Fundamentalgruppen af plane mængder - Københavns Universitet

Bevis:
Det er velkendt at
i Ki er kompakt. Vi skal s˚a blot vise at
i Ki er sammenhæn-
gende. Sæt K =
i Ki, og antag at der findes en separation af K = A ∪ B. X er
hausdorff, s˚a Ki’erne er afsluttede i X, dermed er K ogs˚a afsluttet i X. Da A og B
er afsluttede i K, er A og B afsluttede i X. Da X er normal, findes disjunkte ˚abne
mængder U og V i X s˚a A ⊆ U og B ⊆ V . Sæt Hi = Ki ∩ (X − (U ∪ V )), disse er
ikke tomme da Ki’erne er sammenhængende. Hi’erne er afsluttede da de er fællesmængden
af to afsluttede mængder. Da X er kompakt, er Hi’erne kompakte. Da
Ki’erne er totalt ordnet ved inklusion, er Hi’erne det ogs˚a. Hi’erne har dermed
endeligt snit egenskaben, s˚a H =
i Hi = ∅, men H ⊆ K og H ⊆ X − (U ∪ V ),
s˚a K ∩ X − (U ∪ V ) = ∅, i modstrid med at K = A ∪ B ⊆ U ∪ V . Vi konkluderer
at K er sammenhængende.
Sætning 4.10 Lad X være et T1 kontinuum med cardX > 1. Da har X mindst
to punkter der ikke er skæringspunkter for X.
Bevis:
Sæt A = {x ∈ X | x er ikke skæringspunkt for X}, og antag for modstrid at
cardA < 2. Vælg x0 ∈ X − A, og lad U ∪ V være en separation af X − x0.
Da cardA < 2, m˚a A ligge i enten U eller V , antag at det er V . Dermed m˚a
U jo best˚a af lutter skæringspunkter for X. Til ethvert x ∈ U findes alts˚a en
separation X −x = Ux ∪Vx. Vi kan gerne antage ved eventuelt at bytte om p˚a Ux
og Vx at x0 ∈ Vx for alle x ∈ U. Vi har at Vx er ˚aben i X −x. Da X er T1, er X −x
˚aben i X. Dermed er Vx ˚aben i X, s˚a Ux ∪ x = X − Vx er afsluttet i X. Dermed
er Ux ∪ x kompakt. Ydermere vil Ux ∪ x være sammenhængende (se beviset for
4.4). Da Ux ∪ x ⊆ X − x0 = U ∪ V og x ∈ U, har vi at Ux ∪ x ⊆ U, specielt
kan Ux ∪ x’erne ikke indeholde A. Hvis Ux’erne ordnes ved streng inklusion, giver
maksimalitetsprincippet (se [1] side 69) at vi kan finde en maksimal total ordnet
delmængde {Uxi }i∈I af Ux’erne. Vi p˚ast˚ar nu at
Uxi i∈I = i∈I (Uxi ∪ xi). Antag
nemlig at xj ∈ Uxi , da vil Vxi ∪ xi ⊆ X − xj = Uxj ∪ Vxj . Da x0 ∈ Vxj ∩ Vxi og
Vxi ∪xi er sammenhængende, m˚a Vxi ∪xi ⊆ Vxj . Heraf følger at Uxj ∪xj ⊆ Uxi , og
dette giver den ønskede lighed. Uxi ∪ xi’erne er kompakte, og de har endeligt snit
egenskaben, s˚a
Uxi i∈I = ∅. Lad p ∈ i∈I Uxi og betragt Up. Up = ∅, da p ∈ U
og Up ∪ Vp er derfor en separation af X − p. Ydermere m˚a som ovenfor gælde at
Up ⊆
i∈I Uxi . Lad nu q ∈ Up, da vil p /∈ Uq og Uq ⊂
Uxi i∈I , men dette strider
mod maksimaliteten. Vi slutter at cardA ≥ 2.
Sætning 4.11 Lad X være et T1 kontinuum, og lad A være mængden af ikke
skæringspunkter for X. Da findes intet kontinuum Y ⊂ X der indeholder A.
18