Fundamentalgruppen af plane mængder - Københavns Universitet

More documents

Recommendations

Info

$Øvelse 1: Få LATEX op at stå Øvelse 2: At skrive matematiske ...$

Kompositionen ses at være veldefineret ved at betragte følgende diagram: Xλ ′′ Xϕψ(ν) Xλ Xϕ(µ) Xλ ′ Xϕψ(ν ′ ) fψ(ν) fµ fψ(ν ′ ) Yψ(ν) Yµ Yψ(ν ′ ) gν Zν Alle morfierne og objekterne i diagrammet p˚anær Xλ ′′ og morfierne g˚aende ud fra denne, opst˚ar naturligt udfra definitionen af en morfi af inverse systemer. Xλ ′′ findes da Λ er opad filtrerende. Sammensætningen er associativ da sammensætning af afbildninger er associativ, og sammensætning af morfier (i C) ogs˚a er associativ. Endelig f˚ar vi ved at sætte idX = (idXλ , idΛ) klart en identitets morfi for et inverst system X = (Xλ, pλλ ′, Λ). Vi har nu en ny kategori inv −C. Et objekt X i C sammen med idX er et inverst system, s˚a C kan opfattes som en delkategori af inv −C. Vi kalder et inverst system af denne type for et rudimentært system. Denne kategori er dog lidt for fint følende til vores senere behov. Vi vil derfor ændre lidt p˚a den s˚a vi f˚ar en ny kategori som vi kalder pro −C. Til dette form˚al indføres en ækvivalensrelation p˚a morfier mellem inverse systemer. Lad (fµ, ϕ) : X → Y og (f ′ µ , ϕ′ ) : X → Y være morfier i inv −C. Vi siger at (fµ, ϕ) og (f ′ µ , ϕ′ ) er ækvivalente, og vi skriver (fµ, ϕ) ∼ (f ′ µ , ϕ′ ) hvis der til ethvert µ findes λ ≥ ϕ(µ), ϕ ′ (µ) s˚a følgende diagram kommuterer pϕ(µ)λ pϕ ′ (µ)λ Xϕ(µ) Xλ Xϕ fµ ′ (µ) f ′ µ Yµ Vi vil nu vise at vores ækvivalensrelation respekterer sammensætning. For at dette ikke skal blive fuldstændig uoverskueligt, deler vi beviset op i tre stykker. g ′ ν Z ′ ν Lemma 3.1 Hvis (fµ, ϕ) ∼ (f ′ µ, ϕ ′ ), da er (gν, ψ)(fµ, ϕ) ∼ (gν, ψ)(f ′ µ, ϕ ′ ) 6
Bevis: følgende diagram kommuterer: pϕψ(ν)λ pϕ ′ ψ(ν)λ Xϕψ(ν) Xλ Xϕ f ψ(ν) ′ ψ(ν) f ′ ψ(ν) Yψ(ν) gν Zν Her kan vi finde Xλ p˚a grund af definitionen af morfier mellem inverse systemer. Lemma 3.2 Hvis (gν, ψ) ∼ (g ′ ν , ψ′ ), da er (gν, ψ)(fµ, ϕ) ∼ (g ′ ν , ψ′ )(fµ, ϕ) Bevis: følgende diagram kommuterer: Xλ ′′ Xϕψ(ν) Xλ Xϕ(µ) Xλ ′ Xϕψ(ν ′ ) fψ(ν) fµ fψ ′ (ν) Yψ(ν) Yµ Yψ gν ′ (ν) g ′ ν Zν Her kan vi finde Xλ og Xλ ′ p˚a grund af definitionen af morfier mellem inverse systemer. Xλ ′′ eksisterer da Λ er opad filtrerende. Lemma 3.3 Hvis (gν, ψ) ∼ (g ′ ν , ψ′ ) og (fµ, ϕ) ∼ (f ′ µ , ϕ′ ), da er (gν, ψ)(fµ, ϕ) ∼ (g ′ ν, ψ ′ )(f ′ µ, ϕ ′ ) Bevis: Lemma 3.1 giver (gν, ψ)(fµ, ϕ) ∼ (gν, ψ)(f ′ µ , ϕ′ ). Lemma 3.2 giver (gν, ψ)(f ′ µ , ϕ′ ) ∼ (g ′ ν, ψ ′ )(f ′ µ, ϕ ′ ), og transitiviteten af ∼ giver (gν, ψ)(fµ, ϕ) ∼ (g ′ ν, ψ ′ )(f ′ µ, ϕ ′ ) som ønsket. 7
Page 1 and 2: Fundamentalgruppen af plane mængde
Page 3 and 4: 1 Indledning Dette speciale handler
Page 5: 3 Inverse systemer 3.1 Inv- og Pro-
Page 9 and 10: S˚a (jλ, j) definerer en morfi j
Page 11 and 12: kommuterer. Dette giver det ønsked
Page 13 and 14: P): For enhver familie af objekter
Page 15 and 16: 4 Peanokontinua 4.1 Separationsorde
Page 17 and 18: 1): x ∈ U1 og y ∈ Un. 2): x /
Page 19 and 20: Bevis: Antag at Y er et s˚adant ko
Page 21 and 22: Antag for modstrid at a ∈ A er et
Page 23 and 24: Bevis: Lemma 4.21 Lad X være et ha
Page 25 and 26: Lad α : S 1 → R 2 være en konti
Page 27 and 28: Bevis: Lad α : I → X være en l
Page 29 and 30: B((0,2),1) R I Pi Figur 1: ∆ ′
Page 31 and 32: B((0,2),1) R B((0,-2),1) I Pi Qi Fi
Page 33 and 34: ˆFi’erne til hele X ′ ved blot
Page 35 and 36: 6 Simpliciale komplekser m.m. 6.1 S
Page 37 and 38: Definition 6.6 Lad U være en ˚abe
Page 39 and 40: Bevis: Lad y ∈ |N(V)|, og pUV(y)
Page 41 and 42: Ovenst˚aende resultater gælder u
Page 43 and 44: [i ′ (V ′ 1 ∩ X), . . . , i
Page 45 and 46: 7 Konsekvenser af hovedsætningen D
Page 47 and 48: HPol∗-udvidelser. Vi skal nu se e
Page 49 and 50: være kilesummen af keglen over a1
Page 51: [12] Edwin H. Spanier. Algebraic To

Fundamentalgruppen af plane mængder - Københavns Universitet

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?