Diferenciální geometrie

1.5. Oskulační rovina 10Příklad 3. Určete tečnu řezu kulové plochy (0, r = 5) rovinou x+y+z−7 = 0ve zvoleném bodě.Máme tedy dvě implicitní vyjádření, která jsoux 2 + y 2 + z 2 − 25 = 0x + y + z − 7 = 0 .Můžeme si zvolit z, např. z = 0, pak bodem, který splňuje rovnost, je např.[3, 4, 0]. Dostáváme následující obecnou soustavu2x dxdtdy dz+ 2y + 2zdt dtdxdt + dydt + dzdtDosadíme-li bod [3, 4, 0] do první rovnice= 0= 0 .6 dxdt + 8dy dt + 0 = 0dxdt + dydt + dzdt= 0 ,pak tečný vektor v bodě [3, 4, 0] podle věty 5 má tvar( ∣ ∣ ∣ )∣∣∣ 8 0∣∣∣t =1 1 ∣ , − 6 0∣∣∣ 1 1 ∣ , 6 81 1 ∣ = (8, −6, −2) ∼ (4, −3, −1) .Tečna v bodě je R(t) = (3, 4, 0) + t(4, −3, −1).1.5 Oskulační rovinaOskulační rovina je „limitní polohou roviny tX určené tečnou t a „pohybujícímse bodem X křivky.Definice 4. Nechť P (t), t ∈ I, je regulární křivka a je dáno t 0 ∈ I. Nechťvektory P ′ (t 0 ) a P ′′ (t 0 ) jsou nekolineární, pak rovinuR(u, v) = P (t 0 ) + uP ′ (t 0 ) + vP ′′ (t 0 )nazýváme oskulační rovinou křivky v daném bodě.Věta 6. Oskulační rovina se nemění při změně parametrizace.