Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge
Indholdsfortegnelse
Variabel-sammenhænge .......................................................................................... 1
1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng? ............................................................ 2
2. Forklaring med ord af ”eksponentiel vækst” ............................................... 2 , 6
3. Konstanter a og b .......................................................................................... 2 , 7
4. Praktisk brug af regneforskrift ....................................................................... 3 , 7
Simple opgaver med isolation af ubekendt i b·a x =y ............................................... 8
4.1) ( y ukendt) .................................................................................................... 8
4.2) (b ukendt) .................................................................................................... 8
4.3) (a ukendt) .................................................................................................... 8
4.4) (x ukendt) .................................................................................................... 9
4.5) (både b og y ukendte)................................................................................... 9
4.6) (fordobling eller halvering) ........................................................................... 9
4.7) (gennemsnitlig rentefod eller vækstrate) ...................................................... 9
6. Vækst over forskellige perioder ...................................................................3 , 10
7. Beregne a ud fra (x1, y1) og (x2, y2) ...............................................................3 , 10
8. Voksende og aftagende eksponentielle sammenhænge ................................4 , 10
9. Fordoblingstid og halveringstid (-konstant) ...................................................4 , 11
10. Logaritmefunktionen .......................................................................... 4 , 12 , 15
11. Potensligninger ................................................................................... 5 , 12 , 13
13. Eksempler .......................................................................................................... 5
14. Teknisk appendix om potenser, rødder, logaritmer og
enkeltlogarimisk koordinatsystem ......................................................................... 13
Variabel-sammenhænge
Vi bruger i det følgende:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1

x : Uafhængig variabel
y : Afhængig variabel
Sammenhængende x- og y-værdier kan skrives i et
”sildeben”:
x
y
2
”Grafen” for en sammenhæng består af punkter
(x, y)
Nogle sammenhænge kan beskrives ved simple formler. Det gælder f. eks.
lineære sammenhænge, eksponentielle sammenhænge, potens-sammenhænge.
Vi omtaler nu:
Ekspontielle sammenhænge
Oversigt og begrundelser (mundtlig eksamen ).
1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?
Definition:
En eksponentiel sammenhæng beskrives ved en ligning
Hvor a og b er positive konstanter.
2. Forklaring med ord af ”eksponentiel vækst”
En population vokser eksponentielt gennem en årrække, hvis den har samme procentiske vækst
hvert år.
F. eks. hvis befolkningstallet vokser med 8 % pr. år
(konstanten a udregnes af vækstprocenten p pr x-enhed (f. eks. pr år) med formlen:
Se også side 6 ”2. Forklaring med ord af ”eksponentiel vækst” – uddybning”
3. Konstanter a og b
b : ”y-akse-skæringen”
Grafens skæring med y-aksen.
Dvs. den y-værdi, der svarer til x=0.
(Eks.: befolkningsstørrelse i året 0).
a: ”fremskrivningsfaktoren”
Når x stiger med 1,
bliver y ganget med a.
(Eks.: hver gang der går 1 år,
ganges folketallet med 1.05)
Se også side 7 ”3. Konstanter a og b - uddybning”
)

4. Praktisk brug af regneforskrift
for eksponentiel sammenhæng
y = b ∙ a x
Som eksempel, når x regnes i år:
x : tid
y : slutværdi
b : begyndelsesværdi
: årlig fremskrivningsfaktor
5. Omskrivninger af regneforskriften
y b
log
x
log( a )
y
b
x
y
a b a
Se også side 7 ” 4. Praktisk brug af regneforskrift - uddybning ”
6. Vækst over forskellige perioder
Når x stiger med 1 , bliver y ganget med a
Når x stiger med 2 , bliver y ganget med a∙a = a 2
Når x stiger med 3 , bliver y ganget med a∙a∙a = a 3
. . .
Når x stiger med h , bliver y ganget med a h
1
x
Dette kan også formuleres således:
Når x vokser fra x1 til x2 med stykket h = x2 – x1 , vil y ganges med fremskrivningsfaktoren
Bemærk: Der er to fremskrivningsfaktorer i spil her. Tænker vi f. eks. på befolkningsvækst er
a : fremskrivningsfaktoren for en periode på 1 år
F : fremskrivningsfaktoren for en periode på h år
Se også side 10 ”6. Vækst over forskellige perioder - uddybning”
7. Beregne a ud fra (x1, y1) og (x2, y2)
”
(
eller √(
) (
)
)
Se også side 10 ” 7. Beregne a ud fra (x1, y1) og (x2, y2) – uddybning”
3

8. Voksende og aftagende eksponentielle sammenhænge
Se også side 10 ”
8. Voksende og aftagende eksponentielle sammenhænge - uddybning”
Hvis a er større end 1, er y = b ∙ a x
voksende
(- og har en fordoblingskonstant)
9. Fordoblingstid og halveringstid (-konstant)
Definition af ”Fordoblingstid” (når x måler tid):
Den tid, T, det tager for y at fordobles
Sætning:
Ved en voksende eksponentiel udvikling,
y = b ∙ a x ,
afhænger fordoblingstiden, T, kun af konstanten a,
og er den samme uanset hvilket tidspunkt x1 der
bruges som udgangspunkt. Kaldes derfor også
”fordoblingskonstanten”
T kan beregnes af den sædvanlige y = b ∙ a x ,
hvor y gives den dobbelte værdi af b. Eller:
Formel
Omformninger:
( )
( ) (
) √
Hvis a er mellem 0 og 1, er y = b ∙ a x
aftagende
( - og har en halveringskonstant)
4
Definition af ”Halveringstid” (når x måler tid):
Den tid, T, det tager for y at halveres
Sætning:
Ved en aftagende eksponentiel udvikling,
y = b ∙ a x ,
afhænger halveringstiden, T, kun af konstanten a,
og er den samme uanset hvilket tidspunkt x1 der
bruges som udgangspunkt. Kaldes derfor også
”halveringskonstanten”
T kan beregnes af den sædvanlige y = b ∙ a x ,
hvor y gives den halve værdi af b. Eller:
Formel
Omformninger:
( )
( ) (
Se også side 11 ”9. Fordoblingstid og halveringstid (-konstant) - uddybning”
10. Logaritmefunktionen
Logaritmefunktionen, log(t), er defineret sådan at
gælder for alle tal, x.
( )
Eksempel
log(1000) = 3 , da
) √
Se også side 12 ”10. Logaritmefunktionen - uddybning” og evt.appendix side 15 ”14.5. Logaritmer”

11. Potensligninger
( )
( )
√
5
Eksempler:
( )
( )
Se også side 12 ”11. Potensligninger - uddybning” og evt. side 13
”14. Teknisk appendix om potenser, rødder, logaritmer og enkeltlogarimisk koordinatsystem”
( 12. udgået)
13. Eksempler
Renter
Befolkningsvækst
Prisstigninger
Radioaktivt henfald
Rapport om medicin i blodet
14. Teknisk appendix om potenser, rødder, logaritmer og enkeltlogarimisk koordinatsystem
Side 13
√

Om uddybningerne nedenfor (begrundelser, beviser, eksempler).
Regneudtrykket y er lettest at forstå, når x er et helt positivt tal, f. eks. 3:
.
Regler og formler om eksponentiel vækst gælder imidlertid også, for x-værdier (tidsangivelser) som er
decimaltal. Det giver mening at spørge: Hvor stor er populationen efter 3.4 år? Og at udregne et svar som
Den matematiske betydning af den slags potenser er berørt i appendix: ”Potenser, rødder og logaritmer”.
Men i nedenstående beviser og begrundelser vil vi holde os til de anskuelige tilfælde med x-værdier, som er
positive hele tal eller evt. 0. Havde man bevist ”potensregnereglerne” for alle reelle tal som eksponenter,
ville det ikke være svært at bevise sætningerne om eksponentielle sammenhænge helt generelt.
- - -
Vi vil i regler og begrundelser ofte tale om den eksponentielle sammenhæng som én der beskriver en
størrelse, y, (f. eks. en population) der vokser med tiden, x, hvor x regnes i år. Matematisk set er dette
naturligvis ingen nødvendighed, resultaterne gælder uanset hvad x er for en størrelse, og hvilken enhed
den angives i.
En del af de 14 punkter i oversigten side 2 - 5 uddybes nedenfor.
Et ”teknisk appendix” til sidst (fra side 13 til 17) rækker ud over hvad der forventes i matematik C.
2. Forklaring med ord af ”eksponentiel vækst” – uddybning
En population vokser eksponentielt gennem en årrække, hvis den har samme procentiske vækst
hvert år.
F. eks. hvis en kapital vokser med 8 % pr. år
(konstanten a udregnes af vækstprocenten p pr x-enhed (f. eks. pr år) med formlen:
Forklaring:
Fra procentregning kender vi fremskrivningsfaktoren F fra y1 til y2 , som opfylder
y2 = y1 ∙ F
Ved eksponentiel vækst bruger man bogstavet a i stedet for F, for den fremskrivningsfaktor, der optræder,
når x stiger med 1. Hvis x måles i år: det som y ganges med, når der går 1 år.
I stedet for
skriver vi altså
6
, og
p er nu den vækstprocent der gælder pr. x-enhed, f. eks. den årlige vækstprocent.
Eksempel om rentetilskrivning:
1000 kr. indsættes og forrentes med 8 procent om året. Hvor mange penge står på kontoen efter 10 år?
Hvert år tillægges 8%, det betyder at beløbet ganges med fremskrivningsfaktoren
a = (
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
) (
)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
)

Vi kan da opstille følgende oversigt (se i øvrigt eksempel om Renters rente i Rentesregning side 3
Efter 0 år: 1000
Efter 1 år: 10001,08
Efter 2 år: 10001,081,08
Efter 3 år: 10001,081,081,08 = 10001,08 3
…
Efter 10 år: 10001,08…1,08 = 10001,08 10 = 2158,92
Med bogstaver: b ∙ a x = y
3. Konstanter a og b - uddybning
Sætning om b:
b er grafens skæring med y-aksen.
Dvs. når x=0 , er y = b.
(Eks.: b er befolkningsstørrelse i året 0).
Bevis:
I regneforskriften for en eksponentiel
sammenhæng indsætter vi x=0 , og husker at a 0 = 1:
y = b ∙ a x
y = b ∙ a 0 = b ∙ 1, altså
y = b
Sætning om a:
Når x stiger med 1, bliver y ganget med a. (”fremskrivningsfaktoren” )
(Eks.: hver gang der går 1 år, ganges folketallet med 1.05)
Begrundelse ud fra definitionen y = b ∙ a x (med taleksempel for x-værdier):
Vi ser på eksempler hvor x-værdierne er hele tal, her x1=3 og x2 er 1 større:
x2 = x1+1 = 4
De tilsvarende y-værdier udregnes ved hjælp af forskriften y = b ∙ a x
Altså hvilket viser at y ganges med a , når x stiger med 1
4. Praktisk brug af regneforskrift - uddybning
y = b ∙ a x
Når x regnes i år:
x : tid
y : slutværdi
b : begyndelsesværdi
: årlig fremskrivningsfaktor
7

Simple opgaver med isolation af ubekendt i b·a x=y
4.1) ( y ukendt)
100 kr. forrentes i 5 år med 12% hvert år. Beregn slutkapitalen.
x = 5 (år)
y = ?
b = 100 kr.
x
b a y
5
100 1,
12 176,
26
Altså slut-kapital (y) bliver 176,26 kr.
4.2) (b ukendt)
På en bankkonto fås 7,5% årligt Om 15 år ønskes et rådighedsbeløb på 25000 kr.
Hvor meget skal man sætte ind nu?
x = 15 (år)
y = 25000 kr.
b = ?
x
ba y
b
15
1,075 25000
Med solve/løs ligning
i f. eks. WordMat / Casio FX 991/
b 8449,15
Der skal nu altså indsættes beløbet 8449,15 kr.
eller
4.3) (a ukendt)
I en reklame står at en kapital på 6 år øges fra 500 kr. til 800 kr.
Hvor stor er den årlige rentefod?
x = 6 (år)
y = 800 kr.
b = 500 kr.
? p = ?
x
b a y
6
500a800 Med solve/løs ligning
i f. eks. WordMat / Casio FX 991/
a 1,0815
eller
Procentændringen på en tidsenhed beregnes således:
p( a1)
100 (1,0815 1) 100 8,15
Den årlige rentefod er altså 8,15%
8
x
ba y
Idet b skal findes bruges omkrivningen
y 25000
b 8449,15
x
15
a 1,075
x
ba y
Idet a skal findes
bruges omskrivningen
11
x 6
y 800
a 1,0815
b 500

4.4) (x ukendt)
Verdens befolkning er 6 mia. og vokser med 1,8% om året. Hvornår når den op på 10 mia.?
x = ?
y = 10 mia.
b = 6 mia
x
ba y
x
61,018 10
Med solve/løs ligning
i f. eks. WordMat / Casio FX 991/
x 28,6
eller
9
x
ba y
Idet x skal findes bruges omskrivningen
y 10
log log
b 6
x
28,6
log( a)
log(1,018)
(Om logaritmer: log er en lommeregner-tast, regneteknisk hjælpemiddel, se evt. kort gennemgang side …)
Om 28,6 år når verdens befolkning op på 10 mia., hvis den fortsat vokser med 1,8% hvert år
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Andre opgavetyper
4.5) (både b og y ukendte)
Undertiden kendes hverken y eller b som absolutte tal, men kun forholdet mellem dem, f. eks. udtrykt i
procent. Det kan som regel betale sig at sætte b = 100%. Vi giver et eksempel.
Eksempel
Et beløb blev forrentet med fast rentefod i 6 år, og voksede derved med i alt 60%.
Hvad var rentefoden?
Vi sætter startværdien til “100%” og får så:
x = 6 (år)
b = 100%
y = 100% + 60% = 160%
a ukendt
p = ?
Dvs. rentefoden var 8,15%
x
ba y
6
100a160 ...(se type 3 ovenfor, a ukendt)...
a 1,0815
p( a1)
100 (1,0815 1) 100 8,15
4.6) (fordobling eller halvering)
Mange opgaver eller problemstillinger handler om hvor lang tid en eksponentielt voksende størrelse er om
at fordobles. (Eller halveres, hvis det er en aftagende udvikling). Man taler om ”fordoblingstid” henholdvis
”halveringstid”. Sådanne opgaver kan løses uden at huske andre formler end regneforskriften
Øvelse
En population voksede med 3% om året. Hvor længe var den om at blive fordoblet?
Vi sætter som ovenfor begyndelseværdien b til 100%, og ”slutværdien” til det dobbelte: 200%
x
ba y
4.7) (gennemsnitlig rentefod eller vækstrate)
Ofte vokser en størrelse uregelmæssigt og med alt andet end samme procent hvert år.
Måske ønsker man at vide hvor mange procent den årlige vækst været i gennemsnit.
Man har vedtaget at give begrebet ”gennemsnitlig rentefod” eller ” gennemsnitlig vækstrate” en præcis
matematisk betydning, som måske er lidt anderledes end man ville forvente.
Man definerer den gennemsnitlige vækstrate (rentefod) som svaret på følgende spørgsmål:

”Hvis væksten havde været eksponentiel, hvad skulle den konstante vækstrate så være for at komme
fra samme udgangsposition til samme slutposition på samme tid?”
Øvelse
I år 2006 kostede en bestemt vare 200 kr, og i 2008 var prisen 242 kr.
Hvad var den gennemsnitlige årlige vækstrate?
x = 2 (år)
y = 242 (kr). (slutværdi ifølge faktiske oplysninger)
b = 200 (kr.) (udgangsposition)
a = ukendt (gennemsnitlig fremskrivningsfaktor)
p = ? (procenttal for gennemsnitlig vækstrate, beregnes ud fra a)
(Svaret er : Den gennemsnitlige vækstrate var 10% ; vis mellemregningerne!)
6. Vækst over forskellige perioder - uddybning
Sætning:
Når x stiger med 1, bliver y ganget med a
Når x stiger med 2, bliver y ganget med a∙a = a 2
Når x stiger med 3, bliver y ganget med a∙a∙a = a 3
. . .
Når x stiger med h, bliver y ganget med a h
Begrundelse:
Antag at y har nået værdien y1.
Se ”Eksponenitiel begrundelse 3a” ovenfor
Når x herefter stiger med 1 ( der går 1 år), og herefter med endnu 1 og endnu 1, fås følgende værdier af y:
y1∙a, y1∙a∙a, y1∙a∙a∙a
At y bliver ganget med a h , når x stiger med h, kan vi også skrive sådan:
y1∙ a h = y2 , hvor x-stigningen h er x2 - x 1 . Om fremskrivningsfaktoren F ved vi:
y1∙ F = y2
Og vi ser dels at F = a h . Dels kan vi isolere F af ligningen y1∙ F = y2 , og det giver
I alt har vi altså
7. Beregne a ud fra (x1, y1) og (x2, y2) – uddybning
(x1, y1) og (x2, y2) er to punkter på grafen for y = b∙a x
I fortsættelse af ovenstående ” 6. Vækst over forskellige perioder - uddybning” side 10 isolerer vi a i af
og får ifølge reglen om løsning af 11. Potensligninger side 5
√
eller (
Da h = x2 - x 1 kan dette omskrives:
√
) (
eller (
)
) (
)
10

8. Voksende og aftagende eksponentielle sammenhænge - uddybning
Sætning:
Hvis a er større end 1, er y = b ∙ a x voksende
Begrundelse:
Tænk på en population, der vokser med en årlig fremskrivningsfaktor på 1.05
Hvert år ganges populationen med 1.05, og da dette tal er større end 1 bliver populationen større og større.
Sætning:
Hvis a er mellem 0 og 1, er y = b ∙ a x aftagende
Tænk på en population, der ændres med en årlig fremskrivningsfaktor på 0.97
Hvert år ganges populationen med 0.97, og da dette tal er mindre end 1 bliver populationen mindre og
mindre.
9. Fordoblingstid og halveringstid (-konstant) - uddybning
Sætning:
Ved en voksende eksponentiel udvikling, y = b ∙ a x , afhænger fordoblingstiden, T, kun af konstanten a, og
er den samme uanset hvilket tidspunkt x1 der bruges som udgangspunkt. Kaldes derfor også
”fordoblingskonstanten”
Eksempel:
Se på en population, der vokser med 2% om året, det passer omtrent med verdens befolkning. Den årlige
fremskrivningsfaktor er
Ifølge ”6. Vækst over forskellige perioder” ovenfor ganges popuIationen med a h i enhver periode af
længde h .
Lad os nu se på en periode på 35 år. Populationens størrelse ganges i løbet af enhver 35-årsperiode med
tallet
Det er altså næsten præcist rigtigt at sige at populationen fordobles på 35 år, dvs. at fordoblingstiden er 35
år (eller ”fordoblingskonstanten”). For den nøjagtige fordoblingskonstant skrives T eller T2 i stedet for h.
Vi har altså, at
Reglerne om løsning af potensligninger (side )giver:
( )
( ) ( ) √
Begrundelserne vedrørende halveringstid/halveringskonstant følger samme mønster.
11

10. Logaritmefunktionen - uddybning
Logaritmefunktionen er defineret som "den omvendte funktion til 10 x "
Det betyder at den "tæller nuller" når den anvendes på meget runde tal:
Da 10 3 = 1000 er log(1000) = 3
Da 10 2 = 100 er log(100) = 2
Da 10 1 = 10 er log(10) = 1
Da 10 0 = 1 er log(1) = 0
Da 10 -1 = 0,1 er log(0,1) = -1
Da 10 -2 = 0,01 er log(0,01) = -2
(Dette princip gælder også for mere skæve tal:
Da 10 1,5 = 31,6 er log(31,6) = 1,5 (lille afrundingsfejl))
Man kan også sige at sildebenet vendes:
x -2 -1 0 1 1,5 2
10 x
Vendes på hovedet:
0,01 0,1 1 10 31,6 100
x 0,01 0,1 1 10 31,6 100
log(x) -2 -1 0 1 1,5 2
Se eventuelt mere i det tekniske appendix 14.5. Logaritmer side 15.
11. Potensligninger - uddybning
x
3 12
hhv.
5
x
20
Eksempel 11.1
I et potensopløftnings-udtryk kan den ubekendte stå "oppe" som eksponent, og så skal den "logges" ned.
x
Se på ligningen 100 1000000
Her kan man måske gætte at x=3 idet 100 3 = 100100100 = 1 000 000.
Tallet 100 3 = 100100100 har nemlig 3∙2 = 6 nuller
Division af de 6 nuller (i 1 000 000) med de 2 nuller ( i 100) giver i virkeligheden resultatet x=3.
Vi skriver således:
x
100 = 1000000
log( 1000000)
6
x=
log( 100)
2
x=
3
Vi viser nu et lignende eksempel, men med mindre pæne tal:
(Eksempel 11.2)
x=
Gør selv prøve ved at udregne om 3 2,26 x=
2,
26
giver 12 (eller tæt på)!
Eksempel 11.3
Hvis den ubekendte står for neden, gøres således:
x
3 = 12
log( 12)
log( 3)
12

(Eksempel 11.3)
Det lille 5-tal flyttes altså over på den anden side af lighedstegnet og bliver til (1/5)
- - -
1 5 5
Alternativ skrivemåde (og indtastning): Ofte skrives 20 som 20
(Den femte rod af 20, dvs. det positive tal, som ganget med sig selv 5 gange giver 20).
Se evt. mere i nedenstående tekniske appendix ”14.3. Rødder √ ” side 13
14. Teknisk appendix om potenser, rødder, logaritmer og enkeltlogarimisk koordinatsystem
14.1. Potenser (læses ”x i n’te”) hvor n er et positivt, helt tal. Eksempler:
14.2. Potenser hvor n er 0 eller et negativt, helt tal. Ovenstående tabel fortsættes ved hver gang at
dividere med 10 hhv . med x
14.3. Rødder √
(læses ”den n’te rod af x” ) hvor n er et positivt, helt tal, t er positiv eller 0
Som illustration forklarer vi ”den tredje rod af 64”, √
Tallet √
er
det positive tal, x , der opfylder (altså )
(Dette kan vi også udtrykke på en måde, der fremtidig hjælper os med ligningsløsning
Ligningen
har løsningen √
At alle positive tal har en tredje rod, kan anskueliggøres ved at tegne en graf for funktionen
Sildeben:
Graf:
x = 5
x=
x=
20
1
20
1
5
, 82
0 1 2 3 x=? 5
0 1 8 27 64 125
13

14.4. Potenser , hvor
Som eksempel vælger vi (
er uforkortelig brøk med hele positive tal i tæller og nævner.
)
Man definerer dette tal således: ( ) ( √ )
Baggrunden for denne definition er, at de såkaldte ”potensregneregler” derved er opfyldt (så længe x er et
positivt tal). Dette er dog et langsommeligt arbejde at bevise.
(Potensregnereglerne: se side 10 af folkeskole-formelsamling vedlagt her som sidste side)
Som specialtilfælde har vi brøker med tæller 1, f.eks.
( ) √
14
som eksponent. Der gælder
og (se ”3. Rødder” ovenfor): Når t er et postitivt tal, og q≠0 gælder (som anført under 11. Potensligninger
side 5 ) at ligningen
Hvordan har man fundet på at definere (
har løsningen √
) ( √
) ?
Potensregnereglen ( ) er let nok at forstå i et taleksempel med hele tal som eksponenter:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Hvis reglen også skal gælde for tal som 0.01 og 0.13 som eksponenter, så må der gælde om tallet
at ( ) , altså hvoraf
(se afsnit 3 Rødder på forrige side)
√ . Herved ses at er nødt til at være lig √
Med samme begrundelse kan vi fortsætte:
( ) ( √
)
(
)
hvis potensreglerne skal passe.

14.5. Logaritmer
Definition:
Tallet ( x =) log(t) er defineret som det tal, x ,
der opfylder 10 x = t.
Grafen for 10 x antyder grunden til at sådan et tal x
kan findes for alle positive værdier af t.
Eksempel 14.5.1. Tallet x= log(100) er det tal, der
opfylder 10 x = 100, altså tallet 2, idet 10 2 =100.
Som man også kan efterprøve på lommeregneren,
gælder altså log(100) = 2
Eksempel 14.5.2.
Tallet (x=) log(50) findes på lommeregneren til
1,69897….
Vi prøver om det passer med at 10 x = 50. Med de
anførte decimaler fås (se definition 4 ovenfor)
(
) ( √
- det er altså rigtigt nok bortset fra afrundningsfejl.
)
15