Diferenciální geometrie

1.10. Spádové křivky, evoluty a evolventy 19kde λ(s) je skalární funkce, t(s), resp. n(s), je tečný, resp. normálový, vektorFrenetova trojhranu. Zároveň platíaR ′ · t(s) = 0, (1.3)ṫt(s) = 1 kn(s).Dosazení derivace rovnice 1.2 do rovnice 1.3 získáme rovnici(t(s) + λ ′ (s) · t(s) + λ(s) · ṫt(s) ) · t(s) = 0.Víme, žet(s) · t(s) = 1, ṫt(s) · t(s) = 0, tedy1 + λ ′ (s) · 1 + 0 = 0 ⇒ λ ′ (s) = −1.Jestliže tento výsledek zintegrujeme, dostaneme λ(s) = −s + c, kde c jekonstanta.Evolventou křivky k jsou křivkyR(s) = P (s) + (c − s) · t(s) , kde c ∈ R. (1.4)Příklad 6. Napište rovnici evolventy kružnice.P (ϕ) = (a · cos ϕ, a · sin ϕ)t(ϕ) = P ′ (ϕ)|P ′ (ϕ)| = (− sin ϕ, cos ϕ) ; s = ∫ ϕDosazením do vztahu 1.4 dostanemeP ′ (ϕ) = (−a · sin ϕ, a · cos ϕ)√|P ′ (ϕ)| = a · (sin 2 ϕ + cos 2 ϕ) = au=0|P ′ (ϕ)|du =∫ ϕu=0a · du = a · ϕR(ϕ) = (a · cos ϕ − c · sin ϕ + a · ϕ · sin ϕ, a · sin ϕ + c · cos ϕ − a · ϕ · cos ϕ)R(ϕ) = ( a · (cos ϕ + ϕ · sin ϕ) − c · sin ϕ, a · (sin ϕ − ϕ · cos ϕ) + c · cos ϕ ) .Pro c = 0 dostávámeR(ϕ) = ( a · (cos ϕ + ϕ · sin ϕ), a · (sin ϕ − ϕ · cos ϕ) ) .