Diferenciální geometrie

1.10. Spádové křivky, evoluty a evolventy 17Dostáváme dvě rovnice(x − α) 2 + y 2 − 1 = 0x − α = 0Vyjádříme-li z druhé rovnice x a dosadíme jej do první rovnice, máme pakrovnici y 2 − 1 = 0, tj. y = ±1. Obálkou systému křivek jsou tedy dvě přímkyy = 1 a y = −1.1.10 Spádové křivky, evoluty a evolventyDefinice 13. Nechť je dán jednotkový vektor w a odchylka ω ∈ 〈0, π〉. Spádovoukřivkou k pro daný vektor w a odchylku ω se rozumí křivka, jejížvšechny tečné vektory mají od vektoru w konstantní odchylku ω.Křivka k, která protíná kolmo všechny tečny dané křivky P = P (s) (a ležítedy na ploše tečen této křivky), se nazývá evolventou dané křivky k, viz obr.1.8. Křivka k se nazývá evoluta křivky k.Věta 12. Křivka je spádová, právě když pro její křivosti a odchylku ω platíve všech jejích bodech vztah2 k sin ω − 1 k cos ω = 0.Důkaz. Uvažujme nejprve křivku P (s) parametrizovanou obloukem, která jespádová pro vektor w a odchylku ω. Pro každé s z intervalu parametrizaceplatíw · ṖP (s) = cos ω.Vzhledem k tomu, že vektor w a odchylka ω nejsou závislé na parametru s,dostaneme pomocí derivování a prvního Frenetova vzorcew · ¨P (s) = w · 1k(s)n(s) = 0.Tedy vektor w je lineární kombinací vektorů t a b (je totiž kolmý k vektorun). Proto w · b = sin ω. Z druhého Frenetova vzorcea odvozených vztahůṅn = − 1 kt + 2 kbw · ṖP (s) = w · t = cos ω, w · b = sin ωjiž plyne dosazením do w · ṅn = 0 dokazovaný vzorec.