Fundamentalgruppen af plane mængder - Københavns Universitet

Lad nu x, y ∈ E(p, q) − {p, q}. Hvis y ∈ Vx, da vil Ux ∪ x ⊆ Uy og Vy ∪ y ⊆ Vx
thi Ux ∪ x er en sammenhængende delmængde af X − y = Uy ∪ Vy. Dermed m˚a
Ux ∪ x ligge i enten Uy eller Vy, men p ∈ Uy ∩ Ux, s˚a Ux ∪ x ⊆ Uy. Heraf følger at
(Ux ∪ x) ∩ (Vy ∪ y) = ∅, s˚a Vy ∪ y ⊆ Vx. P˚a samme m˚ade ses at hvis y ∈ Ux, da
vil Uy ∪ y ⊆ Ux og Vx ∪ x ⊆ Vy.
Vi viser nu at < er en totalordning:
(Ikke-refleksivitet): Dette opfylder relationen trivielt.
(Sammenlignelighed): Vi har allerede bemærket at p og q kan sammenlignes med
alle andre elementer. Lad derfor x = y og x, y ∈ E(p, q) − {p, q}. Da gælder der
enten y ∈ Ux eller y ∈ Vx. Hvis y ∈ Ux, da vil Vx ∪ x ⊆ Vy, dvs. y adskiller p og
x, s˚a y < x. Hvis y ∈ Vy f˚as omvendt at x < y.
(Transitivitet): Antag at x < y og y < z, og antag at x = p og z = q, dvs. at
Vy ∪ y ⊆ Vx og Vz ∪ z ⊆ Vy. Heraf følger at z ∈ Vx, s˚a x adskiller p og z, og
dermed f˚as x < z. Tilfældene hvor x = p eller z = q er trivielle.
Sætning 4.5 Lad X være et sammenhængende T1 rum, og lad p, q ∈ X s˚a
E(p, q) − {p, q} = ∅. Da er delrumstopologien p˚a E(p, q) finere end separationsordenstopologien
p˚a E(p, q).
Bevis:
Lad B være et basiselement for ordenstopologien p˚a E(p, q). Vi viser at B er
˚aben i delrumstopologien. Der er tre tilfælde 1): B = [p, x), 2): B = (x, q] og 3):
B = (x, y) hvor x, y ∈ E(p, q).
Tilfælde 1): Hvis x = q, da er [p, x) = X − q ∩ E(p, q), og X − q er ˚aben i X, da
X er T1. Hvis x = q, kan vi betragte separationen X − x = Ux ∪ Vx. Da X − x
er ˚aben i X, og Ux er ˚aben i X − x, er Ux ˚aben i X. Det ønskede følger nu af at
[p, x) = Ux ∩ E(p, q).
Tilfælde 2): Klares tilsvarende.
Tilfælde 3): Hvis x = p og y = q, da er (x, y) = Uy ∩ Vx ∩ E(p, q), og hvis x = p
og y = q, da er (x, y) = X − {p, q} ∩ E(p, q).
Definition 4.6 Lad der være givet to punkter x og y i et topologisk rum X. En
endelig samling af ˚abne mængder U1, . . . , Un siges at være en enkel kæde fra x til
y hvis:
16