Diferenciální geometrie

1.10. Spádové křivky, evoluty a evolventy 18Opačná implikace se dokáže pomocí uplatnění Frenetových vzorců a připoužití integrace. Nechť tedy2 k sin ω − 1 k cos ω = 0,pak2 k sin ω · n − 1 k cos ω · n = −ḃb cos ω − ṫt sin ω = 0.Což lze psát jako− d (t cos ω + b sin ω) = O.dsIntegrací mámet cos ω + b sin ω = w,kde w je konstatní vektor. Po skalárním vynásobením vektorem t obdržímeTedy křivka je spádovou křivkou.t · w = cos ω.Věta 13. Nechť je dána křivka P (s). Její evolventu lze vyjádřit ve tvaruR(s) = P (s) + (c − s) · t(s) , kde c ∈ R. (1.1)Evolventa tedy vzniká jako dráha bodu při odvalování tečny po dané křivce,tj. nanášením délky oblouku křivky na její tečnu.Obrázek 1.8: Evoluta a evolventyDůkaz. Napište vektorovou funkci R(s), jež vyjadřuje evolventu k křivky k,čili křivku, která protíná kolmo všechny tečny dané křivky k. Z toho vyplýváR(s) = P (s) + λ(s) · t(s), (1.2)