Fundamentalgruppen af plane mængder - Københavns Universitet

Vi skal for senere brug undersøge hvordan αj’erne løber i forhold til hvert ∆ ′ i.
p˚a to m˚ader. For det første kan den starte sit
En αj kurve kan befinde sig i ∆ ′ i
forløb i ∆ ′ i, for s˚a p˚a et tidspunkt at forlade ∆ ′ i ved at krydse γi. Disse forløb er
ikke interessante for os. Den anden m˚ade hvorp˚a αj kan befinde sig i ∆ ′ i , er ved
at krydse liniestykket [Ri, Ri+1]. Ved at antage generel position m˚a vi have at αj
forlader ∆ ′ i ved igen at krydse [Ri, Ri+1]. De stykker af αj der p˚a denne m˚ade
befinder sig i ∆ ′ i , danner alts˚a en slags halvcirkler.
Vi konstruerer nu nye enkelt lukket kurver som følger:
Forbind Pi med Pi+1 ved hjælp af γi.
Forbind Pi med Qi, og Pi+1 med Qi+1 ved hjælp af αi henholdsvis αi+1.
Forbind Qi med Qi+1 ved hjælp af en kurve ηi der ikke skærer sig selv, γi ,αi eller
αi+1 p˚anær i Qi og Qi+1, og som forløber helt indenfor B((0, −2), 1).
Disse kurver danner tilsammen en enkelt lukket kurve for hvert i ∈ Z+. Omr˚aderne
i planen der omkrandses af disse enkelt lukkede kurver, benævnes ∆i.
Vi konstruerer nu en sti ωi fra Ri til Ri+1 for hvert i ∈ Z+ der forløber helt
indenfor ∆i. ωi konstrueres som følger: Start i Ri og fortsæt ud af x-aksen mod
Ri+1. Lige inden den første halvcirkel stopper vi op. S˚adanne halvcirkler ligger i
et hul i X, og et hul er ˚abent. Vi kan derfor vælge en sti der løber parallelt med
halvcirklen s˚a:
1) Stien er helt indeholdt i det givne hul.
2) Stien er p˚anær i start- og ende-punkterne helt indeholdt i ∆i.
Fortsættes p˚a denne m˚ade med at rejse langs x-aksen og stier parallelle til de
yderste halvcirkler, f˚ar vi en sti ωi. Da Ri og Ri+1 tilhører hver sit hul, m˚a ωi
skærer X. Per konstruktion af ωi vil alle disse skæringspunkter ligge p˚a x-aksen.
Vælg for hvert i ∈ Z+ et punkt Si ∈ ∆i ∩ X ∩ [Ri, Ri+1]. Følgen (Sn) konvergerer
klart mod R. Da X er afsluttet, vil R ∈ X.
Vi p˚ast˚ar nu at X ikke er lokalt stisammenhængede i R. Betragt B(R, δ) ∩ X for
givet δ > 0. Da lim Sn = R, findes et i ∈ Z+ s˚a Si ∈ B(R, δ) ∩ X. En sti fra R
til Si m˚a krydse randen af ∆i. Hvis stien skal ligge i B(R, δ) ∩ X, kan den ikke
krydse αi eller αi+1 da disse er indeholdt i R 2 − X. Stien m˚a s˚a krydse enten γi
eller ηi. Nu var γi ⊆ B((0, 2), 1) og ηi ⊆ B((0, −2), 1), og R l˚a p˚a x-aksen. Hvis
δ < 1, er det derfor ikke muligt at finde en sti fra R til Si i B(R, δ) ∩ X. X er
alts˚a ikke lokalt stisammenhængende i R i strid med at X er et peanokontinuum.
Vi konkluderer at diam Hn → 0.
30