Fundamentalgruppen af plane mængder - Københavns Universitet

3.3 Grænser
Lad C være en kategori, og lad X ∈ pro −C. Ved en invers grænse for X forst˚as
et objekt X ∈ C og en morfi p : X → X med følgende egenskab: Hvis g : Y → X
er en morfi og Y ∈ C, da findes en entydig morfi g : Y → X s˚a følgende diagram
kommuterer:
Y
g
g
p
X X
Hvis nu (X ′ , p ′ ) var en anden invers grænse for X, da findes entydige morfier
i ′ : X ′ → X og i : X → X ′ s˚a p ′ = pi ′ og p = p ′ i. Dermed er p = p ′ i ′ i og
p ′ = p ′ ii ′ . Af entydigheden følger nu at i ′ i = idX og ii ′ = idX ′, s˚a X og X ′ er
isomorfe. Inverse grænser for et givet inverst system X ∈ pro −C er alts˚a entydige
op til isomorfi. Objektet X kaldes i sig selv ofte for en invers grænse for X (d.v.s.
morfien p er underforst˚aet), og man skriver
.
X = lim X
Definition 3.9 Lad C være en kategori og lad fα, gα : X → Y med α ∈ A
være to familier af morfier over en indeksmængde A. Ved den multiple udligner
for de to familier af morfier forst˚as et objekt MEqA(fα, gα) ∈ C og en morfi
µ : MEqA(fα, gα) → X s˚a følgende er opfyldt:
1): fαµ = gαµ for alle α ∈ A
2): Hvis (Z, µ ′ ) hvor Z er et objekt i C, og µ ′ er en morfi i C, opfylder punkt 1),
da vil µ ′ faktoriserer igennem MEqA(fα, gα), d.v.s der findes en morfi
ν : Z → MEqA(fα, gα) s˚a µ ′ = µν.
I tilfældet hvor vi kun har to morfier f, g : X → Y , skriver vi Eq(f, g) =
MEq(f, g) og, Eq(f, g) kaldes blot for udligneren for f og g.
Det er ikke altid at et inverst system over en given kategori har en invers grænse.
Vi vil i det følgende se p˚a nogle tilstrækkelige betingelser for at en kategori har den
egenskab at samtlige inverse systemer over denne kategori har en invers grænse.
Betingelserne er:
12