Fundamentalgruppen af plane mængder - Københavns Universitet

Figur 3: Sierpinskitæppet
Sierpinskitæppet kan beskrives som følger: Start med et kvadrat S0, del det i
ni ligestore kvadrater, fjern det indre af det midterste kvadrat, og kald den resulterende
mængde for S1. Del derefter de 8 overlevende kvadrater i S1 i ni lige
store kvadrater, fjern det indre af de midterste kvadrater, og kald resultatet S2.
Fortsæt p˚a denne m˚ade. Sierpinskitæppet S er s˚a givet ved S = ∞
i=0 Si.
Et delvist udfyldt sierpinskitæppe S ′ f˚as udfra samme iteration med den forskel
at man eventuelt undlader at fjerne det indre af nogle af kvadraterne. Man f˚ar
s˚a en anden følge (S ′ n ) af delmængder af planen s˚adan at S′ = ∞ i=0 S′ i . Følgen
(S ′ n) kaldes en definerende følge for S ′ . Det er klart at sierpinskitæppet selv er et
delvist udfyldt sierpinskitæppe med definerende følge (Sn).
Bemærkning 5.14 Det er et resultat fra [6] at man kan styre processen i sætning
5.13 s˚adan at mængden X ′ bliver homeomorf med et delvist udfyldt sierpinskitæppe.
Beviset er dog meget besværligt, og vi vil ikke gennemg˚a beviset.
Sætning 5.15 Lad S være et delvist udfyldt sierpinskitæppe med definerende
følge (Sn). Da gælder der for en løkke α : I → S at α er nulhomotop i S netop
hvis α er nulhomtop i alle Sn’erne.
Dette er sætning 16 i [7]. Vi vil ikke vise denne sætning da den kræver et ret
omfangsrigt set-up.
Vi vil derfor blot henvise til [7] og [6].
34