio
e carga F p Quando o forno estiver funcionando ele suporta temperatura t=300o C.
Pelos cálculos para o dimensionamento do eixo, chegou-se ao valor de d=35 . Selecione
os rolamentos de esfera para este carrinho.
Figura 21 - Exercício proposto 1
4. Uma carga de 5 toneladas será aplicada em diâmetro d=48 mm conforme figura . Um
rolamento axial de esferas suporta esta carga, permitindo pequenos giros. Deseja-se
selecionar este rolamento de esferas.
248

Figura 22 - Exercício proposto 4
249

CAPÍTULO 08 - PROJETO DE PARAFUSOS
8.1 - INTRODUÇÃO
Parafusos são elementos de fixação, empregados na união não permanente de peças,
isto é, as peças podem ser montadas e desmontadas facilmente, bastando apertar e desapertar
os parafusos que as mantêm unidas.Os parafusos se diferenciam pela forma da rosca, da
cabeça, da haste e do tipo de acionamento.
Figura 1 - parafuso sextavado
O tipo de acionamento está relacionado com o tipo de cabeça do parafuso. Por exemplo,
um parafuso de cabeça sextavada é acionado por chave de boca ou de estria.Em geral, o
parafuso é composto de duas partes: cabeça e corpo.
O corpo do parafuso pode ser cilíndrico ou cônico, totalmente roscado ou parcialmente
roscado. A cabeça pode apresentar vários formatos; porém, há parafusos sem cabeça.
Há uma enorme variedade de parafusos que podem ser diferenciados pelo formato da
cabeça, do corpo e da ponta. Essa diferença, determinadas pela função dos parafusos, permite
classificá-los em quatro grandes grupos: para - fusos passantes, parafusos não-passantes,
parafusos de pressão, parafusos prisioneiros.
PARAFUSOS PASSANTES
Esses parafusos atravessam, de lado a lado, as peças a serem unidas, passando
livremente nos furos.Dependendo do serviço, esses parafusos, além das porcas, utilizam
arruelas e contra-porcas como acessórios.Os parafusos passantes apresentam-se com cabeça
ou sem cabeça.
250

PARAFUSOS NÃO-PASSANTES
Figura 2 - Parafusos passantes
São parafusos que não utilizam porcas. O papel de porca é desempenhado pelo furo
roscado, feito numa das peças a ser unida.
PARAFUSOS DE PRESSÃO
Figura 3 - Parafusos não-passantes
Esses parafusos são fixados por meio de pressão. A pressão é exercida pelas pontas
dos parafusos contra a peça a ser fixada.Os parafusos de pressão podem apresentar cabeça
ou não.
Figura 4 - Parafusos de pressão
251

PARAFUSOS PRISIONEIROS
São parafusos sem cabeça com rosca em ambas as extremidades, sendo
recomendados nas situações que exigem montagens e desmontagens freqüentes. Em tais
situações, o uso de outros tipos de parafusos acaba danificando a rosca dos furos.
As roscas dos parafusos prisioneiros podem ter passos diferentes ou sentidos opostos, isto é,
um horário e o outro anti-horário.Para fixarmos o prisioneiro no furo da máquina, utilizamos uma
ferramenta especial.Caso não haja esta ferramenta, improvisa-se um apoio com duas porcas
travadas numa das extremidades do prisioneiro.Após a fixação do prisioneiro pela outra
extremidade, retiram-se as porcas.A segunda peça é apertada mediante uma porca e arruela,
aplicadas à extremidade livre do prisioneiro.
O parafuso prisioneiro permanece no lugar quando as peças são desmontadas.
Figura 5 - Parafusos prisioneiros
Vimos uma classificação de parafusos quanto à função que eles exercem.
Veremos, a seguir, alguns tipos de parafusos. Segue um quadro síntese com
características da cabeça, do corpo, das pontas e com indicação dos dispositivos de
atarraxamento.
252

Tabela 1 - Características da cabeça, do corpo, das pontas e com indicação dos dispositivo de atarraxamento.
253

Tabela2 - Tipos de parafusos
254

ROSCAS
Rosca é um conjunto de filetes em torno de uma superfície cilíndrica.
Figura 6 - Filetes gerados em uma superfície cilíndrica
As roscas podem ser internas ou externas. As roscas internas encontram-se no interior
das porcas. As roscas externas se localizam no corpo dos parafusos.
Figura 7 - Conjunto porca e parafusos
As roscas permitem a união e desmontagem de peças.
Tipos de Rocas (Perfis) Perfil de Filete Aplicação
Parafusos e porcas de fixação na união de
peças
Ex: Fixação da roda do carro.
Parafusos que transmitem movimento suave
e uniforme.
Ex: Fusos de máquinas
Parafusos de grandes diâmetros sujeitos a
grandes esforços.
Ex: Equipamentos ferroviários.
Parafusos que sofrem grandes esforços e
choques.
Ex: Prensas e morsas.
Parafusos que exercem grandes esforços
num só sentido.
Ex: Macacos de catraca.
Figura 8 - Tipos e roscas e aplicação
255

Permitem, também, movimento de peças. O parafuso que movimenta a mandíbula
móvel da morsa é um exemplo de movimento de peças.Os filetes das roscas apresentam vários
perfis. Esses perfis, sempre uniformes, dão nome às roscas e condicionam sua aplicação.
NOMENCLATURA DA ROSCA
Independentemente da sua aplicação, as roscas têm os mesmos elementos, variando
apenas os formatos e dimensões.
.
P = passo (em mm)
i = ângulo da hélice
d = diâmetro externo
c = crista
d1 = diâmetro interno
D = diâmetro do fundo da porca
d2 = diâmetro do flanco
D1 = diâmetro do furo da porca
Figura 9 - Nomenclatura e tipo da roscas
256

a = ângulo do filete
h1 = altura do filete da porca
f = fundo do filete
h = altura do filete do parafuso
ROSCAS DE PERFIL TRIANGULAR
As roscas triangulares classificam-se, segundo o seu perfil, em três tipos:
· rosca métrica
· rosca whitworth
· rosca americana
Para nosso estudo, vamos detalhar apenas dois tipos: a métrica e a whitworth. Rosca
métrica ISO normal e rosca métrica ISO fina NBR 9527.
Diâmetro maior da porca:
D = d + 2f:
Diâmetro menor da porca (furo):
D1 = d - 1,0825P;
Diâmetro efetivo da porca (Æ médio):
D2 = d2.
Altura do filete do parafuso:
he = 0,61343P.
Figura 10 - Rosca de perfil triangular
Raio de arredondamento da raiz do filete do parafuso:
re = 0,14434P.
Raio de arredondamento da raiz do filete da porca:
Ângulo do perfil da rosca: a=60º
Diâmetro menor do parafuso (φ
do núcleo): d1=d-1,2268P.
d2=D2=d-0,6498P.
Folga entre a raiz do filete da
porca e a crista do filete da porca
e a crista do filete do parafuso:
F=0,045P.
257

i = 0,063P.
A rosca métrica fina, num determinado comprimento, possui maior número de filetes do
que a rosca normal. Permite melhor fixação da rosca, evitando afrouxamento do parafuso, em
caso de vibração de máquinas. Exemplo: em veículos.
Rosca Whitworth normal - BSW e rosca Whitworth fina – BSF
Figura 11 - Nomenclatura da roscas Whitworth
A fórmula para confecção das roscas Whitworth normal e fina é a mesma. Apenas
variam os números de filetes por polegada. Utilizando as fórmulas anteriores, você obterá os
valores para cada elemento da rosca. Para facilitar a obtenção desses valores, apresentamos a
seguir as tabelas das roscas métricas de perfil triangular normal e fina e Whitworth normal -
BSW e Whitworth fina - BSF.
258

Tabela 3 - Tabela de roscas no sistema inglês
259

Tabela 4 - Tabela de roscas no sistema métrico - série normal
260

Tabela 5 - Tabela de roscas no sistema métrico - série fina
261

Duas tabelas a seguir mostram os valores dos diâmetros nominais dos parafusos, suas
áreas resistentes em função do tipo de rosca grossa ou fina. Na tabela 3.6é apresentado o
sistema métrico e na tabela 3.7 é apresentado o sistema inglês.
Diâmetro
nominal d Passo p
Séries rosca grossa Séries rosca fina
Área
resistente At
Área de
menor
diâmetro Ar
Pitch p
Área
resistente At
Área de
menor
diâmetro Ar
1,6 0,35 1,27 1,07
2 0,4 2,07 1,79
2,5 0,45 3,39 2,98
3 0,5 5,03 4,47
3,5 0,6 6,78 6
4 0,7 8,78 7,75
5 0,8 14,2 12,7
6 1 20,1 17,9
8 1,25 36,6 32,8 1 39,2 36
10 1,5 58 52,3 1,25 61,2 56,3
12 1,75 84,3 76,3 1,25 92,1 86
14 2 115 104 1,5 125 116
16 2 157 144 1,5 167 157
20 2,5 245 225 1,5 272 259
24 3 353 324 2 384 365
30 3,5 561 519 2 621 596
36 4 817 759 2 915 884
42 4,5 1120 1050 2 1260 1230
48 5 1470 1380 2 1670 1630
56 5,5 2030 1910 2 2300 2250
64 6 2680 2520 2 3030 2980
72 6 3460 3280 1,5 3860 3800
80 6 4340 4140 2 4850 4800
90 6 5590 5360 2 6100 6020
100 6 6990 6740 2 7560 7470
110 2 9180 9080
Tabela 6 - Tabela de parafusos no sistema métrico- rosca grossa e fina
262

Tamanho
designação
Diâmetro
maior -
polegadas
UNC - Séries rosca grossa UNF - Séries rosca fina
Número de
Roscas por
polegadas N
Área
resistente At
Área de
menor
diâmetro Ar
Roscas em
polegada N
Ária
resistente At
Área de
menor
diâmetro Ar
0 0,06 80 0,0018 0,00151
1 0,073 64 0,00263 0,00218 72 0,00278 0,00237
2 0,086 56 0,0037 0,0031 64 0,00394 0,00339
3 0,099 48 0,00487 0,00406 56 0,00523 0,00451
4 0,112 40 0,00604 0,00496 48 0,00661 0,00566
5 0,125 40 0,00796 0,00672 44 0,0088 0,00716
6 0,138 32 0,00909 0,00745 40 0,01015 0,00874
8 0,164 32 0,014 0,01196 36 0,01474 0,01285
10 0,19 24 0,0175 0,0145 32 0,02 0,0175
12 0,216 24 0,0242 0,0206 28 0,0258 0,0226
¼ 0,25 20 0,0318 0,0269 28 0,0364 0,0326
5 16 0,3125 18 0,0524 0,0454 24 0,058 0,0524
3 8 0,375 16 0,0775 0,0678 24 0,0878 0,0809
7 16 0,4375 14 0,1063 0,0933 20 0,1187 0,109
½ 0,5 13 0,1419 0,1257 20 0,1599 0,1486
9 16 0,5625 12 0,182 0,162 18 0,203 0,189
5 8 0,625 11 0,226 0,202 18 0,256 0,24
¾ 0,75 10 0,334 0,302 16 0,373 0,351
7 8 0,875 9 0,462 0,419 14 0,509 0,48
1 1 8 0,606 0,551 12 0,663 0,625
1. ¼ 1,25 7 0,969 0,89 12 1,073 1,024
1. ½ 1,5 6 1,405 1,294 12 1,581 1,521
Tabela 7 - Tabela de parafusos no sistema inglês - rosca grossa e fina
8.2 - PARAFUSOS DE POTÊNCIA
Um parafuso de força ou potência é utilizado em projetos de máquinas quando necessita
mudar o movimento angular para linear na transmissão de carga.
Na Figura 12, um parafuso de potência com rosca quadrada,possui um diâmetro médio
dm, ,passo p, um ângulo de avanço λ, um ângulo de inclinação de hélice ψ. É submetido a uma
carga de compressão axial. Deseja-se encontrar uma expressão para o torque necessário para
elevar e abaixar a carga atuante.
A figura 12 mostra à direita a rosca do parafuso estendida em uma volta completa. Seja
F a soma de todas as cargas axiais. Para elevar a carga, a força P atua para a direita, e para
abaixar a carga, a força P atua para a esquerda. A força de atrito é o produto do coeficiente de
fricção µ pela a força normal N, e atua no sentido de opor-se ao movimento. O sistema está em
equilíbrio sobre ação de uma destas forças, e portanto para elevar a carga F, tem-se:
263

∑
∑
F = P − Nsenλ − μN cos λ = 0
H
F = F + μNsenλ − N cos λ = 0
De maneira análoga para abaixar a carga, teremos:
∑
∑
V
F = −P − Nsenλ + μN cos λ = 0
H
F = F − μNsenλ − N cos λ = 0
V
Desde que não estamos interessados na força normal N, eliminando-a nos conjuntos de
equações acima e encontramos P. Para elevação da carga temos:
e para abaixar a carga teremos:
senλ + μ cos λ
P = F
cos λ − μsenλ senλ − μ cos λ
P = F
cos λ + μsenλ Figura 12 - Parafuso de potência, com detalhe da rosca e cargas atuantes
Finalmente, notando que o torque é o produto da força P pelo do raio médio dm / 2, para
elevação da carga, tem-se:
Fd ⎛ m l + πμd
⎞ m
T = ⎜ ⎟
2 ⎝ π dm − μl
⎠
Onde T é necessário para dois objetivos, vencer o atrito e para elevar a caga.
Analogamente, o torque T necessário para abaixar a carga , é:
Fdm ⎛ πμd
m − l ⎞
T = ⎜ ⎟
2 ⎝ π dm + μl
⎠
(2)
(1)
264

Em alguns casos, o torque da equação (2) poderá ser negativo ou zero. Quando se
obtém um torque positivo partir desta equação, o parafuso é definido como auto-frenante.. A
condição para auto-frenamento é:
πdm, tem-se:
πµdm > 1
Agora, se divide ambos os lados dessa desigualdade por πdm lembrando que tg λ = 1 /
µ > tg λ
Esta relação indica que o auto-frenamento é obtido quando o coeficiente de atrito é igual
ou maior que tangente do ângulo de avanço.
Uma expressão para a eficiência é também muito útil na avaliação dos parafusos de
força. Consideram-se µ = 0 , tem-se:
T
O
Fl
=
2π
A eficiência nos parafusos de potência será:
TO Fl
e = =
T 2πT
As equações precedentes foram desenvolvidas para as roscas quadradas onde a carga
atuante nas roscas é paralela ao eixo axial do parafuso. No caso da rosca Acme,perfil triangular
ou outras roscas, a carga atuante é inclinada em relação ao eixo por causa do ângulo da rosca
2α e o ângulo de avanço λ. Desde que ângulos de avanço são pequenos, a inclinação pode ser
desconsiderada e somente ser considerado nos cálculos, o angulo de rosca. O efeito do ângulo
α é aumentar a força de atrito por ação da cunha. Com isso, tem-se:
Fd ⎛ m l + πμd m secα
⎞
T = ⎜ ⎟
2 ⎝ π dm − μl secα
⎠
Figura 13 – Ângulos de avanço
265

Para parafusos de potência, a rosca Acme, não é tão eficiente como a rosca quadrada,
mas, ainda é usado com mais freqüência devido a facilidade de fabricação e o uso de porca
divisora ajustável.
Usualmente, um terceiro componente de torque precisa ser adicionado nas aplicações
dos parafusos de potência. Quando um parafuso é carregado axialmente, há necessidade de
um colar, empregado entre os membros rotacionais e estacionários para suportar a componente
axial. A Figura mostra um mancal típico onde utiliza-se dc como diâmetro principal e µc como o
coeficiente do colar de atrito. O torque necessário será:
Fμ cd c Tc
=
2
Figura 14 - Mecânica dos parafusos de potência
8.3 - PARAFUSOS DE UNIÃO - COMPRIMENTO DA PARTE ROSCADA
O comprimento da parte roscada, LT de parafusos no sistema inglês (polegadas) é:
e no sistema internacional é :
L
Lr T
1 ⎧2D
= 4in
L < 6 in ou L = 6 in
= ⎨
2D 1
⎩ = 2in
L > 6 in
⎧2D
+ 6 L ≤125 mm ou D ≤ 48 mm
⎪
LLr = ⎨2D
+ 12 125< L ≤ 200 mm
⎪
⎩2D
+ 25 L > 200 mm
O objetivo de um parafuso é manter duas ou mais partes juntas. O torque de aperto
acarretará tração ou alongamento no parafuso; o carregamento é obtido por torção da porca até
266

que o parafuso tenha sido tracionado próximo ao seu limite elástico. Se a porca não se afrouxar
a tensão do parafuso se manterá como pré-carga ou força de união (aperto).
A cabeça de um parafuso de cabeça hexagonal é suavemente mais fina do que a de um
pino de cabeça hexagonal. O material de uma porca deve ser cuidadosamente selecionado
para encaixar com o parafuso.
8.3.1 - CONSTANTE DE RIGIDEZ DOS PARAFUSOS
Quando uma conexão é projetada para poder ser periodicamente desmontada sem
métodos destrutivos e seja suficientemente forte para resistir a tensões externas, momentos, ou
força de corte então uma junção parafusada simples usando arruelas de aço endurecido é uma
boa solução.
Como visto previamente,a função de um parafuso é fixar duas ou mais partes juntas. Girando a
porca, o parafuso provocará uma força de união (aperto). Esta força de união é chamada de
pré-tensão ou pré-carga no parafuso. Ela existe na junção depois da porca ter sido
devidamente apertada não importando se a carga externa P tenha sido exercida ou não.
É claro, que desde que as peças (membros) são usados para ser unidas, a força de
união que produz uma tração no parafuso induzirá idêntica compressão nas peças.
A constante de rigidez, de um membro elástico, como um parafuso, é a razão entre a
força aplicada pela deformação produzida. A pega de uma conexão é a espessura do material
unido,incluindo as arruelas se houver.
A rigidez do parafuso ou pino consistirá de duas partes, a parte roscada e a parte não
roscada dentro da pega.Portanto a constante de rigidez do parafuso será equivalente à rigidez
de duas partes de maneira semelhante à rigidez de duas molas em série.
para duas partes em série:
1 1 1
k k k
1 2
= + ou k =
1 2
At
E
K r =
l
Ad
E
K d =
l
onde: At = Área resistente do parafuso (Tabelas)
lT = comprimento da parte roscada na pega
Ad = área da parte lisa de parafuso
ld = comprimento da parte não roscada na pega,
t
d
k k
k + k
1 2
267

Substituindo esses valores, tem-se:
(pega).
K
pa
Ad
At
E
=
A l + A l
d
t
Onde kpa é uma estimativa da constante de rigidez efetiva no parafuso da zona da união
8.3.2 - RIGIDEZ DAS PEÇAS OU MEMBROS EM COMPRESSÃO
Numa seção anterior, determinou-se a rigidez do parafuso região de pega. Nesta seção,
estudar-se-á a rigidez de uma peça ou membro na região de união. Ambas as constantes
devem ser conhecidos. Poder-se ter mais do que duas peças ou membros na pega de união por
parafuso. Todos eles agem como forças compressivas em série, e portanto a constante de
rigidez das peças km pode ser obtida pela equação abaixo:
1
K
pe
1
=
K
1
1
+
K
2
1
+
K
3
t
d
1
+
K
4
1
+ ... +
K
Utilizando a metade do ângulo vértice α =30º, o alongamento de um cone com
espessura dx sujeito a uma força de tensão P é:
A área de elemento é:
P
dδ = dx (3)
EA
Figura 15 - Rigidez das peças comprimidas
i
268

2 2 ( ) ( tan D
o i
) ( D )
2 2
⎡ ⎤
A = π r + r = π
⎢
x
⎣
α +
2
−
2 ⎥
=
⎦
⎛ D + d ⎞⎛ D − d ⎞
= π ⎜ x tanα + ⎟⎜ x tanα
+ ⎟
⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠
Substituindo na equação a, integrando, o alongamento será:
P t
dx
δ =
π E ∫ 0 ⎡ ( D + d ) ⎤ ⎡ ( D − d ) ⎤
⎢x tanα + x tanα
+
2 ⎥ ⎢ 2 ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( 2t tanα
+ D − d )( D + d )
( + + )( − )
P
δ = ln
π Ed tanα 2t tanα
D d D d
Com isso, e com α =30º, a rigidez será:
K pe
P 0,
577πEd
= =
δ ( 1,
15t
+ D − d)(
D + d)
ln
( 1,
15t
+ D + d)(
D − d)
Figura 16 - Cone para determinação da rigidez das peças a unir
O diâmetro da arruela da face é por volta de 50% maior do que o diâmetro do parafuso
de cabeça sextavada. Para este caso o valor de km (rigidez das peças) será dado pela
equação:
K pe
8.3.3 - RESISTÊNCIA DO PARAFUSO
=
0,
577πEd
( 1,
15l
+ 0,
5d)
2ln
5
( 0,
577l
+ 2,
5d)
A tensão do parafuso é um fator chave na análise e seleção de conexões parafusadas.
As normas para parafuso oferecem a resistência à tração (Srup) e resistência de prova (Sp) e a
269

esistência à fadiga,em função do diâmetro nominal do parafuso e do tipo. Assim é que existem
as normas SAE, ASTM,,etc.
A carga de prova é a força máxima que um parafuso pode suportar sem se deformar
permanentemente. A resistência de prova é a relação entre a carga de prova e a área de
resistência do parafuso. A resistência de prova corresponde aproximadamente à resistência ao
escoamento.
TENSÕES ATUANTES NO PARAFUSO SUBMETIDO A CARGA EXTERNA ESTÁTICA
Considerando que apenas uma carga P seja aplicada a uma conexão parafusada.
Assumindo também que a força de união, chamada de pré-carga Fi, tenha sido corretamente
aplicada pelo aperto da porca antes da força P ser aplicada. A nomenclatura usada será:
Fi = Pré-carga
P = carga externa
Ppa = porção de P suportada pelo parafuso
Ppe = porção de P suportada pelas peças (membros)
Fpa = Ppa + Fi = carga total resultante no parafuso
Fpe = Ppe + Fi = carga total resultante nas peças (membros)
A carga externa P, ao ser aplicada na conexão aparafusada provoca uma deformação δ. Uma
vez que a constante de rigidez das peças,k, é a relação entre a carga pela deflexão ou
deformação,tem-se:
Como P = Ppa + Ppe, tem-se:
δ =
pa
P pa
=
K
pa
P = P
Portanto, a carga resultante no parafuso será:
pe
pa
pa = Ppa
+ Fi
= P Fi
Fpe < 0
K pa + K pe
P
K
K
K
K
F +
A carga resultante nas peças ou membros será:
K
F +
pa
pe = Ppa
− Fi
= P Fi
Fpe < 0
K pa + K pe
pe
pa
pe
pe
270

É claro, que estes resultados são validos somente enquanto a carga de união se
mantém nas peças.
8.3.4 - EXIGÊNCIAS DO TORQUE
Apesar do coeficiente de atrito poder virar muito, pode-se obter uma ótima estimativa do
torque necessário para produzir uma determinada pré-carga combinada, através da equação
seguinte:
⎡ dm
⎛ tan λ + μ secα
⎞ ⎤
T = ⎢ ⎜ ⎟ + 0,625μ
c ⎥ Fid ⎣ 2d ⎝ l − μ tan λ secα
⎠ ⎦
Define-se o coeficiente de torque K como sendo termo entre parênteses, e então:
A equação pode agora ser escrita:
dm
⎛ tan λ + μ secα
⎞
K = ⎜ ⎟ + 0,625μ
c
2d ⎝ l − μ tan λ secα
⎠
T = KFid
O coeficiente de atrito depende da rugosidade da superfície, precisão e grau de lubrificação. Em
média, tanto µ quando µc são aproximadamente 0,15. O valor de K ≈ 0,20 para µ = µc = 0,15
independente do tamanho do parafuso empregado é independente da rosca ser bem acabada
ou não.
8.3.5 - PRÉ-CARGA DO PARAFUSO - CARREGAMENTO ESTÁTICO
A partir da equação abaixo
K pa P
F pa = + Fi
= CP + Fi
(4)
K + K
pa
pe
Onde C é chamado constante de junta e é definida na equação (4) como sendo
Então,
C =
K
pa
K
pa
+ K
pe
Fpe = (l – C)P – Fi
A tensão de tração no parafuso pode ser encontrada dividindo-se ambos os termos da
equação (a) pela área resistente At. Isto leva a:
CP F
+
i
σ pa =
(5)
At
At
271

Porém o valor limite de σb é a resistência de prova Sprova. Esta com introdução do fator
da carga n, a equação (b) passará a ser,
ou
CnP F
S +
i
prova = (6)
At
At
S
n =
prova
A − F
t
CP
Figura 17 - Vaso de pressão com parafusos de união
Chama-se n, de fator carga ao invés de fator de segurança, já que duas idéias são de
alguma forma relacionadas. Qualquer valor de n > 1 garante que a tensão no parafuso será
menor que a tensão de prova.
Outra maneira de garantir uma junta segura é exigir que o carregamento externo seja
menor que o necessário para causar a separação da junta. Se a separação ocorrer assim
mesmo, então toda o carregamento externo recairá sobre o parafuso. Fazendo Po ser o valor
de carregamento externo que causaria a separação da junta. Na separação, Fpe = 0, então:
(l – C) P0 – Fi = 0 (7)
o fator de segurança contra a separação da junta é
Po
n = (8)
P
Substituindo P0 = nP na equação (8), encontra-se:
Fi
n =
P(1 − C)
como sendo fator de segurança contra separação da junta .
i
272

No diagrama da tensão x deformação de um parafuso de material de boa qualidade, não
existe um ponto claro de escoamento e o diagrama percorre suavemente até a fratura, que
corresponde ao limite de resistência a tração. Isto mostra que independentemente da pré-carga
aplicada no parafuso, este irá manter a sua capacidade de carregamento. Isto é que mantém o
parafuso firme e determina a resistência da junta. A pré-carga é o “músculo” da junta, e sua
magnitude é determinada pela resistência do parafuso. Se a resistência total do parafuso não é
usada na aplicação da pré-carga, então, o dinheiro estará sendo desperdiçado e a junta ficando
mais fraca.
Parafusos de boa qualidade podem ser pré-carregados no regime plástico para
desenvolver mais resistência. Alguns dos parafusos de torque utilizados para aperto produzem
torções, que aumentam a tensão principal de tração. Entretanto, esta torção é mantida apenas
pela fricção da cabeça do parafuso e da rosca; em tempo de relaxar e diminuir levemente a
tensão do parafuso. Como uma regra, o parafuso rompe durante o aperto ou nunca se rompe.
O alongamento real do parafuso deve sempre ser usado quando possível especialmente
em carregamentos alternados. De fato, se há necessidade de alta confiança na junta, então, a
pré-carga deve ser sempre determinada pelo alongamento do parafuso.
As recomendações da RB&W para pré-carga são de 60 kpsi para parafusos SAE grau 5
para conexões não permanentes, e os parafusos A 325 (equivalentes aos acima) usando em
aplicações de estrutura devem ser apertados até a carga de prova ou acima (85 kpsi para um
diâmetro de no mínimo 1 pol). Bowman recomenda uma pré-carga de 75% da carga de prova,
que é aproximadamente o mesmo da RB&W para parafusos reutilizados.
Em vista destas, é recomendado tanto para carregamento estático com alternado que o
seguinte critério seja utilizado para a pré-carga:
⎪⎧
0,
75F
Fi
= ⎨
⎪⎩ 0,
90F
onde FProva é a carga de prova, obtida da equação
prova
prova
Fprova = AtSprova
Aqui Sprova é a resistência de prova. Para outros materiais, um valor aproximado será
Sprova = 0,85 Se. Porém, deve-se ter muito cuidado ao utilizar um material fraco em conexões
que utilizam as arruelas.
⎪⎫
⎬
⎪⎭
273

8.3.6 – EXERCÍCIOS RESOLVIDO
1. Calcular o coeficiente da junta abaixo. Na figura abaixo sejam: A = 150 mm;B = 200 mm;
C = 300 mm; D = 20 mm e E = 25 mm. O cilindro é feito de ferro fundido com E = 113 GPa
e a tampa de aço com E = 207 GPa. Foram selecionados dez parafusos M12 ISO 8.8 com
pré-carga de aperto de 75% da carga de prova. Para uma pressão constante de 6 MPa,
qual o valor do fator de carga n neste projeto?
Resolução:
Figura 18 – Exercício resolvido
1-Cálculo da carga externa por parafuso:
−3
2
pA 6× 10 π150
P = = = 10,6 kN
N 10 4
2-Comprimento de pega:
Lpega = D + E = 20 + 25 = 45 mm
3-Comprimento da parte roscada do parafuso:
LT = 2D + 6 L ≤ 125mm
LT = 24 + 6 =30 mm
4-Comprimento do parafuso:
D + E + H = 45 + 10,8 = 55,8 mm
L = 60 mm
5-Comprimento da parte lisa do parafuso:
llisa = L – LT = 60 – 30 = 30 mm
6-Comprimento da parte roscada da pega:
lrp = Lpega – llisa = 45 – 30 = 15 mm
7-Cálculo da área na parte lisa:
274

A lisa
πd
=
4
2
π12
=
4
2
= 113,
04
mm 2
8-Obtenção da área resistente:
At = 84,3 mm 2
9-Cálculo da rigidez das peças:
K
A
A E
lisa t
pa = MN/m
lliso
At
+ Lrp
Alisa
Cálculo de k1, t1 = 20 mm, E = 207 GPa.
k
1
0,577Edπ
= = 4470 MN/m
(1,15 t + D − d)( D + d)
1
ln
(1,15 t1 + D + d)( D − d)
Cálculo de k2, t2 = 2,5 mm, E = 113 GPa.
k
2
=
0,577Edπ
= 59040 MN/m
(1,15 t + D − d)( D + d)
2 ln
(1,15 t2 + D + d)( D − d)
Cálculo de k3, t3 = 22,5 mm, E = 113 GPa.
k
3
1
=
K pe
0,577Edπ
(1,15 t + D − d)( D + d)
3 ln
(1,15 t3 + D + d)( D − d)
1
=
K
1
1
+
K
2
1
+
K
3
= 1498 MN/m
10-Cálculo do coeficiente de junta:
K pa
C = = 0,238
K + K
pa
pe
11-Resistência de prova:
Sprova = 600 Mpa
12-Cálculo da pré-carga:
Fprova = SprovaAt = 50,58 kN
⎧Fi
= 0,
75F
⎪
⎨
⎪Fi
= 0,
90F
⎩
prova
prova
conexão
Fi = 0,75 Fprova = 37,94 kN
13-Cálculo do fator de carga:
= 2343 MN/m
conexão reutilizável
permanente
275

S
n =
prova
C.
P
A F
t
i
=
5,
03
2. Uma peça foi parafusada a uma estrutura de aço para suportar uma carga de tração
flutuante. Os parafusos são de ½ pol. rosca grossa, SAE grau 5, apertados com a pré-
carga recomendada. A rigidez recomendada é de kb = 4,94 Mlb/pol e km = 15,97 Mlb/pol.
a) Determine a carga repetida que pode ser imposta a esta montagem, usando o
critério de Goodman para um fator de segurança 2,0.
b) Calcule o fator de carga baseado na carga obtida em (a).
1-Área resistente:
At = 0,1419 pol 2
2-Resistência de prova:
Sprova = 85 kpsi
3-Limite de resistência a tração:
Srup = 120 kpsi
4-Limite de resistencia a fadiga:
Sf = 18,6 kpsi
5-Pré-carga:
Fi = 0,75Fprova = 0,75 Sprova At = 9,046 kip
6-Coeficiente de junta:
K pa
C = = 0,236
K + K
pa
pe
7-Tensão alternada:
σ − σ CP
σ = = = kpsi
max min a
a 0,832 Pa
2 2 At
8-Tensão média:
σ max + σ min Fi
σ m = = σ a + = 0,832P a + 63,75 kpsi
2
A
9-Resistência alternada:
S
a
F
S i
rup −
At
=
kpsi
S rup 1+
S
f
10-Cálculo da carga alternada:
t
276

Sa Sa
7,55
n = ⇒ σ a = ⇒ 0,832Pa
=
σ n
2
a
Pa = 4,532 klbf
11-Tensão alternada:
σa = 3,77 kpsi
12-Tensão média:
σm = 67,52 kpsi
13-Fator de carga:
S
n =
prova
A − F
t
C.
P
i
=
2,
82
8.3.7 - CARGA DE FADIGA
Figura 19 - Exercício resolvido 2 - cálculo do coeficiente de junta C
Valores médios de fatores de redução da resistência à fadiga, para sessões logo abaixo
da cabeça do parafuso e também para o início da rosca na haste do parafuso. Esses valores já
estão corrigidos e tabelados para a sensibilidade da arruela e acabamentos da superfície.
Projetistas devem perceber que podem aparecer situações onde esses valores devem ser mais
cuidadosamente tratados, já que estes são apenas valores médios. De fato, Peterson observa
que a distribuição das falhas típicas dos parafusos se aproxima de 15% abaixo da cabeça do
parafuso, 20% no final da rosca e 60% na rosca da porca.
277

Na maioria das vezes, o tipo de carregamento de fadiga encontrado na análise da junta
do parafuso é uma carga aplicada externamente, que flutua entre zero e uma força máxima P.
Essa seria uma situação de um cilindro de pressão, onde por exemplo, a pressão existe ou
varia de zero a um valor máximo P. A fim de determinar a tensão alternada e a tensão média
para essa situação, emprega-se a notação: Fmax = Fb e Fmim = Fi. Portanto, a tensão alternada
do parafuso é:
se:
Fpa
− Fi
K pa
σ a = =
2A
K + K
t
pa
pe
P
2A
t
C.
P
=
2A
Então desde que a tensão média é igual à tensão alternada mais a tensão mínima, tem-
Fi CP Fi
σ m = σ a + = +
A 2A
A
t t t
Sabe-se da importância de ter uma pré-carga alta nas juntas aparafusadas. Isso é
especialmente importante em carregamento submetido à fadiga porque faz o primeiro termo da
equação (24), ser relativamente pequeno quando comparado ao segundo termo, que é a tensão
devido a pré-carga. A observação da equação acima mostra que ela é construída por uma
constante Fi / At no eixo da tensão média (Figura 20). À distância AC representada área de
falha e AB área de segurança; então AC / AB é o fator de segurança de acordo com o critério
de Goodman. Então:
Sa
n =
σ
Observamos que a distância AD é igual à Sa, tem-se:
S S
F
i
a = m − (10)
At
A linha modificada de Goodman pode ser dada por:
⎛ ⎞
⎜
S a
S ⎟
m = S rup 1 − (11)
⎜ ⎟
⎝ S f ⎠
a
t
278

Figura 20 - Diagrama de Goodman para parafusos de união
Resolvendo as equações (10) e (11) simultaneamente, temos:
S
a
F
S
i
rup −
At
=
S rup 1 +
S
8.4 - CISALHAMENTO DE PARAFUSOS E REBITES A CARGA EXCÊNTRICA
f
A figura abaixo mostra uma junta parafusada submetida a cisalhamento. A figura 21a a
falha por tração nas peças unidas. A tensão de tração é a carga P dividida pela área líquida da
chapa, isto é a área reduzida de uma quantidade igual à área de todos os furos dos parafusos
ou rebites. Para materiais quebradiços e cargas estáticas devem-se incluir os efeitos da
concentração de tensão.
Sf
(12)
Figura 21 - Tipos de falha por cisalhamento
Srup
279

Os efeitos de concentração de tensão não são considerados em projetos estruturais,
porque as cargas são estáticas e os materiais dúcteis. Na figura 21b ilustra uma falha por
quebra do parafuso ou da chapa. O cálculo para essa tensão, chamada de tensão de mancal é
complicado, devido à distribuição de cargas sobre a superfície cilíndrica do parafuso. Os valores
exatos das forças que agem sobre o parafuso são desconhecidos; por isso, costuma-se
considerar que os componentes das forças distribuem-se uniformemente sobre a projeção da
área de contato do parafuso, tendo então a tensão o seguinte valor: carga P dividida pela área
A, onde A é a área projetada igual a t x d, onde t é a espessura da chapa mais fina e d o
diâmetro do parafuso ou rebite. A figura 21c mostra a falha do parafuso por cisalhamento puro,
onde a tensão é a carga P dividida pela área A,sendo neste caso a área A da seção reta do
parafuso.
CARGA EXCÊNTRICA NO PARAFUSO
Um exemplo de carga excêntrica nos parafusos é mostrado na Figura 22. Isso é uma
parte de estrutura de uma máquina (viga A), sujeita à ação de flexão. Nesse caso, a viga é
unida a membros verticais em suas extremidades através dos parafusos. Reconhecer-se-á a
representação esquemática da Figura 22, com uma viga, com ambas as extremidades fixas,
com um momento de reação M e com reações a força cisalhante V em suas extremidades.
Para conveniência os parafusos de uma ponta de viga, foram desenhados em maior
escala na Figura 22c. O ponto O representa o centróide do grupo de todos os parafusos desse
exemplo, todos os parafusos possuem o mesmo diâmetro. A carga total em todos os parafusos
será calculada em três passos. No primeiro passo a força cisalhante é dividida igualmente entre
os parafusos, de maneira que em cada parafuso F1= V / n, onde n é o número total de
parafusos no grupo e F1 é chamada força de cisalhamento primária.
Nota-se que em uma distribuição igual da força direita para os parafusos, assume um
membro absolutamente rígido. O arranjo do parafuso ou o tamanho e forma dos membros,
justificam o uso de outras possibilidades, como a divisão da carga.
A carga do momento ou cisalhamento secundário é a carga adicional em cada parafuso
devido ao momento M. Se rA, rB, rC,... são as distâncias radiais da centróide ao centro de cada
parafuso o momento e carga de momento são mostradas como se segue:
M = F2ArA + F2BrB + F2CrC + ... (13)
Onde F2 é chamada carga de momento ou cisalhamento secundário.
280

Figura 22 - Parafusos e rebites submetidos a cisalhamento combinado
Figura 23 - Parafusos e rebites submetidos a cisalhamento combinado
A força suportada por cada parafuso depende da distância radial ou centróide; quer
dizer, no parafuso mais distante do centróide se aplica maior carga, e no parafuso mais próximo
menor carga podemos então escreve:
F
F
F
2B
2C
2 A = =
(14)
rB
rC
Resolvendo as equações (13) e (14) simultaneamente obtemos:
Mrm
F 2 A =
(15)
2 2 2
r + r + r + ...
A
B
C
Onde m refere-se a um parafuso particular, onde se deseja determinar a carga.
281

No terceiro passo as forças de cisalhamento primária e secundária são somadas
vetorialmente, para obter a carga resultante em cada parafuso. Desde que todos os parafusos
ou rebites são geralmente de igual tamanho, somente o parafuso com carga máxima deve ser
considerado. Quando a carga máxima for encontrada, a resistência deve ser determinada
usando os métodos já descritos.
8.5 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Um parafuso de potencia de 30mm de diâmetro e rosca simples, passo de 6 mm possui
um apoio axial de diâmetro médio de 40 mm . Os coeficientes de atrito cinético na rosca
e no apoio são 0,15 e 0,1 respectivamente.
a) Calcule o torque necessário para elevar a carga de 100 kN. [501 Nm]
b) Se o parafuso gira a 1 Hz determine a potência necessária ao parafuso e a
eficiência do parafuso e a eficiência do parafuso e apoio combinados Resposta
[3,15 kW 19%]
c) Se o atrito de apoio é eliminado por um rolamento axial, mostre que o parafuso é
auto-frenante e determine o torque necessário para abaixar a carga . Resposta
[106 Nm]
d) O parafuso é lubrificado completamente de tal forma que o coeficiente de atrito
diminua 50%. Qual o efeito da lubrificação na performance aqui?
2. A tampa de um cilindro pressurizado é fixada por meio de 10 parafusos cuja constante
de rigidez é 1/4 da rigidez total da junta. Cada um dos parafusos é submetido a uma
carga inicial de aperto de 5 kN. Após isto, uma carga externa de 20 kN é aplicada à
tampa pela pressão contida no cilindro. Plotar a variação da carga do parafuso e da
junta em função da carga externa, avaliar a máxima carga atuante em cada parafuso, a
mínima carga total na junta e a carga de separação. Resposta [5,4; 34; 62,5
kN]
Figura 24 – Exercício proposto 2
282

3. Um braçelete de aço é aparafusado a uma peça de aço no teto por meio de dois
parafusos de classe 8.8 e pega de 48 mm de comprimento. Qual o torque de aperto
necessário a ser utilizado e qual a carga correspondente em cada parafuso quando uma
carga externa de 48 kN é aplicada ?Resposta [480 Nm; 125 kN]
Figura 25 – Exercício proposto 3
4. Uma tampa de vaso de pressão é fixada por meio de idênticos parafusos de união. A
pressão atuante do fluido é de 6 MPa. Selecione parafusos de classe 8.8, utilizando um
fator de segurança 3.
Figura 26 – Exercício proposto 4
5. A extremidade de uma biela de aço é fixada por meio de dois parafusos de aço,classe
8.8 M12 x 1,25 (rosca fina). Uma carga reversa de 20 kN é transmitida entre a biela e o
mancal do eixo virabrequim. A parte da biela que envolve cada parafusos,elasticamente
comprimida é suposta como tendo uma área anular de 300 mm 2 .
Figura 27 – Exercício proposto 4
Determine o fator de segurança para a carga reversa, com
a) Carga inicial zero no parafuso . Resposta [2,0]
b) Carga inicial no parafuso necessária para evitar a separação. Resposta [6,8]
c) Parafusos submetidos a um aperto inicial de 70% da carga de prova. Resposta [3,6]
d) Estime o torque necessário para o aperto para (a). Resposta [91 Nm]
283

6. Os componentes de um atuador hidráulico são de aço - o cilindro possui um diâmetro D
= 100 mm, espessura da parede t = 10 e comprimento L = 300 mm. A espessura dos
braceletes é w = 20 mm, e são conectados juntos com 5 parafusos M12x1,75, grau 5,8,
apertados com 75% da carga de prova. Em operação o cilindro é pressurizado entre 0 e
4 MPa.
Figura 28 – Exercício proposto 6
a) Determine a rigidez dos parafusos e da junta supondo que o cilindro é comprimido
uniformemente e que as extremidades dos braceletes são rígidas. Resposta [ 344,
2240 kN/mm]
b) Calcule as tensões média e alternada nos parafusos. Resposta [ 289, 4.7 MPa]
c) Calcule o limite de resistência a fadiga dos parafusos supondo uma confiabilidade
de 50%. Resposta [ 115 MPa]
d) Quais os fatores de segurança contra falha por fadiga e falha estática? Resposta [
8.3, 9.8]
7. Uma junta parafusada consiste de flanges de aço de largura w = 12 mm com uma junta
de diâmetro interno Di = 150mm, diâmetro externo Do= 250mm e espessura t = 2 mm.
O material da junta tem uma constante de rigidez de 100 MPa/mm com coeficiente de
junta = 1.5 e Sy = 2 MPa. Desprezando a rotação, avalie a conveniência da junta em
resistir pressão fluida flutuando entre 0 e 1 MPa, se seis parafusos de aço M10x1.5
classe 5.8 forem utilizados.
Figura 29 – Exercício proposto 7
284

CAPÍTULO 09 - PROJETO DE SOLDAS
9.1 - INTRODUÇÃO
A solda, é um processo de fabricação, que nos lembra que existem muitas facetas em
um projeto em adição à análise das tensões. De fato, a análise das tensões e o
dimensionamento são, com freqüência, as menores partes do trabalho. Na maioria das vezes,
os projetos são afetados de modo algo sensível pelos processos de fabricação, que neste livro
devem ser postos de lado por falta de espaço. Entretanto, uma vez que a análise convencional
de tensões nas soldas, freqüentemente, apresenta dificuldade e tratamento especial,
abordaremos abreviadamente soldas, dando uma menor ênfase a ela como processo. O efeito
deste processo de fabricação sobre o projeto é suficientemente grande para dar, às máquinas e
aos elementos de máquina soldados, um aspecto bem característico. A escolha de solda,
fundição, forjamento, etc., é um problema econômico que pode ser respondido corretamente de
diferentes maneiras, dependendo das circunstâncias locais. A solda pode ser um processo
menos dispendioso onde o custo de modelos para fundição venha a ser uma percentagem
grande do custo total, ou onde existam dificuldades de usinagem e fundição.
9.2 – TIPOS COMUNS DE JUNTAS SOLDADAS
Alguns tipos comuns de juntas soldadas são mostrados na figura 1. As juntas podem ou
não ser reforçadas, como se vê na figura 1a e 1b. As soldas são também classificadas de
acordo com a posição horizontal, vertical, inclinada, etc. Diz-se que uma junta é fechada
quando as partes a unir estão em contato na junção, como na figura 1c; é aberta quando as
partes a unir estão separadas na junção, como na figura 1a.
Figura 1 - Tipos comuns de juntas soldadas.
285

(a) Junta de topo. As chapas para junta de topo podem não ser chanfradas, quando
delgadas, chanfradas num lado apenas ou chanfradas em ambos os lados como na
figura 1a. O formato do chanfro pode também ser outro que não um V; um U, por
exemplo, simples ou duplo, aberto ou fechado. O chanfro em U é preferido,
especialmente para soldas profundas. Uma junta de topo pode ser reforçada, em ambos
os lados, em um lado apenas, ou não ter reforço. Um cordão de solda nivelado com as
chapas em ambos os lados, isto é, sem reforços, é melhor para resistir às tensões
repetidas, porque o reforço é uma descontinuidade que acarreta concentração de
tensões. Se uma junta de topo é submetida a uma tensão de flexão em relação ao eixo
da solda, uma tira é, algumas vezes, soldada em um ou ambos os lados para reforçá-la.
Deve-se evitar este tipo de carga, se possível.
(b) Junta sobreposta. Este tipo é mostrado na figura 1b, uma é uma solda em ângulo sem
reforço, a outra reforçada. A solda em ângulo padrão tem uma seção em triângulo reto
isósceles, como mostrado, com os catetos do triângulo iguais à espessura da placa. A
espessura de penetração t, figura 1, é usada nos cálculos de resistência, porém o
tamanho da solda é a sua dimensão b ou perna. Uma solda reforçada é aquela que tem
uma penetração t maior que b cos 45º. Para uma quantidade particular de metal de
solda, uma solda em ângulo com uma superfície côncava é relativamente fraca.
Entretanto, o canto vivo onde a solda se une a superfície da chapa soldada, figura 1b, é
ponto de concentração de tensão. Se a junta é submetida a tensões repetidas, o custo
do metal de solda extra, necessário para confeccionar uma união com concordância
nestes pontos, pode ser o compensador.
(c) Junta em T. A chapa A, figura 1c, pode ser chanfrada num lado, em ambos os lados ou
pode ser chanfrada, como na figura 2c. Se bem que as juntas em T devam, de
preferência, ser soldadas em ambos os lados, isto nem sempre é possível, pois depende
da acessibilidade.
(d) Junta de Quina ou em Cantoneira. Se uma solda em ângulo é colocada pelo lado de
dentro de uma junção em quina, ela é normalmente uma solda ligeira, como mostrado
na figura 1d. A penetração T desta solda é da ordem de 1,35 vezes a espessura da
chapa. É mais barato dobrar a chapa para fazer um canto do que solda-la.
(e) Solda de Beiradas. Soldas, figura 1e, provavelmente não são usadas para placas mais
espessas que, aproximadamente, ¼ pol.
286

(f) Soldas de Tampão. Se uma placa apóia-se sobre uma outra e se abrem orifícios que
são enchidos ou parcialmente enchidos com metal de solda, obtemos o que é chamada
uma solda de tampão.
(g) Solda Intermitente. Uma solda intermitente típica tem pequena extensão de solda, da
ordem de 2 ou 3 pol. de comprimento com espaçamento dos centros de 6 polegadas. A
extensão mínima deve ser ao menos quatro vezes a dimensão b da perna e nunca
menor que 1 pol. O espaçamento não deve ser maior que 16 vezes a espessura do
elemento mais delgado para trabalho à compressão, nem maior que 32 vezes para
outros tipos de tensões. Este método de solda economiza o custo onde é desnecessária
uma solda contínua que pela norma P-TB-2, da ABNT, ainda em estágio experimental,
apresenta dois tipos de solda intermitente: a solda em cadeia e a solda em escalão,
assim definidas: solda em cadeia – solda em ângulo usada nas juntas de cordões
intermitentes que coincidem entre si, de tal modo que a um cordão sempre se opõe
outro; solda em escalão – solda em ângulo usada nas juntas T, composta de cordões
intermitentes que se alternam entre si, de tal modo que a um cordão sempre se opõe
uma parte não-soldada.
(h) Solda de Ponteio. Uma solda de ponteio é uma solda intermitente, um ponto de solda
aqui e ali ao longo da junta, usada para manter elementos em posição para fins de
montagem ou para a operação principal de solda.
Figura 2 – Juntas soldadas.
287

Inadequado Adequado
Tabela 01 – Tipos de solda
288

Inadequado Adequado
Tabela 01 (continuação) – Tipos de solda
289

Inadequado Adequado
Tabela 01 (continuação) – Tipos de solda
290

Inadequado Adequado
Tabela 01 (continuação) – Tipos de solda
291

Inadequado Adequado
Tabela 01 (continuação) – Tipos de solda
292

Inadequado Adequado
Tabela 01 (continuação) – Tipos de solda
9.3 - CÁLCULO DAS TENSÕES – SOLDAS CARREGADAS CENTRALMENTE
Muitas soldas, se não a maior parte, são feitas sem um cálculo prévio da tensão. A
resistência da solda pode mesmo não ter significado. Entretanto, devem ser verificadas no que
diz respeito à resistência mecânica sempre que forem destinadas a suportar cargas conhecidas
ou estimadas. Os métodos convencionais de calcular tensões, nas soldas, não estão sempre de
acordo com as análises corretas, porém têm as vantagens da simplicidade e concordância
razoável com as experiências. Uma vez que a falha da solda ocorre normalmente ao longo da
penetração t, esta seção é usada nas equações de resistência.
293

(a) Soldas de Topo. A equação da resistência para projeto de soldas de topo, em tração,
figura 2a, é
F = σttL
Onde L é a extensão do cordão e t a espessura da chapa (a espessura do reforço não
está incluída ). Em reservatório de pressão, as soldas, as soldas de topo são calculadas em
termos de suas resistências em relação à resistência da chapa. Os testes apontam que as
soldas de topo reforçadas em aço doce podem ser consideradas com a mesma resistência
estática que as placas que estão unindo, porém é mais seguro adotar uma eficiência da junta
de 90% ou menos.
(b) Solda em Ângulo Carregada Transversalmente. A área de penetração de uma solda da
figura 2b ou 2c é tL = (b cós 45º) L; para dois cordões, é 2tL, e a equação da resistência
torna-se :
F = τ(2tL) = 2Lb cos45º
A tensão em soldas com o carregamento representado é considerada de cisalhamento.
Uma vez que a junta sobreposta, figura 2b, está sujeita à flexão, bem como à tensão admissível
moderada.
(c) Solda em Ângulo Carregada Longitudinalmente. É sabido que as tensões nas
extremidades de uma solda, carregada como se vê na figura 2d são muito maiores que a
tensão média sobre a extensão da solda. Quanto mais extensa a solda, maior é a
discrepância entre as tensões máxima é média. A tensão de cisalhamento média em tais
soldas é calculada por :
F = τ(2tL) = 2τbL cos45º
Esta pode ser usada para soldas curtas deste tipo. Em dúvida, considerar, para uma
carga estática, a tensão máxima cerca de 30% maior que a média.
9.4 - SOLDAS EM ÂNGULO – CARGA EXCÊNTRICA
Existem muitas maneiras de se aplicar uma carga excêntrica em soldas. A seguir,
analisaremos alguns casos.
(a) 1º caso, figura 2. O momento fletor na solda é M = Fa. O módulo de resistência da seção
é tL 2 /6 para cada cordão ou tl 2 /3 para ambos os cordões. Substituindo estes valores na
fórmula do momento fletor, temos para a tensão normal :
σ = (M/Z) = (3Fa/tL 2 ) = (3Fa/bL 2 cos45º) = (4,24Fa/bl 2 )
294

Admitindo a tensão de cisalhamento distribuída uniformemente, obtemos :
τ = (F/A) = (F/2tL) = (F/2Lb cos45º) = (0,707F/Lb)
Usando a teoria da tensão de cisalhamento máxima, obtemos a seguinte tensão :
τmax = [τ 2 +(σ/2) 2 ] 1/2 = [(F/2tL) 2 +(3Fa/2tL 2 ) 2 ] 1/2 ,
Onde se pode encontrar a extensão de solda L necessária para uma tensão admissível τmax ou
vice-versa.
(b) 2º caso, figura 2. Um modo de proceder, quando duas ou mais soldas estão impedindo
uma rotação, é admitir que o centro de rotação está no centro de gravidade G do cordão
de solda. Quando o metal da solda está disposto assimetricamente, pode ser usado o
centro de gravidade das áreas de penetração, ponto G da figura 3. Em seguida, admitir,
também, que a tensão devida ao momento Fe, em qualquer ponto de uma solda, é
proporcional à sua distância de G; isto é, τ/ρ = τ1/ρ` onde τ é a tensão, num ponto
qualquer B, e τ1 é a tensão máxima que ocorre no raio máximo ρ`, no ponto H. Desta
forma, em B a força de cisalhamento perpendicular a ρ é tomada
Figura 3 - Força de cisalhamento perpendicular
Como τ dA , e o momento resistente desta força em relação a G é ρτdA. Usando τ =
ρτ1/ρ` e igualando o momento aplicado Fe ao momento resistente, obtemos :
Fe = ∫ρτdA = (τ1/ρ`)∫ρ 2 dA,
Onde observamos que ∫ρ 2 dA é o momento de inércia polar, JG de uma área que
tomamos como área de penetração em relação a G. A equação acima pode conseqüentemente
ser escrita da seguinte forma :
295

Fe = (τ1 JG)/ρ`
Para obter JG recordemos que o momento de inércia de uma área delgada longa, em
relação a um eixo que passa pelo centro de gravidade O e perpendicular à área é J` = AL 2 /12,
onde L é o comprimento da área e a outra dimensão (penetração) é bastante pequena,
comparada com L. Também, recordando o teorema dos eixos paralelos, (J = J`+ Ad 2 ), obtemos,
figura 3 :
JG = J`+ Ad2 = (AL2/12) + Ar2,
onde r é a distância entre o centro de gravidade O de uma área de penetração e o centro de
gravidade G de todas estas áreas. Caso as soldas inferior e superior tiverem o mesmo tamanho
e a mesma extensão, o JG total será duas vezes o dado pela equação. Em geral, o JG total é a
soma dos momentos de inércia polares de todas as áreas de penetração, em relação a G, e o
valor JG de da equação deve ser este valor total.
Agora, se o momento for produzido por uma carga F, como se vê na figura 3, esta força
é considerada como induzindo também, nas soldas, uma tensão de cisalhamento média
orientada para baixo :
τ 2 = (F/A)
Onde A é a área total das penetrações. Se estas tensões de cisalhamento atuam nos sentidos
mostrados em H, figura 3, a resultante HN de é obtida pela lei dos co-senos, como :
τmax = (τ1 2 + τ2 2 + 2τ1τ2cosθ) 1/2
É tomada como a tensão de cisalhamento máxima. A análise precedente é aproximada e, além
disso, pressupõe que não haja tendência da chapa torcer. Pela natureza da análise, é
suficientemente acurado considerar os vários pontos P, O e H como se estivessem situados ao
longo da borda da chapa.
Usando a imaginação na figura 4, podemos fazer análises mais simples ou mais
complicadas que a apresentada. Esta, entretanto, é perfeitamente satisfatória.
296

Figura 4 - Tensão de cisalhamento
(c) 3º caso, figura 5. Este é o caso de uma solda em ângulo mas anelar, sendo submetida a
um momento de flexão M. Seja a σ tensão de tração sobre uma extensão de solda
elementar r dθ, figura 4. A força correspondente é dF = σdA = σtr dθ onde,
Figura 5 - Solda em ângulo
como de costume, a área é baseada na penetração t. As tensões no cordão são tomadas
proporcionais à distância do plano neutro, que é o plano horizontal que passa pelo centro de
gravidade. Se a tensão máxima, é σ1, temos : σ/r = σ/(r senθ) ou σ = σ1 senθ. Substituindo este
valor de σ na expressão de dF, obtemos :
dF = σ1 senθ tr dθ
Multiplicando ambos os membros por r senθ, temos :
∫(dF)(r senθ) = σ1 tr 2 ∫ sen 2 θ dθ
onde o primeiro membro é igual ao momento aplicado M, e o segundo membro é o momento
resistente. A integração dá :
M = σ1 tr 2 ∫ 2π sen 2 θ dθ = σ1 tr 2 π
σ1 = (4M/πtD 2 ) = 4M/π(b cos45º)D 2 = (5,66M/πbD 2 )
297

9.5 – TORÇÃO NAS JUNTAS SOLDADAS
A figura 2 ilustra uma viga em balanço com solda de comprimento L a uma coluna por 2
filetes de solda, força de cisalhamento F e um momento M. A força cisalhante produz
cisalhamento primário nas soldas de valor:
onde A é a área da garganta de todas as soldas.
τ’ = F / A
Figura 6 - Isto é uma conexão de momentos; tal conexão produz torção nas soldas
O momento no apoio produz cisalhamento secundário ou torção nas soldas e esta
tensão é dada pela equação: τ’’ = M.r/J, onde r é a distância do centróide do grupo de soldas ao
ponto da solda de interesse e J é o segundo momento polar de inércia do grupo de soldas em
relação ao c.g. do grupo. Quando se conhece o tamanho das soldas, estas equações podem
ser resolvidas e os resultados combinados para se obter a maior tensão cisalhante. Note que r
é usualmente a maior distância do c.g. do grupo de soldas.
A vantagem de tratar o tamanho da solda como uma linha é que o valor de Ju é o
mesmo com relação ao
tamanho da solda. Como a largura da garganta do filete de solda é 0.707h, a relação entre J e o
valor da unidade é:
J = 0.707h.Ju
na qual Ju é encontrado por métodos convencionais para uma área que tenha largura da
unidade. A transferência da fórmula para Ju deve ser empregada quando a solda ocorrer em
298

grupos. A tabela 1 lista as áreas das gargantas e o momento unitário polar de área para os
filetes de solda mais comumente encontrados. O exemplo que se segue é típico de cálculos
normalmente feitos.
9.6 - CARREGAMENTO DINÂMICO
Os princípios de projeto para cargas variáveis como explanado no capitulo 04 podem ser
aplicados às uniões soldadas quando for possível uma avaliação segura das tensões atuantes.
A resistência a fadiga de uma junta de aço soldadas pode ser estimada como a metade de sua
resistência a ruptura. Os fatores de concentração de tensão podem ser obtidos por métodos
experimentais e normalizados. Testes de fadiga de soldas tem dados alguns resultados como:
Para solda de topo reforçadas , Kf=1,2
Ponta de solda em ângulo transversal Kf=1,5
Extremidade de solda em ângulo longitudinal Kf=2,7
299

Tabela 2 - Propriedades de Torção das Soldas de Filete conforme referëncia [67]
9.7 – FLEXÃO EM JUNTAS SOLDADAS
A figura 17a nos mostra uma viga em balanço soldada em um suporte por um filete de
solda no topo e no fundo Um diagrama de corpo livre de um cordão de solda nos mostra uma
força de reação de cisalhamento F e uma reação de momento M. A força de cisalhamento
produz um cisalhamento primário nas soldas de magnitude:
τ’ = F / A (6)
300

onde A é a área total da garganta.
O momento M produz uma tensão normal de dobramento nas soldas. Embora não
necessário, é de costume na análise de tensões na solda assumir que esta tensão age na
direção normal à área da garganta. Ao se tratar as duas soldas da figura 8b como linhas,
encontramos o segundo momento unitário de área sendo:
2
bd
Iu = (7)
2
Então o segundo momento de área baseado na garganta da solda é:
A tensão normal é:
2
bd
I = 0,
707h
(8)
2
Figura 8 - Uma viga em Balanço soldada a um suporte no topo e no fundo
Mc M ( d / 2)
1.
414M
τ = σ = =
=
(9)
2
I 0,
707bd
h / 2 bdh
O segundo momento de área na equação (9) é baseado na distância d entre as duas
soldas. Se este momento é encontrado tratando-se as duas soldas como retângulos, à distância
entre os centróides da solda seria (d + h). Isto produziria um momento levemente maior e
resultaria em um menor valor da tensão σ. Assim o método de tratamento de soldas como
linhas produz resultados melhores. Talvez a segurança adicional é apropriada na visualização
da distribuição de tensões.
Uma vez que as componentes σ e τ das tensões foram encontradas as soldas sujeitas
ao dobramento, elas devem podem ser combinadas através do uso do diagrama do círculo de
Mohr para achar as tensões principais ou a máxima tensão de cisalhamento. Então uma teoria
de falha apropriada é aplicada para determinar probabilidade de falha ou segurança.
A tabela 3 lista as propriedades de dobramento mais prováveis de serem encontradas
na análise de cordões de solda.
301

9.8 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Tabela 3 - Propriedades de dobramento, conforme referëncia [67]
1. Um bracelete como mostrado na figura abaixo é feito de aço estrutural e suporta uma
carga repetida de 9 kN a uma distância de a=25 mm da parede. Qual deve ser o
comprimento L da solda com espessura de 9.5 mm para resistir a esta carga atuante?
Figura 9 – Exercício proposto 1
302

2. Uma peça é feita de chapas placas submetidas a flexão e soldadas com solda E6020.
Uma carga F constante de 23 kN, L=460 mm (comprimento), altura h=100 mm e a=150
mm. (a) Utilizando um fator de segurança N=3,75 para a tensão de cisalhamento
admissível do projeto(80% do Limite de resistência a tração),qual a espessura do
cordão de solda ?
Figura 10 – Exercício proposto 2
3. A peça abaixo deverá suportar uma carga F=80 kN sem torção na solda de eletrodo
E6010. A placa possue uma altura de L2=250 mm (10 pol), Supondo valor de L1= 130
mm(5 pol) calcule a espessura do cordão de solda. A distância do ponto de aplicação da
carga até a parede é de 286 mm (11,25 pol).
Figura 11 – Exercício proposto 3
303

4. Qual a junta mais efetiva, a transversal ou a longitudinal, e de quanto ? Resposta
[Transversal,22%]
Figura 12 – Exercício proposto 4
5. A tensão normal admissível para as soldas acima é de 240 MPa. Determine a máxima
carga admissível F, em cada caso. Resposta [ 100, 35.3, 14.5, 10.3 kN ]
Figura 22 – Exercício proposto 5
6. As duas vigas são cada uma soldadas em um suporte fixo como mostrado. Calcule a
máxima tensão cisalhante em cada uma das soldas.
Figura 13 – Exercício proposto 6
7. Uma força de 7,5 kN atua na peça mostrada ao lado. Qual a máxima tensão cisalhante
na solda?
Figura 14 – Exercício proposto 7
.
304

8. A viga em balanço de seção transversal circular, é soldada no suporte usando eletrodod
E48xx e carregada por uma força de valor F, inclinada em [ 4 -3 -12 ] como mostra a
figura. Qual o máximo valor da força para um fator de segurança 1,5 ? Resposta [ 19.7
kN]
Figura 15 – Exercício proposto 8
9. A viga em balanço horizontal de seção transversal triangular é soldada a uma parede
vertical e suporta um peso de 15 kN como mostra a figura. Qual a espessura do filete de
solda para uma tensão admissível ao cisalhamento de 250 MPa na junta ?The
horizontal cantilever of triangular cross-section is fillet welded to a vertical wall and
supports a weight of 15 kN as sketched. Resposta [ 4 mm]
Figura 16 – Exercício proposto 9
305

10. A viga Z é unida obliquamente ao plano apoiada por dois filetes idênticos de soldas, um
em cada flange, e carregada por um momento M de 1400 Nm, cujo eixo está indicado na
figura. Para uma tensão de projeto de 250 MPa, qual a espessura do filete necessário?
Figura 17 – Exercício proposto 10
306

CAPITULO 10 - TIPOS DE ENGRENAGENS E RELAÇÕES
CINEMÁTICAS
10.1 - INTRODUÇÃO
Engrenagens são usadas para transmitir torque e velocidade angular em diversas
aplicações. Existem várias opções de engrenagens de acordo com o uso a qual ela se destina.
A maneira mais fácil de se transmitir rotação motora de um eixo a outro é através de
dois cilindros (figura 1). Eles podem se tocar tanto internamente como externamente. Se existir
atrito suficiente entre os dois cilindros o mecanismo vai funcionar bem. Mas a partir do momento
que o torque transferido for maior que o atrito ocorrerá deslizamento.
Figura 1 - Transmissão de rotações por contato direto,dois cilindros
Com o objetivo de se aumentar o atrito entre os cilindros, fez-se necessária a utilização
de dentes que possibilitam uma transmissão mais eficiente e com maior torque. Nasce assim a
engrenagem. Todo estudo da engrenagem estará concentrado no estudo de seus dentes, iguais
em uma mesma engrenagem, relativo à sua geometria e resistência.
As engrenagens como elementos de transmissão de potência se apresentam nos
seguintes tipos básicos:
307

10.2 - ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
10.2.1 - DEFINIÇÕES
Figura 2 – Engrenagens cilíndricas
Círculo primitivo é a base do dimensionamento das engrenagens e seu diâmetro
caracteriza a engrenagem (figura 1). As rodas conjugadas usualmente têm seus círculos
primitivos tangentes, se bem que esta condição não seja necessária no caso de engrenagens
de perfil evolvental.
A circunferência externa também chamada de cabeça do addendum ou externa, limita
as extremidades externas dos dentes.O addendum ou altura da cabeça do dente é a distância
radial entre as circunferências externa e primitiva.O círculo da raiz é o círculo que passa pelo
fundo dos vãos entre os dentes.O deddendum ou altura do pé do dente é a distância entre os
círculos primitivo e de raiz.
A folga do fundo é a distância radial entre a circunferência de truncamento e a da raiz.
Figura 3 -típico dente de engrenagem cilíndrica evolvental
308

A figura 3 apresenta apresenta o dente evolvental de uma engreangem cilíndrica de
dentes retos,onde:
de = diâmetro externo
di = diâmetro interno
dp = diâmetro primitivo
a = addendum
d = deddendum
c = folga
F = largura
p = passo
rf = raio do filete
Espessura do dente é o comprimento do arco da circunferência primitiva, compreendido
entre os flancos do mesmo dente.
O vão dos dentes é a distância tomada em arco sobre o círculo primitivo entre dois
flancos defrontantes de dentes consecutivos.
A folga no vão é a diferença entre o vão dos dentes de uma engrenagem e a espessura
do dente da engrenagem conjugada.
A face do dente é a parte de superfície do dente limitada pelo cilindro primitivo e pelo
cilindro do topo.
A espessura da engrenagem é a largura da engrenagem medida axialmente (é a
distância entre as faces laterais dos dentes, medida paralelamente ao eixo da engrenagem).
O flanco do dente é a superfície do dente entre os cilindros primitivo e o da raiz.O topo é
a superfície superior do dente. O fundo do vão é a superfície da base do vão do dente.Quando
duas engrenagens estão acopladas, a menor é chamada pinhão e a maior simplesmente
engrenagem ou coroa.
O ângulo de ação é o ângulo que a engrenagem percorre enquanto um determinado par
de dentes fica engrenado, isto é, do primeiro ao último ponto de contato. O ângulo de
aproximação ou de entrada é o ângulo que a engrenagem gira desde o instante em que um
determinado par de dentes entra em contato até o momento em que este contato se faz sobre a
linha de centros.
O ângulo de afastamento é o ângulo que a engrenagem gira desde o instante em que
um determinado par de dentes atinge o ponto sobre a linha de centros, até que eles abandonem
o contato.
309

10.2.2 – RAZÃO DE VELOCIDADES
A razão ou relação de velocidades ou relação de transmissão é a velocidade angular da
engrenagem motora dividida pela velocidade angular da engrenagem comandada. Para
engrenagens de dentes retos está razão varia inversamente com os diâmetros primitivos e com
o número de dentes.
10.2.3 - O MÓDULO
N
N
1
relação de velocidades
= e = =
Em toda engrenagem existe uma relação constante relacionando o número de dentes
(N) e o diâmetro primitivo (dp). No sistema métrico esta relação é chamada de módulo m (em
milímetro) e no sistema inglês de passo diametral (número de dentes por polegada). Por outro
lado o passo é definido como o comprimento do círculo dividido pelo número de dentes. Assim:
Sistema Métrico Sistema Inglês
2
D
D
m = dp/N P = N/dp
p = π.dp/N p = π.dp/N
p = π.N p . P = π
Tabela 1 – Módulo no sistema inglês e métrico
A tabela a seguir mostra os principais passos diametrais (P) e módulos (m)
padronizados, necessários, pois às ferramentas usadas para usinar os dentes são também
padronizados em função destes números.
Módulo m
[m]
Passo
P [1/in]
1 1.25 1.5 2 2.5 3 4 5 6 8 10 12 16 20 25
2 2 ¼ 2 ½ 3 4 6 8 10 12 16 20 24 32 40 48
Tabela 2 – Módulo e passo
2
1
310

Descrição
Fórmula
Sistema métrico [mm] Sistema inglês [pol]
Addendum m 1/P
Deddendum 1.25 × m 1.25 / P
Diâmetro do pinhão m × Np NP / P
Diâmetro da coroa m × Ng NG / P
Distância entre centros (dg +dp)/2 ( dG + dP ) / 2
Altura do dente 2.25 × m 2.25 / P
Diâmetro ext. do pinhão dp + 2a = m (Np + 2) dP + 2a
Diâmetro ext da coroa dg + 2a = m (Ng + 2) dG + 2a
Folga 0.25 × m 0.25 / P
Raio do filete 0.30 × m 0.30 / P
Diâmetro base Db = dp × cos θ db = dP × cos θ
Número mínimo de dentes 12 a 15 12 a 15
Tabela 3 – Fórmulas
10.3 - ENGRENAGENS CILÍNDRICAS HELICOIDAIS
Figura 4 - Esquema de um par de dentes helicoidais com eixos não paralelos
A figura 4 apresenta o princípio de funcionamento das engrenagens cilíndricas de dentes
retos. Para a análise das relações de velocidades entre duas engrenagens cilíndricas de dentes
helicoidais a figura 5 apresenta um esquema explicativo: AB - se deslocou para A’B’ - A’B’//AB
311

AB - segmento de reta, com inclinação qualquer, pertencente aos dois planos.
M - pertence aos dois planos
M - -do plano (1) se deslocou para M’
M - do plano (2) -se deslocou para M”
Figura 5 - Análise de velocidades em dois dentes helicoidais em contato
10.3.1 - RELAÇÃO DE VELOCIDADES
Seja: ε = ângulo formado pelos eixos, no espaço.
α1 = ângulo formado pelo eixo de 1 com a linha AB que é o angulo de inclinação da hélice da
roda 1.
α2 = ângulo formado pelo eixo de 2 com a linha AB que é o ângulo de inclinação da hélice da
roda 2.
v1 e v2 = velocidade M nos planos 1 e 2, respectivamente.
nn - normal à linha AB
312

TEOREMA
Figura 6 - Análise de engrenagens cilíndricas helicoidais
As projeções das velocidades absolutas de dois corpos, sobre a tangente comum, no
ponto de contato, são iguais (figura 6).
AB - tangente comum
nn - normal à tangente comum AB
vn – v1 . cos α1 = v2 . cos α2
w1 . r1 cos α1 = w2 . r2 cos α2
w
w
1
2
r2
⋅ cosα
2 =
r ⋅ cosα
1
O dente de uma engrenagem cilíndrica reta pode ser considerado gerado pela
translação do perfil envolvente segundo a direção do eixo da engrenagem.
O dente da engrenagem cilíndrica helicoidal é gerado pela translação do perfil
envolvente que se move segundo uma hélice em torno do eixo da engrenagem.
Em cada plano normal ao eixo da engrenagem, o perfil será uma envolvente do circulo,
e como tal será conjugado com uma (engrenagem) cremalheira de flancos retilíneos. Os perfis
dos dentes da cremalheira, são porém, deslocados, uns em relação aos outros, obtendo-os,
para a cremalheira, perfis trapezoidais inclinados segundo uma reta que faz um ângulo a com o
eixo da roda.
R'⋅M
'
tan β
f =
R'⋅S
'
1
313

R ⋅ M R'⋅M
'
tan β = = ⋅ cosα
R ⋅ S R'⋅S
'
n
tan βn
tan β f =
cosα
Figura 7 – Ângulos de pressão e passos para engrenagens helicoidais
10.3.2 - PASSO NORMAL E PASSO FRONTAL - MÓDULOS
Pn = Pf . cos α Mn = mf . cos α
Diâmetro Primitivo
M
cosα
n
d = mf – z ∴ d = ⋅ Z
NOTA: A partir da relação de velocidades obtida anteriormente podemos escrever:
Mas: Mf2 . cos α2 = Mf1 . cos α1 = Mn
Portanto:
W1
λ2
⋅ cosα
M 2 = =
W λ ⋅ cosα
M
2
1
W
W
1
2
1
1
f 2
f 1
1
⋅ N
⋅ N
d2
⋅ cosα
2 N
= =
d ⋅ cosα
N
2
1
⋅ cosα
⋅ cosα
2
1
2
1
314

Seja:
Mas:
r - raio do cilindro primitivo
Figura 8 - Cilindro com detalhe para engrenamento helicoidal
ρ - raio de curvatura da hélice abcde.
ρ = r/cos 2 α (Analítica)
2⋅π
⋅r
= N
p ⋅ f
f
2⋅π
⋅ ρ 2⋅π
⋅ r 2⋅π
⋅ r
N = =
= 3
3
p ⋅ n p ⋅ n ⋅cos
α p ⋅cos
α
(nº real de dentes) ∴
10.3.3 - NÚMERO MÍNIMO DE DENTES
N
Nv = 3
cos α
Todas as considerações feitas para as engrenagens cilíndricas retas valem para as
helicoidais desde que se considere que os perfis envolventes estejam no plano frontal.
Foi visto anteriormente que:
tan β
Sabe-se também que:
Em
tan βn
cosα
N
mm
2 ⋅ k
= 2
sen β
f = (Helicoidais)
C = K . mf ∴
m
K =
m
N
mm
n
f
= cosα
2 ⋅ cosα
= 2
sen β
Sendo βf e βn muito próximos podemos escrever
f
f
f
315

Mas:
sen βn
sen β f ≅
cosα
N
mm
N min
= N
3
cos α
3
2 ⋅ cos α
= 2
sen β
N
mm
n
n
sen
2
2
sen βn
β f 2
cos α
=
N min 2
= 3
2
cos α sen β
2
= (número de dentes de engrenagem virtual)
2
sen β
Esta última expressão vem salientar que o perfil no plano normal ao eixo (logo, perfil
frontal) difere muito pouco do perfil correspondente de uma engrenagem cilíndrica reta com
ângulo de pressão βn e número de dentes Z*.
Relação de Transmissão - para as helicoidais podemos chegar até 6/1.
10.3.4 - ÂNGULO DE PRESSÃO
Figura 8 – Engrenagens helicoidais
O valor de βn é padronizado (mesmos valores usados nas cilíndricas retas).
O valor de βf é
tan βn
β f = arctg
cosα
Ângulo de Inclinação de Hélice: a prática recomenda: α = 10 a 45º
Quando o ângulo é grande a componente axial aumenta sensivelmente. Recomenda-se
que, para ângulos superiores a 25º, as engrenagens sejam. feitas com dupla hélice (espinha de
peixe).
n
316

10.3.5 - LARGURA DE ENGRENAGEM
Para engrenagens de caixas de marcha k = 7 a 14. Para ‘engrenagens de redutores
silenciosos e a alta velocidade k 20 a 40.
Figura 9 - Plano mostrando as componentes radial,
tangencial e axial no dente de uma engrenagem helicoidal
O plano τ que contém S normal a PoPo
S - força total agente sobre o dente.
Sf T (radial
Decomposição de S: S P (tangencial)
A Axial
10.3.6 - RELAÇÕES ENTRE AS FORÇAS
P n
S = Mas:
cos β
n
P
A = Pn . sen α A = P . tg α
T
n
P ⋅sen
β
P
P
= ; S =
cosα cos β ⋅ cosα
n
= S ⋅sen
β n =
T β n
cosα
⋅cos
β n
α tan = ⋅
cos
⋅ Mt
P =
d
2
10.3.7 - COMPRIMENTO DOS DENTES EM CONTATO SIMULTANEAMENTE
Vimos, nas engrenagens helicoidais,, sendo os dentes deslocados uns em relação aos
outros, o engrenamento é gradual e não periódico. Logo, temos sempre mais de um par de
dentes em contato.
P
n
317

Se o fator de recobrimento for 2 teremos o caso da figura abaixo:
Figura 10 - Número de dentes em contato-fator de recobrimento
Na figura 10 temos:
M1M2 - comprimento da linha de engrenamento
N1N2 - comprimento do arco de ação
Neste caso impomos: N1N2 = 2 X passo
As linhas da figura 10 (b) N1 N2 representam os eixos dos dentes. Esta figura representa
o cilindro primitivo desenvolvido no plano, logo os eixos dos dentes tornam-se retas inclinadas
de uma relação ao eixo da engrenagem. O comprimento de “dente em contato” no caso da
figura 10 será:
l = comprimento da linha de engrenamento.
Generalizando:
b
l = 2⋅
cosα
b
l = f ⋅
cosα
onde f é a relação de contato Nas engrenagens comum faz-se: f = 1,5
Logo:
b
l ≅
1,
5⋅
cosα
318

Figura 11 - Detalhe dos planos normal e transversal para análise de forças das engrenagens helicoidais
Descrição
Fórmula
Sistema métrico [mm] Sistema inglês[pol]
Addendum mn 1 / Pn
Deddendum 1.25 × mn 1.25 / Pn
Diâmetro do pinhão mt × Np NP / Pt
Diâmetro da coroa mt × Ng NG / Pt
Distância entre centros (dg +dp)/2 ( dG + dP ) / 2
Altura do dente 2.25 × mn 2.25 / Pn
Diâmetro ext. do pinhão dp + 2 a = mt (Np + 2.cos ψ) dP + 2a
Diâmetro ext da coroa dg + 2a = mt (Ng + 2. cos ψ) dG + 2a
Folga 0.25 × mn 0.25 / Pn
Tabela 4 – Fórmulas
319

Figura 12 - Componentes radial,axial e tangencial no dente de engrenagem helicoidal
Wt = W.
cosθ
n.
cosψ
Wr = W.
sinθ
n Wa = W.
cosθ
n.
senψ
Descrição Fórmula (Sistema Inglês)
Razão de transmissão mg = Ng/Np
Addendum da coroa Ag = 0.54 / P + 0.46 / (P.mn)
Altura do dente H = 2.0 / P
Folga C = 0.188 / P + 0.002 in
Largura do dente F = Ao / 3 ou 10 / P (usar o menor)
Número mínimo de dentes
Pinhão 16 15 14 13
Coroa 16 17 20 30
Tabela 5 – Fórmulas do sistema inglês
10.4 - ENGRENAGENS CÔNICAS DE DENTES RETOS
10.4.1 - CONES DE ATRITO - DEFINIÇÕES
A transmissão entre eixos concorrentes é obtida por meio dos chamados cones de
fricção que, dotados de saliências e reentrâncias originam as engrenagens cônicas. O perfil
correto (não deformado) do dente é obtida em um plano perpendicular a geratriz do cone.
320

Figura 13 - Esquema mostrando os diferentes diâmetros para engrenagens cônicas de dentes retos
- Cone primitivo: cone de fricção que a engrenagem substitui.
- Geratriz primitiva: geratriz do cone primitivo
- Cone externo: cone circunscrito à engrenagem
- Cone interno: cone correspondente ao fundo do dente
- Diâmetro primitivo: (d) é o maior diâmetro do cone primitivo.
- Diâmetro externo: (de) é o maior diâmetro do cone externo.
- Diâmetro interno: (di) é o maior diâmetro do cone interno.
- Espessura da engrenagem: (a) é o comprimento do dente, medido sobre a geratriz
primitiva.
- Semi-ângulo da engrenagem: (ε) ângulo formado pela geratriz com eixo da peça.
Figura 14 - Esquema mostrando os diferentes diâmetros
para engrenagens cônicas de dentes retos
321

10.4.2 - RELAÇÃO DE VELOCIDADES
Seja: δ = ε1 + ε2 = ângulo pelos eixos das engrenagens
r1, r2 = raios primitivos
Da figura 15 podemos escrever:
10.4.3 - ENGRENAGEM VIRTUAL
W
W
1
2
=
n
n
1
2
=
r
r
2
1
=
d
d
2
1
sen ε 2
=
sen ε
Figura 15 - Relações geométricas entre ângulos primitivos e
diâmetros para engrenagens cônicas de dentes retos
Na figura 16, seja Ot Po = Rt o comprimento da geratriz do cone traseiro. É nesse cone
traseiro que o perfil do dente tem o seu formato correto. Assim, a mesma tabela de fatores de
forma dada para as engrenagens cilíndricas retas, será as cônicas, com as seguintes
considerações:
Desenvolvimento:
- Desenvolvendo o cone traseiro em um plano obtemos um setor de círculo.
- Neste setor e com o mesmo passo da engrenagem cônica fazemos o traçado dos
dentes cobrindo todo o setor.
1
322

- Imaginamos a complementação da circunferência, ainda com o mesmo passo, obtendo
assim a seção de uma engrenagem cilíndrica reta chamada engrenagem virtual (ou
fictícia), com um número de dentes representamos pelo símbolo Z*.
Figura 16 - Detalhe do comprimento do cone traseiro em engrenagens cônicas de dentes retos
Com estas considerações podemos escrever:
Então:
2⋅π
⋅ Rt
Z*
=
mas, (figura 16):
p
2⋅π
⋅ d d Z
Z * = = =
2⋅
p ⋅cos
ε m ⋅cos
ε cos ε
R
t
=
d
p
2⋅ cos ε
Em função de Z* tiramos da tabela de Y o valor do fator de forma que terá, aqui, o
símbolo Y*. Este valor de Y* será usada no dimensionamento das cônicas.
10.4.4 - NÚMERO MÍNIMO DE DENTES - EVITANDO INTERFERÊNCIA
Analogamente às cilíndricas retas:
2
Z * ≥ ou
2
sen β
Z
min
≥
cos ε
≥
Z
2⋅ cos
sen
2
ε
β
2
2
sen
β
323

10.4.5 - RELAÇÃO DE TRANSMISSÃO
Onde:
Pinhão:índice 1
Coroa: índice 2
Sendo:
Escrevemos:
δ = ε1 + ε2
sen ε 2
R =
sen
W1
Z 2
R = = (relação de redução)
W Z
2
e
1
sen ε 2
R =
sen ε
sen ε
( δ − ε ) sen δ ⋅ cos ε − sen ε ⋅ cosδ
2
=
1
sen δ cot ε 2 cosδ
− ⋅
R =
1+
R ⋅cos
δ
ε =
R ⋅sen
δ
cot 2
No caso particular (e muito comum) de δ = 90º podemos escrever:
tg ε2 = R
Desta maneira calculamos os valores dos semi ângulos do par cônico.
10.4.6 - MÓDULO EFETIVO - MÓDULO MÉDIO
MÓDULO EFETIVO
MÓDULO MÉDIO
d
m = =
z
m
m
=
d
diâmetro primitivo máximo
m
z
número real de dentes
=
2
diâmetro primitivo médio
número real de dentes
OBS: O diâmetro primitivo médio é tomado a partir da metade do comprimento a do dente.
2
1
2
324

Como:
Então:
Mas:
Podemos escrever:
sen ε
2 ⋅ − =
a
rm r
ou d m = d − a ⋅sen
ε
mm m
d − a ⋅sen
ε a
=
= 1−
⋅sen
ε
d d
mm d m
=
m d
⎛ K ⎞
a = K . m logo: mm = m ⋅⎜1
− ⋅sen
ε ⎟
⎝ Z ⎠
que é a relação entre módulo médio e módulo efetivo.
10.4.7 - COMPRIMENTO DO DENTE
onde:
K = 6 (engrenagens comuns)
K = 8 (engrenagens de média precisão) ;
a = K . m
K = 12 a 15 (engrenagens de muita precisão montadas sobre eixos bastante rígidos)
NOTA: Alguns autores recomendam que:
1 1 d
a ≤ OPo
= ∴
3 3 sen ε
d
⋅ m ≤
6⋅ sen ε
K onde
10.4.8 - FORÇAS ATUANTES NAS CÔNICAS
figura 17).
K
≤
Z
6 ⋅sen
ε
A força total S, atua sobre o dente atua no plano médio, sobre a engrenagem fictícia (ver
325

Figura 17 - Força atuante sobre dentes de engrenagens cônicas
A força S se decompõe em duas T* e P* = P
O plano de S (T* e P*) é perpendicular à geratriz primitiva. A força P* é tangente à
circunferência de raio Rt e também é circunferência de raio r. Logo P* = P.
A força T* se decompõe em T (radial) e A (axial)
T = T* . cos ε mas T* = P . tg β
A = T* . sen ε = P . sen ε . tg β
⋅ M
P =
d
2
As forças ficam assim distribuídas:
PoPo = geratriz do cone primitivo
00 = linha de centro da engrenagem
m
t
força tangencial
T = P . cos ε . tqβ força radial
A = P . sen ε . tg β .
Figura 18 - Análise de forças atuantes
326

Figura 19 - Esquema de um par de engrenagens cônicas de dentes retos
Alguns autores utilizam a seguinte notação:
Wt = W.
cosθ
; W.sinθ
. cosγ
Wr = ; Wa = W.
senθ
. senγ
Wr = Wt.tgθ
cosγ
Wa = W.tgθ
senγ
onde Wt= força tangencial; Wr=força radial e Wa=força axial e W força ou carga total no dente
da engrenagem.
10.5 - PARAFUSO SEM-FIM/COROA
10.5.1 - INTRODUÇÃO
As engrenagens de rosca sem fim são usadas para transmitir potência entre eixos que
não se interceptam e que, quase sempre, estão em ângulo reto. Razões de velocidades
relativamente altas, podem ser obtidas satisfatoriamente num espaço mínimo, sem ter que,
normalmente, com .sacrifício do rendimento, comparado com outros tipos de engrenagens. O
contacto por impacto no engrazamento de engrenagens retas e outras não se apresenta nos
para fusos sem-fins. A rosca do sem-fim desliza, em contacto com os dentes da engrenagem,
ação esta que resulta em funcionamento silencioso se o projeto e confecção forem adequados.
Quando a relação de redução das velocidades é muito grande, uma das engrenagens terá o
diâmetro e o número de dentes pequenos e sua forma será a de um parafuso, donde a
designação de parafuso sem-fim; neste caso a de maior diâmetro receberá a designação de
coroa. Ainda que existindo a possibilidade de emprego do mecanismo para um ângulo de eixos
qualquer, a prática o utiliza sempre para π/2 e numa faixa de redução bastante ampla,
geralmente de 1/10 a 1/100, ainda que este limite possa ser ultrapassado, quando seremos
327

conduzidos a diâmetro bastante elevados para a coroa. Esta poderá ou não envolver o parafuso
sendo o primeiro caso mais eficiente e comum. Como engrenagens helicoidais que são,
praticamente, tudo o que foi dito para engrenagens de eixos paralelos, vale para o atual caso.
Figura 20 – Parafuso sem fim.
10.5.2 - CARACTERÍSTICAS PRINCIPAIS
O parafuso sem-fim e a coroa podem ser projetados para transmissão entre eixos
normais ou fazendo um ângulo qualquer.
PASSO E AVANÇO
O passo P é a distância, media axialmente, de um ponto corres pendente ao filete
adjacente. O avanço é a distância axial que a rosca avança numa volta, isto é, a distância que a
porca se desloca ao longo do eixo numa volta. Um parafuso sem-fim de uma entrada tem um
avanço igual ao passo. Um parafuso sem-fim de duas entradas tem um avanço igual a duas
vezes o passo etc.
328

Uma entrada Duas entradas Três entradas
Figura 21 - Esquema de um parafuso sem fim com diferentes entradas
O ângulo de pressão é β, o ângulo de flancos é 2β.
O ângulo de avanço é γ.
O ângulo de avanço é o ângulo formado pela tangente à hélice com um plano normal ao eixo da
rosca.
Onde:
Dp = diâmetro primitivo do parafuso
avanço
γ p = arctan
π ⋅ D
O mesmo modo que para as engrenagens helicoidais, os sem-fins tem um passo normal
pen. Nas engrenagens helicoidais o passo fr tal é medido num plano ⊥ ao eixo; nos sem-fins o
passo frontal pf é medido na direção do eixo e é designado por pc. Para os sem-fins, a relação
entre os passos e:
Pnc = Pac . cos γp
Onde γp é o ângulo de avanço que é chamado algumas vezes de ângulo de hélice
(incorreto). No entanto, o seu emprego prático se limita, quase que no primeiro caso, motivo
pelo qual ele será abordado. Com esta consideração adotando-se o índice P, para indicar o
parafuso sem-fim e C para a coroa, tem-se:
αc + αp = π/2
Onde α representa os ângulos de inclinação e
PFP = PAC
PNP = PNC
PAP = PFC
Onde PF, PN e PA representam respectivamente os passos frontal, normal e axial, como
definidos para as engrenagens helicoidais.
p
329

m FP = m AC = dp/Np
m NP = m NC
m AP = m FC = dc/Nc
Sendo dp o diâmetro primitivo do parafuso e dc o diâmetro primitivo da coroa.
Comumente os parafusos sem-fim apresentam poucos helicóides constitutivos dos
dentes (de 1 a 4, ainda que esse número possa ser excedido). Como a cada dente corresponde
um vazio e, conseqüentemente, a uma operação de corte, os parafusos de um, dois ou mais
dentes, são ditos de uma, duas ou mais entradas.
10.5.3 - ALGUNS DADOS EMPÍRICOS
Para se obter urna boa forma dos dentes, aconselha-se a escolher os seguintes
números de dentes (ou n os de entradas) do parafuso:
R 40:1 20:1 13:1 10:1 8:1 7:1 6:1 5:1 4,5:1 4:1
Zp 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tabela 6 – Número de dentes
Para se evitar a interferência que se agrava nas regiões mais externas do parafuso,
recomenda-se a seguir as seguintes proporções:
Zp + Zc ≥ 40 e
Zc 18 24 32 38 46 54 62 ≥ 65
βap 30º 27º30’ 25º 22º30’ 20º 17º30’ 15º 14º30’
Tabela 7 – Exemplo de proporções Zc ,βap
Onde βap = ângulo de pressão num plano axial do parafuso
E também:
Figura 22 - Esquema de um corte nos dentes de parafuso sem fim,
mostrando o ângulo de pressão no plano axial do parafuso.
330

αc
≤ 12º
12º a
20º
20º a
25º
> 25º
βa (P) 14º30’ 20º 22º30’ 25º
Tabela 8 – Ângulos αc, βa (P)
Onde αc ângulo de inclinação de hélice da coroa.
10.5.4 - MATERIAIS
Parafuso – aço-aço cementado, ferro fundido cinzento.
Coroa – bronze comum, bronze fosforoso, bronze de chumbo (altas velocidades),
bronze de alumínio, e bronze de silício (baixas velocidades e altas cargas), ferro fundido
cinzento (serviços leves).
OBS: é usual fazer-se o núcleo da coroa de ferro fundido ou aço, com aro externo de bronze
para reduzir os custos.
Figura 23 - Esquema de um parafuso sem-fim/coroa mostrando passos,
diâmetro primitivo e ângulos de hélice e avanço.
10.5.5 - DIÂMETROS E DISTÂNCIA ENTRE CENTROS
3.0)
d
G
d w
NG
× pt
= ⇒ diâmetro da coroa
π
0.
875
C
= ⇒ diâmetro do sem-fim, onde C é a distância entre centros: (1.7≤ K≤
K
331

dW
+ dG
C = ⇒ distância entre centros
2
pt = px ⇒ passo transversal igual ao axial para eixos perpendiculares
N
G
m G = ⇒ razão de transmissão, onde Nw é o número de dentes do sem-fim ou
NW
número de entradas
L = pt × N ⇒ avanço
w
L
tgλ.
= ⇒ λ é o ângulo do avanço
π × dw
Combinando sucessivamente estas expressões pode-se obter uma única expressão,
que relaciona os parâmetros mais importantes para a definição do sem-fim/coroa:
8
⎛ 1+
mGtgλ
⎞
C = ⎜ ⎟ para os valores de 1.7 ≤ K ≤ 3.0
⎝ K ⎠
O valor de K está compreendido em 1.7 e 3.0, sendo recomendado usar 2.2. Os ângulos de
avanço mais usados variam entre 4° e 25°, para ângulo de pressão normal θn de 14°30' e 20°. É
mais recomendado usar:
Para θn = 14°30' ⇒ λ = 0° a 15°
θn = 20° ⇒ λ = 15° a 30°
É possível construir uma transmissão sem-fim/coroa com C (distância entre centros)
variando de 50 mm a 150 mm dependendo da potência desejada. Esta análise permite
identificar a possibilidade geométrica do sem-fim/coroa, antes do dimensionamento final para
uma dada potência.
Em um redutor sem-fim/coroa, o movimento ou potência entra pelo sem-fim que solicita
a coroa com força W, que pode ser decomposta em três componentes, conforme figura.
332

Figura 24 - Análise de forças e ângulos em um circulo primitivo de um pinhão sem fim.
10.6 - TREM DE ENGRENAGENS
Um trem de engrenagens é um acoplamento de duas ou mais engrenagens. Um par de
engrenagens é a forma mais simples de se conjugar engrenagens e é freqüentemente utilizada
a redução máxima de 10:1. Trens de engrenagens podem ser simples, compostos e
planetárias.
10.6.1 - TREM DE ENGRENAGENS SIMPLES
Trens de engrenagens simples são aqueles que apresentam apenas um eixo para cada
engrenagem. A relação entre as duas velocidades é dada pela equação 1:
r
r
ent
ent
e = ± = ± = ±
saida
d
d
saída
A figura 25 mostra um jogo de engrenagens com 5 engrenagens em série. A equação
para a relação de velocidades é:
N
N
ent
saida
⎛ N 2 ⎞⎛
N3
⎞⎛
N 4 ⎞⎛
N5
⎞ N 2
e = ⎜−
⎟⎜−
⎟⎜−
⎟⎜−
⎟ = +
⎝ N3
⎠⎝
N 4 ⎠⎝
N5
⎠⎝
N6
⎠ N6
Cada jogo de engrenagem influi na relação das velocidades, mas no caso de trens simples, o
valor numérico de todas as engrenagens menos a primeira e a última são cancelados. As
engrenagens intermediárias apenas influem no sentido de rotação da engrenagem de saída. Se
houver um número par de engrenagens o sentido de rotação da última será oposto ao da
primeira. Havendo um número impar de engrenagens, o sentido permanecerá o mesmo. É
333

interessante notar que uma engrenagem de qualquer número de dentes pode ser usada para
modificar o sentido de rotação sem que haja alteração na velocidade, atuando como
intermediária.
Figura 25 -Trem simples de 06 engrenagens
10.6.2 - TREM DE ENGRENAGENS COMPOSTOS
Para se obter reduções maiores que 10:1 é necessário que se utilize trens de
engrenagens compostos. O trem composto se caracteriza por ter pelo menos um eixo no qual
existem mais de uma engrenagem.
velocidades é:
como:
A figura 26 mostra um trem composto de quatro engrenagens. A relação das
⎛ N 2 ⎞⎛
N 4 ⎞
e = ⎜−
⎟⎜−
⎟
⎝ N3
⎠⎝
N5
⎠
Esta equação pode ser generalizada para qualquer número de engrenagens no trem
e = ± produto do número de dentes das engrenagens motoras
produto do número de dentes das engrenagens movidas
334

Figura 26 - Trens de engrenagens compostos
Note que as engrenagens intermediárias influem diretamente no processo de
determinação da velocidade de saída e de entrada. Assim uma relação mais
elevada pode ser obtida apesar da limitação de 10:1 para trens individuais. O
sinal positivo ou negativo na equação depende do número e do tipo de
disposição das engrenagens, internas ou externas.
10.6.3 - TREM DE ENGRENAGENS PLANETÁRIAS
São trens de engrenagem com dois graus de liberdade. Duas entradas são necessárias
para obter uma saída. Normalmente se usa uma entrada, um sistema fixo e uma saída. Em
alguns casos como em diferencial de automóveis uma entrada é usada para se obter duas
saídas, uma para cada roda.
Figura 27 - Trem de engrenagem convencional e trem planetário
A relação de velocidades pode ser calculada pela fórmula:
335

Em uma forma mais geral:
onde:
e =
e =
N
N
N
N
ent
3
2
saida
− N
− N
− N
− N
1
1
braço
braço
Nent = número de rotações por minuto da engrenagem de entrada
Nsaída = número de rotações por minuto da engrenagem de saída
Nbraço = número de rotações por minuto do braço
Trens planetários apresentam algumas vantagens, como relações de velocidades
maiores usando engrenagens menores, saídas bidirecionais, concentricidade. Estas fatores
fazem com que o engrenamento planetário seja largamente utilizado em transmissões de
automóveis e caminhões.
10.7 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. O número de dentes de determinadas engrenagens no trem epicicloidal estão indicadas,
todas possuem o mesmo módulo. A engrenagem A gira a 1000 rpm no sentido horário
enquanto a engrenagem E gira no sentido antihorário a 500 rpm. Determine a velocidade
direção da rotação a engrenagem anel D e do suporte F.Resposta [371 rpm antihorário,
40 rpm horário]
Figura 28 – Exercício proposto 1
2. No trem epicicloidal ilustrado, a engrenagem C é fixa e o conjunto planetário BD gira
livremente no suporte que é coaxial com os eixos de entrada e saída. Mostre que se zb
ze > zc zd então os eixos de entrada e saída giram na mesma direção.
336

Figura 29 – Exercício proposto 2
3. Qual a faixa prática para a distância entre centros de um par de engrenagens cilíndricas
de dentes retos com módulo 4 mm, com 19 e 35 dentes? Se forem fabricados com
deslocamentos de perfis de 1,5 mm e 2 mm respectivamente, avalie o angulo de pressão
atuante e a relação de contato.
Resposta [ 108.6 ≤ C ≤ 112.8 mm, 24.47 o , 1.42 ]
4. A planetária B gira livremente no eixo que é fixado na engrenagem de dentes internos F e
a engrenagem planetária E está girando louca no eixo do braço de saída. Dados os
números de dentes das engrenagens, calcule a rotação de saída quando a rotação do eixo
de entrada giraa 1000 rpm. Resposta [ 524 rev/min ]
Figura 30 – Exercício proposto 4
5. No trem epicicloidal visto na figura abaixo, o suporte 6 das engrenagens 3 e 4 giram a
100 rpm sentido horário e a engrenagem 5 fixa ao eixo de entrada gia a 2000 rpm no
sentido antihorário. Determine a rotação da engrenagem de dentes internos 2 que está
fixa ao eixo de saída do redutor. Os números dentes foram dados para cada
engrenagem.
337

Figura 30 – Exercício proposto 5
6. O eixo de entrada do trem epicicloidal mostrado na figura abaixo, gira no sentido horário.
O suporte das engrenagens satélites 3 e 5 possui a mesma rotação do eixo de entrada. As
engrenagens 1 e 6 são de dentes internos e estão fixas na carcaça do redutor. Determine a
relação de redução,Wentrada/Wsaída, sabendo que a engrenagem 7 está enchavetada no eixo de
saída.
Figura 31 – Exercício proposto 6
338

CAPÍTULO 11 - DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS
11.1 - INTRODUÇÃO
11.1.1 - MATERIAIS PARA ENGRENAGENS
Não é preciso salientar a importância da escolha do material adequado para executar-se
uma engrenagem; basta que se lembre de que do material ira depender diretamente a
qualidade geral do funcionamento, seja quanto à resistência as cargas aplicadas, seja quanto à
resistência ao desgaste, fatores que, em geral, determinam a falência da peça.
engrenagens:
Há uma série de fatores que limitam a liberdade de escolha dos materiais para as
1. Impossibilidade de obtenção do material condições comerciais;
2. Dificuldade de execução;
3. Impossibilidade de usinagem para o acabamento desejado;
4. Impossibilidade de posição e continuações.
A inconveniência dos três primeiros elementos é evidente por si mesma. Estudamos a
inconveniência do quarto, isto é, da incompatibilidade de posição e combinação.
A experiência em laboratório e a prática mostram que uma engrenagem de um dado
material se comporta satisfatoriamente, quando trabalha combinada com engrenagens de
certos materiais e falha completamente quando opera com engrenagens de outros materiais,
além disso um par de materiais pode comportar-se adequadamente -quando ao engrenagens
são colocadas em determinadas posições e falhar totalmente quando as posições são
invertidas. Como exemplo do primeiro caso, pode indicar o bronze fosforoso, que trabalha
satisfatoriamente com o ferro fundido e com o aço endurecido, mas comporta-se mal com o aço
mole, com o bronze e com os materiais laminados à base de ferrol.
A figura 1 adiante nos indica quando ocorre a incompatibilidade das combinações dos
materiais mais empregados. Como exemplo do 2º caso pode-se apontar o conjunto parafuso
sem fim e coroa: um parafuso sem fim de ferro fundido e uma coroa de bronze apresentam
elevada resistência ao desgaste (mais elevada que a de um parafuso sem fim de aço e uma
coroa de bronze); se entretanto, as posições forem invertidas, isto é, se o parafuso sem fim for
executado em bronze e a coroa em ferro fundido, a resistência ao desgaste torna-se bastante
deficiente.
Apontaremos em seguida os materiais mais utilizados na fabricação de engrenagens,
indicando suas principais características de comportamento.
339

FERRO FUNDIDO
O ferro fundido é um dos materiais que vem sendo utilizado largamente há longo tempo
e, mais recentemente sua fundição vem sendo aperfeiçoada de tal modo que se conseguem,
quer por processos especiais de fundição, quer pela composição de ferros-ligas, materiais
capazes de suportar tensão até de 2.100 Kg/cm 2 .
O ferro fundido para engrenagens deve apresentar uma dureza tão elevada quanto
possível: no caso, porém de ser prevista alguma operação de usinagem, a sua dureza Brinell
deve estar dentro dos limites 170 e 220 Bh.
O ferro fundido em areia deve ser de baixo teor de carbono, menor que 3,4%, a fim de
ser evitado e um excesso de grafita.
O emprego do ferro fundido é limitado pela possibilidade de ocorrência de forças
elevadas e de choque.
AÇO FUNDIDO
O aço fundido também é bastante utilizado, com teor de carbono entre 0,35 a 0,45%,
com que se obtém, uma resistência ao desgaste satisfatória. Após a fundição a peça deve ser
tratada termicamente para que desapareçam todos os traços da estrutura dentritica. Sua
resistência às forças elevadas e principalmente aos choques é melhorada com a adição de
cobre, níquel ou alumínio em sua composição.
AÇO DOCE
O aço doce deve ser utilizado com teor de carbono entre 0,10 e 0,25%, de manganês
entre 0,6 a 0,8 para cargas pequenas; com teor de carbono entre 0,35 e 0,45% para cargas
elevadas; pode também ser empregado com teor de carbono entre 0,50 e 0,60 e, embora se
obtenha, neste caso, uma resistência aos choques e a ductibilidade são mais baixas, de modo
que os aços com este teor devem ser evitados quando é prevista a ocorrência de choques de
grande intensidade.
AÇO-CROMO-NÍQUEL
O Aço-Cromo-Níquel deve ser empregado com teor de cromo entre 0,5 e 1% com teor
de níquel entre 2,5 e 3,5% e com acréscimo de um teor de molibdênio (para fins de
cementação) entre 0,2 e 0,6%.
340

AÇO PARA CEMENTAÇÃO
O aço para cementação deve apresentar baixo teor de carbono: a cementação garante
uma elevada resistência ao desgaste e o baixo teor de carbono uma elevada resistência a
tração qualidades que recomendam o emprego deste tipo de aço. Entretanto, ao lado destas
vantagens o aço para cementação apresenta o inconveniente de exigir uma obtenção custosa e
de apresentar certa distorção, principalmente quando temperado em água em lugar de óleo.
Esta desvantagem às vezes e tão pronunciada que es prefere abandonar um aço para
cementação e adotar um aço-cromo-níquel, ainda que haja aumento no custo do material.
Material Trabalha Bem com Trabalha Mal com
Bronze
Fosforoso
Aço Comum
Aço endurecido
Ferro Fundido
Aço endurecido
Ferro Fundido
Babbitt
Latão Mole
Aço endurecido
Bronze Mole
Latão
Ferro Fundido
Babbitt
Laminado a base fenol
Aço endurecido
Aço comum
Bronze
Laminados de ferrol
Bronze
Aço Comum
Laminado a base de fenol
Bronze de liga tratado
Aço Níquel Aço Níquel (algumas vezes)
Aço níquel
endurecido
Ferro Fundido Todos os materiais
11.2 - DESGASTE SUPERFICIAL DOS DENTES
Tabela 1 – Características dos materiais.
Coroa de bronze
A experiência mostra que em grande número de casos os dentes das engrenagens se
apresentam desgastados depois de certo tempo de funcionamento. Neste tópico indicaremos os
tipos de desgaste superficial que podem atacar os dentes de uma engrenagem, suas causas e
os modos de evitá-los.
341

A) DESGASTE POR ESCORREGAMENTO
Este desgaste manifesta-se geralmente onde o deslocamento do ponto de contacto
entre os dentes é menor, isto é, na região a-a sobre A, na região b-b, sobre B, como se vê na
figura 1 que representa três posições particulares de dois dentes engrenados. Sua causa pode
ser compreendida, lembrando-se de que sempre se processa com escorregamento crescente a
partir do ponto do passo, onde é nulo.
B) DESGASTE POR CORROSÃO
Figura 2 – Escorregamento de engrenagens
Este desgaste manifesta-se através de superfície corroída típica; e produzida pela fadiga
do material e conseqüentemente desagregação de sua superfície; pode ser evitado com a
adoção de dimensões para os dentes que conduzem, sob a ação das cargas atuantes, as
tensões de fadiga superficial toleráveis pelo material escolhido.
C) DESGASTE POR ABRASÃO
Este desgaste se manifesta através da formação de uma superfície esmerilada, polida; é
produzida pela ação esmerilhadora de poeira ou partículas, misturadas com o lubrificante (estas
partículas podem ser partículas metálicas que se destacam dos mancais: partícula abrasivas
que não foram removidas antes da montagem; partículas arenosas devida a fundição; partículas
diversas conduzida. pelo óleo ou pela atmosfera.
Pode ser evitado mediante cuidados especiais na montagem, mediante proteção do
mecanismo quando a atmosfera no local de serviço for portadora de poeiras, de um modo geral,
mediante a manutenção das peças em boas condições de limpeza.
342

D) DESGASTE POR ARRANHAMENTO
Este desgaste se manifesta através de profundos riscos na direção do escorregamento
superficial; é produzido por pontas ou superfícies rugosas deixadas nos dentes pela imperfeição
da usinagem; pode ser evitado com a execução de um acabamento mais cuidadoso.
E) DESGASTE POR TRANSPORTE
Este desgaste manifesta-se através de uma série de ondas constituídas por saliência e
reentrâncias próximas da linha de passo é produzido pelo deslocamento plástico do material
sob aquecimento excessivo e cargas elevadas; pode ser evitado mediante o emprego de uma
lubrificação adequada.
F) DESGASTES POR ACRÉSCIMO
Este desgaste manifesta-se através de uma soldagem e subseqüente desagregação das
superfícies em contacto; é produzido pelo superaquecimento das partes em contacto quando
cessa completamente a lubrificação; pode ser evitado mediante o emprego de um processo de
lubrificação no qual esta cessação completa não possa se verificar.
11.3 - ENGRENAGENS CILÍNDRICAS RETAS
11.3.1 - INTRODUÇÃO
Chama-se engrenagem de força aquela em que é maior o perigo da ruptura do que o
perigo do desgaste. Por exemplo: engrenagens lentas ou engrenagens que funcionam por
breves períodos ou com possibilidades de fortes sobrecargas durante o funcionamento.
A ruptura pode ser de: tipo estático ou fadiga. A de tipo estático é muito rara: pode
ocorrer por contato defeituoso, por cálculo errado, por sobrecargas não previstas ou ainda por
fatores desconhecidos. Este tipo de ruptura se manifesta logo no inicio do funcionamento.
A ruptura por fadiga, de modo geral, é a mais comum. De fato, sobre o dente age uma
carga que vai desde zero a um determinado valor, voltando novamente a zero. É, portanto, uma
carga pulsativa. A ruptura é progressiva iniciando-se na parte de concordância do dente com
sua boca. Para o carregamento pulsativo é maior a resistência a compressão que à tração. O
dimensionamento de uma engrenagem é feito baseado na resistência a ruptura onde, para levar
343

em conta os efeitos dinâmicos, entraremos com um coeficiente Cv chamado coeficiente de
velocidade ou de super solicitação dinâmica.
11.3.2 - DIMENSIONAMENTO PELA RESISTÊNCIA
Algumas hipóteses simplificadoras foram feitas por LEWIS para que se chegasse a um
resultado racional da expressão do módulo da engrenagem.
O método de LEWIS é o seguinte:
“Consiste em verificar que o dente da engrenagem, considerado como uma viga
engastada, não se rompa sob a ação de força S, admitida estática”. Considera-se que:
Onde:
Onde:
Onde:
• A força esteja distribuída uniformemente sobre todo o comprimento do dente.
• A força esteja aplicada na extremidade (topo) do dente.
• Toda a força atue num só dente.
• Os efeitos de concentração de tensões sejam desprezíveis.
A hipótese de dimensionamento é:
σadm = tensão admissível
σf = tensão de flexão (atuante)
A tensão admissível é:
σf ≤ σadm
σ
σ = (1)
R
adm
K S
σR = tensão de ruptura do material (Kg/mm 2 ) (tabelado).
KR = coeficiente de segurança-que, a título indicativo pode ser:
3 a 3,5 - para rodas em funcionamento normal
4 a 5 - para rodas sujeitas a choques e oscilações de carga
6 - para condições extremamente desfavoráveis
Cv = coeficiente de velocidade ou de super solicitação dinâmica, cujo valor é:
C v
A
= (2)
A + v
A = 3 para engrenagens de pouca precisão
A = 6 para engrenagens de média precisão
344

Para engrenagens de alta precisão
C v
5,
6
=
5,
6 +
v = velocidade periférica, na primitiva, em m/s.
Onde:
Onde:
A tensão atuante de flexão vale:
Mf = P.h = momento fletor
v
(3)
Mf ⋅ c
σ f =
(4)
J
Figura 3 – Aplicação do momento no dente
s
c = = distância da linha neutra à fibra mais afastada.
2
1
12
3
⋅ s
J = = momento de inércia da seção da base do dente.
Levando estes valores na expressão de σf vem:
Sendo h e s funções do passo.
h=k1 . p s=k1 . p
Podemos escrever:
6 ⋅ P ⋅ h
σ f =
(5)
2
1⋅
s
6⋅
k1
⋅ p p
σ
f = =
2 2
2
1k
2 ⋅ p k 2
1⋅
p ⋅
6k
1
345

2
k 2 = y recebe o nome de FATOR DE FORMA do dente (tabelado em função deβ e de Z).
6k
1
Onde:
Fazendo 1=k.m (comprimento dente) e p = m.π (passo da engrenagem) vem:
Y = π.y (também tabelado)
O valor da força P tangencial é
P P
σ f = =
(6)
2
2
k ⋅ m ⋅ y ⋅π
k ⋅ m ⋅Y
P =
Mt
r
Sendo Mt = Momento de torção (Kg/mm 2 )
A expressão final de σf é:
2⋅
Mt 2⋅
Mt
= =
d m⋅
Z
2 ⋅ Mt
σ f = (7)
3
k ⋅ m ⋅Y
⋅ Z
Voltando à condição do dimensionamento podemos escrever:
Ks = coeficiente de segurança
K = varia de 8 a 12 (em geral) ;
2 ⋅ Mt σ
≤
3
K ⋅ m ⋅ Y ⋅ Z K
m ≥
σ
K = 6 a 14 (para caixa de marcha)
3
K
R
S
⋅ C
20

Kt fator de concentração de tensão E1 + fator de serviço
K1 fator de serviço
K2 fator de correção do fator
Os valores de Kt, K1 e K2 são dados na tabela a seguir:
11.3.3 - CASOS ESPECIAIS
Tipo de
Carregamento
K1
Constante 1,25
Pulsativo 1,35
Com Choque 2,50
Tabela 2a- Tipo de Carregamento.
Tipo do Perfil Kt
Perfil evolvente β =14º 30´ 1,54
Perfil evolvente não corrigido β
= 20º
CASO I - DADOS DO PROBLEMA
1,33
Perfil evolvente corrigido β = 20º 1,43
Tabela 2b- Tipo do Perfil.
Valores K2
Perfil evolvente e
cicloidal
Perfil gerado não
corrigido
N (C.V.) - potência a transmitir
n (RPM) - rotação do pinhão
R - relação de redução
1,0
1,7
Perfil gerado corrigido 1,6
Tabela 2c- Valores.
A expressão (11) deduzida anteriormente será aplicada neste caso. O fator Cv é
indeterminado, pois, depende da velocidade periférica que, por sua vez, depende do diâmetro
(d0 = m.Z).
347

Para a determinação de Cv usamos o me todo das aproximações sucessivas assim:
com um valor de Cv primeira aproximação:
Onde:
Calcula-se:
X
2⋅
Mt
=
σ R
⋅ K ⋅Y
⋅ Z
K
S
'
X
C
• Com m’ (padronizado) calcula-se d’
• Com d’ calcula-se v (em m/s)
Cv’ = 0,7
m ≥ 3
(12)
• Com v calcula-se E Cv´ (em segunda aproximação)
• Com Cv” calcula-se:
v
'
X
C "
m " = 3
(13)
v
Achado m” (padronizado), adotado como módulo final, calcula-se os outros elementos
da engrenagem.
CASO II - DADOS DO PROBLEMA
N (C.V.) - potência a transmitir
n (RPM) - rotação do pinhão
R - relação de redução
E - distância entre centros
Com E e R calculamos os diâmetros primitivos do par.
A fórmula (11) se reduz a:
m =
σ
K
R
S
2 ⋅ Mt ⋅ K
⋅ C
v
⋅ K
⋅ K ⋅ Y ⋅ d
t
d
Onde fizemos Z =
m
O único termo desconhecido é Y que, em primeira aproximação fazemos igual a Y’ =
1
p
⋅ K
2
(14)
0,3 (valor médio para β=20º envolvente) ver tabela doa fatores de forma.
348

Onde:
G =
σ
K
Analogamente ao caso 1 obteríamos:
R
S
2 ⋅ Mt
⋅ C
v
⋅ K ⋅ d
G
m ' = (15)
Y'
• com m’ acha-se Z’ (arredondando a um nº inteiro)
• com Z’ tiramos da tabela o novo 1”
• chega-se ao módulo definitivo.
1º Processo:
Cv = f(m)
m = f(Cv)
G
m " = (16)
Y"
• achado o módulo final (padronizado) os diâmetros devem ser corrigidos
alterando-se assim a distância entre centros, E. Deve-se notar que a alteração de
E é muito pequena não influindo sensivelmente no projeto do par.
• se E for tomada como distância rigorosamente estabelecida deve-se recorrer a
dentes especiais (maag, primitivas deslocadas).
Esquema do processo para o cálculo da indeterminação:
Cv’ = 0,7 (arbitrário)
Cv´ m´ v v Cv” m”
Então padronizamos m” = m
2º Processo:
Adota-se um módulo tabelado
m´ v Cv’ m” m
m (padronizado)
11.3.4 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Dimensionar a engrenagem para carregamento dinâmico com torque a transmitir = 3
Kgm, σ = 3Kg/mm 2 , Z =50 dentes, n = 300 rpm, perfil envolvente não corrigido β=20º.
349

Resolução:
Mt = 3000 Kg . mm
n 300 rpm
π ⋅ n π ⋅ n
N = M ⋅W
= M ⋅ = M ⋅ ⋅
30 30
3⋅π
⋅300
N =
N = 1,28 C.V
30⋅
75
1
75
Resolvendo pelo 2º processo temos:
a) para
N = 1,26 CV
n = 300 rpm m = 1,25
b) m = 1,25 mm d0 = m.z
m⋅
Z 1,
25⋅
50
r = =
r ≅ 31 mm
2 2
π ⋅ d ⋅ n
c) v =
(m/seg)
1000⋅ 60
⋅62
⋅300
=
1000⋅
60
π
v v = 0,96 m/seg
6
d) Cv =
6 + v
e) Mt = 3000 Kg.mm
σ = 3 Kg/mm 2
6
=
6 + 0,
96
C v
Cv = 0,86
Z = 50 dentes e β = 20º Y = 0,408 (tabelado)
K 10 adotado
Kt 1,53 (tabela)
K2
m =
3
1,0 (tabela 11) não corrigido
σ ⋅C
2⋅
Mt ⋅ K
v
t
⋅ K
1
⋅ K ⋅Y
⋅ Z ⋅ K
2
=
3
2⋅
300⋅1,
53⋅1,
5
3⋅
0,
86⋅
0,
408⋅10
⋅50
⋅1
f) dp = m. Z dp = 3.50 dp = 150 mm
dc = dp + 2 m = 150 + 2 . 3 dc = .256 mm
l = K . m => 1 = 10 . 3 => l = 30 mm
Z = 50 dentes
β = 20º (navalha nº 6)
350

2. Dimensionar o par de Engrenagens. Dados: O perfil evolvente β = 20º não corrigido n =
1200 rpm (rotação do pinhão). R = 4/1 (razão de redução). Carregamento com choques,
engrenagens de média precisão. Material usado: aço SAE 1045 σR = 60 Kg/mm 2 .
Potencial a transmitir N = 10 CV
Mt =
N
W
10⋅
30⋅
75
=
π ⋅1200
Mt ≅ 6Kgm = 6000 Kg.mm
Kt = 1,53 (tabelado)
K1 = 1,5 (tabelado)
σ
σ =
K
rup
S
60
=
5
K l = K.m K = 10 (tabelado)
Z = 17
Y = 0,302
β = 20º
Z = 17 dentes (adotado)
Cv’ = 0,7 (arbitrado)
K2 = (p/ perfil envolvente)
2⋅
6000⋅1,
53⋅1,
5
12⋅10
⋅0,
302⋅17
⋅0,
7 ⋅1
m = 3
= 3,55mm
dp1 = m.Z = 3,55 X 17 = 60
π ⋅ d p ⋅ n π ⋅60
⋅1200
V = =
= 3760 mm/seg ou V = 3,76 m/s
60 60
6 6
= =
6 + v 6 + 3,
76
C v Cv = 0,62
C
0,
7
v1
m 3
3
2 = m1
⋅ = 3, 55⋅
= 3,7 M = 3,75 (mais próximo padronizado)
Cv
2 0,
62
dp = m . Z = 3,75 . 17 = 63,6
dc = m . Z + 2 m = 71,3
l = K .m l = 10 . 3,75 l = 37,5
Usar navalha nº 1 (tabelado em função do número de dentes).
Cálculo da Outra Engrenagem que está acoplada
351

m = 3,75
dp = m. Z = 3,75. 68 dp = 255
dc = 255 + 7,5 dc = 262,5
l = 10 . 3,75 1 = 37,5
Navalha nº 7 (em função do nº de dentes)
Aço SAE 1045 (mesmo da outra)
3. Dá-se N = 16 Cv (potência a transmitir), n = 900 rpm (rotação do pinhão), E = 180 mm (+
5%). Perfil envolvente, corrigido β = 20º carregamento pulsativo, com oscilação de carga.
Engrenagem de alta precisão. Material usado SAE 1045 com σr = 60 Kg/mm 2 .
Resolução:
n1
R = 3
n
2
1
900
n
n 1 r2
= r2 = 3 . r1
n
2
r
Mas 180 = r2 + r1
= n2 = 300 rpm
2
3 ⋅180
=
4
r 2
r2 = 135
r1 = 45 dp1 = 2 . r1 dp1 = 90
16⋅
75⋅
30
M t = = 12,7 Kgm
π ⋅900
σ
σ =
K
rup
S
Kt = 1,43
K1 = 1,35
K2 = 1,0
60
=
4
C v
5,
6
=
5,
6 +
v
π ⋅d
⋅n
π ⋅90
⋅900
v = W ⋅ R = =
= 4,25 m/s → v = 2,
06 m/s
60 60⋅1000
5,
6
Logo v =
5,
6 + 2,
06
Adota-se K = 10
C Cv = 0,75
Y = 0,3 (em média)
2⋅12700
⋅1,
43⋅1,
35
15⋅
0,
75⋅
0,
3⋅1⋅
90⋅10
m = 3
m = 4,07
352

dp = m ⋅ Z
1
β = 20º
1
90
1
4,
07
= Z = 22
Z = 22 Y = 0,330
Y1
0,
3
m 2 = m1
⋅ = 4,
07⋅
m = 4 (mais próximo padronizado)
Y 0,
33
Z
1
d
=
m
p1
2
p/ Z1 = 22
=
2
90
4
dp1 = 22.4 = 88
= 22,5
p/ Z2 = 22 X 3 = 66
dp2 = 4 X 66 = 264
r1 + r2 = 176 E = 176
180 171
±5% 189
p/ Z1 = 23 dp1 = 23 X 4=92
p/ Z2 = 23 X 3 = 69 dp2 = 69 X 4 = 276
E = 184 = r1 + r2
logo qualquer das aproximações é aceitável.
11.3.5 -VERIFICAÇÃO DO DESGASTE
As engrenagens, nas quais o perigo do desgaste é maior que o perigo da ruptura são
chamadas de engrenagens de trabalho. São as engrenagens muito velozes ou as que
funcionam por períodos muito longos (sem que aconteçam sobrecargas notáveis).
O dimensionamento baseado no desgaste consiste em:
“Verificar que a pressão de contato, calculada com as fórmulas de HERTZ, quando o
contato se dá sobre as primitivas, seja inferior a um valor admissível experimental, dependente
da dureza BRINELL do material e do número de repetições de carga sobre a engrenagem”.
OBS: Supõe-se aqui que as condições de lubrificação sejam boas e que não exista nenhum
meio abrasivo interferindo no funcionamento par em estudo.
353

FÓRMULA DE HERTZ:
Figura 4 – Condições de lubrificação.
S
1
1 1
+
ρ ρ
1 1
+
E E
1 2
σ c = 0,
35 ⋅ ⋅
(17)
σc = tensão de contato de HERTZ ou tensão atuante
S = força total sobre o dente:
P
S =
cos β
E1; E2 = módulos de elasticidade dos materiais em contato
ρ1; ρ2 = raios de curvatura principais mínimos das superfícies dos dentes em contato.
mo
⋅ Z1
ρ1 = r1
⋅ senβ
= ⋅ senβ
2
mo
⋅ Z 2
ρ 2 = r2
⋅ senβ
= ⋅ senβ
2
HERTZ:
1
Desenvolvendo a expressão anterior, chegamos à fórmula da pressão de contato de
4,
4 ⋅ P
Z
+ Z
2
1 2 1 2
σ c =
⋅ ⋅
(18)
1⋅
p ⋅ sen2β
Z1
⋅ Z 2 E1
+ E2
A tensão de contato admissível (experimental) vale:
0,
5⋅
H
σ
c ⋅ adm =
⎛ g ⎞
⎜ ⎟ 6
⎝10
⎠
B
1
6
2
E
⋅ E
354

Onde:
HB - dureza BRINELL do material (tabelado)
OBS: para o aço e na falta de tabela: HB ≅ 3 σR (Kg/mm 2 )
tabelado)
g - número de repetições dos ciclos de carga (função do nº de horas de funcionamento -
g = 60 . n . hf sendo n (RPM)
A desigualdade σc ≤ σc admissível deve ser verificada. Com esta condição chega-se a:
sen2β
Z ⋅ Z E + E
= (19) O valor da força tangencial
1 2 1 2 2
P ⋅1
⋅ p ⋅ ⋅ ⋅σ
c
4,
4 Z1
+ Z 2 E1
⋅ E2
O segundo membro e multiplica por Cv, para levar em conta as solicitações dinâmicas, e
assim teremos:
Obtemos: P ≤ 1 . p . C Cv
sen2β
Z1
⋅ Z 2 E1
+ E2
2
⋅1⋅
p ⋅ ⋅ ⋅σ
c ⋅ adm = C
4,
4 Z + Z E ⋅ E
Indicando com Padm a força máxima tangencial admissível vem:
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES
Onde:
1
2
Padm = 1 . p . C . Cv
Se acontecer Patuante > Padm podemos variar:
1. modificar l (comprimento do dente)
2. modificar o nº de dentes
3. aumentar a dureza BRINELL o que seria mais conveniente.
Deve-se verificar: Pat ≤ Padm
Mt
Pat = (força tangencial atuante máxima)
r
Módulos Normalizados (m.m)
0,3 – 0,4....0,9
1,0 – 125.... 3,75
4,0 – 4,5 ... 6,5
7,0 – 8,0 ... 15
1
2
16 – 18 ... 24
27 – 30 ... 42
45 – 50 ... 75
Tabela 3 – Normalização de módulos.
355

Número mínimo de dentes para evitar interferências
Tipo de transmissão β = 20º β = 149º 30’
Pequenas velocidades -pequenas cargas 10 18
Velocidades médias (6 a 9 m/s) 12 24
Grandes velocidades (15m/s - cargas grandes) 16 30
Engrenamento externo Z1 + Z2 ≥ 24
Engrenamento interno Z2 – Z1 ≥ 10
Tabela 4 – Número mínimo de dentes.
Fatores de Forma Y
Z1
β = 149º
30’
β = 20º Z1
β = 149º
30’
β = 20º
12 0,210 0,245 28 0,314. 0,352
13 0,220 0,261 30 0,320 0,358
14 0,226 0,276 34 0,327 0,371
15 0,236 0,289 38 0,333 0,333
16 0,242 0,295 43 0,346 0,396
17 0,251 0,302 50 0,352 0,408
18 0,261 0,308 60 0,358 0,421
19 0,273 0,314 75 0,364 0,434
20 0,283 0,320 100 0,371 0,446
21 0,289 0,327 150 0,377 0,459
22 0,292 0,330 300 0,383 0,471
24 0,298 0,336 — 0,390 0,484
26 0,307 0,346 — — —
Materiais usados em engrenagens:
Material
Tabela 5 – Fatores de Forma.
σR
(Kg/mm 2 )
HB
SAE-1035 30 a 45 150
SAE-1045 55 a 60 170
SAE-1060 65 a70 200
SAE-8640 70 a 85 -
SAE-4140 85 a 90 -
Ferro Fundido 21 220
Tabela 6 – Materiais usados em engrenagens.
356

ESPÉCIES DE MÁQUINAS
Instrumento e aparelhos de pouco uso.
Aparelhos de demonstração, dispositivos para manobra de portões
corrediços.
Duração em horas
de funcionamento
Motores de avião. 1000 – 2000
Máquinas para serviço curto ou intermitente, quando eventuais
perturbações de serviço são de pouca importância:
Máquinas - ferramentas manuais: aparelhos de elevação para
oficinas; máquinas manuais em geral, máquinas agrícolas;
guindastes de montagem; aparelhos domésticos.
Máquina para serviço intermitente, quando eventuais perturbações
de serviço são de muita importância:
Máquinas auxiliares para instalação de força; equipamento de
transporte para fabricação contínua; elevadores; guindastes para
carga real; máquinas - ferramentas de pouco uso.
Máquinas para 8 horas de serviço diário não utilizado inteiramente.
hf
500
4000 - 8000
8000 - 12000
Motores elétricos estacionários, engrenagens para fins gerais. 12000 - 20000
Máquinas para 8 horas de serviços diários, utilizados inteiramente.
Máquinas para oficinas mecânicas em geral; guindaste para trabalho
contínuo; ventiladores, transmissões intermediárias.
Máquinas centrífugas; bombas; transmissões; elevadores de minas;
motores elétricos estacionários, máquinas de serviço contínuo em
navios de guerra.
Máquinas para a fabricação de celulose e papel; máquinas para o
serviço público de força motriz; bombas para abastecimentos
públicos de água; máquinas de serviço contínuo em navios
mercantes.
Tabela 7 – Espécie de Máquinas.
20000 - 30000
40000 - 60000
100000 - 200000
357

11.3.6 - EXERCÍCIO RESOLVIDO - ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
1 . Um trem simples de engrenagens cilíndricas retas tem as seguintes características:
N = 100 CV - potências motoras
n = 1600 RPM - rotação do pinhão
R = 3,75/1 - relação de redução
β = 20º - ângulo de pressão
Engrenagens de média precisão, de aço SAE-1060, sujeitos a condições extremamente
desfavoráveis.
O mecanismo pertence a uma máquina para oito horas de serviço diário, não utilizado
inteiramente.
PEDE—SE:
a) Dimensionar o par quanto à resistência
b) Verificar o par quanto ao desgaste
c) Com croquis da solução encontrada
Solução:
a) Cálculo é dado por:
m
≥
3 σ R
2⋅
M
K
S
t
⋅C
v
⋅ K
t
⋅ K
1
⋅ K ⋅Y
⋅ Z
1. Momento de torção:
M t
=
N
w
100⋅
75⋅
30⋅10
=
π ⋅1600
3
=
44.
800
mm.
Kg
2. Material: SAE-1060 - σR = 70 Kg/mm 2
3. Coeficientes de segurança:
Ks = 6 (condições extremamente desfavoráveis)
4. Fator velocidade:
Cv’ = 0,7 (arbitrado em 1ª aproximação)
5. Fator de proporcionalidade:
Adotaremos:
K = 20 (grandes potências).
6. Número de dentes das engrenagens:
3,
75
R
= =
1
60
15
358

Z1 = 16 dentes (pinhão)
Z2 = 60 dentes (coroa)
7. Fator de forma:
Y = 0,295 (em função de Z1 = 16 e β = 20º)
8. Módulo em 1ª aproximação:
X
=
σ
K
R
S
2⋅ M t 2⋅
44⋅
800⋅
6⋅
K t ⋅ K1
=
=
70⋅
20⋅
0,
295⋅16
⋅C
⋅ K ⋅Y
⋅ Z
v
v
X 81,
3
m'
= 3 = 3 = 4,
85
C ' 0,
7
m‘ = 5,0 mm (padronizado)
mm
9. Diâmetro primitivo em 1ª aproximação:
d1 = m . Z1 = 5,0 . 16 = 80 mm
10. Velocidade periférica em 1ª aproximação:
⋅ d1
⋅ n1
v = = 6,
7 m / s
3
6 × 10
π
11. Fator velocidade em 2ª aproximação:
C v
C v
6
" = (média precisão)
6 + v
6
" = =
6 + 6,
7
0,
473
81,
3
12. Módulo em 2ª aproximação: (o valor encontrado depois de padronizado, será
adotado como final):
X 81,
3
m"
= 3 = 3 = 5,
7 mm
C " 0,
473
M = 6,00 mm
v
b) Verificação ao desgaste: Condição de verificação:
Pat ≤ Padm
1. Força tangencial atuante:
P
at
M
=
r
t1
1
2⋅
M t
=
m⋅
Z
1
1
2⋅
44800
= = 940
6⋅16
Kg
2. Força de contato admissível: Padm = l. p .C . Cv
359

Onde:
sen
β
Z
⋅ Z
+ E
C =
2
4 ⋅ 4
1 2
⋅
Z1
+ Z 2
1 2 2
⋅ ⋅σ
c adm
E1
⋅ E2
E
3. Largura das engrenagens: l = K . m = 20.6 = 120 mm
4. Passo das engrenagens: p = m . π = 6,0 . 3,14 = 18,84 mm
5. Fator velocidade: Cv = 0,47.3 (adotado como valor final, por simplificidade).
6. Cálculo da fator C:
σ
c adm
0,
5HB
=
g
6
6
10
HB = 200 (sem tratamento térmico)
g = 60.n.h = 60. 1. 600. 15000 = 1440.10 6 ciclos de carga
hf = 15000 horas de funcionamento
σ c adm
0,
5⋅
200
= = 29,
8
6
1440
E1 = E2 = 21.10 3 Kg/mm 2 (módulo de elasticidade do aço)
=
4,
4
sen
C
3
40º 16⋅
60 42×
10
−3
⋅ ⋅ ⋅885
= 155×
10
3
16 + 60
7. Força admissível:
441×
10
Padm = 1.p.C.Cv = 120. 18,84. 155. 10 -3 . 0,0473 = 165 K
8. A desigualdade: Pat ≤ Padm não foi atendida.
Uma das modificações que poderia resolver o problema consiste em cementar as peças,
com isto a dureza Brinell tríplice, bastando, então multiplicar por 9 (nove) o valor do Padm.
A nova Padm fica igual a:
Padm = 9. 165 = 1485 Kg
360

Comentando as peças fica verificado o par quanto ao desgaste.
n = 6,0 mm
z1 = 16 dentes
d1 = 96 mm
de1= 108 mm
p = 18,84 mm
z2 = 60 dentes
d2 = 360 mm
de2= 372 mm
l = 120 mm
11.4 - ENGRENAGENS CILÍNDRICAS HELICOIDAIS
11.4.1 - DIMENSIONAMENTO PELA RESISTÊNCIA
Figura 5 – Engrenagens Cilíndricas.
O cálculo é feito no plano, normal no eixo do dente. Neste plano, o dente helicoidal pode
ser aproximado ao dente de uma engrenagem cilíndrica reta com número de dentes igual ao
número virtual com o ângulo de processo:
Onde:
Padm = carga admissível no plano normal
P
P
adm
adm
σ r ⋅C
v
= Y * ⋅b
⋅ Pn
⋅
K
= P
adm
S
σ r ⋅ Cv
⋅ n ⋅ cosα = Y * ⋅b
⋅ Pn
⋅ ⋅ cosα
K
Pn < Padm - Condição de Cálculo
A condição no plano normal ao eixo da engrenagem passa a ser:
P
P
adm
adm
β σ r ⋅C
v
= Y * ⋅ f ⋅ ⋅ M n ⋅π
⋅ ⋅cos
α
cosα
K
σ r ⋅ Cv
= Y *
⋅ f ⋅1
⋅ mn
⋅
K
S
S
S
P ≤ Padm
361

2⋅
M
P =
d
n
t
2⋅
M t 2⋅
M t ⋅cos
α
= =
M ⋅ Z M ⋅ 2
f
2⋅
M t ⋅cos
α
σ r ⋅C
≤ Y * ⋅ f ⋅1⋅
mn
⋅
M ⋅2
K
11.4.2 - VERIFICAÇÃO DO DESGASTE
n
M
n
S
v
sendo l=k
2 ⋅ M t ⋅ cosα
⋅ K1
⋅ K t
≥
3 σ r ⋅ Cv
⋅ Y * ⋅ f ⋅ K ⋅ Z
K
S
A relação S e Sf e a mesma entre os raios de curvatura dadas na fórmula de HERTZ.
Disto conclui-se que se pode verificar a engrenagem helicoidal ao desgaste considerando um
par de rodas cilíndricas tendo a mesma seção frontal de um par helicoidal, isto é, tendo o
(20)
mesmo número de dentes, mesmo modulo e mesmo ângulo de pressão frontal.
P = C ⋅1
⋅ pf ⋅ C
adm
onde
f
sen
β
v
Z
⋅ Z
E + E
C f =
2
1 1 2
⋅
4 ⋅ 4 Z1
+ Z 2
1 2 2
⋅ ⋅σ
c adm
E1
⋅ E2
P ≤ Padm
onde: σc adm 2 é um valor experimental, tem o mesmo valor usado nas cilíndricas retas.
σ
2
c adm
0,
5HB
=
g
6
10
6
11.4.3 – EXERCÍCIO RESOLVIDO - ENGRENAGENS CILÍNDRICAS HELICOIDAIS
1. OBS: neste exercício aparecerão algumas fórmulas que não foram vista anteriormente.
Dimensionar o par de Engrenagens cilíndricas helicoidais de eixos paralelos, sendo
dados:
N = 10 CV potência a transmitir
n = 1200 rpm rotação do pinhão
R = 4/1 razão de redução
perfil envolvente, não corrigido, β = 20º, α=22º, carregamento com choques, aço SAE
1045 com
σr = 60 Kg/mm 2
362

vida das engrenagens 20.000 horas.
a) dimensionar pela resistência
b) verificação pelo desgaste
c) cálculo do rendimento
m
3
n ≥
σ
2 ⋅ M
t
cosα
⋅ K
1
⋅ Y * ⋅Z
⋅ K ⋅ C
10⋅
75⋅
30
= = 6
π ⋅1200
⋅ K
v
t
⋅ f
M t
Mt = 6000 Kg.mm
cos α = cos 22º = 0,93
K1 = 1,5 Kt = 1,53 σ = σr/Ks = 60/5 = 12 Kg/mm 2
Zv = 17 dentes valor tirada da tabela para não haja interferência.
Zv = Z/cos 3 α Z = Zv . cos 3 α = 17 . 0,8 ≅ 14
K = 10 (adotado) Z = 17
f = 1,5 (adotado) Y* β = 20º Y* = 0,302
Cv = 0,7 (adotado)
Substituindo, teremos:
m n
m n
≥
3
2⋅
6000⋅
0,
93⋅1,
5⋅1,
53
12⋅
0,
302⋅10
⋅14
⋅0,
7 ⋅1,
5
2⋅
60⋅
0,
93⋅1,
53
≥ 3 =
1,
2⋅
3,
02⋅1,
4 ⋅0,
7
3,
65
mn
⋅ Z 3,
65⋅14
d p = = = 55 r=27,5
cosα
0,
93
π ⋅1200
v = Wr
= ⋅27,
5 v = 3,46 m/s
30
Logo:
C v
6
= =
6 + 3,
46
0,
63
Cv
0,
7
⋅ 3 = 3,
65⋅
= 3,
74
C ' 0,
63
m n ' = mn
3
mn = 4 mais próximo padronizado
v
363

Verificação ao desgaste:
P =
M
v
2⋅
M ⋅cos
α
=
mn
⋅ Z
2⋅
6000⋅
0,
93
P =
= 200 Kg
4⋅14
P = l * p ⋅C
⋅ C (21)
adm
l* = 1,5 . K . mn = 1,5 . 10 . 4 = 60,0 mm
p
f
mn
⋅π
4⋅π
= = = 13,
6 mm
cosα
0,
93
sen2β
Z
⋅ Z
+ E
f 1 2 1 2 2
C f = ⋅ ⋅ ⋅σ
adm
4,
4 Z1
+ Z 2 E1
⋅ E2
tan β n tan 20º
tan β f = = = 0,
391 βf = 21º30’
cosα
0,
93
R = 4/1
HB = 3 σr
σ
c adm
=
E
Z1 = 14 Z2 = 56
0,
5
⋅
H B
g
10
σr = 60 HB = 180
6
g = 60 n n hf = 60 . 1200 . 20000 = 1,44 X 10 7
Logo:
=
90
= 26,
9
1440
σ adm
σadm
4
2 = 720
Substituindo estes valores teremos:
C f
4
0,
68 14⋅
56 4,
2×
10
= ⋅ ⋅ ⋅720
= 0,
12
8
4,
4 14 + 56 4,
41×
10
Padm ≤ 60,0 . 13,6 . 0,12 . 0,63 Padm ≤ 66,5 200 ≤ 66,5
teremos portanto que recalcular Cf.
200 ≤ 60,0 . 13,6 . 0,63 . Cf’
Cf’ = 200/55,5 = 0,36
Cf
K . σc adm 2
f
f
v
364

2
C' 2
f ⋅σ
c adm 0,
36 ⋅ 720
σ 'c
adm = = = 2160 σc’
C 0,
12
2 .= 46,5
Logo:
f
0,
5 ⋅ H B
σ adm = = 46,
5
6 g
6
10
e conseqüentemente σr = 46,5
Rendimento:
η =
cos
2
46, 5⋅
3,
35
H B =
H B ≥ 310
0,
5
2
cos α ⋅cos
β n
0,
86⋅
0,
94
=
η = 92%
2
α ⋅cos
β + f ⋅ sen α 0,
86⋅
0,
94 + 0,
1⋅
0,
68
11.5 - ENGRENAGENS CÔNICAS DE DENTES RETOS
11.5.1 - DIMENSIONAMENTO PELA RESISTÊNCIA
A) ESTÁTICO
mm = módulo médio
⎛ K ⎞
mm = m⋅
⎜1−
⋅ senε
⎟
⎝ Z ⎠
1 Z
K ≤ ⋅
6 senε
m
3
m ≥
σ
2 ⋅ M
⋅ K ⋅Y
* ⋅Z
Y* fator de forma Zv (nº virtual de dentes)
β ângulo de pressão
B) DINÂMICO
m
m ≥
3
σ ⋅ K ⋅Y
* ⋅Z
m ≥ 3
σ
t
2⋅
M
v
2 ⋅ M
t
v
⎛ K ⎞
⋅⎜1
− ⋅sen
ε ⎟
⎝ Z ⎠
⋅ K ⋅Y
* ⋅Z
t
⋅ K
t
v
⋅ K
⋅K
Fórmula de Lewis
2
1
3
⋅ C
v
(22)
(23)
365

K1 fator de serviço
K2 fator de correção do fator de forma
K2 = 1,70 para todas engrenagens cônicas de dentes retos
m ≥
3
σ ⋅ K ⋅Y
* ⋅Z
2⋅
M
11.5.2 - ROTEIRO DE CÁLCULO (ESQUEMA)
Onde:
Cv m1 dp1 v1 Cv1 m2
2
v
t
⋅ K ⋅ K
t
1
⎛ K ⎞
⋅⎜1
− ⋅sen
ε ⎟
⎝ Z ⎠
m = m ⋅
1
3
C
C
v
v1
3
⋅ K
2
⋅C
v
(24)
“Adota-se Cv = 0,7 e calcula-se m1 em seguida dp1, v1 e assim por diante”.
11.5.3 - EXERCÍCIO RESOLVIDO
1. Dimensionar a resistência, um par de engrenagens cônicas de dentes retos de eixos
K1 = 1,5
perpendiculares com razão de redução R = 19/7. A potência a transmitir é de 40 CV e o
pinhão guiará a 2500 rpm. O material a usar será um aço de σr = 70 Kg/mm 2 . O
carregamento será com choques, sob condições extremamente desfavoráveis. O perfil
será envolvente β = 20º (corrigido). Quanto à precisão serão engrenagens comuns.
Solução:
N 40⋅
75⋅
30
M t = = = 11,
5 Kgm
W π ⋅ 2500
Kt = 1,43
K2 = 1,70
= σ
σ
K S
1
K ≤ ⋅
6
Mt = 11.500 Kg.mm
rup
=
Z
senε
70
6
=
11,
8
R = 19/7 Z1 = 3 X 7 = 21 (nº de dentes do pinhão)
δ = ε1 + ε2 = 90º
Kg / mm
R = tg ε2 ∴ tg ε2 = 19/7 = 2,71 ε2 = 69º50’ e ε1 = 20º10’
1 Z1
1 21
K ≤ ⋅ ≤ ⋅ K = 10,02 K ≅ 10
6 sen20º
10'
6 0,
34
2
366

Adotando Cv1 = 0,7
3
⎛ K ⎞ ⎛ 10 ⎞
⎜1−
⋅ senε
⎟ = ⎜1−
⋅ sen20º
10'⎟
⎝ Z ⎠ ⎝ 21 ⎠
Z c
Y*
Z
= =
cos ε
β = 20º
21
cos 20º
10'
=
pela tabela Y* = 0,33
m
1
=
3
11,
8
21
0,
94
=
3
22,
3
2⋅11.
500⋅1,
43⋅1,
50
⋅0,
33⋅
22,
3⋅
0,
58⋅
0,
7 ⋅1,
70⋅10
3
m 1 = 83 m1 = 4,35
dp1 = m1 . Z = 4,35 X 21 = 91,5 mm
π ⋅ n π ⋅91,
5×
10
= =
60
60
d
⋅ 2500
⎛ 10 ⎞
= ⎜1−
⋅0,
34⎟
⎝ 21 ⎠
−3
v 1
v1 = 12 m/s
6 6 6
= = =
6 + v 6 + 12 18
Cv 2
Cv2 = 0,33
3
=
3 ( 0,
836)
= 0,
58
0,
7
m 2 = m1
= 4,
35⋅
2,
1 m2 = 5,58 m = 6 (mais próximo padronizado)
0,
33
Verificação ao desgaste:
Patuante ≤ Padm
M
r
m
t
≤ l ⋅ p
m
⋅ C ⋅ C
v
1
⋅
K
Onde: Mt momento atuante
rm raio médio
r
m
d p l
= − ⋅sen
ε
2 2
l comprimento do dente
Pm-‘ passo médio
Onde:
Pm = π . mm = π . m (1 – K/z . sen ε)
sen
β
Z
⋅ Z
C =
2
4,
4
v1
v2
⋅
Z v1
+ Z v2
1 2 2
⋅ ⋅σ
c adm
E1
⋅ E2
3
E
+ E
367

H B
σ c adm
onde g = 60 . n . hf
0,
5 ⋅
=
g
10
HB = dureza Brinell
6
Cv Coeficiente de velocidade
C v
6
=
6 + v
ou
C v
5,
6
=
5,
6 +
v
ou
C v
3
=
3 +
K3 fator que leva em Conta a distribuição não uniforme de cargas sobre o dente das
Engrenagens cônicas de dentes retos.
Verificação ao desgaste para o problema anterior:
M
r
m
t
≤ l ⋅ p
m
⋅ C ⋅ C
Mt = 11.500Kg . mm
d
l
2
v
1
⋅
K
3
p
m = − ⋅ senε
1 ; m = 6 dp = m . Z = 6 X 21
r
2
l = K . m = 10 X 6 = 60
sen ε1 = sen 20º10’ = 0,34
rm = 126/2 – 60/2 . 0,34 = 52,65
pm = π . m (1 – K/Z sen ε1) = π . 6 . (1 - 10/21 . 0,34) pm = 16
Cv = 0,33 calculado anteriormente
K3 = 1,4
sen 2ε
Z v1
⋅ Z v2
E1
+ E2
C = ⋅ ⋅ ⋅σ
4,
4 Z + Z E ⋅ E
Z v
Z
Z
E
Z
2
v1
v1
1
1
v1
=
=
⋅ Z
+ Z
+ E
E ⋅ E
v1
21
cos20º
10'
57
cos 69º
50'
v2
2
v2
2
=
=
2,
24
v2
= 165,
2
1
( 0,
224 + 1,
652)
×
=
2
3
⋅1,
652×
10
× 10
4
4, 2 10
−4
= 0,
95×
10
8
4,
4×
10
21
0,
94
=
22,
4
2
2
c adm
= 19,
7
v
(para aço com E = 2,1 X 10 4 Kg/mm 2 )
368

0,
5 ⋅ 210
=
g
6
10
σ c adm
se g = 60 . 2500 . 2000 g = 3 X 10 9
=
105 105
=
3000 3,
8
σ c adm
σc adm 2 = 27,7 2 = 762
Logo: C = 0,146/1 . 19,7 . 0,95 X 10 -4 . 762 C = 0,208
Então: 11.500/52,65 ≤ 60 . 16 . 0,208 . 0,33 . 1/1,4 218 ≤ 47,066
Não verificou, faremos uma correção aumentando a dureza do material.
C = X . σc adm 2
C 2
C1 = ⋅σ
'c adm mas
σ
2
c adm
1 H B
Então: 2
C H '
σ
σ
2
c adm
' 2
c adm
=
H
H
B
B
2
C
= logo: 218 ≤ 60 . 16 . 0,33 . 1/1,4 . C1 218 ≤ 227 C1
C1 ≥ 218/227 = 0,96
2
C 1 H B
=
2
C H B '
HB’ ≥ 450
11.6 - PARAFUSO SEM FIM E COROA
B
'
2 2 0,
96
H B ' = 210 ⋅ HB’
0,
208
2 = 210 2 X 4,6
11.6.1 - DIMENSIONAMENTO PELA RESISTÊNCIA
Sendo a coroa o elemento menos resistente, será o determinante do módulo. A forma
dos dentes, de espessura variável, bem como o tipo de contacto, que depende de vários
fatores, tais como o ângulo da rosca, ângulo de avanço do parafuso, dificultam ainda mais uma
solução teórica precisa.
Diante disso, adotam-se hipóteses simplificadoras que conduzem a resultados apenas
aproximadas, não se considerando considerações de rigorismo, como o fator de concentração
de tensões, por exemplo. As fórmulas serão análogas aquelas das engrenagens cilíndricas
helicoidais de eixos paralelos.
A ruptura poder-se-á dar por flexão ou por cisalhamento; Earle Buchinghan, aconselha,
para a flexão, determinar o modulo pela equação de Lewis.
369

onde o índice c se refere a coroa.
fórmula:
Onde:
2 ⋅ M
⋅ cosα
tc c
m 3
n ≥
(26)
K ⋅Y
* ⋅Z
c ⋅σ
Para o cisalhamento, a mesma autoridade aconselha a determinar a resistência pela
F
τ
2
= ⋅ S ⋅τ
3
Pat ≤ Fτ (26)
Fτ é o esforço cortante a que pode resistir o dente (1 X g).
S = λ . 1 . PAP - é um valor proporcional à área resistente (mm 2 )
λ - é uma constante
l - é o comprimento do helicoide
τ - é a tensão de cisalhamento do material (Kg/mm 2 )
PAP - é o passo axial do parafuso
βα (P)
14º3
0’
20º 25º 30º
λ 0,60 0,70 0,75 0,75
Tabela 8 – Passo axial do parafuso.
11.6.2 - DIMENSIONAMENTO PELO DESGASTE
Earle Buckingham aconselha o uso da fórmula abaixo para determinação da força
resistente que o dente pode suportar:
onde:
dpc é o diânetro primitivo da coroa (mm)
b é a largura da coroa (mm)
Padm = dpc . b . K1 Pat ≤ Padm (27)
K1 é o fator de pressão em Kg/mm 2 , obtido do quadro abaixo:
370

Material Fator de Pressão (K1) [K1 – Kg/cm 2 ]
Parafuso Coroa γp = 0 a 10º γp = 10º a 25º γp >25º
Aço (250 BR) Bronze fosforoso 420 500 650
Aço cementado Bronze fosforoso 560 700 850
Aço cementado Bronze fosforoso 850 1050 1300
Ferro Fundido Bronze fosforoso 1050 1300 1600
OBS: γp – ângulo de avanço do parafuso
Tabela 9 – Fatores de Pressão.
αc – ângulo de inclinação de hélice da coroa
γp = αc
Figura 6 – Ângulo de inclinação.
11.6.3 - VERIFICAÇÃO DISSIPAÇÃO DE CALOR
Onde R - razão de redução
C - distância entre eixos em mm
N CV
1
1,
9 ⋅ C
=
R + C
N CV - potência que pode ser transmitida sob condições admissíveis de dissipação de
calor. Se a caixa da engrenagem fica muito quente, o óleo pode tornar-se muito fino e
ser expulso das superfícies pela pressão de contacto. Se isto acontecer, o atrito
aumentara, mais calor será produzido e, finalmente, ocorrera sério desgaste. Os
lubrificantes de extrema pressão (EP) reduzem as dificuldades resultantes do atrito
combinado, tornando possível capacidades mais elevadas.
, 7
371

11.6.4 - RENDIMENTO DOS PARAFUSOS SEM-FIM
Um estudo das forças na área de contacto conduzirá a uma expressão para o
rendimento. A reação da superfície, para a análise das forças, pode ser admitida num ponto O
(figura 7).
Figura 7 – Análise das forças de um parafuso sem-fim.
A força N é perpendicular à superfície naquele ponto e é mostrada atuando sobre o sem-
fim; assim sua projeção sobre o plano Zy, fará segundo um ângulo βα com o eixo dos Z onde βα
é o angulo de pressão num plano dimensional. Sua projeção sobre o plano ZX se fará segundo
um ângulo γ com o eixo dos Z onde γ é o ângulo de inclinação de rosca.
O plano abcd é ao eixo dos Z e abcd retângulo. O ângulo doc é βα o ângulo de pressão
no plano normal é βu = ângulo aôb. A relação entre estes ângulos é a seguinte:
ab
tan β n = e tan βα
=
CO
como pode ser visto na fig. anterior. Dividindo tg βn por tg βα e notando que ab = dc, obtemos:
tan β
tan β
n
a
CO
= = cosγ
bO
dc
CO
ou tg βn = tg βα . cos γ (28)
Além da força normal existe a força de atrito que é tangente à hélice e fica no plano xZ.
A reação total do plano é a soma vetorial destas duas forças. As forças nas quais estamos
interessados são as componentes x, y e z da reação total da superfície, chamadas
respectivamente wt, S e Ft conforme a fig. Vamos relacioná-las com N e Ff = fN. A componente
de N sobre Ob é N cos βu. A componente de N cos βu ao longo do eixo dos Z é N cos βu . cos γ ,
que atua para baixo. A componente da força vertical de atrito Ff é fN sen γ quando atua para
cima. A componente vertical total Ft é dada por:
372

Ft = N cosβn . cos γ - fN sen γ (29)
atuando para baixo na fig. onde Ft é a força motriz sobre a coroa, obtida da equação de
potência de saída aplicada a engrenagem. A componente horizontal da reação total no plano (N
e fN) é:
Wt = N cos βn . sen γ + fN cos γ (30)
onde é a força motora sobre o sem-fim e é ao eixo do parafuso no circulo primitivo.
Eliminando N das equações (29) e (30), obtemos:
W
t
⎡cos
β u ⋅ senγ
+ f ⋅cos
γ ⎤
= Ft
⋅ ⎢
⎥
⎣cos
β u ⋅cos
γ − f ⋅ senγ
⎦
Se a força de atrito é nula, f = 0 e a equação (31) torna-se:
(31)
⎡ cos β u ⋅ senγ
⎤
W t ' = Ft
⋅ ⎢
⎥ = Ft
⋅ tan γ (32)
⎣cos
β u ⋅cos
γ ⎦
Wt é a força que se opõe ao giro do sem-fim. Quando parafuso executa uma rotação,
numa certa quantidade de trabalho é efetuada contra essa resistência, conseqüentemente em
(31) e (32). Wt é respectivamente proporcional ao trabalho executado com e sem atrito.
Conseqüentemente, o rendimento, que é a razão do trabalho ideal (sem atrito) para o trabalho
real (com atrito), é a relação entre da equação (32) e da equação (31) ou
Wt
' ⎡cos
β n cos γ − f ⋅ senγ
⎤
M = = tan γ ⋅ ⎢
⎥
Wt
⎣ cos β u senγ
+ f ⋅cos
γ ⎦
⎡ cos β u − f ⋅ tan γ ⎤
ou M = tan γ ⋅ ⎢
⎥
⎣cos
β u − tan γ + f ⎦
Uma representação gráfica típica da equação anterior, rendimento em função do ângulo
de avanço γ, é mostrada na figura 8 abaixo. O rendimento destas transmissões, além de variar
com β e γ, é sensível à lubrificação, à velocidade de deslizamento no contacto, à qualidade de
mão-de-obra e aos materiais.
373

Figura 8 – Rendimento x Avanço.
Da figura 8 vemos que para ângulos de avanço muito pequenos, o rendimento é baixo,
porém para ângulos de avanço entre 30º e 60º o rendimento é razoavelmente elevado. Quanto
menor for o diâmetro do sem-fim para um passo particular, maior será o ângulo de avanço,
porém, para se obter ângulo de avanço dentro de gama de rendimentos máximos é necessário
usar-se parafuso sem-fim de várias entradas, com 3, 4, 5 ou mais filetes.
11.6.5 - EXERCÍCIO RESOLVIDO - SEM FIM E COROA
1 . Dimensionar um sistema, parafuso coroa, segundo as especificações:
Potencia a transmitir = 22 CV
Rotação do parafuso 1980 rpm
Rotação da coroa = 180 rpm
Material do parafuso = aço cementado
com σr = 90 Kg/mm 2 τr = 45 Kg/mm 2
funcionando em condições normais com Fs = 3
material da coroa - Bronze fósforo:
σr = 27 Kg/mm 2
τr = 12 Kg/mm 2
ângulo de inclinação de hélice = 14º
Serviço contínuo, caixa comum com ventilação, sendo o sem fim com perfil envolvente.
374

a) dimensionar pela resistência - carregamento Estático.
b) verificação ao desgaste.
c) verificação quanto ao cisalhamento.
d) cálculo do rendimento.
e) verificação a dissipação de calor.
Dimensionamento pela Resistência
m
M
3
n ≥
σ
2 ⋅ M tc ⋅ cosα
c
supondo carregamento estático.
⋅Y
* ⋅Z
⋅ K
716⋅
N
n
c
716⋅
22
= = 87,
5 Kgm
180
CV
tc = Mtc = 87500 Kgmm
cos αc = cos 14º = 0,97
σ = σr/Ks = 27/3 = 9 Kg/mm 2 σ = 9 Kg/mm 2
R = 1980/180 = 11/1 mas R = Zc/Zp
pela tabela uma relação de 10/1 4 entradas
11/1 = Zc/4 Zc = 44 dentes
sendo o sem fim com 4 entradas.
Para que não haja interferência temos que ter:
Z
vc
Z c
= = 3
cos α
c
Zv = 50
44
0,
97
3
=
48,
5
≅ 50
Y* Y* = 4,08 X 10 -1
β = 20º
2⋅
87500 − 0,
97
9⋅
0,
408⋅
4,
4⋅
8
1,
7×
10
m n ≥ 3
= 3
4
2
mn = 5
b) Verificação ao desgaste:
Pat ≤ Padm
P
d
at
pc
P at
⋅ M
=
d
2
pc
tc
13,
6×
10
e 1 K b d Padm = pc ⋅ ⋅
mn
⋅ Z c 5⋅
44
= = = 227
cosα
0,
97
c
2⋅
87500
= = 772 Kg e
227
375

= l . cos αc = k .mn . cos αc
b = 5 . 8 . 0,97 b = 38,8 mm
K1 (fator de pressão) = 7 Kg/mm 2 (tabelado) 772 ≤ 227 . 38,8 . 7 ∴ Verifica
Se a condição não fosse satisfeita recalcularia-se um novo módulo utilizando a expressão
abaixo:
2 M
m
n⋅Zc
cosα
c
mn
Z
≤ ⋅ k ⋅ m
cosα
⋅ tc ⋅ c
c
n
⋅ cosα
⋅ k
c) Verificação ao cisalhamento:
Pat ≤ Fτ
c
1
m
≥
n
3
2 ⋅ M
Z
tc
2
c ⋅
Fτ = 2/3 S . τ sendo τ = 45/3 S = λ . l . Pap
λ Sap Zc p/ βap = 20º λ = 0,7
L AP
sen α c =
l
L = τ ⋅ P
P
AP
AP
= P
fc
AP
LAP
l =
senα
Pn
π ⋅ mn
= = =
cosα
cosα
6⋅16,
2 97,
2
l = = = 402
sen14º
sen14º
c
c
c
50⋅
3,
14
0,
97
S = 0,7 . 402 . 16,2 = 4570 mm 2
τ = 15 Kg/mm 2
Fτ = 2/3 . 4570 • 15 Fτ = 45 . 700 Kg
Logo:
Pat ≤ Fτ
d) Cálculo do Rendimento:
PAP = 16,2 mm
cos β n − f ⋅ tan γ cos β n − 0,
1⋅
tan14º
η =
⋅ tan γ =
⋅ tan14º
cos β ⋅ tan γ + f cos β ⋅ tan14º
+ 0,
1
n
n
⋅ cosα
k ⋅ k
1
c
Figura 9 - Exercício resolvido 1.
tg βn = tg βα . cos γ = tg 20 X cos 14 = 0,37 X 0,97 tg βn = 0,36 βn = 19º
sendo ∴ cos 19º = 0,945 e tg 14º = 0,25
376

0,
945 − 0,
1⋅
0,
25
η =
⋅0,
25 = 0,
685 η = 68,5%
0,
945⋅
0,
25 + 0,
1
e) Verificação quanto a dissipação de calor:
⎛ C ⎞
⎜ ⎟
⎝100
⎠
2
N1
⋅Y1
⋅Y2
⋅Y
≥
n
1 + 6 ⋅
1000
d pp + dpc
C = mas
2
d
d
pp
pc
mn
⋅ Z
=
senγ
p
p
3
5 ⋅ 4
= = 83
0,
242
mn
⋅ Z c 5⋅
44
= = = 227
senα
c 0,
97
c
83 + 227
∴ C = = 155 mm
2
N1 = 22CV y2 = 1 (devido a relação de redução)
y1 =1 (serviço contínuo) y3 = 1,17 (aço temperado sem retificar)
155 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝100
⎠
22⋅1⋅1⋅1,
17
≥
1980
1+
6⋅
1000
25,
75
2 , 4 ≥ = 2 (logo 0K!)
12,
9
11.7 - DIMENSIONAMENTO PELA NORMA AGMA
11.7.1 - TENSÃO DE FLEXÃO EM ENGRENAGENS
A) CÁLCULO DA TENSÃO DE FLEXÃO, POR LEWIS, SEM CONSIDERAR O EFEITO
DINÂMICO
M 6Wt
l
Wt P
a) σ = =
b) σ
=
2
l / c Ft
FY
377

Número de
Dentes
Y
Número de
Dentes
Y
Número de
Dentes
12 0,245 21 0,328 50 0,409
13 0,261 22 0,331 60 0,422
14 0,277 24 0,337 75 0,435
15 0,290 26 0,346 100 0,447
16 0,296 28 0,353 150 0,460
17 0,303 30 0,359 300 0,472
18 0,309 34 0,371 400 0,480
19 0,314 38 0,384 Rack 0,485
20 0,322 43 0,397 - -
Tabela 10 – Número de Dentes e fator Y.
B) FÓRMULA PARA O CÁLCULO DO EFEITO DINÂMICO
a)
b)
K V
K V
1200
= ; (sistema inglês)
1200 + V
6,
1
= ; (sistema internacional)
6,
1+
V
C) FÓRMULAS PARA O CÁLCULO DA TENSÃO DE FLEXÃO CONSIDERANDO O EFEITO
DINÂMICO
Wt
P
a) σ = ; (sistema inglês)
K FY
v
Wt
b) σ = ; (sistema internacional)
K FmY
v
D) FÓRMULA PARA O CÁLCULO DO CARREGAMENTO TANGENCIAL
a)
b)
W t
33000H
= ; onde H entra em hp (cavalo vapor) e V em ft/min (pés por minuto)
V
H
Wt = ; onde H entra em Watts e V em m/s.
V
Y
378

11.7.2 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - TENSÃO DE FLEXÃO EM ENGRENAGENS
1. Um pinhão de aço tem um passo de 6 dentes/polegada, 22 dentes, e um ângulo de
pressão de 20º. O pinhão gira a uma velocidade de 1200 rpm e transmite uma potência
de 15hp a uma engrenagem de 60 dentes. Se a face mede 2 polegadas estime a tensão
de flexão.
• Cálculo do diâmetro:
N
d = →
P
22
d = → d = 3,67 in
6
πdn
× 3 , 67 × ( 1200)
• Cálculo da velocidade: V = → =
12
12
π
V → V = 1152 ft / min
• Cálculo do efeito dinâmico:
K V
1200 1200
= → KV =
→ K V = 0,
510
1200 + V 1200 + 1152
• Pela tabela 1 para um número de dentes igual a 22 tem-se Y = 0,331:
• Cálculo da carga tangencial:
W t
33000H
33000× 15
= → Wt =
→ Wt = 430lb
V
1152
Wt
P
430×
6
• Cálculo da tensão de flexão: σ = → σ =
→ σ = 7,
64Kpsi
K FY 0,
510×
2 × 0,
331
v
2. Um pinhão de aço possui um passo diametral de 12 dentes/polegada, 16 dentes um
ângulo de pressão de 20º e tem a face do dente com uma largura de ¾ de polegada. É
esperado que este pinhão transmita 1,5 hp a uma rotação de 700 rpm. Determinar a
tensão de flexão.
• Cálculo do diâmetro:
N
d = →
P
16
d = → d = 1,33 in
12
dn
• Cálculo da velocidade: V
12
π
× 1 , 33×
( 700)
= → =
12
π
V → V = 243, 73 ft / min
• Cálculo do efeito dinâmico:
K V
1200 1200
= → KV =
→ K V = 0,
83
1200 + V 1200 + 243,
73
• Pela tabela 1 para um número de dentes igual a 16 tem-se Y = 0,296:
• Cálculo da carga tangencial:
W t
33000H
33000× 1,
5
= → Wt =
→ Wt = 203,
1lb
V
243,
73
Wt
P
203,
1×
12
• Cálculo da tensão de flexão: σ = → σ =
→ σ
= 13,
23Kpsi
K v FY
3
0,
83×
× 0,
296
4
379

3. Um pinhão de aço tem um módulo de 1,25 mm, 18 dentes, um ângulo de pressão de 20º
e 12 mm de largura de face. Em uma velocidade de 1800rpm é esperado que este
pinhão consiga transmitir 0,5 kW. Determine o resultado da tensão de flexão.
• Cálculo do diâmetro:
d
m = → d = 1 , 25×
18 → d = 22,5 mm
N
πdn
× 22 , 5×
( 1800)
• Cálculo da velocidade: V = → =
60000
60000
π
V → V = 2,
12m
/ s
• Cálculo do efeito dinâmico:
K V
6, 1
6,
1
= → KV = → K V = 0,
742
6,
1+
V 6,
1+
2,
12
• Pela tabela 1 para um número de dentes igual a 18 tem-se Y = 0,309:
• Cálculo da carga tangencial:
• Cálculo da tensão de flexão:
σ =
68,
58MPa
H
Wt = →
V
500
Wt = → Wt = 235,
85N
2,
12
Wt
σ = →
K FmY
v
235,
85
σ =
→
0,
742×
12 × 1,
25×
0,
309
4. Um pinhão com 15 dentes e um ângulo de contato de 20º módulo de 5 mm e a largura
da face igual a 60 mm. O pinhão gira a uma rotação de 200 rpm e transmite 5 kW para
uma engrenagem idêntica. Qual é o resultado do a tensão de flexão.
• Cálculo do diâmetro:
d
m = → d = 5× 15 → d = 75 mm
N
πdn
× 75× ( 200)
• Cálculo da velocidade: V = → =
60000 60000
π
V → V = 0,
785m
/ s
• Cálculo do efeito dinâmico:
K V
6, 1
6,
1
= → KV =
→ K V = 0,
886
6,
1+
V 6,
1+
0,
785
• Pela tabela 1 para um número de dentes igual a 15 tem-se Y = 0,290:
• Cálculo da carga tangencial:
Cálculo da tensão de flexão:
σ
= 82,
63MPa
H
Wt = →
V
5000
Wt = → Wt = 6369,
43N
0,
785
Wt
σ =
→
K FmY
v
6369,
43
σ =
→
0,
886×
60×
5×
0,
290
380

5. Um pinhão com um módulo de 1mm 16 dentes 20º de ângulo de contato e um
carregamento de 0,15 kW a uma rotação de 400 rpm. Determine a largura da face para
uma tensão de flexão de 150 MPa.
• Cálculo do diâmetro:
d
m = → d = 1× 16 → d = 16 mm
N
πdn
× 16× ( 400)
• Cálculo da velocidade: V = → =
60000 60000
π
V → V = 0,
335m
/ s
• Cálculo do efeito dinâmico:
K V
6, 1
6,
1
= → KV =
→ K V = 0,
948
6,
1+
V 6,
1+
0,
335
• Pela tabela 1 para um número de dentes igual a 16 tem-se Y = 0,296:
• Cálculo da carga tangencial:
• Cálculo da tensão de flexão:
F = 10,
64mm
H
Wt = →
V
150
Wt = → Wt = 447,
76N
0,
335
Wt
σ =
→
K FmY
v
447,
76
F =
→
0,
948×
150×
1×
0,
296
6. Um pinhão com ângulo de contato de 20º tem 17 dentes e um módulo de 1,5 mm
transmitindo 0,25kW na rotação de 400 rpm. Encontre a largura do dente apropriada
para que a tensão de flexão não ultrapasse 75 MPa.
• Cálculo do diâmetro:
d
m = → d = 1 , 5×
17 → d = 25,5 mm
N
πdn
× 25 , 5×
( 400)
• Cálculo da velocidade: V = → =
60000
60000
π
V → V = 0,
534m
/ s
• Cálculo do efeito dinâmico:
K V
6, 1
6,
1
= → KV =
→ K V = 0,
919
6,
1+
V 6,
1+
0,
335
• Pela tabela 1 para um número de dentes igual a 17 tem-se Y = 0,303:
• Cálculo da carga tangencial:
• Cálculo da tensão de flexão:
F ≥
26,
32mm
H
Wt = →
V
250
Wt = → Wt = 825,
08N
0,
303
Wt
σ = →
K FmY
v
825,
08
F =
→
0,
919×
75×
1,
5×
0,
303
381

7. Com um ângulo de contato de 20º um pinhão transmite 1,5 kW a uma rotação de 900
rpm. Se o pinhão tem 18 dentes determine valores coerentes para o módulo e a largura
do dente. A tensão de flexão não pode ultrapassar 75 MPa.
• Para um módulo igual a 2,5mm
• Cálculo do diâmetro:
d
m = → d = 2 , 5×
18 → d = 45 mm
N
πdn
× 45× ( 900)
• Cálculo da velocidade: V = → =
60000 60000
π
V → V = 2,
12m
/ s
• Cálculo do efeito dinâmico:
K V
6, 1
6,
1
= → KV = → K V = 0,
742
6,
1+
V 6,
1+
2,
12
• Pela tabela 1 para um número de dentes igual a 18 tem-se Y = 0,309:
• Cálculo da carga tangencial:
• Cálculo da tensão de flexão:
F ≥ 16,
46mm
H
Wt = →
V
1500
Wt = → Wt = 707,
55N
2,
12
Wt
σ = →
K FmY
v
707,
55
F =
→
0,
742 × 75×
2,
5×
0,
309
8. Uma engrenagem pinhão para transmitir 3,5kW em uma velocidade de 1200 rpm. Com
um ângulo de contato de 20º, 19 dentes e com uma tensão de flexão de 70 MPa,
encontre valores coerentes para a largura de face e o módulo.
• Para um módulo igual a 2,5mm
• Cálculo do diâmetro:
d
m = → d = 2 , 5×
19 → d = 47,5mm
N
π.
d.
n × 47 , 5×
( 1200)
• Cálculo da velocidade: V = → =
60000
60000
π
V → V = 2,
984m
/ s
• Cálculo do efeito dinâmico:
K V
6, 1
6,
1
= → KV =
→ K V = 0,
671
6,
1+
V 6,
1+
2,
984
• Pela tabela 1 para um número de dentes igual a 19 tem-se Y = 0,314:
• Cálculo da carga tangencial:
• Cálculo da tensão de flexão:
F =
31,
8mm
H
Wt = →
V
3500
Wt = → Wt = 1172,
76N
2,
984
Wt
σ = →
K FmY
v
1172,
76
F =
→
0,
671×
70 × 2,
5×
0,
314
382

9. Estime a potência que pode ser transmitida em kW em um pinhão com módulo de 4mm,
20 dentes, ângulo de contato de 20º, largura da face do dente de 50mm, rotação de
1000 rpm e máxima tensão de flexão de 62,5 MPa.
• Cálculo do diâmetro:
d
m = → d = 4 × 20 → d = 80mm
N
πdn
× 80 × ( 1000)
• Cálculo da velocidade: V = → =
60000
60000
π
V → V = 4,
189m
/ s
• Cálculo do efeito dinâmico:
K V
6, 1
6,
1
= → KV =
→ K V = 0,
592
6,
1+
V 6,
1+
4,
189
• Pela tabela 1 para um número de dentes igual a 20 tem-se Y = 0,322:
• Cálculo da carga tangencial: = σK
FmY → W = 62 , 5×
0,
592×
50×
4 × 0,
322 →
W t
= 2382,
8
N
Wt v
• Cálculo da potência: = W V → H = 2382 , 8×
4,
189 → H ≤ 9,
98kW
H t
10. Um pinhão com um ângulo de contato de 20º tem um módulo de 6mm, 21 dentes,
largura da face de 75mm e uma tensão de flexão de 60 MPa. Qual é a potência máxima
que pode ser transmitida se a rotação for de 800 rpm.
• Cálculo do diâmetro:
d
m = → d = 6 × 21→
d = 126mm
N
πdn
× 126× ( 800)
• Cálculo da velocidade: V = → =
60000
60000
π
V → V = 5,
278m
/ s
• Cálculo do efeito dinâmico:
K V
t
6, 1
6,
1
= → KV =
→ K V = 0,
536
6,
1+
V 6,
1+
5,
278
• Pela tabela 1 para um número de dentes igual a 21 tem-se Y = 0,328:
• Cálculo da carga tangencial: = σK
FmY → W = 60 × 0,
536×
75×
× 0,
328 →
W t
= 4746,
82
Wt v
• Cálculo da potência transmitida: = W V → H = 4746 , 82 × 5,
278 → H = 25,
05kW
.
H t
t
383

11.7.3 - DURABILIDADE SUPERFICIAL
E) COEFICIENTE ELÁSTICO É DEFINIDO PELA AGMA - FÓRMULA OU TABELA
C
p
⎡
⎢
⎢
= ⎢
⎢π
⎜
⎢ ⎜
⎣ ⎝
1
2 ⎛1 −υ
p 1−
E
p
+
1
2
⎤
⎥
⎥
2 ⎥
υ ⎞ g ⎟⎥
E ⎟⎥
g ⎠⎦
onde E é o módulo de elasticidade do material constituinte e v é a razão de Poisson dados pela
tabela 11.
Constantes físicas dos materiais
Material
Módulo de
Elasticidade
(GPA)
Razão de
Poisson
Alumínio (todos os tipos) 71,0 0,334
Liga de berílio e cobre 124,0 0,285
Latão 106,0 0,324
Aço carbono 207,0 0,292
Ferro fundido, cinza 100,0 0,211
Cobre 119,0 0,326
Vidro 46,2 0,245
Liga de níquel,
cromo e ferro
214,0 0,290
Chumbo 36,5 0,425
Magnésio 44,8 0,350
Molibdênio 331,0 0,307
Monel 179,0 0,320
Liga de níquel e prata 127,0 0,322
Liga de níquel e aço 207,0 0,291
Bronze fosforoso 111,0 0,349
Aço inoxidável 190,0 0,305
Tabela 11- Módulo de elasticidade e razão de Poisson para os diferentes tipos de materiais.
384

Coeficiente elástico (Cp) em MPa Aço
Material do
pinhão
Módulo de
elasticidade (MPa)
Ferro
maleável
Material da engrenagem
Ferro
nodular
Ferro
fundido
Alumínio
e bronze Latão
200000 170000 170000 150000 120000 110000
Aço 200000 191 181 179 174 162 158
Ferro maleável 170000 181 174 172 168 158 154
Ferro nodular 170000 179 172 170 166 156 152
Ferro fundido 150000 174 168 166 163 154 149
Alumínio e
bronze
120000 162 158 156 154 145 141
Latão 110000 158 154 152 149 141 137
Tabela 12 - Coeficiente elástico Cp com relação ao material do pinhão e da engrenagem.
F) FATOR DINÂMICO CV
Para encontrarmos o fator dinâmico de um engrenamento podemos utilizar a fórmula
abaixo ou a Tabela 13.
C
v
⎡
= ⎢
⎢
⎣ A +
A
( 200V
)
1
2
⎤
⎥
⎥
⎦
B
, A = + 56(
1−
B)
50 e
2
12 3
( − Q )
v
B = onde: V é a velocidade tangencial
4
em (m/s) e Qv é o fator de qualidade do engrenamento.Obs: Quando não for fornecido o fator
de qualidade Qv devemos calcular Kv, e igualar com Cv.
Cv Fator de qualidade (Qv)
Velocidade
(m/s)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
2 0,58 0,63 0,67 0,71 0,75 0,79 0,82 0,85 0,89 0,92 0,95
4 0,49 0,54 0,59 0,64 0,68 0,73 0,77 0,81 0,85 0,89 0,94
6 0,44 0,49 0,54 0,59 0,64 0,69 0,73 0,78 0,82 0,87 0,92
8 - 0,45 0,51 0,56 0,61 0,66 0,70 0,75 0,80 0,86 0,91
10 - - 0,48 0,53 0,58 0,63 0,68 0,73 0,79 0,84 0,91
12 - - - 0,51 0,56 0,61 0,66 0,72 0,77 0,83 0,90
14 - - - - 0,54 0,59 0,65 0,70 0,76 0,82 0,89
Tabela 13 – Fator Dinâmico Cv
385

Cv Fator de qualidade (Qv)
Velocidade
(m/s)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
16 - - - - 0,52 0,58 0,63 0,69 0,75 0,81 0,89
18 - - - - - 0,56 0,62 0,68 0,74 0,81 0,88
20 - - - - - 0,55 0,61 0,67 0,73 0,80 0,88
22 - - - - - 0,54 0,60 0,66 0,72 0,79 0,87
24 - - - - - - 0,59 0,65 0,72 0,79 0,87
26 - - - - - - - 0,64 0,71 0,78 0,87
28 - - - - - - - 0,63 0,70 0,78 0,86
30 - - - - - - - - 0,70 0,77 0,86
32 - - - - - - - - 0,69 0,77 0,86
34 - - - - - - - - 0,68 0,76 0,85
36 - - - - - - - - 0,68 0,76 0,85
38 - - - - - - - - - 0,75 0,85
40 - - - - - - - - - 0,75 0,84
42 - - - - - - - - - 0,75 0,84
44 - - - - - - - - - 0,74 0,84
46 - - - - - - - - - - 0,84
48 - - - - - - - - - - 0,83
50 - - - - - - - - - - 0,83
Tabela 13 (continuação)– Fator Dinâmico Cv.
G) FÓRMULA PARA O CÁLCULO DA TENSÃO DE CONTATO
⎡ W 1 1 ⎤
t ⎛ ⎞
σ ⎢
⎥
⎣ cos ⎜
⎟
c = −C
p
+
Cv
F φ ⎝ r1
r2
⎠⎦
d psenφ
d g senφ
onde r1
= , r2
= , φ é o ângulo de pressão.
2
2
1
2
386

11.8 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - DURABILIDADE SUPERFICIAL
1. Um pinhão com um ângulo de pressão de 20º, 20 dentes, um módulo de 4mm,
construído de ferro fundido movimenta uma engrenagem de ferro fundido com 32
dentes. Encontre a tensão de contato se o pinhão gira a uma rotação de 1000 rpm, a
largura da face é 50 mm e transmite 10 kW de potência.
• Cálculo do diâmetro do pinhão:
• Cálculo do diâmetro da engrenagem:
d
m = → d = 4× 20 → d = 80 mm
N
d
m = → d = 4 × 32 → d = 128 mm
N
πdn
× 80× ( 1000)
• Cálculo da velocidade do pinhão: V = → =
60000
60000
π
V → V = 4,
19m
/ s
• Cálculo do efeito dinâmico:
• Cálculo da carga tangencial:
K V
6, 1
6,
1
= → KV = → K V = 0,
593
6,
1+
V 6,
1+
4,
19
H
Wt = →
V
10000
Wt = → Wt = 2386,
64N
4,
19
• Pela tabela 3 com pinhão e a engrenagem constituídos de ferro fundido temos uma
constante elástica Cp de 163 MPa.
• Como V V K C = então 593 , 0 = C V
• Cálculo do raio da curvatura do perfil dos dentes do pinhão:
80×
sen 20º
r 1 =
→ r1 = 13,
68mm
.
2
• Cálculo do raio da curvatura do perfil dos dentes da engrenagem:
128×
sen 20º
r 2 =
→ r2 = 21,
89mm
.
2
d p senφ
r 1 = →
2
d g senφ
r 2 = →
2
⎡ W 1 1 ⎤
t ⎛ ⎞
• Cálculo da tensão de contato do engrenamento: σ ⎢
⎥
⎣ cos ⎜
⎟
c = −C
p
+ →
Cv
F φ ⎝ r1
r2
⎠⎦
⎡ 2386,
64 ⎛ 1 1 ⎞⎤
σ c = −163×
⎢
⎜ + ⎟⎥
→σ c = −520MPa
.
⎣0,
593×
50×
cos 20 ⎝13,
68 21,
89 ⎠⎦
1
2
1
2
387

2. Um engrenamento é constituído de um pinhão de aço com 19 dentes e uma
engrenagem de ferro fundido com 30 dentes. Os dentes apresentam um ângulo de
contato de 20º. Determine os valores do módulo, largura da face que corresponda a uma
potência de entrada de 3,5kW, uma velocidade do pinhão de 1200 rpm e uma tensão
máxima de contato de 600 MPa.
• Para um módulo igual a 6mm
• Cálculo do diâmetro do pinhão:
• Cálculo do diâmetro da engrenagem:
• Cálculo da velocidade do pinhão:
V = 7,
16m
/ s
• Cálculo do efeito dinâmico:
• Cálculo da carga tangencial:
K V
d
m = → d = 6× 19 → d = 114 mm
N
d
m = → d = 6 × 30 → d = 180 mm
N
πdn
V = →
60000
× 114× ( 1200)
=
60000
π
V →
6, 1
6,
1
= → KV = → K V = 0,
46
6,
1+
V 6,
1+
7,
16
H
Wt = →
V
3500
Wt = → Wt = 488,
64N
7,
16
• Com pinhão de aço e uma engrenagem de ferro fundido temos uma constante
elástica Cp de 174 MPa.
• Como V V K C = então 46 , 0 = C V
• Cálculo do raio da curvatura do perfil dos dentes do pinhão:
114×
sen 20º
r 1 =
→ r1 = 19,
5mm
.
2
• Cálculo do raio da curvatura do perfil dos dentes da engrenagem:
180×
sen 20º
r 2 =
→ r2 = 30,
78mm
.
2
• Cálculo da largura dos dentes do engrenamento:
→
⎡ 464,
22 ⎛ 1 1 ⎞⎤
− 600 = −174×
⎢
⎜ + ⎟⎥
⎣0,
46×
F × cos 20º
⎝19,
5 30,
78 ⎠⎦
d p senφ
r 1 = →
2
d g senφ
r 2 = →
2
⎡ W 1 1 ⎤
t ⎛ ⎞
σ ⎢
⎥
⎣ cos ⎜
⎟
c = −C
p
+
Cv
F φ ⎝ r1
r2
⎠⎦
1
2
→ F ≥ 7,
6mm
.
1
2
388

3. Um redutor consiste de um pinhão de ferro fundido com 21 dentes girando a 800 rpm
movimentando uma engrenagem de ferro fundido com 44 dentes. O engrenamento tem
um ângulo de pressão de 20º, largura da face de 75mm e um módulo de 6mm. Para
uma tensão de contato de 480 MPa estime a potência máxima que pode ser transmitida.
• Cálculo do diâmetro do pinhão:
• Cálculo do diâmetro da engrenagem:
d
m = → d = 6 × 21→
d = 126 mm
N
d
m = → d = 6× 44 → d = 264 mm
N
πdn
× 126× ( 800)
• Cálculo da velocidade do pinhão: V = → =
60000
60000
π
V → V = 5,
27m
/ s
• Cálculo do efeito dinâmico:
K V
6, 1
6,
1
= → KV = → K V = 0,
536
6,
1+
V 6,
1+
5,
27
• Com pinhão e a engrenagem constituídos de ferro fundido temos uma constante
elástica Cp de 163 MPa.
• Como V V K C = então 536 , 0 = C V
• Cálculo do raio da curvatura do perfil dos dentes do pinhão:
126×
sen 20º
r 1 =
→ r1 = 21,
55mm
.
2
• Cálculo do raio da curvatura do perfil dos dentes da engrenagem:
264×
sen 20º
r 2 =
→ r2 = 45,
15mm
.
2
• Cálculo da carga tangencial do engrenamento:
⎡ Wt
⎛ 1 1 ⎞⎤
− 480 = −163×
⎢
⎜ + ⎟⎥
⎣0,
536×
75×
cos 20º
⎝ 21,
55 45,
15 ⎠⎦
d p
senφ
r 1 = →
2
d g
senφ
r 2 = →
2
⎡ W 1 1 ⎤
t ⎛ ⎞
σ ⎢
⎥
⎣ cos ⎜
⎟
c = −C
p
+ →
Cv
F φ ⎝ r1
r2
⎠⎦
1
2
→ = 4779,
26N
.
W t
1
2
389

H
• Cálculo da potência transmitida: Wt = → H = 4779 , 26 × 5,
27 → H = 25,
22kW
V
11.9 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Na instalação mostrada na figura, o conjunto sem-fim/coroa tem as seguintes
características:
NG = 30 (número de dentes da coroa)
Nw = 1 (número de dentes, de entrada)
λ = 7 o 41’ (ângulo de avanço)
dw = C 0,875 / 2,2 (diâmetro do sem fim)
ϕn = 14 o 30’ ( ângulo de pressão normal)
Material - coroa de bronze centrifugado, sem-fim de aço retificado.
Determinar a potência e rotação do motor sabendo-se que um fator de serviço de 1,5
deve ser considerado para o sem-fim/coroa e uma eficiência de 95% para o conjunto
engrenagens helicoidais e polias.
Figura 10 – Exercício proposto 1.
2. No redutor mostrado na figura abaixo, o rolamento A suporta uma carga radial de 3972
N,. O rolamento B suporta a carga radial pura de 2840 N. O eixo gira a uma rotação de
150 rpm e a carga axial é de 1125 N. A vida desejada é de 11.500 horas. Os diâmetros
do eixo são em A 35 mm e B 30 mm. Selecione os rolamentos que julgar mais
adequados.
390

3. Um conjunto de engrenagens cilíndricas de dentes retos, consiste de um pinhão de 16
dentes ,angulo de pressão 20 o acionando uma engrenagem de 48 dentes. A rotação do
pinhão é de 300 rpm, largura da face de 50 mm, e módulo 4 mm. As engrenagens são feitas
de alta precisão com fator de segurança 1,8. Determine a potência a ser transmitida pelo
par de engrenagens, levando em conta a flexão e o desgaste, Dados: limite de resistência a
fadiga= 230 MPa; Dureza Brinell 180 HBN; CL=CH=CT=CR=1; CP=190; Jp=0,2;
4. Um conjunto de engrenagens consiste de um pinhão de aço 16 dentes, 20o acionando uma
engrenagem de ferro fundido de 48 dentes. A rotação do pinhão é de 300 rpm, largura da face de 2
pol, e passo diametral de 6 dentes por polegada. As engrenagens são feitas de padrão de qualidade
no.7 e devem ser montadas rígida e precisamente. Determine a tensão de contato AGMA se estas
engrenagens transmitem 5 HP.
391

CAPITULO 12 – PROJETO DE FREIOS E EMBREAGENS
12.1 - INTRODUÇÃO
Os freios são elementos associados à rotação, e têm como função armazenar energia
rotativa. O escorregamento ocorre devido a dois elementos que estão movendo a diferentes
velocidades, dissipando energia durante essa ação.
O torque transmitido durante a frenagem nos freios de fricção está relacionado à força
atuante, ao coeficiente de atrito e à geometria do freio.
12.2 - MATERIAIS DE FRICÇÃO
Um material de fricção no freio deve possuir as seguintes características:
• Um alto e uniforme coeficiente de fricção;
• Condições impermeáveis para o meio;
• A habilidade para suportar altas temperaturas, junto com uma boa condutividade
térmica;
• Boa resiliência;
• Alta resistência para o desgaste, descamação e risco.
A manufatura de materiais friccionais é um processo altamente especializado, e é
aconselhável consultar catálogos de fornecedores a fim de selecionar materiais friccionais para
aplicações específicas.
Os materiais utilizados para se construir um freio devem ser selecionados de acordo com a
análise do revestimento. O revestimento é determinado pela mistura dos materiais que irão
compor o freio e pela seqüência de produção dos componentes. Existem, basicamente, três
tipos de revestimentos.
REVESTIMENTO ORGÂNICO
Esse tipo de revestimento é geralmente composto por seis ingredientes básicos:
• Asbestos: pela resistência térmica e pelo alto coeficiente de fricção
• Modificadores de fricção: por exemplo, óleo para dar uma fricção desejada
• Preenchimento: por exemplo, goma de borracha para controlar os ruídos
• Agentes de cura: para promover as reações químicas requeridas durante a manufatura
392

• Outros materiais: por exemplo, chumbo em pó, lascas de latão e alumínio em pó para
aumentar a performance durante a frenagem
• Materiais coesivos: resinas fenólicas para unir ingredientes
Asbestos têm características que fazem com que sejam encaixados nas aplicações de
fricção: estabilidade térmica e resistência adequada ao desgaste. Por essas razões foi
encontrada uma aceitação universal como ingrediente básico nos materiais que compõem os
freios.
REVESTIMENTO SEMIMETÁLICO
Esse tipo de revestimento substitui parte dos asbestos e dos componentes orgânicos da
dureza orgânica por ferro, aço e grafite. As razões para essa substituição são:
• Aumento da estabilidade friccional e performance a alta temperatura;
• Excelente compatibilidade com o rotor e resistência ao desgaste a alta temperatura,
para temperaturas maiores que 230 o C;
• Alta performance com ruídos minimizados.
REVESTIMENTO METÁLICO
Esse tipo de revestimento recebeu atenção pelas aplicações especiais envolvendo
grande dissipação de calor e altas temperaturas. Materiais de fricção sinterizados de cerâmica-
metalica são aplicados com sucesso em freios de jatos e em carros de corrida.
Dois métodos são usados para fabricar esse tipo de revestimento de freio – weaving e
moldagem. Ambos são feitos basicamente com asbestos com materiais coesivos para manter
as fibras de asbestos unidas. O tipo moldado é mais utilizado.
12.3 - CONCEITOS GERAIS DE ATRITO
Os conceitos gerais de atrito ou fricção, tem sido desenvolvidos ao longo dos anos. Como
aço e ferro fundido são aplicados no revestimento dos freios, as fontes principais de fricção são:
• Adesão: Com o movimento do revestimento sobre o tambor ou a superfície do rotor,
seus constituintes metálicos unem-se ao material do rotor e do tambor. O cisalhamento
dessa junção produz a força friccional.
393

• Deformação por cisalhamento: O coeficiente de fricção cresce à medida que a
temperatura cresce, sugerindo que a deformação seja um fator importante pois a resina
amacia-se com o crescimento da temperatura. Acredita-se que o efeito da deformação
ocorre a partir da formação de uma onda de deformação e não a partir de uma perda por
histereses.
• Sulcos: Durante o processo de movimento tangencial entre as superfícies,
protuberâncias no disco do tambor encadeia-se com partículas dos ingredientes,
desarranjando-as. Quando a tensão última é excedida, ocorre a ruptura no polímero e as
partículas são perdidas. Para que não ocorra a perda dessas partículas, longos
amiantos ou fibras de aço fornecem a tensão mecânica necessária para evitar perdas
excessivas de material durante a abertura dos sulcos.
• Histereses: A energia perdida que está envolvida com a tensão elástica, produz uma
fonte muito pequena de fricção no freio.
• Filmes da superfície: A contaminação da superfície com material de revestimento
decomposto afeta muito o coeficiente de fricção por reduzir a adesão e a deformação
por cisalhamento.
A importância de cada componente de fricção discutida acima, variará de acordo com a
vida do revestimento. A operação inicial do sistema pode envolver grandes ranhuras devido à
alta rugosidade original da superfície. À medida que a rugosidade vai diminuindo com o uso, o
efeito positivo do crescimento da adesão vai ficando mais importante assim como o efeito
negativo da contaminação das superfícies.
O coeficiente de fricção para o material de freios com fricção em ferro fundido é uma
função da carga, velocidade e temperatura. A expressão da força pode ser escrita como:
Onde
F = K(T)P a(T) V b(T)
K(T) = Constante, dependente da temperatura;
P = Carga normal;
a(T) = Expoente da carga dependente da temperatura;
V = velocidade de escorregamento;
b(T) = Expoente da velocidade dependente da temperatura.
Pela influência da carga, velocidade e temperatura para um material de fricção como o
amianto, percebe-se que o aumento da carga ou da velocidade causa um decrescimento no
coeficiente de fricção. Entretanto, análises como essas devem ser feitas com cuidado devido à
grande influência que a temperatura da superfície causa no coeficiente de fricção.
394

12.4 - CONSIDERAÇÕES SOBRE FREIOS EM VEÍCULOS
Um freio de fricção transforma a energia cinética em calor, entretanto, devido ao projeto
dos veículos, esse calor dissipado não é distribuído igualmente a todas as rodas. O calor
dissipado em cada freio será uma função da distribuição estática e dinâmica do peso sobre as
rodas e do design do sistema de freio. A carga dinâmica será dependente do design do veículo
(distribuição estática do peso, a altura do centro de gravidade e a base do volante) e da
desaceleração. A soma das forças durante a frenagem, mostra que a desaceleração do veículo
em porcentagem da aceleração da gravidade g é menor ou igual ao coeficiente de fricção entre
o pneu e o chão. Esse coeficiente de fricção dependerá do tamanho e da construção do pneu,
da superfície do chão, e do escorregamento relativo entre o pneu e o chão.
Se o peso está uniformemente distribuído da direita para a esquerda, a carga dos pneus
da frente e de trás (LF e LR) pode ser escrita como:
Onde:
LF = W(F = μh/d)
LR = W(R = μh/d)
F: carga estática da roda da frente = dR/d;
R: carga estática da roda de trás = dF/d;
d: base da roda;
dF: distância do centro de gravidade à roda da frente;
dR: distância do centro de gravidade à roda de trás;
μ: coeficiente de fricção;
h: distância vertical do chão ao centro de gravidade.
Essa expressão pode ser usada para estimar a mudança no carregamento devido às
forças de fricção no chão durante a frenagem. Uma transferência de peso significativa ocorrerá
para veículos altos e curtos. Para veículos baixos e longos, porcentagens menores do peso
serão transferidas.
O balanço da frenagem entre a frente e a traseira é um fator importante no projeto. O
sistema de freio poderia ser projetado de forma que os freios da frente produzam um torque 4
vezes maior que o de trás. Entretanto, em condições molhadas, o coeficiente de fricção reduz
bastante, resultando em um balanço no sistema de freio de 80% na frente e 20% atrás que
causaria um escorregamento das rodas da frente. Se o sistema de freio fosse balanceado para
uma desaceleração dinâmica de distribuição de peso mais baixa, as rodas de trás
escorregariam primeiro durante a desaceleração máxima para condições secas.
395

Para decidir a respeito do projeto do balanço do freio, a influência do escorregamento da
roda no controle do veículo tem que ser considerada. O controle do veículo está relacionado
com o escorregamento da roda no seguinte sentido: Travando apenas as rodas de trás resulta
na perda parcial ou total do controle do veículo. Dependendo de suas características essa
situação levaria o veículo a rodar. Travando apenas as rodas da frente resulta em um
movimento retilíneo do veículo onde há perda quase total do controle do volante. Conclui-se
que para a maioria dos veículos, é melhor um balanço do sistema de freio favorecendo primeiro
o travamento das rodas da frente.
Para um melhor controle do veículo durante o frenagem, sistemas de freio ABS foram
desenvolvidos. Esses sistemas medem a velocidade relativa da roda e do veículo e modela a
pressão do freio para manter cada roda no limite de adesão sem escorregar. O coeficiente
máximo de fricção para os pneus na estrada ocorre a uma pequena porcentagem de
escorregamento que esta mais perto das condições de rolamento que de escorregamento.
Assim, um sistema ABS de freio pode ser projetado para produzir um torque máximo durante o
frenagem.
12.5 - FREIO A TAMBOR
A sapata interna do freio consiste essencialmente de três elementos: a superfície de
fricção, os meios de transmissão do torque para as e da superfícies e o mecanismo atuante.
Dependendo do mecanismo de operação, esses freios são classificadas como anel de
expansão, centrífugo, magnético, hidráulico ou pneumático.
O anel de expansão do freio é muito usado em máquinas da indústria têxtil, escavadoras
e em ferramentas onde o freio pode estar localizado dentro da polia de transmissão. Os anéis
de expansão do freio têm vantagens devido aos efeitos centrífugos; transmitem um alto torque,
mesmo em baixas velocidades; requerem engrenamentos positivos e uma força de
afrouxamento suficiente.
O freio centrifugo é usado principalmente para operações automáticas. Se molas não
são usadas, o torque transmitido é proporcional ao quadrado da velocidade. Isso é
particularmente útil para acionamentos de motores elétricos onde, durante a partida, a máquina
acionada adquire velocidade gradativamente. Molas também podem ser úteis para prevenir o
engrenamento até uma certa velocidade ser atingida mas choques podem ocorrer.
Os freios magnéticos são particularmente úteis para sistemas automáticos e com
controle remoto. Tais freios também são úteis em acionamentos sujeitos a ciclos de carga
complexos.
396

Freios hidráulicos e pneumáticos são úteis também em acionamentos que tem ciclos de
carga complexos e em máquinas automáticas ou em robôs. Nesse caso o fluxo do fluido pode
ser controlado remotamente por válvulas solenóides. Esses freios são encontrados também em
forma de disco e pratos múltiplos.
Em sistemas de freios, a sapata interna ou freio tambor é usada principalmente para
aplicações automotivas.
Para analisar o mecanismo de uma sapata interna, olhar Fig 1, no qual mostra uma
sapata com o pivô no ponto A, e a força atuante agindo no outro lado da sapata. Não é possível
admitir que a distribuição de forças é uniforme devido ao longo comprimento da sapata. O
mecanismo não permite pressões aplicadas no salto. A pressão nesse ponto é considerada
zero.
Figura 1 – Sapata interna
Para uma distância pequena do salto é muito comum omitir o material de fricção na
prática. Isso elimina interferências, e de qualquer forma o material poderia contribuir muito
pouco para a performance. Em alguns projetos, o pino articulado é feito móvel para prover
pressão adicional do heel. Isso promove o efeito de uma sapata flutuante.
Considerando uma unidade de pressão p agindo sobre um elemento de área do material
de fricção localizado no ângulo β a partir do pino articulado. A pressão máxima pa está
localizada no angulo βa a partir do mesmo ponto. Não é considerada a hipótese de que a
pressão nesse ponto é proporcional à distância vertical a partir do desse ponto. Essa distância
vertical é proporcional ao seno β e a relação entre as pressões é:
397

p pa
senβ
senβa
=
senβ
p = pa
senβa
Observa-se que p é máximo quando β = 90 º ou quando o ângulo do ponto livre β2 é
menos de 90 º então p será máximo no ponto livre.
Quando β = 0 a equação acima mostra que a pressão é zero. Por contribuir muito pouco
na ação de frenagem, material de fricção localizado no salto, pode ser omitido também. Um
bom projetista concentraria o máximo possível do material de fricção na vizinhança do ponto de
máxima pressão. Tal desenho é mostrado na Fig 2. Nessa figura, o material de fricção começa
no ângulo β1, medido a partir do pino articulado no ponto A, até um ângulo β2. Qualquer arranjo
como esse resultará em uma boa distribuição do material de fricção.
Figura 2 – Forças na sapata
A força atuante F tem componentes Fx e Fy e opera a uma distância c do pino articulado.
Uma força normal diferencial dN age em qualquer ângulo β a partir do pino articulado e sua
magnitude é
dN = pbr dβ
onde b é a largura da face (perpendicular ao papel) do material de fricção. Substituindo o valor
da pressão, a força normal é:
pabrsenβdβ
dN = dN = (pa br senβ dβ)/senβa
senβa
A força normal dN tem componentes horizontais e verticais dN cosβ e dN senβ
respectivamente. A força de fricção f dN tem componentes horizontais e verticais cuja
398

magnitude é f dN senβ e f dNconβ respectivamente. Aplicando as condições da estática, é
calculado a força F, o torque T, e as reações no pino Rx e Ry.
A força F é calculada fazendo soma de momentos no pino articulado e igualando a zero.
A distância das forças de fricção para o cálculo do momento é r-acosβ. O momento Mf dessas
forças friccionais é:
M
fp br
senβ
β2
a
( r − acos
β ) = senβ
( r − acos
β ) dβ
f = ∫ fdN
∫β1
a
No qual é obtida substituindo o valor de dN. É conveniente integrar acima para cada
problema. À distância da força normal dN para o cálculo do momento é a-senβ. Chamando o
momento das forças normais MN e fazendo o somatório desses momentos no pino articulado,
obtém-se:
M
N
=
∫
dN
p bra
a
( asen ) = ∫
2 2
β sen βd
senβ
β1
a
A força atuante F deve balancear esses momentos:
M N M
F
c
−
=
Fazendo MN = Mf a condição de self-locking é obtida e nenhuma força atuante é
requerida. Assim, é necessário obter as dimensões para uma ação de auto energização. Para
que isso ocorra, a deve assumir um valor tal que MN > Mf.
O torque T aplicado no tambor pela sapata do freio é a soma das forças de fricção f dN
vezes o raio do tambor.
T =
∫
2
2
fp β 2
abr
fpabr
1
frdN = ∫ senβdβ
=
senβ
β1 a
senβ
a
f
β
β
( cos β − cos β )
As reações no pino articulado são calculadas pela soma das forças horizontais e
verticais. Assim, para Rx e Ry:
R
R
x
y
pabr
β2
β2
∫ ∫ ⎜
⎛ 2
= dN cos β − fdNsenβ
− F = ∫ − ∫ ⎟
⎞
x
senβ
cos βdβ
f sen βdβ
− Fx
senβ
⎝ β1
β1
⎠
a
pabr
β2
β
∫ ∫ ⎜
⎛ 2
2
= dNsenβ
+ fdN cos β − F = ∫ + ∫ ⎟
⎞
y
sen βdβ
f senβ
cos βdβ
− Fy
senβ
⎝ β1
β1
⎠
a
A direção da força de fricção é reversa se a rotação for reversa. Assim para rotações no
sentido anti-horário, a força atuante é:
M N M
F
c
+
=
f
2
399

E como os momentos tem o mesmo sentido, o efeito auto energizante é perdido e para o
sentido anti-horário de rotação, o sinal dos termos friccionais nas equações para as reações no
pino mudam para:
Simplificando:
p br ⎛ −
β2
β2
a
2
Rx = ⎜ sen d f sen d ⎟ −
sen ⎝∫
β cos β β
β
∫ β β
β 1
β1
⎠
a
p br ⎛ +
β2
β
a
2
2
Ry = ⎜ sen d f sen d ⎟ −
sen ⎝∫
β β ∫ β cos β β
β β1
β1
⎠
a
Para rotações no sentido horário:
A
B
∫
β
cos
⎛ 1
⎝ 2
2
2
= senβ
βdβ
= ⎜ sen
β1
∫
β
⎛ β
⎝ 2
1
4
2 2
= sen βdβ
= ⎜ − sen
β1
p br
( A − fB)
Fx
a Rx =
−
senβ
a
p br
( B + fA)
Fy
a Ry =
−
senβ
a
Assim para rotações no sentido anti-horário:
p br
( A + fB)
Fx
a Rx =
−
senβ
a
p br
( B − fA)
Fy
a Ry =
−
senβ
a
⎞
β ⎟
⎠
⎞
2β
⎟
⎠
Usando essas equações, o sistema de referência esta sempre na origem no centro do
tambor. O eixo x através do pino de articulação é considerado positivo. E o eixo y positivo é
sempre considerado na direção da sapata.
As seguintes suposições são feitas para uma análise precedente:
1. A pressão em qualquer ponto da sapata é considerada proporcional à distância do pino
articulado, onde o zero está no salto, considerando que o padrão de pressões, que são
especificado pelos fabricantes, usa a média e não a máxima.
2. O efeito da força centrifuga foi negligenciado. No caso dos freios, as sapatas não estão em
rotação portanto não existem forças centrífugas. No desenho da embreagem, o efeito dessa
força tem que ser considerado na hora de aplicar as equações da estática.
β
β
β
β
2
1
2
1
⎞
⎞
F
F
x
y
400

3. A sapata é considerada rígida. Como isso não ocorre na verdade, alguma deflexão ocorrerá,
dependendo da carga, pressão e dureza da sapata. A distribuição de pressão resultante
pode ser diferente da considerada.
4. Toda a analise foi baseada no coeficiente de fricção que não varia com a pressão. Na
verdade, o coeficiente pode variar com várias condições, incluindo temperatura, desgaste, e
ambiente.
12.6 - FREIO A DISCO
O conceito de freio a disco é um dos mais antigos. O primeiro projeto foi patenteado em
1902. Mas devido a sua falta de auto energização, freios a disco foram aplicados apenas em
aviões até 1940. Após a segunda guerra, o desenvolvimento dos freios a disco foi acelerado
devido ao aumento do peso e velocidade dos veículos: era necessário um freio com melhores
condições de dissipar calor.
Foi visto que os discos de tambor podem ser projetados por auto-energização. Apesar
desse fato ser importante por reduzir o esforço requerido do freio, tem suas desvantagens.
Quando freios de tambor são usados em veículos, somente uma mudança mínima no
coeficiente de fricção, causará uma grande mudança na força do pedal para frear. Uma redução
de 30% no coeficiente de fricção devido à mudança de temperatura ou umidade, pode resultar
em 50% de mudança na força requerida pelo pedal para obter o mesmo torque de frenagem. O
disco de freio não tem auto-energização e não é susceptível à mudanças no coeficiente de
fricção.
Mecanismos operacionais podem ser classificados como:
• Solenóides;
• Alavancas;
• Articulações com molas de carga ;
• Hidráulico e pneumático;
401

Figura 3 – Sapata externa
A notação para sapatas com contrações externas está mostrada na Fig 14.3. Os
momentos das forças normais e de fricção no pino articulado são os mesmo que para as
sapatas internas de expansão. As equações são as mesmas:
fp br β2
a M f = β senβ
senβ
∫ 1 −
M
a
pabra
=
senβ
β
N ∫
a
( r acos
β ) dβ
β sen βdβ
2 2
1
Ambas as equações fornecem valores positivos para momentos no sentido horário
quando usadas para sapatas de contração externa. A força atuante deve ser grande o bastante
para balancear os momentos:
M N M
F
c
+
=
As reações horizontais e verticais no pino articulado são calculadas da mesma maneira
que para as sapatas de expansão interna:
∫ dN cos β −∫
fdNsen −
Rx = β Fx
∫ dNsenβ
+ ∫ fdN cos
−
Ry = β Fy
f
402

Simplificando:
p br
( A + fB)
Fx
a Rx =
−
senβ
a
p br
( − B + fA)
Fy
a R y =
+
senβ
a
Se a rotação é anti-horária, o sinal do termo de fricção em cada equação é reverso.
Assim a equação para a força atuante é:
M N − M
F =
c
E o auto-energizamento existe para rotações anti-horária. As reações horizontais e
verticais são calculadas da mesma maneira que antes:
p br
( A − fB)
Fx
a Rx =
−
senβ
a
p br
( − B − fA)
Fy
a R y =
+
senβ
a
Deve ser notado que quando projetos de contração externa são usados como freios, o
efeito da força centrífuga é diminuir a força normal. Assim, quando a velocidade aumenta, um
valor maior é requerido para a força atuante F.
Um caso especial é quando o pivô é simetricamente localizado e colocado de tal
maneira que os momentos das forças de fricção no pivô são iguais a zero. A geometria de tal
freio será similar ao da figura 4a. Para obter-se a relação da distribuição da pressão, é
considerado que os revestimentos de uso permanecerão em sua forma cilíndrica. Isso significa
que o desgaste Δx na figura 4b é constante independentemente do ângulo β. O uso radial da
sapata é Δr = Δx cosβ. Se em uma área elementar da sapata, for considerado que a energia ou
perda friccional é proporcional à pressão radial, e se for considerado que o uso é diretamente
relacionado à perda de fricção, tem-se a analogia:
f
403

Figura 4a – Freio com pivô simétrico Figura 4b – desgaste do revestimento do freio
p = pa
cos β
A p é máximo em β = 0 º . Observando a figura 4a tem-se:
dN = pbrdβ
= pabr
cos βdβ
A distância a até o pivô é de tal maneira que o momento das forças de fricção Mf é zero.
Simetricamente significa que β1 = β2 e:
Substituindo:
2
M f
fp a
β
2 2
0
( fdN )( a cos β − ) = 0
= ∫ r
br
∫
β
0
2
2 ( acos
β − r cos β ) dβ
= 0
404

No qual:
4rsenβ
2
a =
2β
+ sen2β
2
Com o pivô localizado de acordo com essa equação, o momento no pino é zero e as
forças de reação horizontais e verticais são:
Devido à simetria:
Onde:
R
R
y
x
2
0
2 β
= ∫
2
0
2 β
= ∫
dN
fdN
p br
2
a ( cos β ) = ( 2β
+ sen2β
)
∫
fdNsen β = 0
p brf
2
a ( cos β ) = ( 2β
+ sen2β
)
∫
dNsen β = 0
Também devido à simetria. Note que Rx = -N e Ry = -fN, como deveria ser esperado a
partir da escolha particular de a Entretanto, o torque é:
12.7 - FREIOS FLEXÍVEIS
T = afN
Freios flexíveis são usados em escavadoras, guinchos e outras máquinas.
Figura 5 - Forças em um freio flexível
2
2
2
2
2
405

Pela Figura 5 a força atuante P2 é menor que a reação sobre o pino P1 devido à fricção e
rotação do tambor. Qualquer elemento em um comprimento angular dβ, estará em equilíbrio
sobre a ação das forças mostradas na figura. Fazendo o somatório na direção vertical obtêm-
se:
obtêm-se:
dβ
2
dβ
2
( P + dP)
sen + Psen − dN = 0
dN=Pdβ
Para ângulos pequenos sen(dβ/2) = dβ/2. A partir do somatório de forças na horizontal,
Substituindo e integrando:
Então:
P
2
∫ = f ∫
P1
dP
P
dβ
2
dβ
2
( P + dP)
cos − Pcos
− fdN = 0
φ
0
dP-fdN=0
P 1
dθ
→ ln = fφ
→
P
O torque pode ser obtido a partir da equação:
T = (P1 – P2) D/2
2
P 1 = e
P
A força normal dN agindo sobre um elemento de área da largura b e comprimento r dβ é:
dN = pbrdβ
Pd θ = pbrdθ
p =
P
br
2P
=
bD
A pressão é proporcional à tensão na dobra. A pressão máxima pa ocorrera na
extremidade livre e vale:
12.8 - FREIO ABS
Pa = 2P1/(bD)
Muitos dos atuais modelos de veículos estão equipados com o sistema de freio anti-
bloqueamento - ABS. Esse sistema utiliza componentes eletrônicos e hidráulicos, que ajudam a
prevenir o bloqueamento das rodas durante períodos de forte frenagem. O sistema anti-
bloqueamento garante a segurança dos ocupantes do veículo, mantendo o controle direcional
enquanto oferece máxima eficiência na frenagem.
2
fφ
406

O sistema hidráulico do freio atua reduzindo a pressão a fim de evitar o travamento das
rodas, mantendo o atrito entre as rodas e a pista num valor ótimo. Já o sistema eletrônico do
ABS age recebendo sinal dos sensores e enviando sinais de comando para o atuador
hidráulico.
Os componentes do ABS são:
• Sensores de velocidade nas rodas;
• Coroa dentada;
• Atuador hidráulico;
• Módulo de controle Electronic Control Unit (ECU).
O sistema pode ser aplicado nas duas rodas traseiras ou nas quatro rodas.
SENSORES DE VELOCIDADE NAS RODAS E ROTORES DENTADOS
Esses sensores são utilizados para determinar a razão de rotação das rodas. A
extremidade do sensor está localizada perto do coroa dentada, que é geralmente preso ao eixo
do veículo ou na articulação guiada e gira na mesma velocidade das rodas. Quando o rotor gira,
uma tensão é induzida no sensor. O módulo e a freqüência dessa tensão varia em relação à
velocidade da roda.
O sensor de velocidade pode vir montado em cada roda ou na carcaça do eixo ou ainda
na transmissão.
ATUADOR HIDRÁULICO
O atuador hidráulico é a unidade que tem a capacidade de aumentar, diminuir ou manter
a pressão no freio. Ele age baseado em sinais recebidos do módulo de controle. O atuador
hidráulico consiste basicamente nos seguintes componentes:
• Conjunto bomba/motor, que supre o acumulador com fluido de freio pressurizado;
• Acumulador, que recebe o fluido de freio altamente pressurizado;
• Conjunto de válvulas bloqueadoras, que contêm as válvulas solenóides hidráulicas.
No sistema intregrado ABS, o conjunto cilindro mestre/elevador de pressão é uma parte
integral da unidade hidráulica. Nesses sistemas, o acionamento assistido é provido pelo fluido
de freio pressurizado que é suprido pelo acumulador. Em um sistema não integrado, um
conjunto convencional cilindro mestre/bomba é usado.
Alguns veículos são equipados com atuadores que utilizam motores elétricos ao invés
de válvulas hidráulicas para regular a pressão do freio.
407

MÓDULO DE CONTROLE
Um módulo de controle anti-bloqueamento é um computador que usa sinais dos
sensores de velocidade da roda para determinar quando e como o sistema anti-bloqueamento
deve operar em uma determinada situação. Quando a roda está próxima à uma condição de
bloqueamento, o módulo de controle emite sinais para o atuador hidráulico para regular a
pressão do fluido que afeta a roda em questão.
OPERAÇÃO DO ABS
Durante o período de frenagem normal, ao porção anti-bloqueamento do freio não opera.
Apesar disso, os sensores continuam monitorando a velocidade de rotação das rodas e
enviando sinais para o módulo de controle. Quando o pedal do freio é pressionado, fluido de
freio escoa do cilindro mestre, através do atuador hidráulico, até o freio.
Quando o módulo de controle detecta que a roda está aproximando do bloqueamento,
ele emite sinais para a válvula solenóide no atuador hidráulico para bloquear a passagem de
fluido entre o cilindro mestre e o freio da roda em questão. A pressão do fluido do cilindro
mestre não pode, assim, escoar através da válvula solenóide, e, a pressão do freio, na roda
afetada, é mantida constante.
Quando o módulo de controle detecta um bloqueamento completo, ele comanda o
atuador a diminuir a pressão na roda afetada. Para realizar isso, a válvula solenóide no atuador
move-se para interromper a pressão de fluido vinda do cilindro mestre e permite que o fluido,
atuando no freio, escoe para o reservatório do acumulador. No mesmo instante, a bomba
contida dentro do atuador, força o fluido do acumulador de volta ao cilindro mestre. Quando isso
ocorre, a pressão atuante na roda diminui.
Quando todas as rodas estão girando normalmente, a válvula solenóide no atuador
retorna à sua posição original e o sistema de frenagem convencional volta a funcionar. Se for
necessário, um sistema típico anti-bloqueamento pode repetir esse ciclo por volta de 15 vezes
por segundo.
12.9 - CONSIDERAÇÕES SOBRE PRESSÃO E DESGASTE
Uma freio axial é o qual os membros de fricção são movidos na direção paralela ao eixo.
Contudo, exceto por instalações relativamente simples, ele vem sendo desbancado pelo freio a
disco, empregando-se um ou mais discos nos membros operacionais. Nas vantagens dos freios
a disco está a liberdade proporcionada pelos efeitos centrífugos, a grande área de fricção que
408

pode ser instalada em um espaço pequeno, as superfícies mais efetivas na dissipação do calor
e a favorável distribuição de pressão.
Supondo um disco de fricção com diâmetro externo D e diâmetro interno d. Para obter a
força F necessária para produzir um torque T e uma pressão p, dois métodos podem ser
usados, dependendo da construção do freio. Se os discos são rígidos, o maior uso ocorrerá
primeiro nas áreas de fora devido ao maior trabalho de fricção nessas áreas. Após o certo
desgaste, a distribuição de pressão ira mudar permitindo um uso mais uniforme. Essa é a base
do primeiro método.
a área.
O outro método de construção, emprega molas para obter uma pressão uniforme sobre
DESGASTE UNIFORME
Após um primeiro desgaste e um uso dos discos até o ponto em que o uso uniforme
fique possível, a maior pressão deve ocorrer em r = d/2 para que o desgaste seja uniforme.
Para a pressão máxima pa, obtém-se:
d
d
pr = pa
ou p = pa
2 2r
No qual é a condição para ter-se a mesma quantidade de trabalho realizado no raio r e
no raio d/2. Considerando um elemento de área de raio r e espessura dr, a área desse
elemento é 2πr dr fazendo com que a força atuante no elemento seja dF = 2πrp dr. Variando r
de d/2 a D/2 e integrando F obtém-se:
Substituindo:
F =
D / 2
( D d )
a
∫ 2π
pr = πpad
∫ dr = −
d / 2
D / 2
p πd
d / 2 2
O torque obtido pela integração do produto da força de fricção e do raio é:
T =
D / 2
D / 2
2
fpaπd
2 2
∫ 2π
fpr = πpad
∫ rdr = ( D − d )
d / 2
d / 2
Ff
T = +
4
( D D)
A equação que fornece a força atuante para a pressão máxima pa é valida para qualquer
quantidade de pares de fricção ou superfícies. A outra equação fornece a capacidade de torque
para apenas uma superfície de fricção.
8
409

PRESSÃO UNIFORME
Quando pode-se considerar uma pressão uniforme sobre a área do disco, a força
atuante é simplesmente o produto da pressão pela área.
2 2 ( D d )
2 p a F = −
4
Como antes, o torque é obtido, integrando o produto da força de fricção e o raio:
Para a pressão máxima pa:
2πfp
24
3 3 ( D − )
D / 2
2
2π fp r dr = d
d / 2
T = ∫
Ff
T =
D
3
− d
3
2 2
3 D − d
Essas equações são válidas para o torque em um único par de união de superfícies.
Deve-se multiplicar o número de superfícies em contato para o caso de mais de uma.
12.10 - CONSIDERAÇÕES SOBRE ENERGIA
Quando os membros rotativos de uma máquina são freados, a energia cinética de
rotação deve ser absorvida pelo freio. Essa energia aparece no freio na forma de calor. Energia
cinética é absorvida, durante a mudança de velocidade, pelo freio, sendo transformada em
calor.
Foi visto como a capacidade de torque do freio depende do coeficiente de fricção do
material e de uma pressão normal segura. Entretanto, a carga deve ser tal, que se o valor do
torque for permitido, o freio deve ser destruído pelo seu próprio calor gerado. A capacidade da
engrenagem é limitada por dois fatores: as características do material e sua habilidade de
dissipar calor. Se o calor é gerado mais rapidamente que é dissipado, tem-se um problema de
aumento da temperatura.
Para um melhor esclarecimento do que ocorre durante a frenagem, simula-se um
modelo matemático de dois sistemas inerciais conectados por um freio. Os momentos de
inércia I1 e I2 possuem velocidades angulares iniciais w1 e w2. Durante o acionamento do freio,
ambas as velocidades angulares mudam e se tornam iguais. Assume-se que os dois eixos
sejam rígidos e que o torque seja constante.
Escrevendo a equação de movimento para a inércia 1:
I1β”1 = -T Equação (1)
410

Onde β”1 é a aceleração angular de I1 e T é o torque. Uma equação similar para I2 é:
I2β”2= T Equação (2)
Pode-se determinar as velocidades instantâneas β’1 e β’2 de I1 e I2 depois de um período
de tempo t pela integração das Eqs. (a) e (b).
T
β’1 = − t + w1
I
T
β’2 = − t + w2
I
A diferença das velocidades, conhecida como velocidade relativa, é
I I
β’= β’1 - β’2 = w w T t
I I ⎟ ⎛ 1 + 2 ⎞
− − ⎜
1 2
⎝ 1 2 ⎠
1
2
A operação de acionamento da embreagem é completa no instante em qual as duas
velocidades angulares β’1 e β’2 se tornam iguais.Considerando o tempo requerido pela inteira
operação igual a t1. Então β’ = 0 quando β’1 = β’2, então a equação acima fica:
t
1
I1I
2 ( w1
− w2
)
=
T ( I + I )
1
Essa equação mostra que o tempo requerido para o operação de frenagem é
diretamente proporcional à diferença de velocidade e inversamente proporcional ao torque.
Considerando o torque constante, acha-se, através das equações acima, a razão da
dissipação de energia durante a frenagem:
acima:
I1
+ I 2
U = Tβ’ = T[
w1
− w2
− T ( ) t]
I I
A energia total dissipada durante a ação da embreagem é obtida integrando a equação
E =
t1
∫
0
udt = T
t1
∫
I
=
[ w
− w
2
1
I1
+ I 2
− T ( ) t]
dt
I I
1 2
0 1 2
1
I
2
( w
2(
I
1
1
− w
+ I
Note que a energia dissipada é proporcional ao quadrado da diferença de velocidades e é
independente ao torque.
2
2
)
)
2
2
411

12.11 - CONSIDERAÇÕES SOBRE TEMPERATURA NO FREIO
A temperatura atuante na interface rotor-revestimento é fundamental para a fricção e
desgaste e está associada com os materiais em questão. É nessa interface que o calor causado
pela fricção é gerado e onde atuam as mais altas temperaturas. A temperatura do material da
presilha determina o modo de desgaste e o filme presente na superfície que influencia no
coeficiente de fricção. O equilíbrio da temperatura é relacionado com o calor de entrada
(proporcional ao peso do veiculo, à velocidade inicial e à freqüência de parada) e a magnitude
do calor dissipado. O calor é perdido através da condução para o conjunto de freio assim como
por convecção e radiação para a vizinhança.
CALOR DE ENTRADA
veículo:
A entrada instantânea de calor no freio q é igual a mudança da energia cinética no
∂ ∂ ⎛ 1
q = ΔKE
= KE = ⎜ mv
∂t
∂t
⎝ 2
onde q = razão de entrada de calor no freio, Btu/s
KE = energia cinética do veículo, Btu
m = massa do veiculo, peso/32,2 ft/s 2
v = velocidade instantânea do veiculo, ft/s
O design do sistema de freio irá determinar a porcentagem do total de calor gerado que
irá se dissipar em cada roda.
VARIAÇÃO DE TEMPERATURA
expressão:
O aumento de temperatura no conjunto do freio pode ser aproximado pela clássica
onde ΔT = aumento de temperatura, o F
c = calor específico, Btu / (lbm. o F)
W = massa do freio, lbm
Δ T =
H
cW
Uma equação similar pode ser escrita no SI:
Δ
T =
E
cm
2
⎞
⎟
⎠
412

onde ΔT = aumento de temperatura, o C
c = calor específico, J/ kg. o C
m = massa do freio, kg
As equações acima podem ser usadas para explicar o que acontece quando o freio
opera. Entretanto, existem várias variáveis envolvidas, então não é de se esperar que tais
análises se aproximem de resultados experimentais. Por essa razão, tais análises devem ser
utilizadas, em ciclos repetitivos, onde tem-se um melhor efeito na performance.
Um objeto aquecido a uma temperatura T1, esfria até uma temperatura ambiente Ta de
acordo com a relação exponencial abaixo:
T − T = ( T − T ) e
onde Ti = temperatura instantânea no tempo t, o F;
A = área de transferência de calor, ft 2 ;
U = coeficiente de superfície, Btu/(ft 2 .s. o F).
i
a
1
a
−(
AU / WC ) t
A temperatura do freio depois de repetidas frenagens vai depender de quanto do calor
gerado é perdido devido à condução, convecção e radiação. Outro fator significante será o
torque residual no freio. Esse torque residual não gera altas temperaturas, mas reduz a perda
de calor do freio, mudando efetivamente o equilíbrio da temperatura após múltiplas frenagens.
12.12 - ACIONAMENTO DE FREIOS
Os acionamentos usados em carros de passeio são quatro; vácuo suspenso, ar suspenso,
hidráulico e eletro-hidráulico. O mais usado é o de suspensão a vácuo.
12.13 - OPERAÇÃO A VÁCUO SUSPENSO
Na posição neutra, ambos os lados do pistão de acionamento e do diafragma simples do
acionamento à vácuo são abertos e ar entra no coletor a vácuo. Quando o freio é requisitado,
ar é admitido em um lado do pistão e do diafragma. Imediatamente, pressão do ar atmosférico
move o diafragma e força o pistão para frente, causando o movimento para frente da barra de
pressão que age no pistão do cilindro mestre e aciona os freios.
Alguns veículos grandes são equipados com diafragmas em série. A operação é similar
a unidade única de diafragma, com ar sendo admitido em um lado de cada diafragma
promovendo uma assistência ao acionamento.
413

12.14 - OPERAÇÃO DE AR SUSPENSO
Na posição neutra, ambos os lados do pistão de acionamento estão sob pressão
atmosférica. Quando o freio é aplicado, o coletor a vácuo é admitido em um lado do pistão,
diminuindo a pressão desse lado. Imediatamente, a pressão atmosférica atuante no outro lado
causa o movimento do pistão, forçando a barra de pressão para frente, acionando o pistão do
cilindro mestre que, por sua vez, aciona os freios.
12.15 - OPERAÇÃO DA BOMBA HIDRÁULICA
O mecanismo de bombeamento causa uma pressão hidráulica requerida para acionar o
freio. Esse mecanismo combina uma válvula de bobina central aberta com o cilindro hidráulico
em uma única carcaça. Esse mecanismo hidráulico possui também um reservatório, chamado
acumulador, que armazena o fluido sobre pressão para promover assistência ao freio em caso
de queda de pressão.
Na posição neutra, o fluido escoa da bomba, passando através da válvula, para o
mecanismo de engrenagem, e volta para o reservatório.
Quando o freio é aplicado, a válvula fecha o retorno do fluido vindo do compartimento da
bomba e admite fluido entrando nesse compartimento. O fechamento da válvula também
restringe o escoamento do fluido para o mecanismo de engrenagem, causando o bombeamento
a fim de aumentar a pressão do fluido.
Enquanto a pressão hidráulica no compartimento de bombeamento aumenta, ela age no
pistão, que, por sua vez, move para frente o pistão do cilindro mestre para acionar o freio.
Se existir uma perda de pressão, a pressão no pedal do freio atua na válvula da bobina para
abrir a válvula acumuladora. A pressão na bomba fornece, então, uma reserva de suprimento
de energia ou fluido. Quando o suprimento se esgota, o sistema reverte para a operação
manual. A operação manual ocorre quando existe uma falta de assistência durante a aplicação
do freio. Isso aumenta o esforço necessário para acionar os freios.
12.16 - OPERAÇÃO ELETRO-HIDRÁULICO
Compõe este sistema: bomba eletro-hidráulica, um fluido acumulador, chave de pressão
dual e uma bomba hidráulico. A bomba opera entre uma faixa limite de pressão para manter a
pressão do fluido satisfatória para o acionamento do elevador de pressão. Quando o pedal do
freio é acionado, o fluido acumulador sob pressão, age sobre o pistão da bomba para que o
cilindro mestre entre em atuação.
414

Capítulo 13 – Programas computacionais
OBSERVAÇÕES PARA INSTALAÇÃO E UTILIZAÇÃO
Instale o programa no diretório c:\Elementos .Os programas devem ser instalados
diretamente no disco rígido, pois se instalados em diretórios com muitas sub-pastas podem não
funcionar corretamente.
Alguns programas estão na plataforma DOS portanto podem não funcionar corretamente
em algumas versões do Windows.
Quando se inicializar algum programa em que esteja operando em plataforma DOS, este
deve estar maximizado, caso isso não ocorra pressione as teclas Atl+Enter para maximizar.
A maioria dos programas interpretam o ponto como digito decimal e não a virgula.
Os programas podem ser acessados diretamente ou através de um programa geral
instalado no diretório c:\Elementos\Elemaq\Elemaq.exe
13.1 - CIRCULO DE MOHR
Programa – Morh\Circ.exe
• Primeiro passo: Selecione uma opção:
[1] Estado Triplo de Tensões
[2] Estado Plano de Tensões
• Segundo passo: Entre com as Tensões:
13.2 - VIGAS
[1] Tx – Tensão normal no plano x
[2] Ty – Tensão normal no plano y
[3] Tz – Tensão normal no plano z
[4] Txy – Tensão cisalhante no plano xy
[5] Txz – Tensão cisalhante no plano xz
[6] Tyz – Tensão cisalhante no plano yz
Cálculo de Momento fletor e esforço cortante em vigas:
Obs: Use ponto ao invés de virgula para décimos e centésimos.
Programas:
415

• Vigas\R1.exe – Engastada com extremidade livre com força sendo aplicada na
extremidade da viga
• Vigas\R2.exe – Engastada com extremidade livre com força sendo aplicada em uma
posição intermediaria a viga.
• Vigas\R3.exe – Engastada com extremidade livre com carregamento aplicado ao longo
da viga.
• Vigas\R4.exe – Engastada com extremidade livre e momento sendo aplicado na
extremidade da viga.
• VigasR5.exe – Bi-apoiada nos extremos e com força aplicada no centro da viga.
• Vigas\R6.exe – Bi-apoiada nos extremos e com força aplicada em uma posição
intermediaria da viga.
• Vigas\R7.exe – Bi-apoiada nos extremos e com força uniforme aplicada na viga.
• Vigas\R8.exe – Bi-apoiada nos extremos e com momento aplicado em uma posição
intermediaria da viga.
• Vigas\R9.exe – Bi-apoiada nos extremos e com força aplicada simétrica em uma
posição intermediaria da viga.
• Vigas\R10.exe – Bi-apoiada em balaço e com força aplicada na extremidade da viga.
• Vigas\R11.exe – Engastada e apoiada com força aplicada no centro da viga.
• Vigas\R12.exe – Engastada e apoiada com força aplicada em posição intermediaria da
viga.
• Vigas\R13.exe – Engastada e apoiada com carregamento aplicado ao longo da viga.
• Vigas\R14.exe – Bi-engastada com força aplicada no centro da viga.
• Vigas\R15.exe – Bi-engastada com força aplicada em uma posição intermediaria da
viga.
• Vigas\R16.exe – Bi-engastada com carregamento uniforme aplicado ao longo da viga.
13.3 - FADIGA PARA PEÇAS SEÇÕES CIRCULARES OU RETANGULARES
Programa – Fadiga\Fadiga1\fadiga.exe
Este livro apresenta um programa computacional Fadiga, que desenvolvemos para o
cálculo do limite de resistência à fadiga. O item Opção possui dois níveis: Seção Circular e
Seção retangular. Deve-se primeiramente através do item opção selecionar o tipo de seção da
peça. Em seguida selecione o tipo de carregamento no qual a peça está sujeita. Para a seleção
416

do carregamento basta clicar sobre a figura desejada. Deve-se agora preencher todos os dados
solicitados. Observe, também, que diversas variáveis estão indicadas no desenho que você
optou. Os valores não devem ser digitados arbitrariamente, por exemplo, se você digitar um
valor D>d, poderá haver um erro. Por fim, clica-se no botão calcular o resultado. Note que ao
selecionar uma determinada seção, aparece os desenhos relacionados ao tipo de seção. Se
você selecionar uma seção retangular apenas os desenhos da seção retangular estarão
disponíveis.
13.4 - CÁLCULO DO LIMITE DE RESISTÊNCIA A FADIGA DE PEÇAS
Programa – Fadiga\Fadiga2\fadiga.exe
Os cálculos são realizados através da fórmula Se dada neste capítulo.
O usuário deverá:
• Consultar a lista de aços disponíveis teclando a opção [1];
• Entrar com o aço comercial tabelado [2];
• Escolher o processo de fabricação do aço:
[1] Laminado a quente;
[2] Estirado a frio;
[3] Normalizado;
[4] Recozido;
[5] Temperado.
• Escolher o tipo de acabamento:
[1] Retificado;
[2] Usinado ou estriado a frio;
[3] Laminado a quente;
[4] Forjado.
• Escolher o tipo de esforço:
[1] Axial;
[2] Torção / Flexão.
• Indicar o tipo de seção:
[1] Retangular;
[2] Circular;
[3] Tipo “I”;
[4] Cantoneira.
417

• Indicar o fator de carregamento:
[1] Axial;
[2] Fletor;
[3] Torsor ou cisalhante.
• Indicar o valor da temperatura de trabalho (entre 20ºC e 600ºC).
• Fornecer o valor de Ke, fator devido à concentração de tensões (use ponto para
frações).
Resultados do programa:
• Valores de Su, Sy, Ka, Kb, Kc, Kd, Se’, Se;
• Resistência à fadiga para N ciclos;
• Vida em ciclos para uma tensão reversa;
• Carga máxima aplicada ciclicamente.
13.5 - CÁLCULO DO LIMITE DE RESISTÊNCIA A FADIGA DE PEÇAS
Programa – Fadiga\Fadiga3\element.exe
Os cálculos são realizados através da fórmula Se dada neste capítulo.
O usuário deverá:
• Indicar o valor de Su (limite de resistência a tração) da peça. Poderá escolher o valor
tabelado ou indicar um novo valor via teclado.
• Indicar o Tipo de seção:
[1] Seção circular;
[2] Seção retangular;
[3] Perfil I;
[4] Perfil U;
• Informar se a peça trabalha:
[1] Fixa;
[2] Sob rotação.
• Informar a geometria da seção, se for eixo, por exemplo:
[1] Eixo maciço;
[2] Eixo com raio de adoçamento;
[3] Eixo com furo radial;
[4] Eixo com entalhe;
[5] Tubo vazado;
418

[6] Tubo vazado com furo radial.
• Digite o diâmetro do eixo ou calcule o diâmetro efetivo da peça.
• Informe o tipo de carregamento atuante:
[1] Carga axial;
[2] Carga de flexão;
[3] Carga de torção.
• Indique a temperatura de trabalho - retirar o valor da tabela de temperatura em o
Celsius, variando de 20 a 600 ºC.
• Indique o acabamento superficial da peça:
[1] Retificado;
[2] Laminado a frio ou Usinado;
[3] Laminado a quente Forjado.
• O programa informa o valor do Limite de Resistência à fadiga da peça (vida infinita). A
partir destes dados obtidos, pode-se agora proceder à estimativa da vida da peça. O
usuário deverá entrar com os dados das tensões atuantes sobre a peça, para que o
programa determine se esta terá vida finita ou vida infinita.
o Caso 1 - Vida infinita - O programa calcula o fator de segurança do projeto.
o Caso 2 - Vida finita - O programa calcula a vida da peça em número de ciclos.
• O usuário deverá digitar:
[1] A máxima tensão atuante sobre a peça em Mpa;
[2] A mínima tensão atuante sobre a peça em Mpa.
• O usuário deverá informar se há pré-carga na peça e o seu valor.
• O usuário deverá informar qual o critério a ser usado:
[1] Critério de Goodman;
[2] Critério de Soderberg.
• O programa apresenta como solução:
[1] O gráfico das tensões médias x tensões alternadas com as linhas de
Goodman e Soderberg e as tensões alternada, média e o ponto de trabalho.
[2] O programa apresenta o limite de resistência à fadiga (Se) se infinito ou limite
de fadiga se finito (Sf).
[3] O programa apresenta a curva de fadiga da peça destacando os valores de
10 3 ciclos (0,9 Su) e 10 6 ciclos, Se.
[4] O programa informa a vida da peça com o coeficiente de segurança.
419

13.6 – DIMENSIONAMENTO DE PARAFUSOS DE UNIÃO
Programa: Parafusos\VasoPressao\Vaspres.exe
Este programa computacional utiliza as equações deste capítulo para dimensionar
parafusos de união submetidos a carregamento estático e dinâmico.
Figura 1 – Programa parafuso.exe
Dimensionamento de Parafusos de União em Vasos de Pressão
O usuário deverá:
• Digitar o valor máximo da pressão interna do vaso em MPa.
• Digitar o valor do diâmetro interno do vaso de pressão d (mm).
• Digitar o valor da espessura da tampa do vaso, D (mm).
• Digitar o valor da espessura do vaso E (mm).
• Digitar o fator de segurança requerido para o projeto.
• Digitar o valor do número máximo de parafusos que se deseja.
• Informar se no projeto, os parafusos possuem ou não porca.
• Informar se no projeto, os parafusos possuem arruela.
• Utilizando tabela do programa, informar o material da tampa do vaso.
[1] Aço 207 GPa
[2] Alumínio 70 GPa
[3] Ferro Fundido 131 MPa
[4] Ferro Nodular 170 MP
• Utilizando tabela do programa, informar o material do valorf
• Informar a característica da junta
[1] Conexão permanente
[2] Conexão reutilizável
420

padronizados.
O programa apresenta as possíveis soluções utilizando parafusos de classe ISO
Apresenta uma tabela com as seguintes informações
Projeto - Qualidade dos Parafusos - Classe ISO - Diâmetro (mm) - Comprimento do
Parafuso (mm)
13.7 - PARAFUSO DE POTÊNCIA
Programa: Parafusos\ParafusoPot\Parapote.exe
O programa fornece como resposta o diâmetro da raiz, o diâmetro médio, torque para
elevar a carga, torque para abaixar a carga, eficiência do parafuso e potencia em HP.
Como entradas temos:
• Entre com o valor da carga [N]
• Entre com o valor da bitola do parafuso [mm]
• Entre com o passo [mm]
• Entre com número de entradas do parafusos
• Coeficiente de atrito para os cálculos
[1] Sim
[2] Não
• Tipo de rosca
[1] Rosca quadrada
[2] Rosca trapezoidal
• Ângulo da rosca em graus
• Velocidade com que a peça deve-se mover [mm/s]
13.8 – FLEXÃO E TORÇÃO EM JUNTAS SOLDADAS
Programa: Solda\solda.exe
O programa tem a função de calcular as tensões de torção e de flexão atuantes em
juntas soldadas.
• Selecione a opção do programa
[1] Determinação da tensão cisalhante
[2] Determinação da altura h da solda
• Tipo de solicitação
421

[1] Torção em junta soldadas
[2] Flexão em juntas soldadas
• Plano de atuação da força
• Tipos de carregamento
• Entre com o valor da força
A resposta do programa é o valor da tensão.
13.9 - DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS UTILIZANDO A NORMA AGMA
Programa: Engrenagens\Engren.exe
Cálculo de engrenagens de dentes retos e engrenagens de dentes retos helicoidais:
[1] Cálculo simples
[2] Cálculo de esforços
[3] Dimensionamento
a. Dimensionar um par de engrenagens para determinada aplicação, calculando-se
assim seu módulo, bem como diâmetros e números de dentes.
b. Para um dado par de engrenagens, calcula-se a máxima força tangencial que
este possa sofrer. Utiliza-se a norma AGMA para tais cálculos, podendo o
dimensionamento ser feito para o desgaste ou para a flexão (ou ambos).
Restrições: Engrenagens de dentes retos - ângulo de pressão 20 o .
• Determinar:
Engrenagens de dentes helicoidais - ângulo de pressão normal 20 o .
[1] Módulo da engrenagem
[2] Máxima força
• Para determinação do módulo do par de engrenagens são utilizados os seguintes
critérios de dimensionamento:
[1] Tensão de Flexão
[2] Tensão de contato
[3] Ambos os critérios
• Determinação da Resistência do Pinhão:
Para tanto, deve-se especificar o material da engrenagem ou sua dureza.
Tabela do programa (tabela 1) com indicação de material e dureza mínima:
• Especificação do material da coroa- utilizar tabela de material com dureza
• Digite o valor da máxima potência a ser transmitida em KW
422

• A relação de redução do sistema é a razão entre a velocidade de rotação da
engrenagem condutora (pinhão) pela velocidade de rotação da engrenagem conduzida
(corôa).
• Entrar com os dados informando a relação entre as velocidades.
• Informar a classe AGMA das engrenagens:
[1] Engrenagem comercial
[2] Engrenagem precisa
[3] Engrenagem de alta precisão
• Informar o número de qualidade AGMA
• Informar a vida desejada para o pinhão em número de ciclos
• Informar parâmetros referentes a características do engrenamento
• Velocidade de rotação do pinhão(no caso de velocidade variável indicar a máxima) em
rpm
• Temperatura de trabalho do engrenamento:
[1] Até 120 o Celsius
[2] Acima de 120 o Celsius
• Condições de Montagem:
[1] Montagem acurada, com engrenagens de precisão
[2] Montagem menos rígida, engrenagens menos acuradas
[3] Montagem acurada, onde não há conato total das faces
Aço temperado e recozido AGMA A-1 100 HB
Aço temperado e recozido AGMA A-2 240 HB
Aço temperado e recozido AGMA A-3 300 HB
Aço temperado e recozido AGMA A-4 360 HB
Aço temperado e recozido AGMA A-5 400 HB
Aço endurecido por indução ou chama tipo A 50 HRC
Aço cementado e com camada endurecida 55 HRC
Aço cementado e com camada endurecida 60 HRC
Aço AISI 4140 48 HRC
Aço AISI 4340 46 HRC
Aço Nitralloy 135M 60 HRC
Aço 2,5 % Cromo 60 HRC
423

Ferro Fundido AGMA-30 175 HB
Ferro Fundido AGMA-40 200 HB
Ferro Nodular Recozido e Temperado AGMA A-7 a 140 HB
Ferro Nodular Recozido e Temperado AGMA A-7 c 180 HB
Ferro Nodular Recozido e TemperadoAGMA A-7 d 230 HB
Ferro Nodular Recozido e Tempeado AGMA A-7 e 270 HB
Ferro Maleável A-8-c 165 HB
Ferro Maleável A-8-e 180 HB
Ferro Maleável A-8-f 195 HB
Ferro Maleável A-8-i 195 HB
Bronze AGMA -2c - máxima resist. à tração 275 Mpa
Alumínio Bronze 3 - máxima resist. à tração 620 Mpa
• Confiabilidade requerida para o Projeto
• O sistema é constituído de:
Tabela 1 – Dureza mínima dos materiais
[1] Engrenagens de dentes externos
[2] Engrenagens de dentes internos
• Indicar a aplicação mais próxima da desejada para o sistema
[1] Suporte de elevadores
[2] Movimentação do braço de suporte de guindastes móveis e suas
conexões
[3] Máquinas alternativas ou movidas a pistão
[4] Unidades acionadas por motor
[5] Maquinário leve, acionado por motor ou eixo
[6] Guindaste para suporte de grandes cargas
[7] Outra aplicação qualquer
• Parâmetros de referência - selecionar um item abaixo:
[1] Distância entre centros de engrenagens
[2] Diâmetro do pinhão
[3] Número de dentes do pinhão
[4] Número de dentes do pinhão a critério do programa
• Determinação da largura do par de engrenagens:
[1] Especificar o valor via teclado
424

[2] Calcular o valor em função do módulo
[3] Determinar pelo programa
[4] Determinar pelo usuário
• O programa apresenta como solução final
O módulo calculado, módulo padronizado, largura mínima recomendada; dados do pinhão e
coroa após padronização: número de dentes, diâmetros primitivos.
13.10 - MANCAIS HIDRODINÂMICOS
Programa: Mancais\Mancal\Mancal.exe
A função do programa é encontrar os valores da temperatura média dos mancais, folga
ideal, potencia dissipada e pressão máxima nos mancais.
Dados necessários:
• Diâmetro do mancal
• Comprimento do mancal
• Carga máxima atuante
• Rotação em rpm
• Tipo de óleo lubrificante (SAE)
• Temperatura de entrada do óleo
• Folga radial
O programa realiza interações sucessivas e determina em função dos dados:
• A temperatura média do mancal utilizando a teoria hidrodinâmica.
• Calcula também a espessura mínima de óleo (ho) ;
• A curva de ho x c (folga radial).
• Determina a folga ideal no mancal hidrodinâmico.
• Apresenta finalmente os seguintes resultados: Temperatura média do mancal, pressão
máxima do lubrificante; folga ideal, potencia dissipada pelo atrito; e o gráfico hox c.
13.11 - MANCAIS UTILIZANDO O CATÁLOGO DA TIMKEN E SKF
Programa: Mancais\Bearing\Bearing.exe
O programa fornece uma tabela de acordo com o fabricante SKF para seus tipos de
mancais, além de tem a possibilidade de inclusão de novos rolamentos no banco de dados.
Seque as opções fornecidas.
425

• Menu principal:
[1] Banco de dados de rolamento
[2] Tabela de vida por utilização
[3] Alterar dados do rolamento atual
[4] Inclusão de novo rolamento
[5] Selecionar pela vida nominal
[6] Remover filtro
13.12 – MANCAIS DE DESLIZAMENTO
Programa: Mancais\MancaisDesl\prjMancalexe
Projeto
Dados de entrada
• Carga [kN]
• Diâmetro [mm]
• Rotação [rps]
• Temperatura inicial ºC
• Folga [mm]
• Tipo de óleo usado
• Relação de i/d:
[1] SAE 10
[2] SAE 20
[3] SAE 30
[4] SAE 40
[5] SAE 50
[6] SAE 60
[7] SAE 70
[1] 1
[2] ½
[3] ¼
[4] infinito
• Temperatura de funcionamento
• Porcentagem em relação a folga máxima %
426

Como resultado temos Gráfico h0 x c e uma tabela indicando os valores de ΔT, Tm,
Viscosidades, f=r/c.
13.13 – ROLAMENTOS COM UMA NOVA TEORIA DE VIDA
Programa: Rolamentos\EXER--3.exe
O programa tem como objetivo fornecer o rolamento adequado ao tipo de trabalho
desejado.
• Tipo de Máquina
[1] Pequeno porte
[2] Uso intermitente
[3] Alta confiabilidade
[4] Uso diário

13.14 – ROLAMENTOS DE ESFERA PARA UMA CARGA DINÂMICA
Programa: Rolamentos\EXER--4.exe
O programa tem como objetivo fornecer o rolamento adequado ao tipo de trabalho
desejado.
• Tipo de Máquina
[7] Pequeno porte
[8] Uso intermitente
[9] Alta confiabilidade
[10] Uso diário

• Disposição
[1] Tandem
[2] O
[3] X
• Força radial [N]
• Força axial [N]
• Capacidade de carga estática
• Velocidade [rpm]
• Diâmetro interno
• Diâmetro externo
• Temperatura de trabalho
Como resposta temos a viscosidade que o óleo deve apresentar.
13.16 - DIMENSIONAMENTO DE EIXOS COM MOMENTO TORSOR E FLETOR
Programa: Eixos\Eixos1\Eixo1.exe
O programa solicita os seguintes dados:
• O usuário deverá informar um dos seguintes dados, para o cálculo do momento torsor:
[1] Momento torsor - Força em N e distancia da origem do eixo em m;
[2] Torsor (N.m);
[3] Potência (HP) e rotação em rpm.
• Selecionar o seguinte critério de Resistência (carregamento estático):
[1] Critério da Máxima tensão cisalhante;
[2] Critério da energia de distorção,
• Selecionar para carregamento dinâmico:
[1] Limite de resistência à tração do eixo;
[2] Fator de concentração de tensão;
[3] Tipo de acabamento do eixo;
[4] Limite de resistência ao escoamento.
• Cálculo do Momento Fletor:
[1] Posição do Momento desejado;
[2] Posição dos apoios (estabelecer a quantidade e a localização dos apoios);
[3] Forças distribuídas (o valor e a localização das forças);
[4] Forças concentradas (o valor e a localização no eixo).
429

• Estabelecer um fator de segurança.
• Como resultado o programa calcula o momento fletor na localização desejada e
determina o diâmetro do eixo no local. Este programa, portanto determina o diâmetro do
eixo para a localização estipulada pelo usuário.
13.17 - DIMENSIONAMENTO DE EIXOS
Programa 2 – Eixos\Eixos2\Elemaq.exe
• Selecionar dimensionamento de Eixos.
• O usuário deverá escolher o critério de resistência desejado:
[1] Critério de Goodman;
[2] Critério de Soderberg;
[3] Critério da Energia de distorção;
[4] ASM.
• Selecionar o tipo de acabamento superficial do eixo:
[1] Retificado;
[2] Usinado;
[3] Laminado a quente;
[4] Forjado.
• O programa mostra o desenho de um redutor com duas engrenagens no eixo sendo
que:
[1] R1= raio da engrenagem motora do eixo 1;
[2] R2= raio da engrenagem movida do eixo 2;
[3] R3= raio da engrenagem motora do eixo 2;
[4] R4= raio da engrenagem movida do eixo 3.
• Para o eixo intermediário (engrenagens 2 e 3) o usuário deverá especificar as seguintes
distâncias:
[1] Distância da engrenagem 2 ao mancal esquerdo;
[2] Distância entre as engrenagens 2 e 3;
[3] Distância da engrenagem 3 ao mancal direito.
• O usuário deverá especificar o fator de segurança.
• Informar se as engrenagens são enchavetadas no eixo
• O programa fornece os diâmetros do eixo nos trechos:
[1] Diâmetro do eixo na seção da engrenagem 1;
430

[2] Diâmetro do eixo na seção da engrenagem 2;
[3] Diâmetro do eixo na seção da engrenagem 3.
• O fator de concentração deve ser usado, utilizando os tipos de entalhes definidos na
unidade I.
• Para o caso de chavetas, o fator de concentração de tensão é Kf = 3, para eixos submetidos
à solicitação de torção e flexão, que é o caso para a maioria dos eixos.
• Lembrar que quando existir chavetas no eixo, usar: Ke = 0,3.
431

A N E X O S
432

N° Da
Tabela
PROPRIEDADES DOS MATERIAIS
Descrição
A-1 Propriedades Mecânicas para Alguns Aço-Carbono
A-2 Propriedades Mecânicas de Alguns Plásticos de Engenharia
A-3 Propriedades Mecânicas de Algumas Ligas de Alumínio Fundido
A-4 Propriedades Mecânicas para Algumas Ligas de Cobre Fundido e
Forjado
A-5 Propriedades Mecânicas para Algumas Ligas de Titânio
A-6 Propriedades Mecânicas para Algumas Ligas de Magnésio
A-7 Propriedades Mecânicas para Algumas Ligas de Ferro-Fundido
A-8 Propriedades Mecânicas para Algumas Ligas de Aço Inoxidável
A-9 Propriedades Físicas de alguns Materiais de Engenharia
A-10 Propriedades Mecânicas para Algumas Ligas e Aços Ferramenta
A-11 Propriedades Mecânicas para algumas ligas de Alumínio Forjado
433

Tabela A-1 – Propriedades Mecânicas para Alguns Aço-Carbono
Número
SAE/AISI
1010
1020
1030
1035
1040
1045
1050
1060
1095
Condição
Resistência a
Tração Nominal
(2% de
tolerância)
Resistênci
a a Tração
Última
Alongament
o acima de 2
pol
Dureza
Brinell
kpsi MPa kpsi MPa % -HB
Laminado a quente 26 179 47 324 28 95
Laminado a frio 44 303 53 365 20 105
Laminado a quente 30 207 55 379 25 111
Laminado a frio 57 393 68 469 15 131
Laminado a quente 38 259 68 469 20 137
Normalizado a 1650°F 50 345 75 517 32 149
Laminado a frio 64 441 76 524 12 149
Q e T a 1000°F 75 517 97 669 28 255
Q e T a 800°F 84 579 103 731 23 302
Q e T a 400°F 94 648 123 848 17 495
Laminado a quente 40 276 72 496 18 143
Laminado a frio 67 462 80 552 12 163
Laminado a quente 42 290 76 524 18 149
Normalizado a 1650°F 54 372 86 593 28 170
Laminado a frio 71 490 85 586 12 170
Q e T a 1200°F 63 434 92 634 29 192
Q e T a 800°F 80 552 110 758 21 241
Q e T a 400°F 86 593 113 779 19 262
Laminado a quente 45 310 82 565 16 163
Laminado a frio 77 531 91 627 12 179
Laminado a quente 50 345 90 621 15 179
Normalizado a 1650°F 62 427 108 745 20 217
Laminado a frio 84 579 100 689 10 197
Q e T a 1200°F 78 538 104 717 28 235
Q e T a 800°F 115 793 158 1089 13 444
Q e T a 400°F 117 807 163 1124 9 514
Laminado a quente 54 372 98 676 12 200
Normalizado a 1650°F 61 421 112 772 18 229
Q e T a 1200°F 76 524 116 800 23 229
Q e T a 1000°F 97 669 140 965 17 277
Q e T a 800°F 111 765 156 1076 14 311
Laminado a quente 66 455 120 827 10 248
Normalizado a 1650°F 72 496 147 1014 9 13
Q e T a 1200°F 80 552 130 896 21 269
Q e T a 800°F 112 772 176 1213 12 363
Q e T a 600°F 118 814 183 1262 10 375
434

Tabela A-2 – Propriedades Mecânicas de Alguns Plásticos de
Engenharia
Material
Módulo de
Elasticidade
Aproximado
E
Resistência
a Tração
Última
Tensão de
Compress
ão
Alongament
o acima de
2 pol
Temp.
Máx.
Gravidad
e
Específic
a
Mpsi GPa kpsi MPa kpsi MPa % °F
ABS 0,3 2,1 6,0 41,4 10,0 68,9 5 a 25
160-
200
1,05
Vidro cheio 20-
40%
0,6 4,1 10,0 68,9 12,0 82,7 3
200-
230
1,30
Acetal 0,5 3,4 8,8 60,7 18,0 124,
1
60 220 1,41
Vidro cheio 20-
30%
1,0 6,9 10,0 68,9 18,0 124,
1
7
185-
220
1,56
Acrílico 0,4 2,8 10,0 68,9 15,0 103,
4
5
140-
190
1,18
Fluoroplástico
(PTFE)
0,2 1,4 5,0 34,5 6,0 41,4 100
350-
330
2,10
Nilon 6/6 0,2 1,4 10,0 68,9 10,0 68,9 60
180-
300
1,14
Nilon 11 0,2 1,3 8,0 55,2 8,0 55,2 300
180-
300
1,04
Vidro cheio 20-
30%
0,4 2,5 12,8 88,3 12,8 88,3 4
250-
340
1,26
Policarbonato 0,4 2,4 9,0 62,1 12,0 82,7 100 250 1,20
Vidro cheio 10-
40%
1,0 6,9 17,0 117,
2
17,0 117,
2
2 275 1,35
Polietileno HMW 0,1 0,7 2,5 17,2 - - 525 - 0,94
Óxido de
Polifenileno
0,4 2,4 9,6 66,2 16,4 113,
1
20 212 1,06
Vidro cheio 20-
30%
1,1 7,8 15,5 106,
9
17,5 120,
7
5 260 1,23
Polipropileno 0,2 1,4 5,0 34,5 7,0 48,3 500
250-
320
0,90
Vidro cheio 20-
30%
0,7 4,8 7,5 51,7 6,2 42,7 2
300-
320
1,10
Poliestireno de
Impacto
0,3 2,1 4,0 27,6 6,0 41,4 2 a 80
140-
175
1,07
Vidro cheio 20-
30%
0,1 0,7 12,0 82,7 16,0 110,
3
1
180-
200
1,25
Polisulfano 0,4 2,5 10,2 70,3 13,9 95,8 50
300-
345
1,24
435

Tabela A-3 – Propriedades Mecânicas de Algumas Ligas de Alumínio
Fundido
Ligas de
Alumínio
Fundido
43
195
220
380
A132
A142
Condição
Molde fundição
permanente-fundir
Areia de fundição –
fundir
Areia de fundição –
solução tratada
termicamente
Fundição em estampa
– fundir
Molde fundição
permanente – tratado
termicamente + 340°F
Areia de fundição –
tratado termicamente
+ 650°F
Resistência a
Tração Nominal
(2% de tolerância)
Resistência a
Tração
Última
Alongament
o acima de 2
pol
Durez
436
a
Brinell
kpsi MPa kpsi MPa % -HB
9 62 23 159 10 45
24 165 36 248 5 -
26 179 48 331 16 75
24 165 48 331 3 -
43 296 47 324 0,5 125
30 207 32 221 0,5 85

Tabela A-4 – Propriedades Mecânicas para Algumas Ligas de Cobre Fundido e
Forjado
Ligas de Cobre Condição
Resistência a
Tração
Nominal(2%
de tolerância)
Resistência
a
Tração
Última
Alongamento
> de
2 pol
kpsi MPa kpsi MPa %
Dureza
Rockwell
Brinell
Tira recozida 10 69 32 221 45 40HRF
CA110 – Cobre Puro Mola temperada 50 345 55 379 4 60HRB
CA170 – Cobre Berílio
Tira recozida
envelhecida
Fortemente
envelhecido
145 1000 165
170 1172 190
113
8
131
0
7 35HRC
3 40HRC
CA220 – Bronze Tira recozida 10 69 37 255 45 53HRF
Comercial Mola temperada 62 427 72 496 3 78HRB
CA230 – Bronze Tira recozida 15 103 40 276 50 50HB
Vermelho Têmpera dura 60 414 75 517 7 135HB
CA260 – Bronze em Tira recozida 11 76 44 303 66 54HRF
Cartucho Mola temperada 65 448 94 648 3 91HRB
CA270 – Bronze Tira recozida 14 97 46 317 65 58HRF
Amarelo Mola temperada 62 427 91 627 30 90HRB
CA510 – Bronze Recozida 19 131 47 324 64 73HRF
Fósforo Mola temperada 80 552 100 689 4 95HRB
CA614 – Bronze Macio 45 310 82 565 40 84HRB
Alumínio Duro 60 414 89 614 32 87HRB
CA655 – Bronze Alto Recozido 21 145 56 386 63 76HRF
Silicone Mola temperada 62 427 110 758 4 97HRB
CA675 – Bronze Macio 30 207 65 448 33 65HRB
Manganês Meio-duro 60 414 84 579 19 90HRB
Bronze Estanho pesado Como fundido 19 131 34 234 18 60HB
Como fundido 20 138 50 345 40 85HB
Bronze Estanho Níquel Fundido e
tratado
termicamente
55 379 85 586 10 180HB
437

Tabela A-5 – Propriedades Mecânicas para Algumas Ligas de Titânio
Ligas de Titânio Condição
Resistência a
Tração
Nominal (2%
de tolerância)
Resistência
a Tração
Última
Alongamen-
to acima de
2 pol
kpsi MPa kpsi MPa %
Dureza
Rockwell
ou
Brinell
Ti-35A Folha recozida 30 207 40 276 30 135HB
Ti-50A Folha recozida 45 310 55 379 25 215HB
Ti-75A Folha recozida 75 517 85 586 18 245HB
Liga de Ti-0,2Pd Folha recozida 45 310 55 379 25 215HB
Liga de Ti-5 Al-2,5Sn Recozida 125 862 135 931 13 39HRC
Liga de Ti-8 Al-1 Mo-1 Folha recozida 130 896 140 965 13 39HRC
Liga de Ti-8 Al-2 Sn-4 Zr-2 Mo Barra recozida 130 896 140 965 15 39HRC
Liga de Ti-8 Al-6 V-2 Sn Folha recozida 155 1069 165 1138 12 41HRC
Liga de Ti-6 Al-4 V Folha recozida 130 896 140 13 2,5 39HRC
Liga de Ti-6 Al-4 V
Tratada
termicamente
165 1138 175 1207 12 -
Liga de T1-13 V-11 Cr-3 Al Folha recozida 130 896 135 931 13 37HRC
Liga de T1-13 V-11 Cr-3 Al
Tratada
termicamente
170 1172 180 1241 6 -
438

Tabela A-6 – Propriedades Mecânicas para Algumas Ligas de
Magnésio
Ligas de
Magnésio
AZ31 B
AZ80 A
Condição
Resistência
a Tração
Nominal
(2% de
tolerância)
Resistênci
a a Tração
Última
Alongament
o acima de
2 pol
kpsi MPa kpsi MPa %
Dureza
Rockwel
l ou
Brinell
Folha recozida 22 152 37 255 21 56HB
Folha dura 32 221 42 290 15 73HB
Como forjado 33 228 48 331 11 69HB
Forjado e envelhecido 36 248 50 345 6 72HB
AZ91 A & AZ91 B Fundição em estampa 22 152 33 228 3 63HB
AZ91 C Fundido, solução
tratada termicamente
AZ92 A
Como fundido 14 97 24 165 2,5 60HB
19 131 40 276 5 70HB
Como fundido 14 97 25 172 2 65HB
Fundido, tratado
quimicamente
Fundido, envelhecido e
tratado quimicamente
14 97 40 276 10 63HB
22 152 40 276 3 81HB
EZ33 A Fundido e envelhecido 16 110 23 159 3 50HB
Endurecimento forçado 29 200 37 255 8 68HB
HK31 A Fundido e tratado
termicamente
HZ32 A
Fundido – tratado
quimicamente e
envelhecido
ZK60 A Prensado e
envelhecido
15 103 32 221 8 66HRB
13 90 27 186 4 55HB
Como prensado 38 262 49 338 14 75HB
44 303 53 365 11 82HB
439

Tabela A-7 – Propriedades Mecânicas para Algumas Ligas de Ferro-
Fundido
Ligas de Ferro
Fundido
Ferro Fundido Cinzento
- Classe 20
Ferro Fundido Cinzento
- Classe 30
Ferro Fundido Cinzento
- Classe 40
Ferro Fundido Cinzento
- Classe 50
Ferro Fundido Cinzento
- Classe 60
Condição
Resistência a
Tração
Nominal (2%
de
tolerância)
Resistência a
Tração
Última
Tensão de
Compres-
são
Dureza
Brinell
kpsi MPa kpsi MPa kpsi MPa -HB
Como fundido - - 22 152 83 572 156
Como fundido - - 32 221 109 752 210
Como fundido - - 42 290 140 965 235
Como fundido - - 52 359 164 1131 262
Como fundido - - 62 427 187 1289 302
Ferro Dúctil 60-40-18 Recozido 47 324 65 448 52 359 160
Ferro Dúctil 65-45-12 Recozido 48 331 67 462 53 365 174
Ferro Dúctil 80-55-06 Recozido 53 365 82 565 56 386 228
Ferro Dúctil 120-90-02 Q e T 120 827 140 965 134 924 325
440

Tabela A-8 – Propriedades Mecânicas para Algumas Ligas de Aço
Inoxidável
Ligas de Aço
Inoxidável
Tipo 301
Tipo 302
Tipo 304
Condição
Resistência a
Tração
Nominal (2%
de
tolerância)
Resistência
a Tração
Última
Alongamen
to acima de
2 pol
kpsi MPa kpsi MPa %
Dureza
Rockwell
ou Brinell
Tira recozida 40 276 110 758 60 85HRB
Laminado a frio 165 1138 200 1379 8 41HRC
Folha recozida 40 276 90 621 50 85HRB
Laminado a frio 165 1138 190 1310 5 40HRC
Folha recozida 35 241 85 586 50 80HRB
Laminado a frio 160 1103 185 1276 4 40HRC
Tipo 314 Barra recozida 50 345 100 689 45 180HB
Tipo 316 Folha recozida 40 276 90 621 50 85HRB
Tipo 330
Tipo 410
Tipo 420
Tipo 431
Tipo 440C
17-4 PH
(AISI 630)
17-7 PH
(AISI 631)
Laminado a quente 55 379 100 689 35 200HB
Recozido 35 241 80 552 50 150HB
Folha recozida 45 310 70 483 25 80HRB
Tratado termicamente 140 965 180 1241 15 39HRC
Barra recozida 50 345 95 655 25 92HRB
Tratado termicamente 195 1344 230 1586 8 500HB
Barra recozida 95 655 125 862 25 260HB
Tratado termicamente 150 1034 195 1344 15 400HB
Barra recozida 65 448 110 758 14 230HB
Q e T 600F 275 1896 285 1965 2 57HRC
Endurecida 185 1276 200 1379 14 44HRC
Endurecida 220 1517 235 1620 6 48HRC
441

Tabela A-9 – Propriedades Físicas de alguns Materiais de Engenharia
Material
Ligas de
Alumínio
Liga Cobre
Berílio
Módulo de
Elasticida-
de E
Módulo de
Rigidez G
Coeficiente
de Poisson
Peso
Específico
γ
Massa
Específica
Mpsi GPa Mpsi GPa Lb/in³ Mg/m³
ρ
Gravidade
Específi-
10,4 71,7 3,9 26,8 0,34 0,10 2,8 2,8
18,5 127,6 7,2 49,4 0,29 0,30 8,3 8,3
Bronze 16,0 110,3 6,0 41,5 0,33 0,31 8,6 8,6
Cobre 17,5 120,7 6,5 44,7 0,35 0,32 8,9 8,9
Ferro, Molde,
Cinzento
Ferro, Molde,
Dúctil
Ferro, Molde,
Maleável
Ligas de
Magnésio
15,0 103,4 5,9 40,4 0,28 0,26 7,2 7,2
24,5 168,9 9,4 65,0 0,30 0,25 6,9 6,9
25,0 172,4 9,6 66,3 0,30 0,26 7,3 7,3
6,5 44,8 2,4 16,8 0,33 0,07 1,8 1,8
Ligas de Níquel 30,0 206,8 11,5 79,6 0,30 0,30 8,3 8,3
Aço Carbono 30,0 206,8 11,7 80,8 0,28 0,28 7,8 7,8
Ligas de Aço 30,0 206,8 11,7 80,8 0,28 0,28 7,8 7,8
Aço Inoxidável 27,5 189,6 10,7 74,1 0,28 0,28 7,8 7,8
Ligas de Titânio 16,5 113,8 6,2 42,4 0,34 0,16 4,4 4,4
Ligas de Zinco 12,0 82,7 4,5 31,1 0,33 0,24 6,6 6,6
ca
442

Tabela A-10 – Propriedades Mecânicas para Algumas Ligas e Aços
Ferramentas
Número
SAE/AISI
1340
4027
4130
4140
4340
6150
8740
H-11
L-2
L-6
P-20
S-1
S-5
S-7
A-8
Condição
Resistência a
Tração Nominal
(2% de tolerância)
Resistência a
Tração
Última
Alongame
nto acima
de 2 pol
Dureza
Rockwell
ou Brinell
kpsi MPa kpsi MPa % -HB
Recozido 63 434 102 703 25 204HB
Q e T 109 752 125 862 21 250HB
Recozido 47 324 75 517 30 150HB
Q e T 113 779 132 910 12 264HB
Recozido a 1450°F 52 359 81 558 28 156HB
Normalizado a 1650°F 63 434 97 669 25 197HB
Q e T a 1200°F 102 703 118 814 22 245HB
Q e T a 800°F 173 1193 186 1282 13 380HB
Q e T a 400°F 212 1462 236 1627 10 41HB
Recozido a 1450°F 61 421 95 655 26 197HB
Normalizado a 1650°F 95 655 148 1020 18 302HB
Q e T a 1200°F 95 655 110 758 22 230HB
Q e T a 800°F 165 1138 181 1248 13 370HB
Q e T a 400°F 238 1641 257 1772 8 510HB
Q e T a 1200°F 124 855 140 965 19 280HB
Q e T a 1000°F 156 1076 170 1172 13 360HB
Q e T a 800°F 198 1365 213 1469 10 430HB
Q e T a 600°F 230 1586 250 1724 10 486HB
Recozido 59 407 96 662 23 192HB
Q e T 148 1020 157 1082 16 314HB
Recozido 60 414 95 655 25 190HB
Q e T 133 917 144 993 18 288HB
Recozido a 1600°F 53 365 100 689 25 96HRB
Q e T a 1000°F 250 1724 295 2034 9 55HRC
Recozido a 1425°F 74 510 103 710 25 96HRB
Q e T a 400°F 260 1793 290 1999 5 54HRC
Recozido a 1425°F 55 379 95 655 25 93HRB
Q e T a 600°F 260 1793 290 1999 4 54HRC
Recozido a 1425°F 75 517 100 689 17 97HRB
Q e T a 400°F 205 1413 270 1862 10 52HRC
Recozido a 1475°F 60 414 100 689 24 96HRB
Q e T a 400°F 275 1896 300 2068 4 57HRC
Recozido a 1450°F 64 441 105 724 25 96HRB
Q e T a 400°F 280 1931 340 2344 5 59HRC
Recozido a 1525°F 55 379 93 641 25 95HRB
Q e T a 400°F 210 1448 315 2172 7 58HRC
Recozido a 1550°F 65 448 103 710 24 97HRB
Q e T a 1050°F 225 1551 265 1827 9 52HRC
443

Ligas de
Alumínio
Forjado
1100
2024
3003
5052
6061
7075
Tabela A-11 – Propriedades Mecânicas para algumas ligas de
Alumínio Forjado
Condição
Folha
recozida
Laminado a
frio
Folha
recozida
Tratado
termicamente
Folha
recozida
Laminado a
frio
Folha
recozida
Laminado a
frio
Folha
recozida
Tratado
termicamente
Barra
recozida
Tratado
termicamente
Resistência a
Tração
Nominal
(2% de
tolerância)
Resistência a
Tração Última
Resistência
a Fadiga a
5E8 ciclos
Alongamen-
to acima de
2 pol
Dureza
Brinell
kpsi MPa kpsi MPa kpsi MPa % -HB
5 34 13 90 - - 35 23
22 152 24 165 - - 5 44
11 76 26 179 - - 20 -
42 290 64 441 20 138 19 -
6 41 16 110 - - 30 28
27 186 29 200 - - 4 55
13 90 28 193 - - 25 47
37 255 42 290 - - 7 77
8 55 18 124 - - 25 30
40 276 45 310 14 97 12 95
15 103 33 228 - - 16 60
73 503 83 572 14 97 11 150
444

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