Diferenciální geometrie

1.4. Tečný vektor a tečna křivky 9Věta 4. Nechť P (t), t ∈ I, je regulární křivka. Parametr t je obloukem, právěkdyždP∣ dt ∣ = 1 pro každé t ∈ I.Důkaz.⇒ Nechť t je parametr, který je obloukem. Platít = s(t) =∫ tt d√P ′ ( ̂t ) · P ′ ( ̂t ) d̂t .Derivujeme-li podle t, dostáváme tuto rovnici1 = √ P ( t ) · P ( t ) = |P ′ | .⇐ Integrováním vztahu |P ′ | = 1 podle parametru dostáváme∫ ss d1d ̂t =s − s d =Pro oblouk položíme s d = 0.∫ ss d∫ ss d√P ′ ( ̂t ) · P ′ ( ̂t ) d̂t ,√P ′ ( ̂t ) · P ′ ( ̂t ) d̂t.Věta 5. Nechť je dána křivka implicitními rovnicemi f 1 (x, y, z) = 0, f 2 (x, y, z) =0 a nechť bod [x 0 , y 0 , z 0 ] leží na křivce. Pak vektor⎛⎞∂f 1 ∂f 1⎜∂y ∂z∂f 1 ∂f 1∂f 1 ∂f 1∂x ∂z∂x ∂y⎟⎝, −,⎠∂f∣ 2 ∂f 2∂y ∂z∣ ∣∂f 2 ∂f 2∂f∣ ∣ 2 ∂f 2∂x ∂z ∂x ∂y∣je tečným vektorem této křivky.Důkaz. Nechť x = x(t), y = y(t), z = z(t) je parametrické vyjádření téžekřivky v okolí bodu [x 0 , y 0 , z 0 ], pak pro derivace df 1dt a df 2dtplatí následujícírovnostdf idt = ∂f i∂x · dxdt + ∂f i∂y · dydt + ∂f i∂z · dzdt = 0 , i = 1, 2 .Hledáme řešení pro neznámé dxdt , dydt a dz . Jde o ortogonální vektor k jinýmdvěma vektorům. Použijeme tedy vektorový součin, tj.dt ( dxdt , dydt , dz )( dt∂f1je kolineární s∂x , ∂f 1∂y , ∂f ) (1 ∂f2×∂z ∂x , ∂f 2∂y , ∂f )2.∂z