Fundamentalgruppen af plane mængder - Københavns Universitet

Korollar 3.12 Inverse systemer over kategorierne Ab, Grp, Top og Cpt har en
invers grænse. Ab er kategorien med abelske grupper som objekter og homomorfier
som morfier, Grp er kategorien med grupper som objekter og homomorfier
som morfier, Top er kategorien med topologiske rum som objekter og kontinuerte
afbildninger som morfier, og Cpt er kategorien med kompakte hausdorff rum som
objekter og kontinuerte afbildninger som morfier.
Bevis:
For enhver familie af objekter i en af disse kategorier vil produktet igen være
et objekt i kategorien. Hvis f, g : X → Y er to morfier i en af disse kategorier,
da er {x ∈ X : f(x) = g(x)} = Eq(f, g). ({x ∈ X : f(x) = g(x)}, i) hvor i er
indlejringen i : {x ∈ X : f(x) = g(x)} ↩→ X, er s˚a udligneren for f og g.
Hvis f : X → Y er en morfi af inverse systemer i pro −C, da findes en entydig
morfi lim f : lim X → lim Y s˚afremt lim X og lim Y eksisterer s˚a
X
p
f
lim X lim f
Y
q
lim Y
kommuterer. Dette følger umiddelbart af definitionen af en invers grænse. P˚a
grund af entydigheden er det klart at lim idX = idlim X og lim fg = lim f lim g.
Vi har alts˚a at lim er en funktor fra pro −C til C n˚ar C er en kategori hvor alle
inverse systemer har en invers grænse. Heraf følger umiddelbart at en isomorfi
mellem to inverse systemer i pro −C inducerer en isomorfi mellem de to systemers
grænser.
14