Diferenciální geometrie

1.9. Obálky systému křivek 161.9 Obálky systému křivekUvažujeme křivky F (x, y, α 0 ) = 0 a F (x, y, α 1 ) = 0 a nechť tyto křivky majíprůsečík Q. Místo toho můžeme vzít ekvivalentní soustavuF (x, y, α 0 ) = 0 ;Limitním přechodem α 1 → α 0 máme soustavuF (x, y, α) = 0 ;F (x, y, α 1 ) − F (x, y, α 0 )α 1 − α 0= 0.∂F (x, y, α)∂α= 0.Jejím řešením je (pokud řešení existuje) charakteristický bod. Pro proměnnéα dostaneme obalovou křivku a α je její parametr.Věta 11. V charakteristickém bodě, v němž ∂2 F∂α 2dotýká tvořící křivky.≠ 0, se obalová křivka∂F (x,y,α)∂αDůkaz. Nechť z rovnice F (x, y, α) = 0 a = 0 byl eliminován parametrα, tj. F (x, y, α(x, y)) = 0. K tomu potřebujeme podmínku ∂2 F≠ 0.∂α 2Uvažujme charakteristický bod X[x 0 , y 0 ], který odpovídá poloze tvořícíkřivky pro α 0 . Tečna obálky bude v tomto tvaru[ ∂F(x − x 0 )∂x + ∂F∂α · ∂α ][ ∂F+ (y − y 0 )∂x∂y + ∂F∂α · ∂α ]= 0,∂yale ∂F∂α= 0. Z toho vyplývá(x 0 ,y 0 )(x 0 ,y 0 )(x − x 0 ) ∂F∂x (x 0, y 0 , α(x 0 , y 0 )) + (y − y 0 ) ∂F∂y (x 0, y 0 , α(x 0 , y 0 )) = 0,což je však tečna křivky F (x, y, α 0 ) = 0 v bodě X.Poznámka 8. Využili jsme toho, že pro rovinnou křivku F (x, y) = 0 jerovnicí(x − x 0 ) ∂F∂x (x 0, y 0 ) + (y − y 0 ) ∂F∂y (x 0, y 0 ) = 0dána tečna křivky v bodě [x 0 , y 0 ].Příklad 5. Určete obálku systému kružnic (x − α) 2 + y 2 = 1.Podle předcházející věty máme rovnice:∂F∂α = 2(x − α)(−1) = 0, ∂ 2 F∂α 2 ≠ 0.