Diferenciální geometrie

Diferenciální geometriePomocný učební text – díl I.František JežekPlzeň, červen 2005

Obsah1 Křivky 41.1 Vyjádření křivky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Transformace parametru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Délka křivky, oblouk jako parametr . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Tečný vektor a tečna křivky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Oskulační rovina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6 Frenetovy vzorce, křivosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7 Kanonické a přirozené rovnice křivky . . . . . . . . . . . . . . 131.8 Oskulační vlastnosti křivek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.9 Obálky systému křivek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.10 Spádové křivky, evoluty a evolventy . . . . . . . . . . . . . . . 172

PředmluvaTento text je záznamem přednášek, které jsem připravil pro Fakultu aplikovanýchvěd v akademickém roce 2002/03 pro předmět Diferenciální geometrie.Ochotným přístupem dvou studentů byl záznam přednášek vysázen vsystému L A TEX. Později jsem provedl autorizaci a doplnění tohoto záznamu.Velké poděkování patří studentům Petru Märzovi a Marku Byrtusovi,kteří pro budoucí generaci studentů připravili základ záznamu přednášek.Budu Vám vděčný za případné připomínky k textu. Řadu podnětů v roce2004 a 2005 poslali Josef Otta a Martina Sitková, za což jim patří dík. Většinunámětů jsem akceptoval.František Ježek3

Kapitola 1Křivky1.1 Vyjádření křivkyDefinice 1. Regulární křivkou třídy C n v E 3 rozumíme množinu K ⊂ E 3 ,pro níž existuje vektorová funkce P (t), t ∈ I, tak, že(a) P : I → K, I je otevřený interval,(b) P je třídy C n ,(c) |P ′ (t 0 )| ≠ 0 pro všechna t 0 ∈ I,(d) t 1 ≠ t 2 ⇒ P (t 1 ) ≠ P (t 1 ).Poznámka 1. Rozepsáním do složek dostaneme parametrické vyjádření.Příklad 1. Uvažujme dvě různé parametrizace přímky(a) P (t) = (t, t, t), t ∈ R, toto vyjádření přímky vyhovuje definici regulárníkřivky,(b) P (t) = (t 3 , t 3 , t 3 ), t ∈ R, stejná přímka jako v (a), ale tato parametrizacepřímky již nesplňuje podmínky definice, protože neplatí nerovnost|P ′ (0)| ≠ 0.Poznámka 2. Definice křivky je, jak to u elementárních pojmů bývá, poměrněkomplikovaná. Námi uvedená definice regulární křivky je problematickápři praktickém ověřování podmínek. V dalším textu budeme používatpojem křivka (bez přívlastku). Křivkou rozumíme množinu (bodů), která jeskoro všude (až na konečný počet bodů) regulární křivkou.4

1.2. Transformace parametru 5Obrázek 1.1: K definici křivkyPoznámka 3. Kromě vektorových (nebo parametrických) rovnic lze pracovati s explicitními nebo implicitními rovnicemi.Explicitní ImplicitníE 2 y = f(x) f(x, y) = 0E 3 y = f 1 (x) f 1 (x, y, z) = 0z = f 2 (x), x ∈ I f 2 (x, y, z) = 0Převod mezi implicitním a explicitním tvarem lze provést pomocí věty oimplicitních funkcích.K určení regulární křivky implicitními rovnicemi je nutné, aby následujícímatice měla hodnost 2:)( ∂f1∂x∂f 2∂x∂f 1∂y∂f 2∂y∂f 1∂z∂f 2∂z1.2 Transformace parametruVěta 1. Nechť P (t), t ∈ I, je regulární křivkou a nechť ϕ je spojitá funkceϕ : I ⋆ → I a ϕ ′ (t ⋆ 0) ≠ 0 pro každé t ⋆ 0 ∈ I ⋆ . Pak P (ϕ(t ⋆ )), t ⋆ ∈ I ⋆ , je vektorovourovnicí křivky P (t)..

1.2. Transformace parametru 6Důkaz. Funkce ϕ je rostoucí nebo klesající, tedy je prostá. Snadno se ověřípodmínky definice 1 i pro P (ϕ(t ⋆ )) na I ⋆ .Obrázek 1.2: Transformace parametruObrázek 1.3: Transformace parametru na křivce

1.3. Délka křivky, oblouk jako parametr 71.3 Délka křivky, oblouk jako parametrVěta 2. Nechť P (t), t ∈ I = (t d , t h ). Pak délka křivky je dána vztahemd =∫ t ht d√P ′ (t) · P ′ (t) dtDůkaz. Tvrzení plyne z integrálního počtu a z rovnice:( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 dx(t) dy(t) dz(t)P ′ (t) · P ′ (t) = + + .dt dt dtDefinice 2. Nechť P (t), t ∈ I, je regulární křivkou. Položmes(t) =∫ tt d√P ′ ( ̂t ) · P ′ ( ̂t ) d̂ta inverzní funkci označme t(s). Pak nový parametr s nazýváme oblouk.√Poznámka 4. Definice 2 je korektní, neboť s ′ (t) = P ′ ( ̂t ) · P ′ ( ̂t ) > 0 atedy existuje inverzní funkce. Derivaci podle oblouku značíme tečkou, tj.ṖP (s) =dP (s)ds .Příklad 2. Kružnici k = (0, r) parametrizujte obloukem.Víme, že parametrické vyjádření kružnice jex(t) = r cos t, y(t) = r sin t, t ∈ 〈0, 2π) ,kdes(t) =∫ t√∫ tr 2 cos 2 ̂t + r 2 sin 2 ̂t d̂t =√r2 d̂t = rt.0Pak dostáváme t = 1 s a z toho už plyne parametrizace obloukem ve tvarur( ) 1x(s) = r cosr sa0( ) 1y(s) = r sinr s .

1.4. Tečný vektor a tečna křivky 8Obrázek 1.4: Tečný vektor křivky1.4 Tečný vektor a tečna křivkyZ diferenciálního počtu je známo, že „tečna je limitní polohou sečny.Definice 3. VektorP ′ (t 0 ) = dPdt (t 0)nazýváme tečný vektor křivky P (t), t ∈ I, v bodě t 0 . Tečnou křivky v danémbodě rozumíme přímku R(k) = P (t 0 ) + kP ′ (t 0 ).Věta 3. Křivka má v daném bodě jedinou tečnu.Důkaz. Z definice 3 plyne, že v dané parametrizaci existuje v daném boděkřivky jediná tečna. Stačí tedy dokázat, že tečna nezávisí na zvolené parametrizaci.Uvažujme změnu parametru t = ϕ(t ⋆ ), kde ϕ je spojitá a ϕ ′ ≠ 0.Pak platídP (t ⋆ ) dP (t)= · dϕ(t⋆ ),dt ⋆ dt dt ⋆kde člen dϕ(t⋆ )dt ⋆ ≠ 0. Tečné vektory pro různé parametrizace jsou kolineární,tj. tečna nezávisí na parametrizaci.

1.4. Tečný vektor a tečna křivky 9Věta 4. Nechť P (t), t ∈ I, je regulární křivka. Parametr t je obloukem, právěkdyždP∣ dt ∣ = 1 pro každé t ∈ I.Důkaz.⇒ Nechť t je parametr, který je obloukem. Platít = s(t) =∫ tt d√P ′ ( ̂t ) · P ′ ( ̂t ) d̂t .Derivujeme-li podle t, dostáváme tuto rovnici1 = √ P ( t ) · P ( t ) = |P ′ | .⇐ Integrováním vztahu |P ′ | = 1 podle parametru dostáváme∫ ss d1d ̂t =s − s d =Pro oblouk položíme s d = 0.∫ ss d∫ ss d√P ′ ( ̂t ) · P ′ ( ̂t ) d̂t ,√P ′ ( ̂t ) · P ′ ( ̂t ) d̂t.Věta 5. Nechť je dána křivka implicitními rovnicemi f 1 (x, y, z) = 0, f 2 (x, y, z) =0 a nechť bod [x 0 , y 0 , z 0 ] leží na křivce. Pak vektor⎛⎞∂f 1 ∂f 1⎜∂y ∂z∂f 1 ∂f 1∂f 1 ∂f 1∂x ∂z∂x ∂y⎟⎝, −,⎠∂f∣ 2 ∂f 2∂y ∂z∣ ∣∂f 2 ∂f 2∂f∣ ∣ 2 ∂f 2∂x ∂z ∂x ∂y∣je tečným vektorem této křivky.Důkaz. Nechť x = x(t), y = y(t), z = z(t) je parametrické vyjádření téžekřivky v okolí bodu [x 0 , y 0 , z 0 ], pak pro derivace df 1dt a df 2dtplatí následujícírovnostdf idt = ∂f i∂x · dxdt + ∂f i∂y · dydt + ∂f i∂z · dzdt = 0 , i = 1, 2 .Hledáme řešení pro neznámé dxdt , dydt a dz . Jde o ortogonální vektor k jinýmdvěma vektorům. Použijeme tedy vektorový součin, tj.dt ( dxdt , dydt , dz )( dt∂f1je kolineární s∂x , ∂f 1∂y , ∂f ) (1 ∂f2×∂z ∂x , ∂f 2∂y , ∂f )2.∂z

1.5. Oskulační rovina 10Příklad 3. Určete tečnu řezu kulové plochy (0, r = 5) rovinou x+y+z−7 = 0ve zvoleném bodě.Máme tedy dvě implicitní vyjádření, která jsoux 2 + y 2 + z 2 − 25 = 0x + y + z − 7 = 0 .Můžeme si zvolit z, např. z = 0, pak bodem, který splňuje rovnost, je např.[3, 4, 0]. Dostáváme následující obecnou soustavu2x dxdtdy dz+ 2y + 2zdt dtdxdt + dydt + dzdtDosadíme-li bod [3, 4, 0] do první rovnice= 0= 0 .6 dxdt + 8dy dt + 0 = 0dxdt + dydt + dzdt= 0 ,pak tečný vektor v bodě [3, 4, 0] podle věty 5 má tvar( ∣ ∣ ∣ )∣∣∣ 8 0∣∣∣t =1 1 ∣ , − 6 0∣∣∣ 1 1 ∣ , 6 81 1 ∣ = (8, −6, −2) ∼ (4, −3, −1) .Tečna v bodě je R(t) = (3, 4, 0) + t(4, −3, −1).1.5 Oskulační rovinaOskulační rovina je „limitní polohou roviny tX určené tečnou t a „pohybujícímse bodem X křivky.Definice 4. Nechť P (t), t ∈ I, je regulární křivka a je dáno t 0 ∈ I. Nechťvektory P ′ (t 0 ) a P ′′ (t 0 ) jsou nekolineární, pak rovinuR(u, v) = P (t 0 ) + uP ′ (t 0 ) + vP ′′ (t 0 )nazýváme oskulační rovinou křivky v daném bodě.Věta 6. Oskulační rovina se nemění při změně parametrizace.

1.6. Frenetovy vzorce, křivosti 11Důkaz. Je-li t = ϕ(t ⋆ ), kde ϕ je spojitá a ϕ ′ ≠ 0 pro každé t ⋆ ∈ I ⋆ , pak platít ⋆ 0 = ϕ −1 (t 0 ) ,P ′ (t ⋆ 0) = dP (ϕ(t⋆ ))(t ⋆dt0) = P ′ (t ⋆0 ) · dϕdt ⋆ (t⋆ 0)a z toho plyne, že tečné vektory jsou kolineární.Určíme dále druhé derivace:[ dPP ′′ =dt · dϕ ] ′ ( ) 2= d2 P dϕdt ⋆ dt · + dP2 dt ⋆ dt · d2 ϕdt , ⋆2P ′′ (t ⋆ 0) = P ′′ (t 0 ) · (ϕ ′ (t ⋆ 0)) 2 + P ′ (t 0 ) · ϕ ′′ (t ⋆ 0).P ′′ (t ⋆ 0) je tedy lineární kombinací P ′ (t 0 ) a P ′′ (t 0 ).Definice 5. Bod křivky, v němž P ′ (t 0 ) a P ′′ (t 0 ) jsou kolineární, nazývámeinflexní bod.Poznámka 5. V inflexním bodě není definována oskulační rovina, resp. zaoskulační rovinu lze považovat každou rovinu procházející tečnou. Snadnotedy plyne, že pojem „inflexní bod nezávisí na parametrizaci (viz důkazvěty 6).1.6 Frenetovy vzorce, křivostiDefinice 6. Normálou křivky v daném bodě rozumíme každou přímku R(s) =P (t 0 ) + sn, kde n · P ′ (t 0 ) = 0, tj. každou přímku kolmou na tečnu. Hlavnínormála n je normála ležící v oskulační rovině. Binormála b je normála,která je kolmá k oskulační rovině. Rovinu tb nazýváme rektifikační, rovinunb nazýváme normálová.Nechť křivka je parametrizovaná obloukem P (s), s ∈ I. Víme, že |ṖP (s 0 )| =1 (podle věty 4) pro každé s 0 ∈ I. TedyṖP · ¨P + ¨P · ṖP = 0 ⇒ ṖP · ¨P = 0,tj. ¨P je buď nulový (inflexe), nebo ortogonální k ṖP .Definice 7. První křivostí křivky v bodě rozumíme číslo 1 k(s 0 ) = | ¨P (s 0 )|,tj. velikost vektoru druhé derivace vektorové funkce parametrizované pomocíoblouku.

1.6. Frenetovy vzorce, křivosti 12Obrázek 1.5: Tečna t, hlavní normála n, binormála b, oskulační rovina τ,normálová rovina ν, rektifikační rovina µ křivky k v bodě XOznačme t(s 0 ) = ṖP (s 0 ) a n(s 0 ) = ¨P (s 0 )| ¨P (s 0 )| = 11 k · ¨P (s 0 ) = 11 k ·ṫt(s 0 ) jednotkovévektory tečny a hlavní normály. Dále b(s 0 ) = t(s 0 ) × n(s 0 ) je jednotkovývektor binormály. Ze vztahu b(s 0 )·b(s 0 ) = 1 plyne derivováním b(s 0 )·ḃb(s 0 ) =0. Tedy ḃb patří do zaměření oskulační roviny, tj. ḃb = At + Bn. Dále b · t = 0a derivováním ḃb · t + b ·ṫt = 0 ⇒ ḃb · t + b ·1 k · n = 0 ⇒ ḃb · t = 0. Jestliže rovniciḃb = At + Bn vynásobíme t, máme ḃb · t = A, ale to je nula. Tím jsme ukázali,že koeficient A je nulový a tedy vektory ḃb a n jsou kolineární. To nám dovolídefinovat druhou křivost křivky.Definice 8. Druhou křivostí křivky (torzí) v bodě rozumíme čísloneboli | 2 k(s 0 )| = |ḃb|.2 k(s 0 ) = −ḃb · n ,Věta 7. (Frenetovy vzorce) Pro regulární křivku parametrizovanou obloukemplatíṫt = 1 knṅn = − 1 kt + 2 kbḃb = − 2 kn .Důkaz. Máme tyto vztahyṫt = 1 knḃb = − 2 kn

1.7. Kanonické a přirozené rovnice křivky 13a chceme určit ṅn. Víme, že platí ṅn · n = 0, tedy ṅn = At + Bb (je lineárníkombinací vektorů kolmých k vektoru n). Derivováním dostanemet · n = 0 ⇒ ṫt · n + t · ṅn = 0 ⇒ 1 k + t · ṅn = 0⇒ t · ṅn = − 1 k ,b · n = 0 ⇒ ḃb · n + b · ṅn = 0 ⇒ − 2 k + b · ṅn = 0⇒ b · ṅn = 2 k .Snadno plyne A = − 1 k, B = 2 k.Poznámka 6. Ryze algebraicky lze větu vyvodit po zavedení první křivostipomocí tzv. věty o ortonormálním repéru.Věta 8. Pro regulární křivku s obecným parametrem platí( 1 k) 2 = (P ′ × P ′′ ) 2(P ′ · P ′ ) 32 k = (P ′ , P ′′ , P ′′′ )(P ′ × P ′′ ) 2Důkaz. Důkaz je snadným cvičením a provede se změnou parametrizace.1.7 Kanonické a přirozené rovnice křivkyPro vektorovou funkci P (s) použijeme v okolí bodu s = 0 rozvoje v mocninnouřadu. Platí ṖP = t, ¨P = 1 kn, dále snadno vypočtemeP (3) = 1 kṅn + n d1 kds = 1 k(− 1 kt + 2 kb) + 1 ˙kn = − 1 k 2 t + 1 ˙kn + 1 k 2 kb .Pro rozvoj bude platitP (s) = P (0) + P (1) (0)s + 1 2 P (2) (0)s 2 + 1 6 P (3) (0)s 3 + . . .a tedy (v lokálním repéru)[P (s) = P (0) + t(0) s − 1 ]1 k 2 (0)s 3 + . . . +6[ 1+ n(0)1 k(0)s 2 + 1 ]1 ˙k(0)s 3 + . . .2 6[ ]1+ b(0)1 k(0) 2 k(0)s 3 + . . . .6+

1.8. Oskulační vlastnosti křivek 14Definice 9. Vyjádření křivky P (s) ve tvaru P (s) = P (0)+t 0 g 1 (s)+n 0 g 2 (s)+b 0 g 3 (s), kde funkce g i (s) jsou dány řadou, jejíž členy obsahují hodnotu derivacíprvní a druhé křivosti v bodě s = 0, nazýváme kanonickými rovnicemikřivky v okolí bodu s = 0.Poznámka 7. Nejjednodušší náhradou prostorové křivky (jednodušší prostorovoukřivkou) jeP (s) ≈ P (0) + t(0)s + n(0) 1 1 k(0)s 2 + b(0) 1 1 k(0) 2 k(0)s 3 .26Z vymezení pojmu kanonická rovnice plyne, že je-li dán repér, pak k určeníkřivky stačí znát 1 k(s) a 2 k(s).Definice 10. Jsou-li dány funkce 1 k(s) a 2 k(s), je dán přirozený popis („přirozenérovnice) křivky, neboli trojice s, 1 k(s), 2 k(s) tvoří přirozené souřadnicebodu na křivce.Příklad 4. Přirozené rovnice kružnice jsou 1 k = 1 r ; 2 k = 0. Křivkou s přirozenýmirovnicemi 1 k(0) = a 1 s + a 0 , 2 k(s) = 0 je klotoida. Použití má tatokřivka v návrhu přechodových oblouků komunikací.Obrázek 1.6: Klotoida1.8 Oskulační vlastnosti křivekDefinice 11. Nechť P (s) a Q(s), s ∈ I, jsou křivky. Řekneme, že pro s = 0mají dotyk řádu q (neboli q + 1 bodový dotyk), jestližed r Pds (0) = dr Q(0), r = 0, . . . , q .r dsr

1.8. Oskulační vlastnosti křivek 15Věta 9. Nutnou a postačující podmínkou pro dotyk řádu q ve společnémbodě křivek je:q = 1 rovnost jednotkových tečných vektorů,q = 2 rovnost jednotkových tečných vektorů, jednotkových vektorů hlavníchnormál a rovnost první křivosti,q = 3 rovnost jednotkových tečných vektorů, jednotkových vektorů hlavníchnormál, rovnost první a druhé křivosti a rovnost derivace první křivosti.Důkaz. Plyne z kanonického tvaru křivky.Definice 12. Kružnici, která má s křivkou v daném bodě dotyk alespoňdruhého řádu (alespoň tříbodový), nazýváme oskulační kružnicí. Kružnices dotykem alespoň třetího řádu (alespoň čtyřbodovým) se nazývá hyperoskulačníkružnice.Věta 10. Oskulační kružnice křivky P (s) v bodě s = s 0 leží v oskulační1rovině křivky v daném bodě, má poloměr a pro střed této kružnice platí1 k(s)S = P (s 0 ) + 1 n(s 1 k(s 0 ) 0 ).Důkaz. Důkaz plyne z věty 9. Technickým problémem je stanovení znaménka+ nebo − u vektoru hlavní normály.Obrázek 1.7: Oskulační kružnice křivky k v bodě X(s 0 )

1.9. Obálky systému křivek 161.9 Obálky systému křivekUvažujeme křivky F (x, y, α 0 ) = 0 a F (x, y, α 1 ) = 0 a nechť tyto křivky majíprůsečík Q. Místo toho můžeme vzít ekvivalentní soustavuF (x, y, α 0 ) = 0 ;Limitním přechodem α 1 → α 0 máme soustavuF (x, y, α) = 0 ;F (x, y, α 1 ) − F (x, y, α 0 )α 1 − α 0= 0.∂F (x, y, α)∂α= 0.Jejím řešením je (pokud řešení existuje) charakteristický bod. Pro proměnnéα dostaneme obalovou křivku a α je její parametr.Věta 11. V charakteristickém bodě, v němž ∂2 F∂α 2dotýká tvořící křivky.≠ 0, se obalová křivka∂F (x,y,α)∂αDůkaz. Nechť z rovnice F (x, y, α) = 0 a = 0 byl eliminován parametrα, tj. F (x, y, α(x, y)) = 0. K tomu potřebujeme podmínku ∂2 F≠ 0.∂α 2Uvažujme charakteristický bod X[x 0 , y 0 ], který odpovídá poloze tvořícíkřivky pro α 0 . Tečna obálky bude v tomto tvaru[ ∂F(x − x 0 )∂x + ∂F∂α · ∂α ][ ∂F+ (y − y 0 )∂x∂y + ∂F∂α · ∂α ]= 0,∂yale ∂F∂α= 0. Z toho vyplývá(x 0 ,y 0 )(x 0 ,y 0 )(x − x 0 ) ∂F∂x (x 0, y 0 , α(x 0 , y 0 )) + (y − y 0 ) ∂F∂y (x 0, y 0 , α(x 0 , y 0 )) = 0,což je však tečna křivky F (x, y, α 0 ) = 0 v bodě X.Poznámka 8. Využili jsme toho, že pro rovinnou křivku F (x, y) = 0 jerovnicí(x − x 0 ) ∂F∂x (x 0, y 0 ) + (y − y 0 ) ∂F∂y (x 0, y 0 ) = 0dána tečna křivky v bodě [x 0 , y 0 ].Příklad 5. Určete obálku systému kružnic (x − α) 2 + y 2 = 1.Podle předcházející věty máme rovnice:∂F∂α = 2(x − α)(−1) = 0, ∂ 2 F∂α 2 ≠ 0.

1.10. Spádové křivky, evoluty a evolventy 17Dostáváme dvě rovnice(x − α) 2 + y 2 − 1 = 0x − α = 0Vyjádříme-li z druhé rovnice x a dosadíme jej do první rovnice, máme pakrovnici y 2 − 1 = 0, tj. y = ±1. Obálkou systému křivek jsou tedy dvě přímkyy = 1 a y = −1.1.10 Spádové křivky, evoluty a evolventyDefinice 13. Nechť je dán jednotkový vektor w a odchylka ω ∈ 〈0, π〉. Spádovoukřivkou k pro daný vektor w a odchylku ω se rozumí křivka, jejížvšechny tečné vektory mají od vektoru w konstantní odchylku ω.Křivka k, která protíná kolmo všechny tečny dané křivky P = P (s) (a ležítedy na ploše tečen této křivky), se nazývá evolventou dané křivky k, viz obr.1.8. Křivka k se nazývá evoluta křivky k.Věta 12. Křivka je spádová, právě když pro její křivosti a odchylku ω platíve všech jejích bodech vztah2 k sin ω − 1 k cos ω = 0.Důkaz. Uvažujme nejprve křivku P (s) parametrizovanou obloukem, která jespádová pro vektor w a odchylku ω. Pro každé s z intervalu parametrizaceplatíw · ṖP (s) = cos ω.Vzhledem k tomu, že vektor w a odchylka ω nejsou závislé na parametru s,dostaneme pomocí derivování a prvního Frenetova vzorcew · ¨P (s) = w · 1k(s)n(s) = 0.Tedy vektor w je lineární kombinací vektorů t a b (je totiž kolmý k vektorun). Proto w · b = sin ω. Z druhého Frenetova vzorcea odvozených vztahůṅn = − 1 kt + 2 kbw · ṖP (s) = w · t = cos ω, w · b = sin ωjiž plyne dosazením do w · ṅn = 0 dokazovaný vzorec.

1.10. Spádové křivky, evoluty a evolventy 18Opačná implikace se dokáže pomocí uplatnění Frenetových vzorců a připoužití integrace. Nechť tedy2 k sin ω − 1 k cos ω = 0,pak2 k sin ω · n − 1 k cos ω · n = −ḃb cos ω − ṫt sin ω = 0.Což lze psát jako− d (t cos ω + b sin ω) = O.dsIntegrací mámet cos ω + b sin ω = w,kde w je konstatní vektor. Po skalárním vynásobením vektorem t obdržímeTedy křivka je spádovou křivkou.t · w = cos ω.Věta 13. Nechť je dána křivka P (s). Její evolventu lze vyjádřit ve tvaruR(s) = P (s) + (c − s) · t(s) , kde c ∈ R. (1.1)Evolventa tedy vzniká jako dráha bodu při odvalování tečny po dané křivce,tj. nanášením délky oblouku křivky na její tečnu.Obrázek 1.8: Evoluta a evolventyDůkaz. Napište vektorovou funkci R(s), jež vyjadřuje evolventu k křivky k,čili křivku, která protíná kolmo všechny tečny dané křivky k. Z toho vyplýváR(s) = P (s) + λ(s) · t(s), (1.2)

1.10. Spádové křivky, evoluty a evolventy 19kde λ(s) je skalární funkce, t(s), resp. n(s), je tečný, resp. normálový, vektorFrenetova trojhranu. Zároveň platíaR ′ · t(s) = 0, (1.3)ṫt(s) = 1 kn(s).Dosazení derivace rovnice 1.2 do rovnice 1.3 získáme rovnici(t(s) + λ ′ (s) · t(s) + λ(s) · ṫt(s) ) · t(s) = 0.Víme, žet(s) · t(s) = 1, ṫt(s) · t(s) = 0, tedy1 + λ ′ (s) · 1 + 0 = 0 ⇒ λ ′ (s) = −1.Jestliže tento výsledek zintegrujeme, dostaneme λ(s) = −s + c, kde c jekonstanta.Evolventou křivky k jsou křivkyR(s) = P (s) + (c − s) · t(s) , kde c ∈ R. (1.4)Příklad 6. Napište rovnici evolventy kružnice.P (ϕ) = (a · cos ϕ, a · sin ϕ)t(ϕ) = P ′ (ϕ)|P ′ (ϕ)| = (− sin ϕ, cos ϕ) ; s = ∫ ϕDosazením do vztahu 1.4 dostanemeP ′ (ϕ) = (−a · sin ϕ, a · cos ϕ)√|P ′ (ϕ)| = a · (sin 2 ϕ + cos 2 ϕ) = au=0|P ′ (ϕ)|du =∫ ϕu=0a · du = a · ϕR(ϕ) = (a · cos ϕ − c · sin ϕ + a · ϕ · sin ϕ, a · sin ϕ + c · cos ϕ − a · ϕ · cos ϕ)R(ϕ) = ( a · (cos ϕ + ϕ · sin ϕ) − c · sin ϕ, a · (sin ϕ − ϕ · cos ϕ) + c · cos ϕ ) .Pro c = 0 dostávámeR(ϕ) = ( a · (cos ϕ + ϕ · sin ϕ), a · (sin ϕ − ϕ · cos ϕ) ) .

1.10. Spádové křivky, evoluty a evolventy 20Obrázek 1.9: Evolventa kružniceObrázek 1.10: Evolventa šroubovicePříklad 7. Najděte evolventy šroubovice.P (ϕ) = (cos ϕ, sin ϕ, ϕ)P ′ (ϕ) = (− sin ϕ, cos ϕ, 1) , |P ′ (ϕ)| =P˙ Pt(ϕ) = ˙ (ϕ)| P˙ P ˙ (ϕ)| = √ 1 · (− sin ϕ, cos ϕ, 1)2s =∫ ϕt=0|ṖP (t)|dt = √ 2 ·Opět užitím vzorce 1.4 dostaneme∫ ϕt=01 · dt = √ 2 · ϕ√sin 2 ϕ + cos 2 ϕ + 1 = √ 2R(ϕ) = ( cos ϕ + c · (− 1 √2 · sin ϕ) + √ 2 · ϕ · ( 1 √2 · sin ϕ),sin ϕ + c · ( √ 1 · cos ϕ) − √ 2 · ϕ · ( √ 1 · cos ϕ) ,2 2ϕ + c · (√22 ) − √ 2 · ( 1 √2 · ϕ)Provedeme-li substituci 1 √2 · c = d dostaneme).R(ϕ) = ( (cos ϕ + ϕ · sin ϕ) − d · sin ϕ, (sin ϕ − ϕ · cos ϕ) + d · cos ϕ, d ) .Všechny evolventy šroubovice jsou rovinné křivky ležící v rovnoběžných rovináchz = d (viz obrázek 1.10). Speciálně v rovině z = 0 leží evolventaR(ϕ) = (cos ϕ + ϕ · sin ϕ, sin ϕ − ϕ · cos ϕ, 0),která je zároveň průsečnicí tečen šroubovice s touto rovinou.