Diferenciální geometrie

1.8. Oskulační vlastnosti křivek 14Definice 9. Vyjádření křivky P (s) ve tvaru P (s) = P (0)+t 0 g 1 (s)+n 0 g 2 (s)+b 0 g 3 (s), kde funkce g i (s) jsou dány řadou, jejíž členy obsahují hodnotu derivacíprvní a druhé křivosti v bodě s = 0, nazýváme kanonickými rovnicemikřivky v okolí bodu s = 0.Poznámka 7. Nejjednodušší náhradou prostorové křivky (jednodušší prostorovoukřivkou) jeP (s) ≈ P (0) + t(0)s + n(0) 1 1 k(0)s 2 + b(0) 1 1 k(0) 2 k(0)s 3 .26Z vymezení pojmu kanonická rovnice plyne, že je-li dán repér, pak k určeníkřivky stačí znát 1 k(s) a 2 k(s).Definice 10. Jsou-li dány funkce 1 k(s) a 2 k(s), je dán přirozený popis („přirozenérovnice) křivky, neboli trojice s, 1 k(s), 2 k(s) tvoří přirozené souřadnicebodu na křivce.Příklad 4. Přirozené rovnice kružnice jsou 1 k = 1 r ; 2 k = 0. Křivkou s přirozenýmirovnicemi 1 k(0) = a 1 s + a 0 , 2 k(s) = 0 je klotoida. Použití má tatokřivka v návrhu přechodových oblouků komunikací.Obrázek 1.6: Klotoida1.8 Oskulační vlastnosti křivekDefinice 11. Nechť P (s) a Q(s), s ∈ I, jsou křivky. Řekneme, že pro s = 0mají dotyk řádu q (neboli q + 1 bodový dotyk), jestližed r Pds (0) = dr Q(0), r = 0, . . . , q .r dsr