5 Beskrivende mål - Gyldendal
5 Beskrivende mål - Gyldendal
5 Beskrivende mål - Gyldendal
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Eksempel 5.7: I eksempel 5.4 ønsker vi nu i stedet at <strong>mål</strong>e elevernes højde i meter. Dvs. vi<br />
En skoleklasse<br />
– del 2<br />
108 <strong>Beskrivende</strong> <strong>mål</strong><br />
de finerer en ny stokastisk variabel Z = 0,01 · Y, hvor Y er variablen fra eksempel<br />
5.4. Hvis Y angiver højden for den udtrukne person i cm, vil Z derfor give<br />
os højden i meter. Middelværdien af Z er da: E(Z) = 0,01 · E(Y) = 0,01 · 137,5<br />
= 1,375 meter.<br />
Eksempel 5.8: I eksempel 5.5 er Y en funktion af X, som opfylder den tredje regneregel i<br />
Et terningspil<br />
– del 4<br />
boksen ovenfor. Når vi kender middelværdien af X, kan vi derfor springe den<br />
lidt om stændelige udregning i eksempel 5.6 over og i stedet udregne middelværdien<br />
af Y som: E(Y) = E(–5 + 2 · X) = –5 + 2 · E(X) = –5 + 2 · 3,5 = 2.<br />
Det er værd at understrege, at den forventede værdi af en funktion af X,<br />
E(h(X)), generelt ikke er lig med funktionen af den forventede værdi, h(E(X)).<br />
Det næste eksempel illustrerer dette.<br />
Eksempel 5.9: Den stokastiske variabel, X, kan antage værdierne 3 og 5 med sandsynlig hed<br />
En ikkelineær<br />
funktion<br />
0,5 for hver af dem. Dermed er E(X) = 3 · 0,5 + 5 · 0,5 = 4. Lad Y = X 2 . Da<br />
X = 3 med sandsynlighed 0,5, så er Y = 9 med sandsynlighed 0,5. Tilsvaren de<br />
er X = 5 med sandsynlighed 0,5, og dermed er Y = 25 med sandsynlig hed 0,5.<br />
Den forventede værdi af Y er derfor E(Y) = 9 · 0,5 + 25 · 0,5 = 17. Så E(Y) =<br />
E(X 2 ) = 17, mens (E(X)) 2 = 4 2 = 16.<br />
5.2.2 Forventet værdi af en kontinuert stokastisk variabel<br />
For at beregne den forventede værdi af en kontinuert stokastisk variabel skal<br />
man bruge integralregning. Tænk på eksemplerne 4.12 og 4.13 fra sidste kapitel,<br />
hvor en virksomhed skulle forudsige næste års vareproduktion. Her var<br />
sandsynlighederne for de enkelte udfald nul, fordi der var uendeligt mange<br />
udfald. Til gengæld var der en positiv sandsynlighed for en produktion mellem<br />
10 og 11 tons. Som i tilfældet med en diskret stokastisk variabel skal vi<br />
have foretaget en sammenvejning af sandsynligheder og værdier af udfald. Da<br />
sandsynligheden for et bestemt udfald er 0 for en kontinuert stokastisk variabel,<br />
viser det sig, at vi i stedet for kan bruge tæthedsfunktionen. Sammenvejningen<br />
sker ved at integrere tæthedsfunktionen ganget med værdier ne<br />
af udfaldene. Formelt er beregningsformlen som følger:
Change language