ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>ØVEHÆFTE</strong><br />
<strong>FOR</strong> <strong>MATEMATIK</strong> C<br />
<strong>FOR</strong>MLER <strong>OG</strong> <strong>LIGNINGER</strong><br />
INDHOLDS<strong>FOR</strong>TEGNELSE<br />
0. <strong>FOR</strong>MELSAMLING TIL <strong>FOR</strong>MLER <strong>OG</strong> <strong>LIGNINGER</strong> ................................................................... 2<br />
Tal, regneoperationer og ligninger ................................................................................................... 2<br />
Isolere en ubekendt .......................................................................................................................... 3<br />
Hvis x står i første brilleglas ........................................................................................................... 3<br />
Når den ubekendte står i 2. brilleglas ............................................................................................... 4<br />
Videregående regler om ligninger .................................................................................................... 5<br />
Løse ligning på lommeregner Casio fx-991ES ................................................................................ 6<br />
1 EKSEMPLER PÅ EKSAMENSOPGAVER .................................................................................... 7<br />
2 GRUNDLÆGGENDE FÆRDIGHEDER ............................................................................................ 8<br />
2 a. Beregningsrækkefølge. ............................................................................................................. 8<br />
2 b. Indsætte tal i formel (og udregne med lommeregner) ...............................................................13<br />
2 c. Angive de variable ud fra sproglig tekst ..................................................................................14<br />
2 d. Løse ligninger med lommeregnerens ”solve” (brugsanvisning side 5)......................................16<br />
2 e. Ligninger (løs i hånden og med mellemregninger. Se mønstre side 3) ....................................18<br />
2 f. Indsæt variables værdi og løs ligning .......................................................................................22<br />
3 FLERE EKSAMENSOPGAVER – (fra årene 2006 og 2007) ..........................................................24<br />
4 "STJERNEOPGAVER" TIL <strong>LIGNINGER</strong>. .......................................................................................26<br />
Opdeling (briller) sum af produkter uden parenteser .......................................................................29<br />
Opdeling (briller) af udtryk med parenteser: ...................................................................................29<br />
Ligninger med x først. ....................................................................................................................30<br />
TEORI ....................................................................................................................................................33<br />
Algebraisk hierarki - og briller ........................................................................................................33<br />
Indtastning i kommandolinje eller indtastningslinje.........................................................................33<br />
Brøkligninger .................................................................................................................................35
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 2 af 35<br />
0. <strong>FOR</strong>MELSAMLING TIL <strong>FOR</strong>MLER <strong>OG</strong> <strong>LIGNINGER</strong><br />
Tal, regneoperationer og ligninger<br />
Regnearternes hierarki<br />
t 4 3 2<br />
4 3 4<br />
412 16<br />
Plus-parenteser kan hæves<br />
(1) 5 + (x – 3) = 5 + x – 3 = x + 2<br />
Minus-parenteser: fortegnsskift<br />
(2) 8 – (3 + x) = 8 – 3 – x = 5 – x<br />
(3) 7 – (x – 2) = 7 – x + 2 = 9 – x<br />
Gange-parenteser kan hæves:<br />
(4) 2(3x) = 23x = 6x<br />
(5) (3x)2 = 3x2 = 32x = 6x<br />
Gange ind i<br />
(parenteser med + og –)<br />
(6) 2(x+4) = 2x + 24 = 2x + 8<br />
Samle led<br />
(7) 5x – x = 4x<br />
Kvadratsætninger<br />
(8.1) (3+x) 2 = 3 2 + x 2 + 2∙3∙x<br />
(8.2) (x–5) 2 = x 2 + 5 2 – 2∙x∙5<br />
Ligninger<br />
2<br />
Beregningsrækkefølge:<br />
1. potensopløftning<br />
2. gange/division<br />
3. plus/minus<br />
En parentes ændrer på hierarkiet<br />
Plus-parenteser kan hæves<br />
(1) a + (b – c) = a + b – c<br />
Minus-parenteser: fortegnsskift<br />
(2) a – (b + c) = a – b – c<br />
(3) a – (b – c) = a – b + c<br />
Gange-parenteser kan hæves:<br />
(4) a(bc) = abc<br />
(5) (ab)c = abc<br />
Gange ind i<br />
(parenteser med + og –)<br />
(6) c(a+b) = ca + cb<br />
Samle led<br />
(7) a + 2a = 3a<br />
Kvadratsætninger<br />
(8.1) (a+b) 2 = a 2 + b 2 + 2∙a∙b<br />
(8.2) (a–b) 2 = a 2 + b 2 – 2∙a∙b<br />
En ligning består af to formler med lighedstegn<br />
imellem. Ofte er optræder en ubekendt, f. eks x.<br />
Et tal der, indsat som x, får lighedstegnet til at<br />
passe, kaldes en løsning.<br />
I en ligning må man<br />
1) lægge samme tal til på begge sider<br />
2) trække samme tal fra på begge sider<br />
3) gange med samme tal på begge sider, dog<br />
ikke med 0<br />
4) dividere med samme tal på begge sider, dog<br />
ikke med 0
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 3 af 35<br />
Isolere en ubekendt<br />
(nedenfor betegnes den ubekendte som x, men enhver variabel kan naturligvis isoleres tilsvarende).<br />
Der beskrives en ”sikker vej” til at kunne isolere x , når den kun optræder 1 gang i en ligning<br />
indeholdende tal ,bogstaver, regneoperationer + - * / (og senere potensopløftning ^ ) , samt eventuelt<br />
parenteser. Nedenstående beviser , at den slags ligninger ”altid” kan løses. (Undtagelse: hvis proceduren giver<br />
division med 0).<br />
Grundlaget for hvert skridt er, at den side af ligningen, der indeholder x, ”opdeles med briller” (også hvis<br />
der kun er et enkelt tal/bogstav ved siden af x)<br />
Fremgangsmåden afhænger nu af om x står i første eller andet brilleglas og af hvilken regneoperation, der<br />
sammenknytter de to brilleglas. Oftest bruges den modsatte regningsart.<br />
( )<br />
( )<br />
Hvis x står i første brilleglas<br />
(til venstre, eller i en brøk: for oven)<br />
Når der står (x)+(b) nedenfor betyder (x) et udtryk (brilleglas), der indeholder den ubekendte, x.<br />
(a) , (b) og (c) står for andre udtryk, der ikke indeholder x.<br />
m ’<br />
p ’<br />
d ’<br />
g ’<br />
+ =<br />
Taleksempel Mønster -<br />
+ - ∙ eller /<br />
( ) ( ) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
Kommentar<br />
Når man trækker (b) fra på begge sider,<br />
flyttes ( ) over som<br />
…. ( )<br />
Når man lægger (b) til på begge sider,<br />
flyttes ( ) over som<br />
…. ( )<br />
(Kan kun bruges, når (a) ikke er 0)<br />
Når man dividerer med (a) på begge<br />
sider, flyttes ( ) over som<br />
( )<br />
Når man ganger med (a) på begge sider,<br />
flyttes<br />
( )<br />
( )<br />
over som
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 4 af 35<br />
Bemærk, vi siger ikke ”(b) flyttes over på den anden side af lighedstegnet og ændrer fortegn”.<br />
I de to sidste tilfælde ovenfor, d ’ og g ’ hvor (a) flyttes over, ændres der ikke fortegn fra plus til<br />
minus .<br />
Man bruger derimod den modsatte regningsart, og det man flytter skal stå sidst, for at man kan sige<br />
( ) flyttes over som …. ( ) (eller omvendt)<br />
( ) flyttes over som<br />
( )<br />
(eller omvendt)<br />
Når den ubekendte står i 2. brilleglas<br />
(til højre eller forneden i en brøk)<br />
Kort fortalt: Ved PLUS og GANGE kan man bare bytte om, så den ubekendte rykker frem i første<br />
brilleglas.<br />
Ved MINUS og DIVISION bruges den omvendte regningsart, nøjagtig som ovenfor. Den ubekendte<br />
kommer så over på den modsatte side af lighedstegnet, hvor man er i en bedre situation til at komme videre.<br />
For nu står der PLUS i stedet for MINUS, eller der står GANGE i stedet for DIVIDERE, og så kan man bare<br />
bytte om. Her skrives det ud i detaljer:<br />
o ’<br />
o ’<br />
p ’<br />
g ’<br />
Taleksempel Mønster<br />
+ - ∙ eller /<br />
( ) ( ) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
Der kan ombyttes ved PLUS, så den<br />
ubekendte kommer i første brilleglas.<br />
(idet a+b=b+a )<br />
Derefter minusoperationen m ’<br />
ovenfor, og (x) er alene<br />
Der kan ombyttes ved GANGE, så den<br />
ubekendte kommer i første brilleglas.<br />
(idet a∙b=b∙a )<br />
Derefter divisionen d ’ ovenfor.<br />
Efter plus-operationen bruges den netop<br />
omtalte ombytning o ’ . Når (x) er<br />
kommet forrest på højre side, bruges<br />
minus-operationen m ’ , og (x) er alene.<br />
Efter gange-operationen bruges den<br />
netop omtalte ombytning o ’ Når (x) er<br />
kommet forrest på højre side, bruges<br />
divisions-operationen d ’ , og (x) er<br />
I hvert skridt af løsningen af en kompliceret ligning, ser man hvilken side af lighedstegnet, der indeholder x.<br />
Udtrykket på den side af ligningen opdeles med briller. Er x i første brilleglas, bruges det første skema,<br />
ellers bruges skemaet lige ovenfor, og omformnings-trinnet vælges efter om den adskillende regneoperation<br />
er plus, minus, gange eller dividere. På den måde er der 4+4 = 8 valgsituationer. Når ligningen er<br />
omformet, er man i en ny situation, igen med 8 mulige udgangspunkter for at vælge blandt de 5 handlinger<br />
(m ’ , p ’ , d ’ , g ’ og o’ ). Til sidst står x alene på den ene side af lighedstegnet.<br />
alene.
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 5 af 35<br />
Ovenstående procedure kræver ingen omformning af regneudtryk ud over ombytningerne a+x=x+a og<br />
a∙x=x∙a. Men formlerne ”adskilles” og delene samles på ny måde.<br />
Ved praktisk ligningsløsning kan man ofte spare nogle skridt ved at bruge omskrivninger. Når man regner<br />
med papir og blyant, vil man tit undlade at skrive ”ombytningen”, men blot have den i hovedet. Ellers skal<br />
hver mellemregning skrives, for at dokumentere, at man kender de enkelte principper.<br />
Videregående regler om ligninger<br />
f ’<br />
r ’<br />
l ’<br />
fu ’<br />
fu ’<br />
fu ’<br />
fu ’<br />
fu ’<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
eller<br />
√<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
( ) ( )<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
( ) ( ) ( ) √( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
(( )) ( )<br />
( )<br />
(( )) ( )<br />
( )<br />
( )<br />
(( )) ( )<br />
( ) (( ))<br />
(( )) ( )<br />
( ) (( ))<br />
eller<br />
( ) (( ))<br />
(( )) ( )<br />
( ) (( ))<br />
Når man ganger med (-1) på begge<br />
sider, ændres fortegn.<br />
Bruges ved potensopløftning, når (x)<br />
står i første brilleglas.<br />
Kan bruges når (x) og (c) vides<br />
positive, ellers ikke altid. F.eks.<br />
har ingen løsning.<br />
har -3 og 3 som løsning.<br />
Bruges ved potensopløftning, når x<br />
står i sidste brilleglas.<br />
Kan kun bruges når (a) og (c) vides<br />
positive.<br />
(c) kan være positiv, 0 eller negativ.<br />
(x) bliver et positivt tal.<br />
(c) kan være positiv, 0 eller negativ.<br />
(x) bliver et positivt tal.<br />
Kan kun bruges når (c) vides<br />
positiv.<br />
Kan bruges når (x) vides at ligge<br />
mellem 0 og 180°<br />
Ellers er der flere eller andre<br />
løsninger.<br />
Kan bruges når (x) vides at ligge<br />
mellem 0 og 180°<br />
Ellers er der flere eller andre<br />
løsninger.
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 6 af 35<br />
Løse ligning på lommeregner Casio fx-991ES<br />
Man sætter ligningsløsningen i gang ved først at<br />
taste og ser (MYSTISK?)<br />
Tallet 112 er ikke løsningen, men en tilfældig<br />
gammel x-værdi (I vil se andre tal, når I prøver).<br />
Man skal indtaste et start-gæt.<br />
Tast f. eks. tallet 1<br />
… og tryk på det<br />
lighedstegn, der er<br />
nederst til højre på<br />
lommeregneren<br />
For at løse ligningen 2 x = 8 på lommeregneren<br />
Casio fx-991ES indtastes følgende:<br />
2X=8, X<br />
Man bruger disse taster:<br />
X<br />
=<br />
,<br />
Her ses løsningen : x=4<br />
(Det nederste L-R betyder venstre side minus højre side, som<br />
giver 0, når løsningen x=4 er indsat i ligningen)
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 7 af 35<br />
1 EKSEMPLER PÅ EKSAMENSOPGAVER<br />
Regn ikke, men læs opgaverne, og bevar derefter spørgsmålene på næste side<br />
Opg. 101<br />
Opg. 102<br />
Opg. 104 Udviklingen i antallet af elever, der har valgt 9. klasse på efterskole i perioden 2000-<br />
2003, kan tilnærmelsesvis beskrives ved modellen<br />
y = 6410∙1,06 x<br />
hvor y er antal elever i 9. klasse på efterskole, og x er antal år efter 2000.<br />
b) Hvor mange elever var der i 9. klasse på efterskole i 2004 ifølge modellen?
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 8 af 35<br />
Opg. 104<br />
Opg. 105 Spørgsmål til ovenstående 4 opgaver:<br />
Hvilke af nedenstående færdigheder ser det ud til at man skal kunne beherske for at regne og besvare de fire<br />
opgaver (sæt v ) :<br />
a. Indsætte tal i formel<br />
b. Indtaste formel (med tal, parenteser og regneoperationer) i lommeregner og udregne.<br />
c. Se hvilken side, der er hypotenuse i en retvinklet trekant.<br />
d. Løse ligninger med 1 ubekendt med lommeregnerens ”solve”.<br />
e. Løse ligninger med 1 ubekendt med ligningsregler, papir og blyant.<br />
f. Gange ind i en parentes.<br />
g. Se ud fra en sproglig tekst, hvilke variable der indgår.<br />
h. Bestemme rentefod ud fra startkapital, slutkapital og antal år.<br />
i. Gennemskue formlernes betydning, herunder vide at ”gange” skal udføres før ”plus” ved<br />
beregning af en formels værdi.<br />
2 GRUNDLÆGGENDE FÆRDIGHEDER<br />
2 a. Beregningsrækkefølge.<br />
Fra Karsten Juul ”Bogstavregning”<br />
Op. 201 (Trinvis udregning)<br />
Vis ved trinvis udregning rækkefølgen af udregninger i nedenstående<br />
a) Eventuelle parenteser udregnes først<br />
b) Gange/dividere udføres før plus/minus (omskrives tydeligst med vandret brøkstreg).<br />
c) Flere gange/dividere-operationer udføres fra venstre mod højre<br />
d) Flere plus/minus-operationer udføres fra venstre mod højre<br />
(1) 2 4 + 3 5 (4) 4 − 1+ 3 2<br />
= 8 + 15<br />
= 23<br />
(2) 2 (4 + 3) 5 (5) 4 − (1+ 3) 2
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 9 af 35<br />
= 2 7 5<br />
= 14 5<br />
= 70<br />
(3) 2 (4 + 3 5) (6) (4 −1+ 3) 2<br />
Op. 202 (Trinvis udregning)<br />
(som ovenfor)<br />
(1) 8 − (−2 + 4) (4) 2 (6 − 4) (7) 3 (2 5)<br />
(2) 8 + (2 − 4) (5) 2 6 − 2 4 (8) 3 2 5<br />
(3) 8 + 2 − 4 (6) 2 6 − 4 (9) (3 2) 5<br />
Fra ”Gyldendals Gymnasiematematik, Arbejdsbog B1”<br />
Udregn med trinvise mellemregninger (gerne i hovedet, ellers 10-kr. lommeregner)<br />
Opg. 203
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 10 af 35<br />
Opg. 204 Omskriv med vandret brøkstreg og udregn, med trinvise omskrivninger/mellemregninger:<br />
a) 9 + 6 / 3 b) 9 – 8 / 2 c) 18 / 6 – 7<br />
9 <br />
6<br />
3<br />
= 9 + 2<br />
= 11<br />
b) 3 + 12 / 4 – 6 e) 55 / 11 – 28 / 7 f) 20 / 4 + 7 / 1 – 3 7<br />
g) 9 + 16 / 4 – 5 – 14 / 7 h) 8 7 – 27 / 3 – 8 + 6 1<br />
Opg. 205 Udregn, med trinvise mellemregninger:<br />
(potensopløftning udføres før gange/dividere, der som bekendt udføres før plus/minus)<br />
2 ∙ 25<br />
50<br />
Opg. 206 Omskriv og udregn, med trinvise mellemregninger:<br />
a) 16 / 2 3 b) 36 / 3 2 c) 6 2 / 12<br />
d) 2 5 / 4 e) 5 3 / 5 + 4 d) 40 / 2 3 – 18
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 11 af 35<br />
g) 14 – 18 / 3 2 h) 8 2 / 2 5 + 3 6 i) 20 – 3 3 – 18<br />
Opg. 207 Udregn, med trinvise mellemregninger:<br />
Opg. 208 Udregn, med trinvise mellemregninger:
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 12 af 35
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 13 af 35<br />
2 b. Indsætte tal i formel (og udregne med lommeregner)<br />
Opg. 211. Indsæt x og udregn y (Der må gerne bruges lommeregner. Men "mellemregningen" skal<br />
anføres)<br />
√<br />
x 3 2,8 0 -3 -5 -0,032<br />
= 11<br />
( )<br />
= -1<br />
Opg. 212 Indsæt b, x, y og udregn a<br />
b 5 9 0,3 -3<br />
x 2 8 10,4 6<br />
y 20 6 2,4 -8<br />
(evt.)<br />
(<br />
√<br />
(<br />
)<br />
)<br />
( )<br />
= 7,5<br />
Opg. 213. Indsæt x1, x2, y1, y2 og udregn a<br />
(regnes ikke)
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 14 af 35<br />
(evt.)<br />
(<br />
√<br />
)<br />
(<br />
(<br />
)<br />
)<br />
2 2,3 0,8 -3<br />
6 8,4 3,4 -1<br />
3 2,9 60 4<br />
11 6,8 24 8<br />
= 2<br />
2 c. Angive de variable ud fra sproglig tekst<br />
Regn ikke, men læs opgaven, og udfyld felterne under opgaven.<br />
De indgående variable og konstanter med forklaring markeres i opgaveteksten, og skrives i skema.<br />
Opg. 221<br />
symbol<br />
(bogstav)<br />
Forklaring<br />
(tekst)<br />
d møntens diameter (mm) 23,35<br />
h møntens …<br />
m<br />
k Et tal, der afhænger af materialet<br />
De kendte tal indsættes i formlen:<br />
Værdi, hvis oplyst
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 15 af 35<br />
(Og ligningen løses for at beregne k, men dette venter vi med til næste afsnit… )<br />
- - -<br />
Regn ikke, men læs opgaven, og udfyld felterne under opgaven.<br />
De indgående variable og konstanter med forklaring markeres i opgaveteksten, og skrives i skema.<br />
Opg. 222<br />
a) Spørgsmålet "Bestem lysstyrken i afstanden 2 0 cm fra lygten":<br />
symbol<br />
(bogstav)<br />
a)<br />
b)<br />
Forklaring<br />
(tekst)<br />
Værdi, hvis oplyst<br />
x<br />
I<br />
Sæt de kendte værdier ind i formlen nedenfor, og beregn resultatet, hvis det er umiddelbart til at udregne :<br />
b) Spørgsmålet " I hvilken afstand fra lygten er lysstyrken 9 5 μW/ m 2 ?"<br />
symbol Forklaring<br />
Værdi, hvis oplyst<br />
(bogstav)<br />
x<br />
I<br />
(tekst)<br />
Sæt de kendte værdier ind i formlen, og beregn resultatet, hvis det er umiddelbart til at udregne :<br />
Opg. 223 Udviklingen i antallet af elever, der har valgt 9. klasse på efterskole i perioden 2000-<br />
2003, kan tilnærmelsesvis beskrives ved modellen<br />
y = 6410∙1,06 x<br />
hvor y er antal elever i 9. klasse på efterskole, og x er antal år efter 2000.<br />
b) Hvor mange elever var der i 9. klasse på efterskole i 2004 ifølge modellen?
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 16 af 35<br />
symbol<br />
(bogstav)<br />
Forklaring<br />
(tekst)<br />
Beregning af resultatet:<br />
Konklusion: Svaret på spørgsmål b formuleret som en sætning:<br />
Opg. 224<br />
symbol<br />
(bogstav)<br />
(se hvordan nedenfor)<br />
Forklaring<br />
(tekst)<br />
Værdi, hvis oplyst<br />
Værdi<br />
første gang<br />
x x1= x2=<br />
y y1= y2=<br />
Beregn a med følgende formel (vedrørende ”lineær sammenhæng”, y = ax + b<br />
a<br />
Beregn b med følgende formel (vedrørende ”lineær sammenhæng”, y = ax + b<br />
b = y1 – a∙x1 = …<br />
2 d. Løse ligninger med lommeregnerens ”solve” (brugsanvisning side 5)<br />
Løs med lommeregnerens "solve"<br />
(aflever som brøk eller decimaltal med 3 betydende cifre):<br />
Opg. 232:<br />
y y<br />
x x<br />
2 1 <br />
Opg. 231<br />
2 1<br />
Værdi<br />
anden gang
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 17 af 35<br />
Opg. 213<br />
a) Løs – (i hånden eller) med "solve" :<br />
b) Skriv en konklusion – en sætning - som svar på spørgsmål a) i opgave 221 i afsnit 2c ovenfor<br />
c) Løs ligningen med ”solve”:<br />
d) Skriv en konklusion – en sætning - som svar på spørgsmål b) i opgave 222 i afsnit 2c ovenfor
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 18 af 35<br />
2 e. Ligninger (løs i hånden og med mellemregninger. Se mønstre side 3)<br />
Opg. 241<br />
Opg. 242<br />
5<br />
3<br />
2
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 19 af 35<br />
Bruge regneregler ( som led i at løse ligninger)<br />
Regnereglerne – og eksempler - står på side 2. Først afprøver og anskuliggør vi nogle af reglerne.<br />
Opg. 243<br />
Indsæt tallene a=8, b=4, c=3, i formlerne A og B, og udregn med med trinvise mellemreninger<br />
(som på side 7).<br />
A B<br />
(1) a + (b – c)<br />
a + b – c<br />
8 + (4 – 3)<br />
8 + 1<br />
(2) a – (b + c)<br />
(3) a – (b – c)<br />
9<br />
(4)-(5) a(bc)<br />
(6) c(a+b)<br />
c(a – b)<br />
(7) a + 2a<br />
8 + 4 – 3<br />
12 – 3<br />
9<br />
a – b – c<br />
a – b + c<br />
abc |<br />
ca + cb<br />
ca – cb<br />
(8.1) (a+b) 2 a 2 + b 2 + 2∙a∙b<br />
3a<br />
( ab) c
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 20 af 35<br />
(8.2) (a – b) 2 a 2 + b 2 – 2∙a∙b<br />
Opg. 244<br />
Nedenstående figurer illustrerer nogle af regnereglerne. Hvilke? Hvordan? Skriv hver regel under figuren<br />
c<br />
a<br />
b<br />
a<br />
c∙(a+b)<br />
a<br />
(a+b) 2<br />
b<br />
b<br />
c<br />
a<br />
b<br />
a<br />
c∙a<br />
a<br />
a 2<br />
a∙b<br />
a -b a -b<br />
a<br />
(a-b) 2 a a 2 -a∙b<br />
-b -b -a∙b b 2<br />
Opg. 245* Brug de omtalte regneregler undervejs når nedenstående ligninger løses<br />
b<br />
a∙b<br />
b 2<br />
b<br />
c∙b
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 21 af 35<br />
–<br />
–<br />
Opg. 246*<br />
10 – (x +3) = 2 , 20 + (4 – t) =18 , 30 + 3g – (6 – g) = 12 , 7v – 5 (v + 2 ) = v<br />
2∙(x∙3) =12 , 3 ∙ (4∙ t) =36 , (5∙ g)∙2 = 100 , 2 ∙ (v ∙ 2 ) ∙ (2 ∙ 2) = 64<br />
(x+3) 2 – x 2 = 21 , (5+x) 2 – x 2 = 75 , (x– 2) 2 – x 2 = 14 , (4–x) 2 – x 2 = 16
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 22 af 35<br />
2 f. Indsæt variables værdi og løs ligning<br />
Opg. 250<br />
2. Indsæt A = 22, h = 5 og<br />
bestem g af ligningen<br />
6. Indsæt A = 6, b = 8 og<br />
bestem l af ligningen<br />
3. Indsæt A = 24, g = 5 og<br />
bestem h af ligningen<br />
7. Indsæt O = 20, b = 3 og<br />
bestem l af ligningen<br />
( )<br />
1. Indsæt A = 14, h = 4 og<br />
bestem g af ligningen:<br />
… (”solve” eller løses i hånden)<br />
4. Indsæt A = 10, g = 4 og<br />
bestem h af ligningen<br />
5. Indsæt A = 28, l = 8 og<br />
bestem b af ligningen<br />
8. Indsæt O = 6, l = 1,2 og<br />
bestem b af ligningen<br />
( )
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 23 af 35<br />
10. Indsæt A = 42, a = 5, h =<br />
3 og bestem b af ligningen<br />
( )<br />
14. Indsæt A = 80, π = 3,1416<br />
og bestem r af ligningen<br />
11. Indsæt A = 32, h = 4, a=3<br />
og bestem b af ligningen<br />
( )<br />
15. Indsæt O = 80 og bestem r<br />
af ligningen<br />
9. Indsæt A = 38, a = 8, b = 2<br />
og bestem h af ligningen<br />
( )<br />
12. Indsæt A = 32, h = 4,<br />
a = 2∙b og bestem b af<br />
ligningen<br />
( )<br />
13. Indsæt A = 20, π = 3,1416<br />
og bestem r af ligningen<br />
16. Indsæt O = 80 og bestem d<br />
af ligningen
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 24 af 35<br />
18. Indsæt O = 140, h = 4, l =<br />
5 og bestem b af ligningen<br />
( )<br />
22. Indsæt V = 70, h = 3 og<br />
bestem r af ligningen<br />
19. Indsæt O = 150, b = 3, l =<br />
5 og bestem h af ligningen<br />
( )<br />
23. Indsæt O = 140, r = 3 og<br />
bestem h af ligningen<br />
3 FLERE EKSAMENSOPGAVER – (fra årene 2006 og 2007)<br />
17. Indsæt V = 32, h = 4, l = 5<br />
og bestem b af ligningen<br />
20. Indsæt O = 200, b = 4, h =<br />
3 og bestem l af ligningen<br />
( )<br />
21. Indsæt V = 50, π = 3,1416<br />
r = 3 og bestem h af<br />
ligningen<br />
24. Indsæt O = 170, h = 10<br />
og bestem r af ligningen
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 25 af 35<br />
Opg. 301<br />
Opg. 302<br />
Opg. 303
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 26 af 35<br />
Opg. 304<br />
Opg. 305<br />
4 "STJERNEOPGAVER" TIL <strong>LIGNINGER</strong>.<br />
Opg. 401* Løs ligningerne i hånden, anfør mellemregninger. Se mønstre side 3.
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 27 af 35<br />
Opg. 402* Løs ligningerne i hånden, anfør mellemregninger
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 28 af 35
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 29 af 35<br />
Opdeling (briller) sum af produkter uden parenteser<br />
1.<br />
2.<br />
3.<br />
4.<br />
5.<br />
6.<br />
7.<br />
8.<br />
Opdeling (briller) af udtryk med parenteser:<br />
9. ( )<br />
10. ( )<br />
11. ( )<br />
12. ( ( ))<br />
13. ( )<br />
14. ( )<br />
15. ( ( ))<br />
16. ( )<br />
17. (<br />
)<br />
Svar nr. 1-17: opdeles efter b, b, b, c, b, c, f, b, a, c, b, c, a, d, b , a, a
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 30 af 35<br />
Ligninger med x først.<br />
Opdel venstresiden (”briller”) og foretag første skridt i at isolere x.<br />
( )
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 31 af 35<br />
Ligninger. Omformning når x ikke altid er først. (Husk ”briller”). Se side XXX<br />
1.<br />
2.<br />
3.<br />
4.<br />
5.<br />
6. ( )<br />
7.<br />
8. ( )<br />
9. ( )<br />
10.<br />
11.<br />
12. (<br />
13.<br />
14. (<br />
15.<br />
16.<br />
17.<br />
( )<br />
)<br />
)<br />
18. ( )<br />
19.<br />
20. (<br />
21.<br />
22.<br />
)
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 32 af 35<br />
Svar Ligninger med x først (side 10) spm 4-15:<br />
( ) ( ) ; ( ) ( )<br />
; ( ) ( )<br />
Svar Ligninger. Omformning når x ikke altid er først. (side ) spm 4-22:<br />
( )<br />
;<br />
;<br />
( ) ;<br />
;<br />
;<br />
; (<br />
;<br />
; ( );<br />
;<br />
)<br />
;<br />
( )<br />
;<br />
;
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 33 af 35<br />
TEORI<br />
Algebraisk hierarki - og briller<br />
15 - 10 + 3<br />
Når værdien af et regnestykke med en masse tal skal udregnes, skal opgaven deles op i en række delopgaver<br />
hvor tal to og to lægges sammen, trækkes fra hinanden, ganges, divideres eller opløftes i potens.<br />
Eksemplet 15 - 10 + 3. Udregnes ved 15-10 = 5 efterfulgt af 5+3 = 8.<br />
Efter hvilket princip valgte vi at starte med 15-10 ?<br />
De 5 regningsarter er + - ∙ / og ^<br />
Beregningsrækkefølge:<br />
Når flere regneoperationer er "på samme niveau" siger man at<br />
1. potensopløftninger udføres først (hænger tættest sammen)<br />
2. gangning og division udføres derefter i den rækkefølge de står<br />
3. plus og minus udføres derefter i den rækkefølge de står (adskiller stærkest)<br />
Parenteser får regneoperationerne indenfor parentesen til at optræde i et andet niveau,<br />
end dem uden for. En parentes’ værdi udregnes først og indgår i regnestykket udenfor parentesen<br />
Når man skriver et regnestykke op med vandrette brøkstreger, virker disse på samme måde som parenteser.<br />
Tilsvarende skal den lille løftede eksponent i en potensopløftning behandles, som hvis den stod i en parentes.<br />
Man skal i princippet både kunne indtaste et regnestykke, kunne udregne det ”i hånden”, og kunne<br />
overskue den overordnede opbygning af det. Det sidste er vigtigt i regneudtryk med bogstaver, der måske<br />
indgår i en model af en konkret problemstilling, og det vigtigt, når man skal løse en ligning.<br />
Lad os starte med indtastning. I nogle IT-redskaber kan formler indtastes direkte som de står på papiret, og<br />
så kan man blot at lære at bruge knapperne.<br />
Indtastning i kommandolinje eller indtastningslinje.<br />
I andre IT-værktøjer indtastes formler i én lang linje. Det gør det nødvendigt at indtaste flere<br />
parenteser: Indtastning af en brøk kan kræve op til tre sæt parenteser: om tæller, om nævner og om<br />
hele brøken. (den om hele brøken kan dog undværes hvis man kun er interesseret i tal-resultatet).<br />
Er der et regnestykke i eksponenten ved potensopløftning, skal det indtastes i parentes.<br />
indtastes (( )/( )) indtastes 2^(3+4)<br />
Overskue og udregne i hånden - et eksempel.<br />
Et stort og kompliceret regneudtryk opdeles først overordnet i to dele (”briller”). Hver af de dele analyseres<br />
og opdeles måske yderligere.<br />
Vi belyser reglerne for udregnings-sammenhæng (og rækkefølge) med følgende eksempel, hvor man f. eks.<br />
kan tænke sig a=1, b=2, c=3 o.s.v.:
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 34 af 35<br />
1. Vandrette brøkstreger opdeler på samme måde som parenteser<br />
Her: brøkstregen opdeler hele udtrykket i to deludtryk (der er intet ved siden af brøken).<br />
2. Plus og minus adskiller kraftigere end gange (og potensopløftning).<br />
Er der flere plus og minustegn, adskiller det sidste (længst til højre) kraftigst.<br />
3. Som netop nævnt: Minus adskiller kraftigere end gange:<br />
4. Gange adskiller kraftigere end potensopløftning.<br />
Højre del af (1.) . (Selv om + skiller mere end ∙ på samme niveau, fungerer den løftede eksponent, , på samme måde som<br />
hvis den var i parentes)<br />
divideres<br />
med<br />
Denne opdeling er nok ikke hvad man ville have gættet uden at kende reglerne. (Det ”ser ud” som om e og<br />
f hænger sammen da de begge er store bogstaver, men det gør de altså ikke).<br />
Endnu mere lumsk, når gangetegnet er underforstået: Sæt b=3 og udregn Hvad bliver det, og<br />
hvorfor?<br />
5. Den løftede eksponent fungerer som hvis den var i parentes:<br />
Bemærk, at hvis et ”brilleglas” indeholder 1 eller 2 tal/bogstaver, så er der ingen tvivl om<br />
udregningsrækkefølgen, eller hvad der hænger sammen med hvad.<br />
Indeholder brilleglasset 3 eller flere tal/bogstaver, så må indholdet opdeles med nye briller.<br />
Øvelse: indtegn de sidste manglende ”briller” i det nederste store billeglas .<br />
+<br />
-<br />
∙
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 35 af 35<br />
Brøkligninger<br />
Isoler x i følgende fire ligninger:<br />
1)<br />
2)<br />
Omskriv alle løsningerne ovenfor til en brøk, lige som i følgende omskrivning:<br />
Nedenfor ses ligning 1 ”løst” ved at stikke en strikkepind gennem den ubekendte, og lade tyngdekraften<br />
trække den fjerne ende af ligningen nedad. Lav tilsvarende illustrationer for ligning 2, 3 og 4.<br />
1)<br />
3)<br />
4)<br />
=