Fundamentalgruppen af plane mængder - Københavns Universitet

D.v.s. at U0, . . . , Un, U ′ 0, . . . , U ′ m udspænder et simplex. Vi f˚ar:
og
som ønsket.
p(x) ∈ [U0, . . . , Un] ⊆ [U0, . . . , Un, U ′ 0, . . . U ′ m]
p ′ (x) ∈ [U ′ 0 , . . . , U ′ m ] ⊆ [U0, . . . , Un, U ′ 0 , . . . U ′ m ]
Sætning 6.12 Lad U ′ og U ′′ være to normale overdækninger af et topologisk rum
X. Da findes en normal overdækning U af X der forfiner b˚ade U ′ og U ′′ .
Bevis:
For bevis se [5] App. 1, §3.1.
Dette viser at mængden af normale overdækninger af et topologisk rum er opad
filtrende under præordningen forfining. Vi kan derfor til ethvert topologisk rum
X knytte et inverst system over HPol, nemlig Č(X) = (|N(U)|, [pUU ′], Λ) , hvor
Λ er mængden af normale overdækninger af X og [−] indikerer homotopiklasse.
Vi minder om at HPol er kategorien med polyeder som objekter og homotopiklasser
af afbildninger som morfier. Betragter vi nu den entydige homotopiklasse
af kanoniske afbildninger [pU] : X → |N(U)|, f˚ar vi af sætning 6.8 at
p = ([pU]) : X → C(X) er en morfi i inv − HTop. Dermed bestemmer p ogs˚a en
morfi i pro − HTop. Vi har følgende resultat:
Sætning 6.13 Lad X være et topologisk rum, og lad p : X → Č(X) være morfien
i pro − HTop givet ved de kanoniske afbildninger. Da er p en HPol-udvidelse.
Bevis:
For bevis se [5] App. 1, §3.2.
Beviset er en verificering af at betingelserne i sætning 3.8 er opfyldt i dette
tilfælde.
P˚a grund af ovenst˚aende sætning vil vi kalde Č(X) for čech-udvidelsen af X.
40