Diferenciální geometrie

1.7. Kanonické a přirozené rovnice křivky 13a chceme určit ṅn. Víme, že platí ṅn · n = 0, tedy ṅn = At + Bb (je lineárníkombinací vektorů kolmých k vektoru n). Derivováním dostanemet · n = 0 ⇒ ṫt · n + t · ṅn = 0 ⇒ 1 k + t · ṅn = 0⇒ t · ṅn = − 1 k ,b · n = 0 ⇒ ḃb · n + b · ṅn = 0 ⇒ − 2 k + b · ṅn = 0⇒ b · ṅn = 2 k .Snadno plyne A = − 1 k, B = 2 k.Poznámka 6. Ryze algebraicky lze větu vyvodit po zavedení první křivostipomocí tzv. věty o ortonormálním repéru.Věta 8. Pro regulární křivku s obecným parametrem platí( 1 k) 2 = (P ′ × P ′′ ) 2(P ′ · P ′ ) 32 k = (P ′ , P ′′ , P ′′′ )(P ′ × P ′′ ) 2Důkaz. Důkaz je snadným cvičením a provede se změnou parametrizace.1.7 Kanonické a přirozené rovnice křivkyPro vektorovou funkci P (s) použijeme v okolí bodu s = 0 rozvoje v mocninnouřadu. Platí ṖP = t, ¨P = 1 kn, dále snadno vypočtemeP (3) = 1 kṅn + n d1 kds = 1 k(− 1 kt + 2 kb) + 1 ˙kn = − 1 k 2 t + 1 ˙kn + 1 k 2 kb .Pro rozvoj bude platitP (s) = P (0) + P (1) (0)s + 1 2 P (2) (0)s 2 + 1 6 P (3) (0)s 3 + . . .a tedy (v lokálním repéru)[P (s) = P (0) + t(0) s − 1 ]1 k 2 (0)s 3 + . . . +6[ 1+ n(0)1 k(0)s 2 + 1 ]1 ˙k(0)s 3 + . . .2 6[ ]1+ b(0)1 k(0) 2 k(0)s 3 + . . . .6+