5 Beskrivende mål - Gyldendal

Figur 5.2:
Figur
Tæthedsfunk-
4.2
Tæthedsfunktion
og median
tion og median
stisk variabel, X, den værdi, som X er større end eller lig med med sandsynlighed
0,5 og mindre end eller lig med med sandsynlighed 0,5. Rent visu elt
så deler medianen derfor sandsynlighedsfordelingen for X på midten, som illustreret
i figur 5.2, hvor tæthedsfunktionen for en kontinuert stokastisk variabel,
X, er afbildet.
median
stokastiske variabel er kontinuert. For en kontinuert stokastisk variabel, X, er
p-fraktilen den (eller de) værdi(er) af x, som, når de sættes ind i den kumulerede
Man kan
sandsynlighedsfunktion,
også finde værdier af X,
F(x),
som
giver
opdeler
p.
fordelingen på en anden måde
end med 0,5 til hver side. Disse værdier kalder man generelt for p­fraktiler,
hvor p -fraktilen p angiver for den en kontinuert del af fordelingen, stokastisk variabel, der ligger X, med til ven kumuleret stre for sandsynlig- p­fraktilen. Den
generelle hedsfunktion, definition F(x), af er en p­fraktil, værdi, q , således som gælder at:
p både for kontinuerte og diskrete
stokastiske variabler, er lidt Fq snørklet. ( p)=
p Derfor tager vi først det letteste
tilfælde, som – for en gangs skyld – forekommer, når den stokastiske variabel
er kontinuert. For en kontinuert stokastisk variabel, X, er p­fraktilen den (eller
de) værdi(er) af x, som, når de sættes ind i den kumu lative sandsynligheds­
Eksempel 4.15 Den
funktion,
kontinuerte
F(x), giver
stokastiske
p.
variabel, X, fra eksempel 4.10, som angav en
Vareproduktion virksomheds vareproduktion, havde følgende kumulerede sandsynligheds-
– del 2 funktion, jf. eksempel 3.14:
p-fraktilen for en kontinuert stokastisk variabel, = X, med kumulativ sandsynlighedsfunktion,
F(x), er en værdi, ⎧0
qp, således at: hvis x < 10
⎪
Fx () = ⎨01
, ⋅( x −10) hvis 10 ≤ x < 20
⎪ F(qp) = p
⎩1
hvis 20 ≤ x
Eksempel 5.16: Vareproduktion ñ del 2
Eksempel 5.16:
Medianen
Den Den kontinuerte
(0,5-fraktilen),
kontinuerte stokastiske
q
stokastiske variabel,
, for X bestemmes
variabel, , X, fra fra eksempel eksempel
som en
5.10, 5.10,
løsning
som som
til
angav angav
F(q )
en en
=
0,5 0,5
Vareproduk-
0,5,
virksomheds
dvs. 0,1 · (q
virksomheds vareproduktion,
– 10) = 0,5, som
vareproduktion, havde
giver
havde følgende
q = 15. Medianen 0,5 kumulative
er
f¯lgende sand
altså
kumulerede synlig
den samme
0,5 hedstion
– del 2
som
funk sandsynlighedsfunktion,
middelværdien
tion, jf. eksempel
i dette
4.14: jf. eksempel
tilfælde, jf.
4.14:
eksempel 4.10.
0,05-fraktilen findes på tilsvarende vis:
0 < 10
() = 0,1
( 10) 10 20
Fq ( 005 , ) = 005 , ⇔ 0, 1⋅( q 0, 05 − 10) = 0, 05 ⇔ q 005 , = 10, 5
1 20 <
Medianen (0,5-fraktilen), 0,5, for bestemmes som en l¯sning til
0,5 = 0,5, dvs. 0,1 0,5 10 = 0,5, som giver 0,5 = 15. Medianen er
En alts stokastisk den samme variabel som kan middelvÊ dog godt rdien have i dette flere tilfÊ medianværdier
5.3 lde, jf. Fraktiler eksempel (og p-frakti- 5.10. 115
ler), 0,05-fraktilen som illustreret findes i p det tilsvarende følgende eksempel. vis:
0,05 = 0,05 0,1 0,05 10 = 0,05 0,05 = 10,5
Eksempel 4.16 Antag, at en kontinuert stokastisk variabel, X, har sandsynlighed 0,5 for at
Multiple medi- ligge mellem 1 og 2 og sandsynlighed 0,5 for at ligge mellem 3 og 4. Tæthedsanværdierfunktionen
En stokastisk
for X
variabel
er tegnet
kan
i figur
dog
4.3.
godt
I
have
dette
flere
tilfælde
medianværdier
er der derfor
(og
sandsyn-
p-
()