Uddrag af: Else Møller Nielsen MATEMATIK – EN ... - Forlaget Biofolia

biofolia.dk

Uddrag af: Else Møller Nielsen MATEMATIK – EN ... - Forlaget Biofolia

Uddrag af:

Else Møller Nielsen

MATEMATIK EN GRUNDBOG FOR LÆRERSTUDERENDE

Forlaget Biofolia

2007

3


Geometri

53369_matematik_kap3net_5k.indd 1 01-12-2006 13:03:34


53369_matematik_kap3net_5k.indd 2 01-12-2006 13:03:34


Eksperiment, beviser og matematisk teori

belyst gennem eksempler fra geometrien

Formålet med dette afsnit er først og fremmest at påpege det vigtige i at

eksperimentere sig til sammenhænge i faget. Da eksperimenterne imidlertid

ikke kan stå alene, men bør afsluttes med en form for argumentation eller

ræsonnement (lidt afhængigt af hvilket klassetrin vi taler om), vil vi også se

på, hvad der forstås ved matematiske ræsonnementer eller beviser, og hvilken

rolle de spiller i undervisningen. Afsluttende vil vi give et indtryk af,

hvordan en matematisk teori kan opbygges, og her vil vi tage opbygningen

af areallæren for plane figurer som eksempel.

Et sådant overordnet emne, der her er på dagsordenen, belyses bedst ved

at eksemplificere. Når geometrien er udvalgt for denne eksemplificering, så

er det, fordi der her mere end i nogen anden matematisk disciplin er så

rige muligheder for at eksperimentere, udvikle kompetencer til matematisk

problemløsning og til at udføre ræsonnementer.

Geometrien er nok det område, hvor det er lettest at nå nogle af undervisningens

mere overordnede mål, bl.a. fordi vi her har så mange redskaber

at arbejde med. Geometrien beskriver den fysiske verden. Der er noget, vi

kan se, røre ved, tegne, måle og veje. Vi har desuden masser af konkrete

materialer at arbejde med såsom plasticbrikker, der repræsenterer de geometriske

former, centicubes, sømbrætter, måleinstrumenter, klippe-, klistre- og

tegnerekvisitter.

Vigtigheden af, at eleverne selv inddrages i opbygningen af matematikken,

fremgår helt klart af fagets formål stk. 2. Heri hedder det bl.a., at eleverne

skal erfare, at “matematikken både er et redskab til problemløsning og

et kreativt fag”. Videre står der, at undervisningen skal give dem “mulighed

for indlevelse og fremme deres fantasi og nysgerrighed”. Eleverne

skal derfor have lov at bruge deres kreativitet og nysgerrighed til at løse

matematiske problemer. De skal i videst mulig omfang opbygge deres

egen matematik ved at eksperimentere sig frem til sammenhænge. Dette

synspunkt gennemsyrer hele faghæftet. Men der står også i formålet, at

“analyse og argumentation skal indgå i arbejdet”, hvorfor vi også vil se på

den rolle, som argumenter, ræsonnementer og egentlige beviser spiller i

undervisningen.

Begrebet matematisk teori hører ikke hjemme i folkeskolens undervisning,

men det medtages her, fordi en lærer må vide noget om sammen-

EkspErimEnt, bEvisEr og matEmatisk tEori ·

53369_matematik_kap3net_5k.indd 3 01-12-2006 13:03:34


hængen mellem fagets elementer. Om hvordan nye begreber bygges op af

tidligere lærte begreber, hvordan nye sætninger udledes af tidligere beviste

sætninger i et sammenhængende system, der hedder en matematisk teori.

Med areallæren for plane polygoner som eksempel på en aksiomatisk opbygget

teori opnår vi foruden at belyse begrebet matematisk teori at indlede

geometribeskrivelsen med en grundig indføring i arealbegrebet.

Om at eksperimentere i matematikundervisningen

Matematiske sammenhænge og sætninger opstår ikke ud af intet, men er et

resultat af observationer og ofte utallige eksperimenter, der giver anledning

til opstilling af en hypotese om en formodet sammenhæng, og denne hypotese

kan så efterprøves med flere eksperimenter. Disse kan enten forkaste

hypotesen eller give yderligere næring til troen på den, og evt. kan processen

sluttes af med et egentlig bevis.

Det er den matematiske forskers arbejdsmetode at eksperimentere, men

i lærebøger fremstilles resultatet af forskningen som oftest renset for alle

de forsøg og fejlslutninger, der må være gået forud for den “flotte” lovmæssighed,

der udtrykkes i sætningen. Dette er lærebogens dilemma, for heri

skal der fortælles om den viden, der er resultatet af årtusinders forskning og

kulturarv på området. En mulig vej ud af dette dilemma er dels at opfordre

læseren til at stoppe op og tænke med før, under og efter processen med

bogens præsentation af de matematiske emner, dels at præsentere passende

problemer, som inviterer læseren til selv at gå på opdagelse. Og her er der

oplagte muligheder i geometrien.

En sætnings indhold er ofte ikke det væsentligste, men vejen frem til den

er vigtig, og der er mange veje at gå, hvoraf ingen vej har patent på at være

den rigtige. Det er måske de forskellige veje, der især bør være genstand for

opmærksomhed. At nå frem til sammenhænge i faget ved at eksperimentere

bliver derfor det centrale.

Vi skal eksperimentere, fordi det er matematikforskerens arbejdsform.

Et barn, der skal lære matematik, er matematikforsker i “det små”. En matematisk

arbejdsmetode med at stille spørgsmål, lede efter sammenhænge,

turde gætte, efterprøve gættet, ræsonnere m.m. er vigtig, for at det bliver til

elevens egen matematik i modsætning til en matematik, der overtages fra

læreren/lærebogen i færdig form. Al pædagogisk forskning tyder på, at en

sådan overtagelse ikke umiddelbart er mulig. Elevens egen bearbejdelse i

en eller anden form er altid nødvendig for tilegnelsen af nye matematiske

emner.

· GEOMETRI

53369_matematik_kap3net_5k.indd 4 01-12-2006 13:03:34


Der er fortsat en tendens til, at matematik er meget facit- og resultatorienteret.

Når man præsenteres for det færdige resultat af den lange proces,

som matematikeren helt sikkert har været igennem, så er det, at man som

studerende tænker: “Det kunne jeg aldrig selv have fundet på”. Men man

fik måske heller ikke chancen, fordi skolen ikke i tilstrækkelig grad har

praktiseret matematikforskerens arbejdsmetode. Hvis problemstillingen

ikke præsenteres fra starten af, men mere som et færdigt slutresultatet, så

begynder man jo ikke at undres og stille spørgsmål.

Hvordan kan vi fremme en eksperimenterende adfærd?

Men er det at arbejde eksperimenterende noget, der kan læres? Det er bestemt

svært, fordi eleven ofte selv skal både erkende, formulere og løse problemet.

Det er noget sværere end blot at forstå og følge tankegangen i en

lovmæssighed eller i et bevis præsenteret af andre. Vi vil derfor her se på,

om der evt. kan gives anvisninger på farbare veje til at fremme en mere

eksperimenterende holdning i arbejdet med faget.

Adler siger i sin bog: Vad är dyskalkyli? , at tankeprocessen i matematik

især handler om de 2 ting:

1) at kunne genkende og 2) at kunne finde mønstre.

Vi skal lede efter noget, vi kan genkende, noget vi har set før. Adler siger, at

genkendeprocessen især er nærværende ved læsning af tekst eller matematiske

symboler, hovedregning m.m., hvor en automatiseret proces betyder

hurtig genkendelse; men at den også er vigtig i alle typer af problemløsning,

hvor vi skal vælge mellem forskellige handlingsmuligheder. Her kan visse

alternativer straks udelukkes ved tænkning alene; men før vi kan komme

så langt, må vi have opnået en genkendelse.

Hvis de tankeprocesser, der berører selve genkendelsen, ikke er tilstrækkeligt

effektive, så påvirker det muligheden for at associere på forskellige

sammenhænge og mønstre og dermed udviklingen af strategisk tænkning.

Det er ikke helt enkelt at svare på, hvad vi i undervisningen kan gøre for at

styrke den genkendelse, som Adler mener, er så vigtig, men i hvert fald må

det handle om at opbygge situationer, der giver erfaring, så der er noget at

genkende, nogle mønstre at associere til.

Når eleverne på egen hånd skal løse problemer eller lede efter mønstre

og sammenhænge, må de blive gode til at stille spørgsmål af typen: Har

jeg set noget lignende før? Er der et system? Gælder denne lovmæssighed

Björn Adler (200 ): Vad är dyskalkyli?, side 57

EkspErimEnt, bEvisEr og matEmatisk tEori ·

53369_matematik_kap3net_5k.indd 5 01-12-2006 13:03:34


generelt eller er dette et specialtilfælde? Hvad nu hvis jeg ændrer på dette

eller hint …? Ofte kan det være en stor hjælp at lave en tegning eller måske

forenkle problemet ved fx at se på simplere taleksempler.

Det er klart, at ikke alle har samme evner og lyst til at gå i kast med at

eksperimentere. Nogle skal hjælpes, somme tider måske ligefrem skubbes i

gang, men de kan alle blive dygtigere. Det er også klart, at ingen bliver god

til at eksperimentere uden at prøve det. De kan blive dygtigere til:







At turde gætte på forskellige muligheder og prøve af, om de gælder.

At afgrænse problemet. Eleverne kan selv være med til at bestemme, hvilke

løsninger de vil tage med. Her tænkes på, at fx i symmetriforhold kan

det være svært at afgøre, om 2 løsninger er ens, hvis de ved en spejling

kan bringes til at dække hinanden.

At systematisere. I matematik må man arbejde systematisk. Det er især

vigtigt i spørgsmål, der handler om, på hvor mange måder noget kan

gøres. At opbygge et system at gå efter er bydende nødvendigt.

At kategorisere eller sortere efter principper, de selv er med til at sætte.

At finde metoder til at afgøre, om alle løsninger er med, og på den anden

side sikre sig, at ingen løsninger er talt med mere end én gang. Dette

punkt har sammenhæng med at systematisere.

At stille spørgsmålet: Hvad nu hvis, vi ændrer betingelserne, gælder det

så mon også?

At turde eksperimentere er central i mange andre forhold, men især inden

for IT. Det er som om drenge på dette område er modigere end piger. De

tænker mere: Hvis noget ikke lykkes, så prøver vi blot noget andet, og det

er jo netop den kreative tænkning, der bærer frugt i IT og også i matematik.

Det handler om at opbygge gode tankestrategier. For læreren er det vigtigt

at få viden om, hvordan eleven tænker, hvis hun skal have mulighed for at

hjælpe eleven med denne opbygning af strategier til bearbejdelse og løsning

af problemer. Og denne viden kan hun kun få gennem samtale med eleven

eller med grupper af elever. Samtaler om, hvad problemet er, og hvor forskellige

løsninger diskuteres, giver netop muligheden for at diskutere strategier

omkring systematisering m.m.

Det sker, at eleven spørger, om det overhovedet er matematik at lede

efter mønstre. Skulle vi ikke hellere lære regler og systemer? Hvis man skal

kunne svare på, om det er matematik, må man vide, hvad matematik er, og

det er bestemt ikke noget, man meget kort kan give et svar på, for matematik

er så meget. Men matematik er i hvert fald ikke bare et sæt af regler. Det

er ikke bare viden om regnemetoder og beregningsprincipper. Det er ikke

· GEOMETRI

53369_matematik_kap3net_5k.indd 6 01-12-2006 13:03:34


are kundskaber om fx geometriske grundbegreber som trekant, cirkel,

parallelogram og den rette linjes ligning for blot at nævne noget.

Det er det også. Men der er så meget mere, der måske er nok så vigtig.

Det handler måske mere om hvordan? Hvordan lærer man matematik?

Hvordan undervises der i faget? Hvordan tænker man matematik? Hvordan

arbejder man med problemløsning?

Herved bliver fagets arbejdsmetoder centrale, og som før nævnt kan

dette i perioder være vigtigere end selve de matematiske emner. Man siger

da, at processen er vigtigere end produktet.

Eleven skal have mulighed for at udvikle egne metoder. Det kræver tillid

til egne evner til at løse problemer, og netop tilliden er væsentlig. Den får

man, ved at det lykkes. Men somme tider vil det jo mislykkes, og så gælder

det om sammen med andre at få analyseret, hvad der gik galt. Få det vendt

til en god proces, der kan medføre udvikling. At der tænkes “forkert” giver et

godt afsæt for diskussion, hvorigennem mulige misforståelser kan afdækkes.

Hvis vi altid kun får forelagt de “rigtige” løsninger og måske helst “lærerens

løsning”, bliver der ikke så mange nuancer i diskussionen, og matematikken

bliver mere ensrettet: ét rigtigt facit, én rigtig metode.

Det induktive ræsonnement

Noget af det, der karakteriserer en eksperimenterende (også kaldet induktiv)

proces, er, at man ud fra observationer og enkelteksperimenter opstiller en

hypotese om en generel regel. Hvis reglen gælder for de første mange tilfælde,

man prøver, så plejer den at gælde generelt. I folkeskolen er man ofte

tilfreds med et induktivt ræsonnement, hvor man udleder noget generelt ud

fra observationer af enkelttilfælde. Men det kan gå galt, fordi man måske i

de næste forsøg, som man undlader at foretage, ville erfare, at reglen ikke

passer. Derfor er det nødvendigt at slutte processen af med et ræsonnement

eller et bevis. I de mindre klasser er et sådant ikke muligt, og her har hverken

eleverne eller læreren behov for et bevis; det induktive ræsonnement giver

på dette trin fuld tilfredshed.

Et klassisk eksempel på, at man skal passe på med et induktivt ræsonnement,

har vi i nedenstående problemstilling, hvor man vil undersøge,

om der er sammenhæng mellem antallet af punkter på cirkelperiferien og

det antal områder, som cirklen bliver opdelt i, når samtlige linjestykker

(korder), der forbinder punkterne, trækkes. Da der ønskes det maksimale

antal områder, må man kræve, at ikke 3 linjestykker går gennem samme

punkt.

EkspErimEnt, bEvisEr og matEmatisk tEori ·

53369_matematik_kap3net_5k.indd 7 01-12-2006 13:03:34


1 punkt

2 punkter

1 område 2 områder

· GEOMETRI

3 punkter

4 områder

4 punkter

8 områder

5 punkter

16 områder

Tør du gætte på, hvor mange områder, der er med 6 punkter eller med 7

punkter? Tjek dit gæt.

Eksperimenterne skal efterbearbejdes

I det foregående er det vigtige i at eksperimentere fremhævet, men det bør

nævnes, at eksperimenterne ikke udføres blot for legens og eksperimenternes

skyld alene, men for at vigtige sammenhænge kan opdages, afdækkes og

erkendes. For at det kan ske, kræves der en form for samlet bearbejdelse af,

hvad der kan uddrages af eksperimentet. Sker dette ikke, kommer resultaterne

let til at stå som tilfældige “spots” uden indbyrdes sammenhæng, og

over tid vil de blive glemt.

Aktiviteter omkring eksperimenter i geometri

Her præsenteres nu nogle eksempler på geometriske eksperimenter, som

læserne opfordres til at gå i kast med, gerne i et samarbejde med andre.

Diskussionen omkring resultaterne er måske det vigtigste. En del af dem

kræver meget arbejde. Det er også sådan, at de resultater, man når frem til,

varierer fra at være vigtige, matematiske sammenhænge til at være sjove, men

mere tilfældige resultater. Det betyder, at der af og til fokuseres på processen,

mens såvel produkt som proces i andre tilfælde er vigtige resultater.

A1. Inddeling af et kvadrat i 2 lige store flader

Undersøg forskellige måder at dele et 4 4 -sømbræt (eller evt. et større

kvadrat) i 2 lige store flader (figurer) på. Det er klart, at vi her tænker på,

at de 2 flader er lige store, når de har samme areal. Man løber hurtigt ind

i at skulle afgrænse problemet m.m. Kan man sige noget om, hvor mange

løsninger, der findes?

53369_matematik_kap3net_5k.indd 8 01-12-2006 13:03:34


A2. Ligebenede trekanter

Undersøg, hvor mange ligebenede trekanter, der kan tegnes på et 4× 4

-sømbræt. Her skal der nok også ske en afgrænsning af problemet.

Hvordan forholder det sig med ligesidede trekanter på et sømbræt?

A3. Figurer lavet af 5 kvadrater

Lav alle de figurer, som 5 kvadrater kan danne. De skal være sammenhængende,

dvs. kvadraterne skal have mindst én side fælles. Figurerne kaldes

pentominoer (femlinger).

Man kan evt. lave figurerne med centicubes eller tegne dem, og bagefter

klippe dem ud.

Hvor mange forskellige kan du lave?

Hvordan vil du afgøre, om du har alle løsningerne med?

Når du har dem alle (her tælles symmetriske figurer for én figur), kan du

samle dem, så de danner et rektangel.

Det sidste spørgsmål hører til den type, der kan være drilske og tidkrævende.

Det er en individuel afgørelse, om man vil bruge den fornødne tid. Det er

ikke her, du finder en vigtig matematisk sammenhæng.

A4. Puslespil

Der findes en masse puslespil, hvor man har mulighed for at bruge sin fantasi

og forestillingsevne. Det er mere det frie eksperiment end ræsonnementet,

der skal bruges her. Alle kan være med; man skal blot prøve sig frem. I

medgift får man noget sans for geometriske former, symmetriforhold og vel

også indsigt i, at meget forskellige figurer kan have samme areal.

Her er valgt et gammelt kinesisk puslespil (fig. ), men også de mere

kendte kinesiske tangramklodser (fig. 2) giver rige muligheder for at forme

geometriske figurer og arbejde med symmetri.

Du kan evt. selv konstruere kvadratet i fig. nedenfor, idet det er givet, at

ABCD er et kvadrat, ligesom den midterste figur også er et kvadrat. Desuden

gælder, at M og N er midtpunkter af kvadratsiderne.

Klip derefter brikkerne i kvadratet ud og saml dem, så de danner hver af

følgende figurer (alle brikker medgår til hver figur): ) et kors, 2) en trekant,

3) et parallelogram, 4) et rektangel eller 5) en firkant med netop én

ret vinkel.

EkspErimEnt, bEvisEr og matEmatisk tEori ·

53369_matematik_kap3net_5k.indd 9 01-12-2006 13:03:35


B

M

A

D

fig. 1 Kinesisk puslespil . fig. 2 Tangrambrikker.

10 · GEOMETRI

C

N

A5. Det maksimale antal rette vinkler i en n-kant

I en trekant kan man højst have én ret vinkel. I en firkant kan man have

hele fire. Men hvor mange rette vinkler er det muligt at få i en 5-kant, en

6-kant, en 7-kant, …?

Man skal nok her tillade ikke-konvekse figurer (i ikke-konvekse figurer vil

der findes sider, hvis forlængelse går ind i det område, figuren afgrænser).

A6. Fliselægning

Havefliser har i dag ofte flotte geometriske former modsat tidligere, hvor

man fortrinsvis benyttede sig af kvadrater eller rektangler. Hvis vi definerer,

at en geometrisk figur kan bruges til fliselægning, når den kan dække

planen uden mellemrum (“huller”), mens man ser bort fra, om randen er

pæn eller ej, så er spørgsmålet:

)

2)

3)

4)

Kan alle former for trekanter bruges som fliser?

Det er klart, at man kan bruge kvadrater og rektangler som fliser, men

hvad med en vilkårlig firkant?

Hvad med regulære 5-kanter (i regulære figurer er alle sider og vinkler

lige store)?

Hvad med regulære sekskanter, syvkanter eller ottekanter?

I denne opgave er der tale om relativt vigtige sammenhænge.

53369_matematik_kap3net_5k.indd 10 01-12-2006 13:03:35


A7. Pick’s sætning

Antal kantsøm: K Antal indre søm: I Areal

8 1 4

14 6 12

12 9 14

Man får at vide, at for figurer, der kan laves på et sømbræt, findes der en

sammenhæng mellem på den ene side figurens areal og på den anden side

antallet K af søm langs figurens kant (søm langs elastikken) og antallet I af

indre søm (søm inden for elastikken). Med andre ord: Hvis jeg kender K

og I, så kan jeg beregne figurens areal ud fra disse 2 tal, idet der findes en

formel for arealet, hvori K og I indgår. Formlen kaldes Pick’s sætning.

Dette er et klassisk eksempel på et eksperiment. Man skal selv finde sammenhængen

her en formel. Dvs. man er selv forsker. Hvor mange figurer,

man er nødt til at tegne, før formlen er der, er individuelt eller måske et

spørgsmål om held.

Men den formel, man finder frem til, kan bruges, bl.a. til arealberegning

af geometriske figurer tegnet i et koordinatsystem, hvor vinkelspidserne har

hele tal som koordinater.

A8. Kvadrater på sømbræt

Man ønsker på et sømbræt at indkredse et kvadrat, der har et helt tal som

areal.

For hvilke hele tal mellem og 0 er dette muligt?

Resultatet af denne opgave er heller ikke uvæsentlig.

EkspErimEnt, bEvisEr og matEmatisk tEori · 11

53369_matematik_kap3net_5k.indd 11 01-12-2006 13:03:35


Om ræsonnementer og beviser

En matematisk sætning er hypotetisk opbygget af et: hvis p så q, hvor p og

q er udsagn (påstande). Sætningen kan også udtrykkes ved implikationen:

p ⇒ q . Udsagnet p kaldes implikationens forsætning, og q er eftersætningen.

I den følgende beskrivelse af opbygningen af areallæren vil vi opleve en

række geometriske eksempler på egentlige beviser og også på mindre ræsonnementer,

der måske mere har karakter af en argumentation (forklaring).

For at illustrere den mere overordnede tankegang i et matematisk bevis er

her valgt et eksempel på en sætning med et geometrisk indhold, som vi (ud

fra bogens fremstilling) endnu ikke er i stand til at bevise:

Hvis en firkant kan indskrives i en cirkel, så er summen af de modstående

vinkler lig med 180 ° .

Et bevis for en sætning går ud på, at vi forudsætter, antager, hypotetisk forestiller

os, at forsætningen er sand. Under den forudsætning kan vi så gennem

et ræsonnement bevise, konkludere, at også eftersætningen er sand.

Udsagnet i forsætningen: “firkanten kan indskrives i en cirkel” behøver ikke

at være sand, men hvis den er, så er ræsonnementet en garanti for, at der

også må gælde: “summen af de modstående vinkler er 180° ”.

Det betyder heller ikke, at summen af de modstående vinkler er 180° i

enhver firkant. Hvis vi har bevist sætningen, så er der alene argumenteret

for, at det gælder, når firkanten er indskrevet i en cirkel. I det følgende vil

vi opbygge den viden, der gør, at ræsonnementet for netop denne sætning

kan gennemføres. Det kræver nemlig som oftest viden om specifikke matematiske

forhold (her om vinkler ved cirklen) at kunne gennemføre et matematisk

ræsonnement. Ræsonnementet her bygger som ræsonnementer

sædvanligvis gør på påstande (sætninger), der tidligere er bevist.

Et eksempel på en falsk påstand har vi i:

Hvis vinklerne i 2 forskellige figurer (polygoner) er parvis lige store, så er de

2 figurer ligedannede (dvs. den ene figur er en forstørrelse af den anden).

Hvis vi sammenligner et rektangel (her tænkes på et rektangel, hvor der er

forskel på længde og bredde) med et kvadrat, så er vinklerne i de 2 figurer

parvis lige store, men det er jo klart, at de ikke er ligedannede. Det er

altså muligt at finde eksempler på, at forsætningen er sand, samtidig med

12 · GEOMETRI

53369_matematik_kap3net_5k.indd 12 01-12-2006 13:03:35


at eftersætningen er falsk. Vi kan således ikke slutte eftersætningen ud fra

forsætningen. Her er der også gennemført et ræsonnement, men denne

gang for at sætningen er falsk. Den udtrykker ikke en generel egenskab. At

finde modeksempler er en udbredt metode til at påvise, at en påstand ikke

holder. Ét modeksempel er nok til, at sætningen må falde.

I kapitlet om tal har vi set eksempler på andre typer af beviser. Det indirekte

bevis blev fx brugt til at bevise, at der findes uendelig mange primtal.

Induktionsbeviser blev brugt i tilfælde, hvor man skulle vise, at en bestemt

sammenhæng gælder for alle naturlige tal. I den følgende opbygning af

areallæren vil der være en række eksempler på direkte beviser.

Ræsonnementer og bevisers rolle i undervisningen

Beviser har ikke længere en fremtrædende rolle i folkeskolens undervisning.

De er nok kommet lidt i miskredit, fordi der har været en tendens til, at

lærebogens bevis blev lært udenad, hvilket synes meningsløst. Men det er

vanskeligt at forestille sig en matematikundervisning, hvor argumentation

og ræsonnementer ikke spilder en væsentlig rolle, hvad de da heldigvis

også fortsat gør.

Ræsonnementet er forklaringen på sammenhængen, og den kan man

dårligt undlade at give, hvis man vil bygge på, at læring skal ske gennem

forståelse. Der er alt for meget, der blot skal “huskes”, hvis man ikke bygger

på den indsigt og forståelse, der kommer af, at man har fået, eller allerbedst

selv har tænkt sig til, en forklaring. Hvis man har erfaret en sammenhæng

ved at have ræsonneret sig til den, så behøver man ikke at bruge kræfter

på “at huske”, for man ved jo, at man nok igen vil kunne tænke sig frem til

den.

Det er uhyre vigtigt, at eleverne bringes i situationer, hvor de kan udfordres

og evt. i dialog med læreren eller andre elever gennemføre kortere rækker

af ræsonnementer. Det er vigtigt, at de kan gennemskue holdbarheden

af et matematisk argument. Det er vigtigt, at de kan skelne mellem intuitive

eller empiriske opfattelser af fænomener og matematiske beviser for disse

fænomener, fordi de ellers let opbygger en forestilling om, at det er nok, at

det ser ud til at være sådan; eksempelvis kan man da se, at diagonalerne i

et parallelogram halverer hinanden. Hvorfor skal det bevises?

Det skal det, fordi vi først kan være sikre på, at en påstand holder, når

vi har kunnet føre et ræsonnement eller bevis for den. Det kan jo være, at

vi ikke har været grundige nok i vort arbejde. Måske vil vi ved fortsatte

undersøgelser kunne finde netop det eksempel, der gør, at påstanden må

falde.

Den matematiske metode består langt hen ad vejen i at bevise. Det giver

EkspErimEnt, bEvisEr og matEmatisk tEori · 1

53369_matematik_kap3net_5k.indd 13 01-12-2006 13:03:35


matematikken et præg af eksakthed og præcision. Her er det ikke nok at tro

og mene, i matematik kræver vi og kan vi give et bevis.

I skolens undervisning er det selvfølgelig nødvendigt at bløde op på det

stringente og give faget et mere menneskeligt ansigt med plads til intuitionen

og det induktive ræsonnement, men det bør gøres uden helt at sælge

ud af det, der er det bærende i faget at gennemføre matematiske ræsonnementer.

Symmetri, regulære polygoner

og det gyldne snit

Symmetriforhold og regelmæssighed er bærende begreber i geometri. De

regulære polygoner, hvor alle sider og alle vinkler er lige store, er de flotteste

former, fordi vi her opnår det maksimale antal symmetriakser. Det ser ud

til, at der er lige så mange symmetriakser, som der er sider i polygonen.

Prøv at argumentere for dette.

De regulære polygoner kan tegnes ind i en cirkel, hvori siderne bliver korder.

Hvis man sætter radius i cirklen til , vil man kunne beregne længden

af korderne om ikke på anden måde så ved at anvende trigonometri. Men

hertil har man brug for at kende størrelsen af vinklerne. Vi vil derfor se på,

hvordan man kan beregne vinkelsummen i en n-kant og specielt vinklernes

størrelse i den regulære n-kant.

Vinklerne i en n-kant

Når man tegner alle diagonalerne fra én af vinkelspidserne, bliver den konvekse

n-kant inddelt i et antal trekanter, i alt n− 2 trekanter. Man kan fx

argumentere med, at der fra en vinkelspids kan tegnes n− 3 diagonaler (det

gælder dog kun i en konveks polygon), og da disse udgør skillelinjer mellem

trekanterne, må der være en trekant mere end antallet af diagonaler, dvs.

1 · GEOMETRI

53369_matematik_kap3net_5k.indd 14 01-12-2006 13:03:36


n− 2 trekanter. Vi ved, at trekantens vinkelsum er 180 ° . Da hver eneste af

trekantvinklerne indgår som dele af polygonvinklerne, og da de tilsammen

udgør summen af n-kantens vinkler, så får vi resultatet:

Vinkelsummen af en n-kant er (n − 2) ⋅ 180 ° .

A

G

F

B

E

C

D

symmEtri, rEgulærE polygonEr og dEt gyldnE snit · 1

A

B

H

O

C D

Argumentet for formlen kan også føres ved at vælge et punkt O inde i

n-kanten og så tegne linjer til vinkelspidserne. Man får på denne måde n

trekanter. Men summen af vinklerne inde ved O hører ikke med til n-kantens

vinkelspidser. Derfor får vi nu en vinkelsum i n-kanten på:

n⋅ 180°− 360° = n⋅ 180°− 2 ⋅ 180 ° = (n − 2) ⋅ 180°

Den viste formel for vinkelsummen gælder for såvel regulære som ikkeregulære

polygoner, men hvis det er en regulær n-kant, så kan vi beregne

vinklen:

I en regulær n- kant er vinklen lig med

Konstruktion af regulære n-kanter

(n − 2) ⋅ 180°

n

Grækerne kendte til at konstruere regulære 3, 4, 5, og 6-kanter ved hjælp af

passer og lineal. Gauss (tysk matematiker; 777- 855) opdagede, at det var

muligt at konstruere en regulær 7-kant. En regulær 7-kant kan derimod

ikke konstrueres. Hvis vi holder os til n ≤ 20, så er det muligt at konstruere

regulære n-kanter for n lig med 3, 4, 5, 6, 8, 0, 2, 5, 6, 7 og 20. Hvis

vi tænker de regulære polygoner lagt ind i en cirkel, kan problematikken i

nogle tilfælde omformes til, om det er muligt at konstruere centervinklen

ο

på 360 n.

53369_matematik_kap3net_5k.indd 15 01-12-2006 13:03:36

G

F

E


Her vil vi se på et par af konstruktionerne. Det vil være en god øvelse

at udføre konstruktionerne på computeren, fx med programmet GeoMeter

eller lignende programmer.

Ligesidet trekant, kvadrat, regulær 8-kant og regulær 16-kant

En ligesidet trekant og et kvadrat giver næsten sig selv. Den regulære 8-kant

fås ved halvering af centervinklerne, når kvadratet er tegnet ind i en cirkel,

og ved fortsat halvering fås den regulære 6-kant.

Regulær femkant

Denne konstruktion hører ikke til de mest oplagte. Først tegnes en cirkel (se

fig. ). Midtpunktet M af radius OB konstrueres. Med M som centrum og

MC som radius er tegnet en cirkelbue, der skærer diameteren AB i punktet

D. Med C som centrum og CD som radius er tegnet en ny cirkelbue, der

skærer den oprindelige cirkel i punktet E. Med korden CE i passeren afsættes

nu punkter hele vejen rundt langs periferien. Det lader sig gøre netop

5 gange, så det ser ud til, at korden CE har den længde, der skal til for at

indtegne en regulær femkant i cirklen.

Det er lidt vanskeligt at bevise, at det forholder sig sådan. Hvis du har

lyst, så er der skitseret en metode i teksten til tegningerne. Ideen er, at man i

fig. beregner sidelængden CE ud fra viden om den konstruktion, man har

udført, hvorimod man i fig. 2 har som forudsætning, at det er en regulær

5-kant . Når det er givet, bliver O Q R en gylden trekant med vinklerne

72 ° , 72°

og 36 ° (se afsnittet om det gyldne snit), og herudfra kan man

så beregne femkantens længde. Da man får den samme længde ved de 2

beregninger, er konstruktionen i orden.

E

r=1

5-1 1

A

D 2 O 2

1 · GEOMETRI

C

5

2

M

fig. 1 Konstruktion af den regulære

femkant. M er midtpunkt af OB.

Bue CD har centrum i M og radius

MC. Bue ED har centrum i C og

radius CD. CD kan beregnes af

den retvinklede CDO.

B

fig. 2 OQR er en gylden trekant, og

derfor er QR = 5-1

. OS kan beregnes.

2

Da der gælder: QT 1 = OS QR ,

kan QT beregnes, og femkantens

sidelængde er det dobbelte af denne.

53369_matematik_kap3net_5k.indd 16 01-12-2006 13:03:37

O

T

Q

S

R


Regulær 10-kant, 6-kant, 12-kant, 15-kant og 17-kant

Den regulære 0-kant kan fås ved halvering af centervinklen for den regulære

femkant.

Den regulære sekskant får vi ved med radius i passeren at afsætte punkter

på cirkelperiferien, hvorved vi, som nævnt tidligere, kan nå rundt netop

6 gange. Korden, hvis længde er lig radius, vil være side i den regulære

6-kant. Denne sekskant er meget brugt i praksis, fordi man, hvis man har

flere af dem, kan bruge den til overdækning af en flade, hvilket bierne også

har fundet ud af. Ved halvering af centervinklen i 6-kanten kan man få en

regulær 2-kant.

Den regulære 5-kant er noget mere indviklet, men centervinklen må være:

360° 15 = 24°

og 24° = 15°+ 9°.

Her kan 15° fås ved fortsat halvering af

60 ° . 9° kan fås ved fortsat halvering af de 36 ° , som er centervinklen ved

0-kanten. 5-kanten kan altså konstrueres. Den regulære 7-kant er det

bedst, at vi afstår fra at beskrive; men der er nok ingen grund til at betvivle,

at Gauss har ret i, at den kan konstrueres (selv om forfatteren ikke kan).

Aktiviteter omkring symmetri, klip og foldning

Symmetri er et meget vigtigt begreb i geometriundervisningen. I mange

geometriske former, i arbejdstegningen, i konstruktion af mønstre er opmærksomheden

omkring symmetriforhold helt central. Vores verden er i

høj grad opbygget af regelmæssighed og symmetri, med mindre man bevidst

har forsøgt at undgå det symmetriske. Der arbejdes med symmetri i hele

skoleforløbet, og det er nemt at finde opgaver på alle niveauer.

Det er fx naturligt at arbejde med at folde og efterfølgende klippe i et

stykke papir. Det kan være klipning af gækkebreve, der ved udfoldning er

blevet til flotte regelmæssige figurer, hvor foldelinjerne nu er symmetriakser.

Disse oplevelser er selvfølgelig uundværlige byggesten i forståelsen af

symmetriforhold. En del af aktiviteterne her handler derfor om foldning

efterfulgt af klip.

A1. A4-papiret

Det er almindelig kendt, at 2 stykker A4-papir giver et A3-format, mens

der omvendt går 2 stykker A5 til et A4. A4 er den mest brugte dimension.

Det største af papirformaterne hedder A0.

symmEtri, rEgulærE polygonEr og dEt gyldnE snit · 1

53369_matematik_kap3net_5k.indd 17 01-12-2006 13:03:37


Dette rejser nogle interessante spørgsmål:

)

2)

3)

4)

5)

Hvor mange A4-stykker går der på A0?

Prøv at beregne dimensionerne af A0 og arealet af A0.

De forskellige papirformater er ligedannede rektangler. Hvad fortæller

det om forholdet mellem den længste og den korteste side i arkene?

Lav en tegning (bestem selv målestoksforhold), der viser, hvordan A0

kan dækkes af netop ét af hvert format: A , A2, A3, A4 og 2 stykker af

A5-format.

Vi ser på det kvadrat, hvis side er lig med A4-papirets korte side. Sammenlign

længden af diagonalen i dette kvadrat med A4-formatets længste

side. Begrund resultatet af målingen.

A2. Fold og klip regulære figurer

Vi har i det foregående set på ofte besværlige konstruktioner af regulære

polygoner, men når disse figurer har så mange symmetriakser, kan man

måske komme lettere til dem ved foldning og efterfølgende klip.

Undersøg, hvilke regulære polygoner, man i princippet kan frembringe ved

at folde et antal gange og efterfølgende klippe (foldekant skal hver gang

følge foldekant).

Rent fysisk er det dog kun muligt at foretage et begrænset antal foldninger.

A3. Fold og klip et kvadrat og en ligesidet trekant

Det er almindelig kendt, hvordan man af et rektangel udklipper det størst

mulige kvadrat. Se tegning fig. . Det er lidt vanskeligere at folde og klippe en

ligesidet trekant. Først foldes omkring den lodrette midterfold (fig. 2), fold

ud igen. A4-papirets korte side skal være trekantsiden. Punktet B er bestemt

som billedet af A ved en foldning om en sådan linje CD, således at A kommer

til at ligge på midterfolden. Fold ud igen, tegn linjerne AB og BC og klip

langs disse. Fig. 3 viser konstruktionen af en lidt større ligesidet trekant CDF,

hvor punktet D er fundet på samme måde som i fig. 2. Herefter er punktet F

fundet som billedet af C ved foldning om den vandrette linje DE.

)

2)

Gør rede for, at de 2 udklippede trekanter begge er ligesidede trekanter.

Hvorfor mon den ligesidede trekant er så relativt vanskelig at folde, og

hvorfor kan den ikke indkredses på et sømbræt?

1 · GEOMETRI

53369_matematik_kap3net_5k.indd 18 01-12-2006 13:03:38


B klip her C

foldelinie

A

fig. 1 Fold så AD dækker

AB. ABCD er et kvadrat.

D

D

midterfold

B = A'

foldelinie

A

C

fig. 2 Fold om en sådan linie

CD,at A når op til midterfolden.

ABC er en ligesidet trekant.

midterfold

fig. 3 Som i fig. 2, men der

foldes yderligere om DE.

CDF er en ligesidet trekant.

symmEtri, rEgulærE polygonEr og dEt gyldnE snit · 1

D

B

fold

A C

A4. Den regulære femkant

Når man binder en knude på en strimmel papir, får man noget, der meget

ligner en regulær femkant (se fig. ).

Det er også muligt ved hjælp af A4-papiret at folde en figur, der kommer

tæt på at være en regulær 5-kant. Den passer dog ikke helt. Et A4-papir

foldes om den foldelinje, der fremkommer ved at lade et hjørne dække det

diametralt modsatte hjørne (fig. 2). Fold nu langs midtnormalen (dvs. langs

linjen AD) for denne foldelinje. Du har nu en 4-kant ABCD (fig. 3). Fold

ud igen. Herefter foldes så siderne BC og FE lægges ind til foldelinjen AD

og flugter med denne. Papirets form er nu en næsten perfekt femkant.

A

B A B= F A

C

D

D

D

fig. 1

F

E

fig. 2 fig. 3 fig. 4

Der er ikke matematik i opgaven med at folde femkanten ud over den symmetribetragtning,

der altid er, når man folder om en linje, men fordi femkanten

er lidt besværlig at få frem, er den måske alligevel interessant.

A5. Fold og klip

I denne opgave er der derimod meget matematik, bl.a. forståelsen af geometriske

former, problemløsning m.m.

Det centrale i opgaven er, at en foldelinje bliver til en symmetriakse i den

færdige figur. Vi ser på følgende 2 tilfælde:

53369_matematik_kap3net_5k.indd 19 01-12-2006 13:03:38

C= E

B= F

F

E

C= E


) Netop 2 klip er tilladt, og der foldes netop én gang om en foldelinje.

Vi vil betragte det udklippede hul som den geometriske figur.

Hvilke geometriske polygoner kan du klippe ud efter dette princip?

Er det muligt at klippe, så hullet bliver: a) et kvadrat, b) en ligebenet trekant,

c) en ligesidet trekant eller d) en trekant med 3 forskellige sider.

2) Netop ét klip. Der foldes 2 gange ved foldehjørnet (fig. ).

klip

Foldehjørne

fig. 1

20 · GEOMETRI

Drage

Ligebenet trekant

fig. 2

Rektangel

Ligesidet trekant

Vinge

Rombe

Kvadrat

Det er normalt at folde, så kant følger kant, når man folder 2. gang. Den

begrænsning vil vi ikke have her (se fig. ).

Hvilke af figurerne i fig. 2 er det muligt at frembringe ved ét klip om foldehjørnet?

Det vil være naturligt at eksperimentere sig frem. Man opdager, at vinklerne

ved foldningen og ved det efterfølgende klip ikke er uvæsentlige faktorer.

Det gyldne rektangel, den gyldne

trekant og det gyldne snit

Rektangler kan have forskellige dimensioner og formater. Vi har set på A4-formatet

som eksempel på et meget anvendt format. Historisk har imidlertid det

gyldne rektangel spillet en betydelig rolle, fordi det har nogle dimensioner,

der åbenbart opfattes som særlig harmoniske. I antikkens bygning, ja selv i

de egyptiske pyramider finder man mange eksempler på det særlige forhold

mellem dette rektangels 2 dimensioner. Men lad os starte med at definere et

gyldent rektangel, som et rektangel med følgende egenskab:

Hvis man fra det gyldne rektangel fjerner et kvadrat, hvis side er lig

med rektanglets korte side, så bliver det tiloversblevne et rektangel,

der er ligedannet med det oprindelige rektangel.

53369_matematik_kap3net_5k.indd 20 01-12-2006 13:03:38


Vi går ud fra, at ABEF er et gyldent rektangel, og hermed følger det af

definitionen, at ABEF og CEFD (se fig. ) er ligedannede, og vi kan

opstille forholdet mellem siderne og nå til følgende udregninger:

x 1

2

= ⇔ x ⋅( x − 1) = 1⋅1 ⇔ x − x − 1 = 0 ⇔

1 x −1

1± x =

2

5

≈ 1,618034 (6 dec. Kun den positive løsning kan bruges)

B

1

A

x

1

C

x - 1

E

1

D F

fig. 1 Det gyldne rektangel ABEF

med sidelængder 1 og x. CEFD er

et gyldent rektangel med

sidelængder x - 1 og 1.

1

B

symmEtri, rEgulærE polygonEr og dEt gyldnE snit · 21

1

2

5

1 1

A M D F

2 2

fig. 2 Konstruktion af det gyldne

rektangel. MC kan beregnes af

Pythagoras. MC = MF = radius

for bue CF med centrum i M.

Konstruktion af et gyldent rektangel er vist i fig. 2. Man starter med at tegne

kvadratet ABCD med siden . M er midtpunkt af AD. Med M som centrum

og MC som radius tegnes en cirkelbue, der skærer forlængelsen af AD i

punktet F. I trekant MCD kan siderne beregnes ved brug af Pythagoras, og

man får de på tegningen angivne tal. ABEF er et gyldent rektangel, da:

1 5 1+ 5

AF = AM + MF = + = = 1,618034 (6 dec.) .

2 2 2

Den gyldne trekant

Der findes også en gylden trekant. Det er en ligebenet trekant med vinklerne

72 ° , 72°

og 36 ° (se fig. 3). Der gælder nemlig det specielle, at tegnes

vinkelhalveringslinjen til fx vinkel A, vil vi få 2 ligebenede trekanter CAD

og BDA , og desuden er CAD ligedannet med den oprindelige trekant,

idet også denne trekant har vinklerne 72 ° , 72°

og 36°

.

Sættes grundlinjen AC til og AB = BC = x , så kan vi slutte, at

AC = AD = BD = 1 (ligebenede trekanter) og DC = x − 1.

Da ABC ∼ CAD,

er de ensliggende sider proportionale, og stiller vi forholdene

op, opnår vi helt samme ligning som ovenfor ved det gyldne rektangel,

1+ 5

hvilket betyder, at x = .

2

53369_matematik_kap3net_5k.indd 21 01-12-2006 13:03:40

C

1

E


A

x

36°

36°

1

22 · GEOMETRI

fig. 3 ABC og CAD er begge gyldne trekanter,

idet er AD er vinkelhalveringslinje. CAD og BDA

er begge ligebenede trekanter, og dermed har AC, AD

36°

og BD samme længde på 1.

For de ensvinklede trekanter ABC og CAD kan vi

1

1 opstille forhold, der bliver helt som for det gyldne rektangel.

1+ 5

Derfor bliver x =

2

72°

x-1

.

B

D

-1 + 5

Hvis vi stedet havde valgt AB = 1, bliver AC = .

2

72°

C

Det tal, vi her har fået for forholdet mellem siderne i det gyldne rektangel

og den gyldne trekant, kaldes det gyldne snits forhold og betegnes som

regel med det græske bogstav ϕ . Vi har også mødt tallet i forbindelse med

Fibonaccitallene, hvor vi beviste, at grænseværdien for forholdet mellem et

tal og dets foregående tal i rækken netop var ϕ .

For ϕ gælder det specielle:

1 1 1

= ϕ ⇔ = ϕ−1

⇔ = 0 ,618034 (6 dec.)

ϕ - 1 ϕ

1,618034

Det gyldne snit for linjestykker

Men det gyldne snit har flere betydninger, idet det også er en måde at dele

et linjestykke op på.

Punktet C deler linjestykket AB i det gyldne snits forhold ⇔

AB AC

= , hvor AC > CB

AC CB

Eller udtrykt mindre formelt:

Forholdet mellem hele linjestykket og det længste delestykke er lig med

forholdet mellem det længste og det korteste af delestykkerne.

I fig. 4 deler punktet C linjestykket AB i det gyldne snits forhold. Sætter vi

AB = x og AC = 1,

så får vi ved at bruge ovenstående definition præcis

samme ligning som ved det gyldne rektangel, og vi kan konkludere, at C

deler linjestykket i forholdet:

53369_matematik_kap3net_5k.indd 22 01-12-2006 13:03:41


A

C

x

1 x - 1

fig. 4 C deler AB i det gyldne snits forhold.

Hvis vi sætter AB til x og AC til 1, får vi

x = 1,618034, men bytter vi om, så AB er 1

og AC er x, får vi x = 0,618034 (6 dec.).

AB AC 1+ 5

= =

AC CB 2 .

B

A

symmEtri, rEgulærE polygonEr og dEt gyldnE snit · 2

2

5

- 1

2

F

fig. 5 Konstruktion af punktet C, der deler

AB i det gyldne snits forhold. I B oprejses

den vinkelrette og D konstrueres, så

BD = ½ ⋅ AB. Det fremgår af tegningen,

hvordan buerne FB og FC er konstrueret.

Sætter vi i stedet AB

regningen:

= 1 og AC = x , bliver BC = 1− x , og vi får ud-

1 x

= ⇔

x 1− x

= − ⇔ + − = ⇔

− 1± =

2

5

=

(x skal være større end 0).

2 2

x 1 x x x 1 0 x 0 ,618034.

I fig. 5 er vist en konstruktion af det punkt C, der deler linjestykket i det

gyldne snits forhold. I punktet B oprejses den vinkelrette, og linjestykket BD

afsættes, så BD = ½⋅ AB . Punkterne A og D forbindes med en ret linje.

Med D som centrum og DB som radius tegnes en bue. Denne skærer AD i

punktet F. Med A som centrum og AF som radius tegnes en cirkelbue, der

skærer AB i punktet C.

Påstanden er, at C deler AB i det gyldne snits forhold. Vi får:

Sættes |AB| = , så er |BD| = 1

5

. Af Pythagoras følger: AD =

2 2

Da |DF| =|DB| = 1

5 1 5 −1

, er AC = AF = − = , som jo netop er

2 2 2 2

det gyldne snits forhold, når |AB| sættes til .

Kunstnere tager ofte hensyn til det gyldne snit i deres arbejde. De 2 punkter,

som billedets længde deles i ved det gyldne snit, bestemmes, og ligeledes de

tilsvarende punkter for billedets højde. Der trækkes nu henholdsvis lodrette

53369_matematik_kap3net_5k.indd 23 01-12-2006 13:03:42

C

1

2

D

1

2

B


og vandrette linjer gennem punkterne. Linjernes skæringspunkter regnes for

særlig vigtige punkter, hvor centrale ting anbringes. Det gyldne snit (punktet

C) kan i praksis bestemmes ved, at |CB| udgør ca. 38% ( (100 − 61,8034)% )

af hele linjestykket.

Femstjernen og det gyldne snit

Pentagon kendes nok bedst som navnet for USA’s forsvarsministerium.

Denne bygning har form som en regulær femkant, og en sådan har netop

fra gammel tid heddet en pentagon, idet penta står for 5. Hvis vi forlænger

siderne i en pentagon til skæring, får vi en femstjerne, der kaldes et pentagram.

Det viser sig, at det gyldne snits forhold er at finde overalt i denne,

og det har gjort, at femstjernen betragtes som særlig smuk og harmonisk.

Det er vel grunden til, at flere lande (bl.a. USA) har den med i deres flag.

Uendelighedsbegrebet er også repræsenteret i pentagrammet. Hvis vi trækker

linjer mellem femstjernens spidser, får vi igen en pentagon, hvis sider

kan forlænges til et nyt pentagram (fig. 2).

H

G

1

C

2 · GEOMETRI

x

D

1

x

1 1

I

fig. 1 Pentagrammet.

Når BD tegnes får man BGD AGI,

og x kan beregnes til 0, 618034 ..

B

x

x

E

x

A

F

1

J

fig. 2 Der kan tegnes femstjerner inden i

og uden om i en uendelighed.

Vi kan vise, at fx diagonalen GI i den store femkant (se fig. ) af punktet D

bliver delt i det gyldne snits forhold, og at punktet B deler linjestykket GA

i det samme forhold. Det handler igen om at opstille forholdene mellem

ligedannede trekanter: BGD og AGI . Herudfra kan x beregnes til

− 1+ 5

≈ 0 ,618034 og dermed fx GA ≈ 1,618034.

2

På grund af symmetri gælder det samme for alle de andre diagonaler.

53369_matematik_kap3net_5k.indd 24 01-12-2006 13:03:42


Der er også flere gyldne trekanter i pentagrammet. Spidserne i femstjernen

fx BGC er gyldne trekanter, og det samme gælder for de lidt større

trekanter som fx JGI . Vinklerne i disse trekanter er 72 ° , 72°

og 36 ° .

Da det gyldne snit er forbundet med særlig harmoniske forhold, har

designere, arkitekter m.m. bevidst eller ubevidst siden tidernes morgen

taget hensyn til det i deres fremstilling af ting. Det kendteste eksempel er

nok det berømte græske bygningsværk Parthenontemplet, der kan tegnes

ind i et gyldent rektangel. Også den menneskelige krop kan opfattes som delt

efter forholdet; det mest kendte vidnesbyrd herpå er at finde i Leonardi da

Vinci’s meget kendte billede: “Homo ad cirkulum”. Det gyldne snits forhold

er altid blevet opfattet som noget helt enestående, hvorfor det også helt indtil

900-tallet blev kaldt “det guddommelige forhold”. Læs evt. http://www.mcs.

surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/

Analytisk Geometri

René Descartes (fransk filosof og matematiker, 596 - 650) tilskrives æren

for at have opfundet analytisk geometri, idet han opfandt koordinatsystemet,

der er grundlaget for den analytiske geometri, der i korthed går ud

på, at geometriske objekter kan udtrykkes ved tal. Vi har i den beregnende

geometri med areal og rumfangsbestemmelse af plane og rumlige figurer set

en vis forbindelse mellem tallenes verden og geometrien. Men med koordinatsystemet

er der skabt en forbindelse mellem algebraen og geometrien,

der åbner for muligheden af at løse geometriske problemer ved algebraiske

beregninger og omvendt.

Fx kan 2 kurvers mulige skæringspunkt tolkes som en fælles løsning til

2 ligninger. I koordinatsystemet kan man nemlig angive et punkts beliggenhed

i planen (eller rummet, men her vil vi holde os til planen) ved dets

koordinater, dvs. ved et talpar. En punktmængde kan beskrives ved sammenhængen

mellem de 2 koordinater. Således beskriver ligningen y = x + 1

de punkter, der alle har det sådan, at punktets 2.-koordinat y er større end

. koordinaten x.

Den pågældende punktmængde kaldes grafen for ligningen. Vi vil nu

lidt overordnet beskrive koordinatsystemet, idet der bygges på en vis forhåndsviden.

analytisk gEomEtri · 2

53369_matematik_kap3net_5k.indd 25 01-12-2006 13:03:43


Koordinatsystemet

På en koordinatakse har vi et nulpunkt O og et enhedspunkt E, og herved kan

der til ethvert punkt P på aksen knyttes et tal x, punktets koordinat, der, når

P ligger til højre for O, angiver længden af linjestykket OP målt med enheden

O E . Et punkt P til venstre for O får en koordinat x, så O P = x = − x ,

idet x nu er negativ, og − x derfor positiv.

På en koordinatakse er afstanden mellem 2 punkter P og Q med koordinaterne

henholdsvis x og x 2 givet ved:

2 · GEOMETRI



x − x hvis x ≥ x

1 2 1 2

= 1 − 2 = ⎨

⎪x 2 − x1 hvis x 2 > x1

PQ x x

O E P Q

0

1

⎪⎩

x1

Det retvinklede koordinatsystem har 2 koordinatakser, der står vinkelret på

hinanden med fælles nulpunkt og sædvanligvis med samme enhed.

R (-3,1)

-3

-2

Q(-2,-1)

Afstandsformlen

y-aksen

ordinataksen

2

1

O(0,0)

-1

1

2

P(3,2)

3

x2

x-aksen

abscisseaksen

Når 2 punkter er givet i et koordinatsystem, kan vi ud fra punkternes koordinater

beregne afstanden mellem dem. Hvis de 2 punkter begge ligger

på en linje, der enten er parallel med x-aksen eller med y-aksen, så er

afstanden mellem punkterne at betragte som afstanden mellem punkternes

projektion på en af koordinatakserne. Fx er afstanden mellem punkterne

A( ,2) og B(5,2) lig med 1− 5 = 4 , og afstanden mellem punkterne (3,2)

og (3,7) er 2 − 7 = 5.

Hvis linjen gennem de 2 punkter ikke er parallel med nogen af akserne,

kan vi beregne afstanden mellem dem ved hjælp af Pythagoras’ sætning. I

fig. skal afstanden mellem punkterne A(2,3) og B(4,6) beregnes. Der tegnes

53369_matematik_kap3net_5k.indd 26 01-12-2006 13:03:44


en linje gennem A parallel med x-aksen og en linje gennem B parallel med

y-aksen. De skærer hinanden i punktet C, der må have koordinaterne (4,3).

Desuden er ∠ C ret, da det er et retvinklet koordinatsystem. Ved brug af

Pythagoras’ sætning finder vi, idet AC = 4 − 2 og BC = 6 − 3 :

2 2 2 2 2 2

AB = AC + BC ⇔ AB = ( 4 − 2) + ( 6 −3) ⇔

2 2

AB = ( 4 − 2 ) + (6 − 3 ) = 13

Generelt vil vi beregne afstanden PQ mellem 2 vilkårlige punkter P( x 1 , y 1 )

og Q ( x 2 , y 2 ). Der tegnes som i eksemplet ovenfor linjer parallelle med

x- og y-aksen. Herved fremstår den retvinklede PQ R , og ved brug af

Pythagoras får vi:

y-aksen

6

3

O(0,0)

2 2 2 2

2

2

PQ = PR + Q R ⇔ PQ = ( x − x ) + ( y − y ) ⇔

PQ = ( x − x ) + ( y − y )

A(2,3)

1

2 3 4

fig. 1 AB kan beregnes til :

2 2

1 2 1 2

B(4,6)

C (4,3)

x-aksen

AB = (2 - 4) 2 + (3 - 6) 2 = 13, da

AC = 2 - 4 og BC = 3 - 6

Afstandsformlen

1 2 1 2

P(x 1,y 1)

x 1

y-aksen

y2

y 1

Q(x2,y2)

R(x2,y1)

x-aksen

fig. 2 PR = x1 - x2 og QR = y1 - y2

Deraf fås : PQ = (x1 - x2) 2 + (y1 - y2) 2

Afstanden mellem punkterne P( x 1 , y 1 ) og Q ( x 2 , y 2 ) er givet ved:

( ) 2 2

PQ = x1 − x 2 + ( y1 − y 2 ) .

Vis at denne afstandsformel også kan bruges i de tilfælde, hvor linjen gennem

de 2 punkter er parallel med en af akserne.

1

x 2

analytisk gEomEtri · 2

53369_matematik_kap3net_5k.indd 27 01-12-2006 13:03:45


Cirklen

Ovenstående resultat overføres let til cirklen, da denne er defineret som

mængden af punkter, der har en bestemt afstand til centrum. Vi vil undersøge,

hvordan de punkter, der ligger på en cirkel med radius r og centrum

i C(a,b), kan beskrives ud fra deres koordinater. For et vilkårligt punkt

P( x , y ) på cirkelperiferien kan afstanden til centrum C(a,b) beregnes, og

denne afstand kan så sættes lig med r:

2 · GEOMETRI

2 2 2

2

CP = ( x − a) + ( y −b) ⇔ r = ( x − a) + ( y −b) ⇔

r = ( x − a) + ( y −b)

2 2 2

y

1

C (a,b)

Enhedscirklen har ligningen : x 2 + y 2 = 1

Cirklens ligning

Cirklens ligning : (x - a) 2 + (y - b) 2 = r 2

r

P (x,y)

En cirkel med centrum i C(a,b) og radius r har ligningen:

2 2 2

( x − a) + ( y − b) = r

2 2 2

Hvis cirklens centrum er O (0,0 ), får cirklen ligningen: x + y = r

Vi kan regne på cirklens ligning:

( ) ( ) 2

2 2

x − a + y − b = r ⇔

2 2 2 2 2

x + a − 2ax + y + b − 2by = r ⇔

x − 2ax + y − 2by = r −a −b

2 2 2 2 2

53369_matematik_kap3net_5k.indd 28 01-12-2006 13:03:46

x


I den sidste ligning indgår der på højre side udelukkende konstanter, da

centrum C(a,b) er et bestemt punkt, og radius r er givet. Ofte er cirklens

ligning angivet på denne form, hvorfor vi må omforme til den sædvanlige

form, der tillader en umiddelbar aflæsning af centrum og radius. Vi vil se

på et eksempel:

Eksempel 1: En punktmængde er givet ved:

2 2

x − 2x + y − 6 y = 26

Ud fra ovenstående slutter vi, at grafen må være en cirkel. Vi ønsker at bestemme a og

b, så ligningen i stedet kan skrives på formen: ( ) ( ) 2

2 2

x − a + y − b = r .

2

I stedet for udtrykket x − 2x vil vi gerne opnå kvadratet på en toleddet størrelse, dvs.

en størrelse på formen ( ) 2

x − a . Her må − 2x betragtes som det dobbelte produkt,

når de 2 led i den toleddede størrelse hedder henholdsvis x og -1 ( -1 er det halve

2

2 2

af koefficienten − 2 til x). Udtrykket x − 2x mangler leddet ( − 1) = 1 for at være

2

kvadratet på en toleddet størrelse. Vi adderer derfor 1 på begge sider af lighedstegnet.

2

2

Tilsvarende betragtninger over udtrykket y −6 y fører til, at vi også må addere 3

på begge sider af lighedstegnet. Vi får derfor:

2 2

x 2x y 6 y 26

− + − = ⇔

2 2 2 2 2 2

x − 2x + 1 + y − 6 y + 3 = 26 + 1 + 3 ⇔

2 2

( x − 1) + ( x − 3) = 36 ⇔

( x − 1) + ( x − 3) = 6

2 2 2

Af sidste ligning kan vi se, at grafen for punktmængden

er en cirkel med centrum i punktet (1,3) og radius 6.

Eksempel 2: En punktmængde er givet ved:

Ved tilsvarende betragtninger som i eksempel 1 får vi:

2 2

x 4x y 10 x 20

+ + − = ⇔

2 2

( x + 2) + ( x − 5) = 49

2 2

x − 2x + y − 6 y = 26

2 2

x + 4x + y − 10 x = 20

2 2 2 2 2 2

x + 4x + 2 + y − 10 x + 5 = 20 + 2 + 5 ⇔

Centrum for denne cirkel er (2,5) og radius er 7

Øvelse: Tegn grafen for

2 2

x + y = 48 + 8 y −12x

analytisk gEomEtri · 2

53369_matematik_kap3net_5k.indd 29 01-12-2006 13:03:46


Funktion

Funktionsbegrebet er et af de vigtigste begreber overhovedet i matematik,

fordi det anvendes i mange forskellige situationer. Mange har svært ved

at give en entydig forklaring på, hvad en funktion er, fordi begrebet kan

præsenteres og forklares på forskellig vis. Men hvor vi finder en sammenhæng

mellem 2 størrelser, har vi ofte at gøre med en funktion. Mere

præcis: Hvis man om den ene størrelse kan sige, at den på entydig vis

afhænger af den anden størrelse, dvs. hvis y afhænger af x, sådan at der

til et bestemt x svarer ét og kun ét y, så er sammenhængen mellem de 2

størrelser en funktion. Her er nogle bud på forskellige præsentationer af

begrebet funktion:

Sammenhængen mellem prisen y og antal købte vareenheder x er eksempel

på en funktion.

Hvis kg koster 3 kr., så vil x kg koste 3⋅ x kr. Prisen y er en funktion af antallet

x af vareenheder, og sammenhængen kan udtrykkes ved y = 3⋅ x.

Vi kan fastslå, at der til ét bestemt kvantum hører netop én pris.

Sammenhængen mellem temperaturen målt i celsius og i fahrenheit er ek-

sempel på en funktion.

Hvis x er fahrenheit og y er celsius så gælder:

30 · GEOMETRI

5

y = ( x −32) ⋅

9

Det er klart, at der til enhver fahrenheit-grad svarer netop én celsius-grad.

En funktion kan også være sammenhængen mellem 2 rækker af tal givet i en

tabel, fx følgende tabel:

131 142 153 164 175 186 197 208 219 ≥ 220

500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 4500 6000 7000

Tabellen beskriver sammenhængen mellem en bils hastighed x på en motorvejstrækning

med hastighedsbegrænsning på 0 km/t. i øverste linje

og bødens størrelse y i nederste linje ved en evt. trafikkontrol. Øverste linje

skal forstås sådan, at der egentlig er underforstået et interval, fx i stedet for

3 skal der stå intervallet [ 121;131 ] , 42 står for ] 131;142 ] osv. Tabellen

beskriver en funktion, da der til enhver hastighed over 2 km/t. kan findes

én bødestørrelse.

53369_matematik_kap3net_5k.indd 30 01-12-2006 13:03:47


Foruden ovennævnte bøde er der fastlagt et højhastigtighedstillæg for

hastigheder over 40 km/t. Idet der i øverste linje igen skal tænkes i intervaller,

er denne tabel givet ved:

149 159 169 179 189 199 209 219 229 239

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

Også denne tabel er i sig selv en funktion. I praksis vil det interessante dog

være at sammensætte disse 2 funktioner til én funktion.

Hvordan vil du lave en tabel over denne nye funktion?

En funktion kan være en kurve. Her er x-værdierne årstal fra 98 til 2005,

og y-værdierne er antal mennesker i arbejdsstyrken det pågældende år. Til

hvert årstal svarer netop et tal for arbejdsstyrken. Omvendt kan man godt

til forskellige tidspunkter have målt det samme tal for arbejdsstyrken.

En funktion er en maskine. Vi forestiller os en maskine, der gør noget ved

det, der puttes ind i den. Når et tal puttes ind, kommer et som oftest ændret

tal ud af maskinen.

x

Maskinen her

ganger med 2 y = 2 x

analytisk gEomEtri · 1

53369_matematik_kap3net_5k.indd 31 01-12-2006 13:03:47


En maskine vil altid gøre det samme ved tallet. Derfor vil der til et bestemt

input x svare netop ét output y.

Fælles for ovenstående eksempler på funktioner er, at der ikke kan findes 2

forskellige y-værdier til en og samme x-værdi. Derimod kan det omvendte

godt være tilfældet, som før nævnt fx samme antal mennesker i arbejdsstyrken

på 2 forskellige årstal.

En mere præcis definition af begrebet funktion har vi i følgende:

Definition

En funktion er en mængde af ordnede par, hvori der ikke findes 2 forskellige

med samme førstekomponent.

Ovenstående definition er nok præcis, men ikke særlig god, da den er for

teoretisk til at beskrive den opfattelse, vi har fra situationer i hverdagen,

hvor vi ofte ubevidst møder funktionsbegrebet i mange situationer. Et

mere dynamisk funktionsbegreb har vi i opfattelsen af en funktion som

en maskine, der gør noget ved det, der puttes ind i den, eller i begrebet:

det afhænger af. Prisen afhænger af kvantum. Portoen afhænger af vægten

(og af konvoluttens størrelse). Bøden afhænger af forseelsens størrelse. I

fysikkens love er der fyldt med eksempler på denne afhængighed mellem

2 størrelser.

Det gennemgående træk er, at y-værdien afhænger af x-værdien, og

derfor kaldes y for den afhængige variable og x den uafhængige variable.

Den uafhængige variabel x vælger man selv.

En funktion kaldes ofte for en afbildning.

Der bruges små bogstaver, som f, g og h som navne for funktioner. y-værdien

kaldes også funktionsværdien eller f-billedet af x og betegnes f(x).

Skrivemåden: f : x → 4x + 3 og Dm( f ) = R

står for y = f ( x ) = 4x + 3,

og de reelle tal R er den mængde, hvorfra vi henter

x-værdierne; denne kaldes definitionsmængden og betegnes Dm( f ).

Mængden af mulige y-værdier, der fremkommer, når x gennemløber definitionsmængden,

kaldes værdimængden og betegnes Vm(f). Værdimængden

kan man regne sig til, når funktionen f som her er givet ved en forskrift,

og vi kender definitionsmængden.

32 · GEOMETRI

53369_matematik_kap3net_5k.indd 32 01-12-2006 13:03:48


Definitionsmængden kan også være en endelig mængde, som i funktionen f

givet ved: f : x → 4x + 5 og Dm( f ) = { 1,2,3,4 } . Værdimængden kan her bestemmes

til Vm( f ) = { 9 ,13,17 ,21}

. I et koordinatsystem vil grafen for denne

funktion være 4 punkter svarende til, at f = { (1,9 ), ( 2,13 ) ,( 3,17 ), ( 4,21)

} .

Der bruges ofte en illustration som i fig. og fig. 2 for sådanne endelige

funktionen, fordi disse illustrationer er gode til at illustrere egenskaber, som

går på, at funktioner kan være injektive og surjektive.

A

1

2

3

4

f





13

17

21

fig. 1 Funktionen f er injektiv, da

x 1 ≠ x 2 ⇒ f(x 1) ≠ f(x 2), og f er surjektiv,

da Vm(f) = B.

9

B

A

1

2

-2

4

g


→ →


B

1

fig. 2 Funktionen g er ikke injektiv,

da g(2) = g(-2) = 4, og g er ikke

surjektiv, da 10 ikke tilhører Vm(g).

Hvis der til 2 forskellige x-værdier hører tilsvarende 2 forskellige y-værdier,

så er funktionen injektiv. Kurven for arbejdsstyrken i eksemplet ovenover er

ikke injektiv. Til forskellige tidspunkter x og x 2 kan der være samme tal

y for arbejdsstyrken, ikke at forveksle med, at der til et bestemt tidspunkt

x svarer netop ét tal y, hvilket sidste er definition på en funktion. Parablen

er også graf for en ikke-injektiv funktion, idet der til samme y-værdi svarer

2 forskellige x-værdier (toppunktet undtaget). Begrebet injektiv er således

vigtigt nok. Derimod er det sjældent, at vi er optaget af, om funktionen

er på mængden B eller hvad der er det samme surjektiv mht. B, der

betyder, at Vm( f ) = B .

En funktion fra A til B, der er både injektiv og surjektiv kaldes en bijektion.

Ovenstående funktion f i fig. er en bijektion fra A til B. Det kaldes

også en en-til-en-korrespondance mellem A og B.

analytisk gEomEtri ·

53369_matematik_kap3net_5k.indd 33 01-12-2006 13:03:48

4

16

10


4

3

2

1

-1

-2

-3

y

fig. 3

3 · GEOMETRI

f

Liniestykket g

er ikke en

funktion

2 4 6 8 10 12 14

f er en ikke-injektiv

funktion. Dm(f) = 1;4

Vm(f) = -1;3

g

c

Cirklen c er ikke en funktion

p


x

Parablen p er

en ikke-injektiv

funktion.

Dm(p) = R

Vm(p) = y | y 4

I fig. 3 er grafen f en funktion, der ikke er injektiv, da der for 1 ≤ y < 3 svarer

2 forskellige x-værdier. Det samme gælder for parablen p. Det lodrette linjestykke

g er derimod ikke graf for en funktion, da der til x = 6 svarer mange

y-værdier, nemlig alle tal mellem 2 og 4 (begge tal medregnet). Cirklen c

er heller ikke en funktion. For værdier af x, der opfylder 7 < x < 11 , svarer

der 2 forskellige y-værdier.

Sammensatte funktioner

Hvis både f og g er funktioner fra de reelle tal på de reelle tal, så kan

vi definere den af f og g sammensatte funktion, der betegnes gof , ved

gof ( x ) = g( f ( x )) . Hvis vi tænker på funktioner som maskiner, og f er en

maskine, der fx multiplicerer med 2, og g er en maskine, der adderer 3, så

kan vi opstille maskinerne efter hinanden:

x

mas kinen f

⋅2

2 ⋅ x

mas kinen g

+3

2 ⋅ x + 3

Den sammensatte funktion gof kan således erstattes af en funktion, der

afbilder x i 2 ⋅ x + 3 . Bytter vi maskinerne om, får vi

53369_matematik_kap3net_5k.indd 34 01-12-2006 13:03:49


x

mas kinen g

mas kinen f

+3 x + 3 ⋅2

2 ⋅ (x + 3) = 2 ⋅ x + 6

Dvs.: fog er en funktion, der afbilder x i 2 ⋅ x + 6 .

Funktionssammensætning er åbenbart ikke kommutativ, idet vi her har

gof ≠ fog , fordi der for disse funktioner gælder:

g( f ( x )) ≠ f ( g( x )) ⇔ g( 2x ) ≠ f ( x + 3) ⇔ 2x + 3 ≠ 2 ⋅ ( x + 3)

Ved definition af den af f og g sammensatte funktion skal vi sikre os, at

funktionsværdierne for f ligger i definitionsmængden for g.

Vi definerer:

For funktioner f og g, der opfylder Vm( f ) ⊆ Dm( g ) , er den af f og g

sammensatte funktion gof defineret ved: gof ( x ) = g( f ( x ))

Øvelse: Bestem en forskrift for såvel gof som for fog i hvert af følgende tilfælde:

1) f ( x ) = 4x + 3 og g( x ) = x - 5

2) f ( x ) = 2x − 3 og g( x ) = x

3) f ( x ) = x + 2 og g( x ) = x , hvor x > 0

Omvendt funktion

2

Hvis en mobiltelefon koster 75 kr. pr. kvartal i abonnement og 0 ,70 kr.

i taletid pr. minut, så kan y = 0 ,70 ⋅ x + 75 beskrive sammenhængen mellem

antal talte minutter x og prisen y for et kvartals brug af telefonen. Men

somme tider er man måske mere interesseret i at undersøge, hvor mange

minutter man kan tale for et bestemt beløb. Det betyder, at det er den omvendte

funktion, hvor y er den variable, man vælger, og x den afhængige

variable, som man er interesseret i. Hvis man fx gerne vil vide, hvor meget

taletid man kan få for 80 kr., kan man foretage følgende udregninger:

0 ,70 ⋅ x + 75 = 180 ⇔ 0 ,70 ⋅ x = 105 ⇔ x = 150 eller generelt:

1 75

0 ,70 ⋅ x + 75 = y ⇔ 0 ,70 ⋅ x = y −75 ⇔ x = ⋅ y −

0 ,70 0 ,70

analytisk gEomEtri ·

53369_matematik_kap3net_5k.indd 35 01-12-2006 13:03:50


Man kan således tale i 50 minutter for 80 kr.

1

Idet den omvendte funktion betegnes f − har vi vist:

Hvis f ( x ) = 0 ,70 ⋅ x + 75 , så er

3 · GEOMETRI

−1

1 75

f ( y ) = ⋅ y −

0 ,70 0 ,70

Det fremgår, at det kun er muligt at gennemføre beregningerne, når man

kan bestemme netop ét x til hvert y. Det betyder, at alene injektive funktioner

har en omvendt funktion. Når f er en injektiv funktion, så er f en

mængde af ordnede par, hvor der ikke findes 2 forskellige ordnede par med

samme andenkomponent, og det betyder, at den mængde af ordnede par,

man får ved at ombytte første- og andenkomponenterne i f, også vil være

en funktion. Vi definerer:

Hvis f er en injektiv funktion defineres den omvendte funktion

−1

− 1

f ( x ) = y ⇔ f ( y ) = x og Dm( f ) = Vm( f )

Eksempel: Vi vil bestemme en forskrift for den omvendte funktion

1

f ( x ) = x + 3 . Vi får:

2

1 1 1

f ( x ) = x + 3 ⇔ y = x + 3 ⇔ y − 3 = x ⇔ x = 2 y −6

2 2 2

Det betyder, at

−1

f ( y ) 2 y 6

= − .

1

f − ved:

−1 f , når

Det er klart, at vi frit kan vælge navn for variable, så vi kan også udtrykke

−1

f ( x ) = 2x − 6 .

Hvis f er defineret for de reelle tal R, så er Vm( f ) = R og dermed er

− 1

Dm( f ) = R .

Øvelse: Bestemt en forskrift for

−1

f , når f er givet ved:

1) f ( x ) = 3x + 9 og 2) f ( x ) = −2x − 8 .

1

f − ved:

53369_matematik_kap3net_5k.indd 36 01-12-2006 13:03:51

More magazines by this user
Similar magazines