Diferenciální geometrie

1.6. Frenetovy vzorce, křivosti 11Důkaz. Je-li t = ϕ(t ⋆ ), kde ϕ je spojitá a ϕ ′ ≠ 0 pro každé t ⋆ ∈ I ⋆ , pak platít ⋆ 0 = ϕ −1 (t 0 ) ,P ′ (t ⋆ 0) = dP (ϕ(t⋆ ))(t ⋆dt0) = P ′ (t ⋆0 ) · dϕdt ⋆ (t⋆ 0)a z toho plyne, že tečné vektory jsou kolineární.Určíme dále druhé derivace:[ dPP ′′ =dt · dϕ ] ′ ( ) 2= d2 P dϕdt ⋆ dt · + dP2 dt ⋆ dt · d2 ϕdt , ⋆2P ′′ (t ⋆ 0) = P ′′ (t 0 ) · (ϕ ′ (t ⋆ 0)) 2 + P ′ (t 0 ) · ϕ ′′ (t ⋆ 0).P ′′ (t ⋆ 0) je tedy lineární kombinací P ′ (t 0 ) a P ′′ (t 0 ).Definice 5. Bod křivky, v němž P ′ (t 0 ) a P ′′ (t 0 ) jsou kolineární, nazývámeinflexní bod.Poznámka 5. V inflexním bodě není definována oskulační rovina, resp. zaoskulační rovinu lze považovat každou rovinu procházející tečnou. Snadnotedy plyne, že pojem „inflexní bod nezávisí na parametrizaci (viz důkazvěty 6).1.6 Frenetovy vzorce, křivostiDefinice 6. Normálou křivky v daném bodě rozumíme každou přímku R(s) =P (t 0 ) + sn, kde n · P ′ (t 0 ) = 0, tj. každou přímku kolmou na tečnu. Hlavnínormála n je normála ležící v oskulační rovině. Binormála b je normála,která je kolmá k oskulační rovině. Rovinu tb nazýváme rektifikační, rovinunb nazýváme normálová.Nechť křivka je parametrizovaná obloukem P (s), s ∈ I. Víme, že |ṖP (s 0 )| =1 (podle věty 4) pro každé s 0 ∈ I. TedyṖP · ¨P + ¨P · ṖP = 0 ⇒ ṖP · ¨P = 0,tj. ¨P je buď nulový (inflexe), nebo ortogonální k ṖP .Definice 7. První křivostí křivky v bodě rozumíme číslo 1 k(s 0 ) = | ¨P (s 0 )|,tj. velikost vektoru druhé derivace vektorové funkce parametrizované pomocíoblouku.