Diferenciální geometrie

1.4. Tečný vektor a tečna křivky 8Obrázek 1.4: Tečný vektor křivky1.4 Tečný vektor a tečna křivkyZ diferenciálního počtu je známo, že „tečna je limitní polohou sečny.Definice 3. VektorP ′ (t 0 ) = dPdt (t 0)nazýváme tečný vektor křivky P (t), t ∈ I, v bodě t 0 . Tečnou křivky v danémbodě rozumíme přímku R(k) = P (t 0 ) + kP ′ (t 0 ).Věta 3. Křivka má v daném bodě jedinou tečnu.Důkaz. Z definice 3 plyne, že v dané parametrizaci existuje v daném boděkřivky jediná tečna. Stačí tedy dokázat, že tečna nezávisí na zvolené parametrizaci.Uvažujme změnu parametru t = ϕ(t ⋆ ), kde ϕ je spojitá a ϕ ′ ≠ 0.Pak platídP (t ⋆ ) dP (t)= · dϕ(t⋆ ),dt ⋆ dt dt ⋆kde člen dϕ(t⋆ )dt ⋆ ≠ 0. Tečné vektory pro různé parametrizace jsou kolineární,tj. tečna nezávisí na parametrizaci.