Fundamentalgruppen af plane mængder - Københavns Universitet

More documents

Recommendations

Info

$Øvelse 1: Få LATEX op at stå Øvelse 2: At skrive matematiske ...$

Indhold 1 Indledning 3 2 Resume 4 3 Inverse systemer 5 3.1 Inv- og Pro- kategorier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.2 Udvidelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.3 Grænser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4 Peanokontinua 15 4.1 Separationsordenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4.2 Kontinua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.3 Peanokontinua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5 Planemængder 24 5.1 Peanokontinua i planen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5.2 Sierpinskitæppet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 6 Simpliciale komplekser m.m. 35 6.1 Simpliciale komplekser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 6.2 Nerven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 6.3 Fundamentalgruppen af plane mængder . . . . . . . . . . . . . . . 41 7 Konsekvenser af hovedsætningen 45 2
1 Indledning Dette speciale handler om fundamnetalgruppen af planemængder, dvs. mængder X ⊆ R 2 med delrumstopologien nedarvet fra R 2 , hvor R 2 er udstyret med den sædvanlige topologi. Nærmere bestemt vil vi i specialet forsøge at indkredse hvilke grupper der kan optræde som fundamentalgruppe for en plan mængde. Det er velkendt at vi givet en gruppe G altid kan finde et CW-kompleks XG der har G som fundamentalgruppe (se [13] side 52). Det er dog p˚a ingen m˚ade klart og det er heller ikke rigtigt at det CW-kompleks XG man f˚ar med denne metode, er metrisk. Det kan s˚aledes sagtens tænkes at XG ikke kan indlejres i f.eks. R n for noget n ∈ Z+. Det er derfor oplagt at stille spørgsm˚alene: Kan alle grupper optræde som fundamentalgruppe for en delmængde X af R n ? Hvis ikke hvilke grupper kan i s˚a fald optræde? Det er ganske givet svære spørgsm˚al at svare p˚a. Kan de rationelle tal Q f.eks. optræde som fundamentalgruppe for noget X ⊆ R n ? Det er et resultat af Shelah at hvis X er et peano kontinuum, da vil π1(X) = Q (se [14]). I dette speciale vil vi som sagt kun beskæftige os med tilfældet X ⊆ R 2 . Selv i dette specialtilfælde har det været meget svært at finde nogle generelle resultater. Man kender selvfølgelig fundamentalgruppen for X i en masse special tilfælde. Det er f. eks. velkendt at fundamentalgruppen af en graf er fri. Et mere eksotisk eksempel er hawaii øreringen der har en ret kompliceret fundamentalgruppe. Det eneste generelle resultat jeg kunne finde om fundamentalgruppen af planemængder, er fra et pre-print [7] fra 2003 af Hanspeter Fischer og Andreas Zastrow. Specialets hovedresultat vil være sætning 2 i dette pre-print der siger at fundamentalgruppen af en vilk˚arlig plan mængde indlejrer i den første čechgruppe. I dette speciale er alle omegne ˚abne. Specialet følger sprognævnets nye anbefalinger om ikke at sætte komma foran ledsætninger. 3
Page 1: Fundamentalgruppen af plane mængde
Page 5 and 6: 3 Inverse systemer 3.1 Inv- og Pro-
Page 7 and 8: Bevis: følgende diagram kommuterer
Page 9 and 10: S˚a (jλ, j) definerer en morfi j
Page 11 and 12: kommuterer. Dette giver det ønsked
Page 13 and 14: P): For enhver familie af objekter
Page 15 and 16: 4 Peanokontinua 4.1 Separationsorde
Page 17 and 18: 1): x ∈ U1 og y ∈ Un. 2): x /
Page 19 and 20: Bevis: Antag at Y er et s˚adant ko
Page 21 and 22: Antag for modstrid at a ∈ A er et
Page 23 and 24: Bevis: Lemma 4.21 Lad X være et ha
Page 25 and 26: Lad α : S 1 → R 2 være en konti
Page 27 and 28: Bevis: Lad α : I → X være en l
Page 29 and 30: B((0,2),1) R I Pi Figur 1: ∆ ′
Page 31 and 32: B((0,2),1) R B((0,-2),1) I Pi Qi Fi
Page 33 and 34: ˆFi’erne til hele X ′ ved blot
Page 35 and 36: 6 Simpliciale komplekser m.m. 6.1 S
Page 37 and 38: Definition 6.6 Lad U være en ˚abe
Page 39 and 40: Bevis: Lad y ∈ |N(V)|, og pUV(y)
Page 41 and 42: Ovenst˚aende resultater gælder u
Page 43 and 44: [i ′ (V ′ 1 ∩ X), . . . , i
Page 45 and 46: 7 Konsekvenser af hovedsætningen D
Page 47 and 48: HPol∗-udvidelser. Vi skal nu se e
Page 49 and 50: være kilesummen af keglen over a1
Page 51: [12] Edwin H. Spanier. Algebraic To

Fundamentalgruppen af plane mængder - Københavns Universitet

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?