Formelsamling Matematik C

Formelsamling
Indhold
Matematik C
Eksempler på besvarelser, lin, eksp, pot, geo ..... 2
Tal, regneoperationer og ligninger ..................... 6
Ligninger ....................................................... 7
Geometri ....................................................... 9
Funktioner og modeller .................................. 12
Lineær funktion ............................................ 12
Procentregning ............................................. 13
Rentesregning og
Eksponentiel udvikling ................................... 16
Potenssammenhæng ..................................... 18
Ligefrem proportionalitet ................................ 19
Indekstal ..................................................... 19
Omvendt proportionalitet ............................... 19
Statistik ....................................................... 20
1

Et par eksempler på besvarelse af eksamensopgaver
Opgave 1.011 (HF-C vejledende opgaver)
Antallet af landbrug i Danmark kan for perioden 1983-2000 med god tilnærmelse
beskrives ved modellen
y = -2600x + 98680 ,
hvor y er antallet af landbrug, og x er antal år efter 1983.
a) Hvad fortæller tallene –2600 og 98680 om antallet af landbrug i perioden
1983-2000?
Ligningen y = -2600x + 98680 er af typen y = ax + b , altså en lineær funktion
Variable:
x = tid målt i år fra 1983
y = antallet af landbrug
Konstanter:
a = hældningskoefficienten =-2600
”Når x stiger med 1, ændres y med a” betyder i dette tilfælde:
”Hver gang der går et år falder antallet af landbrug med 2600”
b = begyndelsesværdi = 98680
b er y-værdien, når x=0, altså i året 1983:
I 1983 var der 98680 landbrug
b) Hvor mange landbrug vil der være i 2010, hvis denne udvikling fortsætter?
I 2010 er x = 2010-1983 = 27, og vi kan da beregne
y = -2600x + 98680 = -260027 + 98680 = 28480
Med uændret udvikling vil der være 28480 landbrug i 2010
c) Hvornår kommer antallet af landbrug under 40 000, hvis denne udvikling fortsætter?
Vi indsætter y = 40000 i ligningen
y = -2600x + 98680
40000 = -2600x + 98680 og denne ligning løses med ”solve” på lommeregneren:
x = 22,57. (år efter 1983). Dvs. 1983 + 22,57 = 2005,57
I 2006 kommer antallet af landbrug ned under 40000
2

Opgave 1.001 (HF-C vejledende opgaver)
En person køber et maleri til en værdi af 60 000 kr. Maleriets værdi vokser herefter med
12 % om året.
a) Bestem værdien af maleriet efter 5 år.
Da maleriets værdi hvert år stiger med samme procent, er der tale om eksponentiel
vækst.
Variable:
x = tid målt i år = 5
y = maleriets værdi (kr.)
Konstanter:
p = årlig vækstprocent = 12, heraf beregnes
p 12
a = årlig fremskrivningsfaktor, a 1 1 1, 12
100 100
b= begyndelsesværdi = 60 000 (kr.)
Sammenhæng mellem de variable:
x
y b a , heraf beregner vi efter de 5 år:
5
y 60000 1,12 105741
Maleriets værdi efter 5 år: 15741 kr.
Et andet maleri havde en værdi af 85 000 kr. Efter 11 år var værdien af dette maleri
vokset til 125 000 kr.
b) Bestem den gennemsnitlige årlige procentvise vækst i værdien af dette maleri.
Maleriets værdi på de to tidspunkter
y1 = 85000 (kr.)
y2 = 125000 (kr.)
n = 11 (år mellem de to værdier)
Beregning af gennemsnitlig fremskrivningsfaktor og procentisk vækst:
y
1
125000
1
n
11
2
gennemsnit
y 85000
1
a
1, 03568
p a 1 100 (1, 03568 1) 100 3, 568
gennemsnit gennemsnit
Den gennemsnitlige årlige vækst var altså 3,57%
3

Opgave 1.018 (HF-C vejledende opgaver)
Indiens befolkningstal i perioden 1961-2000 kan tilnærmelsesvis beskrives ved
modellen
y = 442 1,0217 x ,
hvor y er Indiens befolkningstal, målt i millioner, og x er antal år efter 1961.
a) Hvad fortæller tallene 442 og 1,0217 om befolkningstallet i Indien?
Ligningen y = 442 1,0217 x er af typen y = b a x , altså en eksponentiel udvikling
Variable:
x = tid målt i år efter 1961
y = Indiens befolkning (millioner)
Konstanter:
b = begyndelsesværdi = 442 (mio.) er Indiens befolkning ved x=0, dvs. i 1961
a = årlig fremskrivningsfaktor = 1,0217 er det tal, som befolkningen årligt ganges
med.
Heraf kan den årlige vækstprocent bestemmes:
p = (a – 1)100 = (1,0217 – 1)100 = 2,17
Dvs. Indiens befolkning steg årligt med 2,17% i årene 1961-2000
4

Opgave 1.026 (HF-C vejledende opgaver)
Sammenhængen mellem indtagelse af frugt og grønt gennem længere tid og det årlige
antal kræftdødsfald i Danmark kan beskrives ved modellen
y = 225 000x –0,5
hvor y angiver det årlige antal kræftdødsfald i Danmark, og x angiver det
gennemsnitlige daglige indtag af frugt og grønt i gram.
a) Hvor mange procent ville det årlige antal kræftdødsfald være mindre, hvis det
daglige indtag af frugt og grønt var 20 % større?
Ligningen y = 225 000x -0,5 er af typen y = bx a , dvs. en potenssammenhæng
Variable:
x = gennemsnitligt dagligt indtag af frugt og grønt (i gram)
y = antal årlig kræftdødsfald i Danmark
Konstanter:
a = eksponenten = -0,5
b = 225 000 (i princippet værdi af y , når x=1)
Ved 20% større indtag af frugt og grønt beregner vi med formler vedrørende
potenssammenhænge:
px = 20 (procentisk ændring i x)
p 20
x
F 1 1 1, 20 (fremskrivningsfaktor for x, dvs. hvad x ganges med)
x
100 100
F F (fremskrivningsfaktor for y)
a
0,5
( ) 1, 20 0, 91287
y x
P y =( F y – 1 ) 100 = (0,91287 – 1) 100 = -8,71291 (procentisk ændring i y)
Antallet af årlige kræfttilfælde ville altså efter modellen være 8,7% mindre, hvis
frugt- og grønt-indtaget var 20%større
Opgave 1.026 (HF-C vejledende opgaver)
Figuren viser en trekant ABC, hvor vinkel C er ret. Nogle af målene fremgår af
figuren.
a) Bestem |AC| .
Idet C = 90 og |AC| = b (overfor B) fås
( )
|AC| = b =
( )
, altså
( )
( )
b) Bestem arealet af trekanten.
( )
= 2,79596
( )
Ved hjælp af Pythagoras (C = 90) beregnes
a hyp b
2 2 2 2
5, 0 2, 79596 4,1452
Arealet af den retvinklede trekant er
½ højde grundlinje = ½ba = ½ 2,79596 4,1452 = 5,79
5
b
c=5,0
a

0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER
Tal, regneoperationer og ligninger
Regnearternes hierarki
t 4 3 2
4 3 4
412 16
Plus-parenteser kan hæves
(1) 5 + (x – 3) = 5 + x – 3 = x + 2
Minus-parenteser: fortegnsskift
(2) 8 – (3 + x) = 8 – 3 – x = 5 – x
(3) 7 – (x – 2) = 7 – x + 2 = 9 – x
Gange-parenteser kan hæves:
(4) 2(3x) = 23x = 6x
(5) (3x)2 = 3x2 = 32x = 6x
Gange ind i
(parenteser med + og –)
(6) 2(x+4) = 2x + 24 = 2x + 8
Samle led
(8) 5x – x = 4x
Ligninger
2
Beregningsrækkefølge:
1. potensopløftning
2. gange/division
3. plus/minus
En parentes udregnes for sig.
Vandrette brøkstreger skiller
som parenteser.
Plus-parenteser kan hæves
(1) a + (b – c) = a + b – c
Minus-parenteser: fortegnsskift
(2) a – (b + c) = a – b – c
(3) a – (b – c) = a – b + c
Gange-parenteser kan hæves:
(4) a(bc) = abc
(5) (ab)c = abc
Gange ind i
(parenteser med + og –)
(6) c(a+b) = ca + cb
(7) (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd
Samle led
(8) a + 2a = 3a
En ligning består af to formler med lighedstegn
imellem. Ofte er optræder en ubekendt, f. eks x.
Et tal der, indsat som x, får lighedstegnet til at
passe, kaldes en løsning.
I en ligning må man
1) lægge samme tal til på begge sider
2) trække samme tal fra på begge sider
3) gange med samme tal på begge sider, dog
ikke med 0
4) dividere med samme tal på begge sider, dog
ikke med 0
6

Ligninger. Mønstre for anvendelse af regler om at ”lægge samme tal til…” m.v.
G
Gange
P
Plus
M1
Minus
M2
Minus
M3
Minus
MG
Minus og
Gange
Po1
Potens
Eksempel Type Løsning
Eksempler på andre potensligninger:
Po1b
Potens
Po2
Potens
√
√
( )
( )
7
√
Hvis c og x er positive
√
Hvis a og c er positive
( )
( )

BB1
Brøk=Brøk
BB2
Brøk=Brøk
B1
Brøk
B2
Brøk
(alternativ)
8
(alternativ)

Begreber i klassisk geometri + formelsamling
I matematikundervisningen forudsætter vi følgende begreber og sætninger i plangeometrien
(Frit efter Euklid ca. 300 f. kr.).
Tilføj selv forklaringer og kommentarer
1. Punkt
2. Linje (også kaldet ret linje),
halvlinje,
linjestykke
3. Cirkel,
centrum, radius
4. Vinkel
5. Topvinkler er lige store
6. Ret vinkel (90 = 1
2 radianer)
Vinkel på 180 = radianer
Vinkel på 360 = 2 radianer
7. Parallelle linjer
8. Ensliggende vinkler ved linje, der
skærer parallelle linjer
9. En trekants vinkelsum er 180
A + B + C = 180
- og beviset
10. Sætningen om
ensvinklede trekanter
11. (Krum) kurve
C
A B
c
b
a
9
180 = 3,14.. rad.
B A
C
C
A B
c1
b1
a1

Ensvinklede trekanter
Vilkårlig trekant
Spids vinkel:
a1
g
Retvinklet trekant
hyp
b
h
C
a
b
mellem 0° og 90°
b
b1
c
a
c1
A
a
C
B
c
b
Stump vinkel:
a
mellem 90° og 180°
To trekanter, ABC og A1B1C1 kaldes ensvinklede hvis
vinklerne opfylder A=A1 , B=B1 og C=C1
For sidelængderne i to ensliggende trekanter gælder:
a1 b1 c1
a b c
10
k
Eller: Der findes et fælles tal, k, sådan at
a ∙ k = a1
b ∙ k = b1
c ∙ k = c1
k kaldes forstørrelsesfaktor, skalafaktor,
målestoksforhold.
Trekantens areal T:
T = 0.5 ∙ g ∙ h = 0.5 ∙ a ∙ b ∙ sin(C)
Vinkelsummen: A + B + C = 180°
(hvoraf f. eks. A = 180° – B – C )
Sinusrelation
side:
b sin( A)
a
sin( B)
sin( A) sin( B) sin( C)
a b c
vinkelberegning:
1
asin( B)
A sin ( A spids vinkel)
b
eller
a sin( B)
1
A 180 sin ( A stump vinkel)
b
sin -1 (lommeregner) arcsin, asin (eller lign. på PC)
cos -1 (lommeregner) arccos, acos (eller lign. på PC)
Cosinusrelation
Side-beregning:
2 2 2
c a b 2 a b cos( C)
2 2
c a b 2 a b cos( C)
Vinkel-beregning:
C cos
1
I en retvinklet trekant ( 90° vinkel ) gælder
Pythagoras:
Omformning af a 2 + b 2 = hyp 2
2 2
2 2
hyp a b
b hyp a
2 2 2
a b c
2 a b

Retvinklet trekant (fortsat)
Sinus, cosinus, tangens i retvinklet trekant:
I en retvinklet trekant gælder for en spids vinkel, v:
sinv
cos v
tan v
Højde, median og vinkelhalveringslinje i vilkårlig trekant
Firkanter
Cirkel
hyp
v
Hosliggende
katete til v
C
r
Modstående
katete til v
Kvadrat
C : Centrum
r : radius
Andre størrelser:
Diameter = 2∙r
Areal =
Omkreds = 2
Rektangel
11
modstående katete til v
hypotenuse
hosliggende katete til v
hypotenuse
modstående katete til v
hosliggende katete til v
En ”model” i geometri er en tegning med navne og evt.
mål på indgående punkter, linjestykker, vinkler o.s.v.
Areal = Længde ∙ Bredde
Parallelogram
Trapez

Oversigt/formelsamling om lineære sammenhænge
Funktioner og modeller
Funktion
Model
Koordinatsystem
Lineær funktion, y = a∙x + b
Betydning i lineær model
af konstanterne a og b:
y
b
1
a
x
En funktion er en sammenhæng mellem variable,
hvor et input giver et output.
Kan vises med ”sildeben” og graf.
En ”model” kan bestå af nogle variable og en
funktion der sammenknytter dem.
Eks.
x : længde af taxatur i km (uafhængig variabel)
y : pris i kroner for taxaturen (afhængig variabel)
Sammenhæng: y = 14 x + 30
y = a∙x + b
a
12
y2y1 x2x1 Omformning af y = a∙x + b :
( y b)
x
a
Konstanternes navne ved lineære funktioner:
a : hældningskoefficienten, stigningstallet
b : y-akse-skæringen
Konstanternes betydning
(ved lineære funktioner):
Når x=0 , er y=b
Når x stiger med 1, vil y ændres med a
Vækstegenskab:
Funktionen er voksende, når a er positiv
Funktionen er aftagende, når a er negativ
y_ændring = a ∙ x_ændring
(samme som:)
b = y– a∙x
y2 - y1 = a · (x2 - x1)
( y b)
a
x

Formler og eksempler med procent
1. ”En del af det hele” (statisk)
2. ”Sammenligning eller ændring”
10
8
6
4
2
0
Før
(y1)
Efter
(y2)
2a. Beregning fremad:
p
y2 y1Fhvor F 1 100
d
Ændring
h
p = procenttal
d = ”delen”
h = det ”hele”
p d
100 h
(”strikkepind”)
p = ændring i
procent
y1 = startværdi
y2 = slutværdi
F = fremskrivnings-
faktor
Spm 1a.: Anders’ ”disponible” indkomst udgør 15% af
hele indkomsten på 20 000 kr. Beregn den disponible
indkomst.
Svar:
p = procenttal = 15
d = ”delen” ?
h = det ”hele” = 20000
p d 15 d
giver
100 h 100 20000
15 20000
hvoraf d 3000
100
Anders’ disponible indkomst er 3000 kr.
13
Spm 1b: På hele matematikholdet er der 25 kursister. 8 af
dem er drenge. Hvor mange procent udgør drengene?
Svar:
p = procenttal ?
d = ”delen” = 8
h = det ”hele” = 25
p d p 8
giver
100 h 100 25
8100 hvoraf p 32
25
Konklusion: Drengene udgør 32% af holdet
Spm. 2a: Kiloprisen på sukker var 8 kroner. Så steg
prisen med 10%. Hvad var den nye pris?
Svar:
p = ændring i procent = 10
y1 = startværdi = 8
y2 = slutværdi ?
F = fremskrivningsfaktor
p 10
F 1 1 1,10
100 100
y2 y1F81,108,80 Konklusion: Den nye pris var 8,80 kr.

2b. Beregning af ændringsprocent:
y
p ( F 1) 100 hvor F
y
2
1
14
Spm. 2b.: Benzinprisen steg fra 10,00 kroner til 10,50.
Hvor mange procent steg prisen?
Svar:
p = ændring i procent ?
y1 = startværdi = 10,00
y2 = slutværdi = 10,50
F = fremskrivningsfaktor
F
y
y
2
1
10,50
1,05
10,00
p( F1)
100 (1,05 1) 100 5
Konklusion: Benzinprisen steg 5%.
Procentisk Fald (størrelse som aftager)
Begrebet ”ændring” dækker både stigning og fald. I eksempel 2a og 2b ovenfor regnede vi på stigninger.
Formlerne er de samme ved fald. Blot regnes ændringsprocenten, p, som et negativt tal
100
80
60
40
20
0
Ændring
Før
(y1)
Efter
(y2)
Ændring
Før
(y1)
Efter
(y2)
Spm. 2c: Der var 80 medlemmer. Så faldt medlemstallet med 25%. Hvor mange
var der så?
Svar:
p = ændring i procent = -25
y1 = startværdi = 80
y2 = slutværdi ?
F = fremskrivningsfaktor
p 25
25
F 1 1 1 0,75
100 100 100
y
2 y1F800,7560 Konklusion: Det nye medlemstal var 60.
Spm. 2d.: Pandabestanden i et område faldt fra 200 til 140.
Hvor mange procent faldt antallet af pandaer?
Svar:
p = ændring i procent ?
y1 = startværdi = 200
y2 = slutværdi = 140
F = fremskrivningsfaktor
F
y
y
2
1
140
200
0,70
p( F1)
100 (0,70 1) 100 30
Konklusion: Antallet af pandaer faldt med 30%.

Procentisk ændring –
alt i én formel:
10
8
6
4
2
0
Ændring
Før
(y1)
Efter
(y2)
2 1 1 p
y y
100
Spm. 2a (igen): Kiloprisen på sukker var 8 kroner. Så steg prisen med
10%. Hvad var den nye pris?
Svar:
p = ændring i procent = 10
y1 = startværdi = 8.00
y2 = slutværdi ?
p 10
y2 y118,001 8,80
100 100
Konklusion: Den nye pris var 8,80 kr.
------------------------------------------------------------------------------------------
Spm. 2d. (igen): Pandabestanden i et område faldt fra 200 til 140.
Hvor mange procent faldt antallet af pandaer?
Svar:
p = ændring i procent ?
y1 = startværdi = 200
y2 = slutværdi = 140
p
y11y2 p isoleres:
100
y 2 140
p 1100 110030 y1
200
Konklusion: Antallet af pandaer faldt med 30%.
15

Eksponentiel vækst y = b ∙ a x
Foruden ved ”gentagne ændringer” bruges formlen for eksponentiel vækst, y = b∙a x i situationer med
jævne, kontinuerlige stigninger, hvor der er lige stor procentisk vækst i hver tidsenhed (f. eks. en årlig
stigning på 4%). Her antager x ikke bare hele tal som værdier: 0, 1, 2, 3, … men også decimaltal: 0.7 eller
3.25 o.s.v.
Man kan f. eks. spørge: Hvor stor er vægten af bakteriekolonien efter 2.7 dage?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
(x1 ,y1)
(x2 ,y2)
Betydning i eksponentiel model af a og b
16
y = b ∙ a x , a og b positive, hvor (ofte)
1
y
2
( x2 x1)
x 2
a eller 2x y
a 1
1
y1
- - -
x tid
y (slut)værdi
b begyndelsesværdi
p procenttilvækst pr. x-enhed
Fremskrivningfaktor pr. x-enhed:
a
y
Omformning af y = b ∙ a x :
Når x=0 , er y=b
Når x stiger med 1, vil y ganges med a
(dvs. y ændres p procent,
hvor p=(a-1)100 )
y-ændring over flere x-enheder:
Fremskrivningsfaktor for y, når x forøges
fra x1 til x2
p
1
100
y h
y1
y b
log
x
log( a )
y
b
x
2 F a hvor h x x
2 1
Procentændring for hele perioden py=(F – 1 )∙100
Vækstegenskab
Funktionen er voksende, når a > 1
y
a b a
Af a beregnes vækstprocent pr tidsenhed:
p = (a-1)100
- og så har den en fordoblingskonstant
Funktionen er aftagende, når 0 < a < 1
- og så har den en halveringskonstant
----------------------------------------------
1
x

Fordoblingskonstant
Halveringskonstant
Gennemsnitlig vækstprocent ved uregelmæssig
vækst
Logaritmefunktionen
Potensligninger
2y
y
y
½ y
x1 x2
x1 x2
17
y fordobles, når x forøges med
fordoblingskonstanten (T eller T2)
T2 = x2 − x1 (Hvis x-værdier kan aflæses på graf,
se til venstre)
y halveres, når x forøges med
halveringskonstanten (T eller T½)
T x x (Hvis x-værdier kan aflæses på graf,
1
2
Omformninger
T
2 1
se til venstre)
Gennemsnitlig vækstprocent
Hvis størrelsen y på uregelmæssig måde er vokset
fra y1 til y2 fra år x1 til år x2, sammenligner vi
med den stabile eksponentielle vækst, der ville
starte og slutte i de samme to punkter:
pgennemsnit =(a- 1)∙100, hvor (
( ) f.eks.
log(1000) = 3 , da
1
( )
( )
T
a
2
2 2
T
a eller T T
Omformninger
T
1
T
a
1
2
√
log(2)
2 log( a)
0.5 0.5
T
a eller T T
)
log(0.5)
½ log( a)

Potens-sammenhæng (potensudvikling), y = b ∙ x a
Betydning i potensudviklingsmodel af a og b
Vækstegenskab
1. Definition af potens-sammenhæng:
y = b ∙ x a , b positiv , x positiv
Omformning af y = b ∙ x a :
1 a
x
b
2. Bestemmelse af a ud fra to punkter
(x1, y1) og (x2, y2)
18
y b
y2 log
y
1
logy2logy1 x2 log
x
1
log x2log x1
a ( eller a
)
3 Konstanten b
Når x=1 , er y=b
(om a, se nedenfor , Fx og Fy)
4. Fremskrivningsfaktorer og vækstprocenter
Når x ganges med Fx , ganges y med Fy og
Fy = (Fx) a
Hvor x1∙Fx = x2 og y1∙Fy = y2
Når x ændres med px ,procent ændres y
med py procent, hvor:
(Kombination af disse tre formler):
Funktionen er voksende, når a > 0
Funktionen er aftagende, når a < 0
y
a
x log
y
b
a
log( x )
px
F x 1 Fy = (Fx)
100
a py = (Fy – 1) 100
p
y
a
p
x
1 1100 100

Proportionalitet, indextal, omvendt proportionalitet
Ligefrem proportionalitet, y = a∙x
(eller: proportionalitet)
x x1 x2
y y1 y2
Indekstal
(Basisår)
Størrelse y1 y2
Index 100 i
Omvendt proportionalitet, 1
y b x
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-0.5
f
(x 1 , y 1 )
(x 2 , y 2 )
( Ligefrem) proportionalitet
19
y = a ∙ x eller y = k ∙ x
Grafen er en ret linje gennem (0,0)
Formlerne for lineær funktion, y=a∙x + b kan
bruges, idet man sætter b=0, dvs.
Desuden gælder for to graf- eller tabelpunkter
(x1, y1) og (x2, y2) (Idet a=a)
y1 y2
(”strikkepind”)
x x
1 2
Indekstal er proportionale med ”størrelserne”
Af
Omformning af y = a∙x :
y1 y2
fås f. eks.
100 i
y2
100
i
y
(”strikkepind”)
Indekstal respekterer de procentiske ændringer, der
er i de oprindelige tal.
Omvendt proportionalitet
k
y
x
y
x
a
b
eller y
x
Grafen er en hyperbel.
eller 1
y b x eller
1
y b x
Formlerne for potens-sammenhæng y b x
kan
bruges (se side 7), idet man sætter a=-1.
Man kan omforme til:
Desuden gælder for to graf- eller tabelpunkter
(x1, y1) og (x2, y2) (Idet b=b)
x1 y1 x2 y2
y
a
x
Omformning af 1
y b x :
b
x
y
b x y
a
1

STATISTIK, GRUPPERET OBSERVATIONSSÆT
Her er observationerne (tallene) grupperet i intervaller
Hyppigheden fortæller hvor mange observationer der er i hvert interval.
Frekvensen udregnes ved at dividere hyppigheden med antal observationer i alt.
hyppighed
Frekvensen = 100 %
antal observationer
ialt
Frekvensen fortæller hvor mange procent af observationerne der er i hvert interval.
Middelværdien
kan ofte udregnes ved at lægge alle obeservationstallene sammen og dividere med antallet.
eller
kan udregnes (tilnærmet) ved at tage midtpunktet af hvert interval og gange det med
frekvensen, og så lægge alle disse resultater sammen.
Middelværdien = summen af (intervalmidtpunkt . frekvens)
Middelværdien kaldes også gennemsnittet.
Histogrammet tegnes i et koordinatsystem hvor intervalendepunkterne afsættes på x-aksen
og hyppigheden eller frekvensen afsættes på y-aksen. Over hvert interval tegnes et rektangel
som har intervallets bredde og hvor højden er hyppigheden eller frekvensen.
Den kumulerede frekvens udregnes i intervalendepunkterne ved at lægge frekvenserne
sammen nedefra.
Den kumulerede frekvens fortæller hvor mange procent af observationerne der er mindre
end eller lig med et bestemt tal.
Sumkurven tegnes i et koordinatsystem med intervalendepunkterne på x-aksen og de
kumulerede frekvenser på y-aksen. Punkterne fra tabellen over kumuleret frekvens afsættes
i koordinatsystemet og de forbindes med rette linjestykker. Til sidst tegnes vandrette
halvlinjer ud fra første og sidste støttepunkt.
Kvartilerne aflæses som x-værdier på sumkurven ud fra 25%, 50% og 75% på y-aksen.
Medianen er den kvartil der aflæses ud fra 50%, og den angiver det tal der deler
observationerne så halvdelen er under medianen og halvdelen er over medianen.
Boxplottet Kassetingen med håndtag tegnes ved at lave et vandret linjestykke som starter i
det mindste intervalendepunkt og slutter i det største. På linjestykket afsættes de tre
kvartiler, og der tegnes et rektangel med tilfældig højde over hvert par af kvartilerne.
20