Diferenciální geometrie

1.10. Spádové křivky, evoluty a evolventy 20Obrázek 1.9: Evolventa kružniceObrázek 1.10: Evolventa šroubovicePříklad 7. Najděte evolventy šroubovice.P (ϕ) = (cos ϕ, sin ϕ, ϕ)P ′ (ϕ) = (− sin ϕ, cos ϕ, 1) , |P ′ (ϕ)| =P˙ Pt(ϕ) = ˙ (ϕ)| P˙ P ˙ (ϕ)| = √ 1 · (− sin ϕ, cos ϕ, 1)2s =∫ ϕt=0|ṖP (t)|dt = √ 2 ·Opět užitím vzorce 1.4 dostaneme∫ ϕt=01 · dt = √ 2 · ϕ√sin 2 ϕ + cos 2 ϕ + 1 = √ 2R(ϕ) = ( cos ϕ + c · (− 1 √2 · sin ϕ) + √ 2 · ϕ · ( 1 √2 · sin ϕ),sin ϕ + c · ( √ 1 · cos ϕ) − √ 2 · ϕ · ( √ 1 · cos ϕ) ,2 2ϕ + c · (√22 ) − √ 2 · ( 1 √2 · ϕ)Provedeme-li substituci 1 √2 · c = d dostaneme).R(ϕ) = ( (cos ϕ + ϕ · sin ϕ) − d · sin ϕ, (sin ϕ − ϕ · cos ϕ) + d · cos ϕ, d ) .Všechny evolventy šroubovice jsou rovinné křivky ležící v rovnoběžných rovináchz = d (viz obrázek 1.10). Speciálně v rovině z = 0 leží evolventaR(ϕ) = (cos ϕ + ϕ · sin ϕ, sin ϕ − ϕ · cos ϕ, 0),která je zároveň průsečnicí tečen šroubovice s touto rovinou.