Diferenciální geometrie

1.8. Oskulační vlastnosti křivek 15Věta 9. Nutnou a postačující podmínkou pro dotyk řádu q ve společnémbodě křivek je:q = 1 rovnost jednotkových tečných vektorů,q = 2 rovnost jednotkových tečných vektorů, jednotkových vektorů hlavníchnormál a rovnost první křivosti,q = 3 rovnost jednotkových tečných vektorů, jednotkových vektorů hlavníchnormál, rovnost první a druhé křivosti a rovnost derivace první křivosti.Důkaz. Plyne z kanonického tvaru křivky.Definice 12. Kružnici, která má s křivkou v daném bodě dotyk alespoňdruhého řádu (alespoň tříbodový), nazýváme oskulační kružnicí. Kružnices dotykem alespoň třetího řádu (alespoň čtyřbodovým) se nazývá hyperoskulačníkružnice.Věta 10. Oskulační kružnice křivky P (s) v bodě s = s 0 leží v oskulační1rovině křivky v daném bodě, má poloměr a pro střed této kružnice platí1 k(s)S = P (s 0 ) + 1 n(s 1 k(s 0 ) 0 ).Důkaz. Důkaz plyne z věty 9. Technickým problémem je stanovení znaménka+ nebo − u vektoru hlavní normály.Obrázek 1.7: Oskulační kružnice křivky k v bodě X(s 0 )